S4E Κατ 1.Θεωρία [Edit by Lisari Team 2015-16]

l i s a r i . b l o g s p o t . g r

2015-16

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

με υλικό από το study4exams.gr

Νικολόπουλος Αθανάσιος lisari team

lisari team / lisari.blogspot.gr study4exams.gr

Μαθηματικά Kατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Θεωρία

1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.

IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

[Ενότητα Όριο - Συνέχεια Συνάρτησης του κεφ.1.2 Μέρος Β΄ του σχολικού βιβλίου].

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Στο επίκεντρο της ανάλυσης προφανώς βρίσκεται η έννοια της συνάρτησης. Η συνάρτηση μας δίνει τη δυνατότητα να περιγράψουμε τη "σχέση" ή καλύτερα την "εξάρτηση" μεγεθών μεταξύ τους καθώς επίσης και να εκφράσουμε με μαθηματικό τρόπο διάφορες πραγματικές καταστάσεις.

Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

(A ⊆R R με )A O≠ / .

Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, κάθε νόμο (τρόπο ή διαδικασία)

f με τον οποίο κάθε στοιχείο x του A ( )x A∈ αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο

στοιχείο y του ( )y∈R R .

Συμβολικά ο κανόνας αυτός γράφεται:

f : A → R ή x y→ ∈R ή ( )y f x=

και εννοούμε ότι από το Α το στοιχείο x αντιστοιχίζεται μέσω της f στο y∈R ή ότι η τιμή της f στο x είναι y.

Σημαντικές παρατηρήσεις

i. Το γράμμα x παριστάνει το τυχαίο (το οποιοδήποτε) στοιχείο του Α και λέγεται ανεξάρτητημεταβλητή. Το γράμμα y παριστάνει, όπως είπαμε και πιο πάνω, την τιμή της f στο x καιλέγεται εξαρτημένη μεταβλητή.

ii. Το ( )f x ονομάζεται τύπος της συνάρτησης ( )y f x= και η ονομάζεται εξίσωση της

συνάρτησης.

iii. Ονομάζουμε πεδίο ορισμού x∈R της συνάρτησης f το σύνολο των για τα οποία η τιμή της

f στο x είναι πραγματικός αριθμός, δηλαδή ( ) fA D x : y f x= = ∈ = ∈R R

1 / 230



2

iv. Ονομάζουμε σύνολο τιμών ( )f A της συνάρτησης f το υποσύνολο του R όπου για το κάθε

( )y f A∈ και μόνο για αυτά υπάρχει τουλάχιστον ένα x A∈ με ( )y f x= , δηλαδή

f (A) y := ∈R υπάρχει x A∈ με y f (x)=

v. Το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών (x,y) όπου x = πρότυπο και

y = εικόνα του x μέσω της f ονομάζεται γραφική παράσταση της f

fC και τη συμβολίζουμε με

.Τα x ονομάζονται τετμημένες fC των σημείων της και τα y τεταγμένες

.

Προσοχή: Ασχολούμεθα μόνο με συναρτήσεις που έχουν πεδίο ορισμού διάστημα ή ένωση διαστημάτων

Προσοχή f: Μια συνάρτηση είναι πλήρως ορισμένη αν γνωρίζουμε:

α) Το πεδίο ορισμού της Α.

β) Τη διαδικασία με την οποία βρίσκουμε την τιμή της f (x) για κάθε x A .

Ειδικότερα

Όταν δίνεται μόνο ο τύπος

:

f (x) μιας συνάρτησης f ,τότε ως πεδίο ορισμού της θεωρούμε το

ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο το f (x) έχει νόημα πραγματικού αριθμού.

2 / 230



3

1. Αν γνωρίζουμε την

Εύρεση πεδίου ορισμού

fC της f, τότε το πεδίο ορισμού της f είναι η ορθή προβολή της fC

πάνω στον xx', δηλαδή είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων της fC .

[ ]fD ,= α β

2. Αν για τη συνάρτηση f γνωρίζουμε τον τύπο της ( )y f x= , τότε το πεδίο ορισμού της είναι

όπως ήδη αναφέρθηκε το:

( ) fA D x : f x= = ∈ ∈R R

Ειδικότερα:

Για να εξασφαλιστεί ότι το ( )f x ∈R πρέπει να γνωρίζουμε τα παρακάτω:

i. Αν ( ) 11 1 0f x x x ... xν ν−

ν ν−= α +α + +α +α , με i R, i 0,1,...,α ∈ = ν και 0, Nνα ≠ ν∈

(δηλαδή η ( )f x είναι πολυωνυμική

fA D= = R

συνάρτηση), τότε:

ii. Αν P(x)f (x)Q(x)

= (ρητή συνάρτηση P(x), Q(x), δηλαδή πολυώνυμα), τότε:

fA D x : Q(x) 0= = ∈ ≠R .

iii. Αν f (x) g(x)κ= τότε fA D x : g(x) 0= = ∈ ≥R με 2,κ ≥ κ∈N .

iv. Αν g(x)f (x)h(x)

κ= τότε ( )( )f

g xA D x : h(x) 0 0

h x = = ∈ ≠ και ≥

R με 2,κ ≥ κ∈N .

v. Αν [ ]f (x) ln P(x)= τότε fA D x : P(x) 0= = ∈ >R .

vi. Αν [ ]f (x) P(x)= ηµ τότε fA D= = R .

vii. Αν [ ]f (x) P(x)= συν τότε fA D= = R .

3 / 230



4

viii. Αν [ ]f (x) P(x)= φ τότε ( )fA D x : P x , Z2π = = ∈ ≠ κπ+ κ∈

R .

ix. Αν [ ]f (x) P(x)= σφ τότε ( ) fA D x : P x , Z= = ∈ ≠ κπ κ∈R .

Προσοχή

Η εύρεση του πεδίου ορισμού πρέπει να

:

προηγείται οποιουδήποτε μετασχηματισμού

Δηλαδή το πεδίο ορισμού το βρίσκουμε χωρίς να "πειράξουμε καθόλου" τον αρχικό τύπο της συνάρτησης.

(ομώνυμα κλάσματα, παραγοντοποιήσεις, απλοποιήσεις κ.λπ.) στη συνάρτηση.

Αν γνωρίζουμε την

Εύρεση συνόλου τιμών

fC της f, τότε το σύνολο τιμών της f είναι η ορθή προβολή της fC πάνω

στον yy' δηλαδή το σύνολο ( )f A των τεταγμένων των σημείων της fC .

( ) [ ]f A ,= γ δ

4 / 230



5


1. Κάθε σημείο της fC επαληθεύει την εξίσωση ( )y f x= , δηλαδή:

( ) ( )0 0 f 0 0M x , y C y f x∈ ⇔ = .

2. Επειδή κάθε x A∈ αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο y∈R σημαίνει ότι δεν υπάρχουν σημεία

της fC που να έχουν την ίδια τετμημένη. Άρα κάθε κατακόρυφη ευθεία θα έχει το πολύ

ένα κοινό σημείο με την fC ,

π.χ.

είναι συνάρτηση ο κύκλος δεν είναι συνάρτηση

3. Η τιμή της f στο 0x είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας 0x x= και της fC .

4. Οι λύσεις της εξίσωσης ( )f x 0= είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής

παράστασης με τον άξονα χχ'.

5. Η τεταγμένη του σημείου τομής (αν υπάρχει) της fC με τον yy' είναι η ρίζα της εξίσωσης

( )f 0 y= .

5 / 230



6

6. Η επίλυση της ανισότητας ( )f x 0> μας καθορίζει το διάστημα στο οποίο η fC είναι πάνω

από τον άξονα xx', ενώ η ανισότητα ( )f x 0< μας καθορίζει το διάστημα στο οποίο η fC

είναι κάτω από τον άξονα xx'.

7. Οι λύσεις της εξίσωσης ( ) ( )f x g x= είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των fC και

gC , όπου f, g δυο πραγματικές συναρτήσεις.

8. Η επίλυση των ανισοτήτων ( ) ( )f x g x> ή ( ) ( )g x f x> μας καθορίζει τα διαστήματα

στα οποία η fC είναι πάνω από την gC ή η gC πάνω από την fC .

o g f> στο [ ) ( ), ,α β ∪ γ δ

o f g> στο ( ) ( ], ,β γ ∪ δ

o [ ]f gD D ,∩ = α

6 / 230



7

Έκτος αυτού του διαστήματος δεν έχει νόημα οποιαδήποτε σύγκριση.

9. Η γραφική παράσταση της ( )f x− είναι συμμετρική με την fC με άξονα συμμετρίας τον

xx'.

10. Για να παραστήσουμε γραφικά την ( )f x κατασκευάζουμε πρώτα την fC και στη

συνέχεια το τμήμα (ή τα τμήματα) της fC που είναι κάτω από τον xx' το αντικαθιστούμε με

το συμμετρικό του (ή τα συμμετρικά τους) ως προς τον xx'.

Μην ξεχνάτεΜια σχέση

: f : A B→ ⊆ R με , είναι συνάρτηση όταν και μόνο όταν

o Αν ( ) ( )1 2f x f x≠ τότε 1 2x x≠ για κάθε 1 2x , x A∈ .

o Αν 1 2x x= τότε ( ) ( )1 2f x f x= για κάθε 1 2x , x A∈

Πρέπει να θυμόμαστε επίσης ότι: • Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα

yy'. • Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή

Ο(0,0) των αξόνων.

7 / 230



8

Ισότητα συναρτήσεων

Ορισμός: Δίδονται οι συναρτήσεις

f : A → R και g : B→ R .

Θα λέμε ότι οι f και g είναι ίσες ( )f g= όταν:

1. έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού ( )A B= .

2. για κάθε x A∈ ισχύει ( ) ( )f x g x= .

Συμβολικά: f gD D A

f gf (x) g(x) x A

καιγια κάθε

= = = ⇔ = ∈

Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Από τον παραπάνω ορισμό είναι φανερό ότι οι ίσες συναρτήσεις f ,g θα έχουν και ίδια

σύνολα τιμών.

2. Αν οι συναρτήσεις f και g ορίζονται σε ένα σύνολο f gD D∆ ⊆ ∩ και για κάθε x∈∆ ισχύει

( ) ( )f x g x= , τότε θα λέμε ότι οι f, g είναι ίσες στο Δ αλλά, χωρίς απαραίτητα να είναι και

ίσες στο πεδίο ορισμού τους. π.χ.

( ) ff x x , D= = R

( ) gg x x, D= = R

Έστω [ )0,∆ = +∞ .

Παρατηρώ ότι ( ) ( )f x x x g x= = = για κάθε x∈∆ .

Επίσης παρατηρώ ότι έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού. Όμως υπάρχει (τουλάχιστον ένα)

0x ∈R με ( ) ( )0 0f x g x≠ , δηλαδή ( ) ( )f 8 g 8− ≠ − .

3. Απόρροια του ορισμού είναι ότι δύο συναρτήσεις θα είναι διάφορες μεταξύ τους

( )f g≠ , αν τουλάχιστον μία από τις δύο συνθήκες δεν ισχύει. Γι' αυτό το λόγο για να

ελέγξουμε κατά πόσο δύο συναρτήσεις είναι ίσες εξετάζουμε πρώτα αν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και ύστερα αν ( ) ( )f x g x= για κάθε x A∈ .

4. Αν f g= , τότε οι γραφικές τους παραστάσεις ταυτίζονται.

8 / 230



9

5. Συχνά όταν f g≠ ζητείται να βρεθεί το "ευρύτερο" υποσύνολο του R στο οποίο να είναι

ίσες οι συναρτήσεις. Σ' αυτή την περίπτωση προσδιορίζουμε το "ευρύτερο" υποσύνολο του

R , έστω Ε, στο οποίο ορίζονται οι f, g. Δηλαδή f gE D D⊆ ∩ και ( ) ( )f x g x= για κάθε

x E∈ . Άρα f g= στο Ε.

9 / 230



10

Πράξεις με συναρτήσεις

Ορισμός:

Δίδονται δύο συναρτήσεις f, g με πεδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα και A B O∩ ≠ / .

Ορίζουμε ως

άθροισμα f g+ ,

διαφορά f g− ,

γινόμενο f·g και

πηλίκο fg

των συναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους:

ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΣΥΜΒΟΛΟ ΤΥΠΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ

Άθροισμα f g+ ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + A B∩

Διαφορά f g− ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = − A B∩

Γινόμενο f·g ( )( ) ( ) ( )f·g x f x ·g x= A B∩

Πηλίκο fg

( ) ( )( )

f xf xg g x

=

( ) A B x A B : g x 0∩ − ∈ ∩ =

Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Το σημείο που πρέπει να προσέξουμε είναι ο προσδιορισμός των πεδίων ορισμού και

κυρίως του A B∩ . Στην περίπτωση που A B O∩ = / , τότε δεν ορίζονται οι πράξεις. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούμε να κάνουμε πράξεις με τις συναρτήσεις αν πρώτα δεν εξασφαλίσουμε ότι A B O∩ ≠ / .

2. Οι f g+ , f g− , f·g , fg

, είναι και αυτές συναρτήσεις. Δηλαδή οι πράξεις είναι ένας

τρόπος δημιουργίας νέων συναρτήσεων.

3. Σ'αυτό το σημείο πρέπει να εξηγήσουμε επίσης τις έννοιες του «γινομένου πραγματικού αριθμού κ επί τη συνάρτηση f» καθώς και τη συνάρτηση «δύναμη». Δηλαδή:

( )( ) ( )f x ·f xκ = κ με fD Aκ = και κ∈R και

( )( ) ( )f x f xν ν= με f

D Aν = και ν∈ *N

10 / 230



11

Σύνθεση συναρτήσεων

Εκτός από τους ήδη γνωστούς τρόπους δημιουργίας νέων συναρτήσεων από δοσμένες συναρτήσεις

f : A , g : B→ →R R

θα αναφερθούμε σε μία νέα δυνατότητα δημιουργίας συνάρτησης. Δηλαδή:

( ) ( )( )gf

x f x g f x→ → (1)

Για να έχει νόημα αυτή η διαδικασία θα πρέπει f (A) B O∩ ≠ / .

Τότε μπορούμε να ορίσουμε μια νέα συνάρτηση στις εξής περιπτώσεις:

1η περίπτωση

Έστω f : A , g : B→ →R R , με ( )f A B⊆ .

Τότε ορίζεται η gof : A → R , δηλαδή ( )( )x g f x→

και ονομάζεται σύνθεση της f με τη g.

Σχηματικά βλέπουμε:

2η περίπτωση

Έστω f : A → R και g : B→ R

για τις οποίες δεν ισχύει ( )f A B⊆ , ισχύει όμως ( )f A B O∩ ≠ / .

Σ' αυτήν την περίπτωση προσπαθούμε να βρούμε το υποσύνολο εκείνο του Α,

11 / 230



12

τα στοιχεία του οποίου έχουν τιμές ( )f x B∈ ,δηλαδή το σύνολο ( ) x A : f x BΓ = ∈ ∈ .

Τότε ορίζουμε μία νέα συνάρτηση:

gof :Γ→ R με ( )( )x g f x→ , όπου x A : f (x) BΓ = ∈ ∈

που ονομάζεται σύνθεση της f με τη g.

Σχηματικά παρατηρούμε:

Σημείωση: Με ανάλογη διαδικασία ορίζεται και η fog Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Αν η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το R , τότε για κάθε x A∈ ισχύει ( )f x ∈R . Τότε η

σύνθεση της τυχαίας συνάρτησης f : A → R με την g ορίζεται και έχει για πεδίο ορισμού

το A .

2. Ο προσδιορισμός του συνόλου Γ στις περιπτώσεις που το Β είναι διάστημα, ανάγεται σε επίλυση και συναλήθευση ανισοτήτων.

3. Έστω f : →R R τυχαία συνάρτηση και ( )g x x= .

Τότε fog gof= , διότι: (α) οι gof , fog έχουν πεδία ορισμού το R (β) για κάθε x∈R ισχύει:

( )( ) ( )( ) ( )fog x f g x f x= = και

( )( ) ( )( ) ( )gof x g f x f x= =

12 / 230



13

Γι' αυτό το λόγο η g συμβολίζεται με I και ονομάζεται ταυτοτική συνάρτηση.

4. Εν γένει ισχύει fog gof≠ . Δηλαδή δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στη σύνθεση

συναρτήσεων. Ισχύει όμως η προσεταιριστική. Δηλαδή:

( ) ( ) ( )( )fog oh x fo goh x=

5. Πρέπει να προσέξουμε ότι πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της σύνθεσης και μετά τον

τύπο. Είναι λάθος να βρούμε πρώτα τον τύπο της σύνθεσης και από τον τύπο να βρούμε το πεδίο ορισμού.

6. Στην περίπτωση που οι συναρτήσεις έχουν κλάδους πρέπει να συνθέσουμε τον κάθε κλάδο της μίας με κάθε κλάδο της άλλης.

Ημερομηνία τροποποίησης: 14/2/2012

13 / 230



14 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ – ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

[Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου].


Μονοτονία συνάρτησης

Ορισμοί:

Μία συνάρτηση f λέγεται:

• γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

1 2x , x ∈Δ με 1 2x x< ισχύει:

( ) ( )1 2f x f x< («Σχήμα 1»)

• γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε


( ) ( )1 2f x f x> («Σχήμα 2»)

15 / 230



2

• Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως μονότονη σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν η f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Δ .

Μία συνάρτηση f λέγεται απλώς:

• αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε 1 2x , x ∈Δ

με 1 2x x< ισχύει:

( ) ( )1 2f x f x≤

• φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε


( ) ( )1 2f x f x≥

16 / 230



3

Ακρότατα συνάρτησης

Ορισμοί:

Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A θα λέμε ότι:

• Παρουσιάζει στο 0x ∈A (ολικό) μέγιστο, το ( )0f x , όταν ( ) ( )0f x f x≤ για κάθε

x∈A .

• Παρουσιάζει στο 0x ∈A (ολικό) ελάχιστο, το ( )0f x , όταν ( ) ( )0f x f x≥ για κάθε

x∈A . • Ολικά ακρότατα μίας συνάρτησης f λέγονται το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό)

ελάχιστο της f .

17 / 230



4

Μονοτονία - ακρότατα βασικών συναρτήσεων

Η συνάρτηση ( )f x x= α +β , με 0α > είναι

γνησίως αύξουσα στο = =fA D R και

δεν έχει ακρότατα ( )( )f =A R .

Παράδειγμα ανάλογης συνάρτησης βλέπουμε στο «Σχήμα 3».

Η συνάρτηση ( )f x x= α +β , με 0α < είναι

γνησίως φθίνουσα στο = =fA D R και



18 / 230



5

Η συνάρτηση ( ) 3f x x= α , με 0α > είναι




Η συνάρτηση ( ) 3f x x= α , με 0α < είναι




19 / 230



6

Η συνάρτηση ( ) 2f x x x= α +β + γ , με 0α >

είναι γνησίως φθίνουσα στο ,2β −∞ − α

και

γνησίως αύξουσα στο ,2β − +∞ α

. Έχει

ελάχιστο για x2β

= −α

το f2 4β ∆ − = − α α

.

Παράδειγμα ανάλογης συνάρτησης βλέπουμε

στο «Σχήμα 7».

Η συνάρτηση ( ) 2f x x x= α +β + γ , με 0α <

είναι γνησίως αύξουσα στο ,2β −∞ − α

και

γνησίως φθίνουσα στο ,2β − +∞ α

. Έχει

μέγιστο για x2β

= −α

το f2 4β ∆ − = − α α

.

Παράδειγμα ανάλογης συνάρτησης βλέπουμε

στο «Σχήμα 8».

20 / 230



7

Η συνάρτηση ( ) xf x = α , με 1α > είναι


δεν έχει ακρότατα ( ) ( )( )f 0,= +∞A .

Παράδειγμα ανάλογης συνάρτησης, η

( ) xf x e= , «Σχήμα 9».

Η συνάρτηση ( ) xf x = α , με 0 1< α < είναι


δεν έχει ακρότατα ( ) ( )( )f 0,= +∞A .


21 / 230



8

Η συνάρτηση ( )f x log xα= , με 1α > είναι

γνησίως αύξουσα στο ( )0,= = +∞fA D και



Η συνάρτηση ( )f x log xα= , με 0 1< α < είναι γνησίως φθίνουσα στο

( )0,= = +∞fA D και



22 / 230



9

Η συνάρτηση ( )f x x= ηµ , έχει πεδίο

ορισμού το =A R , είναι γνησίως αύξουσα

στο 0,2π

, γνησίως φθίνουσα στο

3,2 2π π

και γνησίως αύξουσα στο 3 , 22π π

και

επειδή είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο T 2= π η f θα είναι γνησίως αύξουσα σε

κάθε διάστημα της μορφής 2 , 22π κπ κπ+

,

γνησίως φθίνουσα σε κάθε διάστημα της

μορφής 32 , 2

2 2π π κπ+ κπ+

και γνησίως

αύξουσα σε κάθε διάστημα της μορφής

( )32 , 2 12π κπ+ κ + π

, με κ∈Z .

Παρουσιάζει ελάχιστο για κάθε 3x 22π

= κπ+ , κ∈Z , το -1 και μέγιστο για

κάθε x 22π

= κπ+ , κ∈Z , το 1, (

[ ]f ( ) 1,1= −A ).

Τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, βλέπουμε στο «Σχήμα 13».

Η συνάρτηση ( )f x x= συν , έχει πεδίο

ορισμού το =A R , είναι γνησίως φθίνουσα στο [ ]0, π και γνησίως αύξουσα στο [ ], 2π π . Επειδή είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο

T 2= π η f θα είναι θα είναι γνησίως φθίνουσα σε κάθε διάστημα της μορφής

( )2 , 2 1κπ κ + π και γνησίως αύξουσα σε

κάθε διάστημα της μορφής

( ) ( )2 1 , 2 1κ + π κ + π , με κ∈Z .

Παρουσιάζει ελάχιστο για κάθε

( )x 2 1= κ + π , κ∈Z , το -1 και μέγιστο για

κάθε x 2= κπ , κ∈Z , το 1, ( [ ]f ( ) 1,1= −A ).


23 / 230



10

Η συνάρτηση ( )f x x= φ , έχει

x : x ,2π = = ∈ ≠ κπ+ κ∈

fA D R Z , είναι

γνησίως αύξουσα στο ,2 2π π −

και επειδή

είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο T = π η f θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε

διάστημα της μορφής ,2 2π π κπ− κπ+

με

κ∈Z και δεν έχει ακρότατα ( )( )f =A R .


24 / 230



11


1. Έστω συνάρτηση f , ορισμένη σε διάστημα Δ με 1 2x , x ∈Δ και 1 2x x≠ τότε:

α) Αν ( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 21 2

f x f x0 x x , f x f x

x x−

> ⇔ − −−

ομόσημοι ⇔ f γνησίως αύξουσα.

β) Αν ( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 21 2

f x f x0 x x , f x f x

x x−

< ⇔ − −−

ετερόσημοι ⇔ f γνησίως φθίνουσα.

2. Μια συνάρτηση f , μπορεί να έχει το ίδιο είδος μονοτονίας στα διαστήματα

( ), , ⊆1 2 1 2 fΔ Δ Δ Δ D αλλά όχι και στην ένωση ∪1 2Δ Δ .

Παράδειγμα

Έστω συνάρτηση

( ) 2

x, x 0f x

x 3, x 0− αν ≤

= − + αν >

Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο

διάστημα

( ], 0−∞ , γνησίως φθίνουσα στο

διάστημα ( )0, +∞ , αλλά δεν είναι γνησίως φθίνουσα

στο ( ] ( ), 0 0,−∞ ∪ +∞ = R , γιατί

υπάρχουν 1 2x , x ∈R με 1 2x x< και

( ) ( )1 2f x f x< .

(Για 1 1− < έχουμε ( ) ( )f 1 f 1− < ) Η γραφική παράσταση της φαίνεται στο

«Σχήμα 16».

3. Αν μια μη σταθερή συνάρτηση είναι άρτια τότε σε συμμετρικά διαστήματα ως προς το

μηδέν, θα έχει αντίθετο είδος μονοτονίας, δηλαδή αν στο [ ],α β είναι γνησίως φθίνουσα,

στο [ ],−β −α είναι γνησίως αύξουσα. Παράδειγμα η συνάρτηση ( )f x x= συν («Σχήμα

14»). Επομένως: Αν f άρτια συνάρτηση ⇒ Η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως μονότονη.

25 / 230



12

4. Αν μια μη μηδενική συνάρτηση είναι περιττή τότε σε συμμετρικά διαστήματα ως προς το

μηδέν, θα έχει το ίδιο είδος μονοτονίας, δηλαδή αν στο ( ),α β είναι γνησίως αύξουσα, και

στο ( ),−β −α είναι γνησίως αύξουσα. Παράδειγμα η συνάρτηση f (x) x= φ («Σχήμα 15»).

5. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στα διαστήματα ( ],α β και

[ ),β γ τότε θα είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στο διάστημα ( ),α γ .

6. Αν f συνάρτηση γνησίως μονότονη στο Δ , τότε η fC τέμνει τον άξονα x΄x το πολύ σε ένα

σημείο με τετμημένη 0x ∈Δ , που σημαίνει ότι η εξίσωση f (x) 0= έχει το πολύ μία λύση

στο Δ .

7. Επομένως, αν f συνάρτηση γνησίως μονότονη στο Δ και η εξίσωση f (x) 0= έχει μία

λύση στο Δ , τότε θα είναι και μοναδική.

8. Αν για τις συναρτήσεις f,g ισχύει ότι: f γνησίως φθίνουσα στο Δ και g γνησίως αύξουσα στο Δ τότε η εξίσωση f (x) g(x)=

έχει το πολύ μία ρίζα στο Δ .

9. Για να δείξουμε μία συνάρτηση f ορισμένη στο Δ ότι δεν είναι γνησίως φθίνουσα, αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχουν 1 2x , x ∈Δ με 1 2x x< τέτοια ώστε 1 2f (x ) f (x )≤ . Αντίστοιχα για

να δείξουμε ότι η f δεν είναι γνησίως αύξουσα αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχουν 1 2x , x ∈Δ

με 1 2x x< τέτοια ώστε 1 2f (x ) f (x )≥ .

10. Σε κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση f , η γραφική της παράσταση ( fC ) τέμνει κάθε

οριζόντια ευθεία : y ,= κ κ∈R (ε // x΄x) το πολύ σε ένα σημείο.

11. Αν γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ και 1 2x , x ∈Δ

τότε 1 2 1 2f (x ) f (x ) x x< ⇔ < , το οποίο μπορεί να μας βοηθήσει στην απόδειξη ανισοτήτων

ή και στην επίλυση εξισώσεων. Ομοίως αν η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε 1 2 1 2f (x ) f (x ) x x> ⇔ < .

12. α) Αν μια πολυωνυμική συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ , ]α β τότε η f

θα έχει μέγιστο το f ( )β και ελάχιστο το f ( )α .

β) Ενώ αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ , ]α β τότε θα έχει μέγιστο το f ( )α και

ελάχιστο το f ( ).β

13. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα ( , )α β τότε δεν έχει ακρότατα.

26 / 230



13

14. α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0( , x ]α και γνησίως φθίνουσα

στο 0[x , )β τότε η f στο διάστημα ( , )α β έχει για 0x x= μέγιστη τιμή την 0f (x ) .

β) Ενώ αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0( , x ]α και γνησίως αύξουσα στο

0[x , )β τότε η f στο διάστημα ( , )α β έχει για 0x x= ελάχιστη τιμή την 0f (x ) .

15. Αν το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f είναι το διάστημα: α) [ , ]λ µ τότε η f έχει ελάχιστο το λ και μέγιστο το µ .

β) [ , )λ µ τότε η f έχει ελάχιστο το λ και δεν έχει μέγιστο.

γ) ( , ]λ µ τότε η f έχει μέγιστο το µ και δεν έχει ελάχιστο.

δ) ( , )λ µ τότε η f δεν έχει ακρότατα.

16. α) Αν μια συνάρτηση f είναι άρτια και παρουσιάζει μέγιστο (ή ελάχιστο) σε ένα σημείο της

0x , το 0f (x ) , τότε θα παρουσιάζει και στο 0x− μέγιστο (ή ελάχιστο αντίστοιχα) το

0 0f ( x ) f (x )− = . Παράδειγμα η συνάρτηση f (x) x= συν , («Σχήμα 14»).

β) Αν μια συνάρτηση f είναι περιττή και παρουσιάζει μέγιστο (ή ελάχιστο) σε ένα σημείο

της 0x , το 0f (x ) , τότε θα παρουσιάζει στο 0x− ελάχιστο (ή μέγιστο αντίστοιχα) το

0 0f ( x ) f (x )− = − . Παράδειγμα η συνάρτηση f (x) x= ηµ , («Σχήμα 13»).

17. α) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο το µ και 0µ < τότε

f (x) 0< για κάθε x∈ fD .

β) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστο το και 0> τότε

f (x) 0> για κάθε x∈ fD .

18. α) Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ότι f (x) ≤ α (ή f (x) ≥ α ) για κάθε x∈ fD , δεν

μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η f έχει μέγιστο το α (ή ελάχιστο αντίστοιχα το α ). β) Αν όμως γνωρίζουμε επιπλέον ότι η εξίσωση f (x) = α έχει λύση στο fD τότε η f θα

έχει μέγιστο το α (ή ελάχιστο αντίστοιχα το α ).


27 / 230



28 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 – ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

[Υποκεφάλαιο 1.3 – Μονότονες συναρτήσεις – Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού

βιβλίου].


Συνάρτηση “ −1 1”

Όταν ορίσαμε τη συνάρτηση επισημάναμε ότι σε κάθε στοιχείο x A∈ αντιστοιχίζεται ένα ακριβώς στοιχείο y∈ . Όμως είναι δυνατόν η συνάρτηση σε περισσότερα x A∈ να

αντιστοιχίζει το ίδιο y∈ όπως για παράδειγμα η συνάρτηση f με f (x) x= συν στα σημεία

x2π

= κπ+ με κ∈ . Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν

ένα μόνο πρότυπο x A∈ για κάθε τιμή τους, οι οποίες παρουσιάζουν πολύ ενδιαφέρον.

Ορισμός

Μια συνάρτηση f :A → λέγεται συνάρτηση “ −1 1”, όταν για οποιαδήποτε 1 2x , x A∈

ισχύει η συνεπαγωγή:

αν 1 2x x≠ , τότε 1 2f (x ) f (x )≠

ή ισοδύναμα

Μια συνάρτηση f :A → είναι συνάρτηση “ 11− ”, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε

1 2x , x A∈ ισχύει η συνεπαγωγή:

Αν 1 2f (x ) f (x )= , τότε 1 2x x= .

29 / 230



2

Παράδειγμα 1. Η συνάρτηση f με f (x) x= , με x 0≥ είναι συνάρτηση “1 1− ”. (Σχήμα α)

y x=

O x

y

Γιατί αν υποθέσουμε ότι 1 2f (x ) f (x )= για οποιαδήποτε 1 2x , x [0, )∈ +∞ , τότε έχουμε

διαδοχικά:

1 2 1 2x x x x= ⇔ =

Παράδειγμα 2.

Η συνάρτηση f με f (x) = κ δεν είναι συνάρτηση “1 1− ” (Σχήμα β), αφού 1 2f (x ) f (x )= = κ για

οποιαδήποτε 1 2x , x ∈ .

O x

y

x2

κ

x1

(β)

30 / 230



3


Η συνάρτηση f με 2f (x) x= (Σχήμα γ) δεν είναι συνάρτηση “1 1− ” αφού f ( 2) f (2) 4− = = αν και είναι 2 2− ≠ .

−2 2

4

f(x)=x2

O x

y

Προσοχή: Με παράδειγμα μπορούμε να δεχτούμε την αλήθεια μιας άρνησης , αλλά δεν μπορούμε να δεχτούμε την αλήθεια μιας πρότασης.

31 / 230



4

Σχόλια

Από τον ορισμό προκύπτει ότι:

• για να είναι μία συνάρτηση “1 1− ” θα πρέπει διαφορετικά στοιχεία από το πεδίο ορισμού να έχουν διαφορετικές εικόνες.

• ότι μια συνάρτηση f είναι “1 1− ”, αν και μόνο αν:

1. Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών η εξίσωση y f (x)= έχει ακριβώς μια

λύση ως προς x.

2. Δεν υπάρχουν σημεία στη fC με την ίδια τεταγμένη. Αυτό οδηγεί στο

συμπέρασμα ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη fC το πολύ σε ένα σημείο

(Σχήματα δ και ε).

x

y

συνάρτηση 1-1

O

O x

y

η συνάρτηση δεν είναι 1-1

(δ) (ε)

3. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα ή γνησίως

φθίνουσα), τότε προφανώς, είναι και "1 1"− .Έτσι, οι συναρτήσεις f ,g, h με 3f (x) x= , xg(x) e= , h(x) ln x= , είναι συναρτήσεις “1-1”.

Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι “1 1− ” αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως για

παράδειγμα η συνάρτηση f με x , x 0

f (x) 2 , x 0x

− ≥= − <

(Σχήμα).

O x

y

f(x)

32 / 230



5

Σημαντικές παρατηρήσεις (στη συνάρτηση “1 - 1”)

1. Από τον ορισμό συνάγουμε ότι η συνάρτηση f : A → δεν είναι “1-1” αν και μόνον αν

υπάρχουν δύο τουλάχιστον 1 2x , x A∈ με 1 2x x≠ για τα οποία ισχύει 1 2f (x ) f (x )=

(βλέπε παράδειγμα 3).

2. Αν μία συνάρτηση δεν είναι “1-1” τότε θα υπάρχει ευθεία παράλληλη στον άξονα xx΄ η οποία θα τέμνει τη fC σε δύο τουλάχιστον σημεία, (βλέπε σχήμα (ε)). Χαρακτηριστικά

μπορούμε να αναφέρουμε τις άρτιες συναρτήσεις, π.χ. 2f (x) x= ή κάποιες περιττές,

π.χ. f (x) x= ηµ με πεδίο ορισμού το .

3. Είναι προφανές ότι αν y f (A)∈ και η f είναι “1-1” τότε η εξίσωση y f (x)= έχει μοναδική λύση.

4. Αν μία συνάρτηση είναι “1-1” δεν σημαίνει ότι είναι απαραίτητα γνησίως μονότονη. (Θα μάθουμε στο κεφάλαιο περί «συνέχειας συναρτήσεων», σε ποια περίπτωση αυτή η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη).

5. Μία συνάρτηση f μπορεί να μην είναι “1-1” σε όλο το πεδίο ορισμού της αλλά να είναι

“1-1” σε διάφορα υποσύνολα του πεδίου ορισμού της.

6. Αν η f δεν είναι “1-1” τότε δεν είναι και μονότονη.

7. Αν η f είναι “1-1” σε ένα Ε Α⊆ (πεδίο ορισμού) τότε ισχύουν όλα τα προηγούμενα

στο Ε και f (E) αντί του Α και f(A).

33 / 230



6

Αντίστροφη συνάρτηση

Αν f : A → είναι μια συνάρτηση “1-1”, τότε η συνάρτηση g:f (A) → με την οποία κάθε

y f (A)∈ αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x A∈ για το οποίο ισχύει f (x) y= , ονομάζεται

αντίστροφη της f και συμβολίζεται με 1f − .

Προσοχή: 1 1f (x)f (x)

− ≠

Από τον τρόπο που ορίσαμε την 1f − συμπεραίνουμε ότι:

— έχει ως πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών f (Α) της f .

— έχει ως σύνολο τιμών, το πεδίο ορισμού Α της f και ισχύει:

1f (x) y f (y) x−= ⇔ =

Αυτό σημαίνει ότι, αν η f αντιστοιχίζει το x στο y, τότε η 1f − αντιστοιχίζει το y στο x και

αντιστρόφως. Δηλαδή η 1f − είναι η αντίστροφη διαδικασία της f , οπότε 1f (f (x)) x− = για

κάθε x A∈ και 1f (f (y)) y− = για κάθε y f (A)∈ .

1f −

f

f (A) A

y=f(x) 1f (y) x− =

(στ)

O x x

y=f (x)

y

(ζ)

34 / 230



7

Για παράδειγμα βλέπε σχολικό βιβλίο, σελ.154.

• Ας πάρουμε τώρα μια “1-1” συνάρτηση f και έστω ότι ( )fβ = α . Τότε το σημείο Μ(α,β)

ανήκει στην fC . Όμως σύμφωνα με τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης θα πρέπει 1α f (β)−= δηλαδή το σημείο Μ΄(β,α) θα ανήκει στην 1f

C − . Τα σημεία όμως Μ(α,β) και

Μ΄(β,α) είναι συμμετρικά με άξονα συμμετρίας την ευθεία y x= (διχοτόμος 1ης - 3ης γωνίας

των αξόνων) και με δεδομένο ότι το σημείο Μ είναι τυχαίο σημείο της fC , καταλήγουμε στο

συμπέρασμα ότι η fC και η 1fC − είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y x= .

y=x

O x

M΄(β,α)

M(α,β) y

(η)

35 / 230



8

Σημαντικές παρατηρήσεις (στην αντίστροφη συνάρτηση)

1. Αν μία συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη, τότε και η αντίστροφη της 1f − είναι επίσης

αντιστρέψιμη και ισχύει 1 1(f ) f .− − = 2. Αν η f δεν είναι αντιστρέψιμη τότε η f δεν είναι “1-1”. 3. Αν η f δεν είναι αντιστρέψιμη τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη. 4. Αν η f δεν είναι γνησίως μονότονη τότε η f δεν σημαίνει ότι δεν μπορεί να είναι

αντιστρέψιμη. Π.χ x

f (x)x 3

= + αν

1 x 02 x 1− ≤ ≤− < < −

5. Η αντίστροφη μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο

είδος μονοτονίας. 6. Μια συνάρτηση με πολλούς κλάδους αντιστρέφεται μόνο όταν • Κάθε κλάδος της είναι “1-1” και • Τα σύνολα τιμών των επιμέρους κλάδων είναι ξένα μεταξύ τους.

Σχόλιο: Για να βρούμε το σύνολο τιμών της f, λύνουμε την εξίσωση y f (x)= ως προς x . Για κάθε x A∈ , έχουμε: f (x) y .....x .....= ⇔ = για y .....∈

Π.χ. x 4

f (x)x 2−

= − με

x 6x 5≥≤

και σύνολα τιμών για το κάθε κλάδο [2, )( ,3]

+∞−∞

αντίστοιχα.

Παρατηρούμε ότι για x 7 6= ≥ έχουμε f (7) 3 [2, )= ∈ +∞ και για x 5= έχουμε f (5) 3 ( ,3]= ∈ −∞ . Δηλαδή η f δεν είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της, άρα δεν αντιστρέφεται. Όμως κάθε κλάδος της είναι 1-1 συνάρτηση η οποία και αντιστρέφεται. 7. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση τότε τα κοινά σημεία των γραφικών

παραστάσεων της f και της 1f − τα υπολογίζουμε από την λύση της εξίσωσης f (x) x=

ή της 1f (x) x− = . Στο σημείο αυτό να υπενθυμίσουμε ότι επειδή οι συναρτήσεις f και 1f −είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y x= ισχύει η ισοδυναμία των δύο εξισώσεων:

1f (x) f (x) f (x) x−= ⇔ = ή 1 1f (x) f (x) f (x) x− −= ⇔ = .

Σε αυτή την περίπτωση προφανώς όλα τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων της f και της 1f − βρίσκονται πάνω στην ευθεία y x= .

8. Αν η f δεν είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση τότε τα κοινά σημεία των γραφικών

παραστάσεων της f και της 1f − τα υπολογίζουμε από τη λύση του συστήματος:

36 / 230



9

1

1 1

y f (x) y f (x) x f (y)x f (y)y f (x) y f (x)

−

− −

= = = ⇔ ⇔ == =

Σε αυτή την περίπτωση δεν είναι απαραίτητο ότι τα κοινά σημεία βρίσκονται επάνω στην

ευθεία y x= . 9. Αν ένα σημείο του Oxy είναι κοινό της ευθείας y x= και της fC τότε ανήκει και

στη 1fC .−

ΠΡΟΣΟΧΗ: Η συνάρτηση 4f (x) ln x= έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο ∗

στο οποίο όμως

δεν είναι 1-1. Αν θεωρήσουμε την 4f (x) ln x= στο διάστημα ( ,0)−∞ ή στο (0, )+∞ τότε είναι 1-1 σε κάθε διάστημα ξεχωριστά. Άρα την αντίστροφη την βρίσκουμε σε καθένα από αυτά τα διαστήματα.


37 / 230



38 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ x0∈R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ x0∈R -

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ x0∈R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ

[Κεφ 1.4: Όριο Συνάρτησης στο x0∈R και Ενότητες Όριο και Διάταξη -

Όρια και Πράξεις του κεφ.1.5 Μέρος Β΄ του σχολικού βιβλίου].


Η έννοια του ορίου

Έστω η συνάρτηση 2x 1f (x)

x 1−

=−

, η οποία έχει πεδίο ορισμού fD R= − 1. Αν βάλουμε στη

θέση του x τιμές πολύ κοντά στο 1, προκύπτει ο παρακάτω πίνακας:

x<1 f(x) x>1 f(x)

0,9 1,9 1,1 2,1

0,99 1,99 1,01 2,01

0,999 1,999 1,001 2,001

0,9999 1,9999 1,0001 2,0001

Παρατηρούμε, ότι όταν το x παίρνει τιμές πολύ κοντά στο 1, η f(x) παίρνει τιμές πολύ κοντά στο 2. Σε αυτήν την περίπτωση θα γράφουμε:

x 1lim f (x) 2→

=

και θα διαβάζουμε:

«το όριο της f(x), καθώς το x τείνει στο 1, είναι 2».

Γενικά:

Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό

, καθώς το x προσεγγίζει με οποιονδήποτε τρόπο τον αριθμό 0x , τότε γράφουμε:

0x xlim f (x)→

=

και θα διαβάζουμε:

«το όριο της f(x), καθώς το x τείνει στο 0x , είναι »

ή

«το όριο της f(x) στο 0x , είναι

».

39 / 230



2

Παρατήρηση:

Βλέποντας τα παραπάνω σχήματα προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα:

• Για να αναζητήσουμε το όριο της f στο 0x πρέπει η f να ορίζεται όσο θέλουμε «κοντά

στο 0x », δηλαδή η f να είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής:

( ) ( )0 0, x x ,α ∪ β ή ( )0, xα ή ( )0x , β .

• Το 0x μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης όπως φαίνεται στα

σχήματα (α) και (β), ή να μην ανήκει σε αυτό όπως στο σχήμα (γ).

• Η τιμή της f στο 0x όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο 0x όπως είναι

στο σχήμα (α) ή διαφορετική από αυτό, όπως είναι στο σχήμα (β).

40 / 230



3

Πλευρικά όρια

Παρατηρώντας τα παραπάνω σχήματα βλέπουμε ότι:

• Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό 1 ,

καθώς το x προσεγγίζει το 0x από μικρότερες τιμές ( )0x x< , τότε γράφουμε:

01

x xlim f (x)

−→=

και διαβάζουμε: «το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο 0x από αριστερά, είναι 1 ».

• Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον πραγματικό αριθμό

2 , καθώς το x προσεγγίζει το 0x από μεγαλύτερες τιμές ( )0x x> , τότε γράφουμε:

02

x xlim f (x)

+→=

και διαβάζουμε: «το όριο της f(x), όταν το x τείνει στο 0x από δεξιά, είναι 2 »

Για να υπάρχει τώρα το 0x x

lim f (x)→

και να είναι ίσο με

θα πρέπει και τα δύο πλευρικά όρια να

είναι ίσα με , δηλαδή θα ισχύει:

0x xlim f (x)→

= αν και μόνο αν 0 0x x x x

lim f (x) lim f (x)− +→ →

= =

Τους αριθμούς 0

1x xlim f (x)

−→= και

02

x xlim f (x)

+→= τους λέμε πλευρικά όρια της f στο 0x , και

συγκεκριμένα το 1 , αριστερό όριο της f στο 0x , ενώ το 2 δεξιό όριο της f στο 0x .

41 / 230



4

Συνέπειες του ορισμού

• Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ( )0, xα αλλά δεν ορίζεται

σε διάστημα της μορφής 0(x , )β , τότε ορίζουμε:

0 0x x x xlim f (x) lim f (x)

−→ →=

ενώ

• Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ( )0x , β αλλά δεν ορίζεται

σε διάστημα της μορφής ( )0, xα , τότε ορίζουμε:

0 0x x x xlim f (x) lim f (x)

+→ →=

Θα ισχύουν επίσης οι ακόλουθες ισοδυναμίες:

1. [ ]0 0x x x x

lim f (x) lim f (x) 0→ →

= ⇔ − =

2. 0

0x x h 0lim f (x) lim f (x h)→ →

= ⇔ + =

3. ( )0

0

x x h

0 0x x h 1lim f (x) lim f (x h) , x 0

=

→ →= ⇔ = ≠

42 / 230



5

Όριο και διάταξη

Για τα όρια και τη διάταξη θα ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα:

Θεώρημα 1:

• Αν 0x x

lim f (x) 0→

> , τότε f (x) 0> κοντά στο 0x .

• Αν

0x xlim f (x) 0→

< , τότε f (x) 0< κοντά στο 0x .

Θεώρημα 2:

Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν όριο στο 0x , και ισχύει f (x) g(x)≤ κοντά στο 0x , τότε θα ισχύει:

0 0x x x xlim f (x) lim g(x)→ →

≤

43 / 230



6

Όρια και πράξεις

Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο 0x , τότε:

1. ( )0 0 0x x x x x x

lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)→ → →

+ = +

2. ( )0 0x x x x

lim ·f (x) · lim f (x)→ →

κ = κ , για κάθε σταθερά κ∈R

3. ( )0 0 0x x x x x x

lim f (x)·g(x) lim f (x)· lim g(x)→ → →

=

4. 0

0

0

x x

x xx x

lim f (x)f (x)limg(x) lim g(x)

→

→→

= , εφόσον 0x x

lim g(x) 0→

≠

5. 0 0x x x x

lim f (x) lim f (x)→ →

=

6. 0 0x x x x

lim f (x) lim f (x)κ κ→ →

= , εφόσον f (x) 0≥ κοντά στο 0x

7. [ ]0 0x x x x

lim f (x) lim f (x)ν

ν

→ →

= , *ν∈N

Τέλος, θα ισχύουν:

1. 0

0x xlim x xν ν

→=

2. 0

0x xlim P(x) P(x )→

= ,όπου P(x) το πολυώνυμο 11 1 0P(x) x x ... xν ν−

ν ν−= α +α + +α +α

3. 0

0

x x0

P(x )P(x)limQ(x) Q(x )→

= , εφόσον 0Q(x ) 0≠

44 / 230



7

Παρατηρήσεις: 1. Απαραίτητη προϋπόθεση για να αναζητήσουμε το

0x xlim f (x)→

είναι η f να ορίζεται σε ένα

σύνολο της μορφής ( ) ( )0 0, x x ,α ∪ β ή ( )0, xα ή ( )0x , β

2. Αν

0 0x x x xlim f (x) lim f (x) 0→ →

= ⇔ − =

3. Αν

0 0x x x xlim f (x) 0 lim f (x) 0→ →

= ⇔ =

4. Αν ( )

0 0x x x xlim f (x) lim f (x)→ →

= ⇔ − = −

5. Aν

0 0x x x xlim f (x) lim g(x)→ →

> , τότε f (x) g(x)> κοντά στο 0x

6. Αν f (x) 0≥ (ή f (x) 0≤ ) κοντά στο 0x , τότε

0x xlim f (x) 0→

≥ (ή 0x x

lim f (x) 0→

≤ )

7. Αν

0

2

x xlim f (x) 0→

= ≠ τότε δεν είναι υποχρεωτικό ότι θα υπάρχει το 0x x

lim f (x)→

8. Αν

0x xlim f (x)→

= τότε δεν είναι υποχρεωτικό ότι θα υπάρχει το 0x x

lim f (x)→


45 / 230



46 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

[Ενότητες Κριτήριο Παρεμβολής - Τριγωνομετρικά Όρια - Όριο Σύνθετης Συνάρτησης του

κεφ.1.5 Μέρος Β΄ του σχολικού βιβλίου].


Κριτήριο παρεμβολής

Θεώρημα: Έστω οι συναρτήσεις f ,g ,h. Αν h(x)≤f(x)≤g(x) κοντά στο x0 και

limx→x0

h(x) = limx→x0

g(x) = ℓ, τότε:

limx→x0

f(x) = ℓ

47 / 230



2

Βασικά τριγωνομετρικά όρια στο 𝐱𝟎 ∈ ℝ

Γνωρίζοντας ότι |ηµx| ≤ |x| , ισχύει για κάθε x∈ και με τη βοήθεια του κριτηρίου παρεμβολής αποδεικνύεται ότι:

• limx→x0

ηµx = ηµx0

• limx→x0

συνx = συνx0

• limx→0

ηµxx

= 1

• limx→0

συνx−1x

= 0

48 / 230



3

Όριο σύνθετης συνάρτησης

Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το limx→x0

fg(x):

i) Θέτουμε g(x) = u.

ii) Για x → x0 συμπεραίνουμε u → u0 όπου u0 = limx→x0

g(x) (αν υπάρχει).

iii) Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το lim

u→u0f(u).

Αν g(x) ≠ u0 κοντά στο x0, τότε lim

x→x0fg(x) = lim

u→u0f(u).

49 / 230



4

Σημαντικές παρατηρήσεις Με τη βοήθεια του κριτηρίου παρεμβολής αποδεικνύεται ότι:

i) Αν limx→x0

f2(x) = 0 τότε limx→x0

f(x) = 0.

ii) Aν lim

x→x0|f(x)| = 0 τότε lim

x→x0f(x) = 0.

50 / 230



5

Παραδείγματα εφαρμογής Παράδειγμα 1. Να βρείτε το lim

x→0f(x) αν 1 + x − x2 ≤ f(x) ≤ 1 + x + x2, για κάθε x ∈ ℝ.

Λύση Έχουμε lim

x→0(1 + x− x2) = 1 + 0− 0 = 1 και lim

x→0(1 + x + x2) = 1 + 0 + 0 = 1.

Τότε λόγω του κριτηρίου παρεμβολής έχουμε lim

x→0f(x) = 1.


Να βρείτε το limx→0

1−συν2xx2

. Λύση

limx→0

1− συν2xx2

= limx→0

ηµ2xx2

= limx→0

ηµx

x2

= limx→0

ηµxx2

= 12 = 1

Παράδειγμα 3. Να βρείτε το lim

x→0

ηµ(αx)x

, α ≠ 0. Λύση Θέτουμε αx = u (1). Τότε x = u

α (2) και όταν x → 0 το lim

x→0(αx) = 0 άρα u → 0 (3).

Από τις (1), (2), (3) έχουμε: limx→0

ηµ(αx)x

= limx→0

αηµ(αx)αx

= limu→0

αηµuu

= αlimu→0

ηµuu

= α ∙ 1 = α


51 / 230



52 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x0∈R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ -

ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ

[Κεφ. 1.6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο x0∈R - Κεφ. 1.7: Όρια Συνάρτησης στο Άπειρο του

σχολικού βιβλίου].


Μη πεπερασμένο όριο στο 𝐱𝟎 ∈ ℝ

• Έστω συνάρτηση f της οποίας η γραφική

παράσταση κοντά στο x0 ∈ ℝ φαίνεται στο

«Σχήμα 1». Παρατηρούμε ότι καθώς το x

πλησιάζει το x0 με οποιοδήποτε τρόπο οι

τιμές f(x) αυξάνονται απεριόριστα και

γίνονται μεγαλύτερες από κάθε θετικό

πραγματικό αριθμό Μ. Σε κάθε τέτοια

περίπτωση θα λέμε ότι η συνάρτηση f έχει

στο x0 όριο το +∞ και θα γράφουμε ότι

0x xlim f (x)→

= +∞ .

• Έστω συνάρτηση f της οποίας η γραφική

παράσταση κοντά στο x0 ∈ ℝ φαίνεται στο

«Σχήμα 2». Παρατηρούμε ότι καθώς το x

πλησιάζει το x0 (από τα αριστερά και από τα

δεξιά) οι τιμές f(x) ελαττώνονται απεριόριστα

και γίνονται μικρότερες από κάθε αρνητικό

πραγματικό αριθμό –Μ (Μ>0). Σε κάθε τέτοια

περίπτωση θα λέμε ότι η συνάρτηση f έχει στο x0

όριο το -∞ και θα γράφουμε ότι 0x x

lim f (x)→

= −∞ .

• Ανάλογοι ορισμοί μπορούν να διατυπωθούν όταν 0x x−→ («Σχήμα 3») και 0x x+→ («Σχήμα

4»).

Σχήμα 1

Σχήμα 7

Σχήμα 2

53 / 230



2

Στα άπειρα όρια των συναρτήσεων οι οποίες ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής

0 0( , x ) (x , )α ∪ β ισχύουν αντίστοιχες ισοδυναμίες όπως και στα πεπερασμένα όρια:

0 0 0x x x x x xlim f (x) lim f (x) lim f (x)

− +→ → →= +∞⇔ = = +∞

0 0 0x x x x x xlim f (x) lim f (x) lim f (x)

− +→ → →= −∞⇔ = = −∞

Σχήμα 7

Σχήμα 3

Σχήμα 7

Σχήμα 4

54 / 230



3

Ιδιότητες

• Αν 0x x

lim f (x)→

= +∞ , τότε f (x) 0> κοντά στο x0, ενώ

αν 0x x

lim f (x)→

= −∞ , τότε f (x) 0< κοντά στο x0 .

• Αν 0x x

lim f (x)→

= +∞ , τότε ( )0x x

lim f (x)→

− = −∞ , ενώ

αν 0x x

lim f (x)→

= −∞ , τότε ( )0x x

lim f (x)→

− = +∞ .

• Αν 0x x

lim f (x)→

= +∞ ή 0x x

lim f (x)→

= −∞ , τότε 0x x

1lim 0f (x)→

= .

• Αν 0x x

lim f (x) 0→

= και f (x) 0> κοντά στο x0, τότε 0x x

1limf (x)→

= +∞ ,

ενώ αν 0x x

lim f (x) 0→

= και f (x) 0< κοντά στο x0, τότε 0x x

1lim .f (x)→

= −∞

• Αν

0x xlim f (x)→

= +∞ ή 0x x

lim f (x)→

= −∞ , τότε 0x x

lim f (x)→

= +∞ .

• Αν 0x x

lim f (x)→

= +∞ , τότε 0x x

lim f (x) , 0,1κ→

= +∞ κ∈ − .

Με την βοήθεια των παραπάνω ιδιοτήτων προκύπτει:

• 2x 0

1limx→

= +∞ και γενικά *

2x 0

1lim , x ν→

= +∞ ν∈

• x 0

1limx+→= +∞ και γενικά 2 1x 0

1lim , x+ ν+→

= +∞ ν∈

• x 0

1limx−→= −∞ και γενικά 2 1x 0

1lim , x− ν+→

= −∞ ν∈

• Επειδή 2 1 2 1x 0 x 0

1 1lim lim , x x+ −ν+ ν+→ →

≠ ν∈ δεν υπάρχει το 2 1x 0

1lim , x ν+→

ν∈

55 / 230



4

Θεωρήματα για τα όρια αθροίσματος και γινομένου δύο συναρτήσεων:

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (όριο αθροίσματος)

Αν στο x0 ∈ ℝ

το όριο της f είναι: α∈ ℝ α∈ ℝ +∞ −∞ +∞ −∞

και το όριο της g είναι:

+∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞

τότε το όριο της f +g είναι:

+∞ −∞ +∞ −∞ ; ;

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (όριο γινομένου)

Αν στο x0 ∈ ℝ

το όριο της f είναι:

α>0 α<0 α>0 α<0 0 0 +∞ +∞ –∞ –∞

και το όριο της g είναι: +∞ +∞ –∞ –∞ +∞ –∞ +∞ –∞ +∞ –∞

τότε το όριο της f·g είναι: +∞ –∞ –∞ +∞ ; ; +∞ –∞ –∞ +∞

Όπου υπάρχει ερωτηματικό στους παραπάνω πίνακες, σημαίνει ότι το όριο (αν

υπάρχει) εξαρτάται κάθε φορά από τις συναρτήσεις που παίρνουμε. Σε αυτές τις

περιπτώσεις θα λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή (*Παράδειγμα). Δηλαδή,

απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι:

( ) ( )+∞ + −∞ και ( )0 ⋅ ±∞ .

Επειδή f g f ( g)− = + − και f 1fg g= ⋅ , προκύπτει ότι απροσδιόριστες μορφές για τα όρια

της διαφοράς και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι:

( ) ( )+∞ − +∞ , ( ) ( )−∞ − −∞ και 00

, ±∞±∞

.

56 / 230



5


Έστω οι συναρτήσεις 2

1f (x)x

= , 2

5g(x)x

= − , και 2

5h(x) 6x

= + .

Επειδή x 0lim f (x)→

= +∞ , x 0lim g(x)→

= −∞ , x 0lim h(x)→

= +∞ ,

η εφαρμογή του πρώτου θεωρήματος (όριο αθροίσματος) για τα όρια των συναρτήσεων

f g h g+ και + στο χ0=0 μας οδηγεί σε απροσδιοριστία της μορφής ( ) ( )+∞ + −∞ .

Εξάλλου:

( ) 2 2 2

1 5 4f g (x)x x x

+ = − = −

( ) 2 2

5 5h g (x) 6 6x x

+ = + − =

Oπότε:

( ) 2 2x 0 x 0 x 0

4 1lim f g (x) lim 4 lim 4 ( )x x→ → →

+ = − = − ⋅ = − ⋅ +∞ = −∞

( )x 0 x 0lim h g (x) lim 6 6→ →

+ = =

57 / 230



6

Όρια συνάρτησης στο άπειρο

Έστω τρεις συναρτήσεις f, g, h και οι γραφικές τους παραστάσεις σε ένα διάστημα της

μορφής ( )+∞a, (Σχήματα 5,6,7).

Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f

(«Σχήμα 5»), παρατηρούμε ότι καθώς το x

αυξάνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε τρόπο,

το f(x) προσεγγίζει όσο θέλουμε τον

πραγματικό αριθμό ℓ. Σε κάθε τέτοια

περίπτωση λέμε ότι η f έχει στο +∞ όριο το ℓ

και γράφουμε:

xlim f (x)→+∞

=

Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g



το g(x) αυξάνεται απεριόριστα. Σε κάθε τέτοια

περίπτωση λέμε ότι η g έχει στο +∞ όριο το +∞


xlim g(x)→+∞

= +∞

Σχήμα 5

Σχήμα 6

58 / 230



7

Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης h



το h(x) ελαττώνεται απεριόριστα. Σε κάθε

τέτοια περίπτωση λέμε ότι η h έχει στο +∞ όριο

το -∞ και γράφουμε:

Από τα παραπάνω, γίνεται φανερό ότι για να έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου μιας

συνάρτησης στο +∞, πρέπει η συνάρτηση να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής

( ),α +∞ .

Ανάλογα αν f, g, h τρεις συναρτήσεις των οποίων οι γραφικές τους παραστάσεις σε ένα

διάστημα της μορφής ( ),−∞ β φαίνονται στα παρακάτω σχήματα, παρατηρούμε ότι :

Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f


ελαττώνεται απεριόριστα με οποιονδήποτε

τρόπο, το f(x) προσεγγίζει όσο θέλουμε τον

πραγματικό αριθμό ℓ. Σε κάθε τέτοια

περίπτωση λέμε ότι η f έχει στο –∞ όριο το ℓ


xlim f (x)→−∞

=

Σχήμα 7

Σχήμα 8

xlim h(x)→+∞

= −∞

59 / 230



8

Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g



τρόπο, το g(x) αυξάνεται απεριόριστα. Σε κάθε

τέτοια περίπτωση λέμε ότι η g έχει στο –∞ όριο

το +∞ και γράφουμε:

xlim g(x)→−∞

= +∞

Στη γραφική παράσταση της συνάρτησης h



τρόπο, το h(x) ελαττώνεται απεριόριστα. Σε

κάθε τέτοια περίπτωση λέμε ότι η h έχει στο –∞

όριο το -∞ και γράφουμε:

xlim h(x)→−∞

= −∞

Φανερά για να μπορέσουμε να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης στο –∞, πρέπει η συνάρτηση να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής ( ),−∞ β .

Σχήμα 9

Σχήμα 10

60 / 230



9

Όρια πολυωνυμικής και ρητής συνάρτησης

• Για την πολυωνυμική συνάρτηση 11 0P(x) x xν ν−

ν ν−= α +α + +α με 0να ≠ ισχύει:

• Για την ρητή συνάρτηση 1

1 1 01

1 1 0

x x xf (x)x x x

ν ν−ν ν−

κ κ−κ κ−

α +α + +α +α=β +β + +β +β

με 0, 0ν κα ≠ β ≠

ισχύει:

Όρια εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης

• Αν 1α > τότε:

• Αν 0 1< α < τότε:

x xlim P(x) lim ( x )νν→+∞ →+∞

= α και x xlim P(x) lim ( x )νν→−∞ →−∞

= α

x x

xlim f (x) limx

νν

κ→+∞ →+∞κ

α=

β και

x x

xlim f (x) limx

νν

κ→−∞ →−∞κ

α=

β

x

xlim 0→−∞

α = , x

xlim→+∞

α = +∞

x 0lim log xα→

= −∞ , xlim log xα→+∞

= +∞

x

xlim→−∞

α = +∞ , x

xlim 0→+∞

α =

x 0lim log xα→

= +∞ , xlim log xα→+∞

= −∞

61 / 230



10

Πεπερασμένο όριο ακολουθίας

Ορισμοί:

• Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση α: 𝚴∗ → ℝ

• Θα λέμε ότι η ακολουθία ( να ) έχει όριο το ℓ ∈ ℝ και θα γράφουμε lim νν→+∞

α = ,

όταν για κάθε ε > 0, υπάρχει ν0 ∈ ℕ∗ τέτοιο, ώστε για κάθε 0ν > ν να ισχύει:

| |να − < ε

Σημείωση: Στα όρια ακολουθιών ισχύουν όσες ιδιότητες έχουν αναφερθεί στα όρια

συναρτήσεων στο +∞.

62 / 230



11


1) Ισχύει ότι: xlim xν

→+∞= +∞ και

x

1lim 0xν→+∞

= , *ν∈ ,

x

, αν ν άρτιοςlim x

, αν ν περιττόςν

→−∞

+∞= −∞

και x

1lim 0xν→−∞

= , *ν∈

2) Οι γνωστές ιδιότητες των ορίων ισχύουν και για τα όρια στο +∞, –∞ με την προϋπόθεση ότι

οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και δεν καταλήγουμε σε

απροσδιόριστη μορφή.

3) Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις xηµ , xσυν , xεφ , xσφ δεν έχουν όριο στο +∞ και στο

–∞.

4) i) ( )0

*2x x

0

1lim , x x ν→

= +∞ ν∈−

και 0x x

0

1limx x→

= +∞−

ii) Επειδή ( ) ( )0 0

2 1 2 1x x x x0 0

1 1lim , lim , x x x x− +ν+ ν+→ →

= −∞ = +∞ ν∈− −

,

δεν υπάρχει το ( )0

2 1x x0

1lim , x x ν+→

ν∈−

.

5) Όταν x →+∞

τότε μπορούμε να θεωρούμε ότι x ( , ), 0∈ α +∞ α >

οπότε μπορούμε να γράφουμε: 2x x x .= =

Ανάλογα, όταν x →−∞ τότε μπορούμε να θεωρούμε ότι x ( , ), 0∈ −∞ β β < ,

οπότε μπορούμε να γράφουμε: 2x x x .= = −

6) Αν 1α >

γνωρίζουμε ότι x

xlim 0→−∞

α = και x

xlim→+∞

α = +∞ ,

άρα x

x

1lim→−∞

= +∞ α και

x

x

1lim 0.→+∞

= α

7) Αν 0 1< α < γνωρίζουμε ότι x

xlim→−∞

α = +∞ και x

xlim 0→+∞

α = ,

άρα x

x

1lim 0→−∞

= α και

x

x

1lim .→+∞

= +∞ α


63 / 230



64 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

[Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας – Πράξεις με Συνεχείς Συναρτήσεις – Συνέχεια

Συνάρτησης σε Διαστήματα πλην των Βασικών Θεωρημάτων του κεφ.1.8 Μέρος Β΄ του



Θα ασχοληθούμε με την έννοια της «συνέχειας συνάρτησης». Αρχικά θα μιλήσουμε για τη «συνέχεια συνάρτησης σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της» και κατόπιν για τη «συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων». Η συνέχεια συνάρτησης μας βοηθάει να υπολογίζουμε προσεγγιστικά μία τιμή της αν ο υπολογισμός της δεν είναι δυνατός με ακρίβεια, να εντοπίζουμε και αν χρειαστεί να προσεγγίσουμε τις ρίζες μίας εξίσωσης κ.α. Όπως έχουμε αναφέρει και σε προηγούμενο κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις που ορίζονται σε διάστημα ή ένωση διαστημάτων.

ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ 0x

Από τον παραπάνω ορισμό μπορούμε να εξάγουμε πολλά χρήσιμα συμπεράσματα:

1. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x A∈ τότε και μόνον τότε όταν υπάρχουν τα όρια

0x xlim f (x)

+→ και

0x xlim f (x)

−→ (πλευρικά όρια στο 0x ) και ισχύει :

0 0

0x x x xlim f (x) lim f (x) f (x )

+ −→ →= = .

Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Α⊆ .Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο 0x ∈Α όταν ισχύει:

00x x

lim f (x) f (x )→

=

65 / 230



2

2. Η συνάρτηση g ΔΕΝ είναι συνεχής στο 0x A∈ (ασυνεχής) όταν υπάρχουν τα

πλευρικά όρια στο 0x A∈ αλλά ισχύει 0 0

0x x x xlim g(x) lim g(x) g(x )

+ −→ →= ≠ .

3. Η συνάρτηση h ΔΕΝ είναι συνεχής στο 0x A∈ (ασυνεχής) όταν τα πλευρικά όρια

στο 0x A∈ είναι διαφορετικά δηλαδή 0 0x x x x

lim h(x) lim h(x)+ −→ →

≠ .

66 / 230



3

Από τις τρεις γραφικές παραστάσεις μόνον η γραφική παράσταση (α) δεν διακόπτεται στο

0x , άρα ανταποκρίνεται σε συνάρτηση συνεχή σε σημείο 0x A∈ .

Π Ρ Ο Σ Ο Χ Η:

α. Η συνέχεια μίας συνάρτησης αναφέρεται πάντα σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της .

Άρα όταν λέμε ότι «η f είναι συνεχής στο 0x » είναι αυτονόητο ότι το 0x είναι σημείο του

πεδίου ορισμού της .

β. Αν η f είναι ορισμένη στο [α,β]τότε για να είναι συνεχής στα άκρα α, β θα πρέπει να ισχύει :

xlim f (x) f ( )

+→α= α και

xlim f (x) f ( )

−→β= β

γ. Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της

θα ονομάζεται συνεχής συνάρτηση.

67 / 230



4

Σημειώνουμε ότι:

1) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) είναι συνεχής αφού γνωρίζουμε ότι για κάθε

0x ∈ ισχύει 0

0x xlim Ρ(x) Ρ(x )→

= .

2) Κάθε ρητή συνάρτηση Ρ(x)Q(x)

είναι συνεχής αφού για κάθε 0x του πεδίου ορισμού

της ισχύει: 0

0

x x0

Ρ(x )Ρ(x)limQ(x) Q(x )→

= , 0Q(x ) 0≠ .

3) Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις f (x) x= ηµ και g(x) x= συν είναι συνεχείς αφού

για κάθε 0x ∈ ισχύει :

0

0x xlim ημx ημx→

= και 0

0x xlim συνx συνx→

= .

4) Επίσης οι συναρτήσεις xf (x) = α με x∈ και 0α > και αg(x) log x= με 0 1< α ≠

και x 0> είναι συνεχείς αφού ισχύουν 0

0

xx

x xlim α α→

= και 0

0x xlim log x log xα α→

= .

68 / 230



5

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Από τον ορισμό της συνέχειας στο 0x και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτουν τα εξής

θεωρήματα:

Θ ε ώ ρ η μ α 1 :

Αν οι συναρτήσεις f ,g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο σημείο 0x , τότε και οι συναρτήσεις :

f g± , c f⋅ με c∈ , f g⋅ , fg

με ( )0 0g x ≠ , f και ν f με ( ) 0f x ≥ , *, 2ν ν∈ ≥ , είναι

συνεχείς στο 0x , με τη προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το 0x .

Χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι:

1) f (x) x= εϕ και g(x) x= σϕ , ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων

2) f (x) x= ηµ

3) 3 2f (x) 1 x= − με x [ 1,1]∈ − .

Θ ε ώ ρ η μ α 2 :

Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα Α και συνάρτηση g ορισμένη στο διάστημα Β. Αν

η f είναι συνεχής στο 0x A∈ και η g συνεχής στο 0f (x ) B∈ , τότε η σύνθεση g f είναι

συνεχής στο 0x .

Δηλαδή 0 0 0

0x x x x x xlim (g f )(x) lim g(f (x)) g( lim f (x)) g(f (x ))→ → →

= = =

π.χ. Έστω f (x) x= ηµ με πεδίο ορισμού το Α=

και 2g(x) x= με πεδίο ορισμού το Β=

.

Τότε 0 0 0 0

2 20x x x x x x x x

lim (gof )(x) lim g(f (x)) lim g( x) lim x x→ → → →

= = ηµ = ηµ = ηµ .

69 / 230



6

ΠΡΟΣΟΧΗ : Αν οι συναρτήσεις , , ,ff g fg fg

± είναι συνεχείς στο 0x τότε δεν

σημαίνει πάντα, ότι οι ,f g είναι συνεχείς στο 0x .

Π.χ.

Έστω 2

f (x)2

= −

αν x 0x 0≥<

και 2

g(x)2−

=

αν x 0x 0≥<

.

Το πεδίο ορισμού είναι το

και για τις δύο συναρτήσεις.

Οι συναρτήσεις f και g δεν είναι συνεχείς στο σημείο 0x 0= επειδή x 0 x 0lim f (x) lim 2 2

+ +→ →= =

ενώ x 0 x 0lim f (x) lim ( 2) 2

− −→ →= − = − και

x 0 x 0lim g(x) lim ( 2) 2

+ +→ →= − = − ενώ

x 0 x 0lim g(x) lim 2 2

− −→ →= =

όμως (f g)(x) f (x) g(x) 0+ = + = (με πεδίο ορισμού το

) είναι συνεχής για κάθε x∈ .

70 / 230



7

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Θα δώσουμε τώρα δύο ορισμούς για συνεχείς συναρτήσεις σε διαστήματα του πεδίου ορισμού τους :

ΟΡΙΣΜΟΣ

1) Θα λέμε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (α,β) , όταν είναι συνεχής σε κάθε

x ( , )∈ α β .

2) Θα λέμε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] όταν είναι συνεχής στο (α,β) και

επιπλέον ισχύουν xlim f (x) f ( )

+→α= α και

xlim f (x) f ( )

+→β= β .

Με ανάλογο τρόπο ορίζουμε και τη συνέχεια της συνάρτησης f στα διαστήματα [α,β) και

(α,β] .

71 / 230



8


1. Αν δίνεται ότι μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι συνεχής στο 0x τότε

συμπεραίνουμε τα εξής:

• Το 0x A∈

• Υπάρχει το 0x x

lim f (x)→

• Το 0x x

lim f (x)→

είναι πραγματικός αριθμός

• 0

0x xlim f (x) f (x )→

=

2. Μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x ∈Α αν και μόνον αν :

• 0

0x xlim f (x) f (x )→

= ή

• 0

0x xlim[f (x) f (x )] 0→

− = ή

• 0 0h 0lim f (x h) f (x )→

+ = ή 0 0h 0lim f (x h) f (x )→

+ κ ⋅ = , 0κ ≠

• 0 0h 1lim f (x h) f (x )→

⋅ = , 0x 0≠

3. Αν οι συναρτήσεις f ,g είναι συνεχείς στο 0x τότε και οι f gκ ⋅ ± λ ⋅ είναι συνεχείς στο

0x με κ , λ πραγματικούς αριθμούς.

4. Έστω ότι το 0x ∉Α . Σε αυτή τη περίπτωση δεν έχει νόημα να εξετάσουμε αν η f είναι

ή όχι συνεχής στο 0x

5. Η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο 0x A∈ αν τουλάχιστον ένα από τα πλευρικά

όρια απειρίζεται θετικά ή αρνητικά .

Π.χ.

2

1(x 3)f (x)1

−= αν

x [0,3)x 3∈=

72 / 230



9

6. Όταν λέμε ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής, εννοούμε ότι είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

7. Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της τότε είναι συνεχής και σε κάθε υποσύνολό του.

8. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο Α ⊆ τότε η 1f −

είναι συνεχής στο f (A) .

9. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής και 1-1 σε ένα διάστημα Α⊆ τότε είναι και

γνησίως μονότονη στο Α.

(Η πρόταση για να χρησιμοποιηθεί στις γενικές εξετάσεις θέλει απόδειξη .Την απόδειξη θα την δώσουμε στην επόμενη ενότητα.)


73 / 230



74 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

[Ενότητα Βασικά Θεωρήματα του κεφ.1.8 Μέρος Β΄ του σχολικού βιβλίου].


ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] και επιπλέον

• η f είναι συνεχής στο [α,β] • f ( ) f ( ) 0α ⋅ β < (δηλ. οι τιμές f (α) , f ( )β είναι ετερόσημες)

τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β)∈ έτσι ώστε f (ξ) 0= .

Με άλλα λόγια η εξίσωση f (x) 0= έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα στο ανοικτό

διάστημα (α,β) .

(Δηλαδή η fC τέμνει τον άξονα xx΄ σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη 0x ( , )∈ α β ).

Γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Bolzano Γεωμετρικά μπορούμε να ερμηνεύσουμε το παραπάνω θεώρημα ως εξής:

Το τμήμα της γραφικής παράστασης της f που περιέχεται μεταξύ των ευθειών x = α και x = β τέμνει τον xx΄ τουλάχιστον μία φορά.

75 / 230



2

Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Το θεώρημα Bolzano εξασφαλίζει την ύπαρξη τουλάχιστον μίας πραγματικής ρίζας της

εξίσωσης f (x) 0= στο (α,β) .Ωστόσο δεν αποκλείεται η ύπαρξη περισσότερων ριζών στο

(α,β) .Αυτό που κυρίως μας εξασφαλίζει είναι «το ΑΔΥΝΑΤΟΝ ΤΗΣ ΜΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΡΙΖΑΣ στο

(α,β)»

2. Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι αν για μία πραγματική συνάρτηση f :[ , ]α β → υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α,β)∈ έτσι ώστε

f (ξ) 0= δεν συνεπάγεται αναγκαία ότι η f είναι συνεχής ή ότι οι τιμές f (α) , f ( )β είναι

ετερόσημες δηλαδή f ( ) f ( ) 0α ⋅ β < .

76 / 230



3

3. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f (x) 0≠ για όλα τα

x∈∆ τότε συνάγουμε ότι f (x) 0< ή f (x) 0> για κάθε x∈∆ . Αυτό σημαίνει ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ.

Απόδειξη: Αν η f δεν διατηρούσε σταθερό πρόσημο τότε θα υπήρχαν ,α β∈∆ ,με α < β

τέτοια ώστε f ( ) 0α > και f ( ) 0β < ή f ( ) 0 f ( ) 0α < και β > δηλαδή f ( ) f ( ) 0α ⋅ β < , που

σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano, θα υπήρχε μία τουλάχιστον ρίζα στο ( , )α β που είναι

άτοπο λόγω της υπόθεσης μας, άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ.

4. Μία συνεχής συνάρτηση f διατηρεί το πρόσημο της σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

(Από την έκφραση «διαδοχικές ρίζες» συμπεραίνουμε ότι f (x) 0≠ για κάθε 1 2x ( , )∈ ρ ρ

όπου 1 2,ρ ρ είναι δύο διαδοχικές ρίζες της f ).

5. Αν η f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο [α,β] και επί πλέον ισχύει

f ( ) f ( ) 0α ⋅ β < , τότε η f έχει ακριβώς μία ρίζα στο (α,β) .

6. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και ισχύει:

77 / 230



4

• f (x) 0≠ για κάθε x∈∆

• f (ξ) 0> με ξ Δ∈

τότε f (x) 0> για κάθε x∈∆ .

7. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και ισχύει:

• f (x) 0≠ για κάθε x∈∆

• f (ξ) 0< με ξ Δ∈

τότε f (x) 0< για κάθε x∈∆ .

8. Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα. Απόδειξη:

Έστω 11 1 0P(x) x x ... xν ν−

ν ν−= α +α + +α +α με *0, , xνα ≠ ν∈ ∈ ένα πολυώνυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές.

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

i. Έστω 0να > , τότε έχουμε:

x xlim P(x) lim ( x )νν→−∞ →−∞

= α = −∞

οπότε υπάρχει 0α < τέτοιο ώστε να ισχύει P( ) 0α < και

x xlim P(x) lim ( x )νν→+∞ →+∞

= α = +∞

οπότε υπάρχει 0β > τέτοιο ώστε να ισχύει P( ) 0β > Συνεπώς για την πολυωνυμική συνάρτηση P(x) , με πεδίο ορισμού το , ισχύουν:

1. Είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο διάστημα [ ],α β ⊆ .

2. P( )P( ) 0α β < . Άρα σύμφωνα με το Θεώρημα Bolzano η εξίσωση P(x) 0= έχει τουλάχιστον μία

ρίζα στο ( , )α β ⊆ , συνεπώς και στο .

ii. Oμοίως εργαζόμαστε αν 0να < .

78 / 230



5

Θα μας απασχολήσει τώρα ένα θεώρημα το οποίο θεωρείται «γενίκευση» του θεωρήματος Bolzano.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]και επιπλέον

• η f είναι συνεχής στο [α,β]

• f (α) f (β)≠

τότε για κάθε αριθμό κ που βρίσκεται μεταξύ των f (α) και f ( )β υπάρχει τουλάχιστον ένας

αριθμός ξ (α,β)∈ έτσι ώστε f ( )ξ = κ .

Απόδειξη:

Ας υποθέσουμε ότι f ( ) f ( )α < β .Τότε θα ισχύει f ( ) f ( )α < κ < β . Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(x) f (x)= − κ , x [ , ]∈ α β , παρατηρούμε ότι:

• H g είναι συνεχής στο [ , ]α β και • g( )g( ) 0α β <

Αφού g( ) f ( ) 0α = α − κ < και g( ) f ( ) 0β = β − κ > Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον ( , )ξ∈ α β τέτοιο, ώστε g( ) f ( ) 0ξ = ξ − κ = , οπότε f ( )ξ = κ

Γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Ενδιάμεσων Τιμών

79 / 230



6

1. Η παράλληλη ευθεία y = κ προς τον xx΄ θα τέμνει την fC τουλάχιστον σε ένα σημείο (στο

συγκεκριμένο παράδειγμα στα σημεία ξ1, ξ2, ξ3).

2. Κάθε σημείο του άξονα yy΄ που βρίσκεται ανάμεσα στα f ( )α και f ( )β θα είναι τιμή της συνάρτησης f .

Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Αν η συνεχής συνάρτηση f ορίζεται στο διάστημα Δ , τότε η εικόνα του Δ μέσω της f

(δηλαδή η f (Δ) ) θα είναι διάστημα, δηλαδή δεν είναι ένωση διαστημάτων, με την

προϋπόθεση ότι η f δεν είναι σταθερή.

2. Αν η f είναι σταθερή συνάρτηση τότε το f ( )∆ είναι ένα σημείο (μονοσύνολο)

(εκφυλισμένο διάστημα της μορφής [ , ]λ λ ).

80 / 230



7

3. Το αντίστροφο του Θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών δεν ισχύει κατ’ανάγκη, δηλαδή αν μία συνάρτηση f ορισμένη στο [ , ]α β , παίρνει κάθε τιμή μεταξύ του f ( )α και του f ( )β , δεν

σημαίνει ότι αυτή είναι συνεχής στο [ , ]α β .

4. Η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα Δ είναι μία συνεχής γραμμή.

5. Αν η f ΔΕΝ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ , ]α β τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες

τις ενδιάμεσες τιμές.

6. Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ,

τότε η αντίστροφη της, δηλαδή η 1f : f ( )− ∆ → ∆ είναι συνεχής στο f ( )∆ και έχει το ίδιο είδος μονοτονίας.

7. Αν το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης περιέχει το μηδέν τότε η εξίσωση f (x) 0=

έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

81 / 230



8

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

Έστω f συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστημα [α,β], τότε υπάρχουν 1 2x , x [ , ]∈ α β για τα

οποία ισχύει 1 2f (x ) f (x) f (x )≤ ≤ για κάθε x [ , ]∈ α β .

Δηλαδή η f έχει στο [α,β] ελάχιστη τιμή την 1f (x ) την οποία τη συμβολίζουμε m και μέγιστη

τιμή την 2f (x ) την οποία συμβολίζουμε με Μ.

Δηλαδή m f (x) f (x) [m, ]≤ ≤ Μ ⇔ ∈ Μ


1. Από το Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών και το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το κλειστό διάστημα [α,β], μπορούμε να

συμπεράνουμε ότι το σύνολό τιμών της f είναι το κλειστό διάστημα [m,Μ] . Δηλαδή

μπορούμε πλέον να έχουμε μία πρώτη εικόνα για το πώς μπορούμε να βρίσκουμε το σύνολο τιμών μίας συνάρτησης.

2. Αν έχουμε μία συνάρτηση f συνεχή και γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε

μπορούμε να βρούμε το σύνολο τιμών της f ανάλογα με το είδος της μονοτονίας της και τη μορφή του Δ. Δηλαδή: Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( , )α β , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α,Β),όπου

xA lim f (x)

+→α= και

xB lim f (x)

−→β=

Αν, όμως η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ( , )α β , τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Β,Α)

82 / 230



9

[α,β]

ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ

[f ( ), f ( )]α β

ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ

[f ( ), f ( )]β α

(α,β)


x x

( lim f (x), lim f (x))+ −→α →β


x x

( lim f (x), lim f (x))− +→β →α

[α,β)


x

[f ( ), lim f (x))−→β

α


x

( lim f (x), f ( )]−→β

α

(α,β]


x( lim f (x), f ( )]

+→αβ


x[f ( ), lim f (x))

+→αβ

Πρέπει να προσέξουμε ότι στις περιπτώσεις που έχουμε ανοιχτά διαστήματα αντί για άκρο πραγματικό αριθμό μπορούμε να έχουμε το ±∞ . Σε αυτή την περίπτωση ισχύουν ανάλογα συμπεράσματα.


83 / 230



84 / 230



1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

[Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].


Έννοια παραγώγου

Ορισμός:

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της , αν υπάρχει το

lim x→x0

f(x)− f(x0)x − x0

και είναι πραγματικός αριθμός.

Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x0 και συμβολίζεται με 𝑓′(x0). Δηλαδή είναι

f ′(x0) = lim x→x0

f(x)−f(x0)x−x0

.

Αν τώρα θέσουμε όπου x = x0 + h τότε έχουμε f ′(x0) = lim h→0

f(x0+h)−f(x0)h

.

Πολλές φορές το x − x0 συμβολίζεται με Δx ενώ το f(x0 + h)− f(x0) συμβολίζεται με Δf(x0).

Άρα έχουμε f ′(x0) = lim Δx→0

Δf(x0)Δx

.

Ένας άλλος συμβολισμός της παραγώγου της f στο x0 είναι df(xo)dx

ή df(x)dx

|x=xo

Αν τώρα το x0 είναι ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της f τότε αυτή θα είναι παραγωγίσιμη στο x0 αν και μόνο αν υπάρχουν τα όρια

lim x→x0−

f(x)−f(x0)x−x0

, lim x→x0+

f(x)−f(x0)x−x0

και

lim x→x0−

f(x)−f(x0)x−x0

= lim x→x0+

f(x)−f(x0)x−x0

= ℓ ∈ ℝ

τότε θα είναι f ′(x0) = ℓ.

85 / 230



2

Παράγωγος και συνέχεια

Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση f(x) = |x|.(βλέπε σχήμα)

H f είναι συνεχής στο x0=0 αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό αφού

lim x→0−

f(x)−f(0)x−0

= lim x→0−

−xx

= −1 και

lim x→0+

f(x)−f(0)x−0

= lim x→0+

xx

= 1.

Παρατηρούμε λοιπόν ότι μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής σε κάποιο σημείο xo αλλά όχι παραγωγίσιμη. Αν όμως είναι παραγωγίσιμη στο x0 τότε θα είναι και συνεχής όπως θα αποδείξουμε παρακάτω.

Θεώρημα

Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Απόδειξη:

Για x≠x0 έχουμε f(x)− f(x0) =f(x)−f(x0)x−x0

(x− x0).

Τότε lim x→x0

[f(x)− f(x0)] = lim x→x0

[f(x)−f(x0)x−x0

(x− x0)]=

lim x→x0

f(x)−f(x0)x−x0

∙ lim x→x0

(x− x0) = f ′(x0) ∙ 0 = 0 αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο x0.

Άρα lim x→x0

f(x) = f(x0) δηλαδή η f συνεχής στο x0.

86 / 230



3


1. Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα x0 τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη στο xo

2. Αν στο lim

x→x0

f(x)−f(x0)x−x0

θέσουμε x = x0∙h

τότε για x→x0 έχουμε h→1 άρα

f ′(x0) = lim x→x0

f(x)− f(x0)x − x0

= lim h→1

f(xoh)− f(x0)hx0 − x0

=

= 1

x0 lim h→1

f(xoh)−f(x0)h−1

με x0 ≠ 0.

3. H έννοια της παραγώγου στο x0 βρίσκει εφαρμογή στη φυσική αφού αν θεωρήσουμε x = S(t) τη συνάρτηση θέσης ενός κινητού τότε η στιγμιαία ταχύτητα τη χρονική στιγμή t0 δίνεται από τη σχέση u(t0) = S′(t0).

Σχόλιο: Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο t0 ισχύει

𝑆(𝑡)−𝑆(𝑡0)𝑡−𝑡0

> 0, οπότε είναι u(t0) ≥ 0.

Ενώ, όταν το κινητό κινείται προς τα αριστερά κοντά στο t0 ισχύει 𝑆(𝑡)−𝑆(𝑡0)𝑡−𝑡0

< 0, οπότε είναι

u(t0) ≤ 0.


87 / 230



88 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

[Κεφ. 2.2: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις – Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ. 2.3:

Κανόνες Παραγώγισης του σχολικού βιβλίου].


Παραγωγίσιμες συναρτήσεις – Παράγωγος συνάρτηση

Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι:

— H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή απλά παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο 0x ∈Α .

— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( ),α β του πεδίου ορισμού της, όταν

είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ( )0x ,∈ α β .

— Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ ],α β του πεδίου ορισμού της, όταν

είναι παραγωγίσιμη στο ( ),α β και επιπλέον ισχύει

x

f (x) f ( )limx+→α

− α∈

−α και

x

f (x) f ( )limx−→β

− β∈

−β .

• Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και 1Α τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία

αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε 1x∈Α στο f (x)′ , ορίζουμε τη συνάρτηση:

1f :x f (x)′ Α →

′→

η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f.

H πρώτη παράγωγος της f συμβολίζεται και με dfdx

που διαβάζεται “ντε εφ προς ντε χι”.

Σχόλιο: Για πρακτικούς λόγους την παράγωγο συνάρτηση y f (x)′= θα τη συμβολίζουμε και

με ( )y f (x) ′= .

Αν υποθέσουμε ότι το 1Α είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της f ′ , αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f ′′ .

Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της f, με 3ν ≥ , και συμβολίζεται με ( )f ν . Δηλαδή( ) ( 1)f fν ν− ′ = , 3ν ≥ .

89 / 230



2

Παράγωγος βασικών συναρτήσεων

• ΄Εστω η σταθερή συνάρτηση f (x) c= , c∈ . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

και ισχύει f (x) 0′ = , δηλαδή

( )c 0′ =

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του

, τότε για 0x x≠ ισχύει:

0

0 0

f (x) f (x ) c c 0x x x x− −

= =− −

.

Επομένως,

0

0

x x0

f (x) f (x )lim 0x x→

−=

−,

δηλαδή ( )c 0′ = .

• Έστω η συνάρτηση f (x) x= , fD = . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

και ισχύει f (x) 1′ = , δηλαδή

( )x 1′ =

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του

, τότε για 0x x≠ ισχύει:

0 0

0 0

f (x) f (x ) x x 1x x x x− −

= =− −

.

Επομένως,

0 0

0

x x x x0

f (x) f (x )lim lim 1 1x x→ →

−= =

−,

δηλαδή ( )x 1′ = .

• Έστω η συνάρτηση f (x) xν= , fD = με 0,1ν∈ − . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

στο και ισχύει 1f (x) xν−′ = ν , δηλαδή

( ) 1x xν ν−′ = ν

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του , τότε για 0x x≠ ισχύει:

90 / 230



3

( )( )1 2 10 0 0 1 2 10 0

0 00 0 0

x x x x x ... xf (x) f (x ) x x x x x ... xx x x x x x

ν− ν− ν−ν νν− ν− ν−

− + + +− −= = = + + +

− − −

οπότε

( )0 0

1 2 1 1 1 1 100 0 0 0 0 0x x x x

0

f (x) f (x )lim lim x x x ... x x x ... x xx x

ν− ν− ν− ν− ν− ν− ν−

→ →

−= + + + = + + + = ν

−,

δηλαδή ( ) 1x xν ν−′ = ν .

• Έστω η συνάρτηση f (x) x= , [ )fD 0,= +∞ . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ( )0,+∞

και ισχύει 1f (x)

2 x′ = , δηλαδή

1( x )2 x

′ =

Πράγματι, αν 0x είναι ένα σημείο του ( )0,+∞ , τότε για 0x x≠ ισχύει:

( )( )( )( )

0 000

0 0 0 0

x x x xx xf (x) f (x )x x x x x x x x

− +−−= = =

− − − +

( )( )0

00 0

x x 1x xx x x x

−= =

+− +,

οπότε

0 0

0

x x x x0 0 0

f (x) f (x ) 1 1lim limx x x x 2 x→ →

−= =

− +,

δηλαδή 1( x )

2 x′ = .

Η f (x) x= δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 αφού

x 0 x 0 x 0

f (x) f (0) x 1lim lim limx 0 x x→ → →

−= = = +∞

−.

• Έστω η συνάρτηση f (x) x= ηµ , fD = . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

και ισχύει f (x) x′ = συν , δηλαδή

( x) x′ηµ = συν

91 / 230



4

Πράγματι, για κάθε x∈ και h 0≠ ισχύει:

( )x h xf (x h) f (x) x h x h xh h h

ηµ + −ηµ+ − ηµ ⋅συν +συν ⋅ηµ −ηµ= = =

h 1 hx xh h

συν − ηµ= ηµ ⋅ + συν ⋅ .

Επειδή

h 0

hlim 1h→

ηµ= και

h 0

h 1lim 0h→

συν −= ,

έχουμε

h 0

f (x h) f (x)lim x 0 x 1 xh→

+ −= ηµ ⋅ + συν ⋅ = συν .

Δηλαδή ( x) x′ηµ = συν .

• Έστω η συνάρτηση f (x) x= συν , fD = . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

και ισχύει f (x) x′ = −ηµ , δηλαδή

( x) x′συν = −ηµ

Πράγματι, για κάθε x∈ και h 0≠ ισχύει:

( )x h xf (x h) f (x) x h x h xh h h

συν + −συν+ − συν ⋅συν −ηµ ⋅ηµ −συν= = =

h 1 hx xh h

συν − ηµ= συν ⋅ −ηµ ⋅ ,

οπότε

h 0 h 0 h 0

f (x h) f (x) h 1 hlim lim x lim xh h h→ → →

+ − συν − ηµ = συν ⋅ − ηµ ⋅ =

x 0 x 1 x= συν ⋅ −ηµ ⋅ = −ηµ .

Δηλαδή ( x) x′συν = −ηµ .

Σχόλιο: Τα όρια x 0

xlim 1x→

ηµ= και

x 0

x 1lim 0x→

συν −= ,

τα οποία χρησιμοποιήσαμε για να υπολογίσουμε την παράγωγο των συναρτήσεων

f (x) x= ηµ , g(x) x= συν είναι η παράγωγος στο 0x 0= των συναρτήσεων f, g αντιστοίχως, αφού

92 / 230



5

( )x 0 x 0

x x 0lim lim f 0x x 0→ →

ηµ ηµ −ηµ ′= =−

( )x 0 x 0

x 1 x 0lim lim g 0x x 0→ →

συν − συν −συν ′= =−

.

• Έστω η συνάρτηση xf (x) e= , fD = . Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο

και ισχύει xf (x) e′ = , δηλαδή:

( )x xe e′ =

• Έστω η συνάρτηση f (x) ln x= , ( )fD 0,= +∞ . Αποδεικνύεται ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο

( )0,+∞ και ισχύει 1f (x)x

′ = , δηλαδή:

( ) 1ln xx

′ =

93 / 230



6

Κανόνες Παραγώγισης

Παράγωγος αθροίσματος

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0x , τότε η συνάρτηση f g+ είναι

παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0f g x f x g x′ ′ ′+ = +

Απόδειξη

Για 0x x≠ , ισχύει:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

0 0

f g x f g x f x g x f x g xx x x x

+ − + + − −= =

− −

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0

f x f x g x g xx x x x− −

= +− −

.

Επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0x , έχουμε:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

0 0 0

x x x x x x0 0 0

f g x f g x f x f x g x g xlim lim lim

x x x x x x→ → →

+ − + − −= + =

− − −

( ) ( )0 0f x g x′ ′= +

δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0f g x f x g x′ ′ ′+ = + .

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σ’ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε x∈∆ ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x′ ′ ′+ = + .

Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Δηλαδή, αν

1 2f , f ,..., fκ , είναι παραγωγίσιμες στο Δ, τότε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2f f ... f x f x f x ... f xκ κ′ ′ ′ ′+ + + = + + + .

94 / 230



7


( ) ( )3 3 21 1x x x x 3x x, x2 2

′ ′ ′ ′+ συν + = + συν + = −ηµ ∈

Παράγωγος γινομένου

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0x , τότε και η συνάρτηση f g⋅ είναι

παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0f g x f x g x f x g x′ ′ ′⋅ = +

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σ’ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε x∈∆ ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x f x g x′ ′ ′⋅ = + .


( ) ( ) ( )x x x x x 1e x e x e x e x e , x 02 x

′ ′′= + = + > .

Το παραπάνω θεώρημα επεκτείνεται και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Έτσι, για τρεις παραγωγίσιμες συναρτήσεις ισχύει:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h x′′ ′ ′ = = + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x h x f x g x h x′′ ′= + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x f x g x h x f x g x h x′′ ′= + + .


( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2x x ln x x x ln x x x ln x x x ln x′ ′′ ′ηµ ⋅ = ηµ +ηµ +ηµ ⋅ =

2 2 21x x ln x x 2x ln x x x x x ln x 2x x ln x x x, x 0x

συν ⋅ + ηµ ⋅ + ηµ ⋅ = συν ⋅ + ηµ ⋅ + ηµ >

95 / 230



8

Αν f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ’ ένα διάστημα Δ και c∈ , επειδή ( )c 0′ = , σύμφωνα

με το θεώρημα (2) έχουμε:

( )cf (x) cf (x)′ ′=


( ) ( )4 4 3 37x 7 x 7 4x 28x′ ′= = ⋅ = , x∈ .

Παράγωγος πηλίκου

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0x και 0g(x ) 0≠ , τότε και η συνάρτηση fg

είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0 0 0 00 2

0

f x g x f x g xf xg g x

′ ′ ′− =

Αν οι συναρτήσεις f ,g είναι παραγωγίσιμες σ’ ένα διάστημα Δ και για κάθε x∈∆ ισχύει g(x) 0≠ , τότε για κάθε x∈∆ έχουμε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2

f x g x f x g xf xg g x

′ ′ ′− =

.


( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2 22 2 2 2

6x x 2 6x x 2 6 x 2 6x 2x6x 6x 12 , x 2x 2 x 2 x 2 x 2

′′′ − − − − − ⋅ − − = = = ≠ ± − − − −

Με την χρήση των προηγούμενων προτάσεων μπορούμε πλέον να βρούμε τις παραγώγους μερικών ακόμη βασικών συναρτήσεων.

96 / 230



9

• Έστω η συνάρτηση f (x) x−ν= , *fD = με *ν∈ . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

* και ισχύει 1f (x) x−ν−′ = −ν , δηλαδή

( ) 1x x−ν −ν−′ = −ν

Πράγματι, για κάθε *x∈ έχουμε:

( ) ( ) ( )( )

11

2 2

1 x 1 x1 xx xx xx

ν ν ν−−ν −ν−

ν νν

′′′ − −ν ′ = = = = −ν

.

Είδαμε, όμως, πιο πριν ότι ( ) 1x xν ν−′ = ν , για κάθε φυσικό 1ν > . Επομένως, αν 0,1κ∈ − ,

τότε

( ) 1x xκ κ−′ = κ .

• Έστω η συνάρτηση f (x) x= εφ , fD x / x 0= − συν = . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

στο 1 x / x 0= − συν = και ισχύει 2

1f (x)x

′ =συν

, δηλαδή

( ) 2

1xx

′εφ =συν

Πράγματι, για κάθε 1x∈ έχουμε:

( ) ( ) ( )2 2

x x x xx x x x xxx x x

′ ′′ ηµ συν −ηµ συνηµ συν συν +ηµ ηµ ′εφ = = = = συν συν συν

2 2

2 2

x x 1x x

συν +ηµ= =

συν συν.

• Έστω η συνάρτηση f (x) x= σφ , fD x / x 0= − ηµ = . Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη

στο 2 x / x 0= − ηµ = και ισχύει 2

1f (x)x

′ = −ηµ

, δηλαδή

( ) 2

1xx

′σφ = −ηµ

97 / 230



10

Πίνακας παραγώγων βασικών συναρτήσεων

Συνάρτηση Παράγωγος

f (x) c= ( )f (x) c 0′′ = =

f (x) x= ( )f (x) x 1′′ = =

f (x) xν= ( ) 1f (x) x xν ν−′′ = = ν

f (x) x= 1f (x) ( x )

2 x′ ′= =

f (x) x= ηµ ( )f (x) x x′′ = ηµ = συν

f (x) x= συν f (x) ( x) x′ ′= συν = −ηµ xf (x) e= ( )x xf (x) e e′′ = =

f (x) ln x= ( ) 1f (x) ln xx

′′ = =

f (x) x= εϕ ( ) 2

1f (x) xx

′′ = εφ =συν

f (x) x= σϕ ( ) 2

1f (x) xx

′′ = σφ = −ηµ

98 / 230



11

Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και η f είναι παραγωγίσιμη στο ( )0g x , τότε η

συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει

( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0f g x f g x g x′ ′ ′=

Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο ( )g ∆ , τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει:

( )( )( ) ( )( ) ( )f g x f g x g x′ ′ ′= .

Δηλαδή, αν ( )u g x= , τότε

( )( ) ( )f u f u u′ ′ ′= ⋅ .


( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2x 1 2x 1 2x 1 = 2x 1 2 2 2x 1′ ′ηµ − = συν − ⋅ − συν − ⋅ = συν − , x∈ .

Με το συμβολισμό του Leibniz, αν ( )y f u= και ( )u g x= , έχουμε τον τύπο

dy dy dudx du dx

= ⋅

που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας.

Παρατήρηση

Το σύμβολο dydx

δεν είναι πηλίκο. Στον κανόνα της αλυσίδας απλά συμπεριφέρεται ως πηλίκο,

πράγμα που ευκολύνει την απομνημόνευση του κανόνα.

99 / 230



12

Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι τα εξής:

• Η συνάρτηση f (x) xα= , α∈ − είναι παραγωγίσιμη στο ( )0,+∞ και ισχύει 1f (x) xα−′ = α ,

δηλαδή

( ) 1x xα α−′ = α

Πράγματι, αν ln xy x eα α= = και θέσουμε u ln x= α , τότε έχουμε uy e= . Επομένως,

( ) ( )u u ln x 11y e e u e x xx x

α α α−α′′ ′= = ⋅ = α = ⋅ = α .

Αποδεικνύεται ότι, για 1α > η f είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο 0x 0= και η παράγωγός της είναι ίση με 0, επομένως δίνεται από τον ίδιο τύπο.

• Η συνάρτηση xf (x) = α , 0α > είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει xf (x) ln′ = α α , δηλαδή

( )x x ln′α = α α

Πράγματι, αν x x lny e α= α = και θέσουμε u x ln= α , τότε έχουμε uy e= . Επομένως,

( ) ( )u u x ln xy e e u e ln lnα′′ ′= = ⋅ = α = α α .

• Η συνάρτηση f (x) ln x= , *x∈ είναι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει

( ) 1ln xx

′ =

Πράγματι

— αν x 0> , τότε ( ) ( ) 1ln x ln xx

′ ′= = , ενώ

— αν x 0< , τότε ( )ln x ln x= − , οπότε, αν θέσουμε ( )y ln x= − και u x= − , έχουμε

y ln u= . Επομένως,

( ) ( ) ( )1 1 1y ln u u 1u x x

′ ′ ′= = ⋅ = − =−

και άρα ( ) 1ln xx

′ = .

100 / 230



13

Ανακεφαλαιώνοντας, αν η συνάρτηση u f (x)= είναι παραγωγίσιμη, τότε έχουμε:

Συνάρτηση Παράγωγος

[ ]g(x) f (x) uα α= = [ ] 1 1g (x) f (x) f (x) u uα− α−′ ′ ′= α ⋅ = α ⋅

g(x) f (x) u= = 1 1g (x) f (x) u

2 f (x) 2 u′ ′ ′= ⋅ = ⋅

g(x) f (x) u= ηµ = ηµ g (x) f (x) f (x) u u′ ′ ′= συν ⋅ = συν ⋅

g(x) f (x) u= συν = συν g (x) f (x) f (x) u u′ ′ ′= −ηµ ⋅ = −ηµ ⋅

g(x) f (x) u= εϕ = εϕ 2 2

1 1g (x) f (x) uf (x) u

′ ′ ′= ⋅ = ⋅συν συν

g(x) f (x) u= σϕ = σϕ 2 2

1 1g (x) f (x) uf (x) u

′ ′ ′= − ⋅ = − ⋅ηµ ηµ

f (x) ug(x) e e= = f (x) ug (x) e f (x) e u′ ′ ′= ⋅ = ⋅

f (x) ug(x) = α = α f (x) ug (x) ln f (x) ln u′ ′ ′= α α ⋅ = α α ⋅

g(x) ln f (x) ln u= = 1 1g (x) f (x) u

f (x) u′ ′ ′= ⋅ = ⋅

101 / 230



14

Σημαντικές παρατηρήσεις 1) Οι κανόνες παραγώγισης ισχύουν για τις τιμές του x στις οποίες όλες οι συναρτήσεις που

εμφανίζονται παραγωγίζονται.

Σχόλιο: Οι κανόνες παραγώγισης εφαρμόζονται μόνο σε ανοικτά διαστήματα.

2) Αν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο του αθροίσματος (ή του γινομένου ή του πηλίκου ή

της σύνθεσης) δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f , g στο 0x , τότε γράφουμε

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0f g x f x g x′ ′ ′+ = + και όχι ( ) ( )0 0f x g x ′+ γιατί ( ) ( )0 0f x g x 0′+ = ως

παράγωγος της σταθερής συνάρτησης ( ) ( )0 0f x g x+ .

Αντίστοιχη προσοχή δίνουμε αν θέλουμε να βρούμε την παράγωγο του γινομένου ή του

πηλίκου ή της σύνθεσης δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

3) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της, δεν

σημαίνει ότι και η f g⋅ ή f g+ ή fg

δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x . Η εξέταση της

παραγωγισιμότητας στο 0x σε οποιαδήποτε από τις παραπάνω συναρτήσεις γίνεται με

την βοήθεια του ορισμού. (Βλέπε άσκηση 5)

4) Μπορεί δύο συναρτήσεις f , g να μην είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο 0x του πεδίου

ορισμού τους και η συνάρτηση f g+ ή f g ⋅ ή fg

να είναι παραγωγίσιμη στο 0x .


Οι συναρτήσεις x , x 0f (x)

0 , x 0 ≥=

<,

x x , x 0g(x)x , x 0

− ≥= <

δεν είναι παραγωγίσιμες στο

σημείο 0x 0= , ενώ η συνάρτηση f g+ έχει τύπο ( )f g (x) x+ = και είναι παραγωγίσιμη

στο 0x 0= .

5) Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο συνάρτηση μιας συνάρτησης f

ορισμένης στο Α, θα δουλεύουμε ως εξής: i) Με κανόνες παραγώγισης θα υπολογίζουμε την f ′ , στα ανοικτά διαστήματα του πεδίου

ορισμού της f .

102 / 230



15

ii) Εκεί που κλείνει το πεδίο ορισμού Α της f ή στα σημεία που αλλάζει ο τύπος της , θα δουλεύουμε πάντα με τον ορισμό της παράγωγου σε σημείο 0x , για να βλέπουμε αν

ορίζεται στη θέση αυτή παράγωγος , οπότε το σημείο αυτό του Α της f , θα ανήκει στο πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης , στην αντίθετη περίπτωση δεν θα ανήκει στο πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης.

Σχόλιο: Δεν βρίσκουμε ποτέ το πεδίο ορισμού της παραγώγου συνάρτησης από τον τύπο της. Αλλά ακολουθούμε τα παραπάνω βήματα.

6) Η παράγωγος μίας συνάρτησης, δεν είναι κατά ανάγκη μία συνεχής συνάρτηση.

7) Αν μια συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ, αντιστρέφεται και η 1f −

παραγωγίσιμη στο f ( )∆ με f (x) 0′ ≠ για κάθε x∈∆ τότε:

( ) ( )

11

1f (x) , x f ( )f f (x)

−−

′ = ∈ ∆′

.

Πράγματι, για κάθε x f ( )∈ ∆ ισχύει ( )1f f (x) x− = επομένως:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1f f (x) x f f (x) f (x) 1− − −′ ′′ ′= ⇔ ⋅ = ⇔

( ) ( )

11

1f (x) , x f ( )f f (x)

−−

′ = ∈ ∆′

.

8) Αν υπάρχει η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f στο 0 fx D∈ ( ( )0f (x )ν ), σημαίνει

ότι η ( 1)f ν− είναι συνεχής στο 0x και ορίζεται σε σύνολο της μορφής ( )0 0x , x−θ + θ ή

( ]0, xα ή [ )0x ,β , με 0θ > .

Προσοχή ως προς την διαφορά που έχει ο συμβολισμός ( )f (x)ν (νιοστή παράγωγος) με το

συμβολισμό f (x)ν (νιοστή δύναμη), αφού:

( ) ( 1)f (x) = f (x)ν ν− ′ ενώ 1f (x) f (x) f (x)ν ν−= ⋅ .

9) Αν μία συνάρτηση f είναι άρτια και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ′

είναι περιττή. (Βλέπε άσκηση 8) 10) Αν μία συνάρτηση f είναι περιττή και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, τότε η

f ′ είναι άρτια. (Απόδειξη: Ομοίως όπως στην άσκηση 8) Παράδειγμα H συνάρτηση f (x) x= ηµ είναι περιττή και παραγωγίσιμη στο , ενώ η f (x) x′ = συν είναι άρτια.

103 / 230



16

11) Αν για τις συναρτήσεις f ,g ισχύει ότι f (x) g(x)= τότε f (x) g (x)′ ′= . Ενώ αν

f (x) g (x)′ ′= δεν σημαίνει απαραίτητα ότι f (x) g(x)= .

Παράδειγμα Οι συναρτήσεις 2 2f (x) x , g(x) x 3= = − είναι παραγωγίσιμες στο ως πολυωνυμικές

με f (x) g (x) 2x′ ′= = .

Παρατηρούμε ότι ενώ f (x) g (x)′ ′= , οι f (x),g(x) δεν είναι ίσες.


104 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ

[Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου].


ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ

Έστω f μια συνάρτηση και A(x0, f(x0)) ένα σημείο της γραφικής της παράστασης. Αν πάρουμε ακόμη ένα σημείο Mx, f(x), x ≠ x0, της γραφικής παράστασης της f και την ευθεία ΑΜ που ορίζουν τα σημεία Α και Μ, παρατηρούμε ότι καθώς το x τείνει στο xo με οποιονδήποτε τρόπο, τότε όπως φαίνεται στα σχήματα (α) και (β), η τέμνουσα ΑΜ παίρνει μια οριακή θέση ε.

Την οριακή θέση της ΑΜ ονομάζουμε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης το όριο των κλίσεων των ευθειών ΑΜ, όταν βέβαια αυτό υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Δηλαδή ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι ο

πραγματικός αριθμός o

o

x xo

f (x) f (x )lim .x x→

−−

105 / 230



2

(ε)

Συμπερασματικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Έστω f μια συνάρτηση και A(x0, f(x0)) ένα σημείο της Cf. Αν υπάρχει το

o

o

x xo

f (x) f (x )limx x→

−−

και είναι ένας

πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της Cf στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.

Δηλαδή, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο της A(x0, f(x0)) είναι η:

y − f(x0) = λ ∙ (x − x0)

όπου λ = o

o

x xo


−−

Όταν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ένα σημείο xo τότε

f ′(xo)= o

o

x xo


−−

=λ, οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf είναι η:

y − f(xo) = f ′(x0) ∙ (x − x0)

• Ο αριθμός λ = f ′(xo) λέγεται κλίση της εφαπτομένης (ε) στο 𝐴(x0, f(x0)) ή κλίση της

Cf στο Α ή κλίση της f στο xo και ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας ∧

ω που σχηματίζει η εφαπτόμενη ευθεία με τον x′x.

O

y

x ω

Α(xo,f(xo))

106 / 230



3


1. Η Cf έχει οριζόντια εφαπτομένη σ’ ένα σημείο xo όταν και μόνο όταν f ′(x0) = 0. Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση της εφαπτομένης θα είναι: y = f(x0). Φανερά, όταν f ′(x) ≠ 0 για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της f, η Cf δεν έχει σε κανένα σημείο της οριζόντια εφαπτομένη.

2. Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της Cf στο A(x0, f(x0)) με τον x′x , τότε:

• f ′(xo) > 0 0ο <∧

ω < 90ο

• f ′(xo) < 0 90ο <∧

ω < 180ο

• f ′(xo) = 0 ∧

ω = 0ο

3. Aν η εφαπτομένη (ε) της Cf στο A(x0, f(x0)) είναι:

• παράλληλη σε μια μη κατακόρυφη ευθεία (δ), τότε οι (ε) και (δ) θα έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης, δηλαδή θα ισχύει:

f ′(xo) = λδ

ενώ αν είναι

• κάθετη σε μια μη οριζόντια ευθεία (δ), τότε το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των (ε) και (δ) θα είναι ίσο με – 1, δηλαδή θα ισχύει:

f ′(xo)·λδ = – 1.

(και αντίστροφα)

4. Για να εφάπτεται η Cf στον x′x, θα πρέπει να ισχύουν:

f ′(x0) = 0 και

f(x0) = 0

όπου xo η τετμημένη του σημείου επαφής.

(Και αντίστροφα)

5. Οι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη xo όταν και

μόνο όταν: f(xo) = g(xo) και f ′(xo) = g′(xo)

107 / 230



4

Ειδικότερα:

Η ευθεία y = αx + β εφάπτεται στο σημείο A(x0, f(x0)) της Cf όταν και μόνο όταν οι εξισώσεις: f ′(xo) = α και f(xo) = αxo + β έχουν κοινή λύση.

6. Η εφαπτομένη της Cf στο A(x0, f(x0)) μπορεί να έχει και άλλο κοινό σημείο με την Cf.

Για παράδειγμα:


108 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ

[Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου].


Έχουμε ήδη δει ότι η παράγωγος στο 0t της συνάρτησης θέσης S(t) ενός κινητού μας δίνει

την στιγμιαία ταχύτητα την χρονική στιγμή 0t , δηλαδή:

( )0t t

00

00

S t S(t ) limu(t ) S (

tt )

t→′=

−−

=

Το παραπάνω όριο λέγεται ρυθμός μεταβολής της τετμημένης S του κινητού ως προς το

χρόνο t τη χρονική στιγμή 0t .

Γενικεύοντας τα παραπάνω έχουμε τον ορισμό:

Ορισμός: Αν δυο μεταβλητά μεγέθη x , y συνδέονται με τη σχέση y f (x)= , όταν f είναι μια

συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0x ,τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο

σημείο 0x την παράγωγο 0f (x )′ .

109 / 230



2

Σημαντικές παρατηρήσεις 1. O ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f , με τύπο y f (x)= , ως προς x όταν x τείνει στο

0x ισούται με τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

f (x) στο σημείο της ( 0 0x , f (x ) ).

2. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας u ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή 0t , είναι η

παράγωγος 0u (t )′ , η οποία λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή 0t και

συμβολίζεται 0(t )α , άρα:

0 0 0(t ) u (t ) S (t )′ ′′α = = . 3. Στην οικονομία το κόστος παραγωγής Κ, η είσπραξη Ε, και το κέρδος P εκφράζονται

συναρτήσει της ποσότητας x του παραγόμενου προϊόντος. Η σχέση που συνδέει τις παραπάνω συναρτήσεις είναι:

P(x) E(x) K(x)= − . (1)

• Η παράγωγος ( )0x′Κ παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους K ως προς την

ποσότητα x ,όταν 0x x= και ονομάζεται οριακό κόστος στο 0x .

• Η παράγωγος ( )0E x′ παριστάνει το ρυθμό μεταβολής της είσπραξης ως προς την

ποσότητα x , όταν 0x x= και ονομάζεται οριακή είσπραξη στο 0x .

• Η παράγωγος ( )0P x′ παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κέρδους P ως προς την

ποσότητα x ,όταν 0x x= και ονομάζεται οριακό κέρδος στο 0x .

• Από την (1) προκύπτει ότι ( ) ( ) ( )0 0 0P x E x K x′ ′ ′= − .

• Μέσο κόστος παραγωγής της ποσότητας x ενός προϊόντος είναι ( ) ( )K xK x

xµ = .

4. Αν δυο μεγέθη x , y συνδέονται με τη σχέση y f (x)= και f παραγωγίσιμη ως προς x

τότε: α) Αν το y αυξάνεται ως προς x με ρυθμό α εννοούμε f (x) 0′ = α > .

β) Αν το y μειώνεται ως προς x με ρυθμό α εννοούμε f (x)′ = −α με 0α > .


110 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

[Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β΄ του σχολικού βιβλίου].


MICHEL ROLLE

Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara II τον 12ο αιώνα. Η απόδειξη όμως δόθηκε από τον Michel Rolle σε ένα κείμενο - Démonstration d'une Méthode pour resoudre les Egalitez de tous les degrez - που δημοσιεύτηκε στο Παρίσι το 1691. Το όνομα «Θεώρημα του Rolle» χρησιμοποιήθηκε αρχικά από το Γερμανό Μ.W.Drobisch το 1834 και από τον Ιταλό Giusto Bellavitis το 1846. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μία συνάρτηση f είναι

• Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ , ]α β

• Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( , )α β

• f ( ) f ( )α = β

Τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα 0x ( , )∈ α β τέτοιο ώστε 0f (x ) 0′ =

111 / 230

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Michel_Rolle_-_Trait%C3%A9_d'alg%C3%A8bre.jpg



2

Προσοχή: 1. Αν για μία συνάρτηση f ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle σε ένα κλειστό

διάστημα [ , ]α β τότε σε ότι αφορά στο συμπέρασμα του, οι παρακάτω προτάσεις είναι

ισοδύναμες:

• υπάρχει τουλάχιστον ένα 0x ( , )∈ α β τέτοιο ώστε 0f (x ) 0′ =

• η εξίσωση f (x) 0′ = έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα στο ανοικτό διάστημα

( , )α β

• η f ′ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστημα ( , )α β

(ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle)

• η γραφική παράσταση της f ′ τέμνει τον άξονα xx΄ τουλάχιστον σε ένα σημείο.

• υπάρχει τουλάχιστον ένα 0x ( , )∈ α β τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της f στο σημείο 0 0(x , f (x ))Μ να είναι παράλληλη στον άξονα xx΄

[Σχήματα (α), (β), (γ)]. (ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle)

i. Αν η συνάρτηση είναι σταθερή έχουμε ( )f x 0′ = για κάθε [ ]x ,∈ α β

ii.

112 / 230



3

iii.

2. Αν ένα σώμα κινούμενο πάνω σε ένα άξονα διέρχεται από το σημείο Α τη χρονική στιγμή 1t

και επιστρέφει στο Α τη χρονική στιγμή 2t , τότε υπάρχει χρονική στιγμή 0t μεταξύ των 1t ,

2t που η ταχύτητα είναι μηδέν.

(ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του θεωρήματος Rolle) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Αν S(t) η συνάρτηση θέσης του κινητού τότε παρατηρούμε ότι S(t) είναι συνεχής,

παραγωγίσιμη και 1 2S(t ) S(t )= , άρα για τη συνάρτηση S ισχύουν οι συνθήκες του

θεωρήματος Rolle στο διάστημα 1 2[t , t ], οπότε υπάρχει χρονική στιγμή 0 1 2t (t , t )∈ τέτοια

ώστε 0S (t ) 0′ = δηλαδή η ταχύτητα του κινητού γίνεται 0.

113 / 230



4

Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle πρέπει να ελέγχονται πολύ προσεκτικά διότι αν

κάποια από αυτές δεν ισχύει τότε δεν ισχύει και το θεώρημα.

Π.χ. (α) Έστω η συνάρτηση 3x 1 x 2

f (x)8 x 1

αν αν

< ≤=

= .

Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (1, 2) με

2f (x) 3x f (1) f (2) 8 και ′ = = = . Επειδή όμως η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο 1 δεν πληρούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle.

Π.χ. (β) Έστω η συνάρτηση f (x) x x [0,1] , = ∈ η οποία είναι συνεχής στο [0,1] και παραγωγίσιμη στο (0,1) . Όμως f (0) 0 1 f (1)= ≠ = . Άρα δεν πληρούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle.

114 / 230



5

Π.χ. (γ) Έστω η συνάρτηση x 1 1 x 2

f (x)x 3 2 x 3

αναν

− + ≤ ≤= − < ≤

είναι συνεχής στο [1,3]

διότι οι δύο κλάδοι είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις και

x 2 x 2lim ( x 1) lim (x 3) f (2) 1

− +→ →− + = − = = − .

Επίσης f (1) f (3) 0= = . Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στον κάθε κλάδο ως

πολυωνυμική αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0x 2=

διότι ( )

x 2 x 2 x 2

f x f (2) ( x 1) f (2) ( x 1) ( 1)lim lim lim 1x 2 x 2 x 2− − −→ → →

− − + − − + − −= = = −

− − −

ενώ ( )

x 2 x 2 x 2

f x f (2) (x 3) f (2) (x 3) ( 1)lim lim lim 1x 2 x 2 x 2+ + +→ → →

− − − − − −= = =

− − − Άρα δεν πληρούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle.

2. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα [ ],α β

(άρα θα είναι και

συνεχής στο [ ],α β ), για να εφαρμόσουμε το Θεώρημα Rolle αρκεί να ισχύει ( ) ( )f fα = β

3. Το αντίστροφο του θεωρήματος Rolle δεν ισχύει κατ’ ανάγκη. Δηλαδή αν η παράγωγος

μιας συνάρτησης f μηδενίζεται σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της f δεν σημαίνει ότι πληρούνται αναγκαία οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle (Σχήματα 1,2,3). •

115 / 230



6

•

•

4. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο και έχει δύο ρίζες τότε η f ′ έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , άρα είναι και συνεχής στο και έστω 1 2,ρ ρ με 1 2ρ < ρ οι δύο ρίζες της f με 1 2f ) f ) 0( (ρ = ρ = . Τότε στο κλειστό διάστημα 1 2[ , ]ρ ρ ⊂ ισχύουν για την f οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα

1 2( , )ξ∈ ρ ρ τέτοιο ώστε f ( ) 0′ ξ = που είναι και το ζητούμενο.

5. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο τότε ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της f ′ υπάρχει το πολύ μία ρίζα της συνάρτησης f

116 / 230



7

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Έστω 1 2,ρ ρ με 1 2ρ < ρ οι δύο διαδοχικές ρίζες της f ′ .

Έστω ότι η συνάρτηση f έχει δύο ρίζες στο διάστημα ( )1 2,ρ ρ τις 1 2x , x με 1 2x x< άρα

θα έχουμε ( ) ( )1 2f x f x 0= =

Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle στο [ ]1 2x , x

Έχουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο , άρα και συνεχής στο με ( ) ( )1 2f x f x 0= = .

Επομένως ισχύουν για την f στο [ ]1 2x , x ⊂ οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα

υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )1 2 1 2(x , x ) ,ξ∈ ⊂ ρ ρ τέτοιο ώστε f ( ) 0′ ξ = .

Συνεπώς η f ′ έχει ρίζα ανάμεσα στις διαδοχικές της 1 2,ρ ρ άτοπο, άρα η f δεν έχει δύο ρίζες άρα θα έχει το πολύ μία ρίζα ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της f ′

6. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και έχει τρείς ρίζες τότε η f ′ έχει δύο τουλάχιστον ρίζες και η f ′′ τουλάχιστον μία. ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Η f είναι παραγωγίσιμη στο , άρα και συνεχής σε αυτό και έστω 1 2 3, ,ρ ρ ρ τρείς

διαδοχικές ρίζες της f με 1 2 3f ) f ) f ) 0( ( (ρ = ρ = ρ = 1 2 3( )ρ < ρ < ρ . Τότε στα κλειστά

διαστήματα 1 2[ , ]ρ ρ και 2 3[ , ]ρ ρ ισχύουν για την f οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα υπάρχουν τουλάχιστον 1 1 2( , )ξ ∈ ρ ρ και 2 2 3( , )ξ ∈ ρ ρ τέτοιοι ώστε 1f ( ) 0′ ξ = και

2f ( ) 0′ ξ = , δηλαδή η f ′ έχει δυο τουλάχιστον ρίζες. Επειδή η f είναι δυο φορές

παραγωγίσιμη στο συνεπάγεται ότι η f ′ είναι συνεχής στο 1 2[ , ]ξ ξ και παραγωγίσιμη

στο 1 2( , )ξ ξ και επειδή ισχύει 1 2f ( ) f ( ) 0′ ′ξ = ξ = , η f ′ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του

θεωρήματος Rolle. Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )1 2,ξ∈ ξ ξ τέτοιο ώστε f ( ) 0′′ ξ = , δηλαδή η f ′′ έχει μία τουλάχιστον ρίζα.

7. Γενικότερα, αν μία συνάρτηση f είναι ν -φορές παραγωγίσιμη (ν∈ με 1ν ≥ ) και έχει

1ν + ρίζες τότε η ( )f ν (νιοστή παράγωγος) έχει μία τουλάχιστον ρίζα.

8. Αν ( )f x 0′ ≠ για κάθε x∈ τότε η f έχει το πολύ μία ρίζα.

117 / 230



8

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Έστω ότι η συνάρτηση f έχει δύο ρίζες τις 1 2x , x με 1 2x x< άρα θα έχουμε

( ) ( )1 2f x f x 0= = . Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle στο [ ]1 2x , x . Έχουμε ότι η f είναι

παραγωγίσιμη στο , άρα και συνεχής στο με ( ) ( )1 2f x f x 0= = .

Άρα ισχύουν για την f στο [ ]1 2x , x ⊂ οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. Άρα υπάρχει

τουλάχιστον ένα 1 2(x , x )ξ∈ τέτοιο ώστε f ( ) 0′ ξ = άτοπο γιατί ( )f x 0′ ≠ για κάθε x∈

9. Αν f (x) 0′′ ≠ για κάθε x∈ τότε η f έχει δύο το πολύ ρίζες.

118 / 230



9

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 1. Αν στα ζητούμενα μιας άσκησης υπάρχει η εξίσωση f ( ) 0′ ξ = ή f ( ) 0′′ ξ = αυτό είναι μία

πρώτη ένδειξη ότι για τη λύση της άσκησης θα κάνουμε χρήση του θεωρήματος Rolle για την f ή την f ′ .

2. Αν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχει ( , )ξ∈ α β έτσι ώστε f ( ) c′ ξ = ή f ( ) c′′ ξ = όπου

c = σταθερά, τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση g(x) f (x) c′= − ή την h(x) f (x) c′′= − ή να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle για τη

συνάρτηση g(x) f (x) cx= − ή την 1h(x) f (x) cx c′= − + .

3. Κάνουμε χρήση του Θεωρήματος του Rolle αν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι:

• Η εξίσωση f (x) 0= έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( , )α β

• Η εξίσωση f (x) 0= έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα ( , )α β

• Η εξίσωση f (x) 0= έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα ( , )α β

• Η εξίσωση f (x) 0= έχει το πολύ κ – ρίζες στο διάστημα ( , )α β

• Η εξίσωση f (x) 0= έχει ακριβώς κ – ρίζες

• Η εξίσωση f (x) 0= έχει τουλάχιστον κ-ρίζες

• Η εξίσωση f (x) 0= δεν έχει ρίζα στο διάστημα ( , )α β

Πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι πολλές από αυτές τις περιπτώσεις επιλύονται με το θεώρημα Bolzano ή με εύρεση του συνόλου τιμών και εφαρμογή του Θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών, ή βρίσκοντας την προφανή ρίζα της f (αν υπάρχει). Το Θεώρημα Rolle μερικές φορές το χρησιμοποιούμε για την F δηλαδή την παράγουσα της συνάρτησης f , όπως θα δούμε και στο κεφάλαιο 4.

4. Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει ( , )ξ∈ α β έτσι ώστε να ισχύει κάποια ισότητα αρκεί να

αποδείξουμε ότι, η εξίσωση που προκύπτει από την ισότητα αν θέσουμε όπου ξ το x ,

έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

Π.χ. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [ , ]−π π και άρτια. Να δειχτεί ότι υπάρχει

( , )ξ∈ −π π ώστε να ισχύει : 3f ( ) 4 3′ ξ − ξ = − ηµξ . Λύση Θέτουμε στη σχέση που μας δίνεται όπου ξ το x και έχουμε την εξίσωση:

3f (x) 4x 3 x 0′ − + ηµ = .

119 / 230



10

Θεωρούμε τη συνάρτηση 4h(x) f (x) 3 x x= − συν − η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [ , ]−π π . Παρατηρούμε επίσης ότι ( ) 4 4h( ) f ( ) 3 f ( ) 3−π = −π − συν −π − π = π + − π (διότι f άρτια) και

( ) 4 4h( ) f ( ) 3 f ( ) 3π = π − συν π − π = π + − π . Δηλαδή h( ) h( )−π = π . Άρα ισχύουν οι συνθήκες του Θεωρήματος Rolle για τη συνάρτηση h στο [ , ]−π π . Οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( , )ξ∈ −π π τέτοιο ώστε

3 3h ( ) 0 f ( ) 4 3 0 f ( ) 4 3′ ′ ′ξ = ⇔ ξ − ξ + ηµξ = ⇔ ξ − ξ = − ηµξ


120 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

[Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ.2.5 Μέρος Β΄ του σχολικού

βιβλίου].


Αν μια συνάρτηση f είναι:

• συνεχής στο κλειστό διάστημα [ ],α β και

• παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( ),α β

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( ),ξ∈ α β τέτοιο, ώστε:

f ( ) f ( )f ( ) β − α′ ξ =β−α

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( ),ξ∈ α β τέτοιο, ώστε η

εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( ), f ( )Μ ξ ξ να είναι παράλληλη της

ευθείας ΑΒ, που ορίζουν τα σημεία ( ), f ( )Α α α και ( ), f ( )Β β β . (Βλέπε «Σχήμα 1»)

Σχήμα 1

121 / 230



2


1. Αν θέλουμε να δείξουμε ότι ισχύει το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [ ],α β σε συνάρτηση f

διπλού τύπου, με το σημείο ( 0x ) στο οποίο αλλάζει τύπο η f να είναι εσωτερικό σημείο

του [ ],α β , τότε χρησιμοποιούμε τον ορισμό της παραγώγου για να δείξουμε ότι η f

είναι παραγωγίσιμη στο 0x .

2. Αν ερμηνεύσουμε το Θ.Μ.Τ. στη Φυσική, σημαίνει ότι κατά την ευθύγραμμη κίνηση

ενός κινητού στο χρονικό διάστημα [ ]1 2t , t υπάρχει μία τουλάχιστον χρονική στιγμή

( )0 1 2t t , t∈ τέτοια ώστε η ταχύτητα του κινητού να ισούται με την μέση ταχύτητα του.

3. Αν ισχύουν για μια συνάρτηση f οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. (συνεχής στο [ ],α β και

παραγωγίσιμη στο ( ),α β ) και επιπλέον f ( ) f ( )α = β τότε ισχύει και το θεώρημα Rolle.

Άρα το Θ. Rolle είναι ειδική περίπτωση του Θ.Μ.Τ.

4. Αν σε μία άσκηση δεν μπορούμε να ξεχωρίσουμε ποιο από τα δύο θεωρήματα (Θ.Μ.Τ. – Θ.Rolle) πρέπει να εφαρμόσουμε, τότε εφαρμόζουμε πρώτα το Θ.Μ.Τ.

5. Αν για μία συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [ ],α β και επιπλέον :

i. f ( ) f ( )α < β τότε υπάρχει ( ),ξ∈ α β

με f ( ) 0′ ξ > που σημαίνει ότι η εφαπτομένη

της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( ), f ( )Μ ξ ξ έχει συντελεστή

διεύθυνσης θετικό, άρα σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα x΄x.

ii. f ( ) f ( )α > β τότε υπάρχει ( ),ξ∈ α β με f ( ) 0′ ξ < που σημαίνει ότι η εφαπτομένη

της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( ), f ( )Μ ξ ξ έχει συντελεστή

διεύθυνσης αρνητικό, άρα σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα x΄x.

6. Η εφαρμογή του Θ.Μ.Τ. στην f ′ μας δίνει αντίστοιχα συμπεράσματα για την f ( )′′ ξ .

7. Αν σε μια σχέση υπάρχει ο λόγος f ( ) f ( )β − α

β−α ή η διαφορά f ( ) f ( )β − α τότε

χρησιμοποιούμε το Θ.Μ.Τ. στην f.

8. Αν μία σχέση περιέχει 1 2f (x ), f (x ),..., f (x )λ′ ′ ′ με ( )1 2x , x ,..., x ,λ ∈ α β και ισχύουν για

την f οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [ ],α β τότε συνήθως εφαρμόζουμε το

Θ.Μ.Τ. λ φορές σε κατάλληλα υποδιαστήματα του [ ],α β .

122 / 230



3

9. Αν μία συνθήκη περιέχει μόνο 1 2f (x ), f (x )′ ′ με ( )1 2x , x ,∈ α β και ισχύουν για την f οι

υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [ ],α β τότε συνήθως εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. στα

διαστήματα [ ] [ ], , ,α µ µ β όπου μ το μέσο του διαστήματος [ ],α β (2

α +βµ = )

10. Αν για μία συνάρτηση f ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [ ],α β και

επιπλέον:

i. f ′ γνησίως αύξουσα στο [ ],α β τότε

f ( ) f ( )f ( ) < < f ( )β − α′ ′α ββ−α

, ενώ αν

ii. f ′ γνησίως φθίνουσα στο [ ],α β τότε f ( ) f ( )f ( ) < < f ( )β − α′ ′β α

β−α.

11. Το Θ.Μ.Τ. δεν χρησιμοποιείται συνήθως για την επίλυση εξισώσεων. Εξαίρεση

αποτελούν ορισμένες εξισώσεις όπως για παράδειγμα η x x x x7 6 9 8− = − .

12. Όταν θέλουμε να δείξουμε μια διπλή ανισότητα εξετάζουμε αν μπορούμε να την

μετασχηματίσουμε σε ισοδύναμη της μορφής f ( ) f ( )β − α

κ < < λβ−α

και έπειτα

εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. στην f στο [ ],α β .


123 / 230



124 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

[Κεφ. 2.6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας

Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου].


ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν:

• η f είναι συνεχής στο Δ και

• f (x) 0′ = για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,

τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ .

Απόδειξη

Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε x1, x2 ∈ Δ ισχύει 1 2f (x ) f (x )= .

Πράγματι,

• Αν 1 2x x= , τότε προφανώς 1 2f (x ) f (x )= .

• Αν x1 < x2, τότε στο διάστημα [x1, x2] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος

μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει ξ ∈ (x1, x2) τέτοιο, ώστε

2 1

2 1

f (x ) f (x )f ( )x x

−′ ξ =−

. (1)

Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ( ) 0′ ξ = , οπότε, λόγω της (1), είναι

1 2f (x ) f (x )= .

Αν x2 < x1, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι 1 2f (x ) f (x )= .

Σε όλες λοιπόν τις περιπτώσεις είναι 1 2f (x ) f (x )= .

125 / 230



2

ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν

• οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και

• f (x) g (x)′ ′= για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,

τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x ∈ Δ να ισχύει:

f (x) g(x) c= +

Απόδειξη

Η συνάρτηση f – g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε

εσωτερικό σημείο x ∈ Δ ισχύει: (f g) (x) f (x) g (x) 0′ ′ ′− = − = .

Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση f – g είναι σταθερή στο Δ. Άρα

υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε x ∈ Δ να ισχύει,

f (x) – g(x) c= , οπότε f (x) g(x) c= + .

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ Από το σχήμα προκύπτει, ότι αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν σε οποιοδήποτε χ που ανήκει στο Δ παράλληλες εφαπτόμενες, τότε η γραφική παράσταση της μίας προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση, δηλαδή παράλληλα προς τον yy′, της άλλης γραφικής παράστασης κατά c μονάδες, προς τα πάνω αν c > 0 ή προς τα κάτω αν c < 0.

O

y

x

•

•

•

• •

• y = g(x)

y = g(x) + c

126 / 230



3

Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Το παραπάνω θεώρημα καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση

διαστημάτων.

Προσοχή: Ισχύουν όμως σε κάθε διάστημα ξεχωριστά (παρατήρηση 3).

Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση f με τύπο:

1, x 0f (x)

1, x 0− <

= >

Παρατηρούμε ότι, αν και f (x) 0 ′ = για κάθε x ( ,0) (0, )∈ −∞ ∪ +∞ εντούτοις η f δεν είναι σταθερή στο ( ,0) (0, )−∞ ∪ +∞ και αυτό γιατί η f δεν είναι συνεχής στο ℝ*, αλλά είναι συνεχής σε καθένα ξεχωριστά από τα διαστήματα ( ,0) (0, )−∞ ∪ +∞ . Άρα μπορεί η f (x) 0 ′ = , χωρίς η f να είναι σταθερή. 2. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει: f (x) f (x)′ = κ , για κάθε x ∈ ℝ, και κ∈ σταθερά τότε:

υπάρχει c ∈ ℝ σταθερά έτσι ώστε κxf (x) c·e= , για κάθε x ∈ ℝ .

Σχόλιο: Για κ=1 ισχύει η ισοδυναμία:

xf (x) f (x) f (x) ce′ = ⇔ = , για κάθε x ∈ ℝ , όπου c ∈ ℝ σταθερά.

3. Αν ισχύει: f (x) g (x)′ ′= με x ∈ Δ1 ∪ Δ2 , τότε:

• ( ) ( ) 1f x =g x c + αν x ∈ Δ1

και • ( ) ( ) 2f x g x c = + αν x ∈ Δ2 .


127 / 230



128 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

[Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β΄ του σχολικού βιβλίου].


ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆ .

• Αν f (x) 0′ > σε κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆ , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε

όλο το ∆ .

• Αν f (x) 0′ < σε κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆ , τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε

όλο το ∆ .

Απόδειξη

Έστω f (x) 0′ > και 1 2x , x ∈∆ με 1 2x x< . Θα δείξουμε ότι 1 2f (x ) f (x )< .

Στο 1 2[x , x ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ επομένως υπάρχει 1 2(x ,x )ξ∈ τέτοιο

ώστε 2 12 1 2 1

2 1

f (x ) f (x )f ( ) f (x ) f (x ) f ( )(x x )x x

−′ ′ξ = ⇒ − = ξ −−

.

Επειδή f ( ) 0′ ξ > και 2 1x x 0− > παίρνουμε 2 1 1 2f (x ) f (x ) 0 f (x ) f (x )− > ⇒ < .

Ομοίως αποδεικνύεται το θεώρημα στην περίπτωση που f (x) 0′ < .

129 / 230



2

Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει.

Για παράδειγμα η 3f (x) x= είναι γνησίως αύξουσα αλλά 2f (x) 3x 0′ = ≥ . 2. Το παραπάνω θεώρημα ισχύει σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

Για παράδειγμα η 1f (x) x

= με πεδίο ορισμού ( ) ( )fD ,0 0,= −∞ ∪ +∞ έχει παράγωγο

2

1f (x) 0x

′ = − < για κάθε fx D∈ και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ),0−∞ και στο

( )0,+∞ , αλλά δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο fD αφού για παράδειγμα: 1 1− < , αλλά

( ) ( )f 1 1 f 1 1− = − < = .

3. Για τη μονοτονία της f στο [ ],α β μας ενδιαφέρουν η συνέχεια της f στο [ ],α β και το

πρόσημο της f ′ στο ( ),α β .

4. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ( ),α β με εξαίρεση ένα πεπερασμένο πλήθος

σημείων ( )1 2 kx , x , , x ,… ∈ α β ( *κ∈ ), αλλά η f είναι συνεχής σε αυτά τα σημεία και η

f ′ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο 1 1 2 k( , x ) (x , x ) (x , )α ∪ ∪…∪ β τότε η f είναι γνησίως

μονότονη στο ( ),α β .(Βλέπε: ΨΕΒ-Κ3.Ε10)


130 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ – ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

[Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου – Προσδιορισμός των τοπικών

Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του Κεφ.2.7 του



ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ-ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

Α. Στο σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα ( , ]α β .

y

O

A(x0,f (x0)) Cf

a x0 x2 x1 β x

Παρατηρούμε ότι στο σημείο 0x x= η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της

σε κάθε “γειτονικό” σημείο του 0x . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f παρουσιάζει στο 0x

τοπικό μέγιστο. Το ίδιο συμβαίνει και στα σημεία 1x και 2x . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο

ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Μια συνάρτηση f , με πεδίο ορισμού A , θα λέμε ότι παρουσιάζει στο 0x A∈ τοπικό

μέγιστο, όταν υπάρχει 0δ > , τέτοιο ώστε

0f (x) f (x )≤ για κάθε 0 0x A (x , x )∈ ∩ −δ + δ .

Το 0x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το 0f (x ) τοπικό μέγιστο της f .

• Aν η ανισότητα 0f (x) f (x )≤ ισχύει για κάθε x A∈ , τότε, η f παρουσιάζει στο

0x A∈ ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο, το 0f (x ) .

Β. Στο σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα ( , ]α β .

y

O

Cf

a x0 x1 β x

30

131 / 230



2

Παρατηρούμε ότι στο σημείο 0x x= η τιμή της συνάρτησης είναι μικρότερη από την τιμή της

σε κάθε “γειτονικό” σημείο του 0x . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η f παρουσιάζει στο 0x

τοπικό ελάχιστο. Το ίδιο συμβαίνει και στα σημεία 1x και β . Γενικά, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: ΟΡΙΣΜΟΣ Μία συνάρτηση f , με πεδίο ορισμού A , θα λέμε ότι παρουσιάζει στο 0x A∈ τοπικό

ελάχιστο, όταν υπάρχει 0δ > , τέτοιο ώστε

0f (x) f (x )≥ , για κάθε 0 0x A (x , x )∈ ∩ −δ + δ . Το 0x λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το 0f (x ) τοπικό ελάχιστο της f .

• Αν η ανισότητα 0f (x) f (x )≥ ισχύει για κάθε x A∈ , τότε, η f παρουσιάζει στο

0x A∈ ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο, το 0f (x ) .

• Τα τοπικά μέγιστα και τοπικά ελάχιστα της f λέγονται τοπικά ακρότατα αυτής, ενώ τα σημεία στα οποία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα λέγονται θέσεις τοπικών ακρότατων.

• Το μέγιστο και το ελάχιστο της f λέγονται ολικά ακρότατα ή απλά ακρότατα αυτής.

ΣΧΟΛΙΑ i) Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο. (βλέπε σχήμα (α))

y

x4 x3 x2 x1

(a) O x

ii) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα. (βλέπε σχήμα (β))

(β)

y

O

min

max

a β x

32

x4 x3 x2 x1

132 / 230



3

iii) Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής. Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μίας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης . (βλέπε σχήμα (α))

133 / 230



4

ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα ∆ και 0x ένα εσωτερικό σημείο του ∆ . Αν

η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:

0f (x ) 0′ = Απόδειξη: y

O

f (x0)

x0−δ x0+δ x0 x

33

Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο 0x τοπικό μέγιστο. Επειδή το 0x είναι εσωτερικό

σημείο του ∆ και η f παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει 0δ > τέτοιο, ώστε

0 0(x , x )−δ + δ ⊆ ∆ και

0f (x) f (x )≤ , για κάθε 0 0x (x , x )∈ −δ + δ . (1) Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , ισχύει

0 0

0 00

x x x x0 0

f (x) f (x ) f (x) f (x )f (x ) lim limx x x x− +→ →

− −′ = =− −

.

Επομένως,

— αν 0 0x (x , x )∈ −δ , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0

0

f (x) f (x ) 0x x−

≥−

, οπότε θα έχουμε

0

00

x x0

f (x) f (x )f (x ) lim 0x x−→

−′ = ≥−

(2)

— αν 0 0x (x , x )∈ + δ , τότε, λόγω της (1), θα είναι 0

0

f (x) f (x ) 0x x−

≤−

, οπότε θα έχουμε

0

00

x x0

f (x) f (x )f (x ) lim 0x x+→

−′ = ≤−

. (3)

Έτσι, από τις (2) και (3) έχουμε 0f (x ) 0′ = .

Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη.

134 / 230



5


1. - Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο. - Ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο.

2. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο ,τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα ,ενώ αν μια συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο ,τότε αυτό θα είναι το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα.

3. Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης , δεν είναι πάντα το μέγιστο αυτής ενώ το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μιας συνάρτησης , δεν είναι πάντα το ελάχιστο αυτής.

4. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [ , ]α β , τότε η f παίρνει στο [ , ]α β

μία μέγιστη τιμή Μ και μία ελάχιστη τιμή m. Δηλαδή, υπάρχουν 1, 2x x [ , ]∈ α β ώστε αν

1m f (x )= και 2M f (x )= να ισχύει: m f (x) M≤ ≤ για κάθε x [ , ]∈ α β .

5. Το θεώρημα Fermat ερμηνεύεται γεωμετρικά ως εξής:

H ισότητα 0f (x ) 0′ = σημαίνει ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο

σημείο 0 0A(x , f (x )) είναι παράλληλη προς τον άξονα Οx. (βλέπε σχήμα )

y

x3 x2 x1 x0 O x

6. Το αντίστροφο του θεωρήματος του Fermat δεν ισχύει , δηλαδή:

Υπάρχει περίπτωση για μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f να έχουμε 0f (x ) 0′ = , αλλά η f

να μην παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x . Για παράδειγμα, θεωρούμε τη συνάρτηση 3f (x) x , x= ∈ .

Τότε 'f (0) 0= αλλά η f δεν παρουσιάζει στο 0x 0= τοπικό ακρότατο, εφ’όσον για x 0<

έχουμε f (x) 0< και για x 0> έχουμε f (x) 0> . (βλέπε σχήμα)

O x

y

y=x3

135 / 230



6

7. Υπάρχει περίπτωση η f να παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα σημείο και να μην είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. Για παράδειγμα η συνάρτηση

x, x 0f (x) | x |

x, x 0≥

= = < παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο 0x 0= , αλλά δεν είναι

παραγωγίσιμη στο 0x 0= . (βλέπε σχήμα)

8. Αν για κάθε x∈∆ ισχύει f (x) 0′ ≠ , τότε η f δεν έχει ακρότατα.

9. Αν στο 0x ∈∆ η fC δέχεται οριζόντια εφαπτομένη δεν σημαίνει ότι υποχρεωτικά η f

παρουσιάζει ακρότατο στο 0x ∈∆ .

Για παράδειγμα η συνάρτηση f (x) x | x | 3= + , η οποία δέχεται εφαπτομένη στο 0x 0= ,

αλλά δεν παρουσιάζει ακρότατο .

10. Αν το σημείο 0x είναι άκρο του διαστήματος ∆ , η f παρουσιάζει στο 0x τοπικό

ακρότατο και η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε γενικά δεν αληθεύει ότι '

0f (x ) 0= . Για παράδειγμα, η συνάρτηση [ ]2f (x) x , x 0,2= ∈ , παρουσιάζει τοπικό

μέγιστο στο σημείο 0x 2= όμως f (2) 4 0.′ = ≠

11. Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακρoτάτων μιας συνάρτησης f σ’ ένα διάστημα ∆

είναι: • Τα εσωτερικά σημεία του ∆ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται.

• Τα εσωτερικά σημεία του ∆ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται.

• Τα άκρα του ∆ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της).

Τα εσωτερικά σημεία του ∆ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα ∆ .


136 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

[Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών

Ακροτάτων του κεφ.2.7 Μέρος Β΄ του σχολικού βιβλίου].


Εύρεση τοπικών ακροτάτων

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα ( ),α β , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο

του 0x , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.

i. Αν f (x) 0′ > στο ( )0, xα και f (x) 0′ < στο ( )0x ,β , τότε το 0f (x ) είναι τοπικό μέγιστο

της f. (Βλέπε Σχήματα 1-2)

ii. Αν f (x) 0′ < στο ( )0, xα και f (x) 0′ > στο ( )0x ,β , τότε το 0f (x ) είναι τοπικό

ελάχιστο της f . (Βλέπε Σχήματα 3-4)

iii. Αν η f (x)′ διατηρεί πρόσημο στο ( ) ( )0 0, x x ,α ∪ β , τότε το 0f (x ) δεν είναι τοπικό

ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο ( ),α β . (Βλέπε Σχήματα 5-6).

Απόδειξη:

i. Επειδή f (x) 0′ > για κάθε ( )0x , x∈ α και η f είναι συνεχής στο 0x , η f είναι γνησίως

αύξουσα στο ( ]0, xα . Οπότε:

0f (x) f (x )≤ , για κάθε ( ]0x , x∈ α (1)

Επειδή f (x) 0′ < για κάθε ( )0x x ,∈ β και η f είναι συνεχής στο 0x , η f είναι γνησίως

φθίνουσα στο [ )0x ,β . Οπότε:

0f (x) f (x )≤ , για κάθε [ )0x x ,∈ β (2)

137 / 230



2

Επομένως, λόγω των (1) και (2), έχουμε:

0f (x) f (x )≤ , για κάθε ( )x ,∈ α β ,

που σημαίνει ότι το 0f (x ) είναι μέγιστο της f στο ( ),α β και άρα τοπικό μέγιστο

αυτής.

ii. Εργαζόμαστε αναλόγως.

iii. Έστω ότι f (x) 0′ > , για κάθε ( ) ( )0 0x , x x ,∈ α ∪ β .

138 / 230



3

Επειδή η f είναι συνεχής στο 0x θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα

( ]0, xα και [ )0x ,β . Επομένως, για 1 0 2x x x< < ισχύει 1 0 2f (x ) f (x ) f (x )< < . Άρα το 0f (x )

δεν είναι τοπικό ακρότατο της f .

Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( ),α β .

Έστω ( )1 2x , x ,∈ α β με 1 2x x< .

• Αν ( ]1 2 0x , x , x∈ α , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( ]0, xα , θα ισχύει

1 2f (x ) f (x )< .

• Αν [ )1 2 0x , x x ,∈ β , επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ )0x ,β , θα ισχύει

1 2f (x ) f (x )< .

• Τώρα, αν 1 0 2x x x< < , τότε όπως είδαμε 1 0 2f (x ) f (x ) f (x )< < .

Επομένως, σε κάθε περίπτωση ισχύει 1 2f (x ) f (x )< , οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο

( ),α β .

Ομοίως, αν f (x) 0′ < για κάθε 0 0x ( , x ) (x , )∈ α ∪ β αποδεικνύεται ότι το 0f (x ) δεν είναι

τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ( , )α β .

139 / 230



4

• Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα κλειστό διάστημα [ ],α β , όπως γνωρίζουμε, η f

παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. Για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου εργαζόμαστε

ως εξής:

1. Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της f .

2. Υπολογίζουμε τις τιμές της f στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων.

3. Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της f .

Παράδειγμα Έστω η συνάρτηση 3 2f (x) x 3x 9x 4= + − − , [ ]x 4,3∈ − .

Έχουμε 2f (x) 3x 6x 9′ = + − , [ ]x 4,3∈ − .

Οι ρίζες της f (x) 0′ = είναι οι x 3= − , x 1= . Άρα, τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα x 3= − , x 1= . Οι τιμές της f στα κρίσιμα σημεία και στα άκρα του διαστήματος [ ]4,3− είναι : f ( 3) 23− = , f (1) 9= − , f ( 4) 16− = και f (3) 23= . Συνεπώς, η μέγιστη τιμή της f στο [ ]4,3− είναι ίση με 23 και παρουσιάζεται για x 3= − και

x 3= , ενώ η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με –9 και παρουσιάζεται για x 1= . Εποπτικά η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

140 / 230



5


1) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ( )0 0, x x ,α ∪ β και συνεχής στο 0x

με f (x) 0′ > για κάθε ( )0x , x∈ α και f (x) 0′ < για κάθε ( )0x x ,∈ β , τότε το 0f (x )

είναι τοπικό μέγιστο της f .

2) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ( )0 0, x x ,α ∪ β και συνεχής στο 0x

με f (x) 0′ < για κάθε ( )0x , x∈ α και f (x) 0′ > για κάθε ( )0x x ,∈ β , τότε το 0f (x )

είναι τοπικό ελάχιστο της f . 3) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ( ) ( )0 0, x x ,α ∪ β και συνεχής στο 0x

τότε παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στα κρίσιμα σημεία εκατέρωθεν των οποίων η f ′ αλλάζει πρόσημο.

4) Αν για το κρίσιμο σημείο 0x μιας συνάρτηση f , γνωρίζουμε ότι η f ′ διατηρεί το

πρόσημο της εκατέρωθεν του 0x , τότε η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο 0x και η

f είναι γνησίως μονότονη.

5) Σε συνάρτηση f διπλού τύπου για την εύρεση τοπικού ακρότατου στο σημείο 0xπου αλλάζει τύπο η f , δεν μας ενδιαφέρει η παραγωγισιμότητα αλλά μόνο η συνέχεια της f στο 0x και η μονοτονία της f , πριν και μετά το 0x .

6) Για να δείξουμε ότι:

i. f (x) ≤ µ , για κάθε x∈∆ αρκεί να δείξουμε ότι το μ είναι η μέγιστη τιμή της

f .

ii. f (x) ≥ ε , για κάθε x∈∆ αρκεί να δείξουμε ότι το ε είναι η ελάχιστη τιμή της

f .

7) Αν θέλουμε να δείξουμε ότι f (x) 0> (ή f (x) 0< ), τότε μπορούμε να

χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία της f ή να βρούμε ότι η f έχει ελάχιστο το 0α > (ή μέγιστο το 0α < αντίστοιχα).

8) Αν μας ζητείται να δείξουμε ότι f (x) g(x)≥ (ή f (x) g(x)≤ ), τότε θέτουμε

h(x) f (x) g(x)= − ή βρίσκουμε μια προφανή ρίζα της εξίσωσης h(x) 0= και την

μονοτονία της h ή βρίσκουμε τα ακρότατα της h.

9) Αν για μια συνάρτηση f γνωρίζουμε ότι:

i. Έχει ελάχιστο ε και f (x) 0≥ , τότε θα είναι 0ε ≥ .

ii. Έχει μέγιστο µ και f (x) 0≤ , τότε θα είναι 0µ ≤ .

141 / 230



6

10) Αν f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο ( ),α β και στο ( )0x ,∈ α β η f παρουσιάζει

ακρότατο τότε έχουμε 0f (x ) 0′ = (Θεώρημα Fermat), έτσι η γραφική

παράσταση της f ′ τέμνει τον άξονα x x′ στο σημείο ( )0M x ,0 .


142 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

[Κεφ 2.8: Κυρτότητα – Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου].


Εστω οι συναρτήσεις 2f (x) x= και g(x) x=

(a)

x

y

Ο

y=f (x)

y=g(x)

x

y

Ο

(β) Παρατηρούμε ότι οι πληροφορίες που μας δίνει το πρόσημο της πρώτης παραγώγου, των δυο συναρτήσεων, που αφορά την μονοτονία τους, είναι ίδιες. Δηλαδή είναι γνησίως φθίνουσες στο ]( ,0−∞ . Και γνησίως αύξουσες στο [0, )+∞ . Και παρουσιάζουν τοπικό ελάχιστο στο x 0= , που είναι ίσο με 0. Οι γραφικές τους παραστάσεις όμως, “ανέρχονται” και “κατέρχονται” στα διαστήματα ]( ,0−∞

και [0, )+∞ με διαφορετικό τρόπο. Άρα οι πληροφορίες που μας δίνει το πρόσημο της πρώτης παραγώγου, δεν αρκούν, για να σχεδιάσουμε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Αν δούμε τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις

(a)

x

y

+

Ο

y=x2

Καθώς το x αυξάνεται η εφαπτομένη της Cf

στρέφεται κατά τη θε- τική φορά

y x=

x

y

Ο

39

−

(β)

Καθώς το x αυξάνεται η εφαπτομένη της Cg στρέφεται κατά την αρνητική φορά

143 / 230



2

παρατηρούμε ότι καθώς το x αυξάνεται στο διάστημα [0, )+∞ :

• Η κλίση της fC αυξάνεται, δηλαδή η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο [0, )+∞

• Η κλίση της gC μειώνεται, δηλαδή η 𝑔′ είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, )+∞

Στην πρώτη περίπτωση λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα άνω στο [0, )+∞ , ενώ στη

δεύτερη λέμε ότι η g στρέφει τα κοίλα κάτω στο [0, )+∞ . Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Θα λέμε ότι:

• Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ αν η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ.

• Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ αν η f ′ είναι

γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ. Σχόλιο: Αποδεικνύεται ότι, αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή (ή κοίλη) σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράσταση της f σε κάθε σημείο του Δ, βρίσκεται κάτω (αντιστοίχως πάνω) από τη γραφική παράσταση με εξαίρεση κάποιο σημείο επαφής τους. Θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ

• Αν f (x) 0′′ > για κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ.

• Αν f (x) 0′′ < για κάθε εσωτερικό σημείο χ του Δ, τότε η f είναι κοίλη στο Δ. Σχόλιο: Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει αφού για παράδειγμα, η συνάρτηση 4f (x) x= έχει 3f (x) 4x′ = και 2f (x) 12x′′ = Η f (x) είναι κυρτή στο , αλλά η f (x)′′ δεν είναι θετική στο αφού f (0) 0′′ = . Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ( , )α β , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο

0x . Αν

• η f είναι κυρτή στο 0( , x )α και κοίλη στο 0(x , )β , ή αντιστρόφως και

• η fC έχει εφαπτομένη στο σημείο 0 0A(x , f (x ))

144 / 230



3

Τότε το σημείο 0 0A(x , f (x )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f . Όταν το 0 0A(x , f (x )) είναι σημείο καμπής της fC τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει καμπή στο

0x και λέγεται θέση σημείου καμπής. Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη της fC “διαπερνά” την καμπύλη. Θεώρημα: Αν το 0 0A(x , f (x )) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο

φορές παραγωγίσιμη, τότε 0f (x ) 0′′ = . Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα τα πιθανά σημεία καμπής μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ είναι:

i. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f ′′ μηδενίζεται.

ii. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f ′′ . Συμπέρασμα: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα ( , )α β και 0x ( , )∈ α β . Αν

• Η f ′′ αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 0x .

• Ορίζεται η εφαπτομένη της fC στο 0 0A(x , f (x )) .

Τότε το 0 0A(x , f (x )) είναι σημείο καμπής.

145 / 230



4

Σημαντικές παρατηρήσεις.

i.

• Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο Δ τότε η εφαπτομένη της fC σε κάθε 0x ∈∆ ,

βρίσκεται κάτω από την fC , με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. Δηλαδή:

Για κάθε x∈∆ ισχύει 0 0 0f (x) f (x ) f (x )(x x )′≥ + − .

• Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη στο Δ τότε η εφαπτομένη της fC σε κάθε 0x ∈∆ ,

βρίσκεται πάνω από την fC , με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. Δηλαδή:

Για κάθε x∈∆ ισχύει 0 0 0f (x) f (x ) f (x )(x x )′≤ + − .

ii. • Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο Δ και η fC εφάπτεται στον xx′ στο 0x τότε

f (x) 0≥ για κάθε x∈∆ .

• Αν η συνάρτηση f είναι κoίλη στο Δ και η fC εφάπτεται στον xx′ στο 0x τότε

f (x) 0≤ για κάθε x∈∆ .

iii. Στα σημεία καμπής η εφαπτομένη της fC “διαπερνά” την καμπύλη.

iv. Τα εσωτερικά σημεία ενός διαστήματος Δ στα οποία η f ′′ είναι διαφορετική του 0 δεν

είναι θέσεις σημείων καμπής.

v. Αν η f (x) 0′′ ≠ για κάθε x∈∆ τότε η f δεν παρουσιάζει καμπή στο ∆ .

vi. Αν μια συνάρτηση f είναι πολυωνυμική 3ου βαθμού έχει οπωσδήποτε σημείο καμπής.


146 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L΄ HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

[Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες – Κανόνες de l’Hospital Μέρος Β’ του σχολικού βιβλίου].


ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ DE L’HOSPITAL

Ασύμπτωτες

Καθώς ένα σημείο Μ κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο y f (x)= είναι δυνατόν να συμβεί ώστε , η απόσταση ανάμεσα στο Μ και κάποια σταθερή ευθεία (ε) να τείνει στο μηδέν. Σ΄ αυτή την περίπτωση η ευθεία (ε) ονομάζεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f . Έχουμε τριών ειδών ασύμπτωτες : 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη

Έστω η συνάρτηση f με τύπο 1f (x) , x 0, (1),x

= ≠

y x=1

x

y

Ο

Σχήμα 1 τότε, όταν x 0+→ έχουμε :

x 0 x 0

1lim f (x) limx+ +→ →

= = +∞ .

Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x τείνει στο 0 από θετικές τιμές, η γραφική παράσταση της f τείνει να συμπέσει με την ευθεία x 0= , (βλέπε σχήμα 1). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η

ευθεία x 0= , δηλαδή ο άξονας yy′ , είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της fC . Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια 0x x

lim f (x)+→

, 0x x

lim f (x)−→

είναι +∞ ή −∞ , τότε η ευθεία 0x x=

λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f .

147 / 230



2

2.Οριζόντια ασύμπτωτη

Για την ίδια συνάρτηση f , σχέση (1), παρατηρούμε ότι:

x x

1lim f (x) lim 0x→+∞ →+∞

= = .

Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το χ τείνει στο +∞ , η γραφική παράσταση της f τείνει να συμπέσει με την ευθεία y 0= (βλέπε Σχήμα 1). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία

y 0= , δηλαδή ο άξονας x x′ , είναι οριζόντια ασύμπτωτη της fC στο +∞ .

Επίσης παρατηρούμε ότι :

x x

1lim f (x) lim 0x→−∞ →−∞

= = .

Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x τείνει στο −∞ , η γραφική παράσταση της f τείνει να συμπέσει με την ευθεία y 0= (βλέπε Σχήμα 1). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y 0= , δηλαδή ο

άξονας x x′ , είναι οριζόντια ασύμπτωτη της fC στο −∞ . Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Αν xlim f (x)→+∞

= (αντιστοίχως xlim f (x) )→−∞

= , τότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια

ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της καμπύλης y f (x)= για x →+∞ (αντίστοιχα

x )→−∞ .

3.Πλάγια ασύμπτωτη

Έστω η συνάρτηση f με τύπο 1f (x) x 1 , x 0x

= − + ≠

και ευθεία με εξίσωση

y g(x) x 1= = −

Cf

−1

f (x)−(x−1)

1 x

y

Ο

Σχήμα 2

148 / 230



3

Επειδή x x

1lim [f (x) g(x)] lim 0x→+∞ →+∞

− = = , καθώς το x τείνει στο +∞ , οι τιμές της f προσεγγίζουν

τις τιμές της g . Δηλαδή, η γραφική παράσταση της f προσεγγίζει την ευθεία y x 1= − (βλέπε

σχήμα 2). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία y x 1= − είναι ασύμπτωτη (πλάγια) της fC

στο +∞ . Γενικά:

ΟΡΙΣΜΟΣ

Η ευθεία y x= λ +β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της καμπύλης y f (x)= στο

+∞ , αντιστοίχως στο −∞ , αν

xlim [f (x) ( x )] 0→+∞

− λ +β = ,

αντιστοίχως

xlim [f (x) ( x )] 0→−∞

− λ +β = .

Η ασύμπτωτη y x= λ +β είναι οριζόντια αν 0λ = , ενώ αν 0λ ≠ λέγεται πλάγια ασύμπτωτη.

Για τον προσδιορισμό των ασυμπτώτων μιας συνάρτησης ισχύει το παρακάτω θεώρημα.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Η ευθεία y x= λ +β είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ , αντιστοίχως

στο −∞ , αν και μόνο αν

x

f (x)limx→+∞

= λ∈ και xlim [f (x) x]→+∞

−λ = β∈

αντιστοίχως

x

f (x)limx→−∞

= λ∈ και xlim [f (x) x]→−∞

−λ = β∈ .

149 / 230



4


1. Είναι προφανές ότι ασύμπτωτες της μορφής y x= λ +β αναζητούμε μόνο αν στο

πεδίο ορισμού της συνάρτησης υπάρχουν υποσύνολα της μορφής ( ),α +∞ ή

( ), b−∞ .

2. Για τις πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 αποδεικνύεται

ότι δεν έχουν ασύμπτωτη.

3. Για τις ρητές συναρτήσεις f με τύπο : 1

1 01

1 0

x xP(x)f (x)Q(x) x x

ν ν−ν ν−

ρ ρ−ρ ρ−

α +α + +α= =

β +β + +β

,

όπου 0 0, , , , ,ν ρα α β β ∈ , x , , ,Q(x) 0,∈ ν ρ∈ ≠ αποδεικνύεται ότι :

• Αν 1ν > ρ+ τότε, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν έχει πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη.

• Αν 1ν = ρ+ τότε, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει πλάγια

ασύμπτωτη y x= λ +β την ίδια στο +∞ και στο −∞ .

• Αν ν ≤ ρ τότε , η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει οριζόντια

ασύμπτωτη την y = β και μάλιστα αν ν < ρ τότε y 0.=

4. Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f αναζητούμε: • Στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η f δεν ορίζεται. • Στα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η f δεν είναι συνεχής. • Στο +∞ , −∞ , εφόσον η συνάρτηση ορίζεται σε υποσύνολα του πεδίου ορισμού

της ,με μορφή των υποσυνόλων ( , )α +∞ , αντιστοίχως ( , b)−∞ .

5. Ισχύουν οι ισοδυναμίες:

• Η ευθεία y x= λ +β είναι πλάγια ασύμπτωτη του γραφήματος της f τότε ,και μόνο τότε αν :

( )xlim f (x) x 0→±∞

− λ +β =

• Η ευθεία y = β είναι οριζόντια ασύμπτωτη του γραφήματος της f τότε ,και μόνο τότε αν :

[ ]xlim f (x) 0→±∞

−β =

150 / 230



5

6. Μία συνάρτηση μπορεί να έχει ή μόνο μία οριζόντια ασύμπτωτη ή μόνο μία πλάγια

ασύμπτωτη ή καθόλου στο διάστημα ( ),α +∞ . Όμοια στο ( ), b−∞ .

7. Η έννοια της ασύμπτωτης είναι τοπική συμπεριφορά του γραφήματος της f και όχι

γενική. Δηλαδή:

• Στην κατακόρυφη ασύμπτωτη 0x x= , έχουμε πληροφορία για την γραφική

παράσταση της f , για εκείνα τα fx D∈ που βρίσκονται πολύ κοντά στο 0x .

• Στην οριζόντια και στην πλάγια ασύμπτωτη έχουμε πληροφορία για την

γραφική παράσταση της f , για τα fx D∈ που βρίσκονται σε διαστήματα της

μορφής ( ),α +∞ ,με 0α > ή ( ), b ,−∞ με b 0.<

8. Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο

τότε δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.

9. Είναι δυνατόν η f να ορίζεται στο 0x και όμως να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την

0x x= , π.χ η συνάρτηση f με τύπο:

1 , x 0f (x) x

2, x 0

≠= =

Δηλαδή η κατακόρυφη ασύμπτωτη μπορεί να τέμνει την γραφική παράσταση της f το πολύ σ’ ένα σημείο.

10. Σε αντίθεση με την κατακόρυφη ασύμπτωτη η πλάγια και η οριζόντια ασύμπτωτη

μπορούν να τέμνουν την γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα ή περισσότερα σημεία.

11. Οι συναρτήσεις με τύπους f (x) c= ή f (x) x= λ + κ έχουν ασύμπτωτες τον εαυτό τους.

151 / 230



6

Κανόνες De L’Hospital

Για τα όρια πηλίκου που οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές 00

, ±∞±∞

, ισχύουν τα επόμενα

θεωρήματα , που είναι γνωστά ως κανόνες de l’ Hospital.

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο (μορφή 00

)

Αν 0x x

lim f (x) 0→

= , 0

0x xlim g(x) 0, x ,→

= ∈ ∪ −∞ +∞ και υπάρχει το 0x x

f (x)limg (x)→

′′

(πεπερασμένο ή

άπειρο), τότε:

0 0x x x x

f (x) f (x)lim limg(x) g (x)→ →

′=

′.

ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο (μορφή ±∞±∞

)

Αν 0x x

lim f (x)→

= ±∞ , 0

0x xlim g(x) , x ,→

= ±∞ ∈ ∪ −∞ +∞ και υπάρχει το 0x x

f (x)limg (x)→

′′

(πεπερασμένο ή

άπειρο), τότε:

0 0x x x x

f (x) f (x)lim limg(x) g (x)→ →

′=

′.

152 / 230



7


1. Το θεώρημα 2 ισχύει και για τις μορφές +∞−∞

, −∞+∞

, −∞−∞

.

2. Τα παραπάνω θεωρήματα ισχύουν και για πλευρικά όρια και μπορούμε, αν χρειάζεται,

να τα εφαρμόσουμε περισσότερες φορές, αρκεί να πληρούνται οι προϋποθέσεις τους.

3. Ο κανόνας του de l’Hospital εφαρμόζεται με την προϋπόθεση ότι υπάρχουν οι

παράγωγοι των συναρτήσεων f ,g στην περιοχή του 0x , χωρίς απαραίτητα να είναι

παραγωγίσιμες στο 0x .

4. Το αντίστροφο του κανόνα de l’Hospital δεν ισχύει πάντα, δηλαδή αν υπάρχει το όριο

της συνάρτησης fg

στο 0x , αυτό δεν σημαίνει ότι υπάρχει και το όριο της fg′′ στο 0x

και όταν δεν υπάρχει το όριο της fg′′ στο 0x αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει το όριο

της fg

στο 0x .

5. Αν οι f ′ , g′ είναι συνεχείς στο 0x και ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος De

L’Hospital τότε έχουμε : ( )0 0

0

x x x x0

f (x )f (x) f (x)lim limg(x) g x g (x )→ →

′′= =

′ ′ .

6. Αν

0x xlim f (x)→

= ±∞ και 0x x

lim g(x)→

= ±∞ και αναζητούμε το 0x x

lim[f (x) g(x)]→

−

και καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή ( )∞−∞ τότε εργαζόμαστε ως εξής:

• Εκτελούμε τις πράξεις στην f (x) g(x)−

ή • Βγάζουμε κοινό παράγοντα το f (x) ή το g(x) και υπολογίζουμε αντίστοιχα

τα όρια 0x x

g(x)lim f (x)[1 ]f (x)→

− ή 0x x

f (x)lim g(x)[ 1]g(x)→

−

7. Αν 0x x

lim f (x) 0→

= και x 0x

lim g(x)→

= ±∞ και αναζητούμε το 0x x

lim[f (x) g(x)]→

⋅ .

Αρκεί να υπολογίσουμε ισοδύναμα το 0x x

f (x)lim 1g(x)

→ ή το

0x x

g(x)lim 1f (x)

→ έτσι ώστε να

καταλήξουμε σε απροσδιόριστη μορφή ∞∞

ή 00

και να εφαρμόσουμε τον κανόνα De

L’Hospital.

153 / 230



8

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η πορεία που ακολουθούμε για να χαράξουμε την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης λέγεται μελέτη της συνάρτησης και περιλαμβάνει τα παρακάτω βήματα:

1ο Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f .

2o Εξετάζουμε τη συνέχεια της f στο πεδίο ορισμού της.

3ο Βρίσκουμε τις παραγώγους f ′ και f ′′ και κατασκευάζουμε τους πίνακες των προσήμων τους. Με τη βοήθεια του προσήμου της f ′ προσδιορίζουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f , ενώ με τη βοήθεια του προσήμου της f ′′ καθορίζουμε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και βρίσκουμε τα σημεία καμπής.

4ο Μελετούμε τη “συμπεριφορά” της συνάρτησης στα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της (οριακές τιμές, ασύμπτωτες, κτλ.)

5ο Συγκεντρώνουμε τα παραπάνω συμπεράσματα σ’ ένα συνοπτικό πίνακα που λέγεται και πίνακας μεταβολών της f και με τη βοήθειά του χαράσσουμε τη γραφική παράσταση της f.

Για καλύτερη σχεδίαση της fC κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών της f.

ΣΧΟΛΙΟ

1. Όπως είναι γνωστό, αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α είναι άρτια, τότε η fC

έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y′ , ενώ αν είναι περιττή, η fC έχει κέντρο

συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο. Επομένως, για τη μελέτη μιας τέτοιας συνάρτησης μπορούμε να περιοριστούμε στα x A∈ , με x 0≥ .

2. Αν μια συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο Τ, τότε περιορίζουμε τη μελέτη της fC

σ’ ένα διάστημα πλάτους Τ.


154 / 230



1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

[Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].


Παράγουσα συνάρτηση

ΟΡΙΣΜΟΣ

Παράδειγμα:

Η συνάρτηση 2F(x) x= είναι μια παράγουσα της f (x) 2x= στο , αφού ( )2x 2x′ = .

Παρατηρούμε ότι εκτός από την F και η συνάρτηση 2G(x) x 1= + είναι παράγουσα της f ,

γιατί: ( )2G (x) x 1 2x f (x), x ′′ = + = = ∈ .

Γενικά ισχύει το παρακάτω θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα ∆ . Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο ∆ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο ∆ και ισχύει F (x) f (x)= , για κάθε x∈∆ .

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα ∆ . Αν F είναι μια παράγουσα της f στο ∆ , τότε

• όλες οι συναρτήσεις της μορφής

G(x) F(x) c= + , c∈ ,

είναι παράγουσες της f στο ∆ και

• κάθε άλλη παράγουσα G της f στο ∆ παίρνει τη μορφή

G(x) F(x) c= + , c∈ .

155 / 230



2

Απόδειξη

• Κάθε συνάρτηση της μορφής G(x) F(x) c= + , όπου c∈ , είναι μια παράγουσα της f στο

∆ , αφού

( )G (x) F(x) c F (x) f (x)′′ ′= + = = , για κάθε x∈∆ .

• Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο ∆ . Τότε για κάθε x∈∆ ισχύουν

F (x) f (x)′ = και G (x) f (x)′ = , οπότε

G (x) F (x)′ ′= , για κάθε x∈∆ .

Άρα, σύμφωνα με το πόρισμα της § 2.6, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε

G(x) F(x) c= + , για κάθε x∈∆ .


Όπως είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, μια παράγουσα της συνάρτησης f (x) 2x= στο

είναι η συνάρτηση 2F(x) x= . Άρα, σύμφωνα με το θεώρημα, όλες οι παράγουσες της είναι οι

συναρτήσεις: 2G(x) x c, c = + ∈ .

Στο σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζονται μερικές παράγουσες της f (x) 2x= .

Παρατηρούμε, ότι αυτές προκύπτουν με μια κατακόρυφη μετατόπιση της FC κατά c μονάδες.

156 / 230



3

Για την εύρεση των παραγουσών, χρησιμοποιώντας τους γνωστούς τύπους παραγώγισης και το προηγούμενο θεώρημα, έχουμε τον ακόλουθο πίνακα παραγουσών μερικών βασικών συναρτήσεων.

• Πίνακας παραγουσών μερικών βασικών συναρτήσεων

Οι τύποι του παρακάτω πίνακα ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι παραστάσεις του x που εμφανίζονται έχουν νόημα.

ΠΙΝΑΚΑΣ 1

Α/Α Συνάρτηση Παράγουσες

1 f (x) 0= G(x) c, c= ∈

2 f (x) 1= G(x) x c, c= + ∈

3 1f (x)x

= G(x) ln x c, c= + ∈

4 f (x) x , 1 αα= ≠ − 1xG(x) c,1

cα+

= + ∈α +

5 1f (x)

2 x= G(x) x c, c= + ∈

6 f (x) x= συν G(x) x c, c= ηµ + ∈

7 f (x) x= ηµ G(x) x c, c= −συν + ∈

8 2

1f (x)x

=συν

G(x) x c, c= εϕ + ∈

9 2

1f (x)x

=ηµ

G(x) x c, c= −σϕ + ∈

10 xf (x) e= xG(x) e c, c= + ∈

11 xf (x) = α x

G(x) c,ln

cα

= + ∈α

157 / 230



4

Ανατρέχοντας στα θεωρήματα παραγώγισης αθροίσματος, γινομένου, πηλίκου, σύνθεσης συναρτήσεων και στο προηγούμενο θεώρημα, έχουμε τον ακόλουθο πίνακα παραγουσών (Πίνακας 2)

• Πίνακας παραγουσών συναρτήσεων που προκύπτουν με τη βοήθεια των κανόνων παραγώγισης

Οι τύποι του παρακάτω πίνακα ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι συναρτήσεις του x που εμφανίζονται έχουν νόημα.

ΠΙΝΑΚΑΣ 2


1 (x) f (x) g (x)′ ′κ = + K(x) f (x) g(x) c, c= + + ∈

2 (x) f (x) g(x) f (x) g (x)′ ′κ = ⋅ + ⋅ K(x) f (x) g(x) c, c= ⋅ + ∈

3 2

f (x) g(x) f (x) g (x)(x)g (x)

′ ′⋅ − ⋅κ =

f (x)K(x) c,g(x)

c= + ∈

4 ( )(x) g f (x) f (x)′ ′κ = ⋅ ( )(x) g f (x) c, cΚ = + ∈

Λαμβάνοντας τέλος υπόψη την παραγώγιση μιας σύνθετης συνάρτησης και το προηγούμενο θεώρημα, ο πίνακας παραγουσών των βασικών συναρτήσεων (Πίνακας 2) επεκτείνεται όπως παρουσιάζεται στον πίνακα 3.

• Πίνακας παραγουσών συναρτήσεων οι οποίες προκύπτουν ως σύνθεση μιας συνάρτησης f με μία βασική συνάρτηση

Οι τύποι του παρακάτω πίνακα ισχύουν σε κάθε διάστημα στο οποίο οι συναρτήσεις του x που εμφανίζονται έχουν νόημα.

158 / 230



5

ΠΙΝΑΚΑΣ 3


1 g(x) f (x)′= G(x) f (x) c, c= + ∈

2 f (x)g(x)f (x)′

= G(x) ln f (x) c, c= + ∈

3 g(x) f (x) f (x), α 1α ′= ⋅ ≠ − 1f (x)G(x) c,

1 c

α+

= + ∈α +

4 f (x)g(x)

2 f (x)′

= G(x) f (x) c, c= + ∈

5 g(x) f (x) f (x)′= συν ⋅ G(x) f (x) c, c= ηµ + ∈

6 g(x) f (x) f (x)′= ηµ ⋅ G(x) f (x) c, c= −συν + ∈

7 2

f (x)g(x)f (x)

′=συν

G(x) f (x) c, c= εϕ + ∈

8 2

f (x)g(x)f (x)′

=ηµ

G(x) f (x) c, c= −σϕ + ∈

9 f (x)g(x) e f (x)′= ⋅ f (x)G(x) e c, c= + ∈

10 f (x)g(x) f (x)′= α ⋅ f (x)

G(x) c,ln

cα

= + ∈α

159 / 230



6

Ιδιότητες παραγουσών:

Αν οι συναρτήσεις F και G είναι παράγουσες των f και g αντιστοίχως και *λ∈ , τότε:

i) Η συνάρτηση F G+ είναι μια παράγουσα της συνάρτησης f g+ και

ii) Η συνάρτηση Fλ είναι μια παράγουσα της συνάρτησης fλ .

Γενικά:

Η συνάρτηση F Gλ + κ είναι μια παράγουσα της συνάρτησης f gλ + κ *,κ λ∈ .

160 / 230



7


1) Αν 1 2F ,F είναι δύο παράγουσες της συνάρτησης f , σε ένα διάστημα ∆ , τότε αυτές θα

διαφέρουν κατά ένα σταθερό πραγματικό αριθμό c . Δηλαδή:

1 2F (x) F (x) c, c = + ∈ .

2) Κάθε συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα ∆ , δεν έχει αναγκαία παράγουσα. Παράδειγμα

Η συνάρτηση 1, 1 x 0

f (x)1, 0 x 1

− − < ≤= < <

, είναι ορισμένη στο διάστημα ( )1,1∆ = − , αλλά

δεν υπάρχει συνάρτηση F παραγωγίσιμη στο ( )1,1∆ = − τέτοια ώστε F (x) f (x)′ = .

3) Αποδεικνύεται ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆ , τότε:

i. Έχει παράγουσα στο ∆ .

ii. Έχει άπειρες αρχικές συναρτήσεις.

4) Η παράγουσα μιας συνάρτησης αναφέρεται σε διάστημα και όχι σε ένωση

διαστημάτων. Έτσι για παράδειγμα, οι συναρτήσεις 1f (x)x

= και F(x) ln x= ,

ορίζονται στο ( ) ( )A ,0 0,= −∞ ∪ +∞ και F (x) f (x)′ = για κάθε και Ax∈ , οπότε:

• Στο ( ),0−∞ , οι παράγουσες της f είναι 1 1F(x) c , c + ∈ .

• Στο ( )0,+∞ , οι παράγουσες της f είναι

2 2F(x) c , c + ∈ .

Στο ( ) ( )A ,0 0,= −∞ ∪ +∞ , οι παράγουσες της f δεν είναι F(x) c, c + ∈

5) Για κάθε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα ∆ , οι εφαπτόμενες των

γραφικών παραστάσεων όλων των παραγουσών της, στο 0x ∈∆ είναι παράλληλες.

6) Η διαδικασία εύρεσης των παραγουσών μιας συνάρτησης f είναι η αντίστροφη από

την διαδικασία παραγώγισης. Επομένως πρέπει να γνωρίζουμε πολύ καλά τους κανόνες παραγώγισης.


161 / 230



162 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ

[Κεφ: 3.2 – 3.4 Μέρος Β΄ του σχολικού βιβλίου].


ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Εμβαδόν παραβολικού χωρίου

Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης 2f (x) x= , τον άξονα των x και τις ευθείες x 0=

και x 1= .

1

Ω

1 O x

y y=x2

2v

1v

vv−1

1

1 O x

y

. . .

y=x2

Σχήμα 1 Σχήμα 2

Μια μέθοδος να προσεγγίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν είναι η εξής:

Χωρίζουμε το διάστημα [0,1] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους 1x∆ =ν

, με άκρα

τα σημεία:

0x 0= , 11x =ν

, 22x =ν

,……, 11xν−

ν −=

ν, x 1ν

ν= =ν

.

• Σχηματίζουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα υποδιαστήματα αυτά και ύψη την ελάχιστη τιμή της f σε καθένα από αυτά (Σχήμα 2 ). Μια προσέγγιση του

εμβαδού που ζητάμε είναι το άθροισμα, νε , των εμβαδών των παραπάνω

ορθογωνίων. Δηλαδή, το:

163 / 230



2

1 1 1 2 1 1 1f (0) f f fν

ν − ε = + + + + ν ν ν ν ν ν ν

2 2 221 1 2 10

ν − = + + + + ν ν ν ν

2 2 23

1 [1 2 ( 1) ]= + + + ν −ν

2

3 2

1 ( 1) (2 1) 2 3 16 6

ν − ⋅ν ν − ν − ν += =ν ν

.

• Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα και ύψη την μέγιστη τιμή της f σε (Σχήμα 3) καθένα απ’ αυτά τότε το άθροισμα

1 1 2 1 1f f fν

ν Ε = + + + ν ν ν ν ν ν

των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού. Είναι όμως,

1 1 2 1 1f f fν

ν Ε = + + + ⋅ ν ν ν ν ν ν

2 2 21 1 2 ν = + + + ν ν ν ν

2 2 23

1 (1 2 )= + + + νν

2

3 2

1 ( 1)(2 1) 2 3 16 6

ν ν + ν + ν + ν += =ν ν

.

v

v−1

2v

1v

1

1 O x

y

. . .

y=x2

Σχήμα 3

Το ζητούμενο, όμως, εμβαδόν Ε βρίσκεται μεταξύ των νε και Eν . Δηλαδή ισχύει

ν νε ≤ Ε ≤ Ε , οπότε

lim limν νν→∞ ν→∞ε ≤ Ε ≤ Ε .

164 / 230



3

Επειδή 1lim lim3ν νν→∞ ν→∞

ε = Ε = , έχουμε 13

Ε = .

Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα

1[x , x ]κ− κ , 1,2,...,κ = ν και ύψη την τιμή της συνάρτησης σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο κξ , 1,2,...,3,...,κ = ν , καθενός διαστήματος, (Σχήμα 4), τότε το άθροισμα

1 21 1 1S f ( ) f ( ) f ( )ν ν= ξ + ξ + + ξν ν ν

των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού.

Επειδή 1f (x ) f ( ) f (x )κ− κ κ≤ ξ ≤ για

1,2,...,κ = ν , θα είναι

11 1 1f (x ) f ( ) f (x )κ− κ κ≤ ξ ≤ν ν ν

,

οπότε θα ισχύει

Sν ν νε ≤ ≤ Ε .

Είναι όμως, lim lim Eν νν→∞ ν→+∞ε = = Ε . Άρα θα

ισχύει limSνν→∞= Ε .

1

1 ξv

f (ξk)

ξk ξ2 ξ1 O x

y

. . . . . .

y=x2

Σχήμα 4

165 / 230



4

Ορισμός εμβαδού

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ , ]α β , με f (x) 0≥ για κάθε

x [ , ]∈ α β και Ω το χωρίο που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των x και τις ευθείες x = α , x = β .

Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω (Σχήμα 5) εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Δηλαδή:

Δx β a

v= −

xν-1 x2 ... x1 xν=β α=x0 ξν ξk

Ω

ξ2 ξ1 O x

y=f (x) y

f(ξ1) f(ξ2) f(ξk)

f(ξν)

xk ... xk-1

Σχήμα 5

Χωρίζουμε το διάστημα [ , ]α β σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους x β−α∆ =

ν, με τα

σημεία 0 1 2x x x ... xνα = < < < < = β .

• Σε κάθε υποδιάστημα 1[x , x ]κ− κ επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο κξ και

σχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν βάση x∆ και ύψη τα f ( )κξ . Το άθροισμα των

εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι

1 2 1S f ( ) x f ( ) x f ( ) x [f ( ) f ( )] xν ν ν= ξ ∆ + ξ ∆ + + ξ ∆ = ξ + + ξ ∆ .

• Yπολογίζουμε το lim Sνν→+∞.

Αποδεικνύεται ότι το lim Sνν→+∞ υπάρχει στο και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή

των σημείων κξ . Το όριο αυτό ονομάζεται εμβαδόν του επίπεδου χωρίου Ω και

συμβολίζεται με E( )Ω . Είναι φανερό ότι ( ) 0Ε Ω ≥ .

166 / 230



5

Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος

xv-1 ξv

y=f (x)

ξk ξ2 ξ1

x2 x1 xv a=x0 O

y

Σχήμα 6

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο [ , ]α β . Με τα σημεία 0 1 2x x x ... xνα = < < < < = β

χωρίζουμε το διάστημα [ , ]α β σε ν ισομήκη υποδιαστήματα μήκους x β−α∆ =

ν.

Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα 1[x , x ]κ κ− κξ ∈ , για κάθε 1,2,..., κ∈ ν , και

σχηματίζουμε το άθροισμα

1 2S f ( ) x f ( ) x f ( ) x f ( ) xν κ ν= ξ ∆ + ξ ∆ + + ξ ∆ + + ξ ∆

το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής:

1S f ( ) x

ν

ν κκ=

= ξ ∆∑ .

Αποδεικνύεται ότι,

“Το όριο του αθροίσματος Sν , δηλαδή το f xν

κν→∞κ=

ξ ∆ ∑

1lim ( ) (1) υπάρχει στο και

είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων κξ ”.

Το παραπάνω όριο (1) ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης

f από το α στο β, συμβολίζεται με f (x)dxβ

α∫ και διαβάζεται “ολοκλήρωμα της f από

το α στο β”.

Δηλαδή

f (x)dx f xνβ

κα ν→∞κ=

= ξ ∆ ∑∫

1lim ( )

Οι αριθμοί α και β ονομάζονται άκρα της ολοκλήρωσης .

Είναι, όμως, χρήσιμο να επεκτείνουμε τον παραπάνω ορισμό και για τις περιπτώσεις που είναι α > β ή α = β , ως εξής:

167 / 230



6

f (x)dx f (x)dxβ α

α β= −∫ ∫

f (x)dx 0α

α=∫

Από τους ορισμούς του εμβαδού και του ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει ότι:

Αν f (x) 0≥ για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε το

ολοκλήρωμα f (x)dxβ

α∫ δίνει το εμβαδόν

E( )Ω του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα x x′ και τις ευθείες x = α και x = β (Σχήμα 7).

β α

Ω

O x

y=f (x)

y

Σχήμα 7

Δηλαδή,

f (x)dx E( )β

α= Ω∫ .

Επομένως,

Αν f (x) 0≥ , τότε f (x)dx 0β

α≥∫ .

168 / 230



7

Έστω f ,g συνεχείς συναρτήσεις στο [ , ]α β και ,λ µ∈ .Τότε ισχύουν

• f (x)dx f (x)dxβ β

α αλ = λ∫ ∫

• [f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dxβ β β

α α α+ = +∫ ∫ ∫

Και γενικά

• [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dxβ β β

α α αλ +µ = λ +µ∫ ∫ ∫

Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και , ,α β γ∈∆ , τότε ισχύει

f (x)dx f (x)dx f (x)dxβ γ β

α α γ= +∫ ∫ ∫

Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος

Με τη βοήθεια του ορισμού του ορισμένου ολοκληρώματος αποδεικνύονται τα παρακάτω θεωρήματα

ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο

ΘΕΩΡΗΜΑ 2o

Για παράδειγμα, αν 3

0f (x)dx 3=∫ και

4

0f (x)dx 7=∫ , τότε

4 0 4 3 4

3 3 0 0 0f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx 3 7 4= + = − + = − + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Αν f (x) 0≥ και α < γ < β (Σχήμα 8), η παραπάνω ιδιότητα δηλώνει ότι:

1 2( ) ( ) ( )Ε Ω = Ε Ω +Ε Ω Αφού

1( ) f (x)dxγ

αΕ Ω = ∫ , 2( ) f (x)dx

β

γΕ Ω = ∫

και

( ) f (x)dxβ

αΕ Ω = ∫ .

β γ α

Ω2 Ω1

O x

y=f (x)

y

Σχήμα 8

169 / 230



8

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ , ]α β .Αν f (x) 0≥ για κάθε x [ , ]∈ α βκαι η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε

f (x)dx 0β

α>∫ .

ΘΕΩΡΗΜΑ 3o

170 / 230



9

Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα ∆ και α είναι ένα σημείο του ∆ , τότε η συνάρτηση

xF(x) f (t)dt

α= ∫ , x∈∆ ,

είναι μια παράγουσα της f στο ∆ . Δηλαδή ισχύει:

( )xf (t)dt f (x)

α

′=∫ , για κάθε x∈∆ .

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος f (x)dxβ

α∫ με τη διαδικασία που αναλύσαμε παραπάνω

είναι συνήθως μια πολύπλοκη διαδικασία. Για το λόγο αυτό στη συνέχεια θα ορίσουμε μια συνάρτηση που ονομάζεται συνάρτηση ολοκλήρωμα , με τη βοήθεια της οποίας θα διατυπώσουμε και θα αποδείξουμε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού ,με τη χρήση του οποίου θα είναι δυνατόν να υπολογιστούν τα παραπάνω ολοκληρώματα.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Για παράδειγμα

( )x 2 2

0tdt xημ ημ

′=∫ και ( )x

0ln tdt ln x

′=∫

Γεωμετρική ερμηνεία

x

y

171 / 230



10

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x h x h x h x

x x

E f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt F x h F x+ + α +

α α α

Ω = = + = − = + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Το εμβαδόν του χωρίου Ω είναι περίπου ίσο με ( ) ( )E f x hΩ ≈ ⋅ για πολύ μικρά h 0>

Άρα θα έχουμε ( ) ( ) ( )F x h F x f x h+ − ≈ ⋅ ή ( ) ( ) ( )F x h F x

f xh

+ −≈

Οπότε ( ) ( ) ( ) ( )h 0

F x h F xF x lim f x

h→

+ −′ = =

Με την συνάρτηση ολοκλήρωμα θα ασχοληθούμε διεξοδικότερα στην επόμενη ενότητα.

172 / 230



11

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [ , ]α β . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [ , ]α β , τότε

f (t)dt G( ) G( )β

α= β − α∫

ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού)

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

Η συνάρτηση x

F(x) f (t)dtα

= ∫ είναι μια παράγουσα της f στο [ , ]α β . Επειδή και η G

είναι μια παράγουσα της f στο [ , ]α β , θα υπάρχει c∈ τέτοιο, ώστε

G(x) F(x) c= + . (1)

Από την (1), για x = α , έχουμε G( ) F( ) c f (t)dt c cα

αα = α + = + =∫ , οπότε c G( )= α .

Επομένως,

G(x) F(x) G( )= + α ,

οπότε, για x = β , έχουμε

G( ) F( ) G( ) f (t)dt G( )β

αβ = β + α = + α∫

και άρα

f (t)dt G( ) G( )β

α= β − α∫ .

Πολλές φορές, για να απλοποιήσουμε τις εκφράσεις μας, συμβολίζουμε τη διαφορά

G( ) G( )β − α με [G(x)]βα .

173 / 230



12


1. Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης είναι αριθμός.

Για το λόγο αυτό συμπεραίνουμε ( f (x)dx) 0β

α′ =∫ .

2. To ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ανεξάρτητο της επιλογής της παράγουσας

Π.χ 1 2 1

002xdx [x ] 1 0 1= = − =∫ και

1 2 100

2xdx [x 1] 2 1 1= + = − =∫

3. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα [ , ]α β είναι ολοκληρώσιμη σε αυτό.

4. Από το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού προκύπτουν τα ακόλουθα

συμπεράσματα.

i. f (x)dx f ( ) f ( )β

α′ = β − α∫

ii. f (x)dx f ( ) f ( )β

α′′ ′ ′= β − α∫

5. Αν f ,g συναρτήσεις οι οποίες είναι συνεχείς στο [ , ]α β με f (x) g(x)≥ τότε :

f (x) g(x) 0− ≥ και f (x) g(x)− συνεχής συνάρτηση ως διαφορά συνεχών,

Άρα [f (x) g(x)]dx 0 f (x)dx g(x)dx 0β β β

α α α− ≥ ⇔ − ≥ ⇔∫ ∫ ∫

f (x)dx g(x)dxβ β

α α≥∫ ∫

6. Το ορισμένο ολοκλήρωμα f (x)dxβ

α∫ είναι ένας πραγματικός αριθμός που

εξαρτάται από τα άκρα ολοκλήρωσης α και β και από τις τιμές της f στο κλειστό διάστημα με άκρα α και β και όχι από το γράμμα που παριστάνει την ανεξάρτητη μεταβλητή της f. Έτσι π.χ

f (x)dx f (t)dt f (y)dyβ β β

α α α= =∫ ∫ ∫ .

174 / 230



13

Μέθοδοι ολοκλήρωσης

• ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ

Πολλές φορές για τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος προσπαθούμε να το φέρουμε

στη μορφή f (x)g (x)dxβ

α′∫ και να εφαρμόσουμε τον παρακάτω τύπο που είναι γνωστός ως

τύπος της παραγοντικής ολοκλήρωσης.

f (x)g (x)dx [f (x)g(x)] f (x)g(x)dxβ ββ

αα α′ ′= −∫ ∫ ,

όπου f ,g′ ′ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο

[ , ]α β .

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα ∫ xexdx10 :

Έχουμε 1 1 1 1x x x 1 x x 1 x

0 00 0 0 0xe dx x(e ) dx [xe ] (x) e dx [xe ] e dx′ ′= = − = − =∫ ∫ ∫ ∫

x 1 x 10 0[xe ] [e ] 1 e 0 (e 1) 1− = ⋅ − − − =

Με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες είναι δυνατόν να υπολογισθούν οι παρακάτω μορφές ολοκληρωμάτων

i. xP(x)e dxβ α +β

α∫ όπου P(x) πολυώνυμο του x και *α∈ και β∈

ii. P(x) ( x )dxβ

αηµ α +β∫ όπου P(x) πολυώνυμο του x και *α∈ και β∈

iii. P(x) ( x )dxβ

ασυν α +β∫ όπου P(x) πολυώνυμο του x και *α∈ και β∈

iv. P(x) ln( x )dxβ

αα +β∫ όπου P(x) πολυώνυμο του x και *α∈ και β∈ με x 0α +β >

v. xe ( x )dxβ α +β

αηµ γ + δ∫ με *,α γ∈ και ,β δ∈

vi. xe ( x )dxβ α +β

ασυν γ + δ∫ με *,α γ∈ και ,β δ∈

175 / 230



14

• ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζουμε ολοκληρώματα που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη

μορφή f (g(x))g (x)dxβ

α′∫ και ο τύπος υπολογισμού αυτού του είδους ολοκληρωμάτων

είναι ο ακόλουθος:

2

1

u

uf (g(x))g (x)dx f (u)du

β

α′ =∫ ∫ ,

όπου f ,g′ είναι συνεχείς συναρτήσεις, u g(x)= ,

du g (x)dx′= και 1u g( )= α , 2u g( )= β .

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα x20

xe dxπ

ηµσυν∫ :

Θέτουμε x uηµ = (1) τότε ( x) dx du′ηµ = άρα xdx duσυν = (2)

Και τα νέα άκρα ολοκλήρωσης θα είναι 1u 0 0= ηµ = και 2u 12π

= ηµ = (3)

Τότε το αρχικό ολοκλήρωμα λόγω των (1),(2),(3) ισούται με 1 u u 1

00e du [e ] e 1= = −∫ .

176 / 230



15

Υπολογισμός ολοκληρώματος της μορφής 1f (x)dxβ −

α∫

Για τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος της παραπάνω μορφής ,εφόσον δεν είναι δυνατόν να υπολογίσουμε τη συνάρτηση 1f − εργαζόμαστε ως εξής :

Θέτουμε x f (u)= (1)

Τότε dx f (u)du′= (2)

Τα νέα άκρα ολοκλήρωσης είναι 1u και 2u αντίστοιχα (3) όπου 1u και 2u οι τιμές

που αληθεύουν τις σχέσεις 1f (u ) = α και 2f (u ) = β οι οποίες είναι μοναδικές ,αφού η

συνάρτηση f είναι 1-1.

Άρα το ολοκλήρωμα γίνεται λόγω των (1),(2),(3)

2 2

1 1

u u1

u u(f (f (u)) f (u)du u f (u)du− ′ ′⋅ = ⋅∫ ∫ το οποίο υπολογίζουμε.


Να υπολογιστεί το 2 1

0f (x)dx−∫ με 5 3f (x) x x= + .

Θέτουμε f (u) x= (1) τότε dx f (u)du′= (2)

Και τα νέα άκρα ολοκλήρωσης είναι οι λύσεις των εξισώσεων f (u) 0= και f (u) 2=

Έχουμε 5 3f (u) 0 u u 0= ⇔ + = ⇔ 3 2 3u (u 1) 0 u 0 u 0+ = ⇔ = ⇔ = και

5 3f (u) 2 u u 2= ⇔ + = που έχει την προφανή λύση u 1= η οποία είναι μοναδική αφού η

συνάρτηση f είναι 1-1.

Συνεπώς τα νέα άκρα ολοκλήρωσης είναι 1u 0= και 2u 1= (3)

Τότε λόγω των σχέσεων (1),(2),(3) το ολοκλήρωμα παίρνει τη μορφή:

2 1 1 11 1 4 2

0 0 0 0

f (x)dx f (f (u))f (u)du uf (u)du u(5u 3u )du− − ′ ′= = = + =∫ ∫ ∫ ∫

11 6 4

5 3

0 0

u u 5 3 19(5u 3u )du 5 36 4 6 4 12

= + = + = + =

∫


177 / 230



178 / 230



1


ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

[Κεφ.3.7 Μέρος Β΄ του σχολικού βιβλίου].


Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [ , ]α β και f (x) 0≥ για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f , τις ευθείες x , x= α = β και τον άξονα x x′ είναι:

• Έστω, τώρα δύο συναρτήσεις f και g , συνεχείς στο διάστημα [ , ]α β με

f (x) g(x) 0≥ ≥ για κάθε x [ , ]∈ α β και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές

παραστάσεις των f , g και τις ευθείες x = α και x = β.

Ο

y y = f(x)

Ω

α β x

y = g(x)

Ο

y y = f(x)

Ω1

α β x x Ο

y

Ω2

α β

y = g(x)

(α) (β) (γ)

Ε(Ω) = ∫

β

αdxxf )(

Ο

y

y = f(x)

Ω

α β x

179 / 230



2

Παρατηρούμε ότι:

1 2E( ) E( ) E( ) f (x)dx g(x)dx [f (x) g(x)]dxβ β β

α α αΩ = Ω − Ω = − = −∫ ∫ ∫

Άρα: (1)

• Ο τύπος (1) βρέθηκε με την προϋπόθεση ότι:

(i) f (x) g(x)≥ για κάθε x [ , ]∈ α β

(ii) οι f , g είναι μη αρνητικές το [ , ]α β

Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι ο τύπος (1) ισχύει και χωρίς την υπόθεση (ii). Επειδή οι συναρτήσεις f , g είναι συνεχείς στο [ , ]α β , θα υπάρχει αριθμός c∈ τέτοιος ώστε

f (x) c g(x) c 0+ ≥ + ≥ , για κάθε x [ , ]∈ α β . Τότε το χωρίο Ω (σχ. α) έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο Ω′ (σχ. β)

y

x

y = g(x)

y = f(x)

Ω

Ο α β

(α)

y

x

y = g(x)+c

y = f(x)+c

Ω′

Ο α β

(β)

E( ) [f (x) g(x)]dxβ

αΩ = −∫

180 / 230



3

Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (1), έχουμε:

E( ) ( ') [f (x) c] [g(x) c]dxβ

αΩ = Ε Ω = + − +∫ = [f (x) g(x)]dx

β

α−∫

Άρα

• Με την βοήθεια του τύπου


αΩ = −∫ μπορούμε

να υπολογίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τον άξονα x x′ , τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g , με g(x) 0≤ για

κάθε x [ , ]∈ α β και τις ευθείες

x = α και x = β όπως φαίνεται στο

σχήμα.

Επειδή ο άξονας x x′ είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) 0= έχουμε:


αΩ = −∫ = [ g(x)]dx

β

α−∫ = g(x)dx

β

α−∫

Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει g(x) 0≤ για κάθε x [ , ]∈ α β , τότε:


αΩ = −∫

α β

y

x

Ω

Ο

y = g(x)

E( ) g(x)dxβ

αΩ = −∫

181 / 230



4

• Όταν η διαφορά f (x) g(x)− δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ , ]α β , τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω του σχήματος που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f , g και τις ευθείες x = α και

x = β είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων Ω1, Ω2 και Ω3.

Δηλαδή

1 2 3E( ) E( ) E( ) ( )Ω = Ω + Ω +Ε Ω =

[f (x) g(x)]dxγ

α−∫ + [g(x) f (x)]dx

δ

γ−∫ + [f (x) g(x)]dx

β

δ−∫ =

| f (x) g(x) | dxγ

α−∫ + | f (x) g(x) | dx

δ

γ−∫ + | f (x) g(x) | dx

β

δ−∫ =

| f (x) g(x) | dxβ

α−∫

Επομένως


Ο α γ δ β x

y

y=g(x) y=f(x)

Ω2

Ω1 Ω3

E( ) | f (x) g(x) | dxβ

αΩ = −∫

182 / 230



1

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N 0,1,2,3,= … Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z , 3, 2, 1,0,1,2,3,= … − − − …

Σύνολο Ρητών αριθμών: Q / ,α= α ββ

ακέραιοι με 0β ≠

Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. 33, 7, 2,− … Το σύνολο Πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς. Τα σύνολα N 0 ,− Z 0 ,− Q 0− και R 0− τα συμβολίζουμε με *N , *Z , *Q και * αντίστοιχα.

183 / 230



2

2. ΑΝΤΙΘΕΤΟΙ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ (ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΤΟ R) Αν α∈ τότε υπάρχει ο −α∈ που ονομάζεται αντίθετος του α και ισχύει ( ) 0.α + −α =

Αν *α∈ τότε υπάρχει ένας νέος αριθμός *1∈

α που ονομάζεται αντίστροφος του α και

ισχύει 1· 1, 0α = α ≠α

184 / 230



3

3. ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ (ΕΚΠ) ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Όταν έχουμε δύο ή περισσότερες παραστάσεις, ονομάζουμε ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) αυτών την ελάχιστη παράσταση που διαιρείται από καθεμία των προηγουμένων. Το ΕΚΠ σχηματίζεται από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες γραμμένους μια φορά ο καθένας με το μεγαλύτερο εκθέτη.

185 / 230



4

4. ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορίζουμε: 0α > β⇔ α−β > Ιδιότητες:

• Αν 0α > και 0β > τότε 0α +β > , αν 0α < και 0β < τότε 0α +β <

• Αν α ≥ β και 0γ > τότε · ·α γ ≥ β γ

• Αν α ≥ β και 0γ < τότε · ·α γ ≤ β γ

• Αν α ≥ β και γ ≥ δ τότε α + γ ≥ β+ δ

• Αν α ≥ β και γ ≥ δ και , , ,α β γ δ θετικοί τότε · ·α γ ≥ β δ

• Αν 0α ≥ β > τότε , Nν να ≥ β ν∈

• Αν α ≥ β και ,α β ομόσημοι ( )0αβ > τότε 1 1≤

α β

• Αν α ≥ β και β ≥ γ τότε α ≥ γ

• Αν α ≥ β⇔ α+ γ ≥ β+ γ

• Αν 0 0α≥ ⇔ αβ ≥

β (ομόσημοι), 0β ≠

• Αν 0 0α≤ ⇔ αβ ≤

β (ετερόσημοι), 0β ≠

186 / 230



5

5. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Η Απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με α∣ ∣ και ορίζεται ως εξής:

, 0, 0

α αν α ≥α = −α αν α <∣ ∣

Γεωμετρικά η απόλυτη τιμή α∣ ∣ παριστάνει την απόσταση του αριθμού α από τo μηδέν, πάνω στον άξονα xx'. Επίσης, η απόλυτη τιμή του ( )α −β α −β∣ ∣ παριστάνει την απόσταση των αριθμών α και β πάνω στον άξονα xx'. Ιδιότητες Απολύτων: 1. 0, ,α ≥ α ≥ α α ≥ −α∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2. 2 2α = α∣ ∣

3. 2α = α∣ ∣ 4. −α = α∣ ∣ ∣ ∣ 5. · ·α β = α β∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

6. *, Rα α= β∈

β β∣ ∣∣ ∣∣ ∣

7. α −β = β−α∣ ∣ ∣ ∣ 8. α − β ≤ α +β ≤ α + β∣∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (τριγωνική ανισότητα) 9. 0 0 0x x x x x , 0− < δ⇔ −δ < < + δ δ >∣ ∣ 10. α) Αν 0θ > τότε x x= θ⇔ = θ∣ ∣ ή x = −θ β) x x= α ⇔ = α∣ ∣ ∣ ∣ ή x = −α γ) Αν 0θ > τότε x x≤ θ⇔ −θ ≤ ≤ θ∣ ∣ δ) Αν 0θ > τότε x x≥ θ⇔ ≤ −θ∣ ∣ ή x ≥ θ

187 / 230



6

6. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

• ( )( ) 2 2α +β α −β = α −β

• ( ) ( )2 22 2 2 22 2α +β = α + αβ+β ⇔ α +β = α +β − αβ

• ( )2 2 22α −β = α − αβ+β

• ( ) ( ) ( )3 33 2 2 3 3 33 3 3α +β = α + α β+ αβ +β ⇔ α +β = α +β − αβ α +β

• ( )3 3 2 2 33 3α −β = α − α β+ αβ −β

• ( )( )3 3 2 2α +β = α +β α −αβ+β

• ( )( )3 3 2 2α −β = α −β α +αβ+β

• ( )2 2 2 2 2 2 2α +β+ γ = α +β + γ + αβ+ αγ + βγ

• ( )2 2 2 2 2 2 2α −β− γ = α +β + γ − αβ− αγ + βγ

188 / 230



7

7. ΤΡΙΩΝΥΜΟ Κάθε παράσταση της μορφής ( ) 2f x x x , , , R, 0= α +β + γ α β γ∈ α ≠ ονομάζεται τριώνυμο. Ορίζουμε τη διακρίνουσα 2 4∆ = β − αγ Ρίζες τριωνύμου:

• Αν 0∆ > τότε το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες 1 2,ρ ρ με 1 2,2 2

−β+ ∆ −β− ∆ρ = ρ =

α α

• Αν 0∆ = τότε το τριώνυμο έχει μια διπλή ρίζα την 1 2 2−β

ρ = ρ =α

• Αν 0∆ ≥ τότε το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές

• Αν 0∆ < τότε το τριώνυμο δεν έχει ρίζες στο R , δηλαδή η εξίσωση είναι αδύνατη

στο

Παραγοντοποίηση τριωνύμου

• Αν 0∆ > τότε ( )( )21 2x x x xα +β + γ = α −ρ −ρ

• Αν 0∆ = τότε 2

2x x x2β α +β + γ = α + α

• Αν 0∆ < τότε 2

22x x x

2 4[ ]β ∆ α +β + γ = α + + α α

∣ ∣, δηλαδή τότε το τριώνυμο δεν

παραγοντοποιείται Τύποι του VIETA

• 1 2S −β= ρ +ρ =

α

• 1 2P · γ= ρ ρ =

α

• 2 2x x 0 x Sx P 0α +β + γ = ⇔ − + =

189 / 230



8

Πρόσημο τριωνύμου ( ) 2f x x x= α +β + γ

• Αν 0∆ >

• Αν 0∆ =

• Αν 0∆ < τότε το τριώνυμο είναι ομόσημο του α για κάθε x∈ δηλαδή: αν 0α > τότε 2x x 0α +β + γ > για κάθε x∈ .

Aν 0α < τότε 2x x 0α +β + γ < για κάθε x∈ ,

Γραφική παράσταση τριωνύμου

190 / 230



9

191 / 230



10

8. ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Πολυώνυμα ( ) 1

1 1 0 1 1 0P x x x x , , ,..., ,ν ν−ν ν− ν ν−= α +α +…+α +α α α α α ∈ και N.ν∈

• Κάθε πολυώνυμο έχει το πολύ τόσες ρίζες όσος είναι ο βαθμός του.

• Πιθανές ακέραιες ρίζες της 1

1 1x x x 0,ν ν−ν ν−α +α +…+α +α = 1 1 0, , ,ν ν−α α …α α

ακέραιοι, είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου .α

• Ένα πολυώνυμο ( )P x έχει παράγοντα το x −ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του

( )P x , δηλαδή αν και μόνο αν ( )P 0.ρ =

• Παραγοντοποίηση πολυωνύμου γίνεται πιο γρήγορα με το σχήμα Horner.

192 / 230



11

9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΜΕΤΑΤΡΕΠΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Ανισώσεις της μορφής ( )( )

A x0

B x> ή

( )( )

A x0

B x<

• ( )( ) ( ) ( )A x

0 A x ·B x 0B x

> ⇔ > με ( )B x 0,≠ ( )( ) ( ) ( )A x

0 A x ·B x 0B x

< ⇔ < με ( )B x 0≠

• ( )( ) ( ) ( )A x

0 A x ·B x 0B x

≥ ⇔ ≥ με ( )B x ≠ 0

• ( )( )

A x0

B x≤ ομοίως

• Στις ρητές και στις άρρητες εξισώσεις ή ανισώσεις προσέχουμε τους περιορισμούς.

Δηλαδή:

( )( )

A x0

B x≥ πρέπει ( )B x 0≠

A(x) ≥ κ πρέπει ( )A x 0≥

( )( )

A x

B x≥ λ πρέπει ( )B x 0>

193 / 230



12

10. ΔΥΝΑΜΕΙΣ - ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορίζουμε · (να = α α…α ν φορές), *Nν∈ και 2ν ≥ Ιδιότητες δυνάμεων

• ·κ λ κ+λα α = α

• κ

κ−λλ

α= α

α

• ( )· · κκ κα β = α β

• , 0κκ

κ

α α= β ≠ β β

• Αν 0 10, 1,ν

−ν α ≠ α = α = α

• Αν ν περιττός τότε x x ,ν ν= α ⇔ = α

Αν ν άρτιος τότε x xν ν= α ⇔ = α ή x = −α

Ρίζες πραγματικών αριθμών

• Αν 0α ≥ , η α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης 2x = α και ονομάζεται τετραγωνική ρίζα του α

• Αν 0α ≥ , τότε η ν α παριστάνει τη μη αρνητική ρίζα της εξίσωσης xν = α και ονομάζεται νιοστή ρίζα του α

Ιδιότητες ριζών

• 2α = α∣ ∣

• ·α β = αβ

194 / 230



13

• α α=

ββ

• Αν 0α ≥ τότε ( )νν α = α και ν να = α

• · ·ν ν να β = α β

• ν

νν

α α=

ββ

• ·µ µ νν α = α

• ( )· · , , · , , 0, ,κν ρ ν νµ ρ µ κ νν ν να = α α = α α β = α β α β ≥ κ ν θετικοί ακέραιοι

Όλες οι ιδιότητες των ριζών ισχύουν με την προϋπόθεση οτι ορίζονται οι ρίζες

• Αν ,α β μη αρνητικοί αριθμοί τότε ισχύει ν να < β⇔ α < β

• Η εξίσωση x , 0ν = α α > και ν περιττός, έχει ακριβώς μία λύση, την ν α

• Η εξίσωση x , 0ν = α α > και ν άρτιος, έχει ακριβώς δύο λύσεις, τις ν α και ν− α

195 / 230



14

11. ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΑΡΡΗΤΟ ΠΑΡΑΝΟΜΑΣΤΗ ΣΕ ΡΗΤΟ ΠΑΡΑΝΟΜΑΣΤΗ

• 2 2 23 3 3

2 33 3 33

· ·, , 0· ·

α β α β α β α β α βα α= = = = = β >

β ββ β β β β β β

• ( )

( )( )( )

, 0, , 0α γ + δ α γ + δα

= = γ − δ ≠ γ δ >γ − δγ − δ γ − δ γ + δ

• ( )

( )( )( )

, , 0,α γ − δ α γ − δα

= = γ δ > γ ≠ δγ − δγ + δ γ + δ γ − δ

• ( )

( )( ) ( )·

α β + γ + δα α = = = β + γ − δ β + γ − δ β + γ − δ β + γ + δ

( ) ( )( ) ( )

2

2 · 2

α β + γ + δ β+ γ − δ − βγ = β + γ − δ + βγ β+ γ − δ − βγ

( ) ( )( ) ( )

2

2 · 2

α β + γ + δ β+ γ − δ − βγ = β + γ − δ + βγ β+ γ − δ − βγ

( )( )( )2

2, 0, , , 0

4

α β + γ + δ β+ γ − δ − βγβ + γ − δ ≠ β γ δ >

β+ γ − δ − βγ


196 / 230



1

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

1. ΟΡΙΣΜΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΚΥΚΛΟ

• B γσυν =

α (συνημίτονο του Β)

• B βηµ =

α (ημίτονο του Β)

• B βφ =

γ (εφαπτομένη του Β)

• B γσφ =

β (συνεφαπτομένη του Β)

Ορισμοί στον τριγωνομετρικό κύκλο

197 / 230



2

• x=συνω = τετμημένη του σημείου Μ

• yηµω = =τεταγμένη του σημείου Μ

• Eyφω = = τεταγμένη του σημείου Ε

• xΣσφω = =τετμημένη του σημείου Σ

• Ο άξονας xx' είναι ο άξονας των συνημιτόνων

• Ο άξονας yy' είναι ο άξονας των ημιτόνων

• Η ευθεία ε λέγεται ευθεία των εφαπτομένων

• Η ευθεια δ λέγεται ευθεία των συνεφαπτομένων

• 1 1− ≤ συνω≤

• 1 1− ≤ ηµω≤

Μοίρες - ακτίνια Ο τύπος που μετατρέπει τις μοίρες μ σε ακτίνια α (rad) και αντίστροφα είναι ο εξής:

180α µ=

π

π.χ. o o o(rad) 180 ,1 rad, (rad) 60180 3π π

π = = = κλπ.

198 / 230



3

2. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΤΟΞΩΝ ΚΑΙ ΓΩΝΙΩΝ

199 / 230



4

3. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

• 2 2 1ηµ ω+συν ω =

• ηµω

φω =συνω

• συνωσφω =

ηµω

• · 1φωσφω =

• 22

11

συν ω =+ φ ω

• 2

221

φ ωηµ ω =

+ φ ω

200 / 230



5

4. ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ

• ( ) · · , ,συν α −β = συνα συνβ+ηµα ηµβ α β∈

• ( ) · · , ,συν α +β = συνα συνβ−ηµα ηµβ α β∈

• ( ) · · , ,ηµ α −β = ηµα συνβ−ηµβ συνα α β∈

• ( ) · · , ,ηµ α +β = ηµα συνβ+ηµβ συνα α β∈

• 2 2 2 22 1 2 2 1συν α = συν α −ηµ α = − ηµ α = συν α −

ομοίως

2 2 2 21 2· 2· 12 2 2 2α α α α

συνα = συν −ηµ = − ηµ = συν −

• ( )1 ·φα − φβ

φ α −β =+ φα φβ

• ( )1 ·φα + φβ

φ α +β =− φα φβ

• · 1( ) σφα σφβ+σφ α −β =

σφβ−σφα

• · 1( ) σφα σφβ−σφ α +β =

σφβ+σφα

• 2 2 ·ηµ α = ηµα συνα

• 2

221

φαφ α =

− φ α

• 2 12

2σφ α −

σφ α =σφα

• 2 1 22

+συν ασυν α =

• 2 1 22

−συν αηµ α =

• 2 1 21 2−συν α

φ α =+συν α

201 / 230



6

• 2

221

φαηµ α =

+ φ α

• 2

2

121− φ α

συν α =+ φ α

202 / 230



7

5. ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ π/2 ΚΑΙ 3π/2

• o(180 )συν −θ = −συνθ

• o(180 )ηµ −θ = ηµθ

• o(180 )φ −θ = − φθ

• o(180 )σφ −θ = −σφθ

• ( )συν −θ = συνθ

• ( )ηµ −θ = −ηµθ

• ( )φ −θ = − φθ

• ( )σφ −θ = −σφθ

• o(180 )συν + θ = −συνθ

• o(180 )ηµ + θ = −ηµθ

• o(180 )φ + θ = φθ

• o(180 )σφ + θ = σφθ

• o(90 )ηµ −θ = συνθ

• o(90 )συν −θ = ηµθ

• o(90 )φ −θ = σφθ

• o(90 )σφ −θ = φθ

• o(90 )ηµ + θ = συνθ

• o(90 )συν + θ = −ηµθ

• o(90 )φ + θ = −σφθ

• o(90 )σφ + θ = − φθ

• o(270 )ηµ −θ = −συνθ

• o(270 )συν −θ = −ηµθ

203 / 230



8

• o(270 )φ −θ = σφθ

• o(270 )σφ −θ = φθ

• o(270 )ηµ + θ = −συνθ

• o(270 )συν + θ = ηµθ

• o(270 )φ + θ = −σφθ

• o(270 )σφ + θ = − φθ

204 / 230



9

6. ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΠΛΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

• Αν xσυν = συνθ ή xσυν = α και θ είναι μια λύση της x ,συν = α τότε οι λύσεις δίνονται από τους τύπους:

x 2= κπ+ θ ή x 2 , k Z= κπ−θ ∈

• Αν xηµ = ηµθ ή xηµ = α τότε οι λύσεις δίνονται από τους τύπους:

x 2= κπ+ θ ή x 2 ( ), k Z= κπ+ π−θ ∈

• Αν xφ = φθ ή xφ = α , τότε οι λύσεις δίνονται από τον τύπο:

x , Z= κπ+ θ κ∈

• Αν xσφ = σφθ ή xσφ = α , τότε οι λύσεις δίνονται από τον τύπο:

x , Z= κπ+ θ κ∈

205 / 230



10

7. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ-ΑΡΤΙΑ-ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ, ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ)

• Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος ώστε για κάθε x A∈ να ισχύει:

1. x T A, x T A+ ∈ − ∈

2. f (x T) f (x T) f (x)+ = − =

3. O πραγματικός αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της f.

π.χ. Περιοδικές συναρτήσεις είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις: f (x) x,= συν f (x) x, f (x) x, f (x) x (x= ηµ = φ = σφ σε rad)

• Μια συνάρτηση f : A R→ λέγεται άρτια αν:

1. για κάθε x A∈ ισχύει x A− ∈ και

2. f (x) f ( x)= − για κάθε x A∈ Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy'.

• Μια συνάρτηση f : A R→ λέγεται περιττή αν:

1. για κάθε x A∈ ισχύει x A− ∈ και

2. f ( x) f (x)− = − για κάθε x A∈ Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο(0,0) Μονοτονία συνάρτησης: 1. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε 1 2x , x Δ∈ ισχύει: αν 1 2x x< τότε 1 2f (x ) f (x )< 2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε 1 2x , x Δ∈ ισχύει: αν 1 2x x< τότε 1 2f (x ) f (x )>

206 / 230



11

3. Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη. Ακρότατα: 1. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x A∈ όταν

0f (x) f (x ),≥ για κάθε x A.∈ Η τιμή 0f (x ) λέγεται ελάχιστο της συνάρτησης f. 2. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α παρουσιάζει μέγιστο στο 0x A∈ όταν 0f (x) f (x ),≤

για κάθε x A.∈ Η τιμή 0f (x ) λέγεται μέγιστο της συνάρτησης f. Μελέτη τριγωνομετρικών συναρτήσεων

• f (x) x, x , 1 x 1= ηµ ∈ − ≤ ηµ ≤

H f είναι περιοδική με περίοδο 2π και για αυτό τη μελετάμε σε διάστημα πλάτους 2π π.χ. [0,2π].

Η συνάρτηση f (x) x= ηµ είναι περιττή γιατί f ( x) ( x) x f (x)− = ηµ − = −ηµ = − και έτσι η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(0,0) των αξόνων. Aκόμα

έχει μέγιστο στο 0x2π

= με f ( ) 12π

= και ελάχιστο στο 13x2π

= με 3f ( ) 1.2π

= −

• f (x) x, x , 1 x 1= συν ∈ − ≤ συν ≤

H f είναι περιοδική με περίοδο 2π και τη μελετάμε συνήθως στο διάστημα [0,2π].

207 / 230



12

Η συνάρτηση f (x) x= συν είναι άρτια γιατί f ( x) ( x) x f (x)− = συν − = συν = οπότε η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα yy'. Ακόμα έχει μέγιστο στα

1 2x 0, x 2= = π και είναι f (0) 1, f (2 ) 1= π = και ελάχιστο στο 3x = π με f ( ) 1.π = −

• f (x) x, x= φ ∈

H f (x) x= φ είναι περιοδική με περίοδο π, οπότε αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα

διάστημα πλάτους π, π.χ. το ( , ).2 2π π

− H xφ δεν ορίζεται στα ,2 2π π

− άρα x .2π

≠ κπ+

H f (x) x= φ είναι περιττή συνάρτηση γιατί ( x) xφ − = − φ . H f (x) x= φ είναι γνησίως

αύξουσα στο ( , ).2 2−π π

Οι ευθείες x , x2 2−π π

= = είναι κατακόρυφοι ασύμπτωτοι της

γραφικής παράστασης της f.

• f (x) x, x= σφ ∈

H f (x) x= σφ είναι περιοδική με περίοδο π, αρκεί να τη μελετήσουμε σε ένα διάστημα πλάτους π, π.χ. το (0,π). Η f (x) x= σφ δεν ορίζεται στα 0, π άρα x k·≠ π .

208 / 230



13

Η f (x) x= σφ είναι περιττή γιατί ( x) x.σφ − = −σφ Η ευθεία x = π και ο άξονας yy' είναι κατακόρυφοι ασύμπτωτοι της γραφικής παράστασης της f. Η f (x) x= σφ είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,π).


209 / 230



210 / 230



1

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ) - ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ-ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Εκθετική συνάρτηση ορίζουμε τη συνάρτηση f : → με xf (x) , 0= α >α και 1,α ≠ δηλαδή

(0,1) (1, )α∈ ∞

• Αν 1α > τότε για την xf (x) = α ισχύουν:

1. έχει πεδίο ορισμού το R

2. έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, )+∞ των θετικών πραγματικών αριθμών

3. είναι γνησίως αύξουσα στο R δηλαδή για κάθε 1, 2x x ∈ , αν 1 2x x< τότε 1 2x xα < α

4. H γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα yy' στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα των x

• Αν 0 1< α < τότε για την xf (x) = α ισχύουν:

1. έχει πεδίο ορισμού το R

2. έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, )+∞ των θετικών πραγματικών αριθμών

3. είναι γνησίως φθίνουσα στο R, δηλαδή για κάθε 1, 2x x ,∈ αν 1 2x x< τότε 1 2x xα > α

4. H γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα yy' στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτη το θετικό ημιάξονα των x

211 / 230



2

Σχόλιο χρήσιμο για ασκήσεις με εκθετικές εξισώσεις

• Αν 1 2x x≠ τότε 1 2x xα ≠ α (λόγω μονοτονίας της xf (x) )= α οπότε με απαγωγή σε

άτοπο έχουμε 1 2x x1 2x xα = α ⇔ =

• Για την επίλυση εκθετικών ανισώσεων εφαρμόζουμε τη μονοτονία της xf (x) ,= α

προσέχοντας αν 1α > ή 0 1< α <

• Στη διαδικασία επίλυσης εκθετικών εξισώσεων ή ανισώσεων μπορούμε να εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων.

212 / 230



3

2. ΕΝΝΟΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥ (ΟΡΙΣΜΟΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ) - ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΑΥΤΗΣ Λογαριθμική συνάρτηση ορίζουμε τη συνάρτηση f : → με f (x) log x, 0α= α > και

1, x 0.α ≠ > Ισχύει log x xθ

α = θ⇔ α = 'Oταν eα = γράφουμε lnx και έχουμε φυσικό λογάριθμο του x. Όταν α=10, τότε γράφουμε logx. Για τη συνάρτηση f (x) log xα= ισχύουν: x (0, )∈ +∞ y∈ Αν 0 1,< α < η f είναι γνησίως φθίνουσα δηλαδή αν 1 2x x< τότε 1 2log x log xα α> Αν 1,α > η f είναι γνησίως αύξουσα δηλαδή αν 1 2x x< τότε 1 2log x log xα α< Έτσι η f (x) lnx,= όπου α=e, είναι γνησίως αύξουσα.

Ιδιότητες Λογαρίθμων

• 1 2 1 2log (x ·x ) log x log xα α α= +

213 / 230



4

• 11 2

2

xlog ( ) log x log xxα α α= −

• k

1 1log x k·log xα α=

• log 1αα = και log 1 0α =

• xlog xαα = και log x xαα =

• Αν:

(i) 1α > τότε 1 2 1 2log x log x x xα α< ⇔ <

(ii) 0 1,< α < τότε 1 2 1 2log x log x x xα α< ⇔ >

• x x·lne ,αα = αφού lne αα =

• loglog , 0, , 0log

αβ

α

θθ = θ > α β >

β και , 1α β ≠

• lnloglnβ

θθ =

β

• logloglogβ

θθ =

β

• Αν:

(i) 1α > και 0 x 1< < τότε log x 0α <

(ii) 1α > και x 1> τότε log x 0α >

• Αν:

(i) 0 1< α < και x 1> τότε log x 0α <

(ii) 0 1< α < και 0 x 1< < τότε log x 0α >

214 / 230



5

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ - ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ

• Από τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης προκύπτει:

Αν 1 2x x ,≠ τότε 1 2log x log xα α≠

έτσι με απαγωγή σε άτοπο έχουμε ότι ισχύει:

1 2 1 2log x log x x xα α= ⇔ =

• Εφαρμόζουμε τον ορισμό του λογαρίθμου και τις ιδιότητες.

• Για την επίλυση των λογαριθμικών ανισώσεων εφαρμόζουμε:

– τον ορισμό του λογαρίθμου και τις ιδιότητες

– τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης

215 / 230



6

4. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ-ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Εφαρμόζοντας τους ορισμούς και τις ιδιότητες της εκθετικής και λογαριθμικής συνάρτησης προσπαθούμε να μετατρέψουμε την εκθετική εξίσωση/ανίσωση σε λογαριθμική ή το αντίστροφο ανάλογα με το ποιο είναι πιο εύκολο.


216 / 230



1

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Α. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Α1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

• Έστω διάνυσμα AB→

με άκρα τα 1, 1 2 2A(x y ), B(x , y )

OA AB OB→ → →

+ =

2 1 2 1AB (x x ), y y→

= − − (συντεταγμένες του AB→

)

Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του AB→

είναι 1 2 1 2x x y y( , )2 2

M+ +

• Έστω το διάνυσμα (x, y), x 0.→

α = ≠ Τότε καλούμε συντελεστή διεύθυνσης λ=εφω όπου

ω είναι η γωνία του →

α . Είναι y , x 0x

λ = ≠ .

Δηλαδή για το AB→

ισχύει 2 12 1

AB 2 1

y y , x x 0x x→

−λ = − ≠

−

217 / 230



2

• Μέτρο του διανύσματος (x, y)→

α = :

2 2| | x y→

α = +

• Έτσι για το AB→

είναι 2 22 1 2 1| AB | (x x ) (y y )

→

= − + − δηλαδή η ευκλείδια απόσταση μεταξύ των σημείων Α,Β.

• Δύο διανύσματα 1, 1(x y )→

α = και 2 2(x , y )→

β = είναι παράλληλα δηλαδή ||→ →

α β , εάν και μόνο εάν η ορίζουσα (det) των συντεταγμένων τους είναι μηδέν δηλαδή:

1 11 2 2 1

2 2

x yx y x y 0

x y= − =

218 / 230



3

Α2. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Έστω 1, 1 2 2(x y ), (x , y )→ →

α = β =

Καλούμε εσωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων τον αριθμό · · .→ →

α β συνω

Άρα · · ·→ → → →

α β = α β συνω ή 1 2 1 2· x ·x y ·y→ →

α β = +

Ισχύει 1 2 1 22 2 2 2

1 1 2 2

x x y yx y · x y

+συνω =

+ +

219 / 230



4

Β. ΕΥΘΕΙΑ

Β1. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ, ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ, ΓΩΝΙΑ ΤΕΜΝΟΜΕΝΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

• Μια ευθεία (δ) καθορίζεται από τη διεύθυνσή της. Ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης αυτής λ = φω όπου ω η γωνία της (δ) με τον άξονα Οx. Ισχύει 0 .≤ ω≤ π

• Εξίσωση ευθείας:

1. : 0 0y y (x x )− = λ − , αν δίνονται ο συντελεστής διεύθυνσης της λ και η ευθεία

περνάει από το σημείο 0 0A(x , y ) . Αν 2π

ω = δεν υπάρχει Rλ∈ και τότε 0x x= .

Αν δίνεται σημείο Α με παραμετρική έκφραση για να ορίσουμε την ευθεία πάνω στην οποία κινείται το Α εργαζόμαστε ως εξής :

Έστω A(2 1, 2)λ − λ + . Θέτουμε x 2 1= λ − και y 2= λ + και απαλείφουμε την παράμετρο λ δηλαδή y 2λ = − άρα x 2·(y 2) 1 x 2y 4 1 x 2y 5 0.= − − ⇔ = − − ⇔ − + =

2. : Ax By 0+ +Γ = με | A | | B | 0+ ≠ αν B 0≠ τότε AB

λ = −

Αν 1 2( ) || ( )δ δ τότε 1 2λ = λ

Αν 1 2( ) ( ),δ ⊥ δ τότε 1 2· 1λ λ = −

• Για να βρούμε τη γωνία δύο ευθειών 1 2( ), ( )δ δ εργαζόμαστε ως εξής:

Λαμβάνουμε διάνυσμα 1|| ( )→

α δ και 2|| ( )→

β δ

Βρίσκουμε τη γωνία των διανυσμάτων ,→ →

α β

220 / 230



5

Β2. ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ Απόσταση d σημείου 0, 0A(x y ) από την ευθεία ( ) : Ax By 0+ +Γ = :

0 02 2

| Ax By |dA B+ +Γ

=+

221 / 230



6

Β3. ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ (ΑΒΓ) Εμβαδόν τριγώνου (ΑΒΓ) όπου 1 1 2 2 3 3A(x , y ), B(x , y ), (x , y )Γ :

1E ·|2

= det (AB,A ) |,→ →

Γ όπου det (AB,A )→ →

Γ είναι η ορίζουσα των συντεταγμένων των AB,A→ →

Γ .

222 / 230



7

Γ. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Γ1. ΚΥΚΛΟΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΥΚΛΟΥ

1. ( ) ( )2 2 20 0x x y y ,− + − = ρ όπου ( )0 0K x , y είναι το κέντρο του και ρ =ακτίνα του

Όταν το κέντρο είναι η αρχή των αξόνων η εξίσωση γίνεται:

2 2 2x y+ = ρ και η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) σε ένα σημείο του ( )1 1A x , y είναι ε: 2

1 1xx yy+ = ρ 2. 2 2x y Ax By 0+ + + +Γ = όταν 2 2A B 4 0+ − Γ >

Ο κύκλος τότε έχει κέντρο A BK ,2 2

− −

και ακτίνα 2 2A B 4

2+ − Γ

ρ =

223 / 230



8

Γ2. ΜΕΓΙΣΤΗ-ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

(ΟΑ)=ελάχιστη απόσταση από το Ο(0,0), (ΟΜ)=μέγιστη απόσταση από το Ο(0,0)

224 / 230



9

Γ3. ΠΑΡΑΒΟΛΗ

• Η εξίσωση παραβολής C με εστία E( ,0)2ρ

και διευθετούσα :δ x2ρ

= − είναι 2y 2 x= ρ

• Η εφαπτόμενη της παραβολής 2y 2 x= ρ στο σημείο ( )1 1M x , y έχει εξίσωση:

( )1 1yy x x= ρ +

• Εξίσωση παραβολής C με εστία E 0,2ρ

και διευθετούσα :δ y2ρ

= − είναι: 2x 2 x= ρ

• Η εφαπτομένη της παραβολής 2x 2 x= ρ στο σημείο ( )1 1 1M x , y έχει εξίσωση

( )1 1xx y y= ρ +

225 / 230



10

Γ4. ΕΛΛΕΙΨΗ

• Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E ( ,0),′ −γ E( ,0)γ και σταθερό άθροισμα 2α είναι:

2 2

2 2

x y 1+ =α β

όπου 2 2β = α − γ

• Η εφαπτόμενη της έλλειψης C στο σημείο της ( )1 1, 1M x y έχει εξίσωση 1 12 2

xx yy 1+ =α β

• Η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E (0, ),′ −γ E(0, )γ και σταθερό άθροισμα

2α είναι:

2 2

2 2

x y 1+ =β α

όπου 2 2β = α − γ

• Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο της ( )1 1, 1M x y έχει εξίσωση 1 12 2

yy xx 1+ =α β

• Η εκκεντρότητα της έλλειψης ορίζεται ως: 1γ= <α

ή 2 2α −β

=α

Άρα 21β= −

α

• Αν 1 2M ,M είναι δύο οποιαδήποτε σημεία της έλλειψης συμμετρικά ως προς Ο τότε το

ευθύγραμμο τμήμα 1 2M M λέγεται διάμετρος της έλλειψης και ισχύει

( )1 22 M M 2β ≤ ≤ α

2α =μήκος μεγάλου άξονα, 2β =μήκος μικρού άξονα

226 / 230



11

Γ5. ΥΠΕΡΒΟΛΗ

• Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία E ( ,0),′ −γ E( ,0)γ και σταθερή διαφορά 2α είναι:

2 2

2 2

x y 1− =α β

όπου 2 2β = γ −α

• Η εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο 1 1 1M (x , y ) είναι 1 12 2

xx yy 1.− =α β

• Η εξίσωση της υπερβολής C με εστίες τα σημεία E (0, ),′ −γ E(0, )γ και σταθερή

διαφορά 2α είναι:

2 2

2 2

y x 1,− =α β

όπου 2 2β = γ −α

• Αν α = β τότε έχουμε 2 2 2x y− = α που λέγεται ισοσκελής υπερβολή

• Οι ασύμπτωτες της υπερβολής 2 2

2 2

x y 1− =α β

είναι y x, y xβ β= = −α α

• Οι ασύμπτωτες της υπερβολής 2 2

2 2

y x 1− =α β

είναι y x, y xα α= = −β β

• Η εκκεντρότητα της υπερβολής ορίζεται ως: 21, 1γ β= > = −α α

• Εφαπτομένη της υπερβολής 2 2

2 2

y x 1− =α β

σε σημείο της ( )1 1, 1M x y είναι: 1 12 2

yy xx 1− =α β


227 / 230



228 / 230



1

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

1. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Αριθμητική πρόοδος (Α.Π.) λέγεται μια ακολουθία ( ) ,να αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, τον οποίο ονομάζουμε διαφορά της προόδου και συμβολίζουμε με ω. Δηλαδή 1 1ν+ ν ν+ να = α +ω⇔ α −α = ω Οι όροι της Α.Π. είναι 1, , 2 , , 1α α ω α ω… α ν ω1 1 1+ + +( - ) Άρα ( ) *

1 1 , N .ν = α + ν − ω ν∈α

• Τρεις αριθμοί ,α ,β γ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. αν και μόνο αν ισχύει .2

α + γβ =

Ο β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ .

• Το άθροισμα των ν πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου ( )να με διαφορά ω είναι:

( )1S ·2ν ν

ν= α +α ή ( )1S 2 1

2ν

ν= α + ν − ω

229 / 230



2

2. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Γεωμετρική πρόοδος (Γ.Π.) λέγεται μια ακολουθία ( ) ,να αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί το ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό, τον οποίο ονομάζουμε λόγο της προόδου και τον συμβολίζουμε με .λ

Αν 0λ ≠ ισχύει 1 ·ν+ να = α λ ή 1ν+

ν

α= λ

α

Οι όροι της Γ.Π. είναι: 2 1

1 1 1 1, · , · , , · ν−α α λ α λ … α λ Έτσι 1 *

1· , N .ν−να = α λ ν∈

• Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί ,α ,β γ είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π., αν και μόνο αν ισχύει

2 .β = αγ

Ο β λέγεται γεωμετρικός μέσος των α και γ .

• Το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδου ( )να με λόγο 1λ ≠

είναι 11S ·1

ν

ν

λ −= α

λ −


230 / 230

S4E Κατ 1.Θεωρία [Edit by Lisari Team 2015-16]

Documents

Transcript of S4E Κατ 1.Θεωρία [Edit by Lisari Team 2015-16]