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1Series de Fourier

"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",Genaro Gonzalez12

La primera serie de Fourier de la historiaEuler 1744 escribe en una carta a un amigo:Es cierto?

Observemos que en t = 0 hay problemas /2 = 0

La clave est en el concepto de funcin peridica.23Funciones PeridicasUna funcin peridica f(t) cumple que para todo valor de t:f(t) = f(t + T).Al valor mnimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la funcin.Observa que:f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1, 2, 3,...

Cuestin: Es f(t) = cte. una funcin peridica?34Ejemplo: Cul es el perodo de la funcin

Si f(t) es peridica se debe cumplir:

Como cos(t + 2kp) = cos(t) para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que:T/3 = 2k1p y T/4 = 2k2p.Es decir:T = 6k1p = 8k2pcon k1 y k2 enteros.El valor mnimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24p.

45 Grfica de la funcin050100150200-3-2-10123f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)tf(t)24p T

56Es la suma de dos funciones peridicas una funcin peridica?Depende. Consideremos la funcin:

f(t) = cos(w1t) + cos(w2t).

Para que sea peridica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que: w1T = 2p m y w2T = 2p n.Es decir, que cumplan:

T = m/w1 = n/w2

67Ejemplo: para la funcin cos(3t) + cos((p+3)t) tenemos que

Es peridica?

051015202530-2-1012f(t)=cos(3t)+cos((3+)t)tf(t)78Para que exista perioricidad w1/ w2 debe ser un nmero racional (n/m).

Ejercicios: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son peridicas:

f(t) = sen(nt), donde n es un entero.f(t) = sen2(2pt)f(t) = sen(t) + sen(t + p/2)f(t) = sen(w1t) + cos(w2t)f(t) = sen(2 t)89Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2, es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo T < min(T1,T2)?

T1 = 5T2 = 5T = 2,5910Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeo como queramos. Sea N un entero, y definamos:

extendida peridicamente con T = 1:

extendida peridicamente con T = 1:

1011Puede una funcin f(t) cumplir la condicin f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?

1112

1213

T = ?1314

Cmo lo alcanz?Volvamos al resultado de Euler:

Integrando trmino a trmino:Utilizando la frmula de Euler para cada trmino:Particularizamos t para encontrar C:1415Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)

1516(1) La funcin de Euler es peridica de periodo T = 2.(2) La serie es una funcin impar.No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.

(3) En el intervalo 0 < t < 2, la serie aproxima a (-t)/2.Pero no fuera del intervalo...

(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.(5) La aproximacin no es buena en "los extremos"...Ninguna de estas dos ltimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...1617

1718

1819

1920Joseph FourierEn diciembre de 1807 Joseph Fourier present un sorprendente artculo a la Academia de Ciencias en Pars. En l afirmaba que cualquier funcin puede escribirse en forma de serie trigonomtrica semejante al ejemplo de Euler.

Polmica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo as era simplemente imposible...

Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-18302021

2122Fourier bas su trabajo en el estudio fsico de la ecuacin del calor o de difusin:Describe cmo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio.

Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlnticos, edad de la Tierra,...

2223Serie trigonomtrica de FourierAlgunas funciones peridicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonomtrica de Fourier f(t) = a0 + a1cos(w0t) + a2cos(2w0t) + ...+ b1sen(w0t) + b2sen(2w0t) + ...

Donde w0 = 2p/T se denomina frecuencia fundamental.

2324

a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ... b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...2425Cmo calcular los coeficientes de la serie?Dada una funcin peridica f(t), cmo se obtiene su serie de Fourier?

Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

2526OrtogonalidadSe dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:

2627Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo 1 < t < 1, ya que:

Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo p < t 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.:

Observemos que en general N depender de y del punto x (convergencia puntual).Si N solo depende de , pero no de x, decimos quela convergencia es uniforme.

Que la serie sea uniformemente convergente es "bueno" porque:7778(1) Si cada trmino un(x) de una serie es continuo en (a, b) y la serie es uniformemente convergente a f(x), entonces:

(a) f(x) es tambin continua en (a, b).

(b)

(2) Si cada trmino un(x) de una serie posee derivada en (a, b) y la serie derivada es uniformemente convergente, entonces:

7879Cmo probar la convergencia uniforme de una serie?

(1) Encontrar una expresin "cerrada" para Sk(x) y aplicar la definicin o

(2) utilizar la prueba M de Weierstrass:

Si existe {Mn}n = 1, 2,... tq. |un(x)| Mn y adems

7980

Ejemplo:8081Condiciones de DirichletCondiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias.

(1) f(x) tiene un nmero finito de discontinuidades en un periodo.

(2) f(x) tiene un nmero finito de mximos y mnimos en un periodo.

(3)

8182Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto de continuidad y a:

si x es un punto de discontinuidad.

8283

8384

8485

8586

8687

8788

8889

8990

9091

9192

9293

9394 Calcular la serie de Fourier en el intervalo (-p, p) de la siguiente funcin:

Tenemos que calcular los al y los bl de la siguiente serie:

como el intervalo es el (- p, p):

9495

n 1n 09596

n 1, 0

9697

9798

n 19899

99100 Comprobar que el nmero p puede escribirse en la forma siguiente:

Ayuda: utilizar el desarrollo de Fourier que habamos obtenido para la funcin de Heaviside:

100101 Si calculamos la norma al cuadrado del vector h(x), es decir, el producto de escalar de esa funcin por s misma:

Pero la norma al cuadrado del vector h(x), la podramos calculartambin del siguiente modo:

101102

Como tenamos de antes que:

102103Fenmeno de GibbsSi la serie de Fourier para una funcin f(t) se trunca para lograr una aproximacin en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos ms armnicos, el sumatorio se aproximar ms a f(t).

Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armnicos.

Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada:

103104

104105

105106

106107

107108

108109Fenmeno de Gibbs

109110Fenmeno de Gibbs

110111

111Outline:Central Scientific Problem Artificial IntelligenceMachine Learning: DefinitionSpecificsRequirementsExisting Solutions and their limitationsMultiresolution Approximation: LimitationOur Approach. Results. Binarization. Plans.

112Forma compleja de la serie de FourierConsideremos la serie de Fourier para una funcin periodica f(t), con periodo T = 2p/w0.

Es posible obtener una forma alternativa usando las frmulas de Euler:

112113Sustituyendo:

Y usando el hecho de que 1/i = -i:

Y definiendo:

113114A la expresin obtenida

se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:

Para n = 0, 1, 2, 3, ...Demostrarlo.

Forma

un conjunto ortogonal?114115Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la funcin ya tratada:

Solucin 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonomtrica (an y bn), que eran an= 0 para todo n y1f(t)t. . . -T/2 0 T/2 T . . .-1

115116Podemos calcular los coeficientes cn:

Entonces la serie compleja de Fourier queda:

116117Solucin 2. Tambin podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral:

117118Como w0T = 2p y adems:

que coincide con el resultado ya obtenido.

118119

Calcular la serie de Fourier de la funcin de Heaviside:

l 0119120

0-ip0x

j impar

j impar

j impar

j impar120121 Calcular la serie de Fourier de la funcin g(x)=|x| en la base ortogonal {exp(inpx)/2p} definida en el intervalo (-1,1).

121122

l 0

122123

123124Si queremos pasar a la base de senos y cosenos:

124125 Calcular la parte real de la serie de Fourier de la funcing(x)= exp[(2+i)x] definida en el intervalo (-p,p).

125126

126127

127128Sea la siguiente funcin, f(x):

a) Calcular la serie de Fourier de esta funcin en el intervalo (0,2) tanto en funcin de exponenciales complejas como de senos y cosenos. b)Representar la funcin correspondiente a la serie en el intervalo (-2,6).

128129

l 0

129130

j imparj0

j impar

j impar130131

131132

132133

133134La funcin impulso o delta de DiracPodemos pensar en la delta de Dirac como el lmite de una serie de funciones:

tf1(t)f2(t)f3(t)d(t)td(t)

134135Propiedades de la funcin d

td(t)135136Calcular la serie de Fourier de d(x):

136137

137138

138139

139140

140141

141142

142143

143144

144145

145146

146147

Calcular la serie de Fourier de D(x):

147148Los coeficientes cn son nmeros complejos, y tambin se pueden escribir en forma polar:

Observemos que,

Donde ,para todo n 0.

Y para n = 0, c0 es un nmero real:

148149Espectros de frecuencia discretaDada una funcin peridica f(t), le corresponde una y slo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto nico de coeficientes cn.

Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la funcin en el dominio del tiempo.149150Espectros de frecuencia discretaEjemplo. Para la funcin ya analizada:

Encontramos que:

Por lo tanto:1f(t)t. . . -T/2 0 T/2 T . . .-1

150151A la grfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular w de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t).

A la grfica del ngulo de fase fn de los coeficientes cn contra w, se le llama el espectro de fase de f(t).

Como n slo toma valores enteros, la frecuencia angular w = nw0 es una variable discreta y los espectros mencionados son grficas discretas.151152El espectro de amplitud se muestra a continuacin

Observacin: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n = nmero de armnico = mltiplo de w0).-30-20-10010203000.10.20.30.40.50.60.7Espectro de Amplitud de f(t)nCn Frecuencia negativa (?)Frecuencia152153El espectro de magnitud de una f(t) real, es una funcin PAR por lo que la grfica para n 0 contiene toda la informacin acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de magnitud.El espectro de fase de una f(t) real, es una funcin IMPAR por lo que la grfica para n 0 contiene toda la informacin acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de fase.153154Podemos expresar de una manera ligeramente diferente la serie de Fourier. Cada par de trminos:ancos(nw0t) + bnsen(nw0t)

se pueden expresar como:

Donde lo nico que hemos hecho es multiplicar y dividir por:

154155Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en funcin del coseno:

anbn

qn

155156Si adems definimos C0 = a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como:

Con:

Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y qn, de manera que la serie de Fourier pueda escribirse como:

156157Componentes y armnicosHemos visto que, bajo ciertas condiciones, una funcin f(t) puede escribirse como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias: wn = nw0.

A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: cn cos(nw0t + qn) se le llama el ensimo armnico de f(t).

Al primer armnico (n = 1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t).

A la frecuencia w0= 2p f0 = 2p / T se le llama frecuencia angular fundamental.157158Ejemplo: La funcin Como vimos, tiene un periodo T = 24p, por lo tanto su frecuencia fundamental es w0 = 2p/T = 1/12 rad/s.O como w0= 2pf0, f0 = 1/T = 1/ 24p Hz. Su componente fundamental (n = 1) ser: c0 cos(w0t + q0) = 0 cos(t/12).

Tercer armnico:cos(3t/12) = cos(t/4)Cuarto armnico:cos(4t/12) = cos(t/3)

050100150200-3-2-10123f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)tf(t)24p

158159Componentes y armnicos (y 2)A la componente de frecuencia cero c0, se le llama componente de corriente directa (cd) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo.

Los coeficientes cn y los ngulos qn son respectivamente las amplitudes y los ngulos de fase de los armnicos.159160Ejemplo: Como puede verse, la funcin anterior tiene tantas "reas positivas como negativas", por lo tanto su componente de cd es cero, en cambio

050100150200-3-2-10123f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)tf(t)24p

Tiene tantas "reasarriba como abajo" de 1 por lo tanto, su componente de cd es 1.

160161Diferenciacin de seales peridicas:

161162

162163510-5-1020T0 = 10f(t)tf(t) = 4t - 20510-5-104T0 = 10 f '(t)t-4Observa que al derivar la serie se pierde la informacin acerca de la componente continua de f''(t)163164

164165510-5-1020T0 = 10f(t)tf(t) = 4t - 20510-5-104T0 = 10 f '(t)t-4510-5-108T0 = 10f ''(t)t-8165166

166167Potencia y Teorema de ParsevalEl promedio o valor medio de una seal cualquiera f(t) en un periodo dado T se puede calcular como la altura de un rectngulo que tenga la misma rea que el rea bajo la curva de f(t)1f(t)th = Alturapromedio

TArea = T h167168De acuerdo a lo anterior, si la funcin peridica f(t) representa una seal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo est dada por:

Si f(t) es peridica, tambin lo ser [f(t)]2 y el promedio en un periodo ser el promedio en cualquier otro periodo.

168169El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes complejos cn de Fourier de la funcin peridica f(t):

O bien, en trminos de los coeficientes an, bn:

169170Teorema o identidad de Parseval

170171Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado:

El valor cuadrtico medio de una funcin peridica f(t) es igual a la suma de los valores cuadrticos medios de sus armnicos, es decir:

Donde Cn es la amplitud del armnico n-simo y C0 es la componente de directa.

171172Para aclarar el resultado anterior es conveniente encontrar la relacin entre los coeficientes complejos cn de la serie

Y los coeficientes reales Cn de la serie

Donde Cn es la amplitud del armnico n-simo y C0 es la componente de directa.

172173Por un lado

Mientras que

Entonces, Por lo tanto,

Adems, para el armnico Su valor rms es , por lo tanto su valor cuadrtico medio es

Para la componente de directa C0, su valor rms es C0, por lo tanto su valor cuadrtico medio ser C02.

173174Ejemplo. Calcular el valor cuadrtico medio de la funcin f(t):

Solucin. Del teorema de Parseval

y del ejemplo anterior

sustituyendo1f(t)t. . . -T/2 0 T/2 T . . .-1

174175La serie numrica obtenida converge a

Por lo tanto,

Como era de esperar.

175176Identifying a telephone numberhttp://math.arizona.edu/~rims/workshops/softwareMATLAB/

(whos spying on you?)

MATLAB: phone176

f(t)

t

f(t)

t