EletromagnetismoEletromagnetismoEletromagnetismoEletromagnetismo

volume Ivolume Ivolume Ivolume I

∇.D=ρ

∇×E =0

∇×H =J

∇.B=0

Prof. Evandro C. Gondim

1

Livro texto: Eletromagnetismo - Willian H. Hayt Jr (Livro Técnico) Livros recomendados: Eletromagnetismo - Joseph A. Edminister (Coleção Schaum) Eletromagnetismo - Kraus-Carver (Ed. Guanabara)

CAPITULO 1 - RECORDAÇÃO DA TEORIA BÁSICA DA ANÁLISE VETORIAL 1 - Sistemas de coordenadas. São usados os três sistemas: cartesiano, cilíndrico e esférico sendo que a escolha depende da geometria do campo vetorial. De um sistema para outro não passa-se vetores, passa-se apenas coordenadas de pontos. 2 - Representação de unitários e vetores Para evitar confusão com outras grandezas usa-se as seguintes notações cartesianas: A=Axax+Ayay+Azaz cilíndricas: A=Arar+Aøaø+Azaz esféricas: A=Arar+Aθθθθaθθθθ +Aøaø obs.: usa-se o r em lugar do ρ porque esta letra grega é usada para outras grandezas. No restante adotaremos sempre a notação do livro texto. 3 - Os três sistemas e mudanças de coordenadas de um ponto dos sistemas cilíndrico e esférico para o sistema cartesiano. Todos os sistemas se referenciam sempre ao sistema cartesiano. Coordenadas cilíndricas: ar×aφ=az

z

x

y

r P(r ; φφφφ ; z)

φφφφ

z

• Por definição r é sempre positivo ou seja não existe um valor −r como existe um valor −x entretanto poderá haver uma direção negativa de r ou seja −ar

• O sentido de contagem de ø é contrário ao ponteiro dos relógios a partir do eixo x variando de 0 a 360°

• Mudanças de coordenadas de um ponto do sistema cartesiano para o cilíndrico e vice-versa:

____ r=√x2+y2 , ø=arctg(y/x) , z=z e também x=rcosø , y=rsenø , z=z

2

Exemplos: cartesiana para cilíndricas: x=8 ; y=7 ; z=6 _____ r=√82+72=10,63 ; ø=arctg(7/8)=41,186° ; z=6 cilíndricas para cartesianas: r=10 ; ø=40°; z=7 x=10cos40°=7,66 ; y=10sen40°=6,428 ; z=7 Coordenadas esféricas: ar×aθ=aφ

ry

P(r ; θθθθ ; φφφφ)

z

x

θθθθ

φφφφ

• Por definição r é sempre positivo ou seja não existe um valor −r como existe um valor −x entretanto poderá haver uma direção negativa de r ou seja −ar.

• O sentido de contagem de ø é contrário ao ponteiro dos relógios a partir do eixo x variando de 0 a 360°.

• O sentido de contagem de θ é no sentido do ponteiro dos relógios a partir do eixo z variando de 0 a 180° apenas, para evitar que um ponto possa ser definido por dois conjuntos de coordenadas diferentes.

• Para memorizar: o angulo que não e comum aos dois sistemas no caso θ é que fica limitado a apenas 180°.

• Mudanças de coordenadas de um ponto do sistema cartesiano para o esférico e vice-versa:

x=rsenθcosø , y=rsenθsenø , z=rcosθ

r= 2 2 2x y z+ + , θ=arccos z

x y z2 2 2+ + , ø=arctg(y/x)

Exemplos: cartesiana para esféricas: x=3 ; y=5 ; z=9 _______ r=√32+52+92=10,724 ; θ=arccos(9/10,724)=32,939° ; ø=arctg(5/3)= 59,036° esféricas para cartesianas: r=35 ; ø=60° ; θ=29° x = 35sen29°cos60°=8,484 ; y = 35sen29°sen60°=14,695 ; z = 35cos29°=30,612

3

4 - Campos vetoriais Temos um campo vetorial quando os módulos das componentes dos vetores nas três direções não são expressas por escalares e sim por funções que assumem valores diferentes para cada ponto no espaço. Em eletromagnetismo temos inúmeros campos vetoriais tais como por exemplo um campo elétrico qualquer que poderíamos exprimir por: E=x3ax+(x2+z4)ay+ y7az

este mesmo campo poderia variar com o tempo E=[x3ax+(x2+z4)ay+ y7az]senwt 5 - Operações básicas com vetores que são muito usadas em Eletromagnetismo. Em todas as leis existem o uso do produto escalar e do produto vetorial. O produto vetorial em particular evita que se use a antiga regra da mão direita com os três dedos da mão em leis que podem ser expressas por este produto. ax ay az AxB= Ax Ay Az Bx By Bz Para achar o sentido desta operação usamos a regra do parafuso de rosca destrógira ou a mão direita:

A

B

B××××A

Além dos produtos escalar e do produto vetorial que são iguais nos três sistemas é muito comum na resolução de problemas nos depararmos com as seguintes operações: 5.1 - Dados dois pontos encontrar a distância entre os mesmos e o vetor correspondente. Só pode ser usado para coordenadas cartesianas não valendo para outros sistemas. Em outros sistemas temos que converter os pontos para coordenadas cartesianas. ____________________ Distância entre dois pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2): d= √ (x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2 Vetor apontando do ponto A(x1,y1,z1) para o ponto B(x2,y2,z2) R= (x2−x1)ax+(y2−y1)ay+(z2−z1)az final origem 5.2 - Unitário aN normal a uma reta e apontando da reta para o ponto e menor distância R. Dado uma reta caracterizada por: todo x=x2 e todo y=y2 (reta paralela ao eixo z) e o ponto P(x1,y1,z1)

R= ( ) ( )x x y y1 22

1 22− + − ; aR=

( ) ( )

( ) ( )

x x y y

x x y yy1 2 1 2

1 22

1 22

− + −

− + −

a ax

x

z

y y2 x2

aR R

P(x1;y1;z1)

4

5.3 - Componente de um vetor B em uma direção especificada. O produto escalar resolve este tipo de problema

por um unitário a qualquer: Ba=(B.a)a

em uma direção especificada por um vetor A: [ ] 2|A|AB.A

|A|A

|A|AB.BA =

=

5.4 - Referenciar um vetor R à um sistema de coordenadas qualquer R=r−−−−r’ com r’ sendo um vetor da origem do sistema para a origem do vetor

a r rr rR = −

−'

| '| r’ R=r−−−−r’

origem r 5.5 - Vetores deslocamento dL: Importante: O vetor dL é sempre positivo ! cartesianas: dL=dxax+dyay+dzaz cilíndricas: dL=drar+rdøaø+dzaz esféricas: dL=drar+rdθaθθθθ +r senθdøaø Elementos diferenciais de volume e área: 6 - As arestas são as componentes do vetor deslocamento Praticamente todas as fórmulas se baseiam nestes elementos diferenciais cartesianas cilíndricas

5

esféricas

SISTEMA VOLUME ÁREA cartesianas dv=dxdydz ds=dxdy ; ds=dydz ; ds=dzdx cilíndricas dv=rdrdødz ds=rdrdø ; ds=rdødz ; ds=drdz esféricas dv=r2senθdrdødθ ds=r2senθdθdø ; ds=rdθdr ; ds=rsenθdrdø

7 - Vetor área ds=dsaN onde ds é o modulo do vetor que igual à área aN é um vetor unitário normal a área e com sentido determinado em cada lei formulada 8 - Vetores genéricos Podem ser definidos como vetores apontando de qualquer ponto pertencente à uma reta, área ou até um volume para um determinado ponto no espaço. Exemplos esclarecem o assunto: Em coordenadas cartesianas vetor apontando de uma reta sobre o eixo z para um ponto P(x1;y1;z1) com x1,y1,z1>0 R21=x1ax+y1ay−(z −z1)az ou R21=x1ax+y1ay+(z1−z)az Em coordenadas cartesianas vetor apontando de um plano z=z2 para um ponto P(0;0;z1) com z1>z2 e z1,z2>0 R12= −xax−yay+(z1−z2)az

y

x

z

Plano z=z1

R

6

fica negativo porque z1<z2 com z1<z2 e z1,z2<0 R 12= − xax−yay+(z1−z2)az Em coordenadas cilíndricas vetor apontando de uma superfície cilíndrica infinita centrada no eixo z para um ponto situado na origem P(0;0;0): R12= −rar−zaz

não é coordenada negativa é sentido negativo. 9 - Vetor posição r. Define uma posição no espaço Exemplo: Definir a intensidade do campo elétrico em um ponto. Onde: E(r) é a intensidade do campo elétrico no ponto definido pelo vetor posição r Integrais contendo uma função vetorial 10 - integral de linha: Exemplo: Ex = x2+y Ey=z3 Ez=2+y2

E.dl∫ = [Exax+Eyay+Ezaz].[axax+ayay+azaz]= E dx E dy E dzx y z+ +∫ ∫ ∫

Integral de superfície: aN sempre para fora da superfície.

∫∫∫∫ ++= NNN aD.aD.aD.D.ds dsdsds

topo base lado .

r E(r)

z

x

y

aNds

aNds

aNds D

y

x

z

Plano

z=z1 R

Campo vetorial qualquer na região

7

CAPITULO 2

ELETROSTÁTICA - LEI DE COULOMB Neste Capítulo inicia-se o estudo da eletrostática que é o estudo dos campos elétricos gerados por cargas estáticas. 1-Conceito do que é ideal e estático e o sistema de medidas Na natureza são raras as cargas pontuais estáticas umas em relação as outras. Isto apenas uma maneira de simplificar os problemas para facilitar o aprendizado. As leis e definições no eletromagnetismo são formuladas sempre para cargas positivas. Usa-se sempre o sistema SI de medidas. 2-Lei de Coulomb A primeira lei da eletrostática é a Lei de Coulomb: através de uma balança de torção ele colocou em bases matemática o fenômeno a muito tempo conhecido da atração e repulsão de cargas formulando a lei que tem o seu nome. "A força entre duas cargas pontuais separadas pelo vácuo ou espaço livre, à uma distância grande comparada com seus tamanhos, é diretamente proporcional à cada carga e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas".

F kQ QR

1 22=

onde: F medida em Newtons é uma força mútua de igual módulo que age ao longo da linha que une as duas cargas sendo:

• atrativa quando as cargas tem sinais diferentes e • e repulsiva para cargas de sinais iguais,

Q1 e Q2 podem ser positivas ou negativas e são medidas em Coulomb, R é a distância entre as cargas em metros, e k é a constante de proporcionalidade com valor no vácuo de:

k 14 0

=πε

logo F Q Q4 R

1 2

02=

πε

εεεε0 é a permissividade no vácuo com valor: εεεε0=8,854×10−−−−12 F/m ou εεεε0≈≈≈≈(1/36ππππ)×10−−−−9 F/m Usando-se vetores e vetores posição para generalizar para quaisquer sistemas de coordenadas temos:

FR

a21 2

012

Q Q4

=πε 12

2

F Fr r

r rr r2

1 2

2

2 1

2 1

Q Q= − =

−−−1

0 124πε

Q1 Q2

a12 F2

Q2

Q1

F2 r1 r2

r2- r1=R12

Origem do sistema de coordenadas

F1

R12

8

Usando-se vetores nenhuma preocupação devemos ter quanto ao sentido da força ela nos é dada pelos cálculos. EXEMPLO: E2.1 Hayt Q1=2mC em P1(−3;7;−4) e Q2= −5mC em P2(2;4;−1) F2=? e F1=? R12=[2−(−3)]ax+(4−7)ay+[−1−(−4)]az=5ax−3ay+3az |R12|= 5 3 32 2 2+ − +( ) =6,56m

F2 = × × − ×× × ×

− −

−

2 10 5 104 8 854 10 6 56

3 3

12 3π , , 5ax−3ay+3az

F2= −0,3183×103(5ax−3ay+3az)= −1,59ax+0,956ay −0,956az kN F1=1,59ax−0,956ay+0,956az kN 3-Campo elétrico Girando-se uma carga em torno de uma outra vemos que as forças sobre ela variam obedecendo a Lei de Coulomb e em cada ponto temos um vetor força cujo módulo obedece a Lei de Coulomb. Estamos pois diante de um campo vetorial. Se esta carga for uma carga positiva de 1 Coulomb que chamamos de "carga de prova" temos:

FR

aP1 P

0 P1P

Q Q4

=πε 1

2

onde: a1P é um unitário que vai da carga na qual age a força para a carga que provoca a força e |R1P| a distância entre elas.

Por unidade de carga temos: FR

aP

P

1

0 P1PQ

Q4

=πε 1

2

Denominamos este campo vetorial de "campo elétrico" com notação E F= P

PQ

e unidade: FP/QP=Newton/Coulomb=(Newton.metro)/(Coulomb.metro)=Volt/metro Como o campo elétrico foi definido através da relação de uma força sobre uma carga positiva de prova temos como conseqüência que o campo elétrico em qualquer ponto no espaço tem o sentido da força que age sobre uma carga positiva situada naquele ponto. Abandonando-se os índices e generalizando-se temos o campo elétrico de uma carga pontual:

E a= Q4 R0

Rπε 2

onde R - distância entre Q e o ponto onde se quer E aR - unitário que vai de Q para o ponto onde se quer E 4-Campo de uma carga Q Em coordenadas esféricas com a carga na origem, devido a simetria, R = r e aR = ar:

E a= Q4 r0

rπε 2

9

Generalizando-se para uma carga em qualquer ponto do espaço e qualquer sistema de coordenadas:

Er r

r rr r r r

r rr( )Q Q=

−

−−

=−

−4 40

2

0

3πε πε'

'

' '

'

5-Princípio da superposição O campo elétrico não e um fenômeno com saturação, ele é adicionado infinitamente em um ponto. Como conseqüência o campo elétrico de várias cargas é dado pela soma dos campos de cada uma das cargas que compõe o sistema. Usando-se o vetor posição:

Er r

r rr( )mQ

=−

−=

∑4 0

31 πε mm

n

m'

'

6-Campo de uma distribuição volumétrica contínua de cargas. Em uma liga metálica temos átomos e moléculas, que são partículas constituintes desta , e entretanto raciocinamos como se fosse um todo atribuindo à matéria uma densidade volumétrica isto é sem pesquisar a natureza de cada partícula da mesma. Pode-se fazer o mesmo com as cargas elétricas em um volume atribuindo-se às mesmas uma densidade volumétrica de cargas sem pesquisar as diferenças entre cada carga. É dado a essa densidade a notação de ρ e sua unidade é C/m3 Em um pequeno volume ∆v temos: ∆Q=ρ∆v

e assim ρ: ρ =→

lim∆

∆∆v

Qv0

em um volume infinitesimal teremos uma carga pontual de: dQ=ρ dv em um volume finito teremos uma carga total de: Q dQ dv= =∫ ∫ ρ C

Definindo-se um ponto e uma carga pontual dQ por vetores posição r e r' respectivamente o campo elétrico é:

d dQ( )E

r rr rr =

−−

4 0

3πε '

'

r-r1’

E(r)

Q1

r1’

r

r rr r

−−

1

1

'

'

Q2

r-r2’

r2’

Origem do sistema de coordenadas

E(r)

Q

r’ r

r-r’

Origem do sistema de coordenadas

r rr r

−−

'

'

10

Usando-se o princípio da superposição podemos somar as contribuições em todo o volume tornando-se infinito o número de cargas e fazendo o volume tender a zero temos a igualdade:

( )Er r

r rr( )

'dv=

−−∫

ρ

πεr

V

'

'

'

4 0

3

onde:

ρ(r')dv' é um volume incremental contendo "n" cargas em um ponto definido pelo vetor posição r' 7 - Campo em torno de uma linha infinita de cargas uniformemente distribuídas Um feixe de elétrons de um tubo de televisão é o que se constitue algo mais próximo de uma linha de cargas desde que fosse possível parar as cargas no tempo. Pode-se ter neste caso o conceito de uma densidade de cargas linear com símbolo ρL e com unidade C/m. Coloca-se esta linha infinita de cargas sobre o eixo z Usando-se o princípio da superposição dividimos a reta em cargas incrementais dQ=ρLdz (C/m×m=C) Calculando-se a influência de cada carga sobre um ponto P situado sobre um o eixo y vem:

• cada carga provoca sobre no ponto um campo E com componentes unicamente nas direções y e z que varia quando a coordenada y varia,

• a componente na direção z se anula pela simetria logo só temos componentes variando na direção do eixo y,

• desde que y não varie a distância R da carga até o ponto permanece constante logo as superfícies equipotenciais são cilindros concêntricos com o eixo z coincidindo com as coordenadas do sistema cilíndrico.

• Concluímos: só temos componente direção y e as equipotenciais tem formato cilíndrico coincidindo com as coordenadas do sistema cilíndrico. Logo adotaremos o sistema cilíndrico.

Para um a carga incremental dQ=ρLdz em um ponto do eixo z temos:

d dQ4

dz40

RL

0RE

Ra

Ra= =

περ

πε2 2 R=rar−zaz R = +r z2 2

a a aR

r z= −+

r zr z2 2

substituindo-se e integrando-se apenas na direção ar temos :

( )r222

0

Lr

23

220

L22

r2

220

L

zrz

r1

4r

zr4

rdzzrzr4

rdz aaaE∞

∞−

∞

∞−

∞

∞− +=

+=

++= ∫∫ πε

ρ

πε

ρ

πε

ρ

( )E a= − −

ρπε

L

0

r4 r r

1 1 12 2 r e finalmente vem E a= ρπε

L

02 r r

Supondo-se que o aluno não houvesse observado a simetria: resultaria em um maior trabalho e possivelmente integrais mais complicadas porém o resultado seria o mesmo, pois integrando-se na direção az vem:

nula por simetria

y R

z

x

P(r1;φ1;z1) dQ=ρLdz

aR

aR1

Ez= 0 (simetria)

Ez R1

Ey

11

( )0

zr1

4zr4

zdzz22

0

Lz

23

220

L =+

−=+

−=∞

∞−

∞

∞−∫ aaEπερ

πε

ρ

Generalizando-se vem: E a= ρπε

L

02 R R

onde: R é a menor distância entre a reta e o ponto em que desejamos calcular E aR é um unitário a partir da reta apontando para o ponto com suporte em R EXEMPLOS E2.5 Hayt a) ρ=10ze−0,1xsen(πy) em um volume 2 ≥ x ≥ −1 ; 1 ≥ y ≥0 ; 3,6 ≥ z ≥ 3

( )Q ze y dxdydz=−

−

∫∫∫ 101

2

0

1

3

3 6 0 1, ,

senx

π = ( )Q z y e dydz= −∫∫ −

−100

0

1

3

3 6 0 11

2, ,sen π x

( ) ( )Q z y dydz = y dz z0

1= − = =∫∫ ∫28 644 28 644 18 236

236 2

0

1

3

3 6

3

3 6 2

3

3 6

, sen , cos , ,, ,

,

ππ

π C

b) ρ=4xyz em um volume 2 ≥ r ≥ 0 ; π2

≥φ ≥0 ; 3 ≥ z ≥0

x=rcosφ ; y=rsenφ ----> ρ =4zr2cosφsenφ

Q zr drd dz= ∫∫∫ 4 2

0

2

0

2

0

3 πφ φ φcos sen r Q zr drd dz= ∫∫∫ 4 3

0

2

0

2

0

3 πφ φ φcos sen

Q z r d dz = 16 zsen dz = 8z2

40

2 2

0

3 2

= =∫∫ ∫0

2

0

3

0

2

0

3

236

ππ

φ φ φ φcos sen r C

E2.6 Hayt- a) densidade de carga linear de 25nC/m ; todo x= −3 e todo z=4 E=? (na origem)

E a= ρπε

L

02 R R

R=[0−(−3)] ax+(0−4) az = 3ax−4az

( )E = ×

+

−

−

25 10

2 136

10 3 4

9

9 2 2ππ

3ax−4az=54ax−72az

c) mesmos dados porém E no ponto (4;60°;2) x= rcosφ=4cos60°=2 y= rsenφ=4sen60°=2 3 R=[2−(−3)]ax+(2−4)az=5ax−2az

( )E = ×

+ −

−

−

25 10

2 136

10 5 2

9

9 2 2ππ

( )5ax − 2az=77,58ax−31,03az

aR

x

z

y

P(-3 ; y ; 4)

R

12

8 - Campo de uma superfície plana infinita de cargas uniformemente distribuídas. Podemos neste caso definir uma densidade superficial de cargas com símbolo ρS e com unidade C/m2. Colocando-se o plano em zy e trabalhando-se com coordenadas cartesianas podemos dividi-lo em "n" retas infinitas com cargas uniformemente distribuídas e assim vem:

d RE a= ρπε

L

02 R ρL=ρSdy R=xax − yay

R x y2 2= = +R aa a

R =−

+

x y

x yx y

2 2

substituindo-se e pelo princípio da superposição integrando-se:

E a=+−∞

∞

∫ρπε

Sx2 0

xx y

dy2 2 E a a a= = − −

=−∞

∞ρπε

ρπε

π π ρε

Sx

Sx

Sxarctg

2 2 2 2 20 0 0

yx

E a= ρε

Sx2 0

e portanto não varia com nenhuma coordenada sendo independente destas e também

independente da distância do ponto considerado até a folha infinita.

Se o ponto escolhido fosse negativo o resultado seria obtido com R= − xax−yay teríamos E a= − ρε

Sx2 0

Este resultado também pode ser verificado pela colocação de uma carga de prova no ponto.

Generalizando-se vem: E a= ρε

Sn2 0

onde an é um unitário normal á superfície e voltado para o ponto onde desejamos calcular E. Colocando-se agora uma segunda folha com cargas negativas a uma distância "a" medida sobre o eixo dos x temos neste caso an=ax ou an= − ax dependendo do ponto e assim:

x>a E a+ = ρε

Sx2 0

+ E a− = −ρε

Sx2 0

=0

x<0 E a+ = −ρε

Sx2 0

+ E a− = − −ρε

Sx2 0

=0

CAPACITOR

0<x<a E a+ = ρε

Sx2 0

+ E a− = − −ρε

Sx2 0

= ρε

Sx

0

a

EXEMPLOS: 1) plano z=3 com distribuição superficial de cargas de 10−8/6π C/m2 Calcular E em todo o espaço. Trata-se pois de um plano infinito com distribuição uniforme de cargas logo aplicamos para z>3:

nula por simetria

a

z

y

x

+ρS

-ρS

z

y

x R=xax-yay ρL=ρSdy

13

E a= ρε

Sn2 0

= 102 6 10

36

8

9

−

−× × ×ππ

a z =30az

para z<3 E= − 30az 2) 2.25 Hayt superfície quadrada z=0 ; 1 ≥ x≥ −1 ; 1 ≥ y ≥ −1 densidade superficial de cargas |x|nC/m2 E=? no ponto (0; 0; 1) Divide-se o plano em "n" cargas dQ=ρSdydx. Só existem componentes do campo E na direção z porque as demais direções se anulam por simetria:

dE a= dQ4 R0

Zπε 2

R= − xax − yay + az ; R= R = + +x y z2 2 2 ; a aa a a

Rx y z= =

− − +

+ +12

x y z

x y z2 2 2

com z=1 vem:

( )∫ ∫++×××

××= −

− 1

0

1

023

2212

9

1yx

xdxdy10854,84

1022πzE

usando-se: ( ) baxabax

xdx+

−=+

∫ 223

2

1 com a=1 e b=y2+1

E zy y

=+

−+∫35 95 1

11

22 20

1, dy

usando-se dxax b a

x a ax b2

21±

= + ±∫ ln[ ( )]

Ez = 35,95 ( ) ( )ln lny y y y+ + − + +2 2

0

1

1 2 = 35,95(0,881−1,005+0,347)

E=8,01az V/m

nulas por simetria nulas por simetria

dQ=ρSdydx. P(0;0;1) -1;-1;0

1;-1;0

-1;1;0

1;1;0

ρS y

x

z

14

CAPITULO 3

DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 1-Experiência de Faraday • esfera exterior separada em dois semi - hemisférios e descarregada através de conexão momentânea com a terra e manipulada com luvas isolantes • esfera interior carregada positivamente. • entre as duas um isolante. • a esfera exterior que estava descarregada fica carregada com uma carga em módulo igual a da

esfera interior e de sinal contrário. Houve portanto um fenômeno de deslocamento entre as esferas o qual independe do meio entre as esferas. Esta fenômeno foi denominado por Faraday como "fluxo elétrico de deslocamento" ou "fluxo elétrico" sua notação é ψ ,sua unidade é o Coulomb. Como ele é função da carga temos a igualdade: ψ = Q Na experiência de Faraday Q seria a carga total na esfera interna. 2- Densidade de fluxo elétrico D É a relação entre o fluxo elétrico e a área total S da superfície atravessada pelo mesmo:

DS

QS

= =ψ C/m2

D constitui um campo vetorial com: - direção e sentido igual a das linhas de fluxo do campo elétrico - Módulo igual a carga total dentro da superfície fechada dividida pela área da mesma. Na experiência de Faraday teríamos em coordenadas esféricas raio das esferas a e b e centradas na origem:

na esfera interna: D a= Q4 a

1rπ 2 na esfera externa: D a= Q

4 b1

rπ 2 entre as esferas: D a=Q

4 r1

rπ 2

Para uma esfera: E a= Q4 r

1

0rπε 2 portanto D = ε0E

( )Er r

r rr( )

'dv=

−−∫

ρ

πεr

V

'

'

'

4 0

3 logo também ( )Dr r

r rr( )

'dv=

−−∫

ρ

πr

V

'

'

'

43

EXEMPLO: E3.1 Hayt carga pontual em (0; 0; 0) com Q=15π nC. Qual o fluxo total em uma esfera de raio 5m e centro em (1; −1; 2). Como a esfera engloba a carga: ψ = Q =15π = 47,12 C

++ ++

− −

− −

−

−

− −

dielétrico

r-r’

D(r)

Q=ρ(r)dv

r’ r

r rr r

−−

'

'

Origem do sistema de coordenadas

15

3 - Lei de Gauss “O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é igual a carga envolvida pela mesma”

Q d= ∫ D s.S

onde: ds tem sentido para fora do volume que contém Q Q é a carga envolvida que pode ter qualquer configuração ou seja reta, planos etc... EXEMPLO: E3.3 Hayt superfície r = 4,5 e − 3,5 < z < 3,5 ; ψ = ? a)linha de cargas no eixo x com ρL= 2cos(0,1x) C/m

Ψ = = =∫ ∫−

Q = dl 2cos(0,1x)dx = 40,1

xLL -4,5

4,5ρ sen( , ) ,

,

,

0 1 17 44 5

4 5

C

c) plano em z=0 com ρS = 0,1r2 C/m2

∫∫ ∫∫∫ ====Ψ−

5,4

0

32

0

4,5

0

5,4

0

32

0

2

S S 41,64drr1,02drr1,0=drrd0,1rds=Q πφφρππ

C

4- Superfícies Gaussianas. Q d= ∫ D s.

S A expressão matemática da Lei de Gauss é uma equação diferencial de 1ª ordem em que a

incógnita D esta dentro do sinal de integração (quando estamos usando a Lei de Gauss geralmente deseja-se conhecer D). Uma equação deste tipo pode ser impossível de ser resolvida se a superfície de integração não for bem definida. A idéia é retirar D de dentro do sinal de integração ou anular a integral. Assim: D e ds tem que ser em qualquer ponto da superfície escolhida: ⇒ D ⊥ ds anulando a integral ou ⇒ D ⁄⁄ ds resultando em um escalar. Neste caso D tem que ser constante para ser retirado da integral,

restando uma integral de superfície fechada. Não é possível o uso desta Lei para encontrar a densidade de fluxo de duas cargas pontuais porque neste caso não existe uma superfície Gaussiana. 5 - Aplicação da Lei a algumas cargas. a) carga pontual Em coordenadas cilíndricas a superfície Gaussiana é uma esfera centrada na origem e a integração é sobre a superfície de uma esfera.

Q d D r d d r D2 2= = =∫ ∫∫D s a ar r. . senS r00

24

ππθ θ φ π D ar= Q

r24π

4,5

y

z

y

3,5

3,5

16

(não precisa integrar) b)Linha infinita de cargas Em coordenadas cilíndricas. E e portanto também D só varia com r, logo a Gaussiana tem que ser um cilindro. Q d D d LDr r= = =∫ ∫D s s.

S Sr2π Coulombs

D QL

LLr

L L= = =2 2 2π

ρπ

ρπr r r

C/m2

c) Dois cilindros concêntricos ou o cabo coaxial Colocando-se em coordenadas cilíndricas centrado no eixo z e supondo-se densidade de cargas positivas no condutor central, por simetria só existe a componente de D na direção r. As superfícies Gaussianas são cilindros. r < a não existe carga envolvida Q=0 logo D =0 a <r <b com a Gaussiana entre o condutor interno e externo:

Q ad dz aLa = =∫∫ ρ φ π ρπ

S

L

S0

2

02 D Q

rLa L

rLa

rrS S= = =

22

2ππ ρ

πρ D ar= a

rSρ

Com a carga por unidade de comprimento no condutor central: ρL= 2π ρa S vem:

D a ar r= =ar r

S Lρ ρπ2

No condutor externo devemos ter pela experiência de Faraday cargas de igual módulo e sinal oposto logo considerando-se que se tem cargas positivas no condutor interno:

− 2πbLρs,cond.ext. = 2πaLρs,cond.int. ρs,cond.ext. = − ab

ρs,cond.int.

r>b a carga envolvida é igual a zero logo D=0 nesta região e deste modo o campo elétrico fica todo confinado dentro do cabo. 6 - Divergência Duas das Equações de Maxwell são formuladas com esta operação vetorial. A divergência é uma operação sobre um vetor que resulta em um escalar e simplesmente indica a variação da grandeza dentro do volume sem indicar direção ou sentido de saídas ou entrada da mesma no volume. A sua aplicação em um campo vetorial qualquer é ilustrada por dois exemplos práticos:

Densidade linear de carga ds

ds

ds

Dr

z

v v v v

volume de cano em que passa água com representação da velocidade de suas partículas por vetores

a b

z

17

Como a água não pode ser comprimida em todo os pontos dentro do cano a velocidade das partículas é a mesma e toda a água que entra sai do cano. Não existe divergência. Ao ser destampada uma das extremidades as moléculas do ar terão velocidades diferentes em cada ponto dentro do cano e sai mais partículas de ar do cano do que entram. Existe divergência. A analise destes dois casos nos mostra que: • No primeiro caso as fontes e sumidouros do campo que provocavam o deslocamento das partículas

(bomba de água e torneira) estão fora do volume. O campo não sofreu variação de intensidade no mesmo sentido dele.

• No segundo caso as fontes do campo que provocavam o deslocamento das partículas (pressão) estavam dentro do volume. O campo sofreu variação de intensidade no mesmo sentido dele.

Portanto: ♦ Quando houver fontes ou sumidouros dentro do volume existe divergência. Neste caso o valor da

grandeza que entra é diferente da que sai do volume. ♦ Uma divergência: positiva indica que sai mais do que entra dentro do volume (denuncia a existência de fontes do campo

dentro do volume) negativa indica que entra mais do que sai de dentro do volume (denuncia a existência de sumidouros do

campo dentro do volume). O campo que não tem fontes nem sumidouro é chamado de “solenoidal” um exemplo é o campo magnético, portanto Div H =0 Em qualquer livro sobre análise vetorial temos que a divergência de um vetor pode ser expressa por:

divd

vSDD. s

=→

∫lim∆ ∆v 0

cartesianas divD= ∂∂

∂∂

∂∂

Dx

Dy

Dz

x y z+ +

cilíndricas: divD=z

DDr1

r)rD(

r1 zr

∂∂

∂φ∂

∂∂ φ ++

esféricas: divD= 1r

r Dr r

D D2

2r∂

∂ θ∂ θ

∂θ θ∂∂φ

θ φ( )sen

( sen )sen

+ +1 1r

7 - Aplicação da divergência no eletromagnetismo - 1ª equação de Maxwell.

volume de cano com ar sobre pressão e tapado inicialmente com representação da velocidade de suas partículas por vetores

v v

v v

18

Seja um volume diferencial e aplicando-se a Lei de Gauss conhecendo-se o seu valor no centro do volume e como a superfície é pequena podemos considerar D aproximadamente constante na superfície deste. xx aasD.

zyS.Dd frentex,frente

∆∆∆=∫

frente

D D xx,frente x0ax = + ∆

2×(taxa de variação de Dx com x)

D D x Dxx,frente x0

x= +

∆2

∂∂

∴ D. sd D x2

Dx

y zx0x

frente∫ = +

∆ ∆ ∆∂∂

D. sd D x2

Dx

y zx0x

atraz∫ = −

−∆ ∆ ∆∂∂

∴ D. s D. sd d Dx

x y zx

atraz frente∫ ∫+ =

∂∂

∆ ∆ ∆

de modo semelhante teríamos para todas as outras faces e o resultado final é:

Q d Dx

Dy

Dz

x y z = Dx

Dy

Dz

vx y z x y z= = + +

+ +

∫ D. s

S

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∆ ∆ ∆ ∆

Qv

d

vDx

Dy

Dz

Divx y z

∆ ∆= = + + =∫ D. s

DS ∂∂

∂∂

∂∂

ou no limite com ∆v →0:

Div Dx

Dy

Dz

x y zD = = + +ρ ∂∂

∂∂

∂∂

1ª Equação de Maxwell que é a forma pontual da Lei de Gauss

A divergência de D resulta na fonte deste campo que são as cargas positivas. Com DivD=0 não existe fontes (cargas positivas) nem sumidouros (cargas negativas) de D no volume. 8 - Uso do operador nabla no eletromagnetismo.

Por definição zy aaax zyx ∂∂

∂∂

∂∂ ++≡∇ assim Nabla escalar D resulta em:

ρ∂

∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂ =++=

++≡∇

zD

yD

xDD+D+D.

zyx. zyx

zyx zyxzyx aaaaaaD

Logo ∇ =.D ρ 9 - Teorema da divergência Relaciona uma integral dupla de superfície com uma integral tripla de volume. Muito importante em diversas demonstrações.

x y

z

∆z ∆y ∆x

D0=Dx0ax+Dy0ay+Dz0az (valor conhecido no centro)

∆v

19

Q d= ∫ D s.S

; Q dvV

= ∫ ρ ; ∇ =.D ρ ∴

D s .D.d dv dv

V VS∫ ∫ ∫= = ∇ρ logo: D s . D.d dvVS∫ ∫= ∇

Fisicamente podemos analisar este resultado como sendo preferível se preocupar com as conseqüências do que ocorre na superfície de um volume sem se importar como o fenômeno esta se desenvolvendo dentro dele. EXEMPLO: E3.9 Hayt G=2r2(cos5φar − sen5φaφ + az)= 2r2cos5φar − 2r2sen5φaφ + 2r2az região r ≤ 5 ; 0 ≤ φ ≤ 0,1π ; 0 ≤ z ≤ 10. Efetuar ambos os lados do teorema da divergência .

∇.G = z

)2r()5sen2r(r1

r)5cos2rr(

r1

zGG

r1

r)rG(

r1 222

zr

∂∂

∂φφ∂

∂φ∂

∂∂

∂φ∂

∂∂ φ +−+×=++

∇.G = 3 2rr

2rr

r2 2× − × = −cos cos ) cos5 5 5 4 5φ φ φ

∇ = − − = − − = −∫∫∫∫ ∫∫ ∫. cos cos sen, ,

Gdv r rdrd dz = r drd r dr = 8r3V

2 2

0

0,1 2

0

5

4 5 40 5 8 5 100030

5

0

0 1

0

10

0

5

0

0 1

0

5φ φ φ φ φ

π π π

G s.d face com = 0,1 face com r = 5S

= +∫ ∫ ∫φ π ; apenas porque:

• topo e base com áreas iguais e ds opostos e o valor da componente de G na direção sobre as faces

igual desde que Gz = f(r) apenas.

• Na face em que φ=0 temos G.ds= (2r2cos(0)ar − 2r2sen(0)aφ + 2r2az).drdzaφ=0

31000dzd5)5cos(52dzdr)5,0sen(r2d.

10

0

1,0

0

25

0

10

0

2

S−=×+−= ∫ ∫∫ ∫∫

πφφπsG

O que diverge em uma célula converge na adjacente

Só contribui para o total o

que diverge pela superfície

ds=rdφdzar

ds=rdrdφaz

ds=drdzaφ ds=drdz(−aφ)

ds=rdrdφ(−az)

r φ

z 2r2 az

−2r2sen5φ aφ 2r2cos5φ ar

20

CAPITULO 4

ENERGIA E POTÊNCIAL 1-Energia utilizada no movimento de uma carga pontual em um campo elétrico onde: + Q carga a ser deslocada de x2 para x1 Fapl é a força aplicada no percurso

para vencer o campo elétrico (agente externo) FEL é a força produzida pelo campo

elétrico na direção do movimento

FE=+QE ∴ FEL= FE.aL = +QE.aL ∴ Fapl= −−−− QE.aL

O trabalho a ser produzido é: dW = FapldL= −−−− QE.aLdL = −−−− QE.dL ∴ W Q d= − ∫ E L.inicio

fim Joules

que é uma integral de linha com dL é sempre positivo ! o sentido da integração determina o sinal: como dW = −−−− QE.dL o trabalho só se verifica para a componente de E no sentido do deslocamento. • W positivo o agente externo produz o trabalho • W negativo o campo produz o trabalho (o campo elétrico perdeu energia) O caminho dL não é especificado: qualquer caminho conduz aos mesmos resultados desde que quando se perde energia em um determinado percurso ganha-se energia ao se retornar.

No caso tem-se: W Q d Q (E + E + E dx QE x xx z x= − = − = − −∫ ∫E L a a a a. ). ( )inicio

fim

x y y z xx

x

2

1

1 2

com x1 < x2 tem-se x1− x2= − L ∴ W QE x x QE Lx x= − − =( )1 2 A fonte externa neste caso tem que produzir trabalho, e este resultado foi conseguido pelos limites de integração estabelecidos. EXEMPLO: O campo elétrico na região é E=2xax−4yay.Qual o trabalho necessário para deslocar uma carga de 2 C do ponto A(2 ;0 ; 0) para B(0; 2; 0) a) ao longo de um trajeto passando pela origem. entre (2;0;0) e (0;0;0): dW = −−−− QE.dL ∴ dW= −2 (2xax−4yay).dxax = −4xdx entre (0;0;0) e (0;2;0): dW= −2 (2xax−4yay).dyay = 8ydy

W 4xdx ydy= − + =∫ ∫2

0

0

28 24 Joules

b) Por uma reta ligando os dois pontos

FE

E

Fapl FEL x

x1 x2

+Q aL

y

21

Para integrar sobre a reta tem-se que obter a equação da reta entre dois pontos. Isto é dado pela interseção de pois planos que contenham os pontos A(2 ;0 ; 0) e B(0; 2; 0):

ba

b

ba

b

xxxx

yyyy

−−=

−− ∴

020x

202y

−−=

−− ∴ x + y = 2 e dx + dy = 0 ∴ dy = − dx

dW = − 2(2xax−4yay).dxax + dyay + dzaz = −4xdx + 8ydy = −4xdx + 8(2 − x)( − dx) = (4x − 16)dx

W 4x -16)dx= =∫ (2

024 Joules

2-Trabalho em torno de uma linha infinita de cargas. Campos conservativos. a)carga positiva Q em um caminho circular de raio r1 centrado na linha e em um plano perpendicular a mesma. Pela geometria do problema vamos usar coordenadas cilíndricas.

W Q d Qr1

r= − = −∫ ∫E L a. .inicio

fim Lρπε

π

2 00

2 r1dφaφ= 0

portanto qualquer que seja o caminho adotado o resultado é o mesmo e nulo. Nestes casos diz-se que o campo é “um campo conservativo” e uma integral de linha de percurso fechado A L.d∫ nestes campos

resulta sempre em zero. Os campos conservativos não produzem trabalho. • O campo elétrico gerado por cargas é conservativo. • O campo elétrico gerado por campos alternados (do tipo “fem”) não é conservativo!! b)deslocando-se a carga de r1 para r2 no sentido radial com r2>r1. Como independe do percurso escolhe-se um percurso direto entre os pontos.

W Qr

dr Q rrrr

r2= − = −

∫

ρπε

ρπε

L L

2 20 0

2

11

a ar. ln Joules, o campo fornece energia, perde energia portanto.

c)deslocando-se de r2 para r1

W Qr

dr Q rr

Q rrrr

r

2

1= − = −

=

∫

ρπε

ρπε

ρπε

L L L

2 2 20 0

1

2 0

2

1

a ar. ln ln Joules

inverte-se a fração para permitir uma comparação, e comparando-se e vê-se que o campo ganhou energia. 3-Diferença de potencial e potencial “Diferença de potencial V é o trabalho realizado por uma fonte externa ao mover uma carga unitária positiva de um ponto a outro em um campo elétrico”:

r1

y

x z dL= drar+ r1dφaφ+ dzaz

r2

22

V WQ

d dAB = = − = −∫ ∫E L E L. .inicio

fim

B

Avolt Newton m

CoulombJoule

Coulomb= × = =Volt

A = ponto final de potencial mais elevado, sendo o ponto onde esta a carga. B = ponto de referência inicial de potencial menos elevado, sendo considerado geralmente como o infinito. Com V = 0 no infinito e colocando-se B também no infinito tem-se um potencial absoluto, caso não seja especificado B desta forma deve-se indicar onde esta a referência para os potenciais. Esta referência pode ser o chassi de um computador no caso de cabos coaxiais o condutor de fora é a referência zero porque esta geralmente aterrado. Se VAB > 0 será realizado trabalho pela fonte externa para deslocar uma carga de B até A. No exemplo da linha de cargas o ponto r2 > r1 e o campo decresce com r, assim a diferença de potencial entre r2 e r1 é:

Vr

dr rr12 rr

r

2

1= − =

∫

ρπε

ρπε

L L

2 20 0

2

1

a ar. ln

Se o potencial de um ponto é VA e de outro é VB e ambos tem obrigatoriamente a mesma referência zero:

VAB=VA-VB 4 - Princípio da superposição. Potencial em torno de uma carga e de um sistema de cargas. O potencial também segue o “princípio da superposição” portanto uma estrutura mais complicada pode ser decomposta em uma série de cargas pontuais e calcula-se V em um ponto (a exemplo do que foi feito com E) pela soma de V neste ponto provocado por cada carga individual. Assim torna-se importante calcular-se o potencial em torno de uma carga. Colocando-se a carga na origem de um sistema de coordenada esférica para facilitar o trabalho desde que o campo é esférico em torno da carga, calcula-se a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer A e B. Como independe do percurso faz-se ele o mais genérico possível:

( )V d Qr

dr + rd + r sen d Q 1r

1rAB 2

A B

= − = − = −

∫ ∫E L a a a ar r. .

B

A

B

A

4 40 0πεθ θ φ

πεθ φ

Deslocando-se o ponto B para o infinito ( potencial absoluto) tem-se potencial absoluto de uma carga pontual:

V Q 1r

1 QrA

= −∞

=

4 40 0πε πε generalizando-se V Q

( )r r r=

−4 0πε '

Em um sistema de n cargas pontuais que podem ser representadas por um elemento contínuo de carga volumétrica de dimensões infinitesimais: Qm=ρm(r)dv com m=1 até n

r-r2’

r-r1’

V( r)=?

Q1=ρ1(r’)dv

r1’

r rr r

−−

1

1

'

'

r2’

Origem do sistema

Q2=ρ2(r’)dv

r

23

V Q( )

mr r r

=−=

∑4 01 πε mm

n

'

Passando-se o somatório para uma integral:

( )Vdv

( )

'

Vr r r=

−∫ρ

πεr '

'4 0

Se as cargas estiverem dispostas em uma reta ou um plano:

( )VdL

( )

'

Lr r r=

−∫ρ

πεL r '

'4 0

; ( )Vds

( )

'

Sr r r=

−∫ρ

πεS r '

'4 0

EXEMPLOS:

E 4.5 Q=1,6×10−9 C; V=? em r = 0,7 m (pt. A) V Q 1r

1rAB

A B

= −

4 0πε

a) referência no infinito V 1,6 10 10,7A

-9

= ×

4 0πε

=20,5 V (potencial absoluto)

b) 0 em r = 0,5 m ∴ V 1,6 10 10,7

10,5A

-9

= × −

4 0πε

=20,5 − 28,7= −8,22 V (referido a um zero que não esta no

infinito logo não é um potencial absoluto).

c) VB = 5 V em r =10 m ∴ V 1,6 10 10,7

110AB

-9

= × −

4 0πε

= 6,17 V o potencial absoluto em r =10 é 5V logo:

VA=6,17+5=11,7 V (potencial absoluto)

E4.6 P(0; 0; 10) V=? R= − rar+zaz= − rar+ 10az a) anel com largura infinitesimal com r=4 em z=0 e ρL= 5×10-9 C:

( )VdL 5 10 d

( )

'

L

-9 '

r r r=

−= × ×

+=∫ ∫

ρ

πεφ

πε

πL r '

',

44

4 4 10104 9

0 02 20

2V

b) Disco 4 ≥ r ≥ 0 em z=0 e ρS= 2×10-9 C:

( )Vds rdrd

r 10rdr

r 10r 10( )

'

S

'

2 20

2

0

4 '

2 20

4 2 2r r r

=−

= ×+

=+

= + =∫ ∫∫ ∫−ρ

πεφ

πε

πS r '

' , ,,

42 104

10008 854

10008 854

86 970

9

00

4 V

c) Anel 4 ≥ r ≥ 2 em z=0 e ρS= 3×10-9 C:

dL=rdφ

x

y

z

P R

ds=rdφdr

24

V rdrdr 10

r 10( )

'

2 20

2

2

4 2 2r = ×

+=

×+ =

−

∫∫3 104

30002 8 854

979

02

4φπε

π

, V

5-Gradiente e Gradiente do potencial ♦ divergência é uma operação sobre um vetor que tem como resultado um escalar ♦ gradiente é uma operação sobre um escalar que resulta em um vetor. Seja uma região com taxas de variação de altitude em metros quando caminhamos um quilometro nas direções x = 4m/km e y = 3m/km. Para saber-se a elevação em qualquer ponto podemos exprimi-la em termos de x e y por uma função do tipo P=1000+4x+3y metros. onde: 1000 é a elevação do seção do mapa em relação ao nível do mar Coloca-se um vetor que denomina-se “Gradiente” com componentes nas duas direções tendo como módulo as declividades em cada direção x e y. Como a declividade é a maior taxa de variação da elevação em uma dada direção elas serão

respectivamente: ∂∂Px xa e ∂

∂Py ya e assim ele esta na direção mais íngreme:

GradienteP= ∂∂

∂∂

Px

Pyx ya a+

Duas características são muito importantes no gradiente • A direção do vetor gradiente faz sempre angulo reto com às curvas isométricas.

A inclinação mais íngreme pode ser encontrada descendo a elevação na distância mais curta e isto é conseguido tomando-se uma direção perpendicular às curvas isométricas.

• O modulo do vetor gradiente será proporcional ao espaçamento das linhas de contorno. Quanto menor o

espaçamento maior será a declividade e a taxa de variação da função e conseqüentemente o módulo do vetor gradiente.

Na região considerada: P=1000+4x+3y metros logo GradienteP=4ax+3ay Isto indica que a inclinação em qualquer direção é a mesma porque as componentes do gradiente não são função de x e y.

Para três dimensões temos: Gradiente P= ∂∂

∂∂

∂∂

Px

Py

Pzx y za a a+ +

Y

X

yyP a

∂∂

xxP a

∂∂

Gradiente P

4m/km

3m/km P=1000+4x+3y

25

ou usando-se o operador Nabla ∂∂

∂∂

∂∂x y z

P = Px y za a a+ +

∇ = GradienteP

matematicamente tem-se: ∇ + +

P d = P

xPy

Pzx y z. L a a a∂

∂∂∂

∂∂

.(dxax+dyay+dzaz)

∇P d. L = ∂∂

∂∂

∂∂

Px

dx Py

dy Pz

dz+ +

a igualdade da direita é a derivada total da função que exprime o campo escalar e portanto é a variação da função P para um movimento em uma distância dL logo:

∂∂

∂∂

∂∂

Px

dx Py

dy Pz

dz+ + =dP ∴ ∇P d. L = dP =|∇P||dL|cosφ

♦ φ = 90° ⇒ dP=0 logo para deslocamentos em qualquer distância não existe variação e só pode ter se

dado em uma curva de nível ou superfície equipotencial e Gradiente P é normal a esta. ♦ φ = 0° temos o valor máximo de dP e Gradiente P esta na mesma direção de dL. Portanto a direção do

gradiente é a direção de maior valor de variação da função. Portanto o gradiente tem a direção e módulo da maior taxa de variação positiva de um campo escalar em um ponto. Estes mesmos raciocínios valem também para coordenadas cilíndricas e esféricas.

Passando agora para o campo elétrico tem-se: V dAB = −∫ E L.B

A

Para um elemento muito pequeno de comprimento em que E seja essencialmente constante vem:

∇ V= − E.∆L=|E||∆L|cosφ no limite: dVdL

E= − cosφ

φ=180° temos o máximo da função, e isto é conseguido quando os deslocamentos dL são opostos a direção de E φ=90° resulta V=0 e como nem E nem ∆L são iguais a zero conclui-se que os vetores são perpendiculares e que o deslocamento se deu em uma equipotêncial. Definindo-se um unitário aN perpendicular as equipotenciais e na direção dos potenciais mais elevados

E a a= − = −dVdL

dVdNmax

N N

onde a notação dN lembra que dL é normal às equipotenciais. Ou seja o módulo de E é dado pela máxima taxa de variação espacial de V e a direção de E é normal à superfície equipotencial no sentido decrescente do potencial, portanto:

E= − ∇ V ou E= − ∂∂

∂∂

∂∂

Vx

Vy

Vzx y za a a+ +

26

nos demais sistemas de coordenadas vem:

cilíndricas: ∇V= ∂∂Vr

ar+1r

V∂∂φ

aø +∂∂Vz

az

esféricas: ∇V= ∂∂Vr

ar+1r

V∂∂θ

aθ +1

rV

senθ∂∂φ

aø

Os denominadores tem a forma do vetor deslocamento dL em cada sistema. EXEMPLOS: Campo elétrico de uma reta infinita carregada Colocando-se a origem no infinito e considerando um valor de potencial nulo no infinito temos os potenciais absolutos em torno da reta com r2 > r1:

( )Vrdr r r r r r

12 r

r

2

1= − = − − = − − ∞

= − + = −∫

ρπε

ρπε

ρπε

ρπε

ρπε

ρπε

L L L L L L

2 2 2 2 20

20 01 2

0 0 0 0

ln ln ln ln ln ln

V r= − ρ

πεL ln

2 0

; ∇ =−

= −V

r

r rr r

∂ ρπε

∂ρπε

L

L

ln2

20

0

a a ; E= − ∇ V ; E a= ρπε

L

2 0r r

V=f(r) logo as superfícies equipotenciais são cilindros concêntricos com a reta. E4.8 do Hayt V=50x2yz+20y2 V=? no vácuo.

a) no Pt (1; 2; 3) V=50×12×2×3 + 20×22 = 380 V

b) EP = ? EP= − ∆V= − ∂∂

∂∂

∂∂

Vx

Vy

Vzx y za a a+ +

EP = −100xyz ax−(50x2z+40y) ay−50x2y az EP= −600ax−230ay−100az c) ρP=? ∇.D=∇.ε0E = ρ E = −100xyz ax−(50x2z+40y) ay−50x2y az

∇.ε0E = ∂ε∂

∂ε∂

∂ε∂

0 0 0Ex

Ey

Ez

x y z+ + ∴ ρP = −100ε0zy − 40ε0= −−−− 5,66 nC/m3

d) dVdN

=? E a= − dVdN N EP= −600ax−230ay−100az ∴ dV

dN= + + =600 230 100 6502 2 2 V/m

0

10

20

30

0 1020

30

0

1 106

2 106

3 106

4 106

Z=3

Potenciais se afastando da reta

Z

Y

X

x y

z

∇∇∇∇V

E

r2 r1

27

esta resposta corresponde à máxima taxa de variação da função potencial.

e) aN em Pt (1; 2; 3) = ? − dVdN Na = −600ax−230ay−100az ∴

a N =+ +

600 230 100600 230 1002 2 2

; ; = 0,923ax+ 0,35ay + 0,154az

6 - O dipolo elétrico São duas cargas pontuais, iguais sinais contrários e separadas por uma distância "d" muito pequena. O estudo desta configuração de cargas se deve, a necessidade de termos elementos para estudar os materiais dielétricos mais adiante. Em coordenadas esféricas e com o dipolo na origem temos V em um ponto P com R1 e R2>>>>>>> d.

V Q 1R

1R

Q R RR RP

1 2

2 1

1 2

= −

= −

4 40 0πε πε

considerando-se a diferença entre R2 − R1=dcosθ e desprezando-se a diferença entre R1 e R2 e r

V QdcosrP 2= θ

πε4 0

∇ V= ∂∂Vr

ar+1r

V∂∂θ

aθ +1

rV

senθ∂∂φ

aø ; E= − ∇ V

( )θθ θθπεπε

θπε

θ aaaaE sen2cosr4

Qdr4

Qdsenr2

Qdcosr3

03

0r3

0

+=

−−−=

Definindo-se um vetor d dirigido de −Q para +Q e também um “momento de dipolo”

p = Qd C.m

como d.ar=dcosθ (dipolo na origem): V Qdcosr

Qr rP 2

r2

r2= = =θ

πε πε πε4 4 40 0 0

d a p a. .

Generalizando-se ( ) ( )

V 1( )r

r r

p r r

r r

p r r

r r=

−

−

−=

−

−4 40

2

0

3πε πε'

'

'

'

'

. .

EXEMPLO: E4.9 p = 400πε0(0,6ax− 0,75ay+0,8az) C.m em um dipolo centrado na origem. V=? em PA(0; 0; 5)

d

V=? em P +Q

−Q R2

R1 θ ar

r

dcosθ

V( r)

+Q

r’ r

r-r’

Origem do sistema de coordenadas

r rr r

−−

'

'

−Q

Centro do dipolo

d

28

r − r’ = 5az

( )V( )

z y z zr

a a a . a=

− +400 0 6 0 75 0 8 54 5

0

03

πεπε

( , , , ) = 3,2 V

7-Energia total no campo eletrostático, em uma região. 7.1 Energia em um sistema de cargas pontuais O trabalho realizado por uma fonte externa para trazer uma carga de um ponto distante até um ponto mais próximo de uma outra carga fica acumulado na forma de energia potencial que seria liberada no caso de desligamento da fonte externa. Portanto a energia potencial de um sistemas de cargas será a soma dos trabalhos realizados pela fonte externa para posicionar cargas. Em um universo vazio e sem cargas para trazer a primeira carga não trabalha contra nenhum campo portanto não é realizado trabalho pela fonte externa. O trabalho para trazer a segunda carga e coloca-la no ponto é: W2=Q2V21 Para uma terceira carga a energia acumulada é: WE= W1+ W2 +W3=0 + Q2V21 + Q3V31+ Q3V32

Para obter simplificações computa-se o trabalho para trazer as cargas em ordem inversa e pelo principio da superposição podemos somar estas duas ultimas expressões: WE= W3+ W2 +W1=0 + Q2V23 + Q1V13+ Q1V12 2WE= Q2V21 + Q3V31 + Q3V32 + Q2V23 + Q1V13 + Q1V12 = Q1 (V12 + V13) + Q2 (V21 +V23 ) + Q3 (V31 + V32) como o trabalho foi computado duas vezes o seu valor é dividido pela metade: 12

WE= Q1V1 + Q2V2+ Q3V3

Para “n” cargas a energia total dentro do volume é: W Q VE m mm 1

n

==

∑12

Joules

E a densidade de energia: Wvolume

Jm

E3=

7.2 Energia em um sistema de contínuo de cargas Em uma região com distribuição contínua de cargas: dQm=ρdvm e o somatório se transforma em uma integral:

W V dvE V= ∫

12

ρ Joules

fazendo-se uso da identidade vetorial : ∇.(VD) ≡V(∇.D)+D.(∇V) e ∇.D = ρ

Carga que provoca o potencial

pont

V1 V2 V3

−Q x

y

z

+Q P

29

( ) ( )[ ]W V dv V dv V V dvE V V V= = ∇ = ∇ − ∇∫ ∫ ∫

12

12

12

ρ . . .D D D

• A primeira integral pelo teorema da divergência resulta: ( )∇ ∫∫ . .V dv = V d

SVD D s

• A segunda integral resulta: − ∇ =∫ ∫∫∫12

12

12

120 0D D E E E. . .Vdv dv = dv = E dv

V

2

VVVε ε

logo: W V d + E dvE2

VS= ∫∫

12

12 0D. s ε

Em torno de uma carga pontual, em um volume esférico de superfície com raio b vem:

∫ ∫ ∫∫ ∫ +×=π ππ π

φθθεπ

εφθθππε

2

0 0

242

022

2

02

2

0 02

0E ddrdsenr

r4Q

21senr

r4Q

r4Q

21W

a

b

dd

W Qb

Q 1a

1b

QaE

2 2 2

= + −

=4 4 40 0 0πε πε πε

logo o resultado independe da superfície do volume pois a primeira integral diminui na mesma proporção que a segunda aumenta. Calculando-se para um volume com superfície infinita a integral de área é nula portanto:

W dv = E dvE2

VV= ∫∫

12

12 0D E. ε Joules

EXEMPLOS: 1-Calcular a energia acumulada por metro de um cabo coaxial:

E a= ρε

Sr

ar0

(a < r < b) ; W E dvE2

V= ∫

12 0ε ; dv = rdrdφdz

ablna=dzrdrd

ra

21W

1

0

2

00

2S

2

220

2S

20

E ∫ ∫ ∫=π

ερπφ

ερεb

a Joules/m

2-Quanto vale a energia acumulada em um sistema de duas cargas pontuais Q1=3nC e Q2= − 3nC separadas por 0,2 metros.

2WE= Q1 Q

d2

4 0πε+ Q2

Qd

1

4 0πε ∴ WE=

( )Q Qd

3 100,2

1 2-9

4 4405

0

2

0πε πε=

×= − nano Joules Porque negativa?

E4.11 coordenadas esféricas 10 ≥ r V=100r2 WE = ? é uma esfera porém deve-se integrar a variável junto com o volume E= −−−− ∇V= ∂(− 100r2)/∂r = − 200r

( )W r r sen drd dE2

000

= −∫∫∫12

200 20

102

ε θ θ φππ

∴ W dE = ××

− =∫ε θ φππ0

9

0

24 102 5

cos o 44,51 mJ

E= −∇V

30

CAPITULO 5 CARGAS ELÉTRICAS EM MOVIMENTO, CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 1-Corrente elétrica Cargas elétricas passando por um ponto ou superfície constituem uma corrente elétrica. A corrente elétrica não constitue um campo vetorial, e isto porque não seria possível representar uma corrente por um vetor dentro de um condutor de seção reta variável tal como por exemplo uma esfera, visto que ela teria uma direção diferente em cada seção da esfera. Quando a razão das cargas que passam por uma determinada superfície for 1 coulomb/segundo teremos um Ampère.

1 Ampère=1 Coulomb/1 segundo Nos metais as cargas são os elétrons que tem cargas negativas ( nos condutores líquidos as cargas são conduzidas por íons ). Entretanto mais uma vez vamos utilizar cargas positivas para uma definição dentro do eletromagnetismo e como resultado disto a corrente terá o sentido contrário ao movimento dos elétrons em um condutor.

I=dQ/dt Assim o campo elétrico e a corrente tem o mesmo sentido em um condutor fluindo portanto dos pontos de maiores potenciais para os de menores potenciais. 2- Corrente de condução e corrente de convecção. • Corrente de condução é o movimento dos elétrons dentro de um fio metálico que é feita de átomo a

átomo • Corrente de convecção é um movimento de elétrons transportados de um ponto para outro como por

exemplo dentro de um tubo de raios catódicos de um monitor de computador em que os mesmos bombardeiam uma película de substâncias fosforescentes com um feixe de elétrons.

• Na corrente de condução o limite é o condutor. • Na corrente de convecção o limite é o espaço de movimento das cargas • Na corrente de convecção o movimento das cargas tem o mesmo sentido dos elétrons. Algumas definições que veremos não se aplicam a ambos os tipos de correntes. 3- Densidade de corrente Definição: com a área suficientemente pequena para se considerar a corrente uniformemente distribuída, para uma corrente incremental ∆I que atravessa uma área incremental ∆S temos:

∆I=Jn∆Sn no limite temos Jn= lim∆

∆∆Sn

I→0 S

logo dI=Jnds

onde: Jn densidade de corrente com direção normal ao plano S e medida em A/m2.

Integrando-se e com o conceito de se achar a componente de um vetor em uma dada direção vem: I

S= ∫ J.ds

onde: ds é o vetor área. No espaço livre J=0 (não existe cargas) 3.1-Relacionamento pontual entre J e ρ. Tem-se um volume com uma carga incremental Qt, conforme figura, posicionado em t=0 com uma das faces colada na origem tendo um plano colado na sua face mais distante da origem e portanto perpendicular ao eixo x e a uma distancia ∆L desta.Em um tempo incremental ∆t a carga moveu-se de uma distância ∆x.

E e I - elétron

ds Jn

31

A carga total no volume é ∆Qt=ρ∆V=∆S ∆Lρ

em um tempo logo ∆t passou pelo plano ∆I =t

xSt

QX

∆∆∆=

∆∆ ρ mas: vx= lim

∆

∆∆t

xt→0

∆I=ρ ∆S vx segue finalmente: ∆∆

IS

= ρvx = Jx

Generalizando-se: J=ρv onde: v é o vetor velocidade de deslocamento das cargas. Logo J = f(densidade volumétrica de cargas e velocidade de deslocamento) assim como a quantidade de veículos que passam em um túnel depende da proximidade entre eles e de suas velocidades. Isto se aplica a qualquer tipo de corrente. 4-Equação da continuidade - continuidade da corrente. O princípio da conservação de cargas estabelece que as cargas não podem ser destruídas nem criadas, embora quantidades iguais de cargas positivas e negativas possam ser criadas nas mesmas quantidades. Assim em uma região confinada dentro de uma superfície fechada: I

S= ∫ J.ds que pelo teorema da divergência vem I v

V= ∇∫ . Jd

onde I é a corrente que atravessa a superfície fechada saindo dela a carga dentro dela decresce na razão negativa de − dQi/dt onde Qi a carga inicial, assim:

IS

= ∫ J.ds = − dQi/dt que é a forma integral da equação da continuidade.

Se as cargas fossem elétrons (negativas) teríamos uma taxa positiva ou seja acréscimo de cargas dentro da superfície fechada. Vamos deduzir agora a forma pontual usando o teorema da divergência:

IS

= ∫ J.ds = I vV

= ∇∫ . Jd ; Qi= ρdvV∫ temos ∇ = −∫ ∫. Jd d

dtv dv

V Vρ

com o volume constante a derivada transforma-se em parcial e podemos levar ela para dentro da integral:

∇ = −∫ ∫. Jdvt

dvV V

∂ρ∂

integrando-se em um volume: ∇ = −. J ∂ρ∂t

que é a forma pontual

Usando-se a interpretação física do resultado de uma operação de divergência que é o quanto de uma grandeza esta “deixando” ou “entrando” em um volume vemos que existem sumidouros dentro do volume pois a divergência é negativa. Este sumidouro é a corrente para fora do volume que é alimentada pelas cargas.

∆L ∆S

∆Qt=ρ∆v t=0

∆S ∆x

∆L ∆x

t=∆t

vx componente da velocidade na direção de x

32

EXEMPLO: E5.2 Haytt a) I=? superfície esférica centrada na origem com r=1mm com J=10r−1,5ar

IS

= ∫ J.ds = 10 1 5 2

0

2

0r . r−∫∫ , sena ar rθ θ φ

ππd d =10r−1,5 4πr2=40π r =40π 0,001 =3,97 A

c) Qual a taxa de variação de ρ? ∇ = −. J ∂ρ∂t

∇ = =−

−. J 1 10 52

2 1 52 5

r∂

∂r r

rr

,, − = −∂ρ

∂tr5 2 5, com r=1mm ∂ρ

∂t= − ×1 58 108, C/m3

d) com que taxa esta variando a carga no interior da esfera de r=1mm? Como existe corrente através da superfície de 3,97 Amp a carga esta diminuindo − 3,97 C/seg. 4- Condutores metálicos Os átomos tem os elétrons em orbita conforme os níveis de energia sendo que os elétrons dos níveis mais altos estão na "banda de valência". Estes elétrons da banda de valência são os elétrons de condução ou ainda livres que podem se liberar do átomo em determinadas circunstâncias.. Acima desta faixa existe uma em que a energia é proibida podendo: ∗ não existir:neste caso teremos um condutor ∗ ser bastante larga:neste caso teremos um isolante ∗ ter um valor intermediario:neste caso teremos um semicondutor Acima desta faixa temos a "banda de condução". Sob ação de um campo elétrico externo os elétrons da banda de valência podem atravessar a faixa proibida e atingindo a banda de condução onde fica frouxamente ligado ao átomo podendo migrar de um átomo para o outro constituindo uma corrente elétrica. • No caso de condutores este campo elétrico pode ter um valor moderado e nos bons condutores (cobre,

alumínio, prata, etc.) ele pode ser ainda mais moderado. • No caso dos dielétricos (mica, asbestos, derivados do petroléo, etc) este campo deve ser bastante intenso

para que os elétrons atravessem a banda proibida e neste caso se diz que rompeu-se o dielétrico. • No caso intermediário dos semicondutores (silício, germanio, etc) sob condições controladas eles podem

se tornar condutores, sendo portanto úteis na fabricação de componentes eletrônicos. Do acima exposto podemos tirar duas conclusões: ♦ Dentro de um condutor E=0 em condições estáticas, caso contrário não haveria a condição estática. ♦ Dentro de um dielétrico não pode haver cargas livres provocadas por campos elétricos, apenas

poderiam existir se provocadas por trabalho mecânico tal como atrito. 4.1-Velocidade de arrastamento (drift) e mobilidade do elétron. J=ρ v mas dentro de um condutor v tem uma notação vd e se denomina “velocidade de arrastamento” O campo elétrico submete o elétron a uma força: F=QE como no caso Q é um elétron F= − eE

E

Banda de condução

Banda de valência

condução valência

condução condução

valência valência

Zona proibida

condutor dielétrico semicondutor

Não precisa integrar porque é a superfície de uma esfera

Zona proibida

átomo

33

onde "e" é a carga do elétron = − 1,609×10−19 Coulombs O elétron acelerado por F começa a se chocar com a estrutura cristalina gerando calor e uma força de atrito Fa. Quando F= Fa ele adquire uma velocidade constante vd. Para poder-se tabelar vd em diversos materiais, portanto com diferentes estruturas cristalinas, em função de um determinado E foi criada a grandeza µe que é a “mobilidade do elétron” (positiva por definição) e tem unidade m2/Volts.segundo: vd= − µeE (sinal negativo devido ao sentido de deslocamento do elétron) µe é também diferente para cada temperatura devido a maior ou menor vibração desta estrutura causando mais choques do elétron com a mesma e portanto maior força de atrito. Valores típicos da mobilidade dos elétrons são na temperatura ambiente: Al 0,0012 m2/Volts.segundo Cu 0,0032 m2/Volts.segundo Ag 0,0056 m2/Volts.segundo Finalmente para um condutor podemos escrever: J=ρevd= − ρeµeE onde: ρe é a densidade de carga elétrons, que é negativa e assim J e E apresentam orientações iguais tal como ocorre em um condutor. Mais adiante no estudo do campo magnético é mostrado como se calcula vd e µe de forma indireta em um condutor com o auxilio do efeito Hall. EXEMPLOS: 1-Seja um fio de cobre com área de 1,5 mm2 e extensão 1000 metros submetido a uma ddp entre os dois terminais de 220 V. Qual a velocidade de arrastamento dos elétrons? esta é uma corrente de condução logo E=220/1000=0,22 V/m vd= − 0,0032×0,22= − 0,000704 m/seg ou seja 2,534 m/h ou ainda 22km por ano. 2-Um elétron de um feixe de raios catódicos esta submetido à um potencial de 1000V. Se o elétron parte do repouso qual a sua velocidade? esta é uma corrente de convecção q= − 1,6×10−19 C m = 9,1×10−31 kg V=1000 V =Vab

W q qVab ab= − = −∫ E.dLb

a

considerando-se a variação de energia na fonte externa temos: Wab=(1/2)m(vb)2 − (1/2)m(va)2 e como va=0 (repouso) logo − qVab=(1/2)m(vb)2 − (− 1,6×10−19)×(1000)=(1/2)×9,1×10−31(vb)2 ∴ vb=1,88×107 m/seg=18800 km/seg Comparando-se estes dois exercícios: 18800 km/seg>>>>>0,00074 km/seg ou seja muito maior que a velocidade da corrente de condução.

5- Resistência R= VIab =

−∫∫

E.dL

J.dsb

a

S

• J e E são uniformes no interior de um condutor com corrente não variável no tempo. • E é constante ao longo de um condutor com mesma direção de dL e ds. Assim com b>a:

Va=1000 V Vb=0 V

Canhão do tubo Tela do tubo de raios catódicos do monitor

E

34

R= VI

EdL

Jds

E dL

J dsELJS

ab =−

=−

=−

=∫∫

∫∫

∫∫

E.dL

J.dsb

a

S

b

a

S

b

a

S

R = ELJS

6-Condutividade Visto que a resistência de um condutor depende do tipo do material, forma e tamanho torna-se necessário definir uma grandeza que varie só com a substância. Esta grandeza é a condutividade σ (sigma). A unidade é mho/metro com 1mho=ampère/volt=1Siemens (que é a unidade mais moderna). mho é ohm ao inverso por isto o símbolo também é o omega ao inverso Ω. O relacionamento entre J e E passa a ser dado por: J=σE (que é a forma pontual da lei de Ohm) Pode-se conseguir agora uma forma mais simples de cálculo da resistência baseada na σ:

R = = =ELJS

ELES

LSσ σ

R = LSσ

Valores típicos de condutividade: Al-->3,82×107 mho/metro Cu-->5,80×107 mho/metro Ag-->6,17×107 mho/metro O valor inverso da condutividade é a resistividade com unidade ohm/metro. Não usaremos a resistividade por isto não vamos atribuir símbolo para ela.

J= − ρeµeE ; J=σE logo σ= − ρeµe como ρe é negativa σ é positiva. Com temperatura mais elevada µe diminui devido a maior vibração da estrutura cristalina em conseqüência: • condutividade → diminui (sentido contrário ao dos semicondutores!!) e portanto: • resistividade → aumenta • vd (velocidade de arrastamento) → diminui • J → diminui 7-Condições de contorno em condições estáticas. Em condições estáticas em um condutor: • E=0 no interior do condutor. • Qualquer carga que exista dentro do condutor é forçada pela atração ou repulsão com os elétrons para a

superfície, sendo retida pela estrutura cristalina do mesmo, constituindo em uma ρS que pode alterar os campos externos.

Deve-se verificar quais são estas alterações e estas verificações são denominadas “condições de fronteira” ou “condições de contorno”. Serão feitas outras verificações similares mais adiante sempre usando-se a mesma técnica e ferramentas. Condições de contorno condutor××××vácuo: legenda: n = normal e t = tangencial Decompondo-se o campo externo em duas componentes onde os índices indicam as direções:

Fronteira Infinita En

Et

E Dn

Dt

D ∆w

++++++++++

Cargas livres dentro do condutor expulsas para a superfície

++++++++++

a

∆w

∆s b

∆h ∆h

Condutor E=0

Vácuo

c d

35

Componentes tangenciais

No percusso fechado "a,b,c,d,a", como o campo é conservativo vem: E.dL∫ =0= + + +∫ ∫ ∫ ∫a

b

b

c

c

d

d

a

Dentro do condutor E=0 portanto resta apenas o trecho do percurso fora do condutor: Et ∆w −En,em b(∆h/2) + En,em a(∆h/2)=0 ⇒ ∆h→0 e ∆w pequeno e finito ⇒ ∆Va,b=0 desprezando-se as diferenças de potencial devido a presença de cargas na superfície Et ∆W=0, como ∆W≠0 logo Et=0 e também Dt=0 Componentes normais Aplicando-se no pequeno cilindro a Lei de Gauss: Q

S= ∫ D.ds = + +∫∫∫ ladobasetopo

⇒ Et=0 logo a integração no lado é igual a zero ⇒ E=0 dentro do condutor (condições estáticas) logo a integração na base é também igual a zero ⇒ No topo com Dn constante ∆sρs=Dn∆s portanto Dn = ρs e En= Dn/ε0 Resumindo: Et=0 En= Dn/ε0 Dt=0 Dn=ρs Logo: Em condições estáticas uma superfície condutora é uma equipotencial pois Et=0 Generalizando-se a última expressão: D=aNρs EXEMPLO: E5.5 do Haytt P(−2 ; 4 ; 1) superfície condutor×vácuo com E=400ax −290ay+310az V/m a) |EN| em P=? D=aNρs logo |EN| = |E| = 583 V/m b) ρs em P=? |D|=ρs |D|=|E|ε0= 583×8,854×10−12 = 5,16 nC/m2 8- Semicondutores Estes materiais seguem a lei pontual de Ohm J=σE, isto significa que sua σ não se altera com o aumento da corrente e com a direção da densidade de corrente. Nestes materiais dois tipos de portadores de cargas estão presentes: • elétrons • buracos Os "buracos" são estados de energia na banda de valência que se localizam nas posições vagas deixadas pelos elétrons que atingiram a banda de condução após atravessar a banda proibida (que neste caso é um pouco maior que nos condutores). Os buracos se movem também de átomo para átomo na rede cristalina. Os buracos podem ser tratados como tendo: • uma carga positiva "e" de igual módulo da carga do elétron

vácuo condutor

aN

36

• uma mobilidade µh≠µe • uma densidade volumétrica ρh≈ρe (eles se originam das "vagas" deixadas por estes) • movimento em direção oposta a do elétron por ter cargas de sinal oposto O elétron e o buraco contribuem para a corrente total logo: σ = − ρeµe+ρhµh Os valores de µh aumentam muito mais com a temperatura do que µe diminui com esta. Esta uma característica importante destes materiais, que os fazem ter um comportamento oposto ao dos condutores no que se refere a condutividade porque com aumento da temperatura µh>>>>µe e assim σ cresce. Por exemplo: Germanio na temperatura de 27° C temos: |ρe|=|ρh|=4,0 C/m3 (igual), µe=0,36 m2/volts.seg, µh=0,17 m2/volts.seg σ27 = − (− 4)0,36+4(0,17)=2,12 mho/metro • com temperatura de 87°C ⇒ σ87=10σ27

• com temperatura de −18° C ⇒ σ−18=σ 27

10

Para componentes eletrônicos esta realimentação do fenômeno pode ser fatal: mais temperatura →mais corrente → mais temperatura → mais corrente... até queimar o componente. Uma solução adotada no projeto de CPU mais modernas consiste em baixar a tensão de alimentação de 5 V na linha 486 para 3,5 V na linha dos Pentium e até 3,3 V na linha Pentium MMX. Outra solução é aumentar o tamanho das CPU’s. 10-Dielétricos As características principais destes materiais são: • Pouca ou nenhuma condutividade:

∗ nos casos reais é baixa (banda proibida é larga logo existem poucos elétrons livres) e denomina-se neste caso o dielétrico de “dielétrico real”.

∗ Se σ=0, ρ=0, ρS=0 e se também for constituído de material isotrópico (as propriedades são independentes da direção pois a estrutura molecular esta orientada aleatoriamente) denomina-se neste caso o dielétrico de “dielétrico perfeito”.

• Capacidade de armazenar energia elétrica. O modelo matemático é o dipolo: Pela ação de um campo elétrico externo, a energia potencial é armazenada como uma mola pelo deslocamento das posições das cargas positivas e negativas contra as forças atômicas e molecular do átomo. Este deslocamento das moléculas podem ser de duas formas dependendo do dielétrico:

◊ moléculas polares - que já possuem um dipolo permanente ocasionado pela existência de um centro de gravidade de cargas positivas e negativas constituindo dipolos.

Núvem de elétrons -

+

E Centro (-) deslocado constituindo um dipolo

37

◊ moléculas não polares - não tem previamente o dipolo porém na presença de um campo elétrico externo que desloca suas cargas em direções opostas é formado um dipolo.

Na presença de um campo elétrico externo suficientemente forte estes dipolos se alinham com uma só direção. Os dipolos assim constituídos são denominados de cargas ligadas ou cargas de polarização porque os elétrons não são livres, não se liberam dos átomos e apenas se afastam do núcleo do átomo. Momento de dipolo p=Qd C.m Para um volume ∆v com "n" dipolos temos a soma vetorial pi:

ptotal= pii

n v

=∑

1

∆

C.m

por unidade de volume no limite temos a “polarização” P:

P p=→

=∑lim

∆

∆

∆v ii

n v

v0 1

1 C.m/m3=C/m2 P mesma unidade de D !!!

tomando-se o valor médio p de pi: P p=

→lim∆ ∆v

nv0

C/m2

11 - Densidade de fluxo elétrico D incluindo-se os materiais dielétricos. Em coordenadas esféricas, os potenciais V produzidos por cada uma das cargas ligadas no ponto P situado a uma distância r (coordenada esféricas), com r de um valor tal que o ponto se situe fora do volume, é dado por:

dVP =p.a r

r4 02πε

onde p=Qd C.m

Para "n" dipolos e tomando-se o valor médio destes por unidade de volume Pp

=→

lim∆ ∆v

n iv0

logo:

V dvP = ∫P.a r

V r4 02πε

mas ∇

=

=1r

rr r

∂

∂

1

2a ar

r ∴ V r dvP =∇

∫P. 1

4 0πεV

utilizando-se ∇.(NA)≡A.∇N+N(∇.A) com N=1/r e A=P temos: ∇.(P/r)=P.∇(1/r)+(1/r)∇.P

-

+

-

+

-

+ -

+

- +

-

+

d

-

+

-

+

-

+ -

+

DIELÉTRICO REAL (COM CARGAS LIVRES)

VOLUME DENTRO DO DIELÉTRICO

CARGAS LIGADAS QUE ATRAVESSAM A SUPERFICIE DO VOLUME

É

E (UNIFORME)

-

-

PONTO QUALQUER FORA DO VOLUME ONDE CALCULA-SE V P(r; θ; φ)

38

( )Vr

dv -r

dvP = ∇

∇

∫ ∫

14 0πε

. P . PV V

Vr

dv =rP = ∇

∫ ∫. P P .ds

V S logo ( )V

r rdvP =

+−∇

∫ ∫

14 0πε

P .ds.P

S V (1)

O potencial no ponto P devido a ρ de cargas livres dentro do volume, dividindo-se ρ em ρS e ρV é:

V Qr

dv

r rds +

rdvP = = =

∫ ∫ ∫4 41

40 0 0πε

ρ

πε περ ρV S

S V (2)

Comparando-se (1) e (2) vemos que quando temos polarização é formada no volume uma densidade volumétricas de cargas ligadas ρP ρP= −∇.P C/m3 e QP= ( )−∇∫ . P

Vvd C

e sobre a superficie do volume é formada uma densidade superficial de cargas ligadas ρPS: ρPS=|P| C/m2 e QPS= P.ds

S∫ C

Dentro do volume temos então uma densidade volumétrica de cargas total ρT

ρT=ρ+ρP=ρ −∇.P C/m3

Por outro lado quando foi definida a 1ª equação de Maxwell: ∇.D=∇.Eε0=ρ (cargas livres) Redefinindo a 1ª equação de Maxwell em função desta densidade de cargas totais dentro do volume: ∇.Eε0=ρT=(ρ −∇.P) ∴ ∇.(ε0E+P)=ρ (cargas livres)

fica mais conveniente manter a 1ª equação de Maxwell conforme já formulada e exprimir o vetor D por:

D=ε0E+P

onde: D é a densidade de fluxo em quaisquer dielétricos.

E é o campo provocado no ponto P pelas cargas livres dentro do volume mais o campo externo que é provocado por cargas livres. Portanto εεεε0E é a densidade de fluxo provocado por estas cargas livres. P é a densidade de fluxo provocada pelas cargas ligadas (C/m2).

Quando não houver polarização teremos de novo D=ε0E 12 - Relação entre P, E e D A susceptibilidade elétrica é uma relação adimensional entre P e E que é que tem como notação χe (chi):

P=χeε0E (1)

em um dielétrico D≠≠≠≠ε0E porque D=ε0E+P logo não vale P=χeD!! Para simplificar as fórmulas tornando-as mais parecidas com as anteriores define-se também uma “permissividade relativa εR” (adimensional): χe =εR−1 D=ε0E+P=ε0E+χeε0E=ε0E+(εR−1)ε0E=εR ε0E D=εR ε0E

Teorema da divergência

Div. é uma operação que envolve apenas as cargas dentro de um volume

39

adota-se uma “permissividade” ε: ε=εRε0 F/m, e assim nos dielétricos: D=εE Verificando-se vem: em (1) vem P = χeε0E = (εR−1)ε0E = εRε0E−−−−ε0E=D − ε0E ∴ D = ε0E+P (mesmo resultado) Usando-se a permissividade relativa que é tabelada em qualquer manual não precisamos fazer considerações sobre dipolos, momentos de dipolos, polarização e susceptibilidade.

Quanto maior o valor de εR mais o dielétrico tem capacidade de acumular energia WE = ∫12

D.Edv

pois para um mesmo E, o módulo de D é maior e portanto melhor é o dielétrico. Para o ar atmosférico a εR=1,0006 logo ε=8,854×10−12 F/m para fins práticos. EXEMPLO: E5.8 HAYTT P=? no interior de um dielétrico? a) D=1,5 µC/m2 e E=15 kV/m D=ε0E+P 1,5×10−6=ε015000+P P=1,328 µC/m2 b) D=2,8 µC/m2 ; χe=1,7 χe =εR−1 ∴ εR=2,7 ε=εRε0=2,7ε0=23,90×10−12 F/m

D=εE ∴ E = 2 8 1023 9 10

6

12,,

××

−

− = 0,117×106

D=ε0E+P 2,8×10−6=0,117×106ε0+P ∴ P=1,764 µC/m2 c) 1020 moléculas/m3 cada com p=1,5×10−26 C.m e E=105 V/m (então é bastante forte para polarizar) P=1020×1,5×10−26=1,5×10−6 C/m2 d) E=50 kV/m e εR=4,4 D=εRε0E ; D=50×103×4,4×8,854×10−12=1,947×10−6 C/m2 D=ε0E+P ∴ 1,947×10−6=8,854×10−12×50×103+P ∴ P=1,504 µC/m2 13-Condições de contorno para dielétricos perfeitos a - dois dielétricos perfeitos diferentes b - dielétrico perfeito×condutor a- Contorno de dois dielétricos perfeitos diferentes componentes tangenciais:

No percusso fechado "a,b,c,d,a", como o campo é conservativo vem: E.dL∫ =0= + + +∫ ∫ ∫ ∫a

b

b

c

c

d

d

a

Et1∆w−Et2∆w − En,em b∆h + En,em a∆h=0 sem cargas na superfície Va,b=0 e portanto: Et1∆w−Et2∆w=0 ou:

Et1=Et2

Et

a Fronteira Infinita En

E Dn

Dt

D ∆w

ρS=0 (não existem cargas livres dentro de um dielétrico perfeito em condições estáticas)

∆w

∆s

∆h ∆h

εεεε2

εεεε1 b

dentro de dielétricos perfeitos

40

Ou seja a diferença de potencial entre dois pontos na superfície da fronteira é a mesma nos dois lados. A densidade de fluxo elétrico entretanto varia:

D E E Dt1

1t1 t2

t2

2ε ε= = = ou D

Dt1

t2

1

2

= εε

componentes normais: Considerando-se o cilindro com lados infinitesimais: Q

S= ∫ D.ds = + +∫∫∫ ladobasetopo

Nos lados D .dst se anula em cada metade devido a direção de ds No topo e na base: Dn1∆s − Dn2∆s=∆Q=ρS∆s ∴ Dn1 − Dn2=ρS mas ρS=0 em um dielétrico perfeito assim: Dn1=Dn2 A densidade de fluxo elétrico é portanto contínua na direção normal. O mesmo não acontece com E que desta vez é descontinuo: ε1En1=ε2En2

Resumindo: Et1=Et2 ε1En1=ε2En2 DD

t1

t2

1

2

= εε

Dn1=Dn2

No caso de D ou E fazerem um ângulo com a superfície da fronteira podemos decompor o vetor em suas componentes normais e tangenciais conforme figura obtendo-se: (1) Dn1=D1senß1=D2senß2=Dn2 DD

DD

t1

t2

1

2

= =coscos

ββ

εε

1

2

1

2

(2) D1cosß1=εε

1

2

D2cosß2

dividindo-se (1) por (2) vem: tgß1=εε

1

2

tgß2

b- Contorno entre um dielétrico perfeito e um condutor Tem portanto a mesma configuração de cargas na fronteira que a fronteira entre um condutor×vácuo, assim a demonstração é a mesma e os resultados também exceto que Dn é dentro de um dielétrico perfeito.

Resumindo: Et=0 En= Dn

ε Dt=0 Dn=ρs

Generalizando-se a última expressão para este contorno:

Fronteira Infinita En

Et

E Dn

Dt

D ∆w

++++++++++

Cargas livres dentro do condutor expulsas para a superfície

++++++++++

a

∆w

∆s b

∆h ∆h

Condutor E=0

Dielétrico

β2

β1 Dt1 Dn1

Dn2

Dt2

D1

D2

41

D=aNρs EXEMPLO E5.9 do Haytt z<0 ⇒ εR1=2,5 E1= −30ax+50ay+70az V/m z>0 ⇒ εR2=4 a) En1=? En1=Ez1az=70az V/m b) Et1=? E1−Ez1az=(−30 ; 50 ; 0) V/m c) |Et1|=? |Et1|=(−302+ 502)1/2=58,3 V/m d) |E1|=?=91,1 V e) β1=? E1cosβ1=Et1 ∴ β1=cos−1(|Et1|/|E1|)=50,21º E5.10 a) Dn2=? Dn2= Dn1=ε1E n1=ε0 εRE n1=8,854×10−12×2,5×70,3=1,549 nC/m2 b) Dt2=? Lembrando que E t2=E t1 tem-se Dt2=ε2E t2=ε2E t1= 8,854×10−12×4×58,3=2,064 nC/m2 c) D2=? D2=ε2E t1+ε1E n1=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) nC/m2 d) P2=? P2=D2 − ε0E 2=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) − ε0(D 2/ε0εR)=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) − (D 2/εR) P2= (−0,797 ; 1,328 ; 1,162) nC/m3 e) β2=? D2cosβ2=Dt2 ∴ |(−1,062 ; 1,771 ; 1,549)| ×10−9 cosβ2=2,064×10−9 ∴ β2=37,059º 14 - Capacitâncias e capacitores Neste sistema temos : • As cargas estão todas na superfície do condutor porque as condições são estáticas. • De acordo com as condições de fronteira só existe componente do campo elétrico na direção normal às

superfícies condutoras e cada condutor é uma superfície equipotencial (Et=0) • O fluxo e campo elétricos estão dirigidos de +Q2 para − Q1 Se transferirmos uma carga +dQ (positiva) do condutor carregado negativamente para o outro condutor carregado positivamente: ⇒ realiza-se trabalho contra o campo elétrico aumentando o potencial na região com carga +Q2. ⇒ pela Lei de Gauss, a densidade de fluxo elétrico aumentaria na superfície carregada positivamente em

conseqüência o campo elétrico.

dielétricoácondutor

aN

+ +

+

D

E−Q1

V0

Condutor +

+ -

Condutor

Dielétrico perfeito

+Q2 -

- - Só existem estas

cargas logo: carga total zero

42

⇒ a ddp entre as duas superfícies condutoras aumentaria na mesma proporção da carga transportada logo podemos escrever uma relação constante:

C QV

=−

=∫∫−

+

D.ds

E.dLS

0

1C/Volt=Farads

15 - Energia no Capacitor A energia necessária para carregar um capacitor até uma tensão V que eqüivale a energia para transferir de uma placa para outra uma carga Q. Pelo principio da conservação da energia esta energia fica acumulada no capacitor.

Em termos de infinitésimos temos dW=Vdq ; V= QC

logo dW= QC

dq

Se o processo começar com uma carga zero e continuar até que uma carga Q seja fornecida o trabalho total que corresponde à energia acumulada no capacitor será WE:

W 1C

Qdq Q2CE 0

Q 2

= =∫ Joules que eqüivale a: W CV2

QV2E

2

= = Joules

Exemplo: Capacitor de duas placas paralelas condutoras e um dielétrico perfeito entre elas.

CS z z

Sz zd

S

S=

−=

−= =∫

∫∫∫−

+

D.ds

E.dL

a . a

a . aS S

ρρε

ρρ

ε

εds

dz

Sd

Sd0

Farads ; W Q2C

S2 Sd

Sd2E

2S2

= = =ρε

ρε

S2 2

Joules

Condição de fronteira

Condição de fronteira

z

y

z=d -ρS

z=0 +ρS

En

43

CAPITULO 7

EQUAÇÕES DE LAPLACE E POISSON 1-Equação de Poisson ∇.D=ρ ; D=εE ; E= −∇V ⇒ ∇.D=∇.εE= − ∇.(ε∇V)=ρ

∇ ∇ = −. V ρε

que é a equação de Poisson.

A equação de Poisson só é válida para uma região homogênea em que a permissividade é constante. Expandindo a expressão da esquerda em coordenadas cartesianas:

∇.D=∂∂

∂∂

∂∂

Dx

Dy

Dz

x y z+ + ; ∇V=∂∂Vx

ax+∂∂Vy

ay+∂∂Vz

az

2

2

2

2

2

2

zyxzyx ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂∂∂

VVVzV

yV

xV

V ++=

+

+

=∇∇.

∇2V= − ρε

com ε = constante (região homogênea)

2-Equação de Laplace Em uma região sem cargas (ρ=0), porém sem que isto implique não existir cargas grupadas de quaisquer formas nas fronteiras, como fontes de campos no interior da região. ∇2V=0 que é a equação de Laplace.

cilíndricas: ∇2V=1 1

2

2

2

2

2r

r Vr

r rV V

z

∂ ∂∂

∂∂∂φ

∂∂

[ ( )]+ +

esféricas: ∇2V=1 1 1

2

2

2 2 2

2

2r

r Vr

r r

V

rV∂ ∂

∂∂ θ

∂ θ ∂∂θ

∂θ θ∂∂φ

[ ( )]

sen

[sen ( )]

sen+ +

A equação de Laplace é uma equação diferencial parcial do segundo grau. A equação de Laplace fornece um meio de se obter a função potencial dentro de um volume limitado por superfície condutoras. A função potencial neste caso fica sujeita às condições de contorno estabelecidas e a solução desta equação depende destes valores nas fronteiras. “Aplicando-se a equação de Laplace em uma região em que não existe cargas para qualquer configuração de eletrodos ou condutores possíveis nas fronteiras o campo produzido deverá ser tal que ∇∇∇∇2V=0”

Nabla dois ou Laplaciano ∇2

V=? ρ=0

V conhecido em fronteiras equipotenciais (superfícies condutoras)

Cargas nas fronteiras

gerando V dentro da

região

Região fechada

+ +

+ + +

44

3-Soluções da equação de Laplace Como a equação de Laplace é uma equação diferencial parcial do segundo grau. O método mais simples de resolver esta equação é o da integração direta mais só serve se a variação for com apenas uma das coordenadas, ou seja variações unidimensionais. Para variações com duas ou três coordenadas o método é a solução produto que necessita, dependendo do sistema de coordenadas adotado, utilizar ferramentas matemáticas avançadas tais como funções de Bessel e Fourrier, harmônicos esféricos e cilíndricos e decomposição por séries infinitas. 4-Solução por integração direta. Nos três sistemas de coordenadas esta solução se resumem em cinco casos porque: ♦ no sistema de coordenadas cartesianas só existe um caso: tanto faz a variação com x,y ou z porque existe

simetria. ♦ no sistema de coordenadas cilíndricas só existem dois casos: a variação com z é igual à variação com z

em coordenadas cartesianas. ♦ no sistema de coordenadas esféricas também só existem dois casos: a variação com Ø é igual à variação

com Ø em coordenadas cilíndricas. 5-As cinco soluções da equação de Laplace por integração direta. 5.1-Sistema de coordenadas cartesianas

Com V=f(x) unicamente vem: ∇ = =22

2 0V V∂∂x

que passa para uma derivada total:

ddx

2

2V = 0 ou d

dx dxdV

= 0 integrando-se duas vezes vem: d

dxAV = ∴ dV=Adx e V=Ax+B

Generalizando-se: V=Ak+B onde: k=x,y ou z A e B são as constantes de integração Para se levantar as constantes de integração precisamos das condições de contorno. EXEMPLO: V=f(x) segue que: ⇒ com x constante V também é constante o que determina uma superfície equipotencial que eqüivale em

condições estáticas uma superfície condutora. ⇒ a superfície em que x é constante é um plano infinito perpendicular ao eixo x. ⇒ dois planos como este podem ser considerados fronteiras de uma região sem cargas (podendo existir

cargas nestas fronteiras gerando os potenciais dentro da região). ⇒ fixando-se os valores de potencial nas fronteiras com auxílio da Equação de Laplace pode-se determinar

a variação de potencial no volume limitado pelas fronteiras. Isto é o que existe em um capacitor de placas paralelas nos quais todas as cargas estão na superfície dos condutores e não existe cargas entre as placas. Fixando-se valores nas fronteiras: V=V1 em x=x1 V=V2 em x=x2 substituindo-se em V=Ax+B tem-se um sistema de equações do primeiro grau: V1=Ax1+B V2=Ax2+B resolvendo-se o sistema levanta-se as constantes de integração A e B:

x1

x2

V2

V1

45

A V Vx x

1 2

1 2

= −−

; B V x V xx x

2 1 1 2

1 2

= −−

e ( ) ( )V = Ax + BV x - x V x - x

x x1 2 2 1

1 2

=−−

Fixando-se os valores de V1 e V2 na fronteira, calcula-se a função potencial no interior de um volume. EXEMPLO: Usando-se a Equação de Laplace calcular a capacitância de um capacitor de placas paralelas: fazendo-se: V2=0 em x=0 (referência dos potenciais ) V1=V0 em x=n V1=Ax1+B 0=A(0)+B ∴ B=0 V2=Ax2+B V0=An+B ∴ A=(V0 − 0)/n

logo em V=Ax+B temos V V xn0=

onde: V a função que indica a variação do potencial entre as placas do capacitor com referência na placa situada em x=0. V0 é a ddp entre as placas

D=εE= − ε∇V ; D E a ax x= = −

= −ε ε εd V x

ndx

Vn

0

0

Na fronteira condutor×dielétrico temos: D=DnaN e Dn=ρs onde: aN é um unitário que aponta do condutor para o dielétrico. Na placa situada em x=n temos:

Dn= − εVn

0 aN= − εVn

0 (−ax)= εVn

0 ax logo ρS= εVn

0 significando que em x=n temos cargas positivas

A cargas na placa com cargas positivas é: Q Vn

ds0= ∫ε

s = εV Sn

0

logo C= ε εV SnV

Sn

0

0

=

ou C= εSd

com “d” a distância entre as placas (mesmo valor encontrado anteriormente usando-se a Lei

de Gauss e potencial entre dois pontos). Teorema da unicidade “Se uma resposta satisfaz uma condição de contorno também satisfaz a equação de Laplace ou seja: qualquer outro método aplicado diferente da equação de Laplace dará o mesmo resultado para os valores da função V na região”. 5.2-Sistema de coordenadas cilíndricas 5.2.1-Variando V somente em função da coordenada r V=f(r) com r constante temos V constante, logo isto gera superfícies equipotenciais cilíndricas concêntricas com o eixo z ou seja cabos coaxiais ou capacitores coaxiais. Podemos escrever com derivadas totais:

1r

d[r(d dr)]dr

V= 0

como r esta no denominador r≠0 e permite que se multiplique ambos os lados por r.

x=n

V2=V0

V1=0

aN

aN

x

y −ρS

+ρS

z

46

d[r(ddr)]

dr

V= 0 integramos r(d dr) AV = ou dV=A(dr/r) portanto V=Alnr+B

EXEMPLO: Usando-se a Equação de Laplace calcular a capacitância de um cabo coaxial: Coloca-se o potencial zero de referência na capa externa do cabo ou no cilindro de raio maior igual a "b" e admite-se que ρ=0 no dielétrico entre os cabos (dielétrico perfeito). V=V0 em r=a V=0 em r=b com b>a Substituindo-se em V=Alnr+B temos: 0=Alnb+B ∴ B= − Alnb V0=Alna+B ∴ V0=Alna −Alnb=Aln(a/b) ou logo:

A Vln a

b

0= B Alnb = V bln a

b

0= − − ln

agora podemos escrever :

( )V V rln a

b

V bln a

b

Vln a

br - b

ln br

ln ba

0 0 0= − = =ln ln ln ln V0

D=εE= −ε∇V ( )

D a a a ar r r r= − = −

= =ε ε εdVdr

d Vln b

r

ln ba

drV

ln ba

d ln rb

drV

rln ba

0

0 0

O sentido de D determina cargas positivas em r=a Na fronteira condutor×dielétrico temos: D=Dnan e Dn=ρs

Q ds Valn b

a

V aLaln b

a

V Lln b

aa,comp L

0 0 0= = = =∫ ∫ρ ε ε π ε π2 2 C Lb

a= 2πε

ln

5.2.2-Variando V sómente em função da coordenada φ V=f(φ) as superfícies equipotenciais para cada valor de φ serão planos radiais em torno do eixo z

1 02

2

2rdd

Vφ

=

como r esta no denominador tem valor diferente de zero. Neste caso isto também significa que os planos não se tocam.

Multiplicando-se por r2 ambos os lados dd

2

2 0Vφ

=

Integrando-se duas vezes dV=Adφ e finalmente: V=Aφ+B EXEMPLO: Calcular a capacitância deste sistema (que seria mais difícil pelos métodos anteriores) Fixando-se valores nas fronteiras e admitindo-se não haver cargas livres entre os planos: V=V0 em φ=ß V=0 em φ=0 Levantando-se os valores das constantes de integração:

V=Aφ+B ; B=0 ; V0=Aβ+B logo: A= V0

β

d udx u

dudx

(ln ) = 1

a

V=V0

b V=0

z

β V=0 em φ=0

V=V0 em φ=β

E

ρS

D

47

V V= 0φβ

Volts, que é a variação da função V entre os planos.

D=εE= − ε∇V D= −ε 1r

dVdφ

aø= − εβr0V aø pelo sentido de D temos cargas positivas em φ=β

Na fronteira condutor×dielétrico temos: |Dn|=ρs

Q Vr

drdz = V z rr

0 0 1 2

1φ β

εβ

εβ= = ∫∫ 0

1

1

2 z

r

rln C z r

r1 2

1

≅ εβ

ln F/m

5.3-Sistema de coordenadas esféricas. 5.3.1-Variando V somente em função da coordenada r. V=(r) resulta que as superfícies equipotenciais são esferas concêntricas com a origem.

1r

d[r (dVdr)]

dr2

2

= 0

r≠0 multiplicando-se ambos os lados por r2 vem:

( )r dVdr A2 = ; V= − A

rB+

EXEMPLO: Calcular a capacitância entre duas esferas concêntricas Fixando-se valores nas fronteiras e admitindo-se não haver cargas livres entre as esferas: V=V0 em r=a b>a V=0 em r=b Levantando-se os valores das constantes de integração:

0 Ab

B= − + V Aa

B0 = − +

B Ab

= A V1

b1

a

0=−

B

V1

b1

ab

Vb

1b

1a

0

0

=−

=−

V= − Ar

B+ V V1

r1

b1

a1

b0=

−

−

que é a variação da função V entre os planos.

D=εE= −ε∇V= −ε( )dVdr ar D = −

−

−

ε

d V1

r1

b1

a1

bdr

0

ar

( )( )D = −

−

−=

−ε εV

1a

1b

d 1r

1b

drV

r 1a

1b

0 02

ar portanto cargas positivas em r=a

Na fronteira condutor×dielétrico temos: D=DnaN e Dn=ρs

Q D dsr a n= = ∫ =Dn4πa2=4πa2

( )εV

a 1a

1b

02 −

= ( )4πεV

1a

1b

0

− C= ( )

4πε1

a1

b− Farads

com b→∞ C=4πεa Farads esfera de raio “a” solta no espaço

r1 para evitar curto-circuito e r2 e z1 para evitar capacitância infinita

a

b

V=0

V=V0

D

48

5.3.2- Variando V somente em função da coordenada θ V=f(θ) como V varia apenas com θ as superfícies equipotenciais são cones concêntricos com o eixo z e com vértice na origem.

1 02r

d[se dVd

dsen

( )]

θθ θ

θn

=

Com r≠0, θ≠0 e θ≠π vem multiplicando-se ambos os lados por r2senθ

( )se dVd Anθ θ = ; V = +∫

Adsen

Bθθ

que de uma tabela de integrais:

V=A ln[tg(θ/2)]+B Fixando-se valores nas fronteiras e admitindo-se não haver cargas livres entre os cones: V=V0 em θ=θ1 V=0 em θ=θ2 Levantando-se os valores das constantes de integração: V0=A ln[tg(θ1/2)]+B e 0=A ln[tg(θ2/2)]+B

B= −A ln[tg(θ2/2)] e A V=−

0

1 22 2ln lntg tgθ θ

substituindo-se na expressão de Laplace :

V V=−

−0

2

1 2

2 2

2 2

ln ln

ln ln

tg tg

tg tg

θ θ

θ θ

que é a variação da função V entre os cones . EXEMPLO: com θ2=90° calcular a capacitância com θ2=90° temos um plano em z=0, com θ1<90° vem :

V V= 01

2

2

ln

ln

tg

tg

θ

θ D=εE= −ε∇V= − εθr

dVd

aθ D = − ε

θ θV0

12r tgsen ln

aθ

no intervalo 0º<θ1<90° ⇒ ln tgθ12 <0 logo as cargas positivas estão em θ=θ1

∫ ∫∫ −== 2

1

2

0 111

0 drd1

2ln

VdsQr

rS rsenrsentg

πφθ

θθερ ( )Q

V0= −−ε π

θ2

2

2 1

1

r r

tgln

( )C = −−2

2

2 1

1

πεθ

r r

tgln Farads que é positiva no intervalo 0º<θθθθ1<90°

EXEMPLOS: 1) E7.3 Haytt Módulo de E no ponto P(1; 2; 3) a) cabo coaxial V=100V em r=1m e V=20 V em r=3m V=Alnr+B 20=Aln3+B 100=Aln1+B → B=100 ; −80=A(ln3 − ln1) →A= −80/ln3

V r= − +803

100ln

ln ; r = + =1 2 52 2 ; E= −∇V ; E ar= − dVdr

Temos que restringir r para que a capacitância não seja infinita.

E

V=0

V=V0

θ1

θ2

r1≠0

r2 +ρs -ρs

49

E a a= =805 3

32 6ln

,r r V/m

b)dois planos condutores radiais, V=20 V em φ=80º ,V=100 em φ=20º 20=A80º+B onde o angulo foi mantido inicialmente em graus e só depois convertido em radianos 100=A20º+B (para ter um valor mais exato). − 80=A60º

A= − = −80

3

240π π

B=100+ 2409ππ× = 380

3

V= − +240 3803π

φ E= −∇V E= − 1r

dVdφ

aø= −240

rπ aø ∴ E = − 240

5π aø = −34,2 aø V/m

c) Duas esferas concêntricas V=100V em r=1m e V=10 V em r=4m

r = + + =1 2 3 142 2 2 ; V= − Ar

B+

10= − A4

B+ e −A+B=100 ∴ −90= − A4

A = 3A4

+ ∴ A= −120 e B= −20 logo V=(120/r) −20

E= −∇V= − dVdr

ar =120r2 ar | E|=120/14=8,57 V/m

2º Exemplo: calcule a distribuição de cargas em um plano condutor θ=90º com V2=0 V e com um cone em θ=10º com V1=100V

V=A ln[tg θ2

]+B → 100=A ln[tg 102

0

]+B

0=A ln[tg 902

0

]+B → B=0 e A= 100

50ln tg

V = 100 250

lnln

tgtg

θ E= −∇V= − 1

rdVdθ

aθ

E = − 1005

1

2

220

2

r tg tgln

secθ

θ aθ com

d udx u

dudx

(ln ) = 1 e d udx u du

dx( )tg = sec2

seccos

2221

2

θθ= E = − = −

−=100

5 22 2

1002 44

41 050r r rln sen cos ( , )sen

,sentg θ θ θ θ

aθ

logo as cargas no plano são negativas −ρS= −|D|= −ε0E= −41 05 0, ε

r

7- Solução da Equação de Poisson por integração direta.

r2

E

V1=100 V

V2=0

θ=10º

r1≠0

+ρs

-ρs

= −2,44

50

Esta equação é utilizada em regiões onde existem cargas volumétricas e só é válida para uma região homogênea em que a permissividade é constante. Circuitos integrados, junções de semicondutores utilizam esta equação como uma solução satisfatória. As superfícies equipotenciais (ou condutoras) são as mesmas já determinadas para a equação de Laplace e precisamos de valores da função V nestas fronteiras para determinar o valor das constantes de integração A e B. ρ na região pode ser função até das três coordenadas do sistema. Restringindo-se a variação a uma das três coordenadas pode se solucionar a equação diferencial por integração direta. Entretanto ela só poderá ser constante ou variar com a mesma coordenada permitindo que a variação de V de fato no mesmo sentido da restrição. Só será abordada a solução com integração direta. EXEMPLOS (com densidade de cargas constantes): 1) Resolver a Equação de Poisson com ρ e ε constantes: a) No sistema de coordenadas cartesianas com V=f(x) unicamente: ddx

2

2xV = − ρ

ε ; dx

dxd

ερ xdV −=

; dV x

dxx + A= − ρ

ε

dV xdx + Adx= − ρε

x V x + Ax + B2

= − ρε

x

2

b) No sistema de coordenadas cilíndricas b1) V=f(r) somente

1r

d[r(dVdr)]

dr= − ρ

εr ; d r dV

drr dr

= − ρεr ; r dV

drr + A

2

= − ρε

r

2

dV r + Ar

dr= −

ρεr

2 V r + Alnr + B

2

= − ρε

r

4

b2) V=f(Ø) somente 12

2

2rdd

Vφ

ρε

φ= − d dd

rdV

φρ

εφφ

= −

2

dVr

d Ad= − +ρ φ

εφ φφ

2

Vr

A B= − + +ρ φ

εφφ

2 2

2

c) No sistema de coordenadas esféricas c1) V=f(r) somente:

1r

d[r (dVdr)]

dr2

2

= − ρε

r d[r (dVdr)] r dr2

2

= − ρεr

r (dVdr) r + A2

3

= − ρε

r

3 dV r

r+ A

rdr

3

2= −

ρεr

3 2 V r Ar

+ B2

= − −ρε

r

6

51

c2) V=f(θ) somente:

12r

d[se dVd

dsen

( )]

θθ θ

θρε

θn

= − ; d[se dVd

r dnθ θρ θ

εθθ( )] sen

= −2

dV rsen

+ Asen

d=

ρ θε θ θ

θθ2 cos

dV r cotg + Acosec d=

ρ θε

θθ2

; V r A B= + +ρ

εθ θθ

2

2ln sen ln tg

EXEMPLO: 2)Schaum 8.34 - Em coordenadas cilíndricas ρ=111/r pC/m3, V=0 V em r=1 m e V=50 V em r=3,0 m, devido a esta configuração de cargas encontre a expressão para E.

1r

d[r(dVdr)]

dr= − ρ

εr ; d r dV

dr111 10 r

rdr

-12

= − ×ε

; r dVdr

111 10 r + A-12

= − ×ε

dV + Ar

dr= − ×

−111 10 12

ε V r + Alnr + B= − × −111 10 12

ε

considerando-se os potenciais na fronteira (entre os condutores do cabo coaxial existe o ar εR=1).

0= − 1118 854,

+Aln1+B e 50= − 111 38 854

×,

+Aln3+B

tem-se B=12,5 (ln1=0) e A=68,27 logo V= −12,5r+68,27lnr+12,5

E= −∇V= − dVdr

ar= − − +

12 5, 68,27r

ar= 12 5, −

68,27r

ar V/m

52

CAPITULO 8

CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO Neste Capítulo iniciamos o estudo da magnetostática que é o estudo dos campos magnéticos gerados por cargas estáticas. As fontes dos campos magnéticos estáticos são imãs permanentes e correntes contínuas entretanto só nos interessa as correntes contínuas que é o caso que tem maior aplicação na Engenharia. As duas leis destes campos são: ◊ Lei de Biot-Savart → aplicações semelhantes à Lei de Coulomb. ◊ Lei de Ampère → aplicações semelhantes à Lei de Gauss. O campo magnético estacionário segue o “principio da superposição”. 1 - Lei de Biot-Savart É uma lei “não experimental” ou seja como ela é definida por elementos incrementais não pode ser testada experimentalmente. Condutor filamentar é "o caso limite de um condutor cilíndrico quando seu raio tende a zero”. Se no elemento diferencial de comprimento dL de um condutor filamentar estiver circulando uma corrente I, utilizando-se o vetor deslocamento diferencial tem-se

IdL que é o elemento diferencial de corrente de um condutor filamentar. IdL é o elemento diferencial usado nas integrações da mesma forma como no campo elétrico se realiza as integrações usando-se as cargas pontuais dQ. Quando tem-se um IdL em um ponto 1 do espaço haverá em um ponto 2 um vetor intensidade diferencial de campo magnético dH com relação entre IdL e dH definida por:

d d R12

12

H L aR2

124

= ×Iπ

A/m

onde: aR12 é um unitário com sentido do elemento diferencial de corrente para o ponto em que se deseja calcular H. R12 é a distância entre o elemento diferencial de corrente e o ponto em que se deseja calcular H

Lei de Coulomb d dQ4 0 12

2 R12ER

a2 =πε

Forma integral: H dL aR

= ×∫

I R12

124π 2 A/m

a continuidade de corrente impõe esta integral fechada porém a Lei vale para um trecho do percurso! 3 - Densidade superficial de corrente K Com J uniforme em um condutor tem-se uma densidade superficial de corrente K

J IS

Iab

TOTAL TOTAL= = ISUPERFICIAL = |J|da×b

ISUPERFICIAL = |K|×b onde: b é o percurso atravessado pela corrente

IdL

Pt2 dH2

I

aR12 R12

da

a K=Jda

I

J

x

y

b

z

K=Jda (A/m2)×m =

53

Se a corrente não for uniforme: I dbSUPERFICIAL = ∫ K

Um elemento diferencial de corrente IdL pode ser expresso conforme uma das igualdades abaixo desde que a corrente seja uniforme no condutor, como ocorre em um condutor filamentar. I×dL =|K|×db×dL = K×ds = J×da×ds= J×dv A.m A.m (A/m).m2 (A/m2).m3

IdL =Kds = Jdv A.m Na Lei de Biot-Savart resulta:

H dL aR

= ×∫

I R12

124π 2 H K aR

= ×∫

ds4

R12

12π 2S H J a

R= ×

∫dv4

R12

12π 2V

4 - Regra da mão direita e linhas de fluxo do campo magnético. As linhas de fluxo do campo magnético coincidem com as equipotenciais do campo elétrico e desta forma as linhas de fluxo dos dois campos são perpendiculares entre si. A direção das linhas de fluxo do campo elétrico são das cargas positivas para as negativas enquanto as do campo magnético não tem inicio nem fim se fechando sobre si mesmas: "o campo magnético não tem fontes nem sumidouros" um campo deste tipo é denominado solenoidal e a sua divergência é nula. Usa-se a regra da mão direita para acharmos o sentido das linhas de fluxo do campo magnético: "com o polegar voltado no sentido da corrente encontramos o sentido de H pela direção dos outros dedos" 5 - Aplicação da Lei de Biot-Savart Mais uma vez a primeira aplicação será o filamento infinitamente longo. Trabalhando-se com coordenadas cilíndricas e colocando-se o filamento no eixo z vem:

d d R12

12

H L aR2

124

= ×Iπ

R=rar−zaz R = +r z2 2

a a aR

r z12 2 2

= −+

r zr z

( ) ( )

d dz r z rdzzH a a a a2

1

2 23

2

1

2 23

24 4= × −

+=

+

I

r z

I

r zr z

π π

φ

( )

Ha

a21

32

1

4 4=

+=

+−∞

∞

−∞

∞

∫I Ir dz

r z

r zr r z2 2 2 2 2π π

φφ

H a2 2= I

π φr

Mesmo direção que se encontraria com a regra da mão direita.

Generalizando-se: H a= IH2πR

R

z

x

P(r1;φ1;z1) IdL=Idzaz

aR

I

y

φ

54

onde: R é a menor distância entre o ponto em que se deseja H e o filamento. aH=aL×aR12 sendo que aL é um unitário no sentido da corrente e aR12 é um unitário com suporte na distância R, voltado do filamento para o ponto 2 onde desejamos calcular H. EXEMPLOS:

a) Aplicando-se na demonstração acima teríamos: aH=az×ar=aø e R=r logo H a2 2= I

π φr

b) Calcule H na origem com um filamento infinito de corrente de 13ax Amp. em y=4 e z=−2

H a= IH2πR

aH=aL×aR12=ax×[ ]

2042

24)2(0)40( ZY

22ZY aaaa −−=

+−−−

H a a a a= − − = − −132 20

2 420

0 21 0 42π

Y ZY Z, ,

d) E8.2b (Haytt): 3 > z > − 3 e todo x=2 e todo y= −4 com I=0,4 direção az , H=? em P(0 ; 1 ; 0)

H dL aR

= ×∫

I R12

124π 2

IdL=0,4dzaz R a a a12 2= − + −x y z5 z

( ) ( )d

dz 5 z

29dzzH

a a a a a a2

2 2 23

2 23

2

0 4 2

4 2 5

0 4

2=

× − + −

+ +=

− −

+

, ,x y z x y

z zπ π

( ) ( )H

a a a a a a2

23

23

3

23

20

3

20

30 4

2

2 0 42

0 4

29 29=

− −

+

× − −

+=

− −

+−∫ ∫x y x y x y

z z

, ( , ) ,

π π π29dz = dz

29

zz

H a a2 5 34 2 13= − −, ,x y mA/m 7 - Lei de Ampère. Lei de Ampère → aplicações semelhantes à Lei de Gauss. Inclusive defini-se uma Ampèriana que neste caso é um percurso. Lei de Ampère→corrente envolvida Lei de Gauss→carga envolvida Em torno de um fio que passa corrente na direção az em coordenadas cilíndricas com o fio no eixo z:

H a= I2π φr

Calculando-se uma integral de linha no sentido da regra da mão direita (positivo de φ) em um percurso fechado circundando completamente o fio integrando-se no sentido da regra da mão direita:

H dL a a a a∫ ∫ ∫= + + =. .Ir

dr rd dz Irrd

2 20

2

0

2

πφ

πφ

π

φ φ

π

r z =I (corrente positiva)

assim I. =∫ dLH que é a expressão matemática da Lei de Ampère

13ax

aR12

(0; 4; −2)

z

y

0,4az (2; -4; 0)

x

y

(0; 1; 0) R12

0,0168

Simétrico em relação a origem

55

A integração com o sentido da regra da mão direita resultou em uma corrente positiva logo a corrente é considerada positiva quando esta de acordo com esta regra. Lei de Gauss se refere à carga total envolvida a Lei de Ampère se refere à corrente total envolvida Neste caso a corrente envolvida é zero: 9 - Percursos Ampérianos Embora na Lei de Ampère o percurso possa ser qualquer um, pelos mesmos motivos que surgem na aplicação da Lei de Gauss ou seja evitar-se uma variável dentro de uma integral em uma equação, devemos usar um percurso de tal forma que: • A direção de H deve ser ⊥ ou // ao percurso. Isto força que a integração seja nula ou de um escalar. • H deve ser constante quando // ao percurso assim sai da integral e ela se reduz a uma integral de

percurso. 10 - Exercícios clássicos de aplicação. 10.1 - Filamento infinitamente longo onde flui uma corrente. Neste caso o percurso que satisfaz as regras acima seria um circulo de raio R em um plano perpendicular ao fio. Colocando-se o fio no eixo z: R = r

H dL a a∫ ∫ ∫= = =. .H rd H r d H 2 r = Iφ

π

φ φ φ

π

φφ φ π0

2

0

2 ∴ Hφ π

= IR2

10.2 - Cabo coaxial O sentido da corrente do condutor central como sendo positiva I e do condutor externo como negativa − I e ambas uniformemente distribuídas. Com o condutor centrado no eixo z pode-se trabalhar em coordenadas cilíndricas. Considerando-se os condutores como compostos por inúmeros filamentos cada um dos filamentos só gera campos na direção aφ Na figura o eixo z esta saindo do papel e temos desenhadas as linhas de fluxo magnético em torno dos dois filamentos opostos e sobre um ponto em cima do eixo "r" usando-se a regra da mão direita temos os vetores resultantes. Ve-se que: • as componentes na direção do eixo r se anulam • as na direção ø se somam • como nenhum filamento produz componentes na direção z pois esta é a direção da corrente só resta Hø. • pela simetria vemos que mantendo-se r constante Hø não se altera ou seja Hø=f(r) apenas. I. Com a <r < b cada um dos "n" filamentos produz em um ponto um campo de

dL

+I −−−−I

a

+I

b −I

z

H

1

Filamentos simétricos opostos

H2

2

Hr2

Hr1 H1

Hφ

56

d H a= In r2π φ e o conjunto de todos os "n" filamentos: H a= I

r2π φ

II. Com r < a (dentro do condutor interno) a corrente enlaçada é proporcional a área abrangida e assim

aplicando-se uma regra de três: I

Ira

ra

envolvida = =ππ

2

2

2

2 ; H a= Ir

envolvida

2π φ ; H a= Ira2 2π φ

III. Com r>b a corrente enlaçada é zero e H=0 O cabo coaxial blinda completamente o campo magnético no seu interior e já provamos anteriormente que ele blinda também o campo elétrico. O cabo coaxial não interfere pois com os circuitos adjacentes. IV. Supondo-se agora uma espessura para o condutor externo variando entre b <r < c vem:

I I I r bc b

I r bc b

I c rc benvolvida interno externo= − −

−= − −

−

= −

−

π ππ π

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 21 H a=

−−

I c r

c br

2 2

2 2

2π φ

10.3 - Película infinita em que flui uma corrente superficial. O retorno da corrente será por uma de duas superfícies distantes em cada lado do plano considerado. Colocando-se a película em z=0 e a corrente no sentido positivo de y ou seja K=Kyay. Dividindo-se o plano em inumeros segmentos em dois segmentos opostos temos:

Ve-se que : • H é ⊥ a corrente logo só tem-se direção x • as componentes na direção "x" se somam com direções contrárias em cada lado da película e se z não

variar são constantes. Aplica-se a Lei de Ampère em um percurso Ampèriano 1-1’-2’-2-1 conforme figura:

H=Hxax e constante em 1-1' e em 2-2' (conforme já visto)

H.dL=0 em 1-2 e em 1'-2' (Hx é perpendicular a dL) logo: Hx1(L)+Hx2(−L)=KyL ∴ Hx1 − Hx2=Ky percorrendo agora o percurso 3-3'-2'-2-3: Hx3(L)+Hx2(−L)=KyL ∴ Hx3 −Hx2=Ky também ⇒ Hx1 −Hx2=Ky logo Hx3=Hx1 assim Hx = constante.

1

Filamentos simétricos opostos direção +ay

H2

2

Hz2

Hz1

Hx1

Hx2

H1

2’ 2

1’ 1 3 3’

Hx2= −−−− Hx1

K

Película infinita

X

Y

Z

Hx1

L

57

Da figura tira-se Hx2= −Hx1 logo Ky = Hx1 − Hx2 = Hx1− ( −Hx1) = 2Hx1

Resumindo: H é constante dos dois lados independente da posição no espaço e com:

z>0 ⇒ Hx=Ky/2 z<0 ⇒ Hx= − Ky/2 Generalizando-se para qualquer outra posição da folha e sistemas de coordenadas vem:

H=(1/2)K×an onde an é um vetor unitário normal à superfície e apontando para a região do espaço em que desejamos calcular H Aplicando-se na demonstração acima teríamos para z > 0: H=(1/2)Kay×az=(1/2)Kax Planos infinitos em paralelo com correntes opostas: Colocando-se uma outra superfície paralela em z=h com corrente na direção oposta a da primeira superfície considerada temos entre as superfícies com 0 <z <h: H=(1/2)K1×an+(1/2)+K2×an=(1/2)Kay×az+1/2 K−ay×−az=Kay×az= Kax Generalizando-se: H=K×an para 0<z<h para z > h (fora do intervalo entre os dois planos) H=(1/2)K1×an+(1/2)+K2×an=(1/2)Kay×az+1/2 K−ay×az= 0 para z < 0 (fora do intervalo entre os dois planos) H=(1/2)K1×an+(1/2)+K2×an=(1/2)Kay×−az+1/2 K−ay×−az= 0 Generalizando-se H=0 para z> h ou z<0 10.4 - Solenóide infinito Podemos considera-lo como uma única volta de uma película que conduz densidade de corrente superficial Ka. Colocando-se o solenóide centrado no eixo z e com Ka na direção aφ Para cada parcela da superfície com um dos lados infinitos e portanto podendo ser considerada infinita, temos outra oposta com corrente oposta logo no interior do solenóide assim temos duas superfícies infinitas com correntes opostas e: No interior do solenóide com r<a: H=K×an=Kaaφ × (−ar)=Kaaz

Kaaφ Z

H=Kaaz

a

r

HZ

a+∆r a+∆r

a a constante

58

Fora do solenóide com r>a: H=0 10.5 - Solenóide finito de comprimento "d" e formado com "N" espiras bem juntas onde flui uma corrente I. Considerando-se o solenóide com uma única volta de uma película com módulo da densidade de corrente superficial Ka e com N filamentos cada um com uma corrente I temos:

NI=Kad ∴ Ka=NId

logo: H= NId

az

Esta aproximação e cada vez melhor quando tomamos pontos bem dentro do solenóide, afastado da superfície do mesmo não menos que duas vezes a separação entre espiras. 10.6 - Toróide Podemos imaginar um toróide com N espiras com corrente I como um solenóide dobrado sobre si mesmo em circulo em torno do eixo z. Assim: Dentro do toróide: NI=Kab como b é o percurso atravessado pela corrente no caso b=2πr

nestas condições NI=Ka2πr e Ka=NI2 rπ

Para um direção de K expressa por K=Kaaz em r=r0 − a (z = 0 e r = b) Com “a" o raio da seção do toróide e r0 é o raio médio do toróide medido do centro do mesmo até o centro de sua seção apontando deste ponto para dentro do solenóide na direção an = +ar vem:

H=K×an=Kaaz×(+ar)=Kaaφ=NI2 rπ

aφ H=Kaaφ=NI2 rπ

aφ

no ponto b = r = r0 − a calcula-se NI ⇒ Ka=NI2 rπ

∴ NI = K 2 r aa 0π ( )−

substituindo-se H= NI2 r

K r a)2 rππ

πφ φa a= −a 2 0(

H= K r a)r

a ( 0 − aφ

Fora do toróide: Pelas mesmas razões já vistas para o solenóide H=0

b

r0

a

Eixo z

Ka

Hφ

59

11 – Rotacional • Rotacional: sobre um vetor que resultando em um vetor. • Divergência: sobre um vetor que resultando em um escalar. • Gradiente: sobre uma função escalar que resultando em um vetor. Em um volume temos: -----------> ----> -----> ------> --------> ----> -----> ------> -----> ----> -----> ------> ---> ----> -----> ------> --> --> ---> -----> --------> -----------> campo que tem rotacional mostrando o rotacional ------------------> campo lamelar, não tem divergência ------------------> nem rotacional (denominado “lamelar”) ------------------>

"O módulo do vetor proveniente do rotacional de um campo vetorial é proporcional à taxa de mudança da intensidade deste campo em uma direção perpendicular à direção do campo"

A direção do rotacional é perpendicular ao plano que contem o campo vetorial.

campo resultante da operação de rotacional é solenoidal pois se fecha sobre si mesmo e como conseqüência direta disto

∇.rotacional A=0

inverso vale: “Se a divergência de um campo é nula ele é o rotacional de um outro campo”. Se uma roda com pás colocada dentro de um campo vetorial tiver rotação existe rotacional e o seu sentido é aquele indicado pela regra do parafuso de rosca destrógira.

b+2a+∆r b+2a+∆r b b

H××××r

r0

r

Hφ

r

campo que tem divergência

60

No exemplo haverá um rotacional entrando na pagina na parte superior e saindo da mesma na parte inferior. Quanto maior for a taxa de variação do campo na direção perpendicular a do campo mais rápido gira o medidor de rotacional e maior será o módulo do vetor rotacional do campo. --------> ------> ----> --> -> --> ----> ------> --------> Expressões matemáticas para o rotacional. Em qualquer livro sobre operações com vetores encontramos: | ax ay az | rotA= | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z| logo H=∇×A | Ax Ay Az |

Rotacional H=∇×A=

−

zH

yH yz

∂∂

∂∂ ax+

−

xH

zH zx

∂∂

∂∂ ay+

−

yH

xH xy

∂∂

∂∂

az

( )lim∆ ∆S

d

SN Nn→

= ∇ ×∫0

A. LA .a

A última expressão indica que ele pode ser definido como uma "circulação por unidade de área" onde: "n" indica que o componente do rotacional é normal a superfície envolvida pelo percurso da integral de linha fechada dL é percorrida na periferia da área.

lembra-se que .DD.ds

∇=∆→∆

∫vv 0

lim

12 - Aplicação do rotacional ao Eletromagnetismo, 2ª e 3ª Equações de Maxwell. Seja um pequeno percurso fechado de lados dx e dy em coordenadas cartesianas e vamos aplicar nele a lei de Ampère e sabemos que no centro do mesmo temos uma intensidade de campo magnético conhecida e de valor:

MEDIDORES DE ROTACIONAL

CAMPO ROTACIONAL

∇×A

an ∆SN dL

z

x

y

H0=Hx0ax+Hy0ay+Hz0az

∆y ∆x

1 2

4 3 Sentido da integração

OPERADOR NABLA

61

Integra-se na direção 1-2-3-4-1 (H.dL)1-2=Hy,1-2∆y

A variação de Hy com a distância ∆x/2 do centro ao ponto médio do lado 1-2, é +∂∂Hx

xy ∆2

Hy,1−2=Hy0+∂∂Hx

xy ∆2

∴ (H.dL)1−2= HHx

x yy0 +

∂∂

y ∆ ∆2

A variação de Hy com a distância ∆x/2 do centro ao ponto médio do lado 3-4, é − ∂∂Hx

xy ∆2

Hy,3−4=Hy0 − ∂∂Hx

xy ∆2

∴ (H.dL)3−4=Hy,3−4(−∆y)= − HHx

x yy0 −

∂∂

y ∆ ∆2

(H.dL)1−2+(H.dL)3−4= HHx

x yy0 +

∂∂

y ∆ ∆2

− HHx

x yy0 −

∂∂

y ∆ ∆2

=∂∂Hx

x yy ∆ ∆

e assim sucessivamente nos lados restantes e somando-se tudo:

yxy

Hx

H. x ∆∆

−=∫ ∂

∂∂

∂ ydLH = I = Jz∆x∆y

ou no limite: y

Hx

Hyx

.lim x

0yx, ∂∂

∂∂

−=∆∆

∫→∆∆

ydLH

= Jz

onde: yx

.lim

0yx, ∆∆∫

→∆∆

LH dé o rotacional para uma circulação no plano “xy”

As mesmas operações para percursos semelhantes nos outros dois planos “zy” e “xz” resultam:

z

Hy

Hyz

.lim y

0zy, ∂∂

∂∂ −=

∆∆∫

→∆∆

zdLH

= Jx e xH

zH

xz

.lim z

0zx, ∂∂

∂∂ −=

∆∆∫

→∆∆

xdLH

= Jy

Somando-se vetorialmente estas três ultimas expressões vem:

−z

y

∂∂

∂∂ H

yHz ax+

−

xH

zH

∂∂

∂∂ zx ay+

−

yH

xH

∂∂

∂∂ xy az=J=∇×H

∇×H =J segunda Equação de Maxwell também é chamada forma pontual da Lei de Ampère. Terceira equação de Maxwell nos campos estáticos E estático é um campo conservativo logo E L.d =∫ 0

( )lim.

.∆ ∆S

d

SN Nn→

= ∇ ×∫0

A LA a e ∇×E = lim

.

∆ ∆S

d

SN N→=∫

00

E L ∇×E=0

Em outros sistemas de coordenadas sem definir nabla nestes sistemas temos: cilíndricas

62

∇∇∇∇xH=

−

zHH

rZ

∂∂

∂φ∂ φ1 ar+

−

rH

zH zr

∂∂

∂∂ aø+

−

∂φ∂

∂∂ φ rH

rrrH

r1)(1 az

esféricas

∇∇∇∇xH=

−

∂φ∂

∂θθ∂

θθφ HH

rsen

sen1 ar+

−

rrHH

rr

∂∂

∂φ∂

θφ )(

sen11 aθθθθ+

−

∂θ∂

∂∂ θ rH

rrrH

r1)(1 aø

13 - Densidade de fluxo magnético B É relacionado com a intensidade de fluxo magnético pela permeabilidade no vácuo. A unidade que utiliza-se é o Weber/m2. A unidade oficial é a Tesla, a unidade Gauss é antiga. B=µoH Wb/m2 ou Teslas µo=4π×10−7 Henrys/m 14 - 4ª equação de Maxwell e Lei de Gauss do Campo magnético nos campos estáticos. 4ª Equação de Maxwell nos campos estáticos O campo magnético é solenoidal porque não existem fontes nem sumidouros do campo magnético (as linhas de fluxo deste campo se fecham sobre si mesmas) e assim toda o valor de B que entra sai de dentro do volume logo: ∇.B=0 logo vem: B. sd

s∫ = 0 que é a Lei de Gauss do campo Magnético

15 - Fluxo magnético Φ(fi maiusculo) É o fluxo que atravessa uma área especificada. A unidade é o Weber. Φ= B s.d

S∫ Wb

Estas grandezas possuem analogia com grandezas do campo elétrico: B=µoH ⇒ D=ε0E ; Φ= B s.d

S∫ ⇒ ψ= D s.dS∫

16 - As quatro equações de Maxwell nos campos estáticos

Forma pontual (válida em um ponto)

Forma integral (válida em uma região)

∇.D=ρ D s.dS∫ = ρdv

V∫

∇×E =0 E L.d∫ = 0

∇×H =J H L.d∫ = I

∇.B=0 B s.dS∫ =0

Com estas equações e o auxilio de B=µoH ; D=ε0E ; E= −∇V ; Teorema da divergência e Teorema de Stokes pode-se deduzir qualquer uma das fórmulas até agora vistas.

63

16 - Teorema de Stokes Dividindo-se uma superfície qualquer em superfícies incrementais e aplicando-se a definição de rotacional temos:

dL

( ) H.aHLH.

×∇=×∇=∆→∆

∫n

NN S

d0S

lim

Na figura cada lado de uma área ∆S é coberto duas vezes com direções opostas existindo portanto cancelamentos e isto só não ocorre nos lados externos da área ou seja no seu perímetro, logo: ∫ H.dL= ( )∫ ×∇

SH .ds que é o Teorema de Stokes

onde:dL tem que ser percorrido no perímetro S tem que ser uma superfície aberta caso contrário dL=0 APLICAÇÕES: 1 - Obter a Lei de Ampère a partir da 2ª equação de Maxwell. ∇×H=J multiplicando-se escalarmente ambos os lados por ds vem: ∇×H.ds = J.ds integrando-se e aplicando-se Stokes: ∇ × = = =∫ ∫ ∫H ds J.ds H.dL.

S SI

2 - A divergência do rotacional de um campo vetorial é nula ∇.∇×A=0. Supondo-se que o resultado não é zero e sim um escalar T que seria o resultado da operação:

∇.∇×A=T A divergência é uma operação através de um volume com superfície fechada. Através de um volume fechado: ∇ ∇ ×∫ ∫. A

Vdv = Tdv

V

usando-se sucessivamente o teorema da divergência (a superfície é fechada) e de Stokes temos:

∇ ∇ × ∇ × =∫ ∫ ∫ ∫. .A A A LV V

dv = ds = d TdvS

Como a superfície é fechada temos dL=0 (é determinado no perímetro), assim a integral é nula em conseqüência Tdv = 0

V∫ e como dv ≠ 0 vem que T=0 e portanto: ∇.∇×A = 0

EXEMPLOS: E8.4 HAYTT: Calcular a integral de linha no sentido anti-horário H=4sen0,4πzay−(x2+2)2az. Percurso quadrado centro P(1 ; −3 ; 2), lados = 0,6 unidades, no plano x=1, arestas // eixos coordenados,.

∇×H

an ∆SN dL

Y

X

Z

0,61 2

3 4

(1 ; -3 ; 2)

64

4sen[0,4π(2 − 0,3)]×0,6 − (12+2)2×0,6 − 4sen[0,4π(2 + 0,3)]×0,6 + (12+2)2×0,6=1,4295 1−2 (ay) 2−3 (az) 3−4 (− ay) 4−1 (−az) b)calcule o quociente da divisão da integral pela área envolvida pelo percurso. 1,4295/0,6×0,6=3,9709 c)Determine (∇×H)x (na direção x) em P(1 ; − 3 ; 2) ; H=4sen0,4πzay−(x2+2)2az

(∇×H)x =∂∂

∂∂

Hy

Hz − y

z ax = −

( )( ) ( ) ( )d zdz

zdz

d( z)dz

z4 0 4 4 0 4 0 4 0 4 4 0 4 4 066

sen , cos , , , cos , ,π π π π π= − = − =

item b: 3,97 item c: 4,066 ve-se que os resultados se aproximaram sendo que a igualdade só seria obtida quando S---->0 devido a própria definição do rotacional. Com os lados do quadrado 0,1 tem-se em b: 4,06388. E8.6 Haytt

A=2r2(z+1)sen2φ aφ com percurso r=2 ; 4π <φ <

2π ; 1<z<1,5. Calcular ambos os lados do teorema de

Stokes. A é perpendicular a 1−4 ( + az) e 3−2 ( − az) resta com dL = rdφ

( ) ( )∫∫∫ +++= 2

4

224

2

22 rdsen1zr2rdsen1zr2dπ

π

π

πφφφφLA.

( ) ( )∫∫∫ +×++×= 2

4

224

2

22 2dsen15,1222dsen1122dπ

π

π

πφφφφLA.

A. Ld d d∫ ∫ ∫= +32 402

2

4 2

4

2sen senφ φ φ φπ

π

π

π

A. Ld∫ = − + −322

24

402

24

2

4

4

2φ φ φ φπ

π

π

πsen sen = − 5,14

considerando que a normal a superfície esta na direção ar e que só temos Aφ

∇ ×∫ A.dsS

=( 1r z

∂∂φ

∂∂

φA AZ − ar ).(rdφ dz ar)

∇ ×∫ A.dsS

= − − × − +∫∫ ∫∫ ∫2 22

24

3 2

4

2

1

1 5 3 2

4

2

1

1 5

4

2

1

1 5r d dz = 2 d dz = 16 dzsen sen sen, , ,

φ φ φ φ φ φπ

π

π

π

π

π

= −5,14

2 - Calcular o fluxo magnético por metro de comprimento, contido entre os condutores de um cabo coaxial de raio do condutor interno de "a" e do externo de "b".

2=

2 (2; π/4 ; 1)

1 (2; π/2 ; 1)

(2; π/4 ; 1,5) 3

4 (2; π/2 ; 1,5)

ds=rdφdzar Aφ

dL

65

B=µoH ; Hφ π= I

r2 em a<r<b Φ= B s .. lnd

S= =∫∫∫

µπ

µπφ

0a

b0I

2 rdrdza I

2ba0

1 Wb/m

E8.7 Haytt Cabo coaxial refrigerado à água conduzindo 2000 Amp. condutor interno R=5mm = (a) e 7mm = (b) condutor externo R=19mm = (c) e 20mm = (d) H, B e Φ em 1m dentro dos condutores e entre condutores? a) no condutor interno:

6

62

6262

622

22

22

22

22

envolvida 10241025r2000

105107105r2000

abarI

abarII −

−

−−

−

××−=

×−××−=

−−=

−−=

ππππ

H a a=

− ×× =

×− ×

−

−

−

−2000 r

r1000 r

r25 10

r

2

2 625 10

24 102 24 10

6

6

6π πφ φ

B a a= ××

− ×

= − ×

−

− −1000 4 10 r 25 10r

50 r 25 10r

-7 6 6ππ φ φ24 10 36

Φ= 503 0 005

0 007

0

1r 25 10

rdrdz =

6

− × −

∫∫ ,

, ( )503

12 10 25 10 1 46 6× − ×− − ln , =59,8 µWb/m

b)entre os dois condutores

B s .. ln lndS

= = = × × ××

=∫∫∫−µ

πµ

ππ

πφ0

b

c 0-3

-3

I2 r

drdza I2

cb

20002

19 107 100

1 74 10 399 µWb/m

b)dentro do condutor externo:

I I I r cd cenvolvida interno externo= − −

−π ππ π

2 2

2 2 ; B a=

−−

I d r

d cr

0µ

π φ

2 2

2 2

2

( )Bφ

π

π==

× × × −− ×

= × × −×

= × −

×

−

− − −

−−

−

2000 4 10 20 r20 19

r r20 r

3910,26

rr

39

-72 6 2

2 2 6 4 2 6 2

64

6

1010

24 10 10

104 10

10

Φ = × −×

−−∫∫ 4 10

104

60 019

0 0201 10,26r

r39

drdz =0 ,

,10,50 µWb/m

66

17 - Potencial vetor magnético Serve para estudos avançados em eletromagnetismo tais como radiação de antenas, fornos de microondas e irradiação de linhas de transmissão. ∇.B=0 4ª equação de Maxwell ∇.∇×A=0 " o campo que é rotacional de um outro campo é solenoidal e portanto tem divergência nula" Portanto se a divergência de B é nula ele é rotacional de um outro campo que denominaremos de A que é o “potencial vetor magnético”. Ou combinando-se estas equações temos: ∇.B=∇.∇×A ∴ B=∇×A Se este campo A possui rotacional ele varia na direção perpendicular ao seu sentido. Entretanto que não deverá ter fontes nem sumidouros para não criar novas fontes, e assim temos que ter também: ∇.A=0.

−z

y

∂∂

∂∂ H

yHz ax+

−

xH

zH

∂∂

∂∂ zx ay+

−

yH

xH

∂∂

∂∂ xy az=∇×H

portanto o rotacional implica em diferenciação em relação ao comprimento assim a unidade de A é o Wb/m. O potencial vetor magnético nos da um instrumento semelhante ao potencial V em um ponto, nos campos elétricos. Encontrando-se uma expressão análoga de A com V vem:

B=∇×A ∴ H A= ∇ ×1

0µ ∴ ∇ × = ∇ × ∇ × =H A J1

0µ

igualdade vetorial ( )∇ ∇ − ∇ = ∇ × ∇ ×. A A A2 ( )∇ ∇ − ∇ =. A A J2

0µ ∴ ∇ = −20A Jµ

desenvolvendo-se o os vetores: ∇2Axax+∇2Ayay+∇2Azaz= − µ0(Jxax+Jyay+Jzaz) igualando-se os módulos, nas três direções, destes dois vetores: ∇2Axax= − µ0Jxax ; ∇2Ayay= − µ0Jyay ; ∇2Azaz= − µ0Jzaz que são três equações análogas as de Poisson/Laplace resolvidas pelos mesmos métodos:

Ax = ∫µπ0

4JR

dvxV

; AY = ∫µπ0

4JR

dvYV

; AZ = ∫µπ0

4JR

dvZV

Que somadas vetorialmente A J= ∫

µπ0

4 Rdv

V Wb/m

onde: R representa a distância de cada elemento de volume dv ao ponto P onde desejamos calcular A J a densidade de corrente em cada elemento de volume.

=0 por definição

67

O potencial vetor magnético é proporcional à corrente, portanto ele é tanto maior quanto maior valores de corrente houver nas proximidades, e tem a mesma direção de J.

Como IdL =Kds = Jdv A.m escreve-se: A L= ∫µπ0

4IR

d e A K= ∫

µπ0

4 Rds

S Wb/m

A referência para A é o infinito "não pode haver uma corrente finita que possa produzir contribuição no infinito" Este conceito é idêntico ao de potencial absoluto no potencial elétrico. • O potencial vetor magnético nos da uma idéia da distribuição de corrente no espaço e assim também dos

pontos em que existe maiores intensidades magnéticas no espaço. • O potencial elétrico nos da uma idéia da distribuição de cargas no espaço e dos pontos onde existe

maiores campos elétricos no espaço. As expressões destes dois potenciais são semelhantes:

VR

dLL= ∫1

4 0περ Volts e encontramos o campo por: E= −∇V

A L= ∫µπ0

4IR

d Wb/m e encontramos o campo por B=∇×A

⇒ envolvem características do meio ⇒ são inversamente proporcionais às distâncias ⇒ são integrais de fontes filamentares O fluxo magnético em uma região pode ser encontrado pelo potencial vetor magnético:

( )Φ = = ∇ ×∫ ∫B ds A .ds.S S

por Stokes Φ = ∫ A. Ld

EXEMPLO: Usando-se A calcular dH em um ponto P(r; φ; z) próximo a um filamento diferencial situado na origem:

R r z2 2= = +R ; d Idzr z2 2

A a=+

µπ

0

4z ; d dH A= ∇ ×1

0µ ;

|R| IdL

P(r; φ; z)

x y

z

Jdv

J

A (mesma direção de J)

|R|

P

B

68

d d(dA )dr

zH a= −

1

0µ φ

( ) ( ) ( )( )

φφφ

πππµµ aaaH

23

22

23

2222

23

22

0

0

zr4

Irdzr2zr21

4Idz

drzrdzr

21

4dzId

+=

+=

++= −−

é o mesmo resultado que seria obtido pela lei de Biot-Savart E8.9 HAYT Determine A em r=0 ; r=0,4a e r=0,9a no interior de um condutor com corrente I na direção az

sabendo-se que em r=a: π

µ2

5lnI0=A .

I

Ira

ra

envolvida = =ππ

2

2

2

2 ; H a= Ir

envolvida

2π φ ; B a= µπ φ0 22Ira

A tem a mesma direção da corrente logo só Az variando só com r e com B=∇×A

∇×A= −dAdr

z aφ ∴∴∴∴ µπ φ φ0 22Ira

dAdr

za a= − ∴∴∴∴ A Cz = − − +∫µπ

µπ

02

022 4

Ira

dr = Ira

2

com r=a: A = µ 0 52I ln

µ

πµ

π0 0

22 4Iln5 Ia

a

2

= − + C ∴∴∴∴ C = +

=µ

πµ

π0 05

214

1 05I Iln , Az = Ira

I2

− × + × ×− −4 104

1 05 4 107

2

7ππ

ππ

,

Az = I 4,22 ra

2

−

× −

2710 Wb/m a) r=0 Az=0,422I b) r=0,4a Az=0,406I c) r=0,9a Az=0,341I