Direction of B

La ley de Biot-SavartEl vector dB es perpendicular tanto a dl (que es un vector que tiene unidades de longitud y está en la dirección de la corriente) como del vector unitario dirigido del elemento a PLa magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la longitud dl del elemento.

r)

∫×

=2

ˆ4 r

rldIB o

rr

πµLa magnitud de dB es inversamente

proporcional a r2, donde r es la distancia del elemento a P.

2

ˆ4 r

rlIdBd o ×=

rr

πµ

La ley de Biot-Savart

r

dx

θ

a

x

µ0 = 4π x 10-7 T m/A. permeabilidad del espacio libre

( )θdxsenkrld))r

=×

24 rdxsenIBd o θ

πµ

=r

θθ

θθ

θθ

dadx

actgxxa

asen

ar

2csc

tan

csc

=

=⇒=

==

∫=2

1

24

θ

θ

θπ

µr

dxsenIB or

∫=2

1

24

θ

θ

θπ

µr

dxsenIB or

∫=2

1

22

2

csccsc

4

θ

θ θθθθ

πµ

adsenaIB o

r

∫=2

14

θ

θ

θθπ

µ dsenaIB o

r

( )21 coscos4

θθπ

µ−=

aIB o

rAlambre recto finito

πθθ == 21 y 0Alambre recto infinito

( ) ( )[ ]114

cos0cos4

−−=−=aI

aIB oo

πµπ

πµr

aIB o

πµ2

=r

Campo magnético debido a un alambre recto

B =

El valor de la constante µ0, llamada la permeabilidad del espacio libre , es µ0 = 4π x 10-7 T m/A.

µ02π

I r

Distancia perpendicular del alambre al punto en el cual B debe ser determinado.

Corriente en alambre

( ) 2/322

2

2 axIaB o

+=

µ

2

ˆ4 r

rlIdBd o ×=

rr

πµ

rrrr

) =34 r

rlIdBd orr

r ×=

πµ

La ley de Biot-Savart

∫×

= 34 rrldIB orr

r

πµ

Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular

Las componentes en y de B se anulan y en x se suman

∫×

= 3

cos

4 r

rldIB oP

θ

πµ

rrr

( )∫∫ =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 33 44 radaI

rrardl

IB ooP

φπ

µπ

µr

( ) ( ) ∫∫+

=+

=ππ

φπ

µφπ

µ 2

02322

22

0 2322

2

44d

ax

Ia

ax

daIB ooP

r

Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular

( ) 2/322

2

2 axIaB o

+=

µ

aIB o

2µ

=En el centro del lazo (x = 0):

En puntos muy lejanos

(x >> a):

32 xB o µ

πµ

=

( )

2

2

aI

aIIA

πµ

πµ

=

==

3

2

2xIaB oµ

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

23

2

2 axaB o

πµµ

d

Fuerza Entre Dos Alambres

Fuerza Entre Dos Alambres

I2I1

d

Fuerza Entre Dos Alambres

I2I1

Fuerza magnética entre dos conductores paralelos

Dos alambres que conducen corriente ejercen fuerzas magnéticas entre sí.

La dirección de la fuerza depende de la dirección de la corriente.

121 LBIF = dIB

πµ2

101 =

dLIIF

πµ

2210

1 =

212 LBIF = dIB

πµ2

202 =

dLIIF

πµ

2210

2 =

Corrientes en la misma dirección fuerza atractiva.

Corrientes en dirección opuesta fuerza repulsiva.

Ley de Ampere

B dl = µ0Iencl•∫Cualquier trayectoria cerrada .

La corriente neta a través de la superficie encerrada por esta trayectoria cerrada.

El caso general:

Ley de AmpèreLa integral de línea de B·dl alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a µ0I, donde I es la corriente estable total que pasa a través de cualquier superficie delimitada por la trayectoria cerrada.

IldB 0µ=•∫rr

BldlBBdlldB ===• ∫∫∫rr

IaaIldB 0

0 22

µππ

µ==•∫

rr

El signo viene de la dirección del lazo y regla de la mano derecha

Ley de Ampere

Ιl 0µ=•∫rr

dB

B

I

IΙl 02µ=•∫

rrdB

B

I

I

0=•∫ lrr

dB

B

I

I

El signo viene de la dirección del lazo y regla de la mano derecha

Ley de Ampere

Ιl 02µ=•∫rr

dB

B

I

I

Ιl 02µ−=•∫rr

dB

B

I

I

Ιl 02µ−=•∫rr

dB

Un conductor largo, cilíndrico es sólido en todas partes y tiene un radio R . El flujo de las cargas eléctricas es paralelo a al eje del cilindro y pasa uniformemente a través de la sección transversal entera. El arreglo es, en efecto, un tubo sólido de la corriente I0. Utilizar la ley de ampere para demostrar que el campo magnético dentro del conductor a una distancia r del eje es

rRIB

20

2πµ

=

I1

I

IldB 0µ=•∫rr

21

2 rI

RIJ

ππ== I

RrI

2

2

1 =

10IdlB µ=∫( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= I

RrrB

2

2

02 µπ IRrB

20

2πµ

=

Fuera del toroide (r<R):

00 ==∫ ⋅ IsdB µrr

0=BDentro del toroide:

BsdsBBdssdB =∫=∫=∫ ⋅ rr

NIrB 02 µπ =r

NIBπ

µ20=

Fuera del toroide (r>R):

00 ==∫ ⋅ IsdB µrr

0=B

Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide.

BxdlBBdlldB BCBC ===• ∫∫∫rr

NIBx 0µ=

xNIB 0µ

=

nIB 0µ=

Resumen2

0 ˆ4 r

rdsB ×⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= Id

πµ

Ley de Biot-Savart

aIB

πµ2

0=conductor recto infinito

RIB

20µ

=Centro de espira circular

RNIB

20µ

=Centro de N espiras circulares

aII

lF

πµ2

210=•Fuerza entre dos alambres

Otros ejemplos de campo magnético

• Interior de alambre recto

• centro de un solenoide toroidal con N vueltas

• Interior del solenoide n vueltas por unidad de longitud

• Ley de Ampere

rRIB

20

2πµ

=

RNIB

πµ2

0=

nIB 0µ=

IldB 0µ=•∫rr