5/14/2018 Să se studieze mişcarea unui corp rotund pe un plan înclinat - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/sa-se-studieze-miscarea-unui-corp-rotund-pe-un-plan-inclinat 1/9

 

Să se studieze mişcarea unui corp rotund pe un plan înclinat.

 Fig.7.4a

 Rezolvare: i) Centrul de masă coincide cu centrul de simetrie. Seconsideră un cilindru de greutate G care se rostogoleşte pe un planînclinat ce face unghiul α cu orizontala. Cilindrul va coborî subacţiunea greutăţii, pe planul înclinat. Dacă nu ar exista nici un fel defrecare, atunci cilindrul ar aluneca sub acţiunea componentei

 a greutăţii, deci va avea acceleraţia .

Dacă apare o forţă de aderenţă între cilindru şi plan, notândcu T această forţă, ea va micşora pe de o parte componenta ,iar pe de altă parte va determina rostogolirea discului.

Teorema impulsului descrie mişcarea centrului de masă:

,iar teorema momentului cinetic, aplicată în centrul cilindrului dă:

 

unde este acceleraţia unghiulară a cilindrului, iar  J estemomentul de inerţie al corpului faţă de o axă care trece princentrul de masă, perpendiculară pe plan.

5/14/2018 Să se studieze mişcarea unui corp rotund pe un plan înclinat - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/sa-se-studieze-miscarea-unui-corp-rotund-pe-un-plan-inclinat 2/9

 

Pot exista mai multe moduri posibile de mişcare a cilindrului:

a) Cilindrul se rostogoleşte fără alunecare pe planul înclinat(Fig.7.4,a):

.

a) Rostogolire fără alunecare b) Rostogolire cu alunecare

 Fig.7.4.b. Cinematica mişcării unui cilindru pe planul înclinat 

Ecuaţiile de mişcare se pot scrie:

de unde prin adunare:

 

deci:

.

Forţa de aderenţă este:

5/14/2018 Să se studieze mişcarea unui corp rotund pe un plan înclinat - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/sa-se-studieze-miscarea-unui-corp-rotund-pe-un-plan-inclinat 3/9

 

. 

Acest mod de mişcare va exista dacă:

 

adică atâta timp cât forţa de frecare între cilindru şi plan esteinferioară forţei limită de frecare la alunecare. Înlocuind T se obţine:

 

de unde:

.

Dacă se notează cu unghiul de frecare, condiţia se scrie:

 

sau:

unde:

5/14/2018 Să se studieze mişcarea unui corp rotund pe un plan înclinat - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/sa-se-studieze-miscarea-unui-corp-rotund-pe-un-plan-inclinat 4/9

 

. 

Dacă condiţia este satisfăcută, se realizează rostogolirea pură.

  b) Dacă cilindrul se rostogoleşte cu alunecare(Fig.7.4. b). Notând cu u viteza de alunecare a cilindrului,viteza centrului de masă va fi:

.Prin derivare se obţine:

.

Deoarece cilindrul alunecă, forţa de frecare va fi, conform legilor frecării,

.

Ecuaţiile de mişcare devin:

deci acceleraţia centrului de masă este:

 

iar acceleraţia de alunecare:

5/14/2018 Să se studieze mişcarea unui corp rotund pe un plan înclinat - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/sa-se-studieze-miscarea-unui-corp-rotund-pe-un-plan-inclinat 5/9

 

. 

c) Dacă există frecare de rostogolire, iar aceasta este mare, mai poate exista un mod de mişcare al corpului şi anume cilindrul poatealuneca fără să se rostogolească. În acest caz ,

, iar legea de mişcare este:

 

deci:

.

ii) Centrul de masă nu coincide cu centrul de simetrie. Dacăcilindrul nu este omogen atunci centrul de masă se va găsi ladistanţa e de centrul cilindrului (fig.7.4.c). În acest caz ecuaţia demomente scrisă în centrul cilindrului, care nu e centrul de masă, seva modifica în felul următor:

sau:

.

5/14/2018 Să se studieze mişcarea unui corp rotund pe un plan înclinat - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/sa-se-studieze-miscarea-unui-corp-rotund-pe-un-plan-inclinat 6/9

 

 Fig.7.4.c. Centrul de greutate nu coincide cu centrul cilindrului

Dacă mişcarea este de rostogolire fără alunecare, atunci ecuaţiile demişcare vor fi:

.

Acceleraţia centrului de masă se obţine cu relaţia:

cu:

.

Componenta după direcţia mişcării este:

.

Prin adunare se obţine:

sau:

.

Prin înmulţire cu se obţine:

5/14/2018 Să se studieze mişcarea unui corp rotund pe un plan înclinat - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/sa-se-studieze-miscarea-unui-corp-rotund-pe-un-plan-inclinat 7/9

 

sau:

de unde:

unde C este o constantă de integrare care depinde de condiţiileiniţiale. Dacă considerăm, spre exemplu, că la momentul iniţial

,

se obţine:

deci:

care este o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi cu variabileseparabile.

Exemplu

În cazul a) am obţinut pentru acceleraţia centrului de masă a unuicorp rotund care se rostogoleşte fără alunecare, expresia:

 

5/14/2018 Să se studieze mişcarea unui corp rotund pe un plan înclinat - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/sa-se-studieze-miscarea-unui-corp-rotund-pe-un-plan-inclinat 8/9

 

 Fig. 7.4.d. Rostogolirea diferitelor figuri geometrice

pe un plan înclinat 

Să considerăm următoarele cazuri: cilindrul plin, cilindrul gol, sfera plină, sfera goală, con, care se rostogolesc pe un plan înclinat (fig.7.4.d).

 Ne propunem să vedem care din corpuri ajunge mai repede la baza planului.

 

Corpul Momentul deinerţie

Acceleraţia Raportul a1/a

Cilindru plin

Cilindru

golSferă

 plină

Sferăgoală

5/14/2018 Să se studieze mişcarea unui corp rotund pe un plan înclinat - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/sa-se-studieze-miscarea-unui-corp-rotund-pe-un-plan-inclinat 9/9

 

Con

 

Acceleraţia unui punct material pe un plan înclinat este:

.

Atunci:

. 

Avem:.

Legea spaţiului în acest caz

dă:

deci timpii de coborâre a planului pot fi ordonaţi în felulurmător:

.