& B. KDISSERTATIO PHYSiCO - MF.CHANrCA

DE

FRICTIONE CORPORUMSUPER

AiNU lrNV^LUMOίΌRUM,

CujusPartem Priorem,

Confent. Amplijjl Ord. Ihihjoph.Ad Regiavi Acad. UpJaL

Sub PrsefidioVivi Ampliffimi atque Celebevrimi

MAG. S A Μ U Ε LISDUR/E1,

PhyC PROFESS. Reg. & Ord.Reg. Acad. Scient. Äockh. Membi

Publica Cenfura OffertPRO HONORIBUS PHILOSOPHICIS

Supendiarius Regius

Sven o Gabriel Hedin,Nericius.

In Audit. CaroJ. Min. D. II. JuniiAnni MDCCLXA,

H. A. M. S.

UPS A LI JE,Apud Job. Edman, Reg, Acad. Typogr,

t*. ·■■ .γ:·,·

D. D.

Orum, qui motus naturam proponere, ve-ramque ejus menfuram , in machinarurticonftruclionem vel emendationem, vel inquemeunque aüum Philoiophiee Naturalisuium j exhibere ituduerynt, fere omnes

rpotum corporum ilipra Planum Incrmatumutut invita eommunt quoque peiTäspe" obvi'um, attention! fucefubjecerunt; nempe paotum illum conliderando, iiverelatione obfervata, ^da^necelTario aderit inter poten-tiam , & pondus, quod in ipio movetur elevandum ;five etiam dt peradfcum in quacunque fupeeficie incli-mtet, cujus ideo afFeifliones ex legibus itabilitis princi-piisque mechaiiicis, Variis modis, dedux'erunt. Verumlicet omni opera, praedpiie in recentiori hoc ipvo, fitdeiudatum in e)§colepJa Motus ^cjenlia, eaque, ad u-fus huraanos applicandatarnen non eil dimtendum,plurima adhuc, vel ia h'ae parte de fiderari, co inpri-mis refpedto, qu«od omnis Mechanica Practica hueus-que conftiterit fere i<i ftatica folum machinarum conii-deratione, abilrahendo dimul a materia; pondere, flexi«bifitateomnia 5

<06? J 3 \ ^s3

influere, theoria ha?cce, Γι exipeitatkmå fa t i sia ciet, feiecerte extendet; unde nova omnino exiii'gu Medhanicä?Practica? pars, qua? MUSCHPNBROEKib appellatur,nefcio quo jure, Merh.mica Motus, IfU roecum>repn-tanterrt cupido invafit , meam qualemcunque felcea®huic immittere meifi; alt operis magnitudihe, viriurtvque tenuitate perterritus, iententiam cito mutavi, &particulam quandam ipfius nunc percenfere conilitui ,eam nimirqra, qua? concernit Fiictionem, & quidemiliorum corporum tantura, quorum fuperficies funtplante, & moventur fupec Plana Inclinata, non ablo-lute polita, confiderationem corporum fph3?ricorum,a-lii occafioni V. D. refervaturus. Me interea exiguam-que hane opeliam H. L. humanitati, ea qua par eilobfervantia, perotricioie commendo.

§. ir.Omnia corpora ad tellurem fpedlantia vi quadam

moveri, qua? gravitatis venit nomine, nefcio, an quisPhiloiophorum nunc temporis in dubium traxerit. Visha?c ita eil comparata, ut centrum, uti vocatur, gravi¬tatis cujuscunque corporis femper defcendere nitatur indirectione ad horizontem perpendicuhri, & reapfe de-fcendat, η i Γι quid motui ipfius re ii flat. Pra?terea,quumgravids corpora quovis momento temporis, & inquo-cunque flatu, deorfum urgeat, vis illa premens dicitur,&quum tempuicuiis aeqaalibus a?qualia riant incremen-fa velocitatum, reite quoque acceleratvix nominatur.Non eil, quod multi iimus in iis proferendi, qux utprincipia theoria Piani Inclinati a doitrina de lapfu ii-bero feu perpendiculari corporum pra?cipue intelligun-tur. Scfli tat tantummodo in memoriarn revocafle,qua? viafn ad alia nobis pandunt, & iimul obfervaile,omnia, qua? de corpore fibere cadente demonflrantur,

A 2 etiam

I ; ♦ 1 Ietiaro, fepofita omni alia vi, valcre* cum moventur fnPiano Inclinaro, cum hac folum differentia, quod licetgravitas tora fua vi corpus follicitet, quoad motum ta¬rnen quadam fui parte tantum hic agere deprehenda-tur, altera parte a piano iubjacente excepta, & quafidedru&a. Etenim quemadmodum vis ilia gravitatisconftanter, atque sequaiiter agens, motum producit u-niformiter acceleratum, ita ut corpus, omni refiftentiafublata, verticaliter defcendat, & iingulis temporum in-tervailis iequalibus, fpatia defcribat fuccefliva, qua? funtut numeri impares i, 3, 5,7, &c. fic quoque, quandocorpus deorfum fertur fupra Planum inclinatum abio-lute politum, ob vim illam refiduam nihilo minus con-tinuo agentem, idem obtinere deprehendimus. Reli-quce motus uniformiter accelerati proprietates, tam indefceniu perpendiculari, quam fupra planum inclinatum,varie enunciantur, quarum palmarise fcquentibus con-tinentur propofitionibus:

1:0 Spathim, ab initio lapfusy percurfum efl in dire&aratione duplicata velocitatis, dato tempore acquifitce, &vis g eueraiitis inverfa.

Et quia corporis , quod iingulis momentis novoqnafi urgetur impulfu, celeiitas novis femper incremen-tis quoque adaugeatur, quae quidem iequabbus tempo-ribus fiunt tequalia, hoc eft, motus uniformitet', ut lo-quuntur, acceleratur; erit

2:0 Tempus, quod corpus certo fpatio emetiendo im·pendit, ut velocitas in fine ipfius acquifita dirette, & visgenerans inverfe\ ideoque

30 Spatium cadendo percurfum erit etiam, ut quadra·tum temporis, &T3 vis conjunttim.

4:0 Spatium, motu uniformiter accelerato confettum,eß ctimidium ejus, quod eodem tempore , c leritate <2,fualiUli, quam in fine temporis acquijivit corpus y dejcriherct mo¬tu uniform, §. III.

9 )ϊC ·§. ΙΙΓ.

Ut ulferius conftet, quod vis, quae corpus PianoInclinato incumbens deorfum urger, fit uniformiteracceleratrix , & quarnam fit ejus meniura, reprxfentet( Fig ί. ι reda AD planum cum horizontali DB angu-lum faciens redo minorem, quem angulum inc inatio-nis, ex ufu recei to, vocabimus. .Vit quoque corpus gra-ve huic piano impofitum, ex cujus centro gravitatis Cdemttatur in horizontalem BD reda perpendicularisCF arbitrarire longitudinis. Ha;c exponat ipium pon¬dus corporis ablolutum, vel totum nifum, quo vigravitatis, libere & ideo perpendiculariter, ablente pia¬no, ad horizontem deilenderet. Tunc, per celeba-tum illud prineipium compofitionis & refolutionis vi-rium , nobis hanc refiolvere vim permittitur in duasalias laterales FE & CE, quarum una eil piano incli-nato parallele, altera vero eidem perpendicularis,Cumitaque hxc nullum in corpore motum excitare valeat,quippe quae tota a readione plani deilruitur, per fe pa-tetjiilara folara vim refiduam proportionalem red χ EFcorpus in motum redigere. Quum triangula ABD,CEFfunt fimilia, erunt latera circa a;quales angulos propor¬tionale, & homologa funt,qua; requalibus angulis (üb-tenduntur ( El. Evcl. Vi. 4. ) itaque erit CF ad EF utAD ad AB, hoc eil pondus, feu vis, qua corous ver-ticabter gravitate impellitur, eil ad vim, qua fuper pia¬no inclinato defeendere conatur, ut longitudo plani ADad ejus altitudinem AB, leu nifus defeendendi fuper

AB Ρpiano inclinato eil =a-^, Ρ defignante pondus cor¬poris abfolutum. Si itaque AD fumatur pro finu toto,vis, qua dacum corpus luper piano inclinato defeen¬dere nititur, ed ut finus redus auguli ADB, leu an-guli eievationis plani, Qpum aucem, ubieunque in

A 3 dato

« ) 6 ( »dato piano fuerit corpus, triangulum CEF fibi fit firm¬le, cujus önuro latus CF exponit vim gravitatis, qua;conftansefl, facile intelligitur, vim EF eodem modoiemper in corpus agere, atque vis CF ageret in cor¬pus perpendiculariter cadens, piano fublato ; atqui, pia¬no iubiato, effeftus vis CF eil motus uniformiter ac-celeratus, ergo eciatn vis EF motum per planum in-clinatum uniformiter accelerabitj eil adeöque hxc uni¬formiter acceleratrix.

§. IV.Priusquam elementaria ha?c linquamus , nnicam

addere liceat Propoficionem, in fe non foium pulcher-rimam, fed & in fequentibus apprime utilrm.

Si a punSlo B ( Fig. I. ) ducatur reEla BK ipfi ADperpendicnlaris, corpus a quiete in A dejeendet eodem tem¬pore in piano inclinato per fpatium AK, atque a quiete inA per verticalem AB liiere defcendere potejl.

Dem. Nam ex fimilirudine trianguiorum ABD,ABK,erit AD ad AB, ut AB ad AK$ ied erat AD ad AB,ut pondus corporis, ieu vis acceleratrix, qua liberede-feendit, ad vim acceleratricem, qua movetur in pianoinclinato, adeoque erit AB ad AK, in eadem rationevirium acceleratricium. Sed ipatia, qua; funt ut viresuniformiter acctleratrices, a corporibus iisdem peragran-tur eodem tempore; ergo corpus eodem tempore perfpatium AK in piano inclinato, ä>qukte in Ay defeen-det, atque per verdcalem AB defeenderet lsbere.

CorolL i. Hinc, fi ruerint plura. pl ;na inclinata AD,AG, ejusdem altitudinis ABEL ducatur ipfi AGnormalis, corpus a quiete in A cadet in piano AG perAL, eodem tempore, ac in piano AD cadit per AK,

Coroll 2. Itaque fi circa reåam vertikalem AB. (F;g.2.)ut diametium defcribatur circulus ACEΚ, erit tempus

de-

i ) 7 Ccfefcenfus per quamlibet chordam AKy ALy KB y LB y

tequale tempon, quo corpus iibere cadendo conficeretdiametrum AB, quoniam omnes anguli in femicircu-lo funt re£li (EL EvcL III. 31. )\ & vieiflim, q-uod fa-cile demonilratur, locus angulorum reåorum fuper ea-dem reåa conflitutorum eil peripheria circuli, cujusidem eil diameter.

§. V.4

Ef Π c breviter prsemiflis legibus rrotus graviumfuper plana inclinata abilrahendo ab omni rebllentra ,

quam praeeipue exercet frivilio^ quarque id éfficit, ut le¬ge« commemorata*, in cafibus obvns, multifarias iub-eant determinationes, ad propöfitum accedamus, con-ilderando corpora ,qualia natura nobis offert, nirnirumnon a b fo Inte polita, fed ubique aiperitafibus &c emi-nentiis obfita, quibus motus ipfortim iupra fe invicemretardatur, & refiilentia ieiltitur,. qii'öe fviSiio dici folet.Ha^cce itaque cum omni hujusrnodi motui feie immi-feeat, &, licet minui, tarnen omnino tolü vix poilit,maximi cene, praicipue in meehanicis, eil momenti, &fumma attentione digna; eam itaque, a ieroporibus A-MOHTONI ad praéfentia; multifariis non folum ex-perimentis rimari iluduerunt Mechanici fcllertiflimi,jed &: regidiori e^amini fubjecerunt Mathematici no-ilri cEvi prarflantiffimi KRAFTIlfS, DAN. BFRNOUL-LIUS &,,'EULERU5> in Aflis Petropoütanis, & alibi;,quofum öfnnium opera licet plura (int Hac in re de-teåa, pl'urima tarnen adhue reilant, & fqrfan iemperreilabunt incerca. Verum ifhi , cum pluribus bre-vi · dlicutientnr in Diilertatione fpecifi de Fridtio-ne fuper Piano Horizontali , nunc miila facio, δέid reni roeam roe confero, nimirum inquifkionerri Fri-ftionis in Planis Irielinatis. Quocirca etiam aifumo, in

qua

Φ ) 8 ( #quo omnes conveniunt, quod refiilentia ex Friktion®iemper fit, faltem quam proxime, proporcionaiis pres-iioni»

j. VI.Inter methodos, quibus ufi funt Mechanici, pro

exploranda quantitate fridionis, in piano tam horizon-rali, quam inclinato, eminet certe BULFINGERi, na¬tura plani inciinati iuperilruda $ eam itaque imprimisexponere juvat:

Corpus C ( Fig. 3. ) cujus fridio eil indaganda, pia¬no imponatur horizontali, quod ipium ienum eleve-tur circa axem fixum D, donec in eum redigatur Γι-tum , ubi corpus C perfpicitur nifu fuo defcendendimotum incipere , adhuc tarnen hsrere, reapfe defcen-furum, Γι vel minimum inclinatio plani augeretur. «SitAD ultimus ille iltus plani, in quo vis fridionis cor¬poris defcenfum impecbre valet, notetur ope initrumen-ti goniometrici angulus ille inclinationis plani ADU,qui itaque merito vocatur angulus quietis. Invento an-gulo quietis, habebitur fridio horizontalis, Γι folum at-tendamus, quod (imis totus, fit ad finum anguli quietis ^ utpondus abfolutum corporis ad fri&ionem ejus fuper piano adeundem unguium inclinato. Nim per ea, quae de pianoinclinato perfede poiito dudum demonilrata iunt, erit

AB ΡAD: AB : Ρ: —j- = vi corporis, cujus pondus abfo-AL)

lutum effc Ρ, nitentis defcendere in deredione pianoparaliela. Sed fridio eil potentia refiftens, quar corpu»in ^quüibrio tenere ponitur, adeoque erit priori secjua-lis. Hinc Γι fridio in piano inclinato dicaturF, ent F

AB Ρ, undeefl AD ad AB, prouti Ρ ad F, Sumto ita¬

que AD pro finu toto, erit AB fmus anguli quietis,atque habebitur finus totus ad iinum anguli quietis, uti

eil

Λ e\ ί%å ) 9 v w

efl pottdus corporis abfolutum, ad friélioftem ejüsfu-per piano ad dictum angulum inclinato. Hisce pra:-milTis facilior eil refolutio problematis:

Dato ongnlo quietis, determinare friSlionem in pia¬no horizontali.

Refol. Quum prefTio corporis in planum incli-natum AD fit ut CE ducta a centro gravitatis C adplanum AD normalis, & pondus ejus ablolutum (eupresfio in planum horizontale fit ut CG horizontiperpendicularis, atque frictiones fmt ut preffiones, e-rit frictio in piano horizontal! ( /) ad frictionem

AB Ρin piano inclinato (Fz=z) ——ut CG ad CE, feu ut

AB Ρ ABAD ad BD, unde erit/= -L^p,fed — eil tångensanguli quietis ADB, cum ?AD eft radius feu unitas,adeoque erit /= Ρ. tang. ADB^ feu finus totus ad tan-gentem anguli quietis , ut pondus corporis ad frictio-nem ipfius in piano horizontali.

Öbjerv. Methodum hanc frictionis quantitatem de«terminandi, qux motum tantummodo radentem reipi-cere videtur ad motum volventem etiam adplicuitB ULFINGF.RUS. Verum licet lubentcs largiamur, frictio¬nem id efficere,ut corpus fphatricum vel cylindricurnpiano inclinato impofitum volvendo defcenaat, immoin cauifa eile, cur corpus non prius deicendat, quamin certa plani inclinatione, tarnen difficulter inde pro-bari poteil, ipfum attritum horizontalem hujus corpo¬ris, in pun£lo, quo planum attingit, non efTe majorem,

uam quantus per angulum quietis, modo fupra allato,eterminatur. Etenim, quam vis, piano paullulum lupra

angulum quietis elevato, corpus rotando defeendere in-eipiat, frictio tarnen adhuc tanta efTe poteft, ut mura¬ta corporis ejusdem figura in eam, qu« rotationem im-

B oe-

HP ) 10 (pediretjiieque tam rependo deiccndere poilet, nifi po¬tentia externa in dire&ione piano parallela applicata.Prasterea cognitio anguli quietis corporis volvendo de-icendentis exarnini friftionis horizontalis parum inier-vit, nifi quatenus hac ratione inveiligare pofiiimus vim,quas ad corpus ifliusmodi iupra planum horizontalepromovendüm requiritur,

§. VII.Non alienum fortaiTe videbitur, motnm aliquem

imaginari, qui eflPeitum edit, refiilentias a frictione cor¬poris in piano inclinato mod valde analogem. Talisvero methodus ideam Folum talionis efficiendi claram,cum grano falls accipienda eil, ne quis putet, veramfriilionis caufiam hac ipfa indigitari. Repradentetur Fu-perficies quasdam, ad angulum ADB (Fig. 4. ) inclinataper figuram illam ferratam AGHKLMNOD, compofi-tam ex planis valde parvis AG^ GH, HK &c. abioiu-te poiitis, aequalibus, contiguis & fimilibus. Ponaturcorporis C, quod fuperficiei huic impofitum provol-vi nequit, bafis ejus figurs, ut apices feu acumi-na bafeos in angulos omnes GHK Fuperficiei fefe in-iinr.ent. Tunc manifeflum eil, fi angulus GAH majorfit angulo inclinationis ADB, corpus Fola gravitatis a-£ione movcri non polle; namque five FurFum iivedcorfum moveatur, necefle eil ut fiipra e-minendasAGH, HKL &c. corporis anguii GHK eievcntur, qua-re ad raotum producendum requiritur potentia extrin-iecus applicata. Ponamus vero Superficies AD ulreriuse'evarijdonec angulus elevationis evadit iequaiis anguloGAH^ in quo fitu plana C7J, KH, ML &c. Fünf horizon-talia ; Fatis tum confiat, copus C vel minima applica¬ta potentia deorFum moveri pofie, quod iöFum quo-que evenit, fi minimus fiac exceilus anguli ADB Fu-

pra

^ ι τ /* cSiSscgjlP ) Λ ■*· ( cg)S>

pra ang. GAH. Fiat tandem iuperficies AD ita incli-nata, ut angulus ADB data quantitate excedat angu-lum GAH, tunc corpus d'jorfum feretur quidem, mo¬tu tarnen non adeo veloci , atque fuiflet, fuperficieAD abiolute plana. Valde quidem eft incertum , u-trum hujusmodi fuperficierum conilitutio fit caufta fri-ftionis nec ne, cum hifce tantummodo eonvenientiameffedtuum oftendere placuit. Hisce enim collatis cum$:pho VI. apparebit, angulum illum quietis, qui rae-thodo ibidem tradita inventus fuit, eile eundem ac an¬gulus ADB, eo fcilicet caiu, quo plana illa parva GÅ,KH &c. funt horizontalia, quia corpus C defcenderet,ut pnimum angulus ADB vel minimum augeretur.

£. VIII.

Expofita iic methodo a natura plani inclinati dedu-<fta, quantitatem friclionis fupra planum tam horizon¬tale, quam inclinatum inveftigandi, fupereft, ut paucaiubjungantur problemata, qua? pra?cipua continent mo-menta, quorum infignis in praxi eile poterit uius, mo¬do artifices ea, qua par eft, follicitudine circumfpici-ant, quomodo theoria a nobis exhibita in ijfum com-modiilime verti polfit.

5. ix.Quoniam, ut fupra jam annotatum eft, corpus

piano vel inclinato vel horizontali infiftens aut nonmovetur, aut ffttem in motu refiftentiam patitur proratione preftionis in planum, oritur quaeftio:

Sub quibus conditionibns corpus grave piano inclinatoajpero incumbens in qniete erit permanfarum, quando ni-mirum nulla provolutio eft metuenda.

Corpus FMNf, cujus centrum gravitatis eft C (Fig. 3·)fit fupra planum inclmatum siD conftitutum, at-

β ζ que

& ) 12 ( Hue ita comparatum, ut non roeando, ied tantummo·0 rependo deor<um moveri poffit. Sit angulus incli·

nationis plani ADR~z. Malla corporis, qua? propor¬tionale eil ponderi aoibluto, per Ρ indicetur. Ponaturratio preflionis ad fridionem iuper piano AD, eife ut•ϊ ad f, Ducator re&a CG perpendicularis horszonti, quacorpus ex gravitate iollicitatur vi z=zP, qua? refolvaturin duas laterales, fecundum diredionem CE ad planumAD normalem, & CK piano parallelam. Cum igiturangulus ECGz=. ADB =a, erit vis ur C/T, qua pianoapprimitur corpus, ( per princioia Mechan.) P.coJ z>

vis Ut CK vel EG\ qua corpus iliper piano defcen-derenititu! =3P.finz. Itaque dum preilio eil m-An/s, eritfriv5ti< f P.cofz.Yή<Χιο autem aliquid deilruir vis deicen-dendi iécundum plani diredionem, feu vis= P.finζ\er¬go nifi ha?c vis P.fiinz. illa/./3 cofi.z major fuerir, cor¬pus nullum motum progreftlvum adipifcitur; quare iicorpus quielcet, erit P.fin. ζ minor quam/. P. cof. s,feuP. fin. ζ .

-—τ- minor /, hoc eil tan?, ζ minor /, ialtem nonΓ CO/, ζ J 'major Quamobrem in conditione illa, qua corpus inquiete manebif, dum neque provoivi potefl , neceileeil, ut fit tångens anguli elevationis plani non majorquam fra£ho ilia /, qua f'idio deferminatur.

Scbol. Hinc itaque patet, ii tang. zzrzfi caium tuncoccurrere, quo angulus quietis,quem a vocabimu*, in-venitur Ea, qua? de hoc angulo in §:. ho VI. didafunr, etiam ha?c propofitio confirmat, & iacilem ίιιρ-peditat applicationem methodi iupra tradita? angulum

Ufetis, id eil, lpfum valorem fradionis / determinan-1 Si ex. gr. experientia prodat angulum quietis =3

18° 26,,ent ejus tångens 33 333^020, t»n !e evadit/=fquam proxime, ut quoque invenir AMONTOM'S.Si vero, piano ad angulum 140 2' elevato, corpus mo-

veri

«ίΙ» 5 * 3 ( ii»rerl incipiat, habemus tang. a ^2499460, unde eruiturvalor ipiius/== 3, quanram fcre tri&ioneni BULFIN-GERUS experimentis ie adinveniile affirmat.

J X·St elevatio plani major fnerit angulo qnietis dato, &

corpus fit liberum a jrovolutione, definire vim acceleratrucem corporis fuper piano inchnato.

Sit plani AD ( Fig c. > angulus elevationis ADB=:s, angulus quietis EDEtzzay pondus abiolutum cor¬poris CzrzP. Itaque fumto radio =1, erit preiTio inplanum EDznP. cof a> & fri&io iuper eodemzr-A/fo.dr,quia ha*c iequatur nifui corporis delcendendi iuperplann ED. Simiiiter preilio in planum AD crit =3P. cof. z, adeoque,ob fridFiones proportionales preffio-

., c · · a ' \ i F* ^®/· χ Ρ. (ut, Λnibus j rnaio iupra hoc planum eritrzs :—·P. cof. π

= P.cof.zy, tang,a, Jatn vero vis, qua corpus iupraplanum AD deicendere conatur εί\ζ=ζΡ.βη,Ζ) qua; fo¬ta corpus acceleraret, nifi fricdio obltaret, qua; confide-rari potefl ut vis qutcdam in contrariam direSionemagens. Ergo neceifum eil, ut corpus deicendat vi barumdifferentia; ^quali, hoc eft vis illa deicendendi & ac-cejeratnx erit 3= P, fin ζ—Ρ. cof ζ χ tang. a.

Scholion. Quurn P. cof ζ fit preffio corporis in pla¬num AD * Π ratio prefFhnis ad fri5lionem experimcn-to quodam nota fit = 1: f, erit fri&io fuper pianoADtzzfP cofz, & vis acce^eratriχ ρ z=z Ρfin ζ—4P, cof%qua ipiius expreilione in fequentibus utemur.

CoroUarium 1, Si corpus a provolutione erit libe¬rum, debet rangens anguli ECF (Fig. 3. ) eile majorfrictio^e/ Mnm vis corpus ad rotationen! tollicitans efta;-qualis exceilui, quo vis in centrum gravitatis C agensiupcråt vim ageotem in punctum baieos quodcunque.Fad deicenfum iupra planum AD excitandum 5 ieu a>

B 3 qua-

# ) 14 C IIqualis huic expreflioni Ρ. fin ζ — Ρ.fin. z—fPccof .ζ= /". P.cofz, cujus momentum, pofito, uti fas ed, hmcvira in centrum gravitacis agere, & punclnm F, rcfne-<ftu motus hujus centri,quielcere, erit =/. P.cofz. FHzzzf P. cofζ CE\ Sed vis, qua corpus piano adprimi-tur, cujus momentum e f szzP.cof zEF, rotatiöni ob-ft.it,ergo erit. tnomentum gyrationem generans-=zf.P.cofzCE—P. cof ζ EF-, quod li provoiutio impediatur, erit

EFfcasc quantitas negativa , feu EF major }. CE, feu ·EL

EFmajor /. 5fed, fumto CF pro radio, erit — =r tang. ECF.\CΕ

adeoque tang, ECF. major /.CoYoll. 2. Quura conditionem inventam, tang-ECF

major/, non ingrediatur angulus ADB feu elevatio pla-ni, Γι corpus in minori inclinatione a provolutionefuerit liberum, neque volvetur in majori; quod quo-que confonum experimentis deprehenditur. (Comment.Petrop. Tom. XII.).

Coroli. 3. Si angulus elevationis plani ADB fit ma¬jor angulo ECF, cadet linea CG, quam vocant lineamdire&ionis, extra bafin corporis &, tarnen corpus nonprovolvetur, contra ea, qu« Au&ores fere omnes Me-chanici antea ftatuere Talent.

§. XI.Si corpus rotationis expevs moveatnr fupra datum pld·

mim inclinutum afperum; determinare fputium, quod illuddato tempore, data jviclione confictat.

Re/οι Sit, ut prius, Ρ pondus corporis, anguluselevationis plani & /. fridio horizontalis, duraprefTio eil =51. Quare habemus vim aecelerat i:emfrictione imminutam iupra planum propoficum ρ =

Ρ

fl ) ι* HΡ fin % — f. Ρ- cof ζ (§. X.), qui valör ipfius ρ pofiti-vus eft, cum ex hypothefi tang.a eft major quam/{$. IX,). Sit fpatium =zs, tempiis=i, quod corpusfpatio illo percurrendc impendit, motu nimirum a quie-te inchoato, Si in formularn Mechanicis familiärem—' = 2^j in qua 2 g = 32 ped. Suec. fpatio, quod cor¬pus uniformiter percurrere poteft, velocitate acquifitacadendo tempore unius minuti iecundi, ρ vi datar,atque A — ma (Tai corporis} pro ρ inbftituatur vis in-venta P.finz— /. Ρ. cof z, & fiat Ay nam mallacorporis eft pondet i ipfius proportionalis * habebiturdds 1 e. P. /?'« 2 — f. P. cof ζ . . . 7—- = ί —» vel dds = 2gdi*.dt 2 " 0

H11. &—f. coj s, cujus arouationis integratione inveniturd s-=.2gtdt fin. »—j. coj z, fumto dt conftante, & ite-rum integrando erit sz=:gt2 βη. ζ—f. cofz, unde fpa¬tium qua?fitum determinari poteft.

Conßvnftio. Sit .di? (Fig. 6.) fpatium tempore t agravi 1 ibtre cadendo confefium, & angulus ί?^/Γ ae-qualis complemento anguli quietis. Super AB defcri«batur arcus circuli ADB capiens angulos äquales com¬plemento anguli BAK ad duos reaos (El. Euclid. III.33 ), qui fecet datum planum inclinatum AM in DydicOj quod erit ADz=z rtt ßnz—jcofz.

Dem Nam fit ACz=z rad.z=. ι , & a C ducanfurre«CL, CG, normales ipiis AKy AM, atque reftaCiT

paralleta reilae jungenti pun^a B & D. Ob angulumACG a-quaiem angulo elevationis plani AM, erit ^AG^fin a; & ob i ad/ ut CL ad LA, fi fiat CL ad LA utCG ad GE, erit 1 ad F ut CG ad GE, & GEz=zf CG;led CG z=cc( ζ, adeoque GEzzif conf. z> & AG-—GEzzAEzz/m. z—fcofi z. Cuum fit£ = fpatio tempo¬

re

fl ) I« (,. 9fe iinius minuti fecundi a gravi confe^ö erit i adi*ut g ad gt4 ieu fpatium a gravi confeTum tempore?1;fed hoc ipfum fupra aiTumtum efl=:yii?, etgo gt~z=:AB. Verum AC eil ad AE ut AB ad AD (El. Eoel.VL 2.} adeoque erit i ad fin ζ —/cof ζ ut gt2 ad AD,& ADz=z gtz.fin. ζ—f cofi z.

CoroU. Spatium, quod tempore t conficeretur fuperpiano inclinato absque fri&ione eil ad fpatium fuper eo-dem piano cum friclione eodem tempore confeftum,Ut fin ζ ad fin ζ—f. cofζ ieu ut tang ζ ad tang. ζ—/;quia abfente friclione föret s = gt2. fin z.

Schol. i. Ex formula illa inventa crui potefl nonfolum valör fmclionis f, obfervato tempore, quo da¬tum fpatium abfolvitur, fed etiam tempus in veniturdato fpatio s & friclione /, qua? omnia exemplis, cui-cunque lubet, in propatulo eile poterunt. Tum ex-plorari iimul poteil , num f eundem habest valotempro motu ac pro quiete,quod certe experimentis dcte-gi mererctur. Velocitas v=z —* ex problematehocce et¬

iam innotefcit, quac ^tz=z2gt.finz—fcojz; Sc tandem,datafriclione, feu dato fpatio, dato tempore percurfo, inve-fiitur angulus quietis, nam /= tang. ζ — — &ώ

gt* cofiztang. iooooooo.

Schol 2. Hinc alius nobis occurrit modus, iisderodatis, iine pravio calculo, determinandi fpatium qua?-fitum: Nimirum ab inferiori termino B ipatii AB da¬to tempon t refpondentis, ducatur refla cum AB fa¬ckens angulum ABD äqualem angulo KAM, qui ert:exceflus , quo complementum anguli quietis KAB fu-perat complementum anguli elevationis plani BAMj

^s3 ) 17 v σό<§>

ha?c occurrat piano AM in D , & erit AD ipatiunaquaffitum.

Hic idem angulus KAM eil requalis exceffui angutfelevationis plani fupra angu'.um quietis. Nam KAMz=zABD = ACE (El. Eucl. I. 29.) = ACG — ECG\ fedACG e(l iEqualis angulo elevationis plani, & ECG ·=.3ACL ( EJ. Eucl. VI. 6.) = ang. quietis; ergo &c.

Dato fpatio AD percurrendo in piano dato, ha-bebitur tempus, fi fiat angulus ADB eequalis anguloHAB, & obtinetur fpatium AB tempori quaffito re-ipondens.

Dato tempore, ut AB, quo fpatium AD in pianodato percurritur, datur angulus quietis ACL, & ratiopreffionis ad friclionem CL ad LA, Γι angulus HABfiat asqualis angulo ADB, & in produ&am HA demit-tatur normalis CL.

Omnes itaque chordcC in Circuli fegmento ADB apunåo fiipreruo A, vel intimo B dudt«, eodem tem¬pore, nimirum tempore lapius per AB, conficiufitur*prorfus uti idem antea obiervavimus obtinere in femi-circulo, fritSlione non confiderata,

§. XII.Pinem huic opellai impofituri, unum adferemus

problema, Mechanicam praclicam fpeåans , atque inea alicujus eflfe uius habendum.

Data ratione preffionis ad friBionem corporis dati,invenire unguium elevationis plani, qui efficit, ut potentincorpori applicata in diredione piano parallela babeat maxi-mara Jurfum trabendi difficultatem.

Cardo rei ineo verntur,uti conftat,ut eafus invenia-tur,ubi lumma fridtionis & nifus corporis defcendendimaximum conibtuat. Sit ratio preffionis ad frifiionemm m ad n, & fic mzncofang. quietis , erit tum η £qua-

C Iis

H ) >8 ( #$Iis fin ang. quietis. Ponatur ( Fig. 5.) angulus EDFcsang. quietis, & angulus ADB =: ang. elevationis pla-ni. Sit ED = AD=zr^d.=:iJ evit DFzzztn ut prefiio inplanum ED , & EF = η ut fridlio in eodem ; ulteriusBDz=zx erit ut preffio in planum^/), adeoque,ob iimi-litudinem triangulorum ÉFD , HBD, BΗ ut fridtio in

flX -

©ödem, qua? itaque erit=—. Jam vero AB=:F 1—xxefl ut nifus defcendendi iupra planum AD; ii igitur

nx . —

difterentiale ipfius — -γ F 1 — x2ponatur =o, habemusndx xdx m

-——,/z—'-T* & deniquc x=zv =s», quia ?/t2-4-m K I χ2. -» + H2 ' ^ 1»2 = i. Ergo maxima furfum trahendi difficultas exi-flit, quando finus anguli quietis eft tequalis coiinui an¬guli elevationis plani.

Scbolion. Hoc problema Mechanicis'infervit in pon-deribus elevandis fupra planum inclinatum; namque iiscavendum efl, ne in hunc angulum incidant, tum e-nim finis ipforum non obtinetur, nimirum, ut lummo,quantum fieri poteft, virium compendio eundem effe-

&um producere poffint. Ufum hujus oroblematisexemplis oftenfum ivit BULFINGERUSfCom-

inent. Acad.Scient. Pctrop. Tom. Ii.)

Φ v

§. XIII.

Clarißhne Bominc CAND1DATE.

Ciccine, fi poiTem depingere pectoris ignes,In laudcs iret noflra Thalia tuas ?

At loquor in cailum, quae funt notifiirna cunftis;Unica, qua? valeat, mens pin vota dabit:

Adipiret lato iemper fortuna favore,Et det pro meritis praemia digna tuis.

.Sic te felicem quando fua rura manebunt,Officium non te fallat, amice, tuuro.

Clariifimo D:no CandidatoSVENONI GABRIEL HEDIN?

Coniobrino Amantiflimo Dile&iflimo.. / ,.-f ,Λ · . · ■ *--s . --· .

Tde ego, quem teneris dulcem Tibi junxit ab annisIngemtaJochim cnndor amicitia,Aunc quoque non defim. Vicat ardua ctilmine virtusEt reffi, mentem qui 7 ibi finxit, amor,In verfu titubet pes quamvis, gaudia peffusΕotnque prcefagum non perrtura movet.Gratulovindantes Ρ"berbeia munera, frondes /Majus at bis anitni gratulor e(Je decus.

SVENO AND. HEDIN-

Cs n\ eß. pas pour gärder um. coutume mciemie » que je*prends Iii hberté, de Vouseerire^ Monßeur! C3 eß cjueje Juis penetré tP une eflime finguliere·, que Vous Vou eiesacquife par vos'vertue des le m-owent, fäe feus T bonnearcp etre connu.de Vous ; &f nen ite me leroit plus agreable,que di avoir occrifion, de Vous. le tcmoigner en effet. C φpourquoi jette faurois ni empecher de Voui marquer la vivejoie , que rf Μ recüe en apprenant, que Vous alle-z pubHerde nouveax jruits de vos veides Academiques,

Vous avez stuparavant donne tedes épreuves de votreerudition, Monßenr! qti en vain je ni efforcerois de 'faire icivotre Panegyrique, etant perfitadé, que Vous foutiendrez aufjice bei Ouvrage avec tant eP adrej]e, de folidité, φ!un ap-plaudißement general Vous en fera accordé. fe Vous fe-

■ liciterai feulement du Laurier, Monßeur^ dont Minerve Vousregalera, dans peu, pour les fideles travaux, que Vous Luiavez confacrés.

Au reße je Vous foubaite taute forte de profperites,ayant Γ honneur de Vous ajjurer, que je m inierejTe beau-coup en tout ce , qui Vous regarde. C* efl avec fincerité,atte je fuis ^ jusqii au dervier foupir ,

MONSIEUR,

votre trfo humble ferviteurERIQUES GÖTLIN.