Series de Fourier
176
1 Series de Fourier "Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones ", Genaro Gonzalez
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Series de Fourier. " Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones ", Genaro Gonzalez. La primera serie de Fourier de la historia. Euler 1744 escribe en una carta a un amigo:. ¿Es cierto? Observemos que en t = 0 hay problemas → π /2 = 0 ¡¡. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Series de Fourier
1
Series de Fourier
"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",Genaro Gonzalez
2
...3
)3(
2
)2()(
)(
2)(
1
tsentsentsen
n
ntsenttf
n
La primera serie de Fourier de la historia
Euler 1744 escribe en una carta a un amigo:
¿Es cierto?
Observemos que en t = 0 hay problemas → π/2 = 0 ¡¡
La clave está en el concepto de función periódica.
3
Funciones Periódicas
Una función periódica f(t) cumple que para todo valor de t:
f(t) = f(t + T).
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función.
Observa que:
f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1, 2, 3,...
Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?
4
Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función
Si f(t) es periódica se debe cumplir:
Como cos(t + 2kp) = cos(t) para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que:
T/3 = 2k1p y T/4 = 2k2p.Es decir:
T = 6k1 p = 8k2pcon k1 y k2 enteros.
El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24p.
?coscos 43 )()(f(t) tt
)()(T)f(t TtTt43 coscos )()(f(t) tt
43 coscos
5
Gráfica de la función
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24p
T
)()(f(t) tt43 coscos
6
¿Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica?Depende. Consideremos la función:
f(t) = cos(w1t) + cos(w2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que:
w1T = 2 p m y w2T = 2 pn.Es decir, que cumplan:
T = m/w1 = n/w2n
m
2
1
7
Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((p+3)t) tenemos que
¿Es periódica?
3
3
2
1
0 5 10 15 20 25 30-2
-1
0
1
2
f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)
t
f(t)
8
Para que exista perioricidad w1/ w2 debe ser
un número racional (n/m).
Ejercicios: Encontrar el periodo de las
siguientes funciones, si es que son periódicas:
1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.
2) f(t) = sen2(2pt)
3) f(t) = sen(t) + sen(t + /2p )
4) f(t) = sen(w1t) + cos(w2t)
5) f(t) = sen(2 t)
9
Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2,
¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo
T < min(T1,T2)?
T1 = 5
T2 = 5
T = 2,5
10
Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:
11
,0
10),2(
)(1
tN
NttNsen
tf
11
),2(
10,0
)(2
tN
tNsen
Nt
tf
extendida periódicamente con T = 1:
ttftf ),1()( 11
extendida periódicamente con T = 1:
ttftf ),1()( 22
ttftf
ttNsentftf
),1()1(
10,)2()()(
2121
NNT
1
2
22
11
¿Puede una función f(t) cumplir la condición f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?
enterounes nosi0
enterounessi1)(1 t
ttf
1
enterossonnoysi0
enterossonysi1)()( 11
T
Ttt
TttTtftf
12
enterounesoirracionalessi0
enterounnoperoracionalessi1)(2 t
ttf
1
enterosoesirracionalsonysi0
enteros noperoracionalessonysi1)()( 22
T
Ttt
TttTtftf
13
irracionales nosi0
racionalessi1)()( 21 t
ttftf
T = ?
14
...3
)3(
2
)2(
2
tsentsentsen
t
¿Cómo lo alcanzó?
Volvamos al resultado de Euler:
...)(
...)(32
32
titiit
titiit
eetSe
eeetS
t
tseni
e
etS
it
it
cos12
1
2
1
1)(
...)3()2(...)3cos()2cos(cos
...)(
2
1
32
tsentsentsenittt
eeetS titiit
2;
4...
7
1
5
1
3
11
2
2
1...
3
)3(
2
)2(
4
CCt
Cttsentsen
tsen
Integrando término a término:
Utilizando la fórmula de Euler para cada término:
Particularizamos t para encontrar C:
15
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
...3
)3(
2
)2(
2
tsentsentsen
t
...3
)3(
2
)2()(
22
...3
)3(
2
)2()(
2
tsentsentsen
t
tsentsentsen
t
16
(1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π.(2) La serie es una función impar.No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.
(3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2.Pero no fuera del intervalo...
(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.(5) La aproximación no es buena en "los extremos"...Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...
17
18
19
20
Joseph Fourier
En diciembre de 1807 Joseph
Fourier presentó un sorprendente
artículo a la Academia de Ciencias
en París. En él afirmaba que
cualquier función puede escribirse
en forma de serie trigonométrica
semejante al ejemplo de Euler.
Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible...
Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830
21
22
Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión:
Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio.
Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,...
t
u
kx
u
1
2
2
23
Serie trigonométrica de FourierAlgunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t) + a2cos(2w0t) + ...
+ b1sen(w0t) + b2sen(2w0t) + ...
Donde w0 = 2p/T se denomina frecuencia fundamental.
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
24
...3
)3(
2
)2(
2
tsentsentsen
t
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ...
b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...
25
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Dada una función periódica f(t), ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?
Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.
]t)sen(nωbt)(nω[aaf(t)n
nn
1
00021 cos
26
Ortogonalidad
Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:
nmparar
nmparadt(t)(t)ff
n
b
a
nm
0
27
Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1 < t < 1, ya que:
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –p < t <p, ya que
04 1
141
1
31
1
2
t
dttdttt
02
cos2
π
ππ
π
tsentdtsent
¿Falta algo para demostrar en ambos casos la ortogonalidad?
28
Ortogonalidad de senos y cosenos
Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2< t < T/2:
{1, cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t),...,
sen(w0t), sen2w0t, sen3w0t,...}
con w0= 2 /p T.
29
Vamos a verificarlo probándolo a pares:
1.- f(t) = 1 vs. cos(mw0t):
Ya que m es un entero.
0)222
cos1
00
0
2
2
0
02
2
0
mω
sen(mπ
mω
)T/sen(mω
mω
t)sen(mωt)dt(mω
T/
T/T/
T/
w0= 2 /p T
30
2.- f(t) = 1 vs. sen(mw0t):
3.- cos(mw0t) vs. cos(nw0t):
02cos2cos1
cos1
000
2
2
0
02
2
0
)]T/(mω)-T/(mω[mω
mω
t)(mωt)dtsen(mω
T/
T/T/
T/
02/
0t)dtt)cos(ncos(m
2/
2/
00 nmparaT
nmparaT
T
cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]cos2 q = ½ (1+cos2q)
w0= 2 /p T
31
4.- sen(mw0t) vs. sen(nw0t):
5.- sen(mw0t) vs. cos(nw0t):
m,ncualquierparat)dt(nωt)sen(mωT/
T/
0cos2
2
00
02
02
2
00 nmparaT/
nmparat)dtt)sen(nωsen(mω
T/
T/
sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2 A =½ (1-cos2q)
sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]
32
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Vamos a aprovechar la ortoganilidad que acabamos de demostrar del conjunto de funciones: {1, cos(w0t), cos(2w0t), cos(3w0t),...,
sen(w0t), sen2w0t, sen3w0t,...}
con w0= 2 /p T, en el intervalo -T/2< t < T/2 , para calcular los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,... de la serie de Fourier:
]t)sen(nωbt)(nω[aaf(t)n
nn
1
00021 cos
33
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por cos(mw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
,...3,2,1)cos()(2/
2/
02
mdttmtfaT
TTm
1
2/
2/
00
1
2/
2/
00
2/
2/
0021
2/
2/
0
cos
coscos
cos)cos()(
n
T
T
n
n
T
T
n
T
T
T
T
t)dt(mωt)sen(nωb
t)dt(mωt)(nωa
t)dt(mωadttmtf
0
0, si m ≠ 0
0, si m ≠ 0T/2, si m = n
34
Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0
que debemos tratar a parte:
2/
2/
0 )(2 T
T
dttfT
aTa
t)dt(mωt)sen(nωb
t)dt(mωt)(nωa
t)dt(mωadttmtf
n
T
T
n
n
T
T
n
T
T
T
T
0
1
2/
2/
00
1
2/
2/
00
2/
2/
0021
2/
2/
0
2
1
cos
coscos
cos)cos()(
0
T, si m = 0
0, si m ≠ 0T/2, si m = n
35
Similarmente, multiplicando por sen(mw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
,...3,2,1)()(2/
2/
02
mdttmsentfbT
TTm
1
2/
2/
00
1
2/
2/
00
2/
2/
0021
2/
2/
0
cos
)(
n
T
T
n
n
T
T
n
T
T
T
T
t)dtt)sen(mωsen(nωb
t)dtt)sen(mω(nωa
t)dtsen(mωadtt)sen(mωtf0
0
0, si m ≠ 0T/2, si m = n
36
Un ejemplo históricamente importante: Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T:
La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf w0= 2 /p T
37
Coeficiente a0:
2/
2/
10 )(
T
TT dttfa
2/
0
0
2/
20
T
TT dtdta
0
2/
2/
02
T
TT tt 0
2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf
38
Coeficientes an:
2/
2/
02 )cos()(
T
TTn dttntfa
2/
0
0
0
2/
02 )cos(1)cos(1
T
TTn dttndttna
0)(1
)(1
0
2/
002/
0
00
2
T
TT tnsen
ntnsen
n
0para n
2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf
39
Coeficientes bn:
2/
2/
02 )()(
T
TTn dttnsentfb
2/
0
0
0
2/
02 )()(
T
TTn dttnsendttnsenb
0
2/
002/
0
00
2 )cos(1
)cos(1 T
TT tn
ntn
n
)1)(cos())cos(1(1
nnn
0para))1(12
nn
n
2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf
40
Finalmente, la serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para
w0 = (p w0= 2 / )p T , es decir, T = 2:
10
051
031
0
))12(12
14)(
...)5()3()(4
)(
n
tnsenn
tf
tsentsentsentf
41
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Componentes de la Serie de Fourier
t
Co
mp
on
ente
s
Sumafundamentaltercer armónicoquinto armónicoséptimo armónico
...)5()3()(4
)( 051
031
0 tsentsentsentf
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
42
Nota: Para expresarse como serie de Fourier
f(t), no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:
de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario,
con el mismo resultado.
43
Habíamos calculado los coeficientes para:
TtTpara
Ttparatf
2/1
2/01)(
2/01
02/1)(
Ttpara
tTparatf
Si los calculamos para la misma función desplazada
tienen que ser los mismos:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
Repite los cálculos y compruébalo.
44
De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será lo mismo:
1f(t)
t
. . . t0 t0 +T . . .-1
TT
Tt
tT
T
T
T
TT dttfdttfdttfdttfa )()()()( 22
0
22/
2/
10
0
0
T
T
T
TTn dttntfdttntfa )cos()(...)cos()( 0
22/
2/
02
T
T
T
TTn dttnsentfdttnsentfb )()(...)()( 0
22/
2/
02
45
Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para
2)(
ttf
la función con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler tenía razón.
46
)3cos(1)()cos(1)(
definitivaen
todopara 0)())3cos(1(3
)()(2
1 si ,0
1 si ,1)cos())3cos(1(
3)cos()(
2
2))3cos(1(3
)(2
01
01
3
2
0
00
3
2
0
00
3
2
0
0
ttnsenbtnatf
ndttnsentdttnsentfT
b
n
ndttntdttntf
Ta
dttdttfT
a
nn
nn
Tn
Tn
T
3
2 periodo de )3cos(1)(
Tttf
Calcula la serie de Fourier de la función periódica:
47
Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al intervalo de definición.A veces se habla de extender de forma par o impar una función:
t
t
Extensión par
Extensión impar
48
Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si
f(t) = f(-t)
2
f(t)
t 2
49
En forma similar, una función f(t) se dice función impar (o con simetría impar), si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)
2
f(t)
t 2
50
Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t + 1/t ,g(t) = 1/(t2+1).
Solución:Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es función impar.Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por lo tanto g(t) es función par.
51
Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2) es par o impar? (f es una función arbitraria).
Solución:Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)).Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)).Pero g(-t) = 1+(-t)2 = 1 + t2 = g(t),finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que h(t) es función par, sin importar como sea f(t).
52
Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las funciones siguientes son pares:
h(t) = sen (1+t2)h(t) = exp(1+t2) + 5/ (1+t2)h(t) = cos (2+t2) + 1h(t) = (10+t2) - (1+t2)1/2
etc...Ya que todas tienen la forma f(1+t2).
53
• Si f (x) es par:
a
dxxf0
)(2
a
a
dxxf )(
a
dxxf0
)(
a-a
a
a
dxxf )(
54
• Si f (x) es impar:
0
a
a
dxxf )(
a-a
a
a
dxxf )(
55
Como la función sen(nw0t) es una función impar para todo n y la función cos(nw0t) es una función par para todo n, es de esperar que:
• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto
bn= 0 para todo n.
• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.
56
Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado:
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
...)5()3()(4
)( 051
031
0 tsentsentsentf
57
Simetría de media onda
Una función periodica de periodo T se dice simétrica de media onda, si cumple la propiedad
Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo:
)()( 21 tfTtf
f(t)
t
58
Simetrías y Coeficientes de Fourier
Simetría CoeficientesFunciones en la serie
Ningunasenos y cosenos
Par bn= 0únicamente
cosenos
Impar an= 0únicamente
senos
Media onda
Senos y cosenos impares
2/
0
04 )cos()(
T
Tn dttntfa
2/
0
04 )()(
T
Tn dttnsentfb
imparndttntf
parn
aT
Tn
2/
0
04 )cos()(
0
imparndttnsentf
parn
bT
Tn
2/
0
04 )()(
0
2/
2/
02 )cos()(
T
TTn dttntfa
2/
2/
02 )()(
T
TTn dttnsentfb
59
Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier para
tttf ),cos()(
con periodo T = 2π (frecuencia fundamental 0 = 1) y un número real no entero, es:
)cos()1(
21)(
)cos(1
22tn
n
sent
n
n
60
Observa que si tomamos t = 0 entonces:
)cos()1(
21)(
)cos(1
22tn
n
sent
n
n
y con = 1/2.
1
22
)1(2
1
)( n
n
nsen
12
122 41
)1(42
)2/1(
)1(2
n
n
n
n
nn
t
61
O que si tomamos t = π entonces:
)cos()1(
21)(
)cos(1
22tn
n
sent
n
n
t
122
12
1)()cos(
n n
sen
nt )1()cos(
122
12
1
)tan( n n
¿Es correcto el resultado?
62
time (t)
x(t)E
2 4-2
x t t t( ) 4 2 22 -
AT
x t dt
AT
x t k t dtk
B
x t t t t t
T
T
k T
T kk
0 2
2
12
2
21
2 2 2
2 16
32 16
1 0
8
3
162
1
222
1
332
1
442
; WHY?
( )
( ) cos( ) ( )
( ) cos cos cos cos
/
/
/
/
2
63
Fourier Series of Square Wave
T
tk
ktf
kdttktfT
b
n
T
k
2sin14
odd for , sin8
1
4
0
0
64
Triangle Wave
222 5
5cos
3
3cos
1
cos4
2
xxx
65
Right Triangular Wave
3
3sin
2
2sin
1
sin2
xxx
66
Saw Tooth Wave
3
3sin
2
2sin
1
sin2
xxx
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
Que la integral traspase los sumatorios en la deducción de las fórmulas para los coeficientes de la serie de Fourier, equivale a asumir que la serie converge uniformemente... Recordemos qué es convergencia uniforme.
Sea la serie infinita:
y definamos sus sumas parciales como:
Convergencia uniforme
1
)()(n
n xuxS
k
nnk xuxS
1
)()(
77
Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si > 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.:
NkxfxSk quesiempre)()(
Observemos que en general N dependerá de y del punto x (convergencia puntual).Si N solo depende de , pero no de x, decimos quela convergencia es uniforme.
Que la serie sea uniformemente convergente es "bueno" porque:
78
(1) Si cada término un(x) de una serie es continuo en (a, b) y la serie es uniformemente convergente a f(x), entonces:
(a) f(x) es también continua en (a, b).
(b)
11
)()(n
b
a n
b
an
n dxxudxxu
(2) Si cada término un(x) de una serie posee derivada en (a, b) y la serie derivada es uniformemente convergente, entonces:
11
)()(n
nn
n xudx
dxu
dx
d
79
¿Cómo probar la convergencia uniforme de una serie?
(1) Encontrar una expresión "cerrada" para Sk(x) y aplicar la definición o
(2) utilizar la prueba M de Weierstrass:
Si existe {Mn}n = 1, 2,... tq. |un(x)| Mn y además
11
nteuniformemeconverge)(convergen
nn
n xuM
80
nteuniformemeconverge6
1
1)(1
),(en)(
)(
2
12
222
12
Sn
nn
nxsen
nM
n
nxsenxS
n
n
n
Ejemplo:
81
Condiciones de Dirichlet
Condiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias.
(1) f(x) tiene un número finito de discontinuidades en un periodo.
(2) f(x) tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo.
(3) T
dxxf )(
82
Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto de continuidad y a:
si x es un punto de discontinuidad.
)()(2
1 xfxf
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
Calcular la serie de Fourier en el intervalo (-p, p) de la siguiente función:
h(x) 0 , x 0
senx , 0 x
h(x) l fl (x)l0
lgl(x)l1
Tenemos que calcular los al y los bl de la siguiente serie:
gl(x) sen(2L
lx ) ; fl (x)cos(2L
lx)
como el intervalo es el (- p, p):
L b a ( ) 2gl (x) sen(lx) ; f l (x) cos(lx)
95
h(x) l cos(lx)l0
lsen(lx)l1
n (cos(nx),h(x))
cos(nx)2
1
cos(nx)2 cos(nx)h(x)dx
n 1
cos(nx)sen(x)dx
0
n 1
2{sen[(n 1)x] sen[(1 n)x]}dx
0
n 1
2
cos(n 1)x
n 1
cos(1 n)x
1 n
0
n ≠ 1
n ≠ 0
96
n 1
2
( 1)n1
n 1
( 1)1 n
1 n
1
n 1
1
1 n
n 1
2( 1)n
n 1
( 1) n
1 n
1
n 1
1
1 n
n 1
( 1)n 1
1 n2
n ≠ 1, 0
1
2
1 n2
;n par
0 ; n impar
97
1 1
cos(x)sen(x)dx
0
1
sen2(x)
2
0
0
0 1
2( 1)0 1
1 02
1
n (sen(nx),h(x))
sen(nx)2
n 1
sen(nx)2 sen(nx)h(x)dx
98
n 1
sen(nx)sen(x)dx
0
n 1
sen(nx)sen(x)dx
0
n 1
2{cos[(n 1)x] cos[(n1)x]}dx
0
n 1
2sen(n 1)x
n 1
sen(n1)x
n 1
0
n ≠ 1
99
n 0 ; n 1
1 1
sen(x)sen(x)dx
0
1
1 cos(2x)
2dx
0
1
2
h(x) 1
1
2sen(x)
2
1
1 l2cos(lx)
l2l par
100
Comprobar que el número p puede escribirse en la forma siguiente:
81
2 j 1 2j0
Ayuda: utilizar el desarrollo de Fourier que habíamos obtenido para la función de Heaviside:
h(x) 1 , 1x 0
1 , 0 x 1
h(x) 4
sen(lx)
ll1
l impar
101
Si calculamos la norma al cuadrado del vector h(x), es decir, el producto de escalar de esa función por sí misma:
(h(x),h(x)) h(x)2 dx 1
1
2
Pero la norma al cuadrado del vector h(x), la podríamos calculartambién del siguiente modo:
(h(x),h(x)) 4
sen(jx)
jj1j impar
,4
sen(lx)
ll1l impar
(h(x),h(x)) 16
2
1
jlsen(jx),sen(lx )
l1l impar
j1
j impar
102
(h(x),h(x)) 16
2
1
jl jl
l1l impar
j1
j impar
(h(x),h(x)) 16
2
1
j2j1
j impar
81
2 j 1 2j0
(h(x),h(x)) 2 Como teníamos de antes que:
2 16
2
1
j2j1
j impar
103
Fenómeno de Gibbs
Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos más armónicos, el sumatorio se aproximará más a f(t).
Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armónicos.
Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada:
...)5()3()(4
)( 051
031
0 tsentsentsentf
104
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 1 armónico
)(4
)( 0tsentf
105
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 3 armónicos
)5()3()(4
)( 051
031
0 tsentsentsentf
106
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 5 armónicos
107
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 7 armónicos
108
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 13 armónicos
109
Fenómeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 50 armónicos
110
Fenómeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 100 armónicos
111
112
Forma compleja de la serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una función periodica f(t), con periodo T = 2p/w0.
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
)()(
)()cos(00
00
21
0
21
0
tintini
tintin
eetnsen
eetn
113
Sustituyendo:
Y usando el hecho de que 1/i = -i:
Y definiendo:
])()([)(1
21
21
021 0000
n
tintinin
tintinn eebeeaatf
])()([)(1
21
21
021 00
n
tinnn
tinnn eibaeibaatf
)(),(, 21
21
021
0 nnnnnn ibacibacac
n
tinnectf 0)(
T
2 0
114
A la expresión obtenida
se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:
Para n = 0, 1, 2, 3, ...Demostrarlo.
T
tinTn dtetfc
0
1 0)(
n
tinnectf 0)(
¿Forma ntine 0
un conjunto ortogonal?
115
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:
Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn), que eran an= 0 para todo n y
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
ntodoparan
b nn ])1(1[
2
116
Podemos calcular los coeficientes cn:
Entonces la serie compleja de Fourier queda:
])1(1[][ 221
21 n
nnnn iibac
])1(1[1 nnn ic
...)
(...)(
000
000
5513
31
3315
512
tititi
tititi
eee
eeeitf
117
Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral:
T
tinTn dtetfc
0
1 0)(
T
T
tinT
tin dtedteT 2/
2/
0
001
2/
1
0
2/1 00
1
T
Ttin
in
Ttin
in eeT oo
)()1(1 2/2/ 000 TinTinTin
o
eeeTin
118
Como w0T = 2p y además:
que coincide con el resultado ya obtenido.
isene i cos
)])1(1()1)1[(1 nnTinn o
c
])1(1[2 nTn o
i
])1(1[1 nni
119
10 , 1
01 , 0)(
x
xxH
Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:
j
jxij ecxH
1
0
1
0
1
1
1
2
1
2
1)(
2
1
eli
dxedxxHec lxilxilxil
impareslsil
ipareslsi
ll
i
lisenll
ie
l
ic li
l
;
; 01)cos(
2
1)()cos(2
12
1
l ≠ 0
120
al 1
2 ilxe H(x)dx
1
1
0-ip0x
1
2dx
0
1
1
2
impareslsil
ipareslsi
cl ;
; 0
;
2
10 c
j impar
j
jxi
j
jxij e
j
iecxH
0
2
1
0
)()cos(Re
2
2
1)(
j j
jxisenjxixH
j impar
0
Re2 2
1
j
jxi
ej
i
j impar
H x 1
2
2
sen(jx)
jj0
j impar
121
Calcular la serie de Fourier de la función g(x)=|x| en la base ortogonal {exp(inpx)/√2p} definida en el intervalo (-1,1).
g x x ; x ( 1,1) base ortogonal ijxe2
; j
g x aj ijxe2j
al
ilxe2
g(x)dx1
1
ilxe2
2
al
ilxe2
g(x)dx 1
1
1
ilxe2
g(x)dx 1
1
122
al ilxe2
x dx 1
1
2
ilxe ( x)dx ilxe xdx0
1
1
0
u x ; du dx
dv ilxe dx ; v ilxe
ili
ilxel l ≠ 0
al 2
( 1)xe ilx
( il)
e ilx
( il)2
1
0
xe ilx
( il)
e ilx
( il)2
0
1
al 2
2
( il)2 2( 1) l
( il)2
2 2 2l 2
; l impar
0 ; l par
123
a0 2
x1
1
dx 2
( x)dx xdx0
1
1
0
2
g x
2
2
2 2 2 j2
ijxe2j
j impar
g x 1
2
2
2 ijxej2
jj impar
124
Si queremos pasar a la base de senos y cosenos:
g x 1
2
2
2 ijxej2
jj impar
g x 1
2
2
2 2Re ijxej2
j1
j impar
g x 1
2
4
2
cos(jx )
j2j1
j impar
125
Calcular la parte real de la serie de Fourier de la funcióng(x)= exp[(2+i)x] definida en el intervalo (-p,p).
g x e(2 i)x ; x ( , )base ortogonal ijxe ; j
g x a j ijxe
j
al
ilxe g(x)dx
ilxe
2
al
ilxe g(x)dx
2
1
2 ilxe (2i )xe dx
126
al 1
2[2 i(1 l)] xe dx
1
2
[2 i(1 l)]xe2 i(1 l)
al 1
2
[2i (1 l )]e2 i(1 l)
[2 i(1 l)]e
2 i(1 l)
al 1
2( 1)(1 l)
2 i(1 l)2e 2e
al 1
( 1)(1 l )
2 i(1 l)Sh(2 )
127
al ( 1)(1 l) Sh(2 )
4 (1 l)2 2 i(1 l)
g(x) ( 1)(1 j ) Sh(2 )
4 (1 j)2 2 i(1 j) ijxej
g x a j ijxe
j
f (x) ( 1)(1 j) Sh(2 )
4 (1 j)2 2cos( jx) (1 j)sen( jx) j
128
Sea la siguiente función, f(x):
f (x)
1 x ; 0x 1
0 ; 1x 2
a) Calcular la serie de Fourier de esta función en el intervalo (0,2) tanto en función de exponenciales complejas como de senos y cosenos.
b)Representar la función correspondiente a la serie en el intervalo (-2,6).
f (x)
1 x , 0x 1
0 , 1x 2
base ortogonal ijxe ; j
f x a j ijxe
j
al 1
2 ilxe f (x)dx
1
1
129
al 1
2 ilxe f (x)dx
0
2
1
2 ilxe (1 x) dx
0
1
al 1
2
1
il ilxe
0
1
x
il ilxe
0
1
1
il ilxe dx
0
1
l ≠ 0
a0 1
2f (x)dx
0
2
1
4
al 1
2
ile 1
il
ileil
ile 1
2l2
al 1
2
1
il
ile 1
2l2
i2l
; si l es par
i
2l
1
2l2 ; si l es impar
130
f x a j ijxe
j
a0 1
4 ; al
i2l
; si l es par
i
2l
1
2l2 ; si l es impar
1
4
i
2jijxe
j
1
2 1
j2
ijxej
j imparj≠0
f (x) 1
4 2Re
i
2jijxe
j1
1
2 1
j 2
ijxej1
j impar
f (x) 1
4
sen(jx)
jj1
2cos(jx)
2 j 2j1
j impar
131
132
133
134
La función impulso o delta de Dirac
Podemos pensar en la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones:
if 0( )
0 if 0
tt
t
t
f1(t)
f2(t)
f3(t)
d(t)
t
d(t)
2)(mtm e
m (t) f
135
Propiedades de la función d
( ) 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
exp( ) 2 (
exp[ ( ') ] 2 ( '
t dt
t a f t dt t a f a dt f a
i t dt
i t dt
t
d(t)
136
Calcular la serie de Fourier de d(x):
j
jxij ecx
2
1)(
2
1 1
1
dxxec lxil
0
0
)cos( 2
1
)( 2
1
2
1
2
1
j
j
jxijxi
j
jxi
jx
eeex
x 1
2 cos(jx )
j0
137
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
138
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
139
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
140
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
141
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
142
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
143
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
144
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
145
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
146
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
147
x i2
ijxje
j
(x) 1
2 cos(jx )
j0
)1,1(
)(')()(
)()()(
1
1
1
1
a
afdxaxxf
afdxaxxf
Calcular la serie de Fourier de D(x):
j
jxij ecx
2)(
2
1 1
1
lidxxec lxi
l
j sen(jx)j0 x
0
00
)(
Re2 2
2
j
j
jxi
j
jxi
j
jxij
jxjsen
eijeji
ecx
148
Los coeficientes cn son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar:
Observemos que,
Donde ,
para todo n 0.
Y para n = 0, c0 es un número real:
ninn ecc
ninnn eccc
*
2221
nnn bac
n
nn a
barctan
021
0 ac
149
Espectros de frecuencia discreta
Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn.
Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.
150
Espectros de frecuencia discreta
Ejemplo. Para la función ya analizada:
Encontramos que:
Por lo tanto:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
])1(1[1 nnn ic
])1(1[1 n
n nc
151
A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular w de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t).
A la gráfica del ángulo de fase fn de los coeficientes cn contra w, se le llama el espectro de fase de f(t).
Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular w = nw0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.
152
El espectro de amplitud se muestra a continuación
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n = número de armónico = múltiplo de w0).
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 Espectro de Amplitud de f(t)
n
Cn
Frecuencia negativa (?)
Frecuencia
153
El espectro de magnitud de una f(t) real, es una
función PAR por lo que la gráfica para n 0 contiene
toda la información acerca de f(t) y se le conoce
como espectro unilateral de magnitud.
El espectro de fase de una f(t) real, es una
función IMPAR por lo que la gráfica para n 0
contiene toda la información acerca de f(t) y se le
conoce como espectro unilateral de fase.
154
Podemos expresar de una manera ligeramente diferente la serie de Fourier. Cada par de términos:
ancos(nw0t) + bnsen(nw0t)
se pueden expresar como:
Donde lo único que hemos hecho es multiplicar y dividir por:
)()cos( 022022
22 tnsenba
btn
ba
aba
nn
n
nn
nnn
22nn ba
155
Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en función del coseno:
n
nn
n
n
nn
n
senba
b
ba
a
22
22cos
an
bn
22nnn baC
qn
)()cos(cos 00 tnsensentnC nnn
)cos( 0 nn tnC
)()cos( 022022
22 tnsenba
btn
ba
aba
nn
n
nn
nnn
n
nn a
barctan
156
Si además definimos C0 = a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como:
Con:
1
00 )cos()(n
nn tnCCtf
22nnn baC
n
nn a
barctan
Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y qn, de manera que la serie de Fourier pueda escribirse como:
1
00 )()(n
nn tnsenCCtf
157
Componentes y armónicosHemos visto que, bajo ciertas condiciones, una función f(t) puede escribirse como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias: wn = nw0.
A la componente sinusoidal de frecuencia nw0:
cn cos(nw0t + qn) se le llama el enésimo armónico de f(t).
Al primer armónico (n = 1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t).
A la frecuencia w0= 2 p f0 = 2 p / T se le llama frecuencia angular fundamental.
158
Ejemplo: La función
Como vimos, tiene un periodo T = 24p, por lo tanto su frecuencia fundamental es w0 = 2 / =p T 1/12 rad/s.
O como w0= 2pf0, f0 = 1/ T = 1/ 24 p Hz.
Su componente fundamental (n = 1) será:
c0 cos(w0t + q0) = 0 cos(t/12).
Tercer armónico:
cos(3t/12) = cos(t/4)
Cuarto armónico:
cos(4t/12) = cos(t/3)
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24p
)()(f(t) tt43 coscos
159
Componentes y armónicos (y 2)
A la componente de frecuencia cero c0, se le llama componente de corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo.
Los coeficientes cn y los ángulos qn son respectivamente las amplitudes y los ángulos de fase de los armónicos.
160
Ejemplo: Como puede verse, la función anterior tiene tantas "áreas positivas como negativas", por lo tanto su componente de cd es cero, en cambio
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24p
)()(f(t) tt43 coscos1
Tiene tantas "áreas
arriba como abajo" de 1 por lo tanto, su componente de cd es 1.
161
Diferenciación de señales periódicas:
).( de serieen desarrollo delfunción es queFourier de serie unapor
darepresenta estáy periódica es también )(' ia,consecuencen
y ,0
por dados vienen y escoeficient los donde
)()cos()('
)cos()()1()()('
: a respecto )( Derivando
)()cos()(
:siguienteFourier de trica trigonoméserie la de
sen término expresada T periodocon periódica señal una )( Sea
000
100
10000
1000
tf
tf
andbncc
dc
tnsendtnctf
tnbntnsenantfdt
dtf
ttf
tnsenbtnaatf
tf
nnnn
nn
nnn
nnn
nnn
162).( de serieen desarrollo delfunción es queFourier de serie unapor
darepresenta estáy periódica es también )(' ia,consecuencen
por dados vienen escoeficient los donde
)('
)()('
: a respecto )( Derivando
)(
:siguienteFourier de compleja serie la de
sen término expresada T periodocon periódica señal una )( Sea
0
0
0
0
0
tf
tf
cind
d
edtf
ecintfdt
dtf
ttf
ectf
tf
nn
n
n
tinn
n
tinn
n
tinn
163
5 10-5-10
20T0 = 10
f(t)
t
f(t) =
4t - 20
5 10-5-10
4
T0 = 10 f '(t)
t-4
Observa que al derivar la serie se pierde la información acerca de la componente continua de f''(t)
164
10)220(102
)420(2
definición la a recurre se conocer para
)cos()12(
80)(
que lopor )12(
80)12(
que tienese )12( que recordando
)12(16
))12sen((1016
))12sen(()(4
0
entonces onda, media de simetríacon impar periódica señal una es )(
2/
22/
000
0
01
220
220
1212
12012
5
0
02/ 00
12
20
0
0
0
Tt
T
n
nn
nn
Tn
nn
ttdttT
a
a
tnn
atx
nn
da
and
ndttndttntx
Td
dcc
ty
165
5 10-5-10
20T0 = 10
f(t)
t
f(t) =
4t - 20
5 10-5-10
4
T0 = 10 f '(t)
t-4
5
10
-5
-10
8
T0 = 10f ''(t)
t-8
166
10)220(2
)420(2
)(2
impar es si ,12
40
par es si ,0
)(
impar es si 1.6,-
par es si ,0 1
108
1108
)](8)5(8[1
)(1
2/2
0
2/
00
2/
000
2220
200
5
)2/(
)2/(0
2/
2/0
0
00
0
0
0
0
0
0
0
Tt
TT
nnnn
jnnjn
T
T
tjnT
T
tjnn
ttT
dttT
dttxT
X
nn
n
n
GXXjnjnG
n
neeG
dtettT
dtetgT
G
167
Potencia y Teorema de Parseval
El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo dado T se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f(t)
1f(t)
t
h = Alturapromedio
T
0
dt)t(fArea
T
Area = T h
168
De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por:
Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo.
2/
2/
21 )]([T
TT dttf
169
El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes complejos cn de Fourier de la función periódica f(t):
O bien, en términos de los coeficientes an, bn:
n
n
T
TT cdttf
22/
2/
21 )]([
1
22212
041
2/
2/
21 )()]([n
nn
T
TT baadttf
170
Teorema o identidad de Parseval
1
22212
041
2/
2/
21 )()]([n
nn
T
TT baadttf
1
2220
2/
2/
0
2/
2/10
2/
2/1
0
2/
2/ 10002
112/
2/
1
2
1
4
)()()cos()()(
])()cos([)()()(
nnn
T
T
T
Tn
nT
Tn
n
T
T nnnT
T
TT
baa
dttnsentfT
bdttntf
T
adttf
T
a
dttnsenbtnaatfdttftf
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
171
Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado:
El valor cuadrático medio de una función periódica f(t) es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos, es decir:
Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa.
1
2
20
2/
2/
21
2)]([
n
nT
TT
CCdttf
172
Para aclarar el resultado anterior es conveniente encontrar la relación entre los coeficientes complejos cn de la serie
Y los coeficientes reales Cn de la serie
Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa.
n
tinnectf 0)(
1
00 )cos()(n
nn tnCCtf
173
Por un lado
Mientras que
Entonces, Por lo tanto,
Además, para el armónico Su valor rms es , por lo tanto su valor cuadrático medio es
Para la componente de directa C0, su valor rms es C0, por lo tanto su valor cuadrático medio será C02.
,baC 2n
2nn
2n
2n2
1n bac
n21
n Cc 2n4
12
n Cc
)cos()( 0 nnn tnCtf 2/nC
2/2nC
174
Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la función f(t):
Solución. Del teorema de Parseval
y del ejemplo anterior
sustituyendo
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
n
n
T
TT Cdttf
22/
2/
21 )]([
])1(1[1 nnnc
...49
1
25
1
9
11
82
2
nnc
175
La serie numérica obtenida converge a
Por lo tanto,
Como era de esperar.
2337.1...49
1
25
1
9
11
1)2337.1(8
)]([2
22/
2/
21
nn
T
TT cdttf
176
Identifying a telephone numberhttp://math.arizona.edu/~rims/workshops/softwareMATLAB/
(who’s spying on you?)
MATLAB: phone
