Series de Fourier

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 PROBLEMAS RESUELTOS DE SERIES DE FOURIER Ejemplo 1. Halle la representación en serie trigonométrica de Fourier para la siguiente señal ( ) e , 0 1 t  f t t = , mostrada en la figura. SOLUCION. La señal es ( ) e , 0 1 t  f t t = , y para este ejemplo: 0 0 1 y 2 T  ω π  = = . Primero calcularemos los coeficientes a n , de la fórmula tenemos que: ( ) 0 0 0 2 cos t T n t a f t n t dt  T ω + =  Entonces: 1 0 2 e cos 2 t n a n t dt  π  =  Por tablas de integrales: ( ) 2 2 e e cos cos sen au au bu du a bu b bu a b = + +  Realizando las sustituciones: 1 y 2 a b n π  = = , se tendrá que: ( ) 1 2 2 0 2 e cos 2 2 sen 2 1 4 t n a n t n n t  n π π π  π  = + +  

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Series de Fourier

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  • PROBLEMAS RESUELTOS DE SERIES DE FOURIER Ejemplo 1. Halle la representacin en serie trigonomtrica de Fourier para la siguiente seal ( ) e , 0 1tf t t= , mostrada en la figura.

    SOLUCION. La seal es ( ) e , 0 1tf t t= , y para este ejemplo: 0 01 y 2T = = . Primero calcularemos los coeficientes an, de la frmula tenemos que:

    ( )0 00

    2 cost T

    nt

    a f t n t dtT

    +

    =

    Entonces: 1

    0

    2 e cos 2tna n t dt=

    Por tablas de integrales: ( )2 2ee cos cos senau

    au bu du a bu b bua b

    = ++ Realizando las sustituciones: 1 y 2a b n= = , se tendr que:

    ( ) 12 2 02e cos 2 2 sen 21 4t

    na n t n n tn

    = ++

  • Evaluando lmites:

    12 2

    2 e cos 21 4n

    a nn

    = +

    12 sen 2n n = +( )0 0e cos(0)= 1 2 sen(0)n= +( )0=

    De tal forma que: ( )12 22 1 e .1 4na nn = + Ahora calcularemos el coeficiente independiente a0. A partir de la frmula:

    ( )00

    0

    11 1 0

    0 00

    1

    e e e e

    t T

    t

    t t

    a f t dtT

    a dt

    +

    =

    = = = +

    10 1 e 1.264a = Concluimos calculando los coeficientes bn:

    ( )0 00

    2 sent T

    nt

    b f t n t dtT

    +

    = Por tablas de integrales: ( )2 2ee sen sen cos

    auau bu du a bu b bu

    a b= +

    Sustituyendo 1 y 2a b n= = , se tendr entonces: ( ) 12 2 02e sen 2 2 cos 21 4

    t

    nb n t n n tn

    = +

    12 2

    2 e sen 21 4n

    b nn

    = +

    02 cos 2n n = ( )1 0e sen(0)= 0 2 cos(0)n= ( )1=

    12 22 2 e 2

    1 4nb n n

    n

    = + +

    ( )12 24 1 e .1 4n nb nn = +

  • Finalmente, la representacin en serie trigonomtrica de Fourier para la seal ( )f t ser:

    ( ) ( ) ( )1 12 2 2 21

    2 41.264 1 e cos 2 1 e sen 21 4 1 4n

    nf t n t n tn n

    =

    + + + +

  • Ejemplo 2. Halle la representacin en serie trigonomtrica de Fourier para la siguiente seal ( ) 2 , 0 1f t t t= , mostrada en la figura.

    SOLUCION. La seal es ( ) 2 , 0 1f t t t= , y para este ejemplo: 0 01 y 2T = = . Primero calcularemos los coeficientes an. De la frmula tenemos que:

    ( )0 00

    2 cost T

    nt

    a f t n t dtT

    +

    =

    1

    2

    0

    2 cos 2na t n t dt=

    Utilizando integracin por partes:

    2 21cos 2 sen 2

    2

    u t du t dt

    dv n t dt v n tn

    = == =

    1 1

    2

    0 0

    1 22 sen 2 sen 22 2n

    a t n t t n t dtn n

    =

    1 1 1

    2

    0 0 0

    1 2 1 1sen 2 cos 2 cos 22 2n

    a t n t t n t n t dtn n n n

    = +

    1 1 1

    22 2

    0 0 0

    1 2 1 1sen 2 cos 2 sen 22 4n

    a t n t t n t n tn n n n

    = +

    1 1 1

    22 2 3 3

    0 0 0

    1 1 1sen 2 cos 2 sen 22n

    a t n t t n t n tn n n

    = +

  • ( )21 1 sen 2na nn = ( )0

    2 2

    10 1 cos 2nn

    = +

    1

    3 3

    0

    1 sen 22

    nn

    =

    ( )0 sen 0= 0=

    2 21 0.na nn = Calculando el coeficiente 0a :

    ( )000

    1 t T

    t

    a f t dtT

    +=

    ( )1 12 30 00

    1 1 1 03 3

    a t dt t= = =

    0 13a =

    Calculando el coeficiente bn: ( )0 00

    2 sent T

    nt

    b f t n t dtT

    +

    =

    1

    2

    0

    2 sen 2nb t n t dt= Aplicando integracin por partes:

    2 21sen 2 cos 2

    2

    u t du t dt

    dv n t dt v n tn

    = == =

    1 1

    2

    0 0

    1 12 cos 2 2 cos 22 2n

    b t n t t n t dtn n

    = +

  • 1 1

    2

    0 0

    1 2cos 2 cos 2nb t n t t n t dtn n = +

    Volviendo aplicar integracin por partes:

    1cos 2 sen 22

    u t du t dt

    dv n t dt v n tn

    = == =

    Realizando las operaciones correspondientes:

    1 1 1

    2

    0 0 0

    1 2 1 1cos 2 sen 2 sen 22 2n

    b t n t t n t n t dtn n n n

    = +

    1 1 1

    2

    0 0 0

    1 2 1 1 1cos 2 sen 2 cos 22 2 2n

    b t n t t n t n tn n n n n

    = + +

    1 1 1

    22 2 3 3

    0 0 0

    1 1 1cos 2 sen 2 cos 22n

    b t n t t n t n tn n n

    = + +

    1 cos 2nb nn=

    1

    2 2

    10 sen 2nn

    = +

    0

    3 3

    0

    1 cos 22

    nn

    = + ( )1 cos 0= 1=

    1 .nb nn= Finalmente, la serie de Fourier para la seal ( )f t es:

    ( ) 2 21

    1 1 1cos 2 sen 23 n

    f t n t n tn n

    =

    = +

  • Ejemplo 3. Halle la representacin en serie trigonomtrica de Fourier para la siguiente seal, mostrada en la figura. Suponga que el intervalo de repeticin para la serie ser de a +.

    SOLUCION.

    La seal ( )f t se definir como: ( ) 2 2cos ,0 ,

    A t tf t

    otro caso

    =

    Para la serie de Fourier tendremos que: 0 02 y 1T = = . Dado que la seal ( )f t tiene simetra par, entonces los coeficientes 0nb = . Para este caso, solo consideraremos el clculo de los coeficientes an.

    Por definicin: ( )0 00

    2 cost T

    nt

    a f t n t dtT

    +

    =

    Sustituyendo: 2 2

    2 2

    2 cos cos cos cos2n

    Aa A t nt dt t nt dt

    + +

    = =

    Resolviendo la integral por tablas: ( )( )( )( )

    sen sencos cos

    2 2a b u a b u

    au bu dua b a b += + +

    Sustituyendo 1 y a b n= = , en la integral:

    ( )( )( )( )

    2 2

    2 2

    sen 1 sen 12 1 2 1n

    n t n tAan n

    + +

    + = + +

  • Evaluando los lmites:

    ( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )

    ( )2 2 2 2sen 1 sen 1 sen 1 sen 1

    2 1 2 1nn n n nAa

    n n

    + + = + +

    ( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )

    ( )2 2 2 2sen 1 sen 1 sen 1 sen 1

    2 1 2 1nn n n nAa

    n n

    + + + += + +

    ( )( ) ( )( )2 2sen 1 sen 11 1nn nAan n

    += + +

    Por identidades trigonomtricas:

    ( )sen 1 sen sen2 2 2 2

    nn = = 1

    cos cos2 2n =

    0

    sen cos2 2n n = =

    Entonces: 2 2cos cos 1 1cos1 1 2 1 1

    n n

    nA A na

    n n n n

    = + = + + +

    ( )( )1 1cos

    2 1 1nA n n na

    n n

    + + = +

    ( )22 cos 1.

    21nA na nn

    =

    De la expresin anterior obtenida para los coeficientes an, se establece que esta expresin es vlida para toda n excepto para 1n = , dado que para ese valor se produce una indeterminacin.

    Se procede a obtener dicho valor a1, el cual puede obtenerse sustituyendo el valor particular de n, para este caso 1n = , en la expresin general de los coeficientes an, antes de proceder al clculo integral, tal como se muestra a continuacin:

    Formula general: ( )0 00

    2 cost T

    nt

    a f t n t dtT

    +

    = Para el caso 1n = :

    2

    2

    21 cosAa t dt

    +

    =

  • Por identidad trigonomtrica: ( )2 1cos 1 cos 22

    t t= +

    Entonces: ( )2 2 22 2 2

    11 1 cos 2 cos 22 2

    A Aa t dt dt t dt

    + + +

    = + = + ( )22

    2 2

    11 2 sen 22

    Aa t t

    ++

    = +

    Evaluando lmites: 11 sen

    2 2 2 2Aa

    = + + 0

    sen= +( )0=

    1 2Aa =

    Si recordamos el concepto de clculo diferencial sobre la regla de LHopital, sta se

    utiliza para encontrar el lmite de una funcin en un punto, cuando en ese punto la funcin presentara una indeterminacin. Si aplicamos esta regla a la expresin obtenida para los coeficientes an, tendremos lo siguiente:

    Expresin general: ( )22 cos

    21nA nan

    =

    Aplicando regla LHopital: ( )( )

    ( )1 11 1 2 11

    2 cos 2 sen2 2 2

    lim21

    n nn

    nn

    n

    d n nA Adx

    a ad nndx

    = =

    ==

    = = =

    Evaluando: 1sen

    2A

    a

    =

    1

    2 2A

    =

    = De lo anterior, se deduce que a consideracin del estudiante, tiene 2 opciones para encontrar el valor particular de aquel coeficiente an (y de igual manera para cualquier coeficiente bn) donde 0n , produzca una indeterminacin en la expresin general.

    Ahora, solo basta hallar el coeficiente independiente a0. Segn la frmula:

    ( )000

    1 t T

    t

    a f t dtT

    +=

  • ( )2 222

    0 21 cos sen sen

    2 2 2A Aa A t dt t

    + +

    = = = ( )1 2sen = 1=

    0 Aa =

    Luego entonces, la serie de Fourier para esta seal ser:

    ( ) ( )222cos cos cos

    2 21nA A A nf t t nt

    n

    == + +

  • PROBLEMAS PROPUESTOS DE SERIES DE FOURIER Encuentre las representaciones en serie trigonomtrica de Fourier para las seales mostradas a continuacin.

    10

    -10

    2-2

    f(t)

    t

    4

    -4

    1-1

    g(t)

    t

    5

    0.1-0.1

    y(t)

    t

    ......

    0.2-0.2

    1

    h(t)

    t

    ......

    Funcingeneratriz:cos(at)

    4

    4

    2

    2

    Problema1.

    i) Desarrollar en serie de Fourier la funcin peridica de perodo 2 .Representargracamente

    f(x) =

    0 si x 0x si 0 x

    Problema2

    i) Desarrollar en serie de Fourier la funcin peridica de perodo 2, denidapor:

    f(x) = x2; x

  • Problema 3

    Sea f(x) = x(sinx); si < x < ; entonces:

    i) Determine la serie de esta funcin.

    Problema4

    i) Para f(x) = e[x], 0 x 2 obtener su serie de Fourier en cosenos, peridicade perodo 4.

    Problema5

    Sea f la funcin pulso rectangular unitario de perodo 2 denida

    por f (x) =

    12 si < x < 0 si 1 x < < x 1 a) Representar graca-

    mente f (x)a)ObtenerlaseriedeFourierde f (x) .

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