Secuencias de problemas por encuentro · E.N.S. “J.M.E”: ISFD N° 163 - Taller de ingreso –...

10
E.N.S. “J.M.E”: ISFD N° 163 - Taller de ingreso Profesorado de Matemática - 2017 1 Secuencias de problemas por encuentro Encuentro 1 1. Se considera un plano π, dos puntos B y C de este plano, y un punto A que no pertenece a él. Sea B’ un punto del segmento AB y C’ un punto del segmento AC. Una recta que pasa por A corta al segmento B’C’ en un punto D’ y al plano π en un punto D. Observando el dibujo, intenta descubrir el error que existe. 2. En hoja lisa representar un segmento PQ de 4cm de longitud. Representar un recta r y marcar en ella un punto Q’. Sin medir, transportar el segmento PQ sobre la recta r de modo que Q coincida con Q’. Nombra las semirrectas que quedan determinadas. 3. Eduardo está planificando su parque en el que quiere plantar varios árboles. Lo único que tiene plantado, hasta ahora, es un roble y un pino que se encuentran a 5m de distancia. Quiere colocar un nogal que esté a 2m del roble y a 4m del pino. ¿Dónde tendría que colocar el nogal? ¿Cuántas posibilidades tiene? 4. Ahora Eduardo quiere marcar en un esquema que hizo los puntos que correspondan a tres nuevos árboles. Un jacarandá que se encuentre a 3m del roble y del pino respectivamente, un ciprés que se encuentre a 4m de ambos árboles y un plátano que se halle a 4,5m de ambos árboles también. ¿Dónde tendría que ubicar estos árboles? ¿Cuántas posibilidades tiene? Finalmente, Eduardo quiere ubicar un sauce a 2,5m del roble y del pino. ¿Cuántas opciones tiene para ubicarlo? 5. Transportar el segmento ST sobre una recta r y encontrar 3 puntos que pertenezcan a su mediatriz. 6. Trazar una recta perpendicular a r que pase por A sin usar escuadra. 7. Dividir el segmento PQ en cuatro segmentos congruentes pero sin medirlo. 8. Hallar las coordenadas del punto medio M del segmento cuyos extremos son los puntos A (3, 2) y B (5, 2). Justificar. 9. Hallar las coordenadas del punto medio N del segmento cuyos extremos son los puntos C (3, 9) y B (-1, 5). 10. Mariano, Santiago y Josefina deciden enterrar en un parque una caja con mensajes para leerlos en el futuro. Para ello tienen que buscar un escondite secreto que les permita desenterrarlo más adelante. En el parque hay un monumento, un mástil y un bebedero. Los chicos piensan que un buen lugar para enterrar la caja sería un punto que esté a igual distancia del monumento, del mástil y del bebedero. Deciden hacer un dibujo para representar la situación. ¿Cómo pueden determinar ese lugar?

Transcript of Secuencias de problemas por encuentro · E.N.S. “J.M.E”: ISFD N° 163 - Taller de ingreso –...

E.N.S. “J.M.E”: ISFD N° 163 - Taller de ingreso – Profesorado de Matemática - 2017

1

Secuencias de problemas por encuentro

Encuentro 1

1. Se considera un plano π, dos puntos B y C de este plano, y un punto

A que no pertenece a él. Sea B’ un punto del segmento AB y C’ un

punto del segmento AC. Una recta que pasa por A corta al segmento

B’C’ en un punto D’ y al plano π en un punto D. Observando el dibujo,

intenta descubrir el error que existe.

2. En hoja lisa representar un segmento PQ de 4cm de longitud. Representar un recta r y marcar en ella un punto Q’.

Sin medir, transportar el segmento PQ sobre la recta r de modo que Q coincida con Q’. Nombra las semirrectas que

quedan determinadas.

3. Eduardo está planificando su parque en el que quiere plantar varios árboles. Lo único que tiene plantado, hasta

ahora, es un roble y un pino que se encuentran a 5m de distancia. Quiere colocar un nogal que esté a 2m del roble

y a 4m del pino. ¿Dónde tendría que colocar el nogal? ¿Cuántas posibilidades tiene?

4. Ahora Eduardo quiere marcar en un esquema que hizo los puntos que correspondan a tres nuevos árboles. Un

jacarandá que se encuentre a 3m del roble y del pino respectivamente, un ciprés que se encuentre a 4m de ambos

árboles y un plátano que se halle a 4,5m de ambos árboles también. ¿Dónde tendría que ubicar estos árboles?

¿Cuántas posibilidades tiene?

Finalmente, Eduardo quiere ubicar un sauce a 2,5m del roble y del pino. ¿Cuántas opciones tiene para ubicarlo?

5. Transportar el segmento ST sobre una recta r y encontrar 3 puntos

que pertenezcan a su mediatriz.

6. Trazar una recta perpendicular a r que pase por A sin usar escuadra.

7. Dividir el segmento PQ en cuatro segmentos congruentes pero sin

medirlo.

8. Hallar las coordenadas del punto medio M del segmento cuyos extremos son los puntos A (3, 2) y B (5, 2). Justificar.

9. Hallar las coordenadas del punto medio N del segmento cuyos extremos son los puntos C (3, 9) y B (-1, 5).

10. Mariano, Santiago y Josefina deciden enterrar en un parque una caja con mensajes para leerlos en el futuro. Para

ello tienen que buscar un escondite secreto que les permita desenterrarlo más adelante. En el parque hay un

monumento, un mástil y un bebedero. Los chicos piensan que un buen lugar para enterrar la caja sería un punto

que esté a igual distancia del monumento, del mástil y del bebedero. Deciden hacer un dibujo para representar la

situación. ¿Cómo pueden determinar ese lugar?

E.N.S. “J.M.E”: ISFD N° 163 - Taller de ingreso – Profesorado de Matemática - 2017

2

11. Completa con V o F según corresponda:

12. La figura representa un cuadrado de 4cm de lado. Colorear de rojo la

parte del cuadrado que está a menos de 4cm de A, de azul la que

está a 4cm de A y de verde la que está a más de 4cm de A.

Encuentro 2

1. En la figura, . Nombrar dos

rectas paralelas, dos rectas perpendiculares, un ángulo que

mida más de 180° y menos de 360°, un ángulo recto, un ángulo

agudo, un ángulo obtuso, un ángulo llano, un ángulo nulo y un

ángulo de un giro.

2. En la figura Nombrar dos

ángulos opuestos por el vértice, dos ángulos adyacentes, dos

ángulos suplementarios no adyacentes, dos ángulos

consecutivos no suplementarios y dos ángulos consecutivos

complementarios.

3. Dos ángulos opuestos por el vértice, ¿pueden ser complementarios? ¿Y suplementarios?

4.

5. La medida del opuesto por el vértice de un ángulo α es igual al doble de la medida de su suplemento. Marcar la

ecuación que permite calcular |α| e indicar su medida.

6. Alejandro está diseñando un sistema de riego para su huerta.

Quiere colocar una fila de regadores que se encuentre a igual

distancia de sus hortalizas que están alineadas sobre los lados

de un ángulo agudo como muestra el dibujo. ¿Dónde puede

colocar los regadores?

E.N.S. “J.M.E”: ISFD N° 163 - Taller de ingreso – Profesorado de Matemática - 2017

3

7. 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es la bisectriz del ángulo β. Trazar el ángulo β. ¿Es la única

posibilidad? Justificar la respuesta.

8. Dibujar dos ángulos adyacentes y trazar sus bisectrices. Marcar el ángulo que forman las bisectrices, ¿cuánto mide?

Enunciar la conclusión en forma de proposición.

9. Se quiere colocar una estación de servicio a igual distancia de

tres rutas: la 40, la 29 y la 47. Indicar el punto exacto donde

debe realizarse la construcción.

10.

Encuentros 3

1. Marcar con una X el casillero correspondiente:

2.

5.

E.N.S. “J.M.E”: ISFD N° 163 - Taller de ingreso – Profesorado de Matemática - 2017

4

6. Construir un triángulo dados los tres lados:

7. Construir un triángulo dados dos lados y el ángulo que forman:

8. Construir un triángulo dados un lado y los dos ángulos adyacentes a él:

9. Construir un triángulo dados un lado, un ángulo adyacente y el ángulo opuesto a dicho lado:

10 Construir un triángulo dados dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos:

E.N.S. “J.M.E”: ISFD N° 163 - Taller de ingreso – Profesorado de Matemática - 2017

5

Encuentro 4

1. Marcar con una X lo que corresponda:

2. ¿Cuáles de los segmentos marcados representan

alturas de los triángulos ADH, ADE y ABF?

3. Dibujar un triángulo que sea acutángulo y escaleno. Trazar sus alturas.

4. Dibujar un triángulo que sea obtusángulo y escaleno. Trazar sus alturas.

5. Dibujar un triángulo que sea rectángulo e isósceles. Trazar sus alturas.

6. Los lados de un triángulo miden, respectivamente, 9 cm, 12 cm y 15 cm. ¿Se trata de un triángulo es rectángulo?

7. La diagonal de un rectángulo mide 29 cm y uno de sus lados mide 21 cm. ¿Cuánto mide el otro lado?

8. Calcular el perímetro del trapecio rectángulo sabiendo

que:

9. Hallar la medida del segmento AB:

10. Hallar la medida de los lados del triángulo ABC. ¿Es un triángulo isósceles?

E.N.S. “J.M.E”: ISFD N° 163 - Taller de ingreso – Profesorado de Matemática - 2017

6

Encuentro 5

1. Investigar la relación entre la medida de lados, ángulos, perímetro y áreas de las siguientes figuras. Enuncia tus

conclusiones en forma de proposiciones simples.

a)

b)

E.N.S. “J.M.E”: ISFD N° 163 - Taller de ingreso – Profesorado de Matemática - 2017

7

c)

1.1. Organizar en la siguiente tabla las medidas que permitieron sacar las conclusiones.

Triángulos ítem a Lados Ángulos Perímetro Áreas

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Cuadrilátero ítem b Lados Ángulos Perímetro Áreas

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Triángulos ítem c Lados Ángulos Perímetro Áreas

Figura 1

Figura 2

Figura 3

1.2. Trazar las rectas que pasan por los vértices homólogos de las figuras semejantes. ¿Qué ocurre? ¿Existe alguna

relación entre las medidas de los segmentos determinados sobre cada una de las rectas trazadas?

2. Dibujar un triángulo obtusángulo y aplicarle una homotecia de razón 2 y otra de razón -2. ¿Son semejantes los

triángulos? ¿Por qué?

3. Dado el triángulo DEF rectángulo en E, hallar tres triángulos semejantes aplicando al DEF homotecias de centro D y

razones ½, 2 y 3.

E.N.S. “J.M.E”: ISFD N° 163 - Taller de ingreso – Profesorado de Matemática - 2017

8

Encuentro 6

1. Recortar los triángulos semejantes del ANEXO I y superponerlos de modo que un vértice coincida y dos de sus lados

homólogos sean colineales. (Observación: Superponer de manera que el de mayor área quede debajo y el de menor

área, en la parte superior).

1.1. ¿Qué pasó con las posiciones relativas de los otros lados homólogos?

1.2. Sobre las transversales quedan determinados segmentos colineales. Completar la siguiente tabla con los

segmentos que son correspondientes.

Segmentos sobre 𝐴𝐶⃡⃗⃗⃗ ⃗

(medidas en cm)

Segmento correspondiente sobre

𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗ (medidas en cm)

Son correspondientes porque

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =

𝐴𝐶′̅̅ ̅̅̅=

𝐴𝐶′′̅̅ ̅̅ ̅=

𝐶𝐶̅̅̅̅ ′=

𝐶𝐶′′̅̅ ̅̅ ̅=

𝐶′𝐶′′̅̅ ̅̅ ̅̅ =

1.3. Investigar si existe alguna relación entre las medidas de los segmentos determinados sobre una de las

transversales y los correspondientes en la otra. Enunciar las conclusiones en forma de proposiciones simples.

1.4. Verificar la o las conclusiones obtenidas en el punto 1.3. utilizando el gráfico del punto 3 (del encuentro anterior)

y expresar algunas relaciones en forma simbólica.

2. Hallar la medida de los segmentos GI y JI sabiendo

que:

𝐇𝐆⃡⃗ ⃗⃗ ⃗//𝐈𝐊⃡⃗⃗⃗ //𝐉𝐋⃡⃗ ⃗

HK= 5cm

KL= 15cm

GI= 4x-24cm

JI= 3x

3. Se sabe que 𝐀𝐃⃡⃗ ⃗⃗ ⃗//𝐁𝐄⃡⃗⃗⃗ ⃗ //𝐂𝐅⃡⃗⃗⃗ y que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ tiene la misma

medida que 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ ̅. ¿Qué se puede decir de las medidas de

los segmentos determinados en la otra transversal? ¿Por

qué?

4. Dibujar un segmento de 7cm y utilizando compás y regla sólo para trazar, dividirlo en tres segmentos congruentes y

luego en 5.

E.N.S. “J.M.E”: ISFD N° 163 - Taller de ingreso – Profesorado de Matemática - 2017

9

Encuentro 7

1. Retomar las medidas de los lados de los triángulos rectángulo semejantes del punto 1 (del encuentro anterior) y hallar

las razones entre los lados de cada uno.

Triángulos

rectángulo

semejantes

Lados Razones entre lados

𝐴𝐵𝐶

𝐴′𝐵′𝐶′

𝐴′′𝐵′′𝐶′′

1.1. ¿Observa alguna regularidad entre las razones obtenidas?

1.2. Superponer nuevamente los triángulos semejantes y hallar la medida del ángulo α común a los tres triángulos.

Con los valores de la tabla anterior y considerando las posiciones relativas de los lados en función de α completar:

Triángulos

rectángulo

semejante

α

Lados Razones entre lados

Cateto

opuesto

Cateto

adyacente

Hipotenusa

𝐴𝐵𝐶

𝐴′𝐵′𝐶′

𝐴′′𝐵′′𝐶′′

1.2.1. Analizar la tabla y enunciar las conclusiones en forma de proposición.

1.2.2. Observando la tabla, ¿es posible determinar las razones trigonométricas del complemento de α? Justifica tu

respuesta. Enunciar las conclusiones en forma de proposición.

2. En un sistema de ejes cartesianos representar el triángulo ∆

𝐴′𝐵′𝐶′ de modo que el vértice de α se encuentre en (0,0) y

el lado A’B’ quede incluido en el eje de las abscisas. Representar la circunferencia de centro o y radio hipotenusa.

Suponiendo que la hipotenusa mida 1, ¿cuánto miden los catetos? Las medidas halladas, ¿tienen alguna relación con

las razones de la tabla del punto 1.2.?

3. Considerando que el radio es 1, ubicar los puntos P (1,0) y Q (0,1). Trazar la recta e paralela al eje y que pase por el

punto P. Prologar la hipotenusa hasta que corte a la recta e en el punto S. Hallar la medida del segmento PS. La

medida hallada, ¿tiene alguna relación con las razones de la tabla del punto 1.2.?

4. Con la calculadora hallar seno, coseno y tangente de un ángulo de 30°. Sin usar calculadora hallar seno cose y tangente

de su complemento.

5. El hilo de un cometa mide 50m y forma con la horizontal un ángulo de 37°. Realizar un esquema que represente la

situación y determinar la altura a la que se encuentra el comenta.

6. Para medir la altura de un edificio se miden los ángulos de elevación desde dos puntos distantes 100m. ¿Cuál es la

altura si los ángulos de elevación miden 33° y 46° respectivamente? Realizar el esquema de análisis.

E.N.S. “J.M.E”: ISFD N° 163 - Taller de ingreso – Profesorado de Matemática - 2017

10

Anexo I