Revista QED N° 5

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Noviembre 2011 Año 4 | N°5 ISSN: 1852-5091 Luis Santaló Geometría fractal Suma de cuadrados Curiosidades físicas Lógica matemática Problemas matemáticos Demostraciones visuales De π a la tomografía

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  • Noviembre 2011Ao 4 | N5ISSN: 1852-5091

    Luis Santal

    Geometra fractal

    Suma de cuadrados

    Curiosidades fsicas

    Lgica matemtica

    Problemas matemticos

    Demostraciones visuales

    De a la tomografa

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    Al maestro, Luis Santal

    La siguiente ancdota se le atribuye a Jorge Luis Borges: en 1975, fallece su madre, Leonor Acevedo, a los 99 aos de edad. En el velo-rio una seora le da el psame a Borges y comenta: Peeero pobre Leonorcita, morirse tan poquito antes de cumplir 100 aos. Si hubiera esperado un poquito ms Borges le dice: Veo, seora, que es usted devota del sistema decimal

    Ms all del humor e inteligencia singulares de Borges, aqu estamos, homenajeando a un gran maestro, al cumplirse 10 aos de su falleci-miento y 100 aos de su nacimiento. Alabado el sistema decimal que nos permite este honor y placer.

    Nos referimos a Luis Antonio Santal Sors, nacido en Gerona, Espaa, el 9 de octubre de 1911 y fallecido en Buenos Aires el 23 de Noviembre de 2001.

    Adems de ser uno de los matemticos argentinos ms importantes del siglo pasado, fundador de una importante rama de la matem-tica como es la Geometra Integral, desarroll una singular tarea docente en las aulas de las Universidades de Buenos Aires, Rosario y La Plata, dejando su marca personal en la escuela matemtica argentina.

    Como deca su entraable amigo, Manuel Balanzat, adems de la pa-labra y el pizarrn, Santal haca uso de sus manos, las que en el aire dibujaban curvas y superfi cies y sugeran sus propiedades, incluso tra-bajando en espacios de dimensin mayor que tres.

    Santal fue adems de todo, un gran divulgador de la ciencia y un hombre preocupado por la enseanza de la matemtica y el apoyo a jvenes talentos.

    Deca al respecto: Cuando se habla de los recursos de un pas hay uno, por lo general escaso, que no es costumbre mencionar: los ta-lentos matemticos. Todo nio capta lo esencial de nuestra ciencia, pero solo algunos, naturalmente dotados, llegarn a destacarse o intentar una labor creativa. Sabemos que se manifi estan a muy tem-prana edad y si no se los educa se malogran luego; es deber de la escuela descubrirlos y guiarlos; es obligacin de la sociedad el ofre-cerles oportunidad para su desarrollo. El resto de los ciudadanos, sin esa capacidad o esa vocacin especiales, debe, sin embargo, aprender toda la matemtica necesaria para entender el mundo que vivimos. Desconocer el lenguaje a que aspiran las ciencias y usan las tcnicas es encerrarse en una manera de analfabetismo que un pas civilizado no puede tolerar. Aqu el precio de la incuria es la dependencia, la prdida de la soberana.

    Su pensamiento, sigue vivo entre nosotros. Salud maestro.

    Juan Carlos Pedraza

    Editorial

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    Artculos

    Secciones

    StaffQ.e.d.Ciencias duras en palabras blandas

    Revista trimestral de divulgacinAo 4, nmero 5

    Universidad de Buenos AiresCiclo Bsico Comn (CBC)Departamento de Ciencias ExactasPabelln 3, Ciudad Universitaria, Buenos Aires, Argentina

    Directores: Agustn RelaJuan Carlos Pedraza

    Editor: Carlos Borches

    Redaccin: Iliana Pisarro

    Diseo: Pablo Gabriel Gonzlez

    Consejo editorial:Cecilia Di RisioFlora GutirrezJorge FerronatoPatricia FauringSilvia Reich

    Agradecemos la colaboracin deAlexia YavcoliChristian EspndolaJuan MedinaMario BungeRicardo CabreraUrsula Molter

    Impresa en La Copia

    [email protected] http://www.slideshare.net/revistaqed

    Revista Q.e.d.

    +54 11 4789-6000, interno 6083+54 11 4781-0706ISSN 1852-5091

    Todos los derechos reservados;reproduccin parcial o totalcon permiso previo del Editor,y cita de fuente.Registro de propiedad intelectual en trmite.

    Q.e.d., Quod erat demonstrandum, es una expresin latina que signifi ca: lo que se quera demostrar

    Tiene su origen en la frase griega (per dei dejai), que usaron muchos matemticos, entre ellos Euclides y Arqumedes, para sealar que haban alcanzado la demostracin que buscaban.

    Cmo la matemtica puede ayudar a detectar tumores

    Cul es la relacin entre el permetro C y el dimetro d de una crculo? Anali-cemos dos crculos de diferente tamao.

    Como el ms grande se obtiene al multiplicar todos los puntos del ms peque-o por 2, observamos que:

    C

    d= constante

    Siempre vale lo mismo para cualquier circulo! Ese nmero se llama - del griego que signifi ca periferia o circunferencia.

    CUNTO VALE ?Observando a simple vista las circunferencias, vemos que es mucho mas grande que 2. En realidad nos convencemos bastante rpido tambin que es ms grande que 3 pero ms chico que 4.

    3< < 4

    La bsqueda del valor de comienza hace ms de 4000 aos. Cuenta la his-toria, que los antiguos egipcios y babilnicos comenzaron a calcular el valor exacto de dibujando un inmenso crculo en la arena y luego simplemente utilizaron una cuerda para hallar la relacin entre el permetro y el dimetro. Pudieron establecer que era levemente ms grande que 3. Empricamente obtuvieron el valor = 3,125.

    Por

    Urs

    ula

    Mol

    ter

    FCEN

    - U

    BA

    Gente que parece ociosa arroja una aguja al aire en un tpico juego de azar del siglo XVIII. Pero el afn de ganar de algunos pone en marcha al pensamiento matemtico y de aquel antiguo juego llegamos unos siglos despus a la tomografa. Los caminos de la creacin matemtica son insondables

    C

    d

    diamet

    ro

    3: Editorial

    5: Cmo la matemtica puede ayudar a detectar tumores

    Por Ursula Molter

    12: La geometra de la naturaleza Por Alexia Yavcoli y Juan Miguel Medina.

    18: Suma de cuadrados Por Mario Bunge

    24: El ltimo gemetra clsico Por Carlos Borches

    26: Problemas matemticos: Dido, una reina que saba geometra

    28: Lgica matemtica: La paradoja de Russell

    30: Curiosidades fsicas: Fsica y geometra

    31: Libros y revistas Electricidad y electronica Cientifi cos en el ring 32: Intimidades de un cierre: Homenaje a un maestro o aunque no lo

    vemos Arqumedes siempre est

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    7 Q.e.d.

    El motivo de buscar el valor de , se origina en el problema de cuadrar el cr-culo, que es el problema de construir con regla y comps (en un nmero fi nito de pasos) un cuadrado de igual rea que el crculo de radio 1.

    Es decir, se necesitara poder construir

    . Se pueden construir algunas ra-

    ces como

    2, por ejemplo, ahora se quiere ver si podemos construir

    .

    En 1650 antes de Cristo, - en un famoso papiro egipcio se le dio a el valor= 3,16.

    Sin embargo, tanto en el antiguo testamento (1 Reyes 7:23) como los chinos, utilizaron el valor de = 3.Fue Arqumedes (287 - 212 AC) quien hizo un estudio riguroso del clculo del valor de utilizando polgonos inscriptos y circunscriptos con lados cada vez ms pequeos.

    Arqumedes prueba que

    3 1071

    < < 3 1070

    3.1416A fi n del siglo XVI Francois Vite, abogado francs y excelente matemtico utiliz el mismo mtodo que Arqumedes para ensandwichar entre 2 valores muy cercanos:

    3.1415926535 < < 3.1415926537

    En 1761 Johann Friedrich Lambert prob que es irracional: o sea, no existen dos enteros p y q tales que se escriba como p/q. Esto ya implica que los dgitos de nunca sern peridicos!Pero todava no nos ayuda en el problema de la cuadratura del crculo, porque por ejemplo

    2 tambin es irracional pero se puede construir. Para descar-

    tar la construccin utilizando regla y comps, se necesitaba probar que es trascendente.

    Un nmero irracional es trascendente, si no es raiz de ningun polinomio con coefi cientes racionales - o sea, es seguro que no se puede construir con regla y comps.

    Recin en 1882 que Ferdinand von Lindemann pudo demostrar que es tras-cendental, logrando as concluir la bsqueda de la construccin de un cuadra-do de igual rea que el crculo!

    Sin embargo, hallar mtodos para el clculo de sigui siendo un entreteni-miento favorito para matemticos y laicos.

    EL PROBLEMA DE LA AGUJA DE BUFFON.

    En su ensayo Las secciones indiscretas [San89], Santal nos describe el proble-ma de la aguja de Buffon de la siguiente manera:

    Consideremos un plano (que puede ser el piso o una mesa grande) dividido por rectas paralelas a una distancia d. Sobre el plano, se tira al azar una aguja (segmento de recta) de longitud l, no mayor que d. La pregunta que se plantea Buffon en 1733 es: Cul es la probabilidad de que la aguja corte alguna de las rectas paralelas?

    l dFue el mismo Buffon quien en 1777 resolvi el problema y demostr que la probabilidad de que alguna recta paralela sea cortada por la aguja es:

    p =2

    d

    Para demostrarla es necesario calcular la medida de las posiciones en que la aguja corta alguna paralela (casos favorables) y dividirla por la de todas las posiciones de la aguja en el plano (casos posibles). Nuevamente apareci en escena: Si la aguja es de longitud exactamente d/2, entonces la probabilidad de que la aguja corte alguna recta es 1/.

    r=1

    Ferdinand von Lindemann (1852-1939) cerr un problema que durante dos mi-lenios mantuvo a profesionales y afi cio-nados a la matemtica muy ocupados: la cuadratura del crculo.Si un nmero se puede construir con regla y comps debe ser raz de un polinomio no nulo con coefi cientes racionales de grado no mayor que dos. Cuando Lin-dermann demostr que es trascendente, se concluy de inmediato que no se poda construr con regla y comps un cuadra-do de igual rea que un crculo dado.

    El cculo de radio 1 tiene rea igual a . Luego el cuadrado de rea debe tener un lado de longitud

    .

    Tablilla babilnica que los expertos inter-pretan como el clculo de una raz cua-drada. Esta pieza pertenece a un conjunto comprado en 1912 por la Universidad de Yale.

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    Pierre Simon Laplace (1749-1827), en su monumental Teora analtica de las probabilidades [Lap1812], generaliz el problema de la aguja de Buffon de la siguiente manera: Consideremos el plano dividido en rectngulos de lados a, b; se tira al azar sobre ste una aguja de longitud l, no mayor que el menor de los lados a, b.

    la

    b

    El problema de la aguja de Buffon generalizado por Laplace

    En este caso, la probabilidad de que la aguja corte alguno de los lados de la red de rectngulos es:

    p =2(a + b) 2

    ab

    Si en lugar de una aguja de longitud l fuera lanzada al azar sobre el plano una curva cualquiera de longitud L, la esperanza matemtica, o valor medio, del nmero N de puntos en que la curva corta los lados de la red de rectngulos ser:

    E(N) =2L(a + b)

    ab

    Si se toma, por ejemplo, una red de cuadrados a = b = 10 cm y se arroja al azar sobre la misma una curva de longitud L = 20cm, tendremos:

    E(N) =8

    = 2, 54

    Si en cualquiera de las experiencias anteriores fuera calculada experimental-mente la probabilidad p o determinado el valor medio E(N) -a travs de un nmero considerable de experiencias-, las frmulas permitirn calcular cual-quier elemento del segundo miembro (por ejemplo, la longitud L de la curva utilizada).

    As, en 1812, Laplace observ que sera posible hacer uso del clculo de probabilidades para rectifi car curvas o cuadrar superfi cies, pero sin duda los gemetras jams utilizarn este medio.

    LA ESTEREOLOGIA O CMO RECONSTRUIR EL TODO A PARTIR DEL CONOCIMIENTO DE INTERSECCIONES.

    Como cuenta Santal en el artculo citado, Laplace se equivoc. Un siglo y medio despus, estas frmulas pasaron a ser frecuentemente aplicadas para medir longitudes de curvas sobre preparaciones microscpicas.

    Para poder utilizar estas frmulas, es necesario medir posiciones de la aguja en el plano, o de la curva. Quiz sea uno de los aspectos ms notorios de la matemtica: desde su orgen se ocupa de medir conjuntos de puntos, pero aqu hace falta medir otros objetos geomtricos: conjunto de rectas, planos, conjuntos de curvas congruentes entre s, etc.

    De estas medidas que fueron estudiadas por Crofton en 1869 y retomadas y generalizadas por Blaschke en 1936, naci la geometra integral (nombre que le diera Blaschke en su seminario de la Universidad de Hamburgo en 1936, seminario del que particip, entre otros el Dr. Santal).

    Y fue el mismo Santal que introdujo la medida sobre conjuntos convexos, es-tableciendo la famosa frmula fundamental cinemtica en el plano que dice:

    La medida de todos los convexos K (mviles) que intersecan a uno fi jo K0 es

    igual a: 2(F0 + F ) + L0L

    De hecho, Luis Santal es considerado como uno de los socios fundado-res de esta especialidad matemtica. Su libro Integral Geometry and Geometric Probability [San76], es considerado el clsico fundamental para cualquiera que quiera realizar investigacin relacionada con el tema.

    En esta nota nos ocuparemos slo de un aspecto de estas medidas, que ha probado ser til para estimar tamaos de tumores dentro de rganos; la es-tereologa.

    Cuenta Santal que en 1961, en una reunin de especialistas en diferentes ramas de la ciencia (biologa, anatoma, botnica, mineraloga, metalurgia, etc.) realizada en Feldberg (Selva Negra, Alemania) se fund la Sociedad In-ternacional de Estereologa.

    Su primer presidente, Hans Elias, profesor de la Universidad de Chicago, defi -ni la estereologa como:

    conjunto de mtodos para la exploracin del espacio tridimensional a partir del conocimiento de secciones bidimensionales o de proyecciones sobre el plano; es decir, se trata de una extrapolacin del plano al espacio.

    Miraremos algunos ejemplos clsicos de la estereologa, seleccionados por el mismo Santal.

    Esta fi gura muestra el resultado de tirar la aguja 500 veces. Los resultados positivos son las agujas oscuras, los negativos son las claras.

    Hubo varios intentos de estimar realizando el experimento muuuuchas ve-ces - y obviamente no es una manera prctica para estimar el valor de - pero s nos da una intuicin sobre su valor.

    Pierre-Simon Laplace (1749-1827) fue una de las grandes fi guras de la ciencia en tiempos de la Revolucin Francesa. Se ocup detenidamente de la teora de probabilidades motivado por distintos juegos, aunque seal: Es, sobreto-do, en el juego, donde un gran cmulo de ilusiones mantiene la esperanza y la sostiene incluso contra las proba-bilidades desfavorables. La mayora de los que juegan a la lotera no sa-ben cuntas probabilidades tienen a su favor y cuntas le son contrarias. A todos les espantara, de llegar a cono-cerlo, el gran nmero de apuestas que se pierden; sin embargo, se tiene buen cuidado en dar una gran publicidad a las ganancias.

    El grabado describe el descubri-miento de la tumba perdida de Ar-qumedes. Poco ms de un siglo despus de la muerte de Arqumedes, Marco Tulio Cicern escuch historias acerca de la tumba perdida y decidi buscarla. La encontr cerca de la puerta de Agrigento, en Siracusa, y seal que sobre ella se haba colocado una es-fera inscripta dentro de un cilindro.

    Autoreferencial:

    Otros artculos de Q.e.d. donde se abordan cues-tiones conectadas con los temas de este artculo:

    La fsica y las imgenes mdicas, Jorge Cornejo. Revista Q.e.d. nro 2.

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    El cociente AH/VK tambin puede ser obtenido cortando el cuerpo K con una recta G y comparando el nmero de puntos de interseccin entre G y las super-fi cies H con la longitud de la cuerda que G determina en K (nmero de puntos por unidad de longitud).

    LA TOMOGRAFA COMPUTADA

    De manera anloga -pero mucho ms complicado- se desarrolla la Tomografa computada. El trmino: tomografa se deriva del griego: tomos (corte o sec-cin) y graphein (escribir).

    El problema matemtico es el siguiente: Supongamos (como antes) que tene-mos un cuerpo convexo K dentro del cual hay una masa de densidad variable dada por la funcin f(x; y; z), o sea cambia para cada punto de coordenadas (x; y; z). Si atravesamos K con una radiacin (por ej. rayos X, lser) y medi-mos su intensidad de entrada y salida, la diferencia entre estas intensidades ser la absorcin del rayo por la materia en el interior de K y depender de la recta G, por donde el rayo se propaga. Por consiguiente, es posible medir experimentalmente esta funcin de G que llamaremos F(G).

    Pero, cmo determinamos f(x; y; z) a partir de F(G), que se supone conocida para todas las rectas que atraviesan K? El primero que consider este proble-ma fue J. Radon (1887-1956). En 1917, este matemtico alemn encontr una frmula para calcular f(x; y; z) a partir de F(G), conocida como transformada de Radon.

    Cabe ahora la pregunta: es posible conocer F(G) para todas las rectas G? Ob-viamente en la prctica no! Pero en 1963, el fsico A.M. Cormack pudo probar que alcanza con un nmero fi nito de mediciones! En 1971, se construy el primer tomgrafo que media 160 secciones, y 180 rectas en cada seccin, y cada medicin duraba aproximadamente 5 minutos. Las imgenes de estas mediciones, tardaban en procesarse aproximadamente 2,5 horas!

    Ms adelante, un ingeniero, G.N. Hounsfeld logr perfeccionar los dispositivos de Cormack y comenz la etapa comercial de la tomografa computada.

    La gran ventaja de utilizar la tomografa computada, es que no se necesita agredir el organismo del paciente. Cormack y Hounsfi eld recibieron por sus in-vestigaciones el premio Nobel de Medicina en 1979. Segn Santal, De haber vivido, ciertamente Radon hubiera participado de este premio, que habran as compartido un matemtico, un fsico y un ingeniero. Un excelente ejemplo de colaboracin cientfi ca.

    Concluyo esta nota citando una vez ms al maestro: La estereologa y la tomografa computada ilustran bien el proceso de las diferentes etapas en el avance de la ciencia. Originalmente los estudios son motivados por la simple curiosidad de conocer o por encontrar soluciones a los problemas surgidos en actividades extracientfi cas (la pasin de Buffon por los juegos de azar es un buen ejemplo). Luego, estos resultados obtenidos se revelan aplicables a la solucin de problemas prcticos presentados por la tcnica: sta es la etapa de las aplicaciones de la ciencia. Posteriormente tales aplicaciones vuelven a presentar problemas de carcter terico que suscitan nuevamente el inters de los cientfi cos puros, dando origen muchas veces a otros estudios y a teo-ras exclusivamente especulativas. As, a travs del progreso alternado entre ciencia y tcnica, el hombre consigue ampliar paulatinamente su horizonte de conocimientos.

    Supongamos un cuerpo K del espacio, que contiene en su interior distintas partculas H distrbuidas al azar, de diferentes formas y tamaos. Si se corta K con un plano E, la interseccin ser una seccin plana en la cual las partculas H determinan ciertas reas.

    K

    E

    H

    Un cuerpo en cuyo interior se encuentran slidos menores

    Imaginemos que K sea un rgano animal (hgado, rin, cerebro) y H fi bras o cavidades de ste rgano cuyo tamao se requiere determinar a partir de la seccin con planos de prueba E. El problema ms sencllo consiste en averiguar la proporcin del volumen de partculas H dentro de K, a partir de la propor-cin de las reas de las secciones de H y K por el plano E.

    Experimentalmente se puede medir la proporcin AA de las reas en el plano E. Suponiendo que el cuerpo sea cortado por un plano al azar, con una ley de probabilidades proporcional al rea de su interseccin con K, la geometra integral demuestra que la esperanza matemtica de AA es igual a VV, la pro-porcin entre los volmenes de las partculas o cavidades H y el volumen del cuerpo K. Es decir que AA es un estimador (insesgado) de VV.

    Supongamos ahora que el cuerpo K contenga en su interior ciertas lminas H de cualquier forma y de rea total AH. Se desea calcular el rea de las super-fi cies H por unidad de volumen de K. Para ello se puede cortar K con un plano o una recta. Si cortamos K con un plano E, la interseccin de E con H ser un conjunto de curvas, cuya longitud puede ser medida.

    K

    E

    H

    Un cuerpo en cuyo interior se encuentran lminas de diferentes formas

    La esperanza matemtica del cociente entre la longitud de estas curvas planas y el rea de la seccin de E con K es: 4/ x AH/VK. Es decir que el cociente AH/VK (cantidad de rea por unidad de volumen K) puede ser obtenido multiplicando por 4/ la proporcin entre la longitud de las curvas de la interseccin de E con H, por unidad de rea de la interseccin de E con K.

    Referencias

    [Lap1812] P. S. Laplace Thorie analytique des probabilits. Paris: Veuve Courcier, 1812.

    [San55] L. A. Santal, On the distribution of sizes of particles contained in a body given the distribution in its sections or projections, Trabajos Estadist. 6 (1955), 181196.

    [San76] Luis A. Santal, Integral geometry and geometric probability, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Amsterdam, 1976, With a foreword by Mark Kac, Encyclopedia of Mathema-tics and its Applications, Vol. 1.

    [San89] L. A. Santal, Las secciones indiscretas, Ciencia Hoy. 1(2), Febrero/Marzo 1989.

    La estereologa y la tomografa com-putada ilustran bien el proceso de las diferentes etapas en el avance de la ciencia. Originalmente los estudios son motivados por la simple curiosidad de conocer o por encontrar soluciones a los problemas surgidos en actividades extracientfi cas (la pasin de Buffon por los juegos de azar es un buen ejem-plo). Luego, estos resultados obtenidos se revelan aplicables a la solucin de problemas prcticos presentados por la tcnica: sta es la etapa de las apli-caciones de la ciencia. Luis Santal

    Las modernas tcnicas empleadas para la obtencin de imgenes mdicas sintetizan el trabajo de matemticos, fsicos, mdicos e in-genieros.

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    13 Q.e.d.

    En los ltimos 40 aos, la geometra fractal, cobr gran relevancia, debido a su gran aplicabilidad en diversos problemas como por ejemplo: compresin de datos, compresin de imgenes digitales, sismologa, porosidad de materiales, descripcin de formas biolgicas (disposicin de glndulas, redes neuronales, red vascular, etc.), creacin de fondos y paisajes para efectos especiales de cine o composicin armnica y rtmica de melodas.

    Para fi jar ideas sobre la apariencia y modo de construccin de los fractales, veamos algunas construcciones elementales.

    TRINGULO DE SIERPINSKI

    Una forma de construr fractales, es comenzando con una fi gura sencilla b-sica, por ejemplo un tringulo cuya rea es igual a uno, a la cual se le ir extrayendo de manera apropiada copias de de esta fi gura a una menor escala.

    Paso 1: comencemos con un tringulo equiltero de rea 1.

    Paso 2: extraemos un tringulo con vrtices en el punto medio de los lados del tringulo del paso 1. As quedan 3 tringulos de rea .

    Paso 3: de cada uno de los tres tringulos del paso 2 , extraemos de manera similar al paso 2, un tringulo de cada uno de ellos. Quedando 9 tringulos de rea 1/16.

    Y se repite este procedimiento infi nitas veces La fi gura obtenida despus de iterar infi nitas veces se denomina Tringulo de Sierpinski.

    La geometra de la naturaleza

    De tanto en tanto aparecen ideas tan poderosas que no slo modifi can el futuro sino tambin el pasado. Surge una clave distinta para relatar la historia, donde la nueva idea aparece naturalmente mucho antes de ser concebida.

    Cmo describiras la forma de un copo de nieve? Difcil, no? Muchas veces los objetos de la naturaleza que nos rodean no se asemejan a las formas simples co-nocidas de la geometra clsica (tales como crculos, tringulos, cuadrados, conos, esferas) con las que el ser humano acostumbra a abstraer las fi guras de los objetos.

    Un primer ejemplo de esto, fue citado por el matemtico polaco Benot Man-delbrot alrededor de 1967, cuando observ en una de sus publicaciones que las curvas geogrfi cas (el ejemplo que l utiliz fue el de las costas de Gran Breta-a) son tan complicadas en su detalle que generalmente tienen longitud infi nita (ms adelante daremos un ejemplo de una curva acotada de longitud infi nita).

    El problema radicaba en que los matemticos, hasta ese momento, no podan describir este hecho con las herramientas de la geometra clsica. En dicho artculo B.M. nos muestra que la medicin de una linea geogrfi ca real, depen-de de la escala mnima utilizada para medirla. Esto se debe a que los detalles cada vez ms fi nos, de dicha linea geogrfi ca, se aprecian al usar una regla de medir mas pequea.

    Otro ejemplo que se encuentra en la naturaleza y que no se puede describir con la geometra clsica son las hojas de ciertas plantas, como el helecho.

    En la imagen se observa que las formas de las partes se asemejan al todo. Es decir, si miramos esta imagen a otra escala de observacin (hacemos zoom) obtenemos una imagen similar con el mismo grado de detalle. A esta propie-dad se la llama autosimilaridad.

    En la naturaleza abundan casos de autosimilaridad, como el romanescu, un peculiar brcoli de forma fractal.

    Por la necesidad de querer describir estas formas, surgi una nueva rama de la geometra: la geometra fractal.

    Si bien no hay una defi nicin formal de lo que es un fractal, trataremos dentro de lo posible de precisar este concepto. A un fractal se le suelen atribuir algu-na de las siguientes caractersticas:

    Es muy irregular para ser descripto en trminos geomtricos tradicionales.

    Tiene detalles a cualquier escala de observacin.

    Es autosimilar.

    Ale

    xia

    Yav

    col

    iFC

    EyN

    - U

    BA

    Juan

    Mig

    uel M

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    aIA

    M -

    CO

    NIC

    ET

    Tal es el caso de los fractales, un concepto acuado por Mandelbrot en 1967 que, una vez reconocido por su valor en el universo matemtico, invit a explorar un territorio poblado por una serie de extraos objetos geomtricos fuera del paraso de las curvas y superfi cies suaves. Historias dispersas que comenzaron durante el siglo XIX, transformadas en un relato coherente cuando pudo ser contado en clave fractal.

    Cuanto mide la frontera argentina? Po-demos medirla aproximadamente fi jando un segmento y recorriendo la frontera. El valor aproximado ser la longitud del seg-mento por la cantidad de segmentos. Qu sucede si achicamos indefi nidamente la longitud del segmento? Si la frontera fuese una curva suave, nos acercaramos al valor exacto de la extensin de la frontera, pero en caso de una frontera sumamente irregular, esta aproximacin crecer inde-fi nidamente.

    Las hojas de un helecho son un ejemplo de objetos de la naturaleza con apariencia fractal. Cada una de las partes pequeas es similar a la hoja completa.

    Benoit Mandelbrot (1924-2010) mate-mtico nacido en Polonia y formado en Francia. Trabaj sobre el concepto de fractal difundiendo su posibles aplica-ciones. Segn Mandelbrot, la geome-tra fractal permitir una comprensin ms profunda de los elementos de la naturaleza: las nubes no son esferas, las montaas no son conos, las costas no son crculos, y las cortezas de los rboles no son lisas, ni los relmpagos viajan en una lnea recta Mandelbrot, (Introduction to The Fractal Geometry of Nature).

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    15 Q.e.d.

    En general, en el paso k-simo tenemos 3k1 tringulos de rea 4(k1) . Veamos qu pasa con el rea total de la fi gura obtenida: Observemos que el rea del trngulo de Sierpinski se obtiene calculando el rea para una fi gura en el

    paso k, la cual es 3k14k+1 y luego haciendo tender k a infi nito, o sea el rea

    del tringulo de Sierpinski es limk

    3k14k+1= 0.Otra forma de describir este mismo tipo de construccin es aplicando, a un tringulo de lado uno, cada una de las siguientes transformaciones del plano:

    f1(x, y) := (x

    2,y

    2);

    f2(x, y) := (x

    2+

    1

    2,y

    2);

    f3(x, y) := (x

    2+

    1

    4,y

    2+

    3

    4)

    O sea si es el triangulo inicial, el primer paso es la unin de los tres tringu-los ms pequeos 1 = f1() , 2 = f2() y 3 = f3() Luego se repite este procedimiento infi nitas veces de la siguiente manera:

    f1

    f3

    f2

    f1

    f3

    f2

    En este ejemplo, es fcil ver que, solamente teniendo dichas tres transforma-ciones y una fi gura inicial (cuatro datos) construimos una fi gura complicada en su detalle. Este es un ejemplo sencillo de una tcnica que se suele utilizar en compresin de imgenes.

    CURVA DE VON KOCH

    Paso 1: tomamos el segmento unitario [0,1]

    Paso 2: lo dividimos en 3 partes iguales, removemos la del medio y colocamos 2 segmentos de igual longitud como indica la fi gura

    Paso 3: En cada segmento del 2do. Paso repetimos el procedimiento anterior.

    Y se repite este procedimiento infi nitas veces

    Observemos, que en el k-simo paso tenemos 4k segmentos de longitud 3k.

    La fi gura obtenida al iterar este procedimiento infi nitas veces, se la llama curva de Koch.

    Se puede ver que la longitud de dicha curva es infi nita pues, en el paso k te-

    nemos una curva de longitud igual 4k3k, pero esta expresin es tan grande

    como uno quiera conforme aumente el valor de k, es decir, tiende a infi nito.

    Utilizando tcnicas ms sofi sticadas, pueden construirse fractales ms elaborados.

    Finalmente, con las construcciones expuestas anteriormente, estamos en con-diciones de dar un modelo sencillo de un copo de nieve: El borde de dicha fi gura se obtiene pegando tres copias de la curva de von Koch por cada uno de sus extremos, como indica la fi gura.

    Adems, como vimos que la curva de von Koch es autosimilar y tiene longitud infi nita, entonces resulta que el borde de la fi gura del copo de nieve tiene longitud infi nita y es autosimilar.

    En este caso vemos que la geometra fractal nos ayud a modelar un objeto natural, que slo con la geometra usual nos hubiese sido imposible hacerlo.

    Cmo podemos medir cun complejo (o rugoso) puede ser un fractal? Cmo podemos comparar dos fractales distintos?

    Nos gustara utilizar algn criterio para distinguir clases de fractales. Nos apoyare-mos en una nocin que generaliza un concepto intuitivo: el concepto de dimensin.

    Uno tendera a pensar que los segmentos o curvas buenas tienen dimensin 1, que un cuadrado o una sbana tienen dimensin 2, un cubo tiene dimensin 3, y as siguiendo

    En el caso de un segmento de longitud L, para cada r>0 podemos cubrir el segmento con una cantidad N(r):= L/r (o en caso de que no sea un natural, tomando el natural siguiente) de segmentitos de lado r. As se verifi ca que para valores pequeos de r, N(r).r~Cte, y que en particular tomando logaritmo se tiene ln(N(r))+ln(r)~ln(Cte), y por lo tanto (ln(Cte)-ln(N(r)))/ln(r) cuan-do r es chico se aproxima a 1 (que es lo que intuitivamente se esperara que fuera la dimensin del segmento.

    Veamos que sucede algo parecido en el caso de cuadrado de lado L. Para cada r>0 podemos cubrir el cuadrado con una cantidad N(r):= L2/r2 o en caso de que no sea un natural, tomando el natural siguiente) de cuadraditos de lado r. As se verifi ca que para valores pequeos de r, N(r).r2~Cte, y que en par-ticular tomando logaritmo se tiene ln(N(r))+2.ln(r)~ln(Cte), y por lo tanto (ln(Cte)-ln(N(r)))/ln(r) cuando r es chico se aproxima a 2 que es lo que in-tuitivamente se esperara que fuera la dimensin del cuadrado.

    Waclaw Franciszek Sierpinski (1882-1969) matemtico polaco de notables contribu-ciones a la teora de conjuntos, la teora de nmeros, la topologa y la teora de fun-ciones. Fue el autor de 724 trabajos y 50 libros, a un ritmo de trabajo que no inte-rrumpi a pesar de atravesar con su pas dos guerras mundiales y la guerra polaco-sovitica. Tambin estudi astronoma y fi losofa.

    El romanescu, un hbrido entre el brcoli y la colifl or, es usualmente mencionado como un ejemplo de objeto fractal. Recientemen-te, Sang-Hoon Kim, del Institute for Con-densed Matter Theory, Chonnam National University en Corea, se ocup de las di-mensiones fractales del romanescu

    Un modelo sencillo de un copo de nieve obtenido pegando tres copias de la curva de von Koch por cada uno de sus extremos.

    El conjunto de Mandelbrot, es un ejemplo de un fractal ms complicado, que puede obtenerse estudiando el comportamiento de la iteracin del valor 0 en los polinomios cuadrticos pc(x)=x

    2+c, donde c es un n-mero complejo. Fijando un valor de c, se itera pc(x) en x=0 analizando el comporta-miento de la sucesin. Para un conjunto de valores c, la iteracin resulta ser divergen-te en mdulo. La frontera del conjunto de valores c que hacen divergente la iteracin de pc(0) es el conjunto de Mandelbrot

  • 16Q.e.d.

    17 Q.e.d.

    Basndonos en estos ejemplos defi niremos el concepto de dimensin fractal, como

    limr0+

    ln(N(r))ln(r)

    donde despreciamos el ln(Cte) ya que no modifi ca dicho lmite, y N(r):=cantidad mnima de cubitos de lado r necesarios para cubrir el con-junto.

    En la actualidad hay muchas defi niciones alternativas de dimensin fractal, que si bien no coinciden siempre, s lo hacen en muchos casos con la defi nicin dada anteriormente (como sucede en los ejemplos dados).

    Calculemos las dimensiones fractales de los ejemplos dados anteriormente:

    TRINGULO DE SIERPINSKI

    Por la forma como construimos el Tringulo de Sierpinski, partiendo de rea 1, cada triangulito del paso n tiene lado

    2

    314

    .2n+1

    El Sierpinski est contenido en cada paso de su construccin, con lo cual no es difcil ver que se puede cubrir (mirando el paso n+1) con una cantidad mnima de 3n cuadrados de lado (2/(31/4)) . 2-n+1.

    La esponja de Menger es un conjunto frac-tal descrito por primera vez en 1926 por Karl Menger mientras exploraba el con-cepto de dimensin topolgica. Es una su-perfi cie compacta de volumen cero.Karl Menger (1902-1985) se ocup de ella en sus primeros trabajos, cuando se discu-ta una nueva nocin de dimensin.

    As resulta ser que la dimensin del Sierpinski es

    =D := limn

    ln(3n)

    ln( 23

    14.2n+1)

    == limn

    n ln(3)ln 2

    314

    + (n + 1) ln(2)

    =ln(3)

    ln(2)

    CURVA DE VON KOCH

    Dado un n natural, podemos cubrir la Curva de Koch con una cantidad mnima de 4n cuadraditos de lado (1/3)n. As, tenemos que su dimensin fractal es:

    D := limn

    ln(4n)

    ln((13)n)

    = limn

    n ln(4)n ln(3) =

    =ln(4)

    ln(3)

    La dimensin fractal, nos da una idea de cuan complejo es el conjunto, y cuanto rellena el espacio.

    En los ejemplos anteriores vemos que el Tringulo de Sierpinski rellena ms el plano que la Curva de Koch (ya que ln(3)/ln(2) es mayor que ln(4)/ln(3)), aunque vale aclarar que ambos tienen rea nula.

    Otro ejemplo:

    La Esponja de Menger tiene dimensin fractal ln(20)/ln(3) ~ 2,76683

    Mientras que el Tetraedro de Sierpinski (se sugiere verlo en Google) tiene una dimensin fractal ln(5)/ln(2) ~2,3219

    Y grfi camente se puede ver que el Tetraedro de Sierpinski est ms ahuecado, mientras que la esponja de Menger rellena ms el espacio.

    Tambin hay otra construccin similar al Tetraedro de Sierpinski, pero con base triangular, en cuyo caso tiene dimensin fractal 2. As notamos que un pequeo cambio en la construccin de dicho fractal, hizo una diferencia sus-tancial en la dimensin.

    Muchos artistas plsticos incorporaron en sus obras ideas inspiradas en con-ceptos fractales. Tal es el caso de Tom Beddard en su Butterfl y dance (Una muestra del autor se puede consultar en http://www.fastcodesign.com/1663070/tom-beddard-grows-fractals-into-works-of-art)

    El mayor descubrimiento geomtrico del siglo XX son los fractales. Estos objetos proponen nuevos problemas a los matemticos y prometen ser muy tiles por sus aplicaciones. Luis Santal

    Ejercicio para el lector interesado: Calcule la dimensin frac-tal del conjunto que se construye a partir de un segmento de medida uno, extrayendo de cada intervalo del paso anterior un intervalo centrado de razn 1-r con respecto al del paso anterior (0

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    19 Q.e.d.

    Si bien se desconoce el origen del problema, no son pocos los que ubican en la matemtica babilnica al problema de sumar los primeros cuadrados.

    La situacin aparece si queremos formar, por ejemplo, una pirmide de base cuadrada con una cierta cantidad de naranjas. Es decir: formamos la base con un cuadrado de, por ejemplo, cien naranjas (diez fi las de diez naranjas) en el piso de arriba, debidamente intercaladas, podemos montar una estructura estable de 9x9 naranjas y asi seguimos subiendo. Si las naranjas nos alcanza-ron, la anteltima fi la tedra cuatro naranjas, (2x2) y en el extremo una sola.

    Puede ser que la cantidad hubiese sido sufi ciente y la pirmide habra llegado a su fi n sin problemas o que en medio de la construccin hayamos advertido que habamos exagerado con las dimensiones de la base debiendo empezar todo de nuevo.

    Por esa razn, si disponemos de una expresin que nos diga a priori cuantas naranjas nos demanda una pirmide de base n2 podemos precisar las mximas dimensiones de la pirmide.

    Mario A. BungeCBC - UBASuma de

    cuadradosEn Q.e.d tenemos debilidad por los nmeros. Los sumamos, multiplicamos les ponemos distintos nombres y nos ponemos muy contentos cuando encontramos expresiones que nos dicen cunto valen sus sumas, de las fi nitas y de las interminables

    (*) En Q.e.d. Nro 1 abordamos ciertas sumas interminables (pg 24), en Q.e.d. Nro 2 una demostracin vi-sual de las sumas de los primeros impares (retiro contratapa) y en Q.e.d. Nro 4 con los nmeros poligonales

    LA FRMULA PARA LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS PRIMEROS NMEROS NATURALES OBTENIDA VISUALMENTE

    Probar por induccin completa la validez de

    no parece ayudarnos a comprender cmo llegar a conjeturar esta relacin.

    Intentamos ac una aproximacin geomtrica.

    Obteniendo el cubo de lado x+h a partir del cubo de lado xDe un cubo de lado x pasaremos a un cubo de lado x+h ,conforme al procedi-miento que sugieren las fi guras, y que detallamos ms abajo.

    Tomamos tres rebanadas de seccin cuadrada x x x y espesor h pegndolas sobre el cubo tal como se ve en la fi gura. Hecho esto, quedan a la vista tres dientes. Rellenamos los dientes con tres lingotes de largo x y sec cin h x h.En el encuentro de los tres lingotes queda todava un vaco, que debemos rellenar con un pequeo cubo de lado h. De esta manera arribamos al nuevo cubo, ahora de lado x + h.As, el cubo de lado x + h se obtiene del cubo de lado x adosndole la cubierta consistente en esas tres rebanadas, ms los tres lingotes, ms el cubito.

    EL VOLUMEN DEL NUEVO CUBO

    Cada una de las tres rebanadas tiene volumen x2 h, mientras cada uno de los tres lingotes es de volumen x h2 y fi nalmente tenemos el cubito, con volumen h3.Vemos as que el volumen del nuevo cubo se puede expresar haciendo interve-nir la suma de los volmenes de los constituyentes de la cubierta:

    Hemos obtenido de esta forma una representacin geomtrica del desarrollo del cubo del binomio, para el caso en que ambos parmetros son positivos.1

    En el particular caso en que el lado es un valor entero, digamos k, y el mdulo de avance es h=1, se tiene

    Desde ac en adelante, nos concentraremos en los cubos de lados enteros.

    AVANZANDO POR CAPAS

    Antes de continuar, miremos bien las muecas rusas:2

    1 Aunque estos diagramas son tan viejos como el lgebra, es sorprendente lo muy escasos que son los profesores que se molestan en mostrrselos a sus alumnos. Martin Gardner en Rosquillas anudadas y otras amenidades matemticas. Editorial Labor 1987.

    2 Busque matrioshka con el Google, y dentro del Google vaya a la opcin imgenes.

    ecas rusas:2

    Tablilla babilnica conocida como Plimton 322. Los arquelogos encontraron en las tablillas problemas relacionados con nmeros cuadrados. La pieza, que actualmente se encuentra en el museo de la Univer-sidad de Columbia (EEUU), data del siglo XVII A.C.

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    21 Q.e.d.

    Como se sabe, la ms pequea se puede guardar en la que le sigue en tamao, y as sucesivamente, siendo as posible que la mayor guarde en su seno a todas las dems.

    Una vez miradas las muecas, estamos en condiciones de continuar.

    Llamaremos Qk al cubo de lado k (ms brevemente, el k-cubo), y Ck a la cu-bierta de espesor unitario formada por las ya mencionadas rebanadas, lingotes y el cubito unitario. Con esta notacin

    Adems, el volumen de la capa k-sima es

    Como hemos visto, cada cubo con k>1 se descompone en el cubo anterior ms su cubierta asociada y as tenemos:

    Pero, como , podemos poner

    con lo que el 3-cubo queda realizado como el 1-cubo ms las dos primeras capas.

    Razonando de igual forma,

    y as sucesivamente. De esta forma llegamos a: El cubo inicial, junto con sus n capas, producen el cubo n+1 - simo

    de donde, fi nalmente:

    El volumen del ltimo cubo se obtiene sumando, al volumen del cubo ini-cial, el volumen de sus capas3

    3 Esto le recuerda a las muecas rusas?

    Ahora observemos que siendo

    al dar a k sucesivamente los valores 1, 2, ..,n, podemos obtener el volumen total de las capas:

    Llegado este momento, y pensando en los lectores con poca experiencia con sumas como estas, reacomodaremos la misma suma, mostrndola en columnas.

    Sumando la columna izquierda tenemos el triple de 12, el triple de 22, el triple de 32, hasta el triple de n2, lo que podemos poner tambin como 3T, donde abreviamos

    La columna central nos da el triple de 1, el triple de 2, etc., hasta el triple de , lo que sumado nos da 3S, donde hemos puesto

    Por ltimo, la columna derecha est formada por unos, y como hay n suman-dos, la suma nos da exactamente n.

    YA FALTA POCO

    Volviendo a (*), y habida cuenta que , (*)

    se transforma en

    o bien

    En 1611, le plantearon a Johannes Ke-pler (1571-1630) dos problemas de in-ters blico.Sabiendo que las balas de can se apilan formando pirmides de base cuadrada, estimar cuantas balas tiene el enemigo conociendo la cantidad de pirmides y las alturas. El lector sagaz sabr encontrar la respuesta despus de leer esta nota.El otro problema fue, y es, cul es la forma de apilar balas que ocupen el me-nor espacio posible?. Kepler conjetur que era la forma piramidal y durante siglos no pudo demostrarse hasta que en 1998 Thomas Hale (que aparece en la foto sentado sobre las balas) lo de-mostr en un 99%, segn los rbitros del artculo.

    Autoreferencial:

    Otros artculos de Q.e.d. donde se abordan cues-tiones conectadas con los temas de este artculo:

    Suma de impares, demostraciones visuales Q.e.d. nro 2.

    Nmeros de Schrder, C.B., Q.e.d. nro. 3

    Un breve paseo por los nmeros poligonales, Gus-tavo Pieiro, Q.e.d. nro 4

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    23 Q.e.d.

    Recurdese tambin la conocida frmula para la suma de los primeros n naturales:

    Ahora en (**) todo es conocido, salvo T, que es precisamente lo que nos proponemos conocer.

    Resistimos a la tentacin de desarrollar el cubo de n+1, pero aprovechamos que n+1 est presente en todos los sumandos,

    Este es el momento oportuno para desarrollar parntesis y reagrupar:

    de donde

    y recordando quin es T, se tiene

    Que es lo que queramos obtener.

    Le habamos dado licencia por unos nmeros, pero no pudimos evitar convo-carlo nuevamente. Arqumedes fue el primero que se ocup del problema y vaya que se ocup bien!

    El problema consiste en calcular el rea del segmento parablico o tringulo parablico unitario.

    Arqumedes us el mtodo de exhaucin (ver Q.e.d. Nro 2) que en este caso consiste en dividir la fi gura en bandas rectangulares y obtener dos aproxima-ciones del rea buscada: una por exceso y la otra por defecto.

    Entonces el rea A del segmento parablico unitario queda comprendida entre estas dos aproximaciones, suma de las reas de todos los rectngulos.

    Aparecen las sumas de los primero cuadrados. Usando las frmulas del artcu-lo, resulta

    El nico nmero comprendido entre estas dos expresiones, que hacen cierta

    la desigualdad para todo nmero k es1/3. Por esta razn, Arqumedes dedujo que el rea del segmento parablico unitario es A=1/3.Siguiendo la misma idea y la suma de los primeros nmeros a potencia n, po-demos calcular el rea del segmento unitario de la curva y=xn que tiene la misma forma que el segmento parablico pero ms panzn conforme n es ms grande.

    Repitiendo el mtodo de Arqumedes obtenemos, para k bandas rectangulares de ancho constante 1/k que el valor A del rea queda comprendido entre las aproximaciones,

    De modo que cuando cuando k tiende a ms infi nito (aumentamos la cantidad de bandas rectangulares, cada vez ms fi nitas) se obtiene

    El Clculo Integral, dos mil aos despus de Arqumedes , si bien mantuvo alguno de los caracteres originales del mtodo de exhaucin, se convirti en una potente herramienta que revolucion toda la ciencia . Despus de Newton y Leibniz, el segmento unitario de la curva y=x

    n se escribe

    J.C.P

    La suma de los nmeros cuadrados y el clculo de reas

    Aproximacin del rea hecha por defecto. En este caso tenemos rectngulos de altura:

    Aproximacin del rea hecha por exceso. En este caso tenemos rectngulos de altura:

    Poco despus de Platn, en el siglo II a.J.C, se escribe en Alejandra el libro cumbre de la matemtica griega, Los Elementos de Euclides, libro que signifi c el molde segn el cual se edifi c toda la matemtica posterior. Durante siglos fue el libro de texto obligado de todas las escuelas y universidades donde la matemtica era considerada. Con Euclides llega la geome-tra a un mximo; prcticamente toda la matemtica es geometra.Observemos, por ejemplo, cmo las relaciones algebraicas se enuncian y estudian mediante fi guras geomtricas. As, el teorema 7 del Libro II que Euclides enuncia dice: Si se corta al arbitrio una lnea recta, el cuadrado de la lnea entera ms el cuadrado de una de las partes, tomados de vez, son igual al duplo del rectngulo comprendido por la lnea entera y la parte dicha, ms el cuadrado de la otra parte es, simplemente, equivalente a la relacin:

    (a + b)2 + a2= 2 (a + b) a+ b2 En la poca griega, por tanto, la geometra ayuda al lgebra, todava sin mtodos propios Luis Santal

    Ms de lo mismoEn la contratapa de este nmero de Q.e.d. se puede ver que la suma de cubos es un cuadrado. Hilando ms fi no, y recordando a los nmeros poligonales tratados en la Q.e.d. nro. 4, podemos decir con blandas palabras que, la suma de cubos, es el cua-drado de un triangular.

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    25 Q.e.d.

    El ltimo gemetra clsicoLa clase estaba en sus manos, literalmente en sus manos. El pizarrn a su espalda, prolijamente borrado, contena unas pocas expresiones escritas en el tpico lenguaje matemtico, pero toda la atencin del curso estaba puesta en las curvas y superfi cies que las manos del maestro dej suspendidas en el aire y en las palabras, pronunciadas con musical acento cataln, que vuelven imborrables las clases de geometra de Luis Santal.

    Carlos BorchesCBC - UBA

    Matemtico de fama mundial, Luis Santal lleg a la Argentina en 1939 y supo ga-narse el respeto y el cario de la comunidad cientfi ca y docente del pas. Nac en Gerona, Catalua, en 1911 y provengo de una familia de educadores: mi padre, mis hermanas, mis tas, todos eran maestros y yo tambin hice el magisterio -recordaba Santal-, pero quera estudiar ingeniera y por aquella poca la nica carrera que se poda hacer en Gerona era el magisterio, de manera que me fui para Madrid

    UN CAMBIO DE RUMBO

    Las materias en comn que por entonces tenan las carreras de ingeniera y de ciencias exactas le permitieron al joven gerundense descubrir que haba un universo descono-cido en la geometra y en Madrid se produjo el primer cambio de rumbo en su vida.

    Santal siempre fue una persona mas bien tmida, y cuando recordaba aquellos primeros aos deca que su objetivo era simplemente conseguir un puesto de do-cente en una escuela, hacer el doctorado en Madrid y ensear en alguna univer-sidad espaola, rememoraba su colega y amigo, el matemtico Roque Scarfi ello. El Instituto Lope de Vega en Madrid recibi al fl amante Licenciado Santal que comenz a dar clases al tiempo que obtena su doctorado, en 1936.

    Pero la Guerra Civil y la amistad con Julio Rey Pastor, uno de los ms importantes matemticos espaoles, alejaran a Santal de sus modestos sueos.

    CON UNA AYUDITA DE LOS AMIGOS

    Rey Pastor era, en muchos sentidos, la imagen opuesta de Santal: extrovertido, polmico y viajante empedernido. Rey Pastor era un matemtico itinerante que todos los aos pasaba por los principales centros de produccin matemtica de Alemania e Italia para llevar las novedades cientfi cas a Espaa y a un pas que haba adoptado como segunda patria: Argentina.

    En conferencias de actualizacin matemtica brindadas en la Universidad de Ma-drid, Rey Pastor conoci a Santal y no tard en advertir su talento. Santal: fi rme esta solicitud y vyase para Alemania. Si Ud. se queda aqu va a ser profesor de enseanza media toda la vida, sentenci Rey Pastor, y Santal comprendi que la oferta no tena nada de improvisado.

    Rey Pastor ya haba gestionado por su cuenta una beca para que Santal se tras-ladase a Alemania donde trabajara bajo la direccin de Wilhelm Blaschke, quien estaba trazando nuevos surcos en la milenaria geometra.

    El buen ojo de Rey Pastor le permiti a Santal encontrar un terreno frtil en la Universidad de Hamburgo donde comenz a ganarse un lugar en la historia de las ciencias como uno de los fundadores de la llamada geometra integral. Varios aos despus, cuando Santal public Integral Geometry and Geometric probability, un texto que an hoy en da aparece frecuentemente entre las referencias bibliogr-fi cas de la especialidad, Mark Kag, otro de los grandes gemetras del siglo XX dir sobre el matemtico gerundense: Por muchos aos, lder indiscutido en el campo de la geometra integral.

    Pero por aquellos aos Europa marchaba inevitablemente hacia un nuevo con-fl icto armado, que tena en Espaa su ensayo preliminar y del cual participa Santal cuando abandona Alemania y se enlista en las fuerzas republicanas. Cambi radicalmente mi vida -recordaba Santal muchos aos despus-. Es-tuve dos o tres aos en la guerra civil, tuve que actuar all bajo el arma de aviacin. Sal bien, pero con todos los traumas con que uno queda des-pus de una situacin as, sobre todo cuando es derrotado... La rendicin de las fuerzas republicanas no terminara con la pesadilla del matemtico, que pudo cruzar la frontera dando con los huesos en un campo de concentracin francs. Elie Cartan, un destacadsimo miembro de la comunidad matemtica francesa, que unos aos despus pasara por los campos de concentracin del nazismo, tramit la liberacin de Santal y all apareci nuevamente don Julio Rey Pastor, quien ya tena todo arreglado para instalar al recin liberado en la Argentina.

    MUY LEJOS DE CASA

    Cuando el barco que lo sacaba de Europa pas por las costas portuguesas se enter que la guerra se haba desatado en todo el continente, pero Santal trataba de imaginar cual sera su futuro. Rey Pastor lo haba puesto en con-tacto con la matemtica de primera lnea y ahora lo esperaba con una plaza universitaria en un extremo del continente americano, lejos de la guerra, en Argentina, ms exactamente en la Ciudad de Rosario. Puedo decir que soy ro-sarino, si bien estuve ms tiempo en Buenos Aires que en Rosario. Los primeros diez aos, los que impactan por las novedades y por todo lo que se extraa, los pas en Rosario, rememoraba Santal recordando la ciudad donde conoci a su esposa y donde nacieron sus tres hijas.

    De aquellos das quedaron imgenes frescas: Despus de las penurias de la guerra, donde el primer problema era conseguir comida, iba al mercado para ver las cosas baratas que se podan comer. Creo que en esa poca nadie se mora de hambre en las ciudades, recordaba.

    En Rosario, Santal materializ trascendentales ideas de la geometra integral en un instituto dirigido por otro exiliado, el italiano Beppo Levi.

    Unos aos despus la guerra termin y la fama del gemetra cataln, rosarino por adopcin, lleg hasta la nueva Meca del mundo cientfi co: el centro de Estudios Avanzados de Princeton, una nueva Alejandra creada para recibir a los cientfi cos europeos que haban escapado del nazismo. Luego de ganar el premio instituido por la Fundacin Guggenheim, Santal pas un perodo en Princeton, que por entonces albergaba a personajes de la talla del fsico Albert Einstein, el multifactico John Von Newman y el lgico Godel.

    Fue su consagracin internacional, pero si en su momento Alemania fue un lu-gar de trnsito, ahora lo seran los Estados Unidos. En esa poca a ninguno de nosotros se nos ocurra quedarnos en el exterior, sentamos que nuestro deber era volver, que aqu haba muchas cosas importantes para hacer, aclaraba Scarfi ello.

    MAESTRO DE MATEMTICA

    Lejos de encerrarse en el mundo de los especialistas, donde Santal ya gozaba de prestigio internacional, el gemetra nunca perdi su vocacin docente, su mirada humanista de la vida. Miles de profesores de enseanza media pudie-ron escucharlo y leerlo en jornadas, cursos y textos destinados a la enseanza de la matemtica, donde la disciplina milenaria no quedaba restringida a un conjunto de tcnicas.

    Para Santal, ms all del valor de las aplicaciones, haba en las ideas mate-mticas componentes estticos irresistibles: si en un principio fue el verbo y ste hizo la luz, lo primero que se ilumin fueron las ideas difanas e incon-stiles de la matemtica

    Siempre girando alrededor del arte de ensear, que no es otro que el de impartir conocimientos a los alumnos hasta lograr que los absorban y asimi-len como cosa propia olvidando cun-do las aprendieron y quines se las han enseado.Tal es la gloria del maestro: sembrar ideas para que las perpetan los alum-nos. As se pueden aplicar a ellos los versos que Manuel Machado escribi para los autores de coplas:

    Hasta que el pueblo las cantalas coplas, coplas no sony cuando las canta el puebloya nadie sabe el autor.

    Procura t que tus coplas..vayan al pueblo a parar,aunque dejen de ser tuyaspara ser de los dems.

    Que el fundir el coraznen el alma popularlo que se pierde en nombrese gana en eternidad

    (Luis Santal, al recibir el ttulo de Aca-dmico Emrito de la Academia Nacio-nal de Educacin, Buenos Aires, 1997)

  • 26Q.e.d.

    27 Q.e.d.

    B

    Pro

    blem

    as

    Mat

    emt

    icos Dido, una reina

    que saba geometraCuenta la leyenda que Dido, primera reina de Cartago, lleg escapando de Tiro a las costas del norte de frica, en una zona habitada por una tribu de libios liderados por Jarbas. Hospitalario, el rey Jarbas ofreci a Dido una porcin de tierra donde fundar su reino.

    Virgilio seala que Jarbas le dio a Dido una piel de buey permitindole tomar tanta tierra como la que pudiera abarcar con la piel.

    Ni lenta ni perezosa, Dido corto la piel en fi nas tiras que uni en una larga cuerda encerrando una zona de importantes proporciones donde construy una fortaleza que ms tarde se convirti en la ciudad de Cartago, o Quart-Hadash, que en fenicio signifi ca Ciudad Nueva.

    Esta historia promovi un clsico problema geomtrico: dado una cuerda de longitud fi ja Cul es la fi gura de superfi cie mxima que tiene por permetro la longitud de la cuerda? En otros trminos: de todas las fi guras de igual perme-tro (fi guras isoperimtricas) Cul maximiza el rea?

    Dido saba la respuesta: el crculo y abarc una extensa proporcin en for-ma de semicrculo porque adems de geometra, Dido conoca la importancia geopoltica de tener costas sobre el Mediterrneo.

    CON UN PERMETRO DADO, AL CRCULO NO HAY QUIN LE GANE.

    Si bien la creencia de que la superfi cie se maximiza en el crculo era parte de los saberes del mundo helnico, hubo que esperar hasta el siglo XIX para que el matemtico suizo Jakob Steiner obtuviera una demostracin satisfactoria de este hecho.

    Pero veamos una demostracin blanda de esta propiedad del crculo, de-mostracin que aparece en el libro de Santal Geometra en el Profesorado, publicado por la Red Olmpica.

    Primera etapa:

    La fi gura en cuestin debe ser convexa, es decir, cualquier cuerda (segmento que une dos puntos de la fi gura) debe quedar dentro de la fi gura. (ver fi g. 1)

    Segunda etapa:

    Si una cuerda divide a la fi gura en dos de igual permetro, tambin las dos partes tienen que tener igual superfi cie. (ver fi g. 2)

    Un descanso antes de la tercera etapa: De todos los tringulos con dos lados conocidos el de mayor rea es el rectngulo.

    Si no fuera convexo, podemos encontrar una de igual permetro y mayor superfi cie.

    Si la regin A tuviera mayor superfi cie que la B, al doblar la regin A sobre la B, se ob-tiene una fi gura de mayor superfi cie e igual permetro que la original.

    Conocido el lado grueso y el lado fi no, el tringulo rectngulo tiene mayor rea porque tiene igual base y mayor altura.

    Esta fi gura tiene igual permetro e igual superfi cie que la originalAdems los tringulos blancos no son rectngulos

    A

    A

    Una propiedad del crculo que debemos recordar es: un tringulo inscripto en una circunferencia que tiene al dimetro por uno de sus lados es un tringulo recto. Recprocamente, si todos los ngulos inscriptos en una cuerda que di-vide a la fi gura en dos de igual permetro, son rectos, la fi gura es un crculo.

    A

    B

    C

    Tercera etapa:

    Entre todas las fi guras de permetro p el crculo es la que tiene mayor superfi cie. Admitamos la existencia de una fi gura convexa, no circular, de permetro p que tuviera la superfi cie ms grande posible como la azul de la fi gura 3.

    Vamos a construir una fi gura de igual permetro y de mayor superfi cie.

    Para ello trazamos una cuerda MN que divide a la fi gura en dos de igual per-metro (y tambin de igual superfi cie por la segunda etapa)

    Como no es un crculo, hay un punto K que no forma un ngulo recto con la cuerda MN.Como en la segunda etapa, doblemos la fi gura por MN y consideremos la fi gu-ra que resulta. sta tiene igual permetro e igual superfi cie que la original y es simtrica con respecto a MN. El punto K es el simtrico de K con respecto a la cuerda MN. La reproducimos en la fi gura 4.

    Cual si fuera un rompecabezas, tomamos las cuatro piezas pintadas y con una celeste y una gris armamos un ngulo recto y hacemos lo propio en forma si-mtrica con las otras dos.

    La fi gura resultante tiene el mismo permetro que la original y una superfi cie mayor porque los tringulos rectngulos tienen mayor superfi cie que los que no lo eran.

    Esta fi gura tiene igual permetro y mayor superfi cie que la original. Esto genera una contradiccin que pro-viene de suponer que no es un crculo.

    Q.e.d.

    Fig. 2

    Fig. 1

    ABC = 90

    Fig. 4

    MKN no es recto

    MKN no es recto

    Fig. 3K

    K

    N

    M

    K

    K

    N

    M

    La demostracin presupone la exis-tencia de una fi gura que maximiza el rea. El lector interesado en la existen-cia debe consultar el libro Qu es la matemtica? de Courant y Robbins

  • 28Q.e.d.

    29 Q.e.d.

    La paradoja de Russelly la teora axiomtica de conjuntosCon frecuencia en la historia de la matemtica se da el caso en que el descubrimiento de una nueva paradoja y los intentos por solucionarla agregan interesantes desarrollos, ampliando las fronteras del conocimiento. Desde el descubrimiento de los nmeros irracio-nales, llevado a cabo por los antiguos griegos, hasta las modernas teoras sobre el infi nito iniciadas por Georg Cantor a fi nales del siglo XIX, los matemticos han debido adaptarse a situaciones no deseadas, pero que una vez aceptadas, supusieron una profundizacin del entendimiento y una mejor comprensin del universo matemtico. Entre las paradojas que asestaron los golpes ms fuertes al corazn de la teora, hay una que se destaca por su tar-da aparicin, ya que pese a estar ligada a conceptos elementales que subyacen en todos los razonamientos, y aunque haban aparecido ya versiones ms lingsticas de ella, no fue ex-plcitamente formalizada sino hasta 1901, gracias al matemtico y fi lsofo Bertrand Russell.

    La paradoja de Russell, como se la conoce, es quizs el ejemplo paradigmtico de los tremen-dos problemas que ocasiona la autorreferencia en el razonamiento lgico. En su versin ms pura, la paradoja surge de las nociones de conjunto y pertenencia cuando se intenta responder a la siguiente pregunta, en apariencia inocente: el conjunto de todos aquellos conjuntos que no se contienen a s mismos, se contiene o no a s mismo? Rpidamente se observa que cualquiera de las dos respuestas conduce a una contradiccin, inherente a la defi nicin misma del supues-to conjunto: si tal conjunto se contuviese a s mismo, no podra, por defi nicin, ser elemento de s mismo, lo que es absurdo. Pero si no se contuviese a s mismo, debera encontrarse entre los elementos de s mismo, segn su defi nicin, lo que tambin es contradictorio. Esta situacin sin salida haba venido a demostrar que an despus de siglos de desarrollos matemticos, las ideas ms bsicas no eran del todo comprendidas, lo que colm de inquietudes a la comunidad matemtica internacional. Era inadmisible que la piedra fundamental donde se apoyaba toda la estructura de los razonamientos matemticos acusara de pronto esta insolente paradoja, pues estaban en juego todos los logros obtenidos en esta disciplina desde el momento en que sus cimientos revelaron de pronto una fi sura tan descomunal. A esa altura, encontrarse con tan irreverente antinomia era realmente humillante.

    Pero la reaccin de los matemticos y fi lsofos del mundo no se hizo esperar, y desde que la paradoja tom estado pblico, dio lugar a mltiples intentos por resolverla, generando una de las ramas ms fructferas de la matemtica del siglo XX, la teora axiomtica de conjuntos. El propio Russell haba propuesto una solucin basada en una compleja teora de tipos, en la que la autorreferencia era eliminada ad hoc estableciendo que cada conjunto slo pueda ser elemento de estructuras de tipo superior (que a su vez sean elementos de otras estructuras ms complejas), pero que de ningn modo deban mezclarse los niveles de esa jerarqua. Tal solucin era, sin embargo, lo sufi cientemente oscura como para que Russell expresara luego sus dudas al respecto. Ms exitosa, en cambio, result la segunda de las soluciones propuestas, la teora axiomtica de Zermelo.

    Hasta el momento se asuma implcitamente que los conjuntos podan ser defi nidos en forma comprensiva, es decir, en lugar de listar todos sus elementos (cosa que sera virtual-mente imposible en el caso de conjuntos infi nitos), se lo caracterizaba mediante alguna propiedad comn que tuvieran todos ellos, y era esta propiedad la que serva para defi nir-lo. Zermelo modifi c un poco la fl exibilidad de esta prctica usual, estableciendo que tal mtodo slo serva para defi nir conjuntos si la propiedad usada se aplicaba a los elementos de un conjunto previamente defi nido. As, los conjuntos que no se contienen a s mismos no poda usarse para defi nir el conjunto de Russell, puesto que en principio tal propiedad se aplica a todo el universo de conjuntos posibles en lugar de restringirse a los elementos de un conjunto ya existente. Esta simple restriccin en el tipo de propiedades usadas como defi nitorias fue sufi ciente para descartar la paradoja de Russell, y tambin, de paso, otras paradojas que vena acumulando la teora de conjuntos. El enfoque axiomtico permiti salvar gran parte del edifi cio matemtico al proveerlo de nuevos fundamentos. La cuestin

    Por Christian EspndolaDto. Matemtica, FCEyN - UBA

    Lgi

    ca

    Mat

    emt

    ica

    que quedaba por determinar era la solidez de tales fundamentos y su efectividad para inocular la teora de eventuales paradojas que pudieran an acechar ocultas.

    Desde los inquietantes descubrimientos de Gdel en 1931 se saba que la teora de Zermelo no poda demostrar su propia consistencia. Por lo tanto, la creencia en que tal teora resuelve de una vez y para siempre todos los problemas era ni ms ni menos que una cuestin de fe. Ante este panorama, convena tener soluciones alternativas a la paradoja de Russell que fueran ms satisfactorias desde el punto de vista fi losfi co. Una refrescante propuesta fue la teora de Willard van Orman Quine conocida como New Foundations. En ella Quine se propone retomar la idea original de Russell de la teora de tipos para adaptarla a un enfoque ms sintctico. Zermelo propona admitir como defi nitorias las propiedades que describan elementos de conjuntos previamente establecidos; Quine, en cambio, propone admitir como vlidas aquellas propiedades que se encuentren estratifi cadas respecto a los tipos de estructuras de los que hablaba Russell. Por ejemplo, hablar de los conjuntos que no pertenecen a s mismos (o incluso de los conjun-tos que pertenecen a s mismos) no sera posible en la teora de Quine porque tal propiedad no puede expresarse sintcticamente respetando los estratos de los conjuntos en cuestin; la teora prohibe expresamente usar toda propiedad autorreferencial que involucre la pertenencia, y slo permite utilizar tal nocin para vincular entidades correspondientes a distintos estratos.

    Pero por ms seductora que resulte la teora de Quine, muchos se rehusan a utilizarla por contradecir uno de los principios ms tiles y fecundos para el desarrollo de la matemtica: el axioma de eleccin. Esta situacin condujo a considerar otras alternativas para solucionar la paradoja de Russell que no dejen de ser compatibles con el mencionado axioma. Una teora paralela que satisface este requisito es la teora de von Newmann-Bernays-Gdel (NBG), que resuelve la complicacin russelliana desarro-llando un nuevo tipo de entidad: la clase. Adems de los conjuntos, NBG admite aquellas colecciones o conglomerados de elementos que son demasiado extensos para ser considerados conjuntos, y les da el nombre de clases propias; se marca as la diferencia ontolgica con los conjuntos, que son en esta teora clases pequeas. En este contexto, la solucin a la paradoja pasa por la convencin de que slo los conjuntos pueden pertenecer a estructuras ms grandes, pero que las clases propias no pueden ser elementos de ninguna otra estructura. El conjunto de los conjuntos que no son elementos de s mismos, no sera, en realidad, un conjunto, sino una clase propia, y la pregunta de Russell deja de tener sentido, evadiendo de este modo la temida contradiccin.

    Otra curiosa alternativa que imita la dicotoma ontolgica de NBG entre conjuntos y clases propias es la teora de doble extensin desarrollada recientemente por Andrzej Kisielewicz. En esta teora se permite una dicotoma en el signifi cado de pertenencia, admitiendo dos nociones distintas de pertenecer a un conjunto, y adecuando las propiedades defi nitorias de conjuntos a ambos tipos de pertenencias. Desafortunadamente, tal teora se aleja demasiado de la idea platnica del universo conjuntista, y se hace demasiado difcil razonar con ella. Una solucin ms pintoresca es la introdu-cida por Isaac Malitz, la teora positiva de conjuntos. En ella las propiedades defi nitorias permitidas no deben mencionar ningn tipo de negacin, sino slo enunciados positivos. As, no se puede hablar de conjuntos que no pertenecen a s mismos, mientras que s est permitido mencionar conjun-tos que pertenecen a s mismos. Esta ltima propiedad no lleva a ninguna contradiccin conocida, y por lo tanto la paradoja de Russell se evita una vez ms. Variaciones de estas alternativas hay en abundancia, contndose generalizaciones de todas las teoras anteriores, adaptadas a gusto de cada uno. Hay incluso una teora de conjuntos de bolsillo, en la que todos los conjuntos infi nitos son del mismo tamao, lo que recorta ampliamente el universo conjuntista de Zermelo, en el que jerarquas de infi nitos cada vez ms grandes se extendan sin fi nal.

    Todas estas teoras axiomticas tienen sus ventajas y desventajas y no hay ninguna que sea cla-ramente mejor que otra. Sin embargo, la teora de Zermelo ha cobrado notoriedad despus de la variacin propuesta por Fraenkel y luego de que se agregara el axioma de eleccin como apndi-ce, constituyendo la teora de Zermelo-Fraenkel con el axioma de eleccin (ZFC). Su uso es tan frecuente que se ha tornado la teora preferida de los matemticos, quienes, muchas veces sin saberlo, hacen uso de sus axiomas y reglas. El gran legado de la paradoja de Russell es esta bella teora, que no habra sido considerada de no haberse querido resolver aquella contradiccin.

    Con cada cada, las fronteras del saber se expanden. Con cada nueva paradoja aprendemos algo ms. Por ahora, el equilibrio del edifi cio matemtico est fuera de peligro, al menos hasta que otra paradoja lo sacuda nuevamente y obligue a poner en marcha una vez ms la imaginacin de los matemticos. Ser su tarea, llegado el caso, desarrollar las correspondientes propuestas para evitar caer en las trampas de este sinuoso camino hacia la bsqueda de la verdad.

    La paradoja del barbe-ro, otra versin de la paradoja de Russell

    Bertrand Russell

  • 30Q.e.d.

    31 Q.e.d.

    Se dice a veces que la fsica, como ciencia natural, necesita de un universo para su existencia; en cambio para la matemtica, una ciencia formal, alcanza el pensamiento.Sin embargo, he aqu un ejemplo de una ley fsica, la de la palanca, deducida de principios puramente geomtricos, a los que se agregan, quizs, el princi-pio de razn sufi ciente y el de simetra.

    Electricidad y ElectrnicaLic. Agustn Rela Instituto Nacional de Educacin Tcni-ca (INET) Buenos Aires 2010

    Cientfi cos en el ring. Luchas, pleitos y peleas en la cienciaJuan Nepote Siglo XXI. Buenos Aires 2011

    Cur

    iosi

    dade

    sF

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    Libr

    os y

    re

    vist

    asFsica y geometra

    Tradicionalmente la frmula Fa.xa = Fb.xb, ms usual hoy que la de las pro-porciones, se ensea como una consecuencia de la observacin experimental, a pesar de que admite una demostracin terica.Podramos sospechar que lo mismo ocurre con las dems leyes fsicas? Ser la fsica una aventura del pensamiento?

    Una barra uniforme cuelga de hilos elsticos iguales. El corte mantiene el equilibrio de las partes. Para sostenerlas, y por simetra, bastan los hilos centrales.

    Las longitudes de los bloques son 2a y 2b. Los brazos de la palanca, supuesta de peso despreciable, resultan de lon-gitud inversamente proporcional a los pesos.

    La idea original es de Arqumedes. Gali-leo Galilei la incluy en 1638 en su obra Discursos y demostraciones matemticas acerca de dos nuevas ciencias, de la que tomamos la fi gura.

    Peso a

    Peso b

    Longitud b

    Longitud a

    bbaa xFxF =

    a+b

    a a b b

    2a+2b

    a+b

    Electricidad y electrnicaPareciera que estuviramos soando: el Gobierno Argentino public 100.000 ejemplares de este libro para ser distribuido por todo el pas en forma gratuita y para que llegue a las manos de todos los estudiantes y sus profesores que lo deseen.Y lo que les llega a las manos es un libro excelente y original. Nada de esos tex-tos aburridos que desanimaban casi inmediatamente, y hasta podan disuadir a los chicos ms curiosos de elegir la ciencia.Electricidad y electrnica es todo lo contrario: es capaz de interesar hasta al ms aptico.Los buenos profesores y Rela lo es sin ninguna duda son capaces de dar una mnima base terica, un mnimo y muy democrtico formuleo y pegar un salto al infi nito lleno de maravillas, secretos, chismes, aplicaciones, curiosida-des. Cualquiera sabe que entre esas primeros palotes simblicos de la fsica y el desarrollo del funcionamiento del transformador hay decenas de ecuaciones con las que fatigar a los estudiantes para qu, si la gran mayora no las ne-cesita y aquellos que alguna vez las necesiten sabrn dnde encontrarlas. Rela las obvia, le basta un simple prrafo, un dibujo, un grfi co, para llegar cmo-damente a explicar lo ltimo, lo importante, lo sorprendente, la tecnologa de punta, y hasta la especulacin sobre el futuro.La solidez argumental del cuerpo del texto est garantizada. Y constituye un arquetpico ejemplo de que la prosa gil y placentera no est reida con el rigor cientfi co.En las columnas laterales no faltan los cotilleos histricos, curiosos, graciosos, y atractivos. Las aclaraciones auxiliares y una extensa gama de vietas y pa-rrafi tos que son imposibles de dejar de leer.En defi nitiva: no se quede sin el suyo.

    Ricardo Cabrera

    Para muchos, la ciencia es un espacio etreo donde transitan seres relajados, intelectualmente generosos, que practican da a da los ejercicios espirituales que los llevarn al paraso de la verdad. Nada que ver.La ciencia, como producto social, est atravesada de todas las pasiones humanas y el fsico mexicano Juan Nepote nos acerca algunos episodios de lujo.Newton vs. Leibniz luchan en la arena del clculo infi nitesimal, Edison vs Tesla se sacan chispas por la electricidad, Darwin vs. Wallace combaten por la teora de la evolucin de las especies, Lavoisier vs. Priestley sobre el descubrimiento del oxgeno, Pasteur vs. Pouchet por la generacin espontnea, Bohr-Heisen-berg vs. Einstein-Schrdinger cierran la contienda batallando por la mecnica cuntica. Es la velada histrica que los mantendr atrapados hasta la cuenta fi nal, porque en la ciencia, todo vale. C.B.

    Cientfi cos en el ring Luchas, pleitos y peleas en la ciencia

    Por Agustn RelaCBC - UBA

  • 32Q.e.d.

    33 Q.e.d.

    Intimidades de un cierre... Homenaje a un maestro o aunque no lo veamos, Arqumedes siempre est

    Di

    logo

    s de

    la

    red

    acci

    n

    - A: La humorada de Borges sobre el culto al sistema decimal me hizo acordar de una ocurrencia que me contaron hace un tiempo.

    - JC: Cul?- A: Hay 10 clases de personas: la que entienden el sistema binario y las que

    no lo entienden

    - C: Muy bueno!- I: No me dejen afuera. Me lo explican?- C: Es un chiste para exactos, aunque lo he visto reproducido en remeras:

    en el sistema de numeracin binario, que slo usa 1 y 0, el 10 repre-senta al nmero 2 del sistema decimal.

    - I: Claro! La frase cobra sentido. y pone del mismo lado a los que entienden el chiste con los que tienen presente el sistema binario. En eso radica su impacto. Es bueno!

    - JC: Lo cierto es que es el primer nmero de Q.e.d. en homenaje a una perso-nalidad. No s si se va a repetir esta circunstancia, pero est bueno haber empezado con Luis Santal.

    - A: Me parece recordar publicada en Mundo Atmico la elegante demostra-cin de la propiedad de que a permetro dado, al crculo no hay quin le gane en superfi cie. Recuerdo cmo me atrajo ese argumento en 1952, cuando yo tena diez aos y el entonces presidente Juan Pern, que apa-reca en la revista, llevaba en el brazo una banda de luto, como se esti-laba en esa poca para los viudos.

    - C: Es bellsima, y tal como nos indicara Agustn, tambin se puede encontrar en los libros del ruso Icov Perelman.

    - A: Curiosamente, creo recordar que mi maestro Silvera me cont en 1954 una historia similar a la de Dido, atribuida a un conquistador espaol o portugus, quien habra estafado a los aborgenes americanos con el mis-mo truco. Me resulta difcil creer que alguien, respete semejante trampa en materia territorial.

    - C: La historia aparece en la Eneida y contempla una condicin de contorno que es la playa. Si la suponemos recta, la solucin es un semicrculo don-de la costa constituye el dimetro.

    - JC: Santal advierte que la demostracin visual presupone la existencia del mximo y por tal razn es incompleta.

    - I: Cmo no va existir tal mximo? No es una exageracin formalista, propia de matemticos?

    - JC: Santal, a diferencia de la corriente imperante en la segunda mitad del siglo XX, prescinda frecuentemente del formalismo. Sus clases eran muy claras y hacia las demostraciones moviendo las manos y escenifi cando las transformaciones geomtricas movindose en el frente del aula de aqu

    para all, como nos cuenta Carlos en su artculo. Terminada una de sus demostraciones nuestros cuadernos solan quedar en blanco, porque no haba muchas anotaciones en el pizarrn. En una ocasin un alumno le pidi si poda escribir una demostracin a lo que le contest: la de-mostracin es la que acabo de hacer. Escrbala usted! A pesar de esto, su temperamento apasionadamente moderado como deca Manuel Ba-lanzat, haca que rara vez se enredara en una discusin acalorada. Por otro lado su calidad humana, cientfi ca y docente hacan que fuera res-petado por todos.

    - I: Este nmero de Q.e.d. tiene muchas referencias a Santal, pero existe un Teorema de Santal como si existen en el caso de otros matemticos ilustres?

    - JC: Hay una desigualdad de Santal que es la versin en tringulos de la propiedad isopermetrica que estamos comentando. No estoy seguro que se conozca con su nombre pero el siguiente es un Teorema de Santal clsico de la Geometra Integral:

    la cantidad de fi guras que corta una lnea elegida al azar es, en promedio

    (cantidad de fi guras) x (permetro de fi guras)

    permetro del rectngulo que las contiene

    - A: A propsito de rigor. Me atrevo a suponer que la frmula no da la cantidad de fi guras cortadas por la recta, sino la cantidad de intersecciones de la recta con los permetros de las fi guras, ya que la recta puede entrar y salir varias veces de una misma fi gura cncava. La fi gura ilustrara un caso. Qu opinan?

    - JC: Tens razn. Est faltando la condicin de que las fi guras sean convexas. - A: Ni hablar si las fi guras en lugar de convexas fueran fractales, la frmula

    de Santal sera imposible. A la luz del artculo de este nmero podra llegar a cortarla infi nitas veces.

    - I: Se puede explicar, en palabras blandas, qu es la Geometra Integral?- A: Tal vez un ejemplo ayude. Hay muchos problemas de probabilidad geom-

    trica que son grmenes de esta rama de la matemtica que tan bien desarroll Santal.

    - C: Como el problema de la Aguja de Buffon.- JC: En un libro editado por Espasa Calpe en 1951 que mi colega Walter Feru-

    glio me acerc hace unos das se presentan varios de estos problemas.

    - I: Qu libro?- JC: No lo van a creer. Es un libro cuyos autores son J. Rey Pastor y un tal

    Santal Sors.

    - I: Firma incluyendo su segundo apellido como se estila en Espaa- JC: La coleccin se llamaba Nueva Ciencia Nueva Tcnica y en la colec-

    cin tiene obras de J. Coulomb, M. Born y A. Einstein junto a otras de A. Tarski, E. Schrdinger que ya son conocidos de Q.e.d y muchos otros, abarcando diversas disciplinas cientfi cas. Hermosa coleccin. El libro se llama: Geometra Integral

    - C: Se puede contar alguno de esos problemas o los lectores huirn despavo-ridos, como los personajes del libro de Agustn que comentamos en este nmero?

    - JC: Me parece que se puede. Ensayo uno en versin libre y exclusiva para Q.e.d- I: Que venga.- JC: Se tiene una varilla recta de 10 cm de largo. Se realizan dos cortes arbi-

    trarios (al azar) de la varilla de modo que queda partida en tres pedazos

    - C: Y el proble ma?

    Lo importante es no perder de vista que la matemtica no es una sistemtica de defi niciones y propiedades eviden-tes para el alumno, sino que ste debe tomar conciencia de que con el apren-dizaje de la matemtica puede resolver nuevos problemas, aunque sean juegos o curiosidades recreativas, y entender mejor el mundo que lo rodea.

    Katsushika Hokusai(1760-1849) fue un pintor y grabador japons autor de La gran ola de Kanagawa, obra que ilustra la tapa de esta edicin de Q.e.d.La gran ola est a punto de romper y su superfi cie pierde la suavidad que nos resulta usual para adquirir una forma que se relaciona mucho ms con los objetos fractales.

  • 34Q.e.d.

    35 Q.e.d.

    La suma de cubos es un cuadrado

    DEMOSTRACIONES VISUALES

    13 + 23 + 33 + ... + n3 = (1 + 2 + 3 +...+ n)2

    - JC: Te apuesto 30 mos contra 10 tuyos a que con los tres pedazos no se puede armar un tringulo. Te conviene aceptar o te estoy tratando de estafar?

    - C: Para que me convenga aceptar, la probabilidad de que se pueda armar un tringulo debera superar el 33,33%

    - A: Es cierto: una de cada tres veces debera ser posible armarlo. - I: Y la Geometra Integral? Es porque hay que armar un tringulo?- JC: No. El problema data, por lo menos de 1872 donde un tal Halphen lo pu-

    blic en el Boletn de la Sociedad Matemtica de Francia. La Geometra Integral aporta una solucin original al problema y lo pone en un contex-to terico adecuado.

    - C: Bueno, me conviene o no aceptar la apuesta?. Ya estamos armando una me-sita en una esquina de Buenos Aires para hacer unos pesos. Apueste y gane!

    - JC: La probabilidad de que con dos cortes arbitrarios se pueda armar un tringulo con los tres pedazos de varillas resultantes es de 1 en 4. Es de-cir, el 25% de las veces se puede. Una apuesta justa sera que yo pagara 40 por 10 que arriesgs. La banca, en este caso yo, tiene ventaja si es 30 a 10.

    - I: Es difcil la explicacin?- JC: La que se da en el margen, si bien no es la original del libro, se aprove-

    cha de la idea feliz que all utiliza. Esta es: si los dos cortes se hacen en x e y centmetros respectivamente, se pueden pensar como las coorde-nadas de un punto (x,y) del plano. Entonces el clculo de la probabilidad se convierte en medir el rea de los casos favorables y dividirla entre el rea de los casos posibles.

    - A: Claro. Para que no se forme un tringulo alcanza y sobra (perdn, los matemticos dicen es necesario y sufi ciente) con que uno de los tres pedazos mida la mitad de la varilla o ms. Es decir ms de 5 centmetros.

    - JC: Efectivamente y como slo una de las tres varillas puede medir 5 cent-metros o ms, el clculo de la probabilidad de que no se puede armar un tringulo es fcil. El cuadrado de 10 por 10 representa los cortes posibles (x,y). El cuadrado inferior (gris claro) representa el caso cuando los dos cortes estuvieron por debajo de los 5cm y el cuadrado superior cuan-do los dos cortes fueron ambos superiores a los 5cm. Los dos tringulos

    rayados representan a los cortes que difi eren entre s en ms de 5cm:

    .- I: De modo que el sector blanco corresponde a los cortes donde el tringulo

    se puede armar.

    - JC: Como se puede apreciar, representa la cuarta parte del total del cua-drado. Q.e.d.

    - C: Bellsimo. Aqu se ve cmo la geometra y la probabilidad, al igual que en el problema de la Aguja del Buffon interactan como dos bailarines eximios.

    - P: Perdn que los interrumpa, pero el espacio disponible se est acabando y quiero dejar asentada una queja.

    - A, C, JC:?- P: En el cierre anterior prometieron que Arqumedes se tomaba vacaciones.- I: Pero estuvimos hablando de Santal no de Arqumedes.- P: Yo ser el diseador pero leo los artculos. Les cuento: rsula Molter lo

    menciona en su artculo cuando habla de estimacin de pi, Juan Carlos hasta pide disculpas en la nota que acompaa al artculo de Mario Bunge, la Palanca de Agustn hace alarde del fulano, en los fractales, en el art-culo de Carlos Paren un poco!

    - JC: Tiene razn. Aunque no lo veamos, Arqumedes siempre est. - C: En todo caso es una buena compaa para el maestro que homenajeamos.

    Varilla de 10 cm con los dos cortes

    x y

    x

    y

    5 10

    5

    10

    En la clase, como en las sociedades bien organizadas, no hay que preten-der que todos los alumnos lo sepan todo, sino que entre todos conozcan todo... La solucin de problemas es el fi n ltimo de la materia que nos ocupa. Habra que acostumbrarse a preguntar a nuestros alumnos Qu problemas te estn interesando? en lugar de Qu ests estudiando de Matemtica?.

  • 36Q.e.d.