Rotação de Corpos Rígidos (Cap. 9) - Moodle USP: e ... · Analogia TranslaçãoRotação R θ m...

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 Rotação de Corpos Rígidos (Cap. 9)

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Rotação de Corpos Rígidos (Cap. 9)

   

Analogia Translação­Rotação

s

v

m IF

p L

mm

E ct=12

m v 2 E cr=12

I 2

Exemplo: energia cinética

   

Analogia Translação­Rotação

R

m

x

y

mR s

v

v=d sd t

=Rd

d t=R

z

z

=d

d t

s

s=R

v

Corpo rígido: R constante

OBS:  em radianos

v

   

Aceleração angular

R

m

x

y

mR

s

z

z

a tan=d vd t

=Rd

d t=R z

z=d

d tarad=v 2

R=R

2

Acel. Radial(centrípeta)

Acel. tangencial Acel. angular

ar  a  d

at  a  n

v=R

v

   

Aceleração angular constante

=00 t12z t 2

=0z t

2=022z −0

Análogas a correspondentes lineares

   

Aceleração angular

R

m

x

y

mR

s

z

z

I=m R 2E cin=12

m v 2=12

m R 22=12

I 2 Energia cinética

Momento deinércia

ar  a  d

at  a  n

v=R

v

m Is

v F

   

Momento de inércia

Roda de bicicleta

I=M R 2

Modelo (M, R)

R m I=m R 2

I=∑m R 2

M=∑m

Dependência do eixo de rotação

Haltere

I xI y

x

y

   

I=12

M R 2h

Momento de Inércia de distribuição contínua de massa (x,y,x)

I z=∫R 2 d m=∫∫∫r R 2dx dy dz

R 2=x 2y 2 dV (elem. de volume)

Densidade no pto. x,y,z

Exemplo: disco de densidade uniforme e raio R em  rotação em torno do eixo de simetria

dV

(distância ao eixo de rotação, z)

   

R

m

x

y

mR

s

z

z

Fr  a  d

Ft  a  n

=R×F

F Fz

Torque 

z= R×F z=R F tan

F= F radF tan

F z

Def.:

   

Analogia Translação­Rotação

R

θ

m

x

y

mR

z

z

Fr  a  d

Ft  a  nF Fz

OBS: Corpo Rígido ­ Forças de vínculo compensam Fr a d e Fz

F tan=m a tan=md vd t

=m Rd

d t=m R z

z=R F tan=m R 2 d

d t=m R 2z z=I z

F

   

Analogia Translação­Rotação

x

Momento Angularp=m v L=R×p

p L

R

m

y

mR s

vz

∥L

z

v

L=R p=m R v=m R 2 L=I

L⊥ R

   

=R×F =R×d pd t

=d R×p

d t=

d Ld t

=d Ld t

Analogia Translação­Rotação p L

d R×p d t

=d Rd t

×pR×d pd t

d Rd t

×p=v×m v=0

Pois:

e

R⃗

m

x

y FF =

d pd t

F

   

Demonstrações gerais

● Energia cinética de rotação● Teorema dos Eixos Paralelos

● Torque resultante (c. ríg.)● Energia cinética (K)­ eixo móvel (dir. fixa)

CMCM

d

I p=I CMMd 2

K =12

Mv CM2

12

I CM 2