RETROFIT OF HISTORICAL MONUMENTS AND … · antisismica si pone a metà strada fra questi due...

Theoretical aspects of Base Isolation

2-DOF system

Prof. Antonello De LucaProfessor of Structural Engineering

RETROFIT OF HISTORICAL MONUMENTS AND PRINCIPLES OF BASE ISOLATION (B.I.S.)

University of Naples "Federico II"Department of Structural Analysis and Design

Lessons: 17_ May 22_24, 2007

Spettri di risposta: effetto ξξ: smorzamento viscoso equivalente

Smorzamento (damping): caratteristica del sistema strutturale che si oppone al moto e tende a riportare il sistema in condizioni di quiete.

È originato da molteplici sorgenti di diversa natura (viscosità del mezzo, fessurazione cls e muratura, scorrimento giunti bullonati, etc.)

Nei sistemi di isolamento con dispositivi elastomerici lo smorzamento è in parte di natura isteretica, in parte di natura viscosa (ne parleremo in dettaglio nelle lezioni successive)

ξ è utilizzato per tener conto di fonti di smorzamento di natura diversa in modellazioni ed analisi linearizzate

Spettri di risposta: effetto ξ

Input Sismici

L.A. Sepulveda V.A. Hospital, 360° comp., 1994 Northridge ethq.registrazione a soli 8 km dall’epicentro del sisma (near-fault)


Input Sismici

El Centro Sepulveda

PGA 0.35 g 0.9 g

Peak spectralacceleration

(ξ=5%)0.9 g 2.8 g

Peak spectraldisplacement

(ξ=5%)275 mm 550 mm

Spettri di risposta in accelerazione EL Centro NS 1940 per diversi fattori di smorzamento: 0, 2, 5, 10 e 20%.


Spettri di risposta: effetto ξnormative

( )ξη

+=

510

•ORD. 3274

η= 1 per ξ = 5

•EC8

•UBC

η = (7/(2+ξ))1/2 η= 1 per ξ = 5

ξ < 2 5 10 20 30 40 > 50B=1/η 0.08 1 1,2 1,5 1,7 1,9 2

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

ξ (%)

fatto

re d

i rid

uzio

ne

ORD.3274EC8UBC


Confrontiamo i fattori riduttivi forniti dalle norme con i valori dei rapporti

Aξ/A5%

Dξ/D5%

calcolati dagli spettri nel range di periodi 0 – 4 sec.


• Fattori riduttivi per tener conto di valori di smorzamento viscoso > 5% sono costanti

• In realtà la riduzione della risposta è una funzione sia del periodo che dello specifico input sismico

• Confrontiamo i fattori riduttivi forniti dalle norme con il valore medio dei rapporti Aξ/A5% e Dξ/D5% calcolati dagli spettri nel range di periodi 0.5 – 4 sec.


10% 30%

El Centro

Sepulveda

Acceleraz. Spostam. Acceleraz. Spostam.

0.84 0.81 0.65 0.49

0.83 0.80 0.70 0.47

ORD.3274 0.82 0.82 0.53 0.53

EC8 0.76 0.76 0.47 0.47

UBC 0.83 0.83 0.59 0.59

Val. medio da spettro

•Riduzione spostamenti sempre maggiore che accelerazioni (molto significativo con ξ = 30%•UBC e ORD. buona approssimazione per ξ = 10%, EC8 sovrastima•Per ξ = 30% il fattore riduttivo UBC e ORD. è non conservativo per accelerazioni e conservativo per spostamenti•Incertezze nell’input ; risposta + accurata: effettuare t.h. analisi


• Conoscenza dell’input sismico previsione azioni su strutture• registrazioni acclerometriche• spettri di risposta delle componenti orizzontaliinviluppo e valore medio

Spettri di risposta medi su 8 accelerogrammi(El Centro 1934, El Centro 1940, Olympia 1949, Taft 1952)per diversi fattori di smorzamento: 0, 2, 5, 10 e 20%.

accelerazione spostamento

Input sismici e spettri

• Conoscenza dell’input sismico previsione azioni su strutture• registrazioni pre-1970• Caltech SMARTS suite of motions (Strong Motion

Accelerogram Record Transfer System)39 gruppi di registrazioni accelerometricheciascuna 3 componenti (2 orizzontali, 1 verticale)terremoti 1933 (Long Beach) 1971 (San Fernando)

spettri di risposta delle 2 componenti orizzontaliinviluppo e valore medio



funzione di 1/T andamento accelerazioni medie per T>0.5 s

Sa(T) = C0/T, con C0 ricavato da accelerazione per T=0.5 s,

i.e.: C0=0.5 x Sa(0.5)

Spostamenti funzione di T: Sd=SagT2/4π2 = 248.5 C0 T


Periodi medio-lunghi (1-4 s) accelerazione si riduce , spostamento aumenta con T

• Conoscenza dell’input sismico previsione azioni su strutture• post-1970 : notevole aumento del numero di registrazioni• database di input sismici diversificato: variazioni molto maggiori di quanto assunto fino al 1970• accelerazioni al suolo maggiori, effetti near-faults(amplificazioni per periodi lunghi, elevata componente verticale, etc.)



Tra 6 e 9 s: accelerazioni elevate per lungo periodo di tempo elevate velocità e spostamenti in strutture con T=1.5-3 s


Registrazione a meno di 2 km dalla faglia

Effetti near-fault:

picco accelerazione spettrale per T= 2-3 s

spostamenti>1 m per T=3.5 s

Isolamento ? T<2 s ?


Effetti di risonanza con frequenze caratteristiche del suolo (2 s)

Isolamento ? non efficace ?


Registrazione su suolo rigido (anche registrazioni su suolo soffice)

accelerazione spettrale si riduce con T

spostamenti (componente maggiore) costanti per T=2-4 s

Isolamento ? deformabilità del sistema isolamento si potrebbe aumentare per ridurre le accelerazioni senza penalizzazioni in termini di spostamenti alla base


picco accelerazione spettrale (>3g) per periodi estremamente bassi

Componente 270° accelerazioni costanti per T=2-4 s

Isolamento ? efficace per edifici con periodi b.f. bassi, ma per b.i. meglio T<2 s per periodi maggiori gli spostamenti aumentano senza un grande beneficio nella riduzione di accelerazioni


Picchi molto elevati (>2.5 g) di accelerazione spettrale per periodi bassi

Componente a 360° : picco a circa 2 s

spostamento: aumento molto rapido per T>2s

Isolamento ? T<2 s ?


Picchi molto elevati (>2.5 g) di accelerazione spettrale per periodi bassi (componente 360)

Entrambe le componenti elevate accelerazioni spettrali per periodi lunghi (>0.5 g per T= 2 s)

Per T>3 s si riducono sia accelerazioni che spostamenti

Isolamento ? T>3 s

PGA

Spettri di risposta input sismici

Progettazione Sismicaridurre accelerazioni nell'edificio al di sotto del livello di accelerazione del suolo periodi alti struttura estremamente flessibile

accelerazione

spostamentodeformazioni eccessive

danni ad elementi non strutturali anche in occasione di terremoti di modesta entità o di forte vento.

La strategia che di norma si adotta nella convenzionale progettazione antisismica si pone a metà strada fra questi due estremi, e conduce alla realizzazione di strutture abbastanza rigidestrutture abbastanza rigide da non presentare eccessive deformazioni in condizioni ordinarie, ma che assicurino un adeguato livello di dissipazioneadeguato livello di dissipazione in occasione di eventi sismici particolarmente severi.

In questa logica la sicurezza nei confronti del collasso si ottiene a prezzo di un diffuso danneggiamentodiffuso danneggiamento ad elementi strutturali e non strutturali ed ai beni contenuti nell'edificio, e comporta una progettazione di forme forme strutturali e dettagli costruttivi particolaristrutturali e dettagli costruttivi particolari, e quindi di più alto costo e di più complessa realizzazione.

Progettazione Sismica

•Il tradizionale approccio nella progettazione sismica

Basandosi sull'osservazione e l'analisi del comportamento strutturale ottenibile adottando materiali e morfologie capaci di sopportare notevoli deformazioni inelastiche, è stato introdotto il concetto di duttilità strutturale, intesa come la possibilità di disperdere parte dell'energia impartita alla struttura dal terremoto in lavoro plastico.

A partire da tale concetto è pertanto nata la moderna metodologia di progetto, basata sulla richiesta di duttilità oltre che di resistenza, e di conseguenza si è diffusa una diversa filosofia di difesa delle costruzioni dal sisma, basata sulla possibilità di accettare danni agli elementi strutturali e non strutturali anche gravi, ma non il collasso.


Nella pratica progettuale

si fa riferimento alle azioni massime, ovvero al valore max dell’accelerazione attesa in un determinato sito, amplificato o deamplificato in funzione delle caratteristiche dinamiche della struttura (ordinata spettrale), che dà luogo, moltiplicato per le masse in gioco, alle max azioni sulla struttura.

Si analizza la risposta max della struttura

Approccio semplificato al problema dinamico:

Analisi modale: la distribuzione di azioni equivalenti si ottiene considerando i contributi dei principali modi di vibrazione della struttura

Analisi statica (o modale semplificata): la distribuzione di forze statiche equivalenti si ottiene considerando solo il contributo del primo modo di vibrazione della struttura

Approccio + rigoroso al problema dinamico:

Analisi time-history (input sismici naturali o artificiali spettro-compatibili)


Progettazione: Azione SismicaProcedimento razionale per la definizione della azione sismica di progetto

Il punto di partenza è un modello fisico, anche semplificato, del fenomeno in sé, ossia del moto sismico del terreno nel sito di interesse.

Il modello di adozione universale nelle normative moderne consiste in uno spettro di risposta in accelerazione, elastico, il cui andamento normalizzato è congruente con le caratteristiche del meccanismo focale (campo di magnitudo, profondità ipocentrale, distanza) degli eventi che possono interessare il sito, nonché con le caratteristiche morfologiche e geotecniche del sito stesso.

La “forma” dello spettro è definita da un certo numero di parametri (5-6), che consentono di adattarla alle condizioni suddette, mentrel'intensità complessiva è data da un fattore di scala che si applica alla forma normalizzata. Il fattore di scala costituisce l'ordinata dello spettro per T = 0, la quale rappresenta fisicamente il valore di picco della accelerazione del suolo (PGA): A.

Normative Sismiche: spettri elastici

spettri di risposta elasticicomponente orizzontale accelerazione

ORD.3274/03

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

0 1 2 3 4 5T (s)

S e(T

) (g

) SUOLO A

SUOLO B,C,E

SUOLO D

ag = 0.35 gη = 1

SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI DELLO SPOSTAMENTO

ORDINANZA 3274/2003

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0 1 2 3 4 5T (s)

S De(

T) (

g)SUOLO A

SUOLO B,C,E

SUOLO Dag = 0.35 gη = 1

Normative Sismiche: spettri elastici

Lo spettro di risposta elastico è definito come il luogo delle risposte massime (in accelerazione) di un oscillatore elastico di assegnato smorzamento e periodo crescente a partire da T = 0.

Le ordinate dello spettro, tuttavia, non sono riferibili ad un singolo evento sismico, ma all'insieme degli eventi che possono verificarsi nel sito. Esse si ricavano mediante procedimenti statistico-probabilistici che consentono di ottenere valori delle ordinate caratterizzati da un unico, prefissato, valore della probabilità di venire superati, posto che accada un evento con intensità A al sito.

Gli spettri così ottenuti si indicano con il nome di spettri “isoprobabili”.spesso, (ad es. EC8), non disponendo di un numero di spettri sufficientemente numeroso per ricavare lo spettro isoprobabile per il sito in esame, si ricorre a spettri ricavati su siti simili ma non uguali, ottenendo uno spettro medio invece di uno spettro isoprobabile.

La conoscenza di uno spettro isoprobabile (o, in difetto di statistica, medio) e della legge di probabilità della accelerazione al sito costituisce una base descrittiva delle caratteristiche di sismicità di un sito adeguata ai fini della progettazione di un edificio.


Ottenuto il “modello” (probabilistico) del fenomeno sismico in un sito, il passo successivo consiste nella scelta della azione sismica da adottare nel progetto.

La azione sismica di progetto per lo SLU è per definizione l'azione che, utilizzata per progettare la resistenza di una costruzione, consente ad essa di sopravvivere in condizioni prossime al collasso ad un evento sismico caratterizzato dal prefissato periodo di ritorno (ad es. 500 anni).In condizioni dinamiche il collasso locale o globale di una struttura non è legato all'attingimento della soglia di resistenza degli elementi, bensì all'esaurimento delle loro capacità deformative. Il problema dinamico nasce infatti come problema di spostamenti impressi dal terreno alla costruzione, spostamenti che ingenerano nella struttura accelerazioni e quindi forze di inerzia.

L'equilibrio dinamico tuttavia, al contrario di quello statico, è sempre possibile anche quando, sotto eccitazione crescente, le forze resistenti interne cessano di crescere per raggiunto snervamento, o addirittura decrescono per degrado di resistenza, a condizione che gli elementi siano capaci di sostenere gli spostamenti richiesti senza perdita di integrità.

Il controllo mediante analisi della dinamica di una struttura nel campo delle forti deformazioni anelastiche, in teoria necessario per la verifica della sicurezza al collasso, è di fatto irrealisticamenteoneroso per la pratica corrente e quindi non proponibile come procedura di progetto: oltre tutto una analisi non lineare è necessariamente una analisi di verifica di una struttura già dimensionata, e sarebbe quindi associata ad un procedimento iterativo.

Allo stato attuale della pratica professionale, il progetto delle strutture viene eseguito sulla base di forze assegnate, e con l'uso di modelli strutturali e metodi di analisi lineari, statici o dinamici.

Il procedimento adottato dalle norme moderne è il seguente:

Si stabilisce l'evento sismico: valore di A ed associata forma spettrale, per il quale si vuole garantita la sicurezza allo SLU

L'azione sismica di progetto è una frazione dell'azione cui la struttura andrebbe soggetta per effetto dell'evento sismico sopra definito se il suo comportamento fosse indefinitamente elastico. In termini operativi, le ordinate dello spettro di risposta elastico corrispondente all'evento di progetto vengono divise per un fattore, e lo spettro di risposta così ridotto, denominato spettro di progettospettro di progetto, fornisce le forze con cui la struttura viene progettata alla soglia di snervamento

Il fattore di riduzione, o fattore di comportamento (q), tiene conto del fatto che la struttura, superata la soglia di snervamento, è in grado di subire spostamenti inelastici cui è associata capacità di dissipazione di energia, ed èquest'ultima, principalmente, a mantenere la risposta entro limiti controllati.


spettri di risposta elasticicomponente orizzontale accelerazione

ORD.3274/03

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

0 1 2 3 4 5T (s)

S e(T

) (g

) SUOLO A

SUOLO B,C,E

SUOLO D

ag = 0.35 gη = 1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 1 2 3 4T (s)

S d(T

) (g

)SUOLO A

SUOLO B,C,E

SUOLO D

(q = 6.5)

q

Normative Sismichespettri elastici e spettri di progetto

Progettazione SismicaCapacity Design

In zona sismica, la distribuzione delle richieste di resistenza determina la capacità di resistenza da attribuire agli elementi dissipativi.

Per tali elementi occorre poi applicare criteri e regole progettuali tali da garantire un comportamento duttile.

La capacità di resistenza degli elementi non dissipativi, invece, è basata sul concetto di gerarchia delle resistenze.

CRITERIO DI GERARCHIA DELLE RESISTENZE

obiettivo : formazione meccanismo di plasticizzazione con presenza di cerniere plastiche in tutte e sole le sezioni di estremità delle travi, con esclusione quindi di cerniere nei pilastri, ad eccezione per l'inevitabile cerniera nella sezione di base.

meccanismo ottimale : è l'unico a dar luogo ad una rotazione plastica uguale in tutte le travi (richiesta inelastica uniforme) e circa uguale alla rotazione d'insieme del telaio (θ = δ / H, con δ = spostamento in sommità.

ordine di grandezza max di θ : per telai progettati anche con forze molto ridotte (q =5- 7) e successivamente analizzati in campo dinamico non lineare usando accelerogrammi corrispondenti all’azione sismica non ridotta vale 0,02-0,03 rad.

Progettazione SismicaCapacity Design

Progettazione Sismica: Capacity Design

Per quanto riguarda la rotazione plastica alla base dei pilastri, essa viene ritardata rispetto a quella delle travi assegnando loro una resistenza maggiorata rispetto alle richieste del calcolo.

Plasticizzazioni nei pilastri in elevazione non sono desiderabili sia perché in generale incompatibili con il più efficiente meccanismo globale, sia per la minore capacità dissipativa e duttilità degli elementi presso-inflessi, ed infine per il rischio che esse presentano di dar luogo a meccanismi di piano, i quali sono in generale fatali a causa della concentrazione di richiesta di duttilità che si verifica non appena vengono innescati.

La duttilità in spostamento corrisponde, nel caso di meccanismo globale, alla duttilità rotazionale richiesta alle sezioni, e quindi il fattore di riduzione delle forze, che si riferisce alla duttilità in spostamento del sistema, è legato in modo univoco e diretto alla duttilità degli elementi.

MECCANISMO DI PIANO – KOBE 1995

•Il tradizionale approccio nella progettazione sismica


BASI TEORICHE DEL BIS• Analogamente a quanto avviene per le strutture a base

fissa, in cui lo studio del comportamento dinamico parte dallo studio dell’oscillatore semplice, gli aspetti caratteristici del comportamento dinamico delle strutture isolate alla base sono derivabili dall’analisi di un modello semplificato, a 2 soli gradi di libertà (“l’oscillatore semplice isolato”), in cui i 2 elementi costituenti il sistema sono l’uno rappresentativo del sistema di isolamento, l’altro della struttura in elevazione.

BASI TEORICHE

• linear theory: 2-dof (Kelly)• linear theory: m-dof (Kelly)• nonlinear models

Analisi lineare - 2DOFSemplice sistema 2DOF con molle lineari e smorzamento lineare viscoso.Lo studio del sistema 2-DOF è sviluppato con la tecnica dell’analisi modale che consente di individuare le modifiche delle caratteristiche dinamiche, delle frequenze di vibrazione e delleforme modali determinate dal sistema di isolamento sulla struttura in elevazione. m = massa della parte in elevazione

dell’edificio

mb = massa dell’impalcato al di sopra del sistema di isolamento

M=m+ mb= massa totale elevazione + isolamento

k, c = rigidezza e smorzamento della struttura

kb, cb = rigidezza e smorzamento del sistema di isolamento

Equazioni del moto in termini di spostamenti assoluti

Analisi lineare - 2DOF

um

k, c

mbub

kb, cb

u = spostamento assoluto della struttura in elevazione

ub = spostamento assoluto della base

I parametri di spostamento con i quali è però più conveniente lavorare sono gli spostamenti relativi, ovvero lo spostamento relativo della massa della struttura rispetto alla base e lo spostamento relativo della base della struttura rispetto al terreno.


Questo sistema di due equazioni può essere risolto in modo diretto oppure tramite decomposizione modale.L’analisi modale fornisce una chiara visione della risposta dei sistemi isolati e i risultati possono essere applicati a modelli piùelaborati.Per valutare i modi di vibrazione, i fattori di partecipazione modale e le frequenze del sistema, riscriviamo le precedenti equazioni in forma matriciale:

dove:


Alcune ipotesi sugli ordini di grandezza dei parametri in gioco.Innanzitutto definiamo:

Frequenza della struttura a base fissa

Frequenza del sistema di rigidezza kb pari a quella del sistema di isolamento e massa M pari alla massa totale del sistema di isolamento più edificio in elevazione

fattore di smorzamento per la struttura in elevazione

fattore di smorzamento per il sistema di isolamento


Assumiamo che:

mb<m , ma comunque dello stesso ordine di grandezza, quindi: γ = m/(m+mb) < 1 ;

ε dell’ordine di grandezza di 10-2;

βs e βb , fattori di smorzamento per la struttura e per il sistema isolato, siano dello stesso ordine di grandezza di ε (unità percentuali)



Risolvendo il problema agli autovalori si ottengono le frequenze proprie del sistema e le deformate modali.

Tenuto conto che ε è una quantità piccola, è possibile sviluppare in serie le espressioni che si ottengono, trascurare i termini in ε superiori al primo e pervenire ad espressioni semplici delle caratteristiche dinamiche del sistema 2DOF

Analisi lineare - 2DOFI modi di vibrazione non smorzati del sistema:

Si possono ottenere tramite le seguenti equazioni:

In cui ωn rappresenta la frequenza del modo n, mentre γ =m/M (minore di 1) è il rapporto tra le masse.L’equazione caratteristica per la valutazione di ωn è la seguente:

La minore delle due radici (ω1 e ω2) dell’equazione viene indicata con ωb*, e

rappresenta la frequenza traslata del sistema di isolamento, mentre la radice maggiore, indicata con ωs

*, rappresenta la frequenza della struttura in elevazione modificata dalla presenza del sistema di isolamento.


Le radici esatte sono date da:

Tenendo conto del fatto che ωb<< ωs (rapporto ε dell’ordine 10-2) e riscrivendo il termine sotto radice nella seguente forma:

ed espandendo tale termine in serie binomiale, si ottiene, nello stesso ordine di ε :

In molti casi si ottengono risultati sufficientemente accurati assumendo come valori di ωb* e di ωs* i primi termini, ovvero:

OSS.: la frequenza del sistema isolato è modificata solo leggermente (ridotta, dell’ordine di grandezza di ε) dalla deformabilità della struttura, mentre la frequenza della struttura in elevazione risulta sensibilmente incrementata dallapresenza della massa alla base.La differenza iniziale tra la frequenza della struttura a base fissa e la frequenza dell’isolamento è aumentata dalla combinazione dei due elementi.


La differenza iniziale tra la frequenza della struttura a base fissa e la frequenza dell’isolamento è aumentata dalla combinazione dei due elementi.


Ipotizziamo γ = m/(m+mb) = 0.6ovvero mb=2/3 motteniamo:

ωs* = ωs /(0.4)1/2 = ωs /0.63 = ωs 1.58

La forma modale,φ1, è data da:

oppure:

conservando i termini di ordine ε, e posto φb1 = 1, si ottiene:

Nello stesso ordine di ε, si ottiene:


φ1 è approssimativamente un modo di struttura rigida, mentre φ2 determina deformazioni sia nel sistema di isolamento che nella struttura in elevazione.

Lo spostamento in sommità della struttura è dello stesso ordine di grandezza di quello alla base (1/γ), ma di segno opposto


Analisi lineare - 2DOFCon questi 2 modi, φ1 e φ2, si possono scrivere le espressioni degli spostamenti relativi vb e vs nella seguente forma:

E quindi, l’equazione scritta in forma matriciale si riduce nelle seguenti due equazioni:

dove è stato implicitamente assunto che lo smorzamento del sistema èbasso, in modo da consentire di conservare l’ipotesi di ortogonalità dei modi. In queste equazioni L1 e L2 rappresentano i fattori di partecipazione modale per i due modi. Essi sono dati da:

La valutazione di L1 coinvolge i seguenti prodotti matriciali:

in cui:


Considerando solo i termini di ordine ε, si ottiene:

Per L2, dagli stessi calcoli si ottiene:

dove: , e:

Poiché γ=m/M, risulta:

e:

così che:


Questo risultato e quello relativo alle frequenze traslate rivelano i motivi alla base dell’efficienza dell’isolamento.Il fattore di partecipazione del secondo modo, che è il modo che coinvolge la deformazione della struttura, è dell’ordine di ε, e se le frequenze originali, ωbe ωs , sono ben separate, risulta essere molto piccolo.Inoltre, la frequenza di questo modo è traslata verso valori di frequenza piùalti rispetto al valore originale di frequenza a base fissa, quindi se l’input sismico ha accelerazioni spettrali elevate nel campo di frequenze della struttura b.f., tale spostamento è ulteriormente benefico.Inoltre, poiché il fattore di partecipazione di questo modo è molto piccolo, tale modo è ortogonale all’input sismico. Pertanto, anche se il terremoto ha un elevato contenuto energetico a tale frequenza, il moto del suolo viene trasmesso alla struttura in elevazione in misura drasticamente ridotta.

Risulta quindi chiaro che l’isolamento sismico non funziona in base all’assorbimento di energia:

esso semplicemente allontana l’energia, grazie alle suddette proprietà dinamiche.


L’assorbimento di energia è comunque un aspetto importante nel comportamento di un sistema isolato, ed in questo modello semplificato esso èstato rappresentato “smorzamento lineare viscoso”. In questo approccio si èanche assunto il disaccoppiamento delle equazioni.Vediamo i valori da assumere per i fattori di smorzamento modale, βb* e βs*. Possiamo stimare in maniera abbastanza attendibile lo smorzamento in ciascuno dei due elementi, quando considerato separatamente.Un sistema di isolamento realizzato con dispostivi elastomerici fornisce un livello di smorzamento tra il 10 ed il 20% di quello critico.La parte in elevazione ha un valore di smorzamento molto minore,presumibilmente intorno al 2%.Nelle analisi strutturali convenzionali si assume in generale uno smorzamento dell’ordine del 5% di quello critico e ciò in quanto si ritiene che si verifichino danni strutturali e non strutturali quando la struttura convenzionale subisce sismi violenti. Per le strutture isolate, l’obiettivo è ridurre le sollecitazioni all’interno della parte in elevazione ad un livello tale da evitare danni strutturali e non strutturali, e dunque un valore minore dello smorzamento risulta essere appropriato.

Questa elevata differenza in termini di smorzamento tra le due componenti può condurre ad un accoppiamento delle equazioni del moto e dunque se ne dovrebbe tener conto per analizzare correttamente il sistema.Ciò comporterebbe però la perdita della semplicità della trattazione che consente di ottenere un’intuitiva visione del comportamento delle strutture isolate.Pertanto si considera una formulazione approssimata, assumendo che i fattori di smorzamento, β1* e β2*, siano dati da:

Tale relazione equivale a trascurare i termini fuori diagonale φnTCφm, che renderebbero accoppiate le equazioni del moto.


Utilizzando i risultati precedentemente trovati relativi ad M1 ed M2, si trova che:

Utilizzando l’ espressione:

si ha che:

E poiché:

si ottiene:

Tale relazione mostra che lo smorzamento strutturale è incrementato dallo smorzamento degli isolatori nell’ordine di ε1/2; il prodotto tra βb e ε1/2 può costituire un significativo incremento a βs, soprattutto e βs è molto piccolo. Quindi un elevato smorzamento negli isolatori può fornire uno smorzamento significativo anche al modo della struttura in elevazione.


Con tali risultati relativi ad L1,L2,b1,b2, è possibile stimare la risposta del sistema per uno specifico input sismico.Innanzitutto consideriamo la risposta per un input di tipo sinusoidale e osserviamo il fattore di amplificazione, definito dall’entità del rapporto tra lo spostamento relativo e lo spostamento del suolo.

Definiamo quindi:

E nelle equazioni modali poniamo:

Si ha:


Tali espressioni possono essere scritte come funzioni algebriche di ω, senza le parte immaginarie.

È interessante osservare la forma che assumono per specifici valori di ω, in particolare per i valori :frequenza della struttura a b.f. ωs

Le 2 frequenza della struttura isolata alla base, ωb* e ωs*.


Per ω = ωb* si ha:

Considerando termini di primo ordine in ε, si ottiene:

Per l’amplificazione del moto alla base si ha:

Il quale, nello stesso ordine di ε, risulta:


Quando ω=ωs*, si trova, operando allo stesso modo che:



Alla frequenza della struttura a base fissa ωs, il fattore di amplificazione As è dell’ordine di ε e Ab è dell’ordine di 1

Alla frequenza ωb*, il fattore di amplificazione Ab è dell’ordine di 1/ε e Asè dell’ordine di 1

Alla frequenza ωs*, Ab e As sono entrambi dell’ordine di 1


Le espressioni esatte per tutti i valori di ω sono:

Base and floor displacements

Analisi lineare - 2DOFData una storia temporale del moto del suolo, allora le componenti modali, q1(t) e q2(t) possono essere valutate attraverso:

e la stima dei valori massimi di q1 e q2 è data da:

Dove SD(ω,β) è lo spettro di risposta in spostamento del moto del suolo, funzione della frequenza ω e del fattore di smorzamento β.

Ai fini progettuali, in genere è dato uno spettro di risposta dell’accelerazione smorzato del 5%. In questo caso, lo spostamento massimo atteso sarà(SRSS) :

dove adesso:

con SA(ω, β) che rappresenta lo spettro di progetto in accelerazione in corrispondenza di ω e di β. Quindi:



Molti spettri di progetto sono approssimativamente spettri a velocitàcostante ed in tali casi, i valori di SA per frequenze differenti, trascurando le variazioni dovute allo smorzamento, sono forniti da:

in cui SV è una costante. Per tali spettri di progetto si ha:

Ciò mostra che nel caso di spettro di velocità costante il maxspostamento relativo della struttura, cioè il max spostamento di interpiano, è dell’ordine di ε in confronto al maxspostamento del sistema di isolamento.

Il coefficiente di taglio alla base, Cs, è definito come:

quando il sistema non è isolato (SDOF) è dato da:

quando invece il sistema è isolato (2DOF) diviene:

ricordando che:

si ottiene:


dell’ordine di ε2


Sebbene il secondo termine è dell’ordine di ε2, esso può essere confrontabile con il primo termine, come avviene nel caso di spettro in spostamento costante.

Se lo spettro delle accelerazioni è costante, il secondo termine ètrascurabile.

Per il caso di spettro in velocità costante si ottiene:

in cui il secondo termine è ancora trascurabile.


Questi risultati indicano che per piccoli valori di ε e per spettri di progetto tipici, il sistema di isolamento può essere progettato, almeno nella fase iniziale, per uno spostamento relativo di base apri a:

SD(ωb, βb)e la parte in elevazione dell’edificio per un coefficiente di taglio alla base pari a

SA(ωb,βb)La riduzione del taglio alla base, rispetto a quello della struttura a base fissa (Cs=SA(ωs,βs), è dato dal rapporto:

che, per uno spettro di velocità costante, è ωb/ωs , o all’incirca di ordine ε1/2, (10-1) e questo sottostima la riduzione, poiché βb sarà in generale maggiore di βs.


In effetti la maggior parte degli spettri di progetto a velocità costante nel range di periodi di interesse per le strutture isolate, il che implica:

dove C è una costante e la funzione H(β) sarà una funzione decrescente di βnormalizzata in modo che H=1 quando β=0.05.

N.B. il fattore di riduzione B che abbiamo visto ieri per ORD.32N.B. il fattore di riduzione B che abbiamo visto ieri per ORD.3274, EC8, UBC.74, EC8, UBC.

La costante C rappresenterà la velocità di progetto in corrispondenza di smorzamento 5%.

es.: lo spettro di progetto proposto dall’ATC-3-06, è uno spettro a velocitàcostante pari a 609.6 mm s-1 (24 in s-1) per smorzamento 5%, suolo di buone caratteristiche e lontano da faglie.


Per studiare l’effetto dello smorzamento sullo spettro di risposta dei terremoti, Kawashima e Aizawa hanno valutato lo spettro per ciascuna componente orizzontale di 103 accelerogrammi free-field di sismi severi (206 registrazioni) registrati tra il 1966 e il 1978 in 43 siti in Giappone (con magnitudo > 5 e profondità focale < 60Km).

In base ad analisi di regressione, essi suggeriscono la seguente funzione:

Si ottiene un buon livello di approssimazione per valori dello smorzamento minori di 0.5.

Questa espressione proposta da Kawashima e Aizawa è molto conveniente dal punto di vista pratico è può essere utilizzata in una fase preliminare del progetto.

Analisi lineare - 2DOFAl fine di comprendere l’ordine di grandezza dei vari termini che appaiono in queste formule, consideriamo un sistema 2DOF con una massa alla base pari a 2/3 della massa della struttura.

La struttura b.f. abbia un periodo di 0.4 s e il sistema di isolamento un periodo di 2.0 s.

Lo smorzamento sia del 2% per la struttura b.f. , e del 10 % nel sistema di isolamento.

Stimiamo lo spostamento alla base, lo spostamento in elevazione ed il taglio alla base utilizzando uno spettro a velocità costante, in cui la velocità è609.6 mm s-1 per smorzamento 5%.

Analisi lineare - 2DOFIn questo esempio:

ε=4/100

γ=0.6

TBIS = 2π/ωb = 2.0 s ωb = 2π/ TBIS = 3.14 rad s-1

Tb.f. = 2π/ωs = 0.4 s ωs = 2π/ Tb.f. = 15.7 rad s-1

Utilizzando le formule:

le frequenze del sistema combinato sono:

ω1=3.07 rad s-1 T1 = 2.05 s

ω2=25.13 rad s-1 T2 = 0.25 s

Analisi lineare - 2DOFIn questo esempio:

ε=4/100

γ=0.6

TBIS = 2π/ωb = 2.0 s ωb = 2π/ TBIS = 3.14 rad s-1

Tb.f. = 2π/ωs = 0.4 s ωs = 2π/ Tb.f. = 15.7 rad s-1

Utilizzando le formule approssimate:

le frequenze del sistema combinato sono:

ω1=3.14 rad s-1 T1 = TBIS = 2.0 s

ω2=24.82 rad s-1 T2 = 0.25 s


la frequenza del sistema isolato è modificata solo leggermente (ridotta, dell’ordine di grandezza di ε) dalla deformabilità della struttura

TBIS= 2 s T1 = 2.05 s

mentre la frequenza della struttura in elevazione risulta sensibilmente incrementata dalla presenza della massa alla base.

Tb.f.= 0.4 s T1 = 0.25 s

La differenza iniziale tra la frequenza della struttura a base fissa e la frequenza dell’isolamento è aumentata dalla combinazione dei due elementi.

Analisi lineare - 2DOFε=4/100

βs=2%

βb=10%

γ=0.6

Utilizzando le formule:

Si ottiene:

β1= βb * = 9.64%

β2= βs * = 5%


Calcolo velocità spettrali :

SV = C H(β)

C = 609.6 mm s-1

H (β) = (1.5/(40β+1))+0.5 (impiego di altre formule)

SV (β1) = C H(0.0964) = 609.6x0.809 = 492.76 mm s-1

SV (β2) = C H(0.05) = 609.6 x 1 = 609.6 mm s-1


Calcolo dello spostamento alla base

La stima dello spostamento di base è 156.72 mm

Calcolo dello spostamento in elevazione

Lo spostamento relativo della struttura rispetto alla base è di 6.35 mm


Calcolo del taglio alla base

SA (ωb, βb) = SV ωb = C H(βb) ωb

Il taglio alla base è pari al 16% del peso della sovrastruttura e, in questo caso, il contributo del secondo termine è circa l’1.28% del totale.


Calcolo della riduzione del taglio alla base rispetto alla struttura b.f.

SA (ωb, βb) = SV ωb = C H(βb) ωb

SA (ωs, βs) = SV ωs = C H(βs) ωs

H(βb) ωb / H(βs) ωs

o all’incirca di ordine ε1/2

L’isolamento è stato proposto anche per la riabilitazione di edifici esistenti che presentano una scarsa resistenza nei confronti delle azioni sismiche, ma che sono caratterizzati da un periodo di vibrazione a base fissa relativamente elevato.

La motivazione è che l’isolamento fornisce comunque una qualche riduzione delle azioni sismiche, il che, per edifici deboli e fragili, si tradurrebbe in un vantaggio.


Oakland City HallOakland City Hall

Oakland City HallOakland City HallCHARACTERISTICS OF THE BUILDING

• b.i. bldg period: TTII = 3.2 sec= 3.2 sec• f.b. bldg period: TTFF = 1.6 sec= 1.6 sec• f.b. strengthened bldg period: TTFF’’ = 1.3 sec= 1.3 sec

RESPONSE OF THE b.i. BUILDING• base shear: VVI I = 0.13 W= 0.13 W• base displacement: D = 13 inD = 13 in• max interstory drift: ddI I = 0.15 in= 0.15 in ((ddFF=0.5 in)=0.5 in)

Per illustrare sia i benefici che le limitazioni di tale approccio, è utile considerare il caso speciale in cui le due frequenze, a base fissa e a base isolata (ωs e ωb) sono le stesse.

In tale caso, l’equazione caratteristica per le due frequenze del sistema combinato diventa:

dove:

Le due frequenze sono date da:

Le forme modali corrispondenti sono:

I fattori di partecipazione modale sono invece pari a:L1 = ½ L2 = ½

I fattori di smorzamento relativi ai due modi:


Analisi lineare - 2DOFEsempio:Esempio:Data una struttura che presenta un periodo b.f. di 2 s, con sistema di isolamento di periodo 2 s, massa di base pari a 2/3 della massa della struttura.Lo smorzamento della struttura b.f. sia 2%, quello del sistema di isolamento sia 10%, e si assuma uno spettro di progetto a velocitàcostante di 609.6 mm s-1 per smorzamento 5%.In questo caso dunque si ha:γ=0.6ω1=2.36 rads-1 (T=2.66s) ω2=6.62 rads-1 (T=0.95 s)Lo smorzamento dei modi è 4.5% e 12.6% e le velocità spettrali modificate sono 631.19 mms-1 e 457.2 mms-1.Il massimo spostamento della struttura in elevazione rispetto alla base è178.31 mm ed il massimo spostamento del sistema di isolamento è 138.18 mm, con taglio alla base pari al 18% del peso della struttura. Con lo stesso spettro, lo spostamento della struttura b.f. è 259.08 mm e il taglio alla base è pari al 26% del peso della struttura.

Analisi lineare - 2DOFE’ evidente che si ha un qualche beneficio inserendo il sistema diisolamento, ma comunque risulta minore rispetto al caso di una struttura più rigida.

Infatti se la struttura fosse completamente rigida, il periodo di isolamento sarebbe 2.0 s, lo smorzamento 10% e la velocità spettrale 487.68 mm s-1, lo spostamento alla base 155.19 mm e il taglio alla base 16% del peso della struttura.

L’impiego dell’isolamento per adeguare una struttura deformabile è solo leggermente benefico e probabilmente può risultare conveniente economicamente solo se contemporaneamente siano eseguiti interventi di irrigidimento in elevazione.

RETROFIT OF HISTORICAL MONUMENTS AND … · antisismica si pone a metà strada fra questi due...

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