Scientific Computations 1_Gallopoulos

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343 /

2008 c 2008,

. , . . I / . .

http://scgroup.hpclab.ceid.upatras.gr/class/sc.html. ( , , , , , on-line , , , .) . . . . ( RISC SVD). , .. cos 1 . 2 : 1 . , . , . . (. : 1992), 2 (. : , 1976). matrix . , , , ( ) array table. , polyval.m MATLAB POLYVALM Matrix polynomial evaluation. If V is a vector whose elements are the coecients of a polynomial, then POLYVALM(V,X) is the value of the polynomial evaluated with matrix argument X. See POLYVAL for1 , . - Strang . 2 .

4 polynomial evaluation in the regular or array sense. , Mathematica, , . 3 . , , . 4 . , /. , , : ) 110 (2 .): , ) 240 (4 .): . 261 (3 .) ( ) 205 ( ). , , () ( ) G. Strang, / (1996) .. .. , / (1997). ( ) MATLAB ( version 7). , . , , Scilab MATLAB , ( http://www.scilab.org/)! : 1) G. Golub and C. F. Van Loan. Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, Baltimore, third edition, 1996. 2) N.J. Higham. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. SIAM, Philadelphia, 2002, 2nd. ed. C.W. Ueberhuber. Numerical Computation, volumes 1 and 2. Springer, Berlin, 1997. . , . . . . , . ( ). . 3 , matrix, , 2 (. xxxiv). 4 . 1xvii 2 .

5 , , , , , . . (). . . , , , , . , , , , , , , , . , , , , , , . a L TEX . . . , . , , , . , . . 2008

1 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 . . . . . . . . . . . 2 2.1 2.1.1 . . . . 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 . . . 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 . . . . . . . . . . 5 . 5 . 7 . 9 . 12 . 12 . . . . . 14 16 16 18 19 27 28 32 33 34 39 41 41 47 48 49 51 53 54 55 58 63 65 66 68 68 70 71 86

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 . . . . . . . . . . . 3.2.1 , . . . . . . . 3.2.2 bit . . . . . . . . . . . . 3.2.3 ... . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 . 3.4 . . . 3.4.1 . . . . . . . . . . 3.4.2 3.4.3 . . . . . . . . . 3.4.4 Fused Multiply and Add (FMA) . . . . . . . . 3.4.5 Java . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 . . . . . . . . 3.6 . . 1

. . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . .

2 3.6.1 . . . . . 3.6.2 . . . 3.7 . . . . . . 3.8 . . . . . 3.9 . . . . . . . . . . . . . 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 . 87 . 89 . 91 . 98 . 106 111 . 111 . 112 . 113 . 114 . 114 . 118 . 121 . 123 . 127 . 129 . 132 . 132 . 138 . 139 . 140 151 . 151 . 153 . 157 . 165 . 166 . 168 . 171 . 175 . 178 . 182 . 186 . 192 . 194 . 194 . 197 . 200 . 200 . 201 . 203 217 . 218 . 218 . 219 . 220

4 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 4.2 4.2.1 . . . . . . . . . 4.2.2 . . . . . . . . . 4.2.3 . . . 4.2.4 - : . 4.2.5 . . . . . 4.2.6 BLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 . . . . . . . . . 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 II 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 . . . . . . . . . . . . 5.4.1 5.4.2 . . . . . . . . . . . . . 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 . . . . . . . . . . . . . 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 . . . . . . . 5.8 .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 . . . . . . . . . . . . . . 5.9.1 Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6.1 QR . . . . . . . 6.2 . . . . . . . . 6.2.1 . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Gram-Schmidt . . III . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6.2.3 GS . . . . . . . 6.2.4 Householder 6.2.5 . . . . . . QR: Householder . . . 6.3.1 QR . 6.3.2 QR Householder . . . . . 6.3.3 .2 QR . . . . . . . . . . . . 6.3.4 . . . . . . 6.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Givens . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 . . . . . . . . . . 6.4.2 Givens . . . . . . . 6.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.4 QR Givens . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 . 222 . 223 . 225 . 226 . 227 . 228 . 230 . 231 . 233 . 234 . 235 . 236 . 237 . 237 . 238 . 240 . 241 245 . 246 . 251 . 251 . 253 . 259 . 260 . 265 . 267 . 267 275 . 275 . 278 . 278 . 279 . 287 . 290 . 298 . 304 . 310 . 310 . 314 317 . 317 . 317 . 318 . 319 . 320

6.3

6.4

6.5 6.6

7 IV 7.1 / . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 : . . 7.2.2 Vandermonde . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Toeplitz . . . . . 7.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 . 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

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8 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 . . . . . . . . . . . . 8.2.1 . . . . . . . . . . 8.2.2 . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Taylor, Runge-Kutta Richardson . 8.2.5 - : 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 . . . . . . .1.2 . . . . . . . . .2 .3 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . Lipschitz . . . . . .

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4

1

1.1 , 1 . : 1980 , . Future Directions in Computational Mathematics, Algorithms and Scientic Software. : The use of modern computers in scientic and engineering research and development over the last three decades has led to the inescapable conclusion that a third branch of scientic methodology has been created. It is now widely acknowledged that, along with the traditional theoretical and experimental methodologies, advanced work in all areas of science and technology has come to rely critically on the computational approach. ( [33]). It is becoming clear that dramatic increases in computing power are necessary but insucient to making high-performance computing a reality. Necessary is also the construction of a large body of applications capable of using that computational power eectively ( [3] Alpern Carter2 .) It is essential to recognize the fact that computer experiments can both be a two-way bridge between Physical Experiments and Mathematical Models, as well as an independent source of physical understanding. Such experiments have a mind