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RETTIFICHE E SPOSTAMENTI A B C T 1 T 2 A ˆ B ˆ C ˆ M N ω
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RETTIFICHE E SPOSTAMENTI
A
B
C
T1
T2
A
B
C
M
N
ω
Concetti generali
RETTIFICHE
SPOSTAMENTI
INDICE
Confine bilatero ABC con un confine rettilineo uscente dal vertice A
Confine bilatero ABC con un confine rettilineo MN uscente da un punto M in posizione nota sul confine laterale
Confine bilatero ABC con un confine rettilineo MN parallelo ad una data direzione r
Confine poligonale con un confine rettilineo uscente dal vertice A
Confine poligonale con un confine rettilineo MN uscente da un punto M in posizione nota sul confine laterale
Confine poligonale con un confine rettilineo MN parallelo ad una data direzione r
Confine rettilineo AB con un confine MN uscente da un punto M in posizione nota sul confine laterale
Confine rettilineo AB con un confine MN parallelo ad una data direzione r
Rettificare un confine significa sostituire un confine
(bilatero, poligonale, curvilineo) con un confine rettilineo
Spostare un confine rettilineo consiste nel sostituirlo con un
altro confine rettilineo di direzione diversa
Sia le rettifiche che le sostituzioni si realizzano lasciando
inalterate le aree dei fondi confinanti (compenso),
cambiando solamente la loro configurazione geometrica
Negli esempi che seguono considereremo noti tutti gli
elementi misurati, lati e angoli, utili alla risoluzione del
problema
Concetti generali
RETTIFICHE
Si congiunge A con C e da B si traccia la
parallela ad AC, che interseca il confine
laterale nel punto M.
AM è il nuovo confine rettilineo di
compenso perchè i due triangoli ABC e
AMC, appartenenti tutti e due al
proprietario T2 hanno stessa area (uguale
base b e uguale altezza relativa h)
CASO 1 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A. Metodo
grafico
distanze AB BC
angoli A B C
A
B
C
T1
T2
M
b
h h
A
B
C
T1
T2
M
AC
A
B
1B
C
1C
CASO 1 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A. Metodo
analitico
distanze AB BC
angoli A B C
CASO 2 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN uscente da un punto M in
posizione nota sul confine laterale
distanze AB BC
angoli A B C
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A
A
B
C
T1
T2
M
A
B
C
N
In questo caso l’area del triangolo ABC
appartenente a T2 deve essere uguale all’area del
quadrilatero MACN
Dopo aver calcolato tutti gli elementi del
triangolo ABC, l’incognita CN si ottiene
applicando al quadrilatero la formula inversa di
camminamento:
SMACN = 0.5 x [MA x AC x sen MÂC + AC x CN x
sen AĈN – MA x CN x sen (MÂC + AĈN)]
CN = (2 x SMAC – MA x AC x sen MÂC) /
[(AC x sen AĈN – MA x sen (MÂC + AĈN)]
distanza AM nota
CASO 2 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN uscente da un punto M in
posizione nota sul confine laterale
distanze AB BC
angoli A B C
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A
A
B
C
T1
T2
M
A
B
C
1C
N
Â1
1B
MÂC AĈN
CASO 3 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
direzione r
distanze AB BC
angoli A B C
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
A
B
C
T1
T2
A
B
CM
Nω
Questo caso può risolversi:
• Applicando il metodo del trapezio
• Lavorando con il teorema dei seni
CASO 3.1 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
direzione r
distanze AB BC
angoli A B C
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
METODO DEL TRAPEZIO
Per risolvere il problema è possibile tracciare un confine
provvisorio AE parallelo alla direzione data calcolando
tutti gli elementi incogniti del quadrilatero ABCE e l’area
SABCE appartenente a T2. Per trovare la posizione del nuovo
confine MN è necessario che le due aree, quella del
quadrilatero ABCE e quella del trapezio MAEN risultino
uguali:
SABCE = SMAEN = 0.5 x (AE + MN) x h
Calcolata l’altezza h del trapezio sarà possibile con le
funzioni trigonometriche calcolare le due incognite
principali del problema AM e EN
A
B
C
T1
T2
A
B
C
E
M
N
hω
CASO 3.1 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
direzione r
distanze AB BC
angoli A B C
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
METODO DEL TRAPEZIO
SMAEN = 0.5 x (AE + MN) x h
in questa equazione sono presenti due incognite MN e h. Ma:
MN = AE – (AM’ + N’E)
tan  = h/AM’ ---> AM’ = h/tan Â
tan Ê = h/N’E ---> N’E = h/tan Ê
sostituendo:
MN = AE – h x (1/tang  + 1/tang Ê)
e sostituendo in SMADN otteniamo:
SMAEN = 0.5 x [AE + AE – h x (1/tan  + 1/tan Ê)] x h
ordinando otteniamo una equazione di 2° grado avente come
incognita l’altezza h del trapezio:
h2 x (1/tan  +1/tan Ê) – 2 x AE x h + 2 x SMAEN = 0
Delle due soluzioni si sceglie quella positiva; se lo sono
entrambe la soluzione esatta è quella che più si avvicina al
rapporto SMAEN/AE. Nota h, nei due triangoli rettangoli
MAM’ e NN’E, con la funzione seno è possibile calcolare le
due incognite del problema, AM e EN
A
N
E
h
h
M’
N’
M
Ê
Â
CASO 3.2 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
direzione r
distanze AB BC
angoli A B C
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
RISOLUZIONE CON IL T. DEI SENI
Se i confini laterali si incontrano nel punto F, è possibile
calcolare l’area dell’appezzamento appartenente a T1
(che si ottiene sottraendo all’area del triangolo AFC,
l’area del triangolo ABC appartenente a T2). Quest’area
dovrà essere uguale a quella del triangolo MFN sempre
appartenente a T1. Di questo triangolo sono noti i tre
angoli (M corrispondente alla direzione assegnata, F
calcolato, N per differenza)
A
B
C
T1
T2
A
B
C
r
M N
ω
F
M
F
N
CASO 3.2 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine bilatero con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una data
direzione r
distanze AB BC
angoli A B C
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
A
B
C
T1
T2
A
B
C
r
M N
ω
F
M
F
N
1B
1A
1C
CASO 4 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
distanze AB BC CD DE
angoli A B C D E
BC
T1
T2
A
M
E
D
Per determinare la posizione del nuovo confine rettilineo
(distanza di M dal vertice E) è necessario risolvere la
poligonale ABCDE rispetto ad un sistema di riferimento
con origine in A e semiasse positivo delle X diretto come il
lato AB. Dopo aver calcolato azimut, coordinate è possibile
calcolare, con Gauss, l’area del contorno poligonale
compreso tra la poligonale e la congiungente AE (che
appartiene a T1). Quest’area dovrà risultare uguale a quella
del triangolo AEM, in cui AM rappresenta il nuovo confine
rettilineo di compenso
CASO 4 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
distanze AB BC CD DE
angoli A B C D E
B C
T1
T2
A
E
D
M
BC
T1
T2
A
M
E
D
E
1E2E
AEM
E(ED)-)EA(=E2
PARTICOLARE CALCOLO ANGOLO Ê2
)EA(
)ED(
CASO 4 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
distanze AB BC CD DE
angoli A B C D E
Nel caso in cui la congiungente gli estremi della poligonale AE
interseca la poligonale stessa in uno o più punti si procede in maniera
leggermente diversa dal caso precedente. Dopo aver risolto la
poligonale con il calcolo degli azimut e delle coordinate è necessario
calcolare, con Gauss l’area del contorno poligonale ABCDEA, formata
da triangoli e quadrilateri appartenenti ai proprietari T1 e T2.
Applicando Gauss si ottiene un’area che risulta essere la differenza
della somma algebrica tra le aree positive (percorse in senso
antiorario) e quelle negative (percorse in senso orario). Se l’area così
calcolata risultasse uguale a zero, la somma dei due triangoli ABP e
RDE, appartenenti a T1 risulterebbe uguale a quella del triangolo PCR
appartenente a T2. Il nuovo confine sarebbe proprio la congiungente
AE.
CASO 4.1 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
distanze AB BC CD DE
angoli A B C D E
B
C
T1
T2
A
E
D
P
R
+
+-
CASO 4.1 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
distanze AB BC CD DE
angoli A B C D E
Se tale ipotesi non risulta soddisfatta si dovrà analizzare quale
delle due aree risulti maggiore. Se l’area che si ottiene è positiva,
significa che l’area somma dei due triangoli ABP e RDE (T1),
risulta maggiore di quella del triangolo PCR (T2). Se il confine
fosse quello delimitato dalla congiungente AE, il proprietario T1
perderebbe del terreno. Per compensare la differenza di aree, il
nuovo confine AM, dovrà essere ruotato verso il basso, in modo
tale che l’area del triangolo AME, risulti uguale a quella che si
ottiene dalla formula di Gauss.
SABCDEA = SAEM
Da questo punto in poi si procede come nel caso n° 4, risolvendo il
triangolo AEM per calcolare l’incognita del problema EM
B
C
T1
T2
A
M
E
DP
R
+
+- AEM
CASO 4.1 APPLICAZIONE ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente dal vertice A
distanze AB BC CD DE
angoli A B C D E
B
C
T1
T2
A
M
E
DP
R
CASO 5 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente da un punto in
posizione nota sul confine laterale
distanze AB BC CD
angoli A B C D
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A
In questo caso è necessario risolvere la poligonale
rispetto ad un sistema cartesiano con origine nel punto M
e semiasse positivo delle X diretto verso A (si considera
MA noto come il primo lato della poligonale). Dopo aver
calcolato le coordinate, si calcola con Gauss, l’area del
contorno poligonale MABCDM (T1). Quest’area dovrà
essere uguale a quella del triangolo MDN (T1)
SMABCDM = SMDN
Da questo punto in poi si procede come nel caso n° 4,
risolvendo il triangolo MDN per calcolare l’incognita del
problema DM
B
C
T1
T2
A
N
DD
M
A
B
C
distanza AM nota
+
CASO 5 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso uscente da un punto in
posizione nota sul confine laterale
distanze AB BC CD
angoli A B C D
è nota la distanza AM del vertice M del nuovo confine da A
2D
MDN
B
C
T1
T2
A
N
DD
M
A
B
C
1D
distanza AM nota
+
CASO 6 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una
direzione data r
distanze AB BC CD
angoli A B C D
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
Per determinare la posizione del nuovo confine MN è
necessario tracciare un confine provvisorio, che non
intersechi il confine poligonale, avente la stessa
direzione di r. Sia PD il confine provvisorio prescelto. È
necessario prima di tutto risolvere la poligonale ABCD e
calcolare con Gauss, l’area del contorno poligonale ABCDA
(T1). Successivamente si deve poi risolvere e calcolare
l’area del triangolo PAD (T1). La somma di queste due
aree dovrà essere uguale a quella del trapezio MNDP
sempre appartenente a T1B
C
T1
T2
A
N
D
M
+
r
P
CASO 6 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una
direzione data r
distanze AB BC CD
angoli A B C D
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
P
B
C
T1
T2
A
N
D
M
+
r
P
DAP
PDA
1A
CASO 6 ELEMENTI NOTI
Rettifica di un confine poligonale con un confine
rettilineo di compenso MN parallelo ad una
direzione data r
distanze AB BC CD
angoli A B C D
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
B
C
T1
T2
A
N
D
M
r
P
h
P’
D’
SPOSTAMENTI
CASO 1 ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, uscente da un punto M in
posizione nota sul confine laterale. Metodo grafico
distanze AB
angoli A B
è nota la distanza AM
Si congiunge M con B e da A si traccia la
parallela ad MB, che interseca il confine
laterale nel punto N.
MN è il nuovo confine rettilineo di
compenso perché i due triangoli MAB e
MNB, appartenenti tutti e due al
proprietario T1 hanno stessa area (uguale
base b e uguale altezza relativa h) A
B
T1
T2
M b
h
A
B
N
AM nota
CASO 1 ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, uscente da un punto M in
posizione nota sul confine laterale. Metodo grafico
distanze AB
angoli A B
è nota la distanza AM
A
B
T1
T2
M b
h
A
B
N
AM nota
1B
2B
MBN
CASO 2 ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data
direzione r
distanze AB
angoli A B
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
METODO DEL TRAPEZIO
Dal punto A si traccia la parallela alla direzione
assegnata r, fino ad intersecare il confine
laterale nel punto C. Si calcola l’area del
triangolo ACB, appartenente a T2 (passata a
T1). Quest’area dovrà essere restituita a T2 in
forma di trapezio.
SABC = SACNM
SACNM = 0.5 x (AC + MN) x h
B
T2
A
B
r
M N
ω
AC
T1
h
Prof. Dagore Ristorini
CASO 2 ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data
direzione r
distanze AB
angoli A B
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
B
T2
A
B
r
M N
ω
1B
1ACA
C
T1
h
CASO 2 ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data
direzione r
distanze AB
angoli A B
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
RISOLUZIONE CON IL T. DEI SENI
Nel caso in cui i due confini laterali si
intersecano nel punto F il problema può
risolversi calcolando l’area del triangolo ABC
(T1). Quest’area dovrà essere uguale a quella
del triangolo FMN (T1) con MN nuovo confine
parallelo alla direzione data
B
T2
A
B
r
MN
ω
A
T1
F
CASO 2 ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, parallelo ad una data
direzione r
distanze AB
angoli A B
la direzione r è data dalla misura dell’angolo ω rispetto ad uno dei confini laterali
B
T2
A
B
r
MN
ω
A
T1
F
F
MN
CASO 2.1 ELEMENTI NOTI
Sostituzione di un confine rettilineo AB con un altro,
rettilineo di compenso MN, perpendicolare ad uno dei
confini laterali
distanze AB
angoli A B
Rispetto al confine laterale ω = 100c
BN e AM calcolano si FB e AF con differenza per
F cos
FM = FN >------
FN
FM = F cos
F tan
S x 2 = FM
F tan x FM = S x 2
ottiene si S in osostituend
F tan x FM = MN >------ FM
MN = F tan
incognite due sono MN e FM cui in
MN x FM x 2
1 = S = S
MFN rettangolo triangolo del
quella con (T1) AFB triangolo del areal' coincidere facendo
risolto essere può problema il laterali, confini dei uno ad
lareperpendico è confine nuovo del direzione la cui in caso Nel
TANGENTE FUNZIONE LA CON ERISOLUZION
MFN
2MFN
MFN
MFNAFB
B
T2
A
B
r
M
Nω = 100c
A
T1
F
F
c100 = M
N
