Σεισμική μετακίνηση τοίχων βαρύτητας με κεκλιμένη ενδοεπιφόνεια που aντιστηρίζουν ξηρή όμμο.

Seismic displacement of graνity walls, with inclined interface, that retain dry sand.

ΗΑΜΑΤΟΠΟΥΛΟΣ, Κ.Α. Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Σταματόπουλος και Συνεργάτες Ε.Π . Ε. ΒΕΛΓΑΚΗ Ε. Γ . Πολιτικός Μηχανικός, Σταματόπουλος και Συνεργάτες Ε.Π . Ε.

ΠΕΡιΛΗΨΗ : Μελετάται η συμπεριφορά τοίχων βαρύτητας που aντιστηρίζουν ξηρή άμμο σε οριζόντιο σεισμό. Οι κλίσεις του τοίχου, της επιφάνειας τοίχου-εδάφους και του εδάφους μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε τιμή. Η αύξηση της σεισμικής δύναμης προκαλεί το σχηματισμό ενεργούς σφήνας στο έδαφος και ακολούθως τη μετακίνηση του τοίχου . Ο τοίχος και η εδαφική σφήνα λαμβάνονται ως ένα σύστημα δύο ολισθαινόντων σωμάτων που βρίσκονται διαρκώς σε επαφή. Δίδεται καταρχήν η εξίσωση κίνησης του συστήματος και ακολούθως διαμορφώνονται κλειστές εκφράσεις για την κρίσιμη επιτάχυνσή του και για τη γωνία ολίσθησης της εδαφικής σφήνας Κατόπιν υπολογίζεται η σεισμική μετακίνηση του τοίχου. Οι προβλέψεις συγκρίνονται με τις προβλέψεις μεθόδων που αναφέρονται στη βιβλιογραφία.

ABSTRACT: The seίsmic response of graνity walls retaining dry sand is studied. The inclination of the wall, of the soil-wall boundary and of the backfill soil can νary. As earthquake loading increases, the backfill behind the wall reaches an actiνe state, and with further increase in the acceleration, the wall slides outwards. The soil-wall system is modeled as two bodies that are always in contact: (a) the actiνe soίl wedge, and (b) the wall. The paper first giνes the equation of motίon of the 2-block sliding system descιibed aboνe. Then, using the principle of limit equilibriυm it giνes analytical expressions giνing (a) the angle of the ρrism of the actiνe soil wedge, and (b) the corresponding νalue of the critical acceleration. Finally the seismic displacement is predicted and compared with predictions of commonly υsed methods.

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Όπως έχει μετρηθεί σε δοκιμές δονητικής τράπεζας, η αύξηση της επιβαλλόμενης σεισμικής επιτάχυνσης σε τοίχους βαρύτητας

που aντιστηρίζουν ξηρή άμμο, δημιουργεί αυξανόμενη διατμητική τάση στην αντιστηριζό μενη εδαφική μάζα, μέχρις ότου σχηματιστεί μία ενεργή σφήνα εδάφους πίσω από τον τοίχο. Η περαιτέρω αύξηση της σεισμικής οριζόντιας επιτάχυνσης, επιφέρει μετάθεση του τοίχου και της εδαφικής σφήνας. Η μετακίνηση συσσωρεύεται κατά τις χρονικές στιγμές όπου η σεισμική επιτάχυνση ξεπερνάει την τι μή της "κρίσιμης επιτάχυνσης", που ορίζεται ως η οριζόντια επιτάχυνση που πρέπει να ασκηθεί για την έναρξη της κίνησης.

Η μέχρι σήμερα μελέτη της παραπάνω συμπεριφοράς τοίχων βαρύτητας υπό σεισμικά φορτία στηρίζεται κυρίως πάνω στη λύση που

πρότειναν οι Richards and Elms (1979)· υπολογίζεται καταρχήν η ώθηση που ασκείται στον τοίχο σύμφωνα τον τύπο των Mononobe­Okabe, (Μ-0), (1926 και 1929) και ακολούθως εξάγεται, με επαναληmική διαδικασία, η

κρίσιμη επιτάχυνση του τοίχου . Η οριζόντια μετάθεση του τοίχου υπολογίζεται από την

υπολογισθείσα κρίσιμη επιτάχυνση με το

μοντέλο "σώματος-σε-κεκλιμένο-επίπεδο" του Newmark (1965). Πρέπει να σημειωθεί ότι οι Μ-0, για τον υπολογισμό της ώθησης, λαμβάνουν υπόψη μόνο τις δυνάμεις που ασκούνται στο έδαφος. Κάτι τέτοιο όμως δεν αντιπροσωπεύει αυτό που πραγματικό συμβαίνει κατά την κίνηση του συστήματας "τοίχος-έδαφος" , αφού η δύναμη που αναπτύσσεται στην μεταξύ τους επιφάνεια

(ώθηση) εξαρτάται επιπλέον και από τις δυνάμεις που ασκούνται στον τοίχο . Επίσης το

117

σύστημα "τοίχος-έδαφος" κινείται διαφορετικά από το μοντέλο του Newmark.

Στο παρόν άρθρο ο τοίχος και η εδαφική σφήνα άμμου λαμβάνονται ως ένα σύστημα δύο ολισθαινόντων σωμάτων που βρίσκονται διαρκώς σε επαφή.

Καταρχήν δίδεται η εξίσωση κίνησης του συστήματος "τοίχος-έδαφος". Κατόπιν δίνονται

αναλυτικές εκφράσεις για τη γωνία aστοχίας του εδαφικού πρίσματος και την αντίστοιχη ελάχιστη τιμή της κρίσιμης επιτάχυνσης με τη μέθοδο της οριακής ισορροπίας. Τέλος υπολογίζεται η σεισμική μετακίνηση του τοίχου και προσδιορίζονται και σχολιάζονται οι

διαφορές της παρούσας μεθοδου, με άλλες μεθόδους που αναφέρονται στη βιβλιογραφία.

Η παρούσα εργασία αποτελεί συνέχεια προηγούμενης των Βελγάκη και Σταματόπουλου (2001). Στο παρόν άρθρο η γεωμετρία του τοίχου γενικεύετα ι , ώστε η ανάλυση να συμπεριλάβει και την τυχαία κλίση

της κοινής επιφάνειας τοίχου-εδάφους.

2. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΠΗΜΑΤΟΣ

2.1 Γεωμετρία

Όπως φαίνεται στο Σχήμα 1, ο τοίχος και η εδαφική σφήνα προσομοιάζονται με ένα σύστημα δύο σωμάτων: ο τοίχος (σώμα 1) με μάζα m, και η ενεργός εδαφική σφήνα ( σώμα

2) με μάζα m2 • Τα κύρια γεωμετρικά

χαρακτηριστικά του συστήματος είνα ι οι κλίσεις των επιφανειών ολίσθησης του κάθε σώματος

α, και αα2 , η κλίση της επιφάνειας επαφής

τοίχου-εδάφους, - δ , και η κλίση της εδαφικής

επιφάνειας, θ . τέλος, η συνολική μετάθεση του κάθε σώματος πάνω στην επιφάνεια ολίσθησής του ορίζεται ωςu,.

2.2 Εξίσωση κίνησης

Οι δυνάμεις που ασκούνται στο κάθε σώμα του συστήματος (Σχήμα 2) είναι: (α) το βάρος m,g, όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, (β)

η οριζόντια σεισμική δύναμη k{t) · m,. g, συναρτήσει του χρόνου t, (γ) η δύναμη από την άλλη μάζα σε επαφή Ρ., που δρα σε γωνία

φ3 ως προς την ενδοεπιφάνεια, (δ) η κάθετη

στην επιφάνεια ολίσθησης δύναμη Ν, και (ε) η

παράλληλη στην επιφάνεια ολίσθησης δύναμη

N, ·tanφ,.

118

Επιφανιια Ολlσθηοης

-.;;-Σχήμα 1. Γεωμετρία του συστήματος. Figure 1. Considered geometry.

Σχήμα 2. Οι ασκούμενες δυνάμεις. Figure 2. Applied forces for the system under consideration.

Από την ισορροπία των παραπάνω δυνάμεων εξάγεται η εξίσωση κίνησης κάθε σώματος χωριστά, ως:

.. 1 [ . { ) m,u, = --ιm,gsιn\α,- φ, + cosφ,

+k{t)m,gcos{a, - φ, )+ (1)

+ P,cos(φ, - δ - α, + φ, )]

όπου η τελεία δηλώνει παραγώγιση ως προς τον χρόνο και u, είναι αντίστοιχα η μετακίνηση

του σώματος ί . Δεχόμαστε επιπροσθέτως, ότι τα δύο

σώματα δεν χάνουν την επαφή τους σε καμία χρονική στιγμή της κίνησης, όρο οι ταχύτητες και οι μετακινήσεις τους έχουν ίσες προβολές κάθετα στην ενδοεπιφάνεια. Αυτή η υπόθεση μας παρέχει ένα κινηματικά αποδεκτό πεδίο ταχυτήτων το οποίο εκφράζεται μαθηματικά ως:

~-~- cοs(δ + α~) λ du

2 - u

2 - cos(δ + α,)

(3)

Η συνολική εξίσωση κίνησης του συστήματος των δύο σωμάτων παράγεται aπό τον συνδυασμό των εξισώσεων (1) έως (3), και γράφεται σε σχέση με τη μετακίνηση του 200

σώματος ως:

(4)

όπου:

και

Εναλλακτικά, συναρτήσει της μετακίνησης του 1ou σώματος, η εξίσωση (4) γράφεται:

ϋ, = z,. [k(t)- kk. ] · g (7)

όπου η μεταβλητή Ζ , ισούται με:

(8)

και ο συντελεστής λ έχει ήδη οριστεί στην εξίσωση (3).

Οι παραπάνω εκφράσεις γ ια την εξίσωση κίνησης του συστήματος είναι παρόμοιες με αυτές που προτείνουν σε πρόσφατη εργασία τους οι Sarma and Chlίmίtzas (2000).

Επιπλέον, η ώθηση Ρ, που ασκείται στον

τοίχο έχει την ακόλουθη έκφραση :

Ρ _ m,· m2 ·Ρ, •- Ρ g

2

(9)

όπου:

Ρ,= secφ2 • [k(t)cos(αα2 - φ2)+ sίn(αα2 - φ? )}- (1 Ο) λsecφ,. [k(t)cos(α,- φ,)+ sίn(α,- φ, )]

και

Ρ2 = m,λcos(φ3 - α,+ φ,- δ)secφ, +

+ m2 cos(φ3 - αα2 + φ2 - δ)secφ2 (11)

3.ΚΡΙ ΣΙΜΗ ΓΩΝΙΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΔΑΦΙΚΗΣ ΣΦΗΝΑΣ ΚΑΙ ΚΡΙΣΙΜΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΤΟΥ ΣΥΠΗΜΑΤΟΣ

3.1. Αναλυτική λύση

Στο σύστημα έδαφος-τοίχος όλες οι παραπάνω παράμετροι είναι γνωστές από τη

γεωμετρία του προβλήματος, εκτός από την

γωνία αα2 • Αυτή η γωνία, σύμφωνα με τη

θεωρία της οριακής ισορροπίας, αντιστοιχεί

στην κρίσιμη γωνία aστοχίας της εδαφικής

σφήνας, α, , η οποία είναι η τιμή της γωνίας

αα2 που δίνει την ελάχιστη τιμή του

συντελεστή kk. , που ορίζεται ως k. . Ο συντελεστής k. είναι ο συντελεστής κρίσιμης επιτάχυνσης του συστήματος, η δε κρίσιμη επιτάχυνση του συστήματος (ορίστηκε προηγουμένως) ισούται με g k..

Γραφικά, η γωνία α2 αντιστοιχεί στην τιμή

του αα2 όπου η σχέση του kk. συναρτήσει του

αα2 ελαχιστοποιείται (Caltabίano et al , 1999). Η αναλυτική λύση δίδεται παρακάτω.

Η εξίσωση (6) μπορεί , μετά από αρκετή επεξεργασία, να γραφτεί ως:

kk. = Α/Β (12)

όπου τα Α και Β δίνονται από τις εκφράσεις:

Α = m, · { tan(φ,- α,). (1 + tanφ2tanαa2 )-

( ) tanφ - tanδ } - tanφ2 - tanαα2 3 + 1 + tanφ3 · tanδ

+ m2 · (tanφ, - tanαα2) · (13)

(1 tanφ3 - tanδ ) 1 1 ) . - · an\φ - α 1+tanφ3 ·tanδ ' '

Β = m, · { (1 + tanφ2 tanαα, ) -

tanφ3- tanδ (tanφ2- tanaα,) }+ 1 + tanφ3 . tanδ

+ m2 • (1 + tanφ2 tanαα2 )· (14)

[1 t ( ) tanφ3 - tanδ ] . - an φ, - α ' 1 + tanφ, . tanδ

Η μάζα της ενεργού εδαφικής σφήνας είναι

συνάρτηση της άγνωστης γωνίας αα2 :

119

m = Ο. 5γΗ2 (tanαα2 tanδ -1Xtanδtanθ -1) (15) 2 g (tanαα2 - tanθ)

Στην παραπάνω σχέση, Η είναι το ύψος του τοίχου και θ είναι η κλίση της εδαφικής επιφάνειας .

Η αντικατάσταση των εξισώσεων (13) - (15) στη (12) δίνει :

Α, tan2(αα2)+ Α2 tan(αα2)+ Α, = Ο (16)

όπου οι συντελεστές Α, - Α, ενσωματώνουν

τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά και την αντοχή του συστήματος, αλλά και του συντελεστή

kk,:

Α , = [β + f + d (β f -1)](ε- kk, ) χ-- d[1-f ε+d(f +ε)] (17)

(dκ - 1)(1 +β kk, )

Α2 = [1- f ε+ d (t + ε)J1 + d (β- k, )+ β kk, ]

(-1+ dκ) - (ε-kk, )χ (18)

[- 1- d (β + f)+ f κ+ d (-1 + β t)κ + β(f + κ}]

Α,= [1 +εf + d(ε + t)Xdκ -1Xkk, - β) - κχ[-1- d{β + f)- βtΧε-kk,)

(19)

όπου οι αδιάστατες παράμετροι δίνονται από τις παρακάτω εκφράσεις:

β = tanφ2 , ε = tan(φ, - α,) κ = tanθ

d = tanδ, f = tanφ,, χ= 2m,2g

γΗ

(20)

Οι διπλές ρίζες του τριωνύμου της εξίσωσης (16) αντιστο ιχούν στην κρίσιμη γωνία

ολίσθησης α2 , η οποία δίνει τιμή του

συντελεστή kk, που αντιστοιχεί στο συντελεστή κρίσιμης επιτάχυνσης του υπό εξέταση

συστήματος, k,. Αυτό διασφαλίζεται μέσω του

μηδενισμού της διακρίνουσας:

Α~- 4Α1Α 3 = Ο

ή αλλιώς:

(21)

κ, . (k.} + Κ2 χ +κ, = ο (22)

όπου οι συντελεστές Κ, -κ, ισούνται με :

120

Κ, = (β + df[1- fε + d(f +ε )f(dκ -1f +

+ 2[1 - tε+ d(t +ε)Χdκ - 1) ~(1 + d2X1 + tκ)+ + d[-1- fκ + d(f + κ)] + 2f + (23)

+ β2 [f +κ+ d(- 1 + 2dκ- fκ) ]}χ+ + [1 + d(f - κ)+ fκ + β(d - f + κ + dfκ)f χ2

κ2 = -2(β + d)βd - 1χ1 - tε + d(t +ε)f(dκ - 1r­

- 2[1 - fε + d(f +ε)Χdκ - 1){1 +2fε- fκ +

+ d2 (fε - 2fκ + εκ)+β(1 + d2 Xt + ε - κ + fεκ)-- d(ε + κ + fεκ - f) + β2 [2 + ε(f +ι<)+ d2 (1 - fκ ~ 2εκ) - d{ε + Κ+ fεκ - f)] }χ - 2ε [1 + d(f -κ)+ fκ +

+ β(d - f +Κ+ dfκ)fx2

Κ, =(βd -1f [1 - fε + d(f +ε)f(dκ-1f-2ε[1 - fε + d(f +ε)Χdκ -1)

~ 1- df +Κ(d + f + 2d2f)+

(24)

+ β(1 + d2Χκ - t) + β2[- 2- d(d + t)+ dκ(1+ dt}]x}­

+ε2[1 + d(f -κ)+ fκ + β(d- f +Κ + dfκ)fχ2

(25)

Άρα,

k = - Κ2 +(Κ~ - 4K,K,f5

' 2Κ, (26)

Η επίλυση της παραπάνω εξίσωσης αποτελεί έναν τρόπο προσδιορισμού της τιμής της κρίσιμης επιτάχυνσης, αφού όλα τα άλλα μεγέθη που εμφανίζονται σε αυτήν, είναι δεδομένα του προβλήματος.

Αντικαθιστώντας την παραπάνω έκφραση στις (1 6)-(19), έχουμε την έκφραση που δίδει την κρίσιμη γωνία ολίσθησης:

(27)

όπου οι συντελεστές Α1 και Α2 δίδονται από τις σχέσεις (18) και (19) με αντικατάσταση των τιμών του kk, με την τιμή του k,

3.2. Σύγκριση με άλλες μεθόδους

Οι Mononobe-Okabe (Μ-0) υπολογίζουν την

ενεργητική ώθηση Ρ. στον τοίχο αντιστήριξης ως:

Ρ, = 0.5γΗ2 . κ.

όπου ο συντελεστής κ. δίδεται ως:

κ. 2 = cosψcos2 δcοs(φ, + ψ-δ).

όπου ψ = tan 1[k /(1 - k. )]

(28)

(29)

(30)

και (kg) και (k,g) είναι η οριζόντια και κατακόρυφη αντίστοιχα σεισμική επιτάχυνση που ασκείται στο αντιστηριζόμενο έδαφος.

Επιπλέον, ο Zarrabi-Kashani (1979) υπολογίζει την κρίσιμη γωνία α2 της εδαφικής σφήνας συναρτήσει του συντελεστή ψ ως:

a2 = φ 2 - ψ + tan ·'{[c , - tan(φ 2 -ψ-θ)]ΙC 2 } (31)

όπου:

(c,f = tan(φ2 - ψ - θ) · · [tan(φ2 - ψ - θ)+ cot(φ2 -ψ+ δ)] · (32)

· [1 + tan(φ3 - ψ - δ)· cot(φ2 - ψ + δ)]

C, = 1 + tan(φ3 - ψ-δ) ·

. [tan{φ2 - ψ - θ)+ cοt(φ2 -ψ+δ)] (33)

Τέλος, οι Richards and Elms (R-E) δίδουν την έκφραση της κρίσιμης επιτάχυνσης οριζόντιου τοίχου αντιστήριξης, εφαρμόζοντας ισορροπία δυνάμεων που ασκούνται σε αυτόν ως:

k< = t Ρ cos(φ3 -δ)+ sίn(φ3 - δ)tanφ, (34)

= anφ, - • m,g

όπου το Ρ • υπολογίζεται για k = k". Ο παραπάνω υπολογισμός απαιτεί διαδοχικές

επαναλήψεις, έως ότου οι τιμές του k. της (34) και του k που χρησιμοποιείται για τον

υπολογισμό του Ρ. (εξισώσεις (28)-(30)) συμπέσουν.

Η σύγκριση των παραπάνω σχέσεων με τη νέα μέθοδο έδειξε ότι μόνο όταν ισχύει η

ισότητα k(t) = k. (κατάσταση οριακής ισορροπίας) , (α) η εξίσωση (9) και η μέθοδος Μ-0 δίνουν τα ίδια αποτελέσματα για την τιμή της ενεργητικής ώθησης και (β) η σχέση (31 ) του Zarrabi-Kashani και η εξίσωση (27) δίνουν ίδιες τιμές για την κρίσιμη γωνία aστοχίας

Επίσης, η τιμή του kc όπως δίνεται στην (26) είναι ίδια με αυτήν που εξάγεται μετά από επαναλήψεις από τη σχέση (34) των R-E.

3.3. Παραμετρικές αναλύσεις

Με σκοπό να διερευνηθεί η ευαισθησία των αποτελεσμάτων σε αλλαγές της γεωμετρίας αλλό και της αντοχής του συστήματος τοίχος­έδαφος εξήχθησαν διαγράμματα συσχετισμού της κρίσιμης επιτάχυνσης k. και της κρίσιμης

γωνίας α2 (σχέσεις (26) και (27)) με τις

βασικές παραμέτρους του προβλήματος. Οι παραμετρικές αναλύσεις που έγιναν ουσιαστικά αποτελούν επέκταση των αντίστοιχων στη δημοσίευση Βελγάκη και Σταματόπουλος (2001). Αποτελέσματα αυτών των αναλύσεων δίνονται στα Σχήματα 3 και 4.

Παρατηρείται ότι οι γωνίες φ1 και φ2 και το βάρος του τοίχου χ επηρεάζουν σε μεγάλο

βαθμό την τιμή της κρίσιμης επιτάχυνσης: η

αύξησή τους προκαλεί την αύξηση του k •. Η αντοχή της ενδοεπιφόνειας δεν επηρεάζει

σημαντικά το k. , η δε κλίση του

αντιστηριζόμενου εδάφους αυξάνει την τιμή του. Πρέπει να τονιστεί επίσης , ότι υπάρχει μία μοναδική τιμή της γωνίας δ, η οποία ελαχιστοποιεί την κρίσιμη επιτάχυνση. Από το Σχήμα 4 μπορούμε να

συμπεράνουμε ότι η αύξηση του βάρους του τοίχου (αύξηση του χ) σαφώς οδηγεί σε μικρότερες γωνίες aστοχίας της εδαφικής σφήνας. Το ίδιο συμβαίνει και με την αύξηση

των γωνιών τριβής φ, και φ3, και της κλίσης θ. Τα παραπάνω δεν εξαρτώνται σημαντικά aπό το δ. Ιδιαίτερα δε, για συνήθεις τιμές του δ (-15<δ< 15), η γωνία α2 είναι περίπου σταθερή

συαρτήσει του δ. Άρα, μπορεί να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι η απόκλιση από την κατακόρυφο που ενδέχεται να παρουσιάζει η κοινή επιφάνεια τοίχου-εδάφους παίζει δευτερεύοντα ρόλο στην διαμόρφωση κρίσιμης επιφάνειας aστοχίας στην εδαφική σφήνα.

121

(α) k. .. .. .. .. ... ... ...

... ,z .η.tι•ιο - , :.n.t1•"

....t2•10.tΙ•SO -t2•10.t1•:t~

.-.,a.SS.tl•SO -tt•J5.t1•35

(β) k. .. r.====:====::=:::::=:=::=:::::::::=Ξ=.:=::::;----, .Ο.φ1•21. <tl•l'

(γ)

(δ)

122

.... J•JO. fιt•l! ..

.. ..

.. .. .....

... ... ... ... ·•

Ι<." .. .. .. ... ...

..

..

..

.. ..ι .. •

-I t•O" • • • ι ..,, ...... , ... .. ιι tt tt

δ(")

.. .. .. θ()

Σχήμα 3. Η κρίσιμη επιτόχuνση σε σχέση με (α) το χ, φ1 και φ2 (β) τον λόγο Ψ:lφz, (γ ) τη γωνία δ και (δ) (γ) τη γωνία θ. Fig.3 The critical acceleration plotted versus (a) χ, φ, and φ2 (b) the ratio φ;/φz (c) the angle δ and (d) the angle θ.

(β) .. n" r---;=::::::;::::;==:=:::==.=_=.=,,.=::=,. =.,,.'Ξ.,==:=::=::=::;=:;:ϊl -o-φl•SO t 2o)O

-·1·!5. t l •JO

i .. ..........................

.. .. .. .. (γ) .. n " r-FΞ:;;:::::::=Ξ:==Ξ::ι=.:=:::S::=:=Ξ=Ξ11

-.ι·8 . .Ζ•25 -,ι.u, tl•!O

(δ)

~,ι.sο . .Z•t5 ... ,ι.ιο . .t•JO " ......... . .-,ι.:t5, t 2•25 -•ι•:t5. tl• :JO

.. .................

..

.. ..

10 .. .. .. " " θ(")

Σχήμα 4. Η γωνία aστοχίας α2 σε σχέση με (α)

το χ, φ, και φ2 (β) τον λόγο φ:Νz (γ) τη γωνία δ και (δ) (γ) τη γωνία θ.

Fig.4. The rupture angle α2 plotted versus (a)

χ, φ1 and φ2 (b) the ratio φ;/φz (c) the angle δ and (d) the angle θ.

4. ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΜΕτΑΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΠΗ­ΜΑΤΟΣ

4.1 Μικρές μετατοπίσεις

Τ ο μοντέλο του Newmark, που όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, χρησιμοποπιείται συχνά γιά τον υπολογισμό της σεισμικής μετακίνησης τοίχων αντιστήριξης από την κρίσιμη επιτάχυνση, αφορά την ολiσθηση ενός στερεού σώματος σε κεκλιμένο επίπεδο σε οριζόντιο σεισμό . Η εξίσωση κίνησης του ολισθαίνοντας σώματος, όταν σε αυτό aσκείται

οριζόντια σεισμική επιτάχυνση, g · k(t) , διαμορφώνεται (π.χ. Sarma and Chlίmίtzas 2000) ως:

(35)

με: Ζ = cos{φ - α)

ο cosφ (36)

όπου k, είναι η κρίσιμη επιτάχυνση του

συστήματος, η γωνία α είνα ι η κλίση του επιπέδου και η φ είναι η γωνία τριβής μεταξύ σώματος και κεκλιμένου επιπέδου.

Στην πράξη, επειδή οι τιμές που παίρνει ο

συντελεστής z. είναι πολύ κοντά στη μονάδα, η Εξίσωση (35) συχνά aντικαθίσταται aπό την:

ϋ. = (k(t)-k,)·g (37)

Λύσεις της εξίσωσης (37) για τη μετακίνηση u. συναρτήσει του kc υπάρχουν αρκετές στη διεθνή βιβλιογραφία, ανάλογα με χαρακτηριστικά της σεισμικής διέγερσης k(t) (βλέπε π.χ . Ambraseys and Srbuloν, 1995, Rίchards and Elms, 1979).

Με βάση την παρούσα μέθοδο, ο συνδυασμός των εξισώσεων (4), (5) και (37) δίνει:

u, = Ζ, ·U. (38)

Συμπεραίνεται ότι η παρούσα μέθοδος διαφέρει στον υπολογισμό της σεισμικής μετακίνησης aπό τη μέθοδο Newmark κατά τους συντελεστές Ζι που δίνονται από τις εξισώσεις (5) και (8) (με τη γωνία aa2 να λαμβάνεται ίση με α2). Επίσης, σύγκριση των εξισώσεων (37) και (38) μας επιτρέπει τον

υπολογισμό της μετατόπισης u1 ή u2 (του

τοίχου ή της εδαφικής σφήνας aντίστοιχα) του

συστήματος από δημοσιευμένες προβλέψεις της σχέσης (37), μέσα από τον υπολογισμό των τιμών των παραμέτρων Ζι . Η μεταβολή των Ζι σε σχέση με

χαρακτηριστικά της αντοχής και της γεωμετρiaς του τοίχου, μελετήθηκε παραμετρικά και παρουσιάζεται στα Σχήματα 5 και 6. Κατ' αρχάς παρατηρείται ότι οι συντελεστές Ζ; για α1=Ο, θ=Ο και δ=Ο δεν διαφέρουν σημαντικά από τη μονάδα Ο συντελεστής Ζ1 τείνει στη μονάδα με την aύξηση του χ, ενώ ο συντελεστής Ζ2 μετά aπό μία μέγιστη τιμή στο X=O.S που δεν υπερβαίνει το 1.5, σταδιακά μειώνεται και τείνει στη μονάδα με την αύξηση του χ. Γιά κλίση της ενδοεπιφάνειας, δ, διαφορετική του μηδενός, οι τιμές που λαμβάνουν οι δύο συντελεστές επηρεάζονται σημαντικά (μεταβολή έως και 50%).

Επιπροσθέτως, η παρατήρηση των εξισώσεων (5) και (8) μας παρέχει πολύτιμες θεωρητικές προβλέψεις για τη συμπεριφορά των συντελεστών Ζι ανάλογα με το πώς μεταβάλλεται η μάζα του τοίχου, δηλαδή η

αδιάστατη παράμετρος χ. Καταρχήν, για μικρές τιμές του χ, όταν δηλαδή το βάρος του τοίχου είναι αμελητέο συγκρινόμενο με το μέγεθος του εδαφικού πρίσματος (πρακτικά όταν

W2 /W1 > 100), το z, τείνει στο ο ενώ το Ζ2 τείνει στην τιμή :

(39)

Επίσης ενδιαφέρον είναι το τι συμβαίνει σε μεγάλες τιμές του χ, δηλαδή όταν το εδαφικό πρίσμα έχει κατά πολύ μικρότερο βάρος aπ'

ό , τι ο τοίχος (πρακτικά όταν νν,ινν2 > 10)

Παρατηρείται τότε ότι η γωνία α2 λαμβάνει

πολύ μικρές τιμές. Η δε εξίσωση (5) γ ια

α, = Ο , δίδει :

cos(φ - α ) ο, 0 z -+ 1 1 = 1 cosφ1

(40)

Επίσης, σε αυτή τη περίmωση η εξίσωση (8) δίδει Ζ2=Ζι=1.

123

(α) z, .. .------,,..---~--------,----,

(α)

i··~~ :: ΞΙΞΒ-ΞΞ ii: Ι:I~

4-tl·"· ,ι .. ~ -f.l ·!5. t2•30 - •1·"· tl•" , , ....... - •1•30, ιt•l$ -tt· ιo. tt•JO -,ι. ιο. tl•J' ,_ ...

- tl•"· t l • 8 -tl• tδ, tl•JO -ιl•"· tl•»

.n · lf •I !J • 11 ·S ιι ιι rι

δ(')

Σχήμα 5. Ο συντελεστής Ζ1 σε σχέση (ο) το χ , φ, και φ2 και (β) τη γωνία δ. · Fig.5 The coefficient Ζ1 ρlotted νersus (a) χ, φ1 and φ2 and (b) the angle δ.

. ··t·· ............ ι ........... ....... + ........................ . .. ... ι .(... ....~-- -···-~·- ... .. .... . .... ., ................ ,_., ......... .. .. - · 1·2:5, tZ •" -,.ι-ιο . .,.,., - t l•JO, t Z•JO

'1

· ·•·•• -tl·». fl•" -·l·J! . .,.)0

(β) z. .. rr=:::::==::::;-;---τ--τ--.,.--τ--τ-:ι

124

.. : :

.. .. -··+-·····-r···· .. ···!·····-·-+·-··· •' .f-····--t······ .. ι .... ·-·•··---~

r····-·1········· •••••.• j. . ........ ; . .. ....... t .................. .

! j ! ! ··~·-·t··--·-·ι-· ... : ······-~·-··· ·

•ιι•JΟ. tl·Z5 .. ,ι.ιο. ,z.so -,ι. ιο. tl•J5 -,ι.,, .ι•15 -•ι·"· • Z•JO .... ι.ss. t2•"

· tt ' " .ιι . ιι ·• ιι rt rι δ(')

Σχήμα 6. Ο συντελεστής Ζ2 σε σχέση (α) το χ , φ, και φ2 και (β) τη γωνία δ. Fig.6 The coefficient Ζ2 ρlotted νersus (a) χ, φ1 and φ2 and (b) the angle δ.

4.2 Μεγάλες μετατοπίσεις

Όταν η σεισμική διέγερση προκαλεί μεγάλες μετακινήσεις του συστήματος, οι μάζες των δύο κινουμένων σωμάτων μεταβάλλονται σε κάθε χρονική στιγμή. Επίσης υπάρχουν αλλαγές στο μήκη των επιφανειών ολίσθησης, αλλά και στη γωνία aστοχίας της εδαφικής

σφήνας a2 • Η ανάλυση και παρουσίαση του

τρόπου υπολογισμού αυτών των μετακι­νήσεων αποτελεί αντικείμενο μελλοντικής

εργασίας .

5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Μελετάται η μετακίνηση του τοίχου βαρύτητας του Σχήματος 1 που aντιστηρίζει ξηρή άμμο,

όταν διεγείρεται οπό οριζόντιο σεισμό. Ο τοίχος και η εδαφική σφήνα λαμβάνονται ως ένα σύστημα δύο ολισθαινόντων σωμάτων που βρίσκονται διαρκώς σε επαφή. Δίδονται κλειστές εκφράσεις γιο την κρίσ ιμη γωνία aστοχίας της εδαφικής σφήνας a2, αλλά και γιο του συντελεστή την κρίσιμης επιτάχυνσης που απαιτείται γιο έναρξη της ολίσθησης, kc. τέλος, προβλέπεται η σεισμική μετακίνηση.

Το αποτελέσματα της παρούσης μεθόδου συγκρίνονται με αυτά μεθόδων που απαντώνται στη διεθνή βιβλιογραφία: Η υπολογισθείσο (χωρίς εποινολήψεις) τιμή της κρίσιμης επιτάχυνσης συμπίπτει με αυτή που προβλέπεται οπό την μέθοδο των Richards and Elms, ενώ η υπολογισθείσο σεισμική μετακίνηση διαφέρει από αυτή που υπολογίζεται με τη μέθοδο Newmark κατά τους συντελεστές l; που δίνονται οπό τις εξισώσεις (5) και (8).

τέλος, η επιρροή της γεωμετρίας και της αντοχής του συστήματος στις τιμές των a2, kc, z, και z2 μελετώνται παραμετρ ικά .

6. ΕΥΧΑΡΙΠΙΕΣ

Η παρούσα εργασία έγινε μέσο στο πλαίσιο του ερευνητικού προγράμματος ''Seismic Ground Disρlacements as a tool for town ρlanning, design and mitigation" που χρηματοδοτήθηκε από την Ευρωπαϊκή Ένωση DGXII (ρroject ENV4-CT97-0392).

7. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Βελγάκη Ε.Γ. και Σταματόποuλος Κ.Α. (2001), "Σεισμική μετακίνηση τοίχων βαρύτητας που aντιστηρίζουν ξηρή άμμο", 4° Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής και Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, Αθήνα.

Ambraseys, Ν. and Srbuloν, Μ. (1995), ''Earthquake lnduced Displacements of Slopes", Soίl Dynamics and Earthquake Engineering, Νο. 14, pp. 59-71 .

Caltabiano, S., Cascone, Ε., Maugeri, Μ. (1999), "Siiding response of rigid retaining walls", Proc. 2nd lntemational Conf. on Earthquake Geotechnical Engineering, Lisbon, pp. 285-290.

Mononobe, Ν. and Matsuo, Η. (1929), ''On the determination of earth ρressures during earthquakes," Proc., World Engineering Congress.

Newmark Ν. Μ. (1965). "Effect of earthquakes on dams and embankments", Geotechnique, Vol. 15, Νο. 2, London, England, June, ρρ. 139-160.

Nishimura, Υ., Fukui, S., Satoh, Μ. , Kurose, Η., Fujitani, Μ. (1995), "Shaking table tests and numerical simulation of seismic response of the seawall", Proc., 3'd lnt. Conf. On Recent Advances in Geot. Earth. Eng and Soil Dyns, pp. 335-338.

Okabe, S. (1926), "General Theory of earth pressures," J. of Japan Society of Ciνil Engineering, Vol.12, Νο. 1 .

Richards, R. and Elms, D. (1979), "Seismic behaviour of graνity retaining walls," Joumal of the Geotechnical Engineering Diνision, ASCE, Vol. 105, Νο Gτ4, pp. 449-464.

Sarma S.Κ. and Chlimitzas G. (2000), Second Edited Report for the ρroject ENV4-CT97-0392, Euroρean Commission, DGXII for Science, Research and Development.

Zaπabi - Kashani, Κ. (1979), "Siiding of gravity retaining walls during earthquakes considering vertical accelerations and changing inclination of failure surface," S.M.Thesis, Department of Civil Engineering, Μ. Ι .Τ .

125