Resumen

Sea A = R/I un anillo regular de funciones de una variedad algebraicacon una singularidad aislada en el punto racional η; donde (R, η) es un anillor.l.e.t.f de dimensión m, e I es un ideal de intersección completa. El teoremade HKR para el álgebra diferencial graduada R ⊗ ∧V nos lleva a expresarhomoloǵıa ćıclica y de Hochschild del álgebra R/I en función de la coho-moloǵıa de los complejos Lj y Dj. En el primer caṕıtulo desarrollamos lasherramientas necesarias para poder llegar a este resultado.

En este trabajo suponemos que el anillo R/I tiene sólo una singularidadaislada en η. En el caso que el ideal I = 〈f〉 sea principal, los módulos decohomoloǵıa de los complejos Lj y Dj fuerón calculados por Hülb en DividedPowers and Hochschild Homology of Complete Intersections y por Michleren Torsion of diferentials of hypersurfaces with isolated singularities cuandoR es el anillo de polinomios. La fórmula Hm−∗(Lj) = Tor∗(R/I,R/Jf ) paravalores j ≥ m se debe a que ht(Jf ) = dim(R) = m. Nuestro trabajo se centraen calcular los módulos de cohomoloǵıa de los complejos Lj y Dj, cuando elideal I = 〈f1, . . . , fr〉 es generado por una intersección completa con unasingularidad aislada en η. Los cálculos que se presentan no se encuentran ella literatura. En este caso se tiene que

ht(JF ) = m− r + 1

para una icis I = 〈f1, · · · , fr〉 . Notemos que en el caso particular que r = 1obtenemos ht(Jf ) = m. Esta propiedad, junto al hecho de que f ∈

√Jf nos

permiten demostrar uno de los principales resultados originales del trabajo:el Teorema de Clasificación de Singularidades Aisladas. A grandes rasgoseste teorema nos dice que toda icis I = 〈f1, . . . , fr〉 puede ser generado porelementos g1, . . . , gr, donde cada uno de los gi tiene una singularidad aisladaen η. Este teorema permite generalizar los métodos de cálculos para un sólopolinomio, al caso de un ideal que sea una icis generado por r polinomios.

En la Sección 2.2 estudiamos el caso que el ideal este generado por unasecuencia regular de longitud dos. Llegamos a los siguientes resultados :H i(Lj) = 0, para todo i < m − 1, e i 6= j. Cuando j = m + k > m − 1presentamos la secuencia espectral E∗,∗ que converge a la cohomoloǵıa de elcomplejo Lm+k, y colapsa en E

2. Calculamos los módulos de cohomoloǵıa

de los complejos Lm+k en nivel m y m − 2, para el término en grado m − 1hallamos su dimensión. Cuando Lm−1 llegamos a la siguiente igualdad

Hm−1−∗(Lm−1) = Tor∗(Jf/Jf,g, R/I).

Mostramos que la cohomoloǵıa de los complejos Lj para j < m−1 es exacta.En la Sección 2.3 generalizamos los resultados de la sección anterior al casode r polinomios.

En el Tercer Caṕıtulo, debido a que los complejos Lj tienen cohomoloǵıacero para todo término menor que m − r, y al saber la imagen de la apli-cación S en la secuencia SBI expresamos los módulos de cohomoloǵıa de loscomplejos Dj para grados menores que m − r − 1 en función de la coho-moloǵıa de deRham del álgebra R/Is, para algún s adecuado. Los demástérminos se encuentran en una secuencia exacta corta, y pueden ser calcula-dos de manera recurrente. En el caso que S = 0 expresamos los módulos decohomoloǵıa de los complejos Dj en función de los módulos de cohomoloǵıade los complejos Lj. Los complejos que proporcionan la homoloǵıa ćıclicanegativa Ω≥p para p > 0 se descompone en casi un producto tensorial decomplejos. En el caso r = 2 esto permite tomar un subcomplejo Ω≥mf . El

complejo cociente Ω≥m/Ω≥mf es isomorfo a Ω≥mf . Mostramos una secuencia

espectral que se genera a partir de este subcomplejo. Este estudio permitepresentar una secuencia espectral que converge a la cohomoloǵıa de Ω≥m.

El Apéndice esta destinado a presentar las principales definiciones y pro-piedades de la teoŕıa de anillos. También es el sustento de las demostraciónde propiedades que se usan en el cuerpo de la tesis y son parte fundamentalen el trabajo .

Índice general

Introducción III

1. Homoloǵıa de Hochschild y Ćıclica 11.1. Homoloǵıa de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Homoloǵıa Ćıclica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Método de Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Homoloǵıa de Hochschild para icis 512.1. Singularidades Aisladas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2. Homoloǵıa de Hochschild para I = 〈f, g〉 . . . . . . . . . . . . 67

2.2.1. El Complejo Lj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.2. Una Generalización del Complejo de Koszul . . . . . . 792.2.3. Cálculo de la Homoloǵıa de Hochschild . . . . . . . . . 84

2.3. Homoloǵıa de Hochschild para I = 〈f1, · · · , fr〉 . . . . . . . . 1042.3.1. Homoloǵıa de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.3.2. El Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3. Homoloǵıa Ćıclica. 1223.1. Homoloǵıa Ćıclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.2. El Caso Quasihomogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.3. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.3.1. El Número de Milnor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.4. La Homoloǵıa Ćıclica Negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.4.1. El Complejo Ω≥mf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.4.2. El Complejo M(f, g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.4.3. El Complejo Ω≥m

M(f,g). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.4.4. La Cohomoloǵıa del Complejo M(f, g) . . . . . . . . . 155

i

A. Álgebra Conmutativa 167A.1. Definiciones y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167A.2. Complejo Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176A.3. El Ideal Jacobiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181A.4. El Anillo de Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

ii

Introducción

En la presente tesis desarrollaremos herramientas para calcular la ho-moloǵıa ćıclica y la homoloǵıa de Hochschild para A = R/ 〈f, g〉 ; aqúı Res el anillo local de un punto racional regular de un esquema de tipo finitosobre un cuerpo k de caracteŕıstica cero. Es decir R = (k[x1, . . . , xs]/I

′)η yη = (x1−a1, . . . , xs−as). El ideal I = 〈f, g〉 es de tipo intersección completacon una singularidad aislada en (R, η). Este anillo es un caso particular deun anillo regular local esencialmente de tipo finito (r.l.e.t.f). Los cálculos queaqúı se obtienen generalizan los resultados de Michler, Hülb, Bach, [Mich1],[BKH], [BACH].

Como R es proyectivo como k−módulo, podemos escribir la homoloǵıade Hochschild como HH∗(R) = Tor

Re

∗ (R,R). En particular, si el ideal J =ker(R⊗R→ R) es localmente generado por una secuencia regular, tenemosuna descripción concreta de la homoloǵıa de Hochschild : HH∗(R) = Ω

∗R

(Teorema de Hochschild Kostant Rosenberg). Las álgebras con esta propiedadse llamarán suaves. En esta dirección, podemos indicar que la homoloǵıa deHochschild caracteriza la suavidad de un anillo regular local e.t.f : Por unlado si A es suave entonces la homoloǵıa de Hochschild en grado n se anulapara todo n > m := dim(R), por otro lado tenemos el siguiente resultado deAvramov-Vigué [AV] y de BACH [BACH1] :

Sea A un álgebra f.g. sobre un cuerpo k tal que la homoloǵıa de Hochschildse anule en grados i y j para algún i par y j impar entonces A es suave.En el caso suave podemos describir a la homoloǵıa ćıclica por medio de lacohomoloǵıa de deRham

HCn(A) =ΩnA

dΩn−1A⊕ (⊕i≥1Hn−2iDR (A)),

según [LQ, Teorema 2.9].

iii

Sea A un álgebra de la forma A = k[x1, . . . , xm]/I donde I es un idealde tipo intersección completa. En [BV] se define la homoloǵıa ćıclica y deHochschild para álgebras diferenciales graduadas. Sea V un espacio vectorialgraduado concentrado en grado uno. Identificando el álgebra graduada ∧Vcon el módulo graduado del complejo Koszul se proporciona un diferencial a∧V . Esto convierte a (∧V, d) en un álgebra diferencial graduada. Mostrandouna versión graduada del teorema de Hochschild Kostant Rosenberg parael álgebra (∧V, d) hallan una fórmula expĺıcita, HHn(∧V, d) = ⊕p≥0HH(p)n ,HCn(∧V, d) = HCn(k)⊕⊕p≥0HC(p)n , que cálcula la homoloǵıa de Hochschildy ćıclica de A (ver [BV]). En [CGG] se usa un método similar para hallaruna fórmula que calcula la homoloǵıa ćıclica y de Hochschild para álgebrasde la forma R/I, donde R es homológicamente regular e I es localmente unaintersección completa. Estas fórmulas (ver Corolario1.107), que en el casoR regular fueron obtenidas por [FT], expresan la homoloǵıa de Hochschildy ćıclica en función de los complejos Lj y Dj para j > 0 respectivamente,definidos de la siguiente manera

Lj : 0 //IjΩ0RIj+1Ω0R

dDR //dDR // Ij−1Ω1RIjΩ1R

dDR // . . . dDR// IΩj−1R

I2Ωj−1R

dDR // ΩjR

IΩjR

y

Dj : 0 //Ω0R

Ij+1Ω0R

dDR //dDR // Ω1R

IjΩ1R

dDR // . . . dDR// Ωj−1R

I2Ωj−1R

dDR // ΩjR

IΩjR

Basados en la fórmula del Corolario 1.107 en adelante nos dedicaremos acalcular la cohomoloǵıa de los complejos Lj y de los Dj.

En el caso que el ideal I es principal, para el cálculo de los módulosde cohomoloǵıa de los complejos Lj se usa el siguiente método: Primero seprueba que Lj es quasiisomorfo a K(fx1 , · · · , fxm)⊗RR/I. Si la singularidadde I en η es aislada y (R, η) es r.l.e.t.f, entonces K(fx1 , · · · , fxm) es unaresolución de R/Jf . Aqúı Jf es el ideal jacobiano de f, y en general JFrepresenta el ideal jacobiano de F = (f1, · · · , fr).

Esto nos permite describir la cohomoloǵıa de Lj mediante la siguientefórmula

H∗(Lj) = TorRm−∗(H

m(K(fx1 , . . . , fxm)), R/I) = TorRm−∗(R/Jf , R/I), (1)

iv

para valores j mayores que la dimensión de Krull del anillos R, además setiene que Tor1(R/I,R/Jf ) = I

′/Jf donde I′ = (J : f). Este resultado se

encuentra en [BKH] cuando R = k[x1, . . . , xn], y en [LM] en el caso de unálgebra r.l.e.t.f. Todos ellos se limitan al caso en que I = 〈f〉 .

Nosotros generalizamos estos cálculos al caso en que I = 〈f1, . . . , fr〉 seauna intersección completa. La generalización natural directa de las fórmulasanteriores al caso de dos polinomios seŕıa

H∗(Lm) = Torm−∗(R/ 〈f, g〉 , R/ 〈Jf , Jg〉).

Sin embargo, esta nueva fórmula no se cumple en general, como se ve enel Ejemplo 2.34. Alĺı presentamos un ideal I = 〈f, g〉 , donde f y g es unasecuencia regular con una singularidad aislada en η que cumple

Hm−1(Lm) 6= Tor1(R/ 〈Jf , Jg〉 , R/I) = Tor1(Hm(L′m), R/I).

Aqúı L′j es un complejo de R−módulos libres que se define de modo queLj = L

′j ⊗R R/I (ver Observación en la Página 74).

La Ecuación (1) se obtuvo gracias al hecho que ht(Jf ) = dim(R) = m.En el caso que I = 〈f, g〉 se tiene que ht(JF ) = m− 1. Cuando el ideal I esgenerado por una secuencia regular de r elementos obtenemos que ht(JF ) =m − r + 1. Esta es la principal obstrucción para seguir el método empleadopara el caso de un solo polinomio. Sin embargo el cálculo de la altura delideal jacobiano nos permite brindar información sobre los ideales de tipointersección completa con una singularidad aislada (icis por sus siglas eninglés). Estas propiedades permitirán calcular la homoloǵıa de Hochschildy serán descritas más adelante. A continuación describimos los resultadosobtenidos sobre la cohomoloǵıa de los complejos Lj y L

′j.

Para el caso en que el ideal esté generado por una secuencia regular delongitud dos, I = 〈f, g〉 , obtenemos :

Los complejos H i(L′j) = 0 para todo i 6= j.La prueba se presenta en la Proposición 2.49 y Corolario 2.52 de la tesis.El significado de esta afirmación cuando j = m−1 se refleja en poder escribir

H∗(Lm−1) = Torm−1−∗(JfJf,g

, R/I);

donde Hm−1(L′m−1) =JfJf,g

. Otra conclusión que se desprende del corolario

anterior es el hecho de tener que los complejos Lj satisfacen que Hi(Lj) = 0

v

para todo i 6= j para j ≤ m − 2. El hecho que H i(L′j) = 0 para todo i 6= jpara j < m nos permite escribir

Hs(Lj) = Torj−s(Hj(L′j), R/I)).

Como los complejos Lj para j ≤ m− 1 son exactos salvo en el último nivel,Tort(H

j(L′j), R/I)) = 0 para todo t > 0. Esto significa que f, g forman unasecuencia Hj(L′j)−regular.

Luego demostramos que los complejos Lj para valores de j mayores oiguales que la dimensión del anillo R sólo tienen tres términos no nulos encohomoloǵıa. También describimos su último término de cohomoloǵıa comouna generalización de (1) :

Para todo j ≥ m se cumple : los módulos de cohomoloǵıa de los complejosLj son cero para todo grado menor m − 2. Los términos en grado m − 2 seexpresan como

Tor1(Hm−1(L′≤m−1j ), R/I).

Aqúı L′≤m−1j es el complejo truncado en nivel m−1. Las pruebas se encuen-tran en el Teorema 2.54 y Corolario 2.59 . Con respecto a la cohomoloǵıade los complejos Lm+k en grados m y m − 1 mostramos que existe una se-cuencia espectral Erp,q que converge a la cohomoloǵıa de los complejos Lm+ky colapsa en el segundo término (Teorema 2.62).

Esta información se puede resumir en el siguiente cuadro

H i(Lj) =

0 si i < min{j,m− 2}.df ∧ Ωj

df ∧ dg ∧ Ωj−1⊗R/I si i = j y j ≤ m.

Torm−1−i(JfJf,g

, R/I) si j = m− 1.

T or1(Hm−1(Ck+1), R/I) si j > m− 1 e i = m− 2,

(2)

donde Ck+1 = (L′m+k)

≤m−1 (ver Proposición 2.55). Para los términos en nivelm− 1 y m presentamos una secuencia espectral

vi

E12,0 = Tor2(Mk,RI

)

E11,0 = Tor1(Mk,RI

) E11,1 = Tor1(Mk,RI

)d1

oo

E10,0 = Tor0(Mk,RI

)) E10,1 = Tor0(JgJf,g

, RI

),d1

oo

(3)

donde Gr(Mk) = ⊕ki=0R/Jf (ver Teorema 2.62) y d1 es el producto exteriorcon dg.

En el caso que Jg este contenido en el ideal Jf , se cumple E1 = E∞, lo cual

se demuestra en el Corolario 2.65. Aunque la condición Jg ⊂ Jf simplificasignificativamente los cálculos, esta se da en muchos ejemplos conocidos.Ello nos permite calcular los módulos de cohomoloǵıa de los complejos Lm+kpara el caso en que R/I es de dimensión cero y la singularidad es simple(clasificación de Guisti [G]) [Looj, 7.19], a exepción de Hµ para µ ≥ 7, ylas singularidades simples de curvas inmersas en dimensión tres(ver Ejemplo 2.67). El cálculo de estos grupos de cohomoloǵıa fue una de lasmotivaciones originales de este trabajo.

En general, cuando el ideal I = 〈f1, . . . , fr〉 es una intersección completa ytiene una singularidad aislada en η encontramos una secuencia espectral E∗,∗que converge hacia la cohomoloǵıa del complejos Lm+k. El primer términoE1 de la secuencia espectral se expresa en función de ciertos Tor (Teorema2.76).

Usando el mismo argumento dado para el caso de dos polinomios probamosque Hs(Lm+k) = 0 para todo s ≤ m− r − 1.

Este último resultado significa que los complejos Lm+k tienen a lo másr + 1 términos de cohomoloǵıa no nulos.

Para poder establecer las propiedades mencionadas anteriormente, en elcamino probamos los siguientes resultados algebraicos, que no se encuentranen la literatura. Una de las piedras angulares en el trabajo es el Corolario2.19 que dice que

ht(JF ) = m− r + 1,

cuando I = 〈f1, · · · , fr〉 es una icis en un anillo r.l.e.t.f. (R, η). Notemosque en el caso r = 1, obtenemos ht(Jf ) = m.

En general en una icis I = 〈f1, · · · , fr〉 pueden existir elementos fi tales

vii

que la hipersuperficie {fi = 0} sea regular, esto significa que el anillo R/ 〈fi〉es regular. Por ejemplo los polinomios f = x2 + xy + z, g = x2 + y2 + z,y h = z en el anillo R = k[x, y, z](x,y,z) nos proporcionan una icis 〈f, g, h〉.Es evidente que R/ 〈h〉 ' k[x, y](x,y) es un anillo r.l.e.t.f. Para evitar estoscasos triviales ponemos como condición que ninguna de las hipersuperficies{fi = 0} sea regular. Ésto equivale a pedir que el ideal Jfi esté contenidoen el maximal η; notemos que esta condición significa, en el caso particularque R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm), que el jacobiano evaluado en 0 = (0, . . . , 0)tiene rango cero. En estos casos puede suceder que el lugar singular de fisea más grande que un punto, es decir ht(Jfi) < m = dim(R). Notemos queht(Jf ) = m si sólo si la singularidad de fi es aislada. Si embargo nosotrostenemos el siguiente resultado :

Sea una icis I = 〈f1, · · · , fr〉 de modo que ninguno de sus generadores esregular. Entonces se pueden escoger generadores g1, · · · , gr de I de maneraque cada gi tenga una singularidad aislada. (Teorema 2.25)

Esta propiedad nos permite reducir el lugar singular de cada uno de losgeneradores de I a un punto. En el Ejemplo 2.27 se muestra un ideal Igenerado por una secuencia regular de dos elementos en k[x, y](x,y), que tieneuna singularidad aislada en η, y no podemos hallar un representante que searegular. Esto significa que, bajo las hipótesis planteadas anteriormente, nopodemos reducir más el lugar singular de los generadores de una icis.

El resultado anterior también se puede interpretar como un teorema declasificación local de las singularidades aisladas de tipo interseccióncompleta; y nos garantiza que todas ellas se pueden formar a partir depolinomios con singularidades aisladas. Esta propiedad de clasificación esuno de los principales resultados de la tesis.

El Teorema 2.25 es consecuencia inmediata de la Proposición 2.24 :

Sea I = 〈f1, · · · , fr〉 una icis. Entonces podemos modificar los generadorespara que los primeros r − 1 generadores formen una icis.

Una versión topológica, en el caso k = C, del Corolario 2.19 y de laProposición 2.24 se encuentran en [Looj] y [AGV, Teorema 5.4, página 157].Las demostraciones se basan en propiedades topológicas del cuerpo C. Estaversion topológica se sigue inmediatamente de nuestros resultados.

viii

En relación a la homoloǵıa ćıclica, en el caso quasihomogéneo, expresamoslos k−espacios vectoriales de cohomoloǵıa de los complejos Dj en función delos módulos de cohomoloǵıa de los complejos Lj. Para las singularidadesclasificadas en el Ejemplo 2.67 mencionadas ĺıneas atrás hallamos todos losk−espacios vectoriales de cohomoloǵıa de los complejos Dj.

En general obtenemos que Hk(Dj) = HkDR(R/I) para todo k ≤ m−r−2,

y Hj(Dj) = ΩjA/d(Ω

jA). Los términos restantes se encuentran envueltos en

secuencias exactas, donde los elementos involucrados son conocidos.Los complejos Ω≥p definidos en 1.78 proporcionan la homoloǵıa ćıclica

negativa (ver Proposición 1.80). Estos complejos tienen a lo más r+1 términosde cohomoloǵıa no nulos. En el caso de dos polinomios presentamos unasecuencia espectral que converge hacia la homoloǵıa ćıclica negativa de R/I(Proposición 3.34).

A continuación presentamos los resultados principales del trabajo dividi-dos en caṕıtulos :

En el Primer Caṕıtulo presentamos la definición y principales propiedadesde la homoloǵıa de Hochschild. Ponemos de manifiesto la estrecha relaciónentre esta homoloǵıa y los diferenciales de Kähler. Esta relación nos permitedescribir la suavidad del álgebra R en función de sus diferenciales de Kähler.Basados en el Corolario 2.2 de [HS] vemos que en un anillo regular local(R, η) todo elemento f en η cumple que f ∈

√Jf (ver Corolario 1.38).

Luego demostramos un resultado clave para el desarrollo del segundocaṕıtulo, el Corolario 1.41 :

Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y {f1, . . . , fr} ⊂ R, P un ideal primo conJF ⊂ P. Supongamos que fj /∈ P para todo j = 1, . . . , r. Entonces enT = Q(R

P) (el cuerpo de fracciones de R/P ) los elementos {f1, . . . , fr} no

son algebraicamente independientes sobre k.

La principal información que tomamos del enunciado anterior es la exis-tencia de un polinomio p(x1, · · · , xr) no nulo para el cual se cumple quep(f1, . . . , fr) = 0 en el anilloR/P . Esta relación algebraica entre los elementosf1, . . . , fr resulta crucial para demostrar los principales resultados de la tesis.

Luego presentamos la definición y propiedades de la homoloǵıa ćıclica.A modo de ejemplo calculamos la homoloǵıa ćıclica del álgebra graduadak[x]/〈xm+1〉.

ix

En la última sección del primer Caṕıtulo presentamos un bosquejo de lademostración de la descomposición de Hodge de la homoloǵıa ćıclica y deHochschild. Para ello desarrollamos la teoŕıa de homoloǵıa ćıclica y Hoch-schild para álgebra diferenciales graduadas. Entre los principales ejemplos deestas álgebras se encuentran el complejo de Koszul K(a1, · · · , ar). Conocer suhomoloǵıa es importante en el trabajo. Se sabe que si la secuencia a1, · · · , ares regular el complejo K(a1, · · · , ar) es exacto salvo en el útimo nivel.

Un hecho fundamental, que hacemos notar en el primer Caṕıtulo y queusamos en repetidas ocasiones, es el siguiente :

Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Para todo ideal I propio se cumple que laaltura del ideal I es igual que la proundidad de I. Para presentar el resultadoanterior introducimos la principales definiciones del álgebra conmutativa quese emplean en esta sección. Un pilar importante introducido en este caṕıtulose refiere a la definición de ideal jacobiano. Presentamos un interpretacióngeométrica de esta definición en el ámbito de la geometŕıa algebraica.

En el Segundo Caṕıtulo con ayuda de las propiedades descritas ante-riormente probamos un resultado fundamental en el trabajo :

ht(JF ) = m− r + 1

para una icis I = 〈f1, · · · , fr〉 . Esta propiedad, junto al hecho de que f ∈√Jf nos permiten demostrar el teorema de clasificación de singularidades

aisladas. Este resultado también se puede obtener usando directamente laProposición 2.24. El único requisito que se pide en esta segunda prueba esque el cuerpo k sea infinito. Este teorema permite generalizar los métodos decálculos para un sólo polinomio, al caso de un ideal que sea una icis generadopor r polinomios. Otro item importante que presentamos es el Corolario 2.70:

Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis entonces para todoprimo P tal que JF * P el complejo L′j, localizado en P, (L′j)P , para todo1 ≤ j < m satisface que H i(L′j) = 0 para todo i 6= j y exacto para todoj ≥ m.

Este corolario nos dice que los módulos de cohomoloǵıa de los complejos L′jpara j > 0 están soportados en los ideales primos que contienen al idealjacobiano JF . En la Sección 2.2 estudiamos el caso que el ideal este generadopor una secuencia regular de longitud dos. El resultado enunciado ĺıneas

x

atraś nos permiten establecer el cálculo de los módulos de cohomoloǵıa delos complejos Lj, que mencionamos anteriormente. También nos permitenpresentar la secuencia espectral (2.15).

Calculamos los módulos de cohomoloǵıa de los complejos Lm+k en nivel mym−2, para el término en gradom−1 hallamos su dimensión. Expresamos losmódulos de cohomoloǵıa del complejo Lm−1 como Torm−1−∗(Jf/Jf,g, R/I).Mostramos que la cohomoloǵıa de los complejos Lj para j < m−1 es exacta.En la Sección 2.3 generalizamos los resultados de la sección anterior al casode r polinomios. Presentamos una secuencia espectral E∗,∗ que converge a lacohomoloǵıa de los complejos Lm+k y colapsa en E

r. Demostramos tambiénque los complejos Lm+k sólo tienen r + 1 términos de cohomoloǵıa no nulos.

El Tercer Caṕıtulo esta reservado para presentar los cálculos de losmódulos de cohomoloǵıa de los complejos Dj. Como sabemos, estos complejoscalculan la homoloǵıa ćıclica. El cálculo de estos módulos de cohomoloǵıase basa en el hecho que los complejos Lj tienen homoloǵıa nula en gradosmenores a m− r; y más aún, cuando j < m− r− 1, el complejo Lj satisfaceque H i(Lj) = 0 para todo i diferente de j. Otra información que usamoses el conocimiento de la imagen del morfismo proyección π∗ : Hj−r(Dj) →Hj−r(Dj−1) (ver Lema 6 de [BACH]). En la sección 3.1 probamos el Teorema3.1:

Para j ∈ N, se tiene que

H i(Dj) =

H iDR(R/I) si i < min{m− r − 1, j}.Hm−r−1DR (R/I

j−m+r+1) si i = m− r − 1, j > m− r − 1.ΩjR/I

dΩj−1R/Isi i = j

(4)

Si j ≥ m− r, para m− r + 1 ≤ t ≤ m− 1 existe una secuencia exacta

0 // H t−1DR (R/Ij−t+1) // H t−1(Dj−1) //

H t(Lj) // Ht(Dj)

π∗ // H tDR(R/Ij−t) // 0

En la Sección 3.2 vemos el caso quasihomogéneo, donde expresamos losmódulos de cohomoloǵıa de los complejos Dj en función de los módulos de

xi

cohomoloǵıa de Lj. El Teorema 3.9 nos da la cohomoloǵıa de los Dj en estecaso :

Sea j ∈ N entonces

H t(Dj) =

0 si t ≤ min{j − 1,m− r − 1}ΩjAdΩj−1A

si i = j y j < m− r

Hm−r(Dm−r) =Ωm−rA

dΩm−r−1Asi j = m− r; y t = m− r

Hm−r(Dj) = Hm−r(Lj) si j > m− r; y t = m− r.

(5)

Si m− r < t < m entonces existe una secuencia exacta

0 // H t−1(Dj−1) // Ht(Lj) // H

t(Dj) // 0.

con t ≤ j. Si j ≥ m entonces Hm(Dj) = 0, y Hm−1(Dj) = Hm(Lj) para todoj ≥ m− 1.

Notemos que este caso abarca todas las curvas inmersas en dimensión tresen el cuerpo C de la lista que se presenta en [Looj, 7.22].

En la última sección describimos la homoloǵıa ćıclica negativa que secalcula a partir de los complejos Ω≥p para p > 0 (ver Definición 1.78). Parapoder emplear los resultados que se plantean en [LM] descomponemos elcomplejo Ω≥m en dos complejos; el complejo Ω≥mf y Ω

≥mf y. Ambos complejos

son isomorfos y dependen de f, df y dg. En particular se tiene la secuenciaexacta corta

0 // // Ωf //// Ω≥m // Ωf [−1] // 0

Del subcomplejo Ω≥mf tomamos cierto subcomplejo M(f, g). La coho-

moloǵıa del complejo cocienteΩ≥mfM(f,g)

se calcula en el Lema 3.35. Finalmente

descomponemos M(f, g) en dos copias de un complejo Γ, obteniendo unasecuencia exacta

0 //// Γ ////M(f, g) // Γ[−1] // 0.

Aqúı las columnas de Γ son los complejos E ′m+k (Definición 2.60 ) satisfacenH i(E ′m+k) = 0 para todo i 6= m. Su cohomoloǵıa se calcula en el Lema 3.34

xii

Otra forma de abordar el estudio de la cohomoloǵıa del complejo M(f, g)es la siguiente : Tomamos un subcomplejo F de M(f, g) (ver Definición 3.42).

En el complejo cociente M(f,g)F

presentamos una filtración

Ip ⊂ · · · ⊂ I1 =M(f, g)

F,

y calculamos el E1 de esta filtración. Para el complejo F presentamos unafiltración

F1 ⊂ F2 ⊂ . . . ⊂ F.

Esta filtración proporciona una secuencia espectral que colapsa en E1, sinembargo, en general no se sabe si converge.

El Apéndice se divide en cuatro partes. En la primera de ellas se pre-sentan las definiciones y propiedades básicas del álgebra conmutativa. En lasegunda sección presentamos la propiedades que usamos en el trabajo so-bre el complejo de Koszul. En la sección del ideal jacobiano se establece ladefinición del ideal jacobiano para ideales en anillos r.l.e.t.f. Esta definicióntambién generaliza la definición de icis para polinomios. En la última secciónse presenta algunas propiedades básicas del anillo de polinomios k[x1, · · · , xr]cuando el cuerpo k es infinito.

xiii

Caṕıtulo 1

Homoloǵıa de Hochschild yĆıclica

El objetivo será presentar un bosquejo de la demostración de la descom-poción de Hodge de la homoloǵıa Ćıclica y de Hochschild para el caso deintersecciones completas. Esto nos servirá de pretexto para proporcionar lasdefiniciones y propiedades a emplearse en el trabajo. Los anillos que aqúı pre-sentamos son álgebras sobre un cuerpo k de caracteŕıstica cero

La homoloǵıa de Hochschild y su conocida relación con los diferencialesde Kähler nos śırve para exportar un pilar fundamental en el trabajo : Si(R, η) es un anillo local de un punto racional regular, f es un elemento ensu ideal maximal y df ∈ J · Ω1R, entonces f se encuentra en la clausuraalgebraica de J (Proposición 1.36). Este resultado nos permite probar unhecho importante: Sean (R, η), f como antes, entonces f pertenece a

√Jf ,

el radical de su ideal jacobiano (ver Corolario 1.38). En el transcurso delcaṕıtulo ponemos de manifiesto la estrecha relación entre el ideal jacobianoJF de F = (f1, · · · , fr) y la dependencia algebraica de los fi (ver Corolario1.41). Estos dos Corolarios son las principales propiedades que se usan en eltranscurso del trabajo.

En la segunda sección desarrollamos las principales propiedades de lahomoloǵıa ćıclica. Calculamos la homoloǵıa ćıclica del álgebra k[x]/〈xm+1〉.

En la última sección presentamos los elementos necesarios para demostrarel principal teorema de [CGG]. Este se refiere a la descomposición de la ho-moloǵıa ćıclica y Hochschild para álgebras diferenciales graduadas homológi-camente regulares.

1

1.1. Homoloǵıa de Hochschild

En esta parte presentamos las definiciones del complejo y homoloǵıa deHochschild. La homoloǵıa de Hochschild y los diferenciales de Kähler tienenuna estrecha y conocida relación. Este hecho nos faculta a desarrollar unateoŕıa con amplia base con respecto a las propiedades de los diferencialesde Kähler. Presentamos las secuencias exactas cotangente y conormal. Tam-bién ponemos de manifiesto las relaciones que guardan los diferenciales deKähler y las propiedades de regularidad del anillo. Un ejemplo de ello es lacaracterización de un anillo regular local en función del primer módulo delos diferenciales de Kähler (ver Teorema 1.28). Un resultado importante dela teoŕıa de diferenciales que presentamos se encuentra en el Corolario 1.41.De esta relación depende la mayoŕıa de los resultados de la tesis.

Definición 1.1. Sean A una k−álgebra y M un A−bimódulo. Definamoslos módulos Cn(A,M) = M ⊗ A⊗n y b : Cn(A,M) −→ Cn−1(A,M) como

b(m⊗ a0 ⊗ . . . an) =i=n−1∑i=0

(−1)i(m⊗ a0 ⊗ . . .⊗ aiai+1 ⊗ . . .⊗ an)

+ (−1)n(anm⊗ . . .⊗ an−1).

Se verifica que b ◦ b = 0 y por lo tanto C(A,M) :

0 C0(A,M)oo · · ·boo Cn(A,M)boo Cn+1(A,M)boo · · ·boo

es un complejo. Su Homoloǵıa HH∗(A,M) := H(C(A,M)) es la homoloǵıade Hochschild de A con coeficientes en M.

Cuando M = A denotaremos C(A,A) = C(A) y HHn(A,A) = HHn(A).

Ejemplo 1.2. Sea A = M = k,

C(k) : 0 koo · · ·0oo k1oo k0oo · · ·1oo

Con ello vemos

HHn(k) =

{k si n=0.

0 si n 6= 0.(1.1)

2

Teorema 1.3. Si A es una k−álgebra unital, proyectiva como k−módulo,entonces para todo A−bimódulo M se cumple

H(A,M) = TorAe

n (M,A)

Prueba. [Lod, Proposición 1.1.13]. �

Ejemplo 1.4. Sea k un cuerpo de caracteŕıstica cero y A = k[x]〈xn+1〉 . Conside-remos el complejo

C : 0 Aeoo Ae·uoo . . .·voo

con u = x⊗1−1⊗x y v = xn⊗1+xn−1⊗x+ . . . 1⊗xn. Bajo el isomorfismoAe ' k[x,y]〈xn+1,yn+1〉 tenemos que u = x−y, v =

∑ni=0 x

n−iyi. Es decir, el complejoC se escribe

C : 0k[x,y]

〈xn+1,yn+1〉oo k[x,y]

〈xn+1,yn+1〉·uoo . . .·voo

Es claro que u · v = v · u = 0. Ahora si p(x, y)u ∈ 〈xn+1, yn+1〉 , entonces

p(x, y)u = αxn+1 + βyn+1 = αxn+1 − αyn+1 + (β − α)yn+1.

Como u divide a α(xn+1−yn+1) y no a yn+1 entonces u divide β−α, es decir,existe δ tal que u · δ = β − α y por lo tanto

p(x, y) = α · v + δ · yn+1 ∈ 〈v〉+〈yn+1

〉.

Esto nos permite afirmar que p ∈ 〈v〉 en Ae y garantiza la exactitud de Cen grados impares. La exactitud de C en grados pares se verifica de manerasimilar.

Con esto queda claro que C es una resolución de A como Ae módulo. Siaplicamos el functor A⊗Ae , obtenemos

0 Aoo A0oo . . .

(n+1)xnoo A

0oo A

(n+1)xnoo . . .oo

Un cálculo directo muestra que HHi(A) = TorAe

i (A,A) =A〈xn〉 si i es impar y

que HHi(A) = (0 : xn) = Ker(·xn) si i es par. En grado cero HH0(A) = A.

Se sigue que si n ≥ 1 entonces dimk(HHn(A)) = dimk(HHn+1).

3

Definición 1.5. Sean A una k-álgebra unital y A = Ak. Definimos el complejo

C(A,M) : 0 Moo M ⊗ Aboo . . .boo

. . . M ⊗ A⊗nboo M ⊗ A⊗n+1

boo . . .oo

Proposición 1.6. Sea (D, b) el complejo

D : 0 D0oo D1boo . . .boo Dn

boo Dn+1boo . . .boo

Donde Dn = {(m, a1, . . . , an) : ∃i con ai ∈ k} . Entonces (D, b) es aćıclico.Más aún Cn(A,M)

Dn= Cn(A,M) y por lo tanto π : C(A,M)→ C(A,M) es un

quasi-isomorfismo.

Prueba. [Lod, Proposición 1.1.15]. �

Definición 1.7. Una k−derivación de A en M es una aplicación k−lineal

D : A −→M,

que cumple la regla de Leibniz D(ab) = aD(b) +D(a)b.

Ejemplo 1.8. Sea A = k[x1, . . . xm] entonces∂∂xi

es una derivación para todoi = 1, . . . ,m.

Definición 1.9. Sea A una k−álgebra unital y A = A/k. Definamos

Ω1A|k :=A⊗ AN

,

donde N es el A−módulo generado por {a0a1 ⊗ a2 − a0 ⊗ a1a2 + a2a0 ⊗ a1} ,con la estructura de A−módulo obvia y d : A −→ Ω1A|k , d(a) = [1⊗ a].

Lema 1.10. La derivación d : A→ Ω1A|k es universal : para toda derivaciónD : A → M existe un único morfismo f : Ω1A|k → M de A−módulos tal queel diagrama

A

d @@@

@@@@

D //M

Ω1A

∃!f

>>||||||||

conmuta.

4

Prueba. Si definimos f([a⊗ b]) = aD(b) se prueba que f esta bien definida,f ◦ d(a) = D(a) y además que f es única. �

Corolario 1.11. Si I = Ker(A⊗ A −→ A) entonces II2' Ω1A.

Prueba.[Eis, Teorema 16.24].

Corolario 1.12. Si S ⊂ A es un subconjunto multiplicativamente cerradoentonces Ω1S−1A ' S−1A⊗A Ω1APrueba. [Eis, Proposición 16.9]. �

Entre las secuencias que emplearemos se encuentran las siguientes :

Proposición 1.13. Si A → B → C es una secuencia de anillos entoncesexiste una secuencia exacta de B−módulos

C ⊗B Ω1B|A → Ω1C|A → Ω

1C|B → 0

donde la aplicación del lado derecho env́ıa dc a la clase de dc, y la aplicacióndel lado izquierdo envia c⊗ db a cdb.

Prueba. [Eis, Proposición 16.2]. �

Proposición 1.14. Si π : A → B es un epimorfismo de k−álgebras conker(π) = I, entonces existe una secuencia exacta de B−módulos

II2

d // B ⊗A Ω1A|kπ // Ω1B|k

// 0,

donde la aplicación del lado derecho es dado por b ⊗ da 7→ bda y la del ladoizquierdo env́ıa la clase de f a 1⊗ df.

Prueba. [Eis, Proposición 16.3]. �

Definición 1.15. Sea k un anillo conmutativo y A una k−álgebra. UnA−módulo finito universal con derivada finita es un A-módulo finitamentegenerado (f.g) Ω̃1A|k y una k−derivada d : A→ Ω̃

1A|k , con la siguiente propiedad

universal : Si M es un A−módulo f.g y D : A → M es una k−derivada en-tonces existe un único homomorfismo de A−módulos

f : Ω̃1A|k →M

tal que D = f ◦ d.

5

Observación. Notemos que todas las álgebras con las que trabajamos tienenderivada universal finita.

Notación. Sea (R, η) un dominio local con derivada universal finita, ponga-mos

(Ω1R)∗ :=

Ω̃1R|kT (Ω̃1R|k)

,

donde T (Ω̃1R|k) es el módulo torsión y definamos d∗ : A → (Ω1R)∗ por medio

de d∗ = π ◦ d.

Observación. Usaremos las definiciones de dimensión de Krull, altura, se-cuencia regular, profundida, anillo Cohen Macaulay, según se presentan en[Eis] o [Mats] y se detallan a continuación.

Definición 1.16. Sea R un anillo. La dimensión de Krull o simplementela dimensión de un anillo R, denotada como dim(R), es el supremo de laslongitudes de las cadenas de ideales primos en R. Es decir, dim(R) = n siexiste una cadena de ideales primos

P0 P1 · · · Pny ninguna cadena es de longitud es mayor. Una Cadena de ideales de longitudn se define como una secuencia

I0 I1 · · · Inde ideales dos a dos disjuntos.

Definición 1.17. Sea P un ideal primo de R. Definimos la altura ht(P )como el supremo de la longitud de las cadenas de primos

P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ Pn = P.

Si el ideal I no es primo definimos la altura del ideal I como el mı́nimo delas alturas de los primos P que contienen a I.

Observación. Cabe resaltar que algunos autores (ej. [Eis]) a la altura delideal I la llaman codimensión.

Si el anillo (R, η) es local entonces

dim(R) = ht(η).

Teorema 1.18. Sea x1, . . . , xc ∈ R y P ideal primo minimal entre los primosque contienen a x1, . . . , xc. Entonces ht(P ) ≤ c.

6

Prueba. [Eis, Teorema 10.2]. �

Definición 1.19. Sea (R, η) un anillo local. La sucesión x1, . . . , xn se de-nomina una secuencia de parámetros si sólo si

ηk ⊂ 〈x1, . . . , xn〉 ⊂ η,

y dim(R) = n. Si además 〈x1, . . . , xn〉 = η la secuencia se llama secuenciaregular de parámetros -Ver [ Eis., Corolario 10.7, pág 242]-.

Definición 1.20. Sea (R, η) un anillo local. Una sucesión {x1, . . . , xn} se de-nomina secuencia regular (o secuencia R-regular) si sólo śı la aplicación

xi : R/ 〈x1, . . . , xi−1〉 −→ R/ 〈x1, . . . , xi−1〉

definida por a 7→ xi · a, es inyectiva para todo i = 1, . . . , n, y además〈x1, . . . , xn〉 6= R.

Definición 1.21. Sea (R, η) un anillo local, por definición la máxima longi-tud de secuencias regulares del anillo (R, η) se denomina profundidad delanillo R y se denota como depth(R).

Definición 1.22. Sea (R, η) un anillo, I un ideal. La máxima longitud desecuencias regulares de R contenidas en I se define como profundidad(I).

Definición 1.23. Un anillo (R, η) local es llamado Cohen Macaulay sisólo śı profundidad(R) = dim(R). Ver [Mats.,16.A., Pág 103].

Proposición 1.24. Sea (R, η) un anillo local Cohen Macaulay. Entoncespara todo ideal I tenemos

ht(I) + dim(R/I) = dim(R). (1.2)

Prueba. [Mats, Teorema 29, parte (i)]. �

Definición 1.25. Sea k un cuerpo de caracteŕıstica cero. Sea (R, η) un anillolocal de un punto cerrado suave y tal que R/η = k. Es decir

R = (k[x1, . . . , xn]/I)η1 w k[x1, . . . , xn]η1/Iη1 ,

con η1 = (x1−a1, . . . , xn−an). Este anillo es un ejemplo de un anillo regularloca esencialmente de tipo finito. (r.l.e.t.f.) Nosotros lo llamaremos r.l.e.t.f.

7

Observación. En esta tesis trabajaremos exclusivamente con los anillosr.l.e.t.f, y sus cocientes. Notemos la forma especial que exigimos sobre elmaximal η1. En el caso que k sea algebraicamente cerrado esta condiciónse da automáticamente. Como sus elementos son imágenes de polinomiosentonces abusando del lenguaje también los llamaremos polinomios.

Ejemplo 1.26. El anillo (R, η) = (k[x1, · · · , xm](x1,...,xm), η) es r.l.e.t.f.

Observación. Una manera de caracterizar los anillos r.l.e.t.f. es la que pre-sentamos a continuación :

Teorema 1.27. Sea S = k[x1, . . . , xr] el anillo de polinomios sobre un cuerpok, sea I ⊂ S un ideal y R = S/I. Sea P un ideal primo de S que contiene a Icuyo cuerpo residual k(P ) = K(S/P ) es separable sobre k y sea c = ht(IP ) ⊂SP . RP es regular local si y sólo si Ω

1R/k es localmente libre en P de rango

r − c.

Prueba.[Eis, Corolario 16.21] �

Nosotros requerimos la siguiente versión.

Teorema 1.28. Sea (R, η) un anillo local e.t.f. El anillo (R, η) es regularlocal síı Ω1R es libre de rango igual a la dimensión de Krull del anillo R.

Prueba. Se sigue del Teorema 1.27.�

Observación. Como el módulo Ω1R es libre, usando una base de Ω1R definire-

mos en primer lugar la matriz jacobiana de F = (f1, . . . , fr) y luego su idealjacobiano. La independencia de la definición del ideal jacobiano de la baseelegida se demuestra en el Apéndice. La definición de ideal jacobiano quepresentamos en el anillo R depende de los representantes, y del número derepresentantes del ideal I (ver Apéndice).

También demostramos que los elementos dx1, . . . , dxm generan una basede Ω1R si x1, . . . , xm forman una secuencia regular de parámetros.

Definición 1.29. SeaR un anillo r.l.e.t.f. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉, F = (f1, . . . , fr)con r > 0 y c = ht(I). Sea e1, . . . , em una base de Ω

1R donde m = dim(R).

Definamos la matriz jacobiana de F en la base e1, . . . , em como Jac(F ) =

8

(fi,j), donde dfj = Σmi=1fi,jei. Por definición el ideal jacobiano JF es el ideal

generado por los menores c × c de Jac(F ) = (fi,j). En particular, si F = f,y R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm) entonces Jf =

〈∂f∂xi

〉i=1,...,m

.

Observación. Notemos que de la definición del ideal jacobiano se tiene quesi f ∈ R y df =

∑mi=1 fiei entonces Jf = 〈f1, . . . , fm〉 . Más aún df ∈ Jf ·Ω1R.

Observación. Una propiedad que usaremos más adelante es el hecho quetodo menor M de orden r× r de la matriz Jac(F ) esta contenido en el idealJF (ver Corolario 1.40). Para demostrar esta afirmación es suficiente notarque c ≤ r (ver Teorema 1.18), y que los menores de orden r son combinaciónlineal de los menores de orden c de (fi,j).

Observación En el caso particular que R = k[x1, . . . , xm](x1,...,xm), I =(f1, . . . , ft) y la base elegida sea dx1, . . . , dxm tenemos que la matriz jacobianade I coincide con la matriz jacobiana que se define en [Hart.,Cap 1, & 5]. Másaún, si definimos I(Y ) := {f ∈ k[x1, . . . , xn] : f(x) = 0 para todo x ∈ Y },como el ideal de Y, donde Y = Z(a), entonces podemos definir :

Definición 1.30. Sea Y una variedad af́ın y {f1, . . . , ft} generadores de idealde Y . La variedad Y es no singular en P ∈ Y si el rango de la matriz ( ∂fi

∂xj)

en P es m− r, donde r es la dimensión de Y. (ver [Hart., & 5]).

Podemos asumir que P es el origen. La condición que la matriz ( ∂fi∂xj

)

tenga rango c := m− r equivale a que al menos un menor de orden c× c seaunidad en k[x1, . . . , xm](x1,...,xm).

Por lo anterior el punto P = 0 es singular si JF ⊆ η = 〈x1, . . . , xm〉 . Esdecir todo menor de orden c × c de JF al ser evaluado en P = (0, . . . , 0) escero.

Ejemplo 1.31. Sea f = x2 + y3 + z y g = x4z+ y en k[x, y, z](x,y,z), entonces(k[x, y, z]/ 〈f, g〉)(x,y,z) es regular local.

Observación. Los ejemplos anteriores se pueden deducir de un hecho cono-cido en geometŕıa algebraica : Sea Y = Z(a) una variedad e I(Y ) el idealde esta. Se prueba que I(Y ) =

√a. Sea F = (f1, . . . , ft), donde I(Y ) =

9

〈f1, . . . , ft〉 . El jacobiano de F no se anula en un punto p de Y si sólo si elanillo de gérmenes de funciones regulares de Y en p

Op,Y := {〈U, f〉 : U es un abierto en Y, f es una función regular}

es un anillo regular local. A continuación presentamos brevemente los e-lementos que intervienen en esta afirmación. Por definición una aplicaciónf : X → k es regular si para todo punto p ∈ Y existe un abierto U conp ∈ U ⊂ Y, y polinomios g, h ∈ k[x1, . . . , xn] tal que h es no nulo en U yf = g

h. Aqúı interpretamos los polinomios como funciones de kn a k. Diremos

que f es regular en Y si es regular en todo punto de Y . El elemento 〈U, f〉 esuna clase de equivalencia, donde dos pares (U, f) y (V, g) son equivalentes sisólo si f = g en U ∩ V. Gracias a [Hart, Teorema I.3.2] se puede identificarOp,Y con (k[x1, . . . , xn]/I(Y ))P . Por otro lado se prueba que en el anillo(k[x1, . . . , xn])P se cumple que c = ht(I(Y )), donde dim(Op,Y ) = n − c.Finalmente presentamos formalmente la afirmación que realizamos al iniciode la observación :

Teorema 1.32. Sea Y ⊂ kn una variedad af́ın. Sea p ∈ Y un punto de Y.Entonces Y es no singular en p si sólo śı el anillo local Op,Y es un anilloregular local.

Prueba. [Hart, Teorema 5.1]. �

Ejemplo 1.33. Usaremos el teorema para verificar que el punto (0, 0) essingular para f(x, y) = x2 + y3 en el anillo (k[x, y](x,y), η). El polinomio f

es irreducible. A partir de aqúı se prueba que√〈f〉 = 〈f〉 . Por lo tanto si

tomamos Y = Z(f) entonces I(Y ) = I(Z(f)) =√〈f〉 = 〈f〉 .

La dimensión del anillo (k[x, y]/ 〈f〉)(x,y) es uno. Si evaluamos la matrizjacobiana de f en el punto (0, 0) obtenemos que el rango de esta es cero.Por lo tanto usando el Teorema 1.32 obtenemos que (k[x, y]/ 〈f〉)(x,y) no esregular local.

Ejemplo 1.34. Si (R, η) es un anillo r.l.e.t.f. Entonces R es un dominio -verLema A.6 o Corolario 10.14 de [Eis.]- y Ω1R es un R-módulo libre finitamentegenerado por el Teorema 1.28. Entonces Ω1R|k es un R-módulo finito universalcon derivada finita, es decir

Ω̃1R|k = Ω1R|k .

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Como Ω1R es libre, si x ∈ T (Ω1R) (el módulo torsión de Ω1R) entoncesx = (x1, . . . , xm) donde x1, . . . , xm ∈ R, y existe un λ ∈ R no nulo tal que

λ · x = 0.

Esta última igualdad equivale a tener λ ·xi = 0 para todo i = 1, . . . ,m. ComoR es un dominio y λ es no nulo entonces xi = 0 para todo i = 1, . . . ,m yentonces

(Ω1R)∗ = Ω1R,

y d∗ = d. Notemos también que d cumple la propiedad universal para todomódulo, en particular la cumple para los módulos finitamente generados.

Observación. A continuación presentaremos una relación entre la clausuraintegral de un ideal I, denotada por I, y la derivada universal finita.

Definición 1.35. Un elemento x esta en la clausura integral de un idealI si satisface una ecuación xn + a1x

n−1 + . . . + an = 0 con al ∈ I l paral = 1, . . . , n (ver [H-S, & 2.]).

Es obvio de la definición de clausura integral de un ideal que I ⊂√I. En

particular Jf ⊂√Jf .

Proposición 1.36. Sea (R, η) y k como antes y J ⊂ R un ideal propio deR. Si r ∈ η verifica que dr ∈ J · Ω1R, entonces r ∈ J.

Prueba. [HS, Corolario 2.2]. �

Corolario 1.37. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f, r ∈ η. Si d(r) es un elementoen J · Ω1R entonces r ∈ J.

Prueba. En efecto, del Ejemplo 1.34 obtenemos que (Ω1R)∗ = Ω1, y d∗ = d.

La Proposición anterior nos da r ∈ J. �

Corolario 1.38. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y f ∈ η. Entonces f ∈√Jf .

Prueba. Notemos que

df ∈ Jf · Ω1R :=

{∑finita

λ · ω : ω ∈ Ω1R;λ ∈ Jf

}.

11

En efecto, como df = Σi=1,...,mfidxi en la base dxi con i = 1, . . . ,m y el idealjacobiano Jf es generado por fi, entonces df ∈ Jf · Ω1R.

Del Corolario 1.37 obtenemos que f ∈ Jf ⊂√Jf . �

Proposición 1.39. Sean K ⊂ L cuerpos de caracteŕıstica cero y {xλ}λ∈Λ ⊂L una colección de elementos. Entonces {dxλ}λ∈Λ es una base de Ω1L|K comoun espacio vectorial sobre L si sólo si {xλ}λ∈Λ es una base de transcendenciade L sobre K.

Prueba. [Eis, Proposición 16.14]. �

Una aplicación de la Proposición anterior se manifiesta en el siguienteCorolario.

Corolario 1.40. Sea (R, η) = (k [x1, . . . , xm](x1,...,xm) , η), y {f1, . . . , fr} ⊂ R,P un ideal primo con JF ⊂ P. Supongamos que fi /∈ P para todo i. Entoncesen T = Q(R

P) (el cuerpo de fracciones de R/P ) los elementos {f1, . . . , fr} no

son algebraicamente independientes sobre k.

Prueba. El grado de transcendencia de R es m. Si r > m entonces loselementos {f1, . . . , fr} en Q(R) no son algebraicamente independientes sobrek. Por lo tanto los elementos f1, . . . , fr en Q(

RP

) tampoco son algebraicamenteindependientes sobre k.

Supongamos que r ≤ m. Sea W = Tm y L : W → Ω1T definido porL(ej) = dxj. Si ponemos

vj = (∂fj/∂x1, . . . , ∂fj/∂xm)

entonces L(vj) = dfj. También notemos que los vj para j = 1, . . . , r no sonl.i, pues el jacobiano de la matriz de los vectores vj en la base canónica essiempre cero ya que todo menor M de orden r× r de la matriz (∂fj/∂xi) (deorden m× r) es un elemento de JF y JF ⊂ P. Es decir M = 0 en R/P ⊂ T.Por lo tanto existen λj ∈ T tal que

∑λjvj = 0. Si aplicamos L tenemos que∑

j λjdfj = 0.Por la Proposición 1.39 ello significa que los {f1, . . . , fr} no son alge-

braicamente independientes sobre k. �

Observación. Una generalización del Corolario anterior para álgebras r.l.e.t.f.se presenta a continuación :

12

Corolario 1.41. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y {f1, . . . , fr} ⊂ R, P un idealprimo con JF ⊂ P. Supongamos que fj /∈ P para todo j = 1, . . . , r. Entoncesen T = Q(R

P) (el cuerpo de fracciones de R/P ) los elementos {f1, . . . , fr} no

son algebraicamente independientes sobre k.

Prueba. Sea dx1, . . . , dxm una base con la que se definió el ideal jacobianoy

dfj =m∑i=1

fi,jdxi

la representación de dfj en esta base. Si ponemos vj = (f1,j, . . . , fm,j) ydefinimos L : W → Ω1T como L(ej) = dxj la demostración del Corolario 1.40permanece válida. �

A continuación mostraremos un ejemplo donde la situación planteadaanteriormente sucede.

Ejemplo 1.42. Sea (R, η) = (k [x, y](x,y) , η, ) y f = x2 + y2, g = x2 − y2.

Entonces Jf,g = 〈xy〉 ⊂ P = 〈x〉 y el ideal primo P no contiene a f ni a g.Más aún si tomamos el polinomio Q(w, z) = w + z entonces Q(f, g) = 0 enT = Q(R/P ) el cuerpo de fracciones de R/P.

Observación. Bajo las hipótesis del Corolario 1.41 hemos obtenido un poli-nomio no nulo Q(x1, . . . , xr) ∈ k[x1, . . . , xr] tal que Q(f1, . . . , fr) = 0 en elcuerpo T. Como Q(f1, . . . , fr) ∈ R/P de la inclusión natural R/P ↪→ T esclaro que P (f1, . . . , fr) = 0 en el anillo R/P. Esta relación, P (f1, . . . , fr) = 0en el anillo R/P, será una de las más importantes en la que se basará lamayoŕıa de los resultados que presentaremos en los demás caṕıtulos.

Entre otras estructuras que se le proporcionan al complejo de Hochschildse encuentra el producto barajado que definimos a continuación.

Definición 1.43. Sea Sn el grupo simétrico. Una (p, q) baraja es σ ∈ Sp+qtal que σ(1) < . . . < σ(p); σ(p+ 1) < . . . < σ(p+ q)

Definición 1.44. Definamos el producto barajado

∗ = shp,q : Cp(A)⊗ Cq(A)→ Cp+q(A)

(a0, a1, . . . , ap) ∗ (a′0, ap+1, . . . , ap+q) =

13

∑σ

|σ|σ(a0a′0, a1, . . . , ap, ap+1, . . . , ap+q) :=∑σ

|σ|(a0a′0, aσ−1(0), . . . , aσ−1(p), aσ−1(p+1), . . . , aσ−1(p+q)),

donde σ recorre sobre las (p, q) barajas, y |σ| es el signo de la permutación,ver [Lod, Definición 4.2.1].

Definición 1.45. Una k−álgebra se denomina no negativamente graduada siA = ⊕∞i=0Ai y x·y ∈ Ai+j para x ∈ Ai e y ∈ Aj. Si además x·y = (−1)|x||y|y ·xentonces A se denomina conmutativa graduada.

Proposición 1.46. El borde de Hochschild cumple

b(X ∗ Y ) = b(X) ∗ Y + (−1)|X|X ∗ b(Y )

Prueba. [Lod, Proposición 4.2.2]. �

Definición 1.47. Una k−álgebra diferencial graduada (A.D.G) se definecomo un álgebra graduada con un morfismo ∂ : An → An−1 que cumple laregla de Leibniz

∂(ab) = ∂(a)b+ (−1)|a|a∂(b)

y es un diferencial, es decir ∂ ◦ ∂ = 0.

De la definición anterior tenemos la siguiente proposición

Proposición 1.48. Si A es una álgebra conmutativa entonces (C(A), ∗, b)es un ADG y HH(A) es un álgebra conmutativa en el sentido graduado, esdecir xy = (−1)|x||y|yx

Prueba. [Wei, Proposición 9.4.2]. �

Corolario 1.49. Existe un morfismo de anillos graduados

ψ : Λ∗Ω1 −→ HH∗(A),

dado por ψ(r0dr1 ∧ . . . ∧ dr) = [(r0 ⊗ r1) ∗ . . . ∗ (1⊗ rn)]. Si Q ⊂ k entoncesla aplicación es inyectiva.

14

Prueba. [Wei, Corolario 9.4.4]. �

La siguiente definición nos indica bajo que condiciones el morfismo ψ esun isomorfismo.

Definición 1.50. Diremos que un álgebra conmutativa unital A es suave siel ideal I = Ker(µ : A ⊗ A → A) es generado por una secuencia regular enel anillo local (A⊗ A)(µ)−1(η), para todo ideal maximal η en A.

Observación. Como el álgebra A es proyectiva como k−módulo tenemosque HHn(A) = Tor

A⊗Aopn (A,A). Si además el álgebra es suave entonces I

es generado localmente por una secuencia regular. El complejo de Koszul deesta secuencia es una resolución de A como A⊗Aop−módulo. Si usamos estodos hechos obtenemos que HH∗(A) = Ω

∗A.

La formalización del comentario anterior se refleja en siguiente teorema.

Teorema 1.51. (Teorema de Hochschild-Konstant-Rosenberg.) SeaA una álgebra conmutativa e.t.f. sobre un cuerpo k. Si A es suave entonces

ψ : Ω∗A → HH∗(A)

es un isomorfismo de álgebras graduadas.

Prueba. Ver [HKR]. �

Proposición 1.52. Si (R, η) es un anillo r.l.e.t.f entonces R es suave

Prueba. Ver [Apéndice, Proposición A.58]. �

Corolario 1.53. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. entonces

HH∗(R) = Ω∗R.

Prueba. Se sigue del Teorema 1.51 y Proposición 1.52 �

Proposición 1.54. Sea R un anillo local noetheriano conteniendo un cuerpok. Si R es suave sobre k entonces R es un anillo regular local.

Prueba. Ver [Wei, Teorema 9.3.11]. �

15

1.2. Homoloǵıa Ćıclica.

Presentamos la definición aśı como las propiedades básicas de la ho-moloǵıa ćıclica. Un hecho que queremos destacar es el cálculo de la homoloǵıaćıclica del álgebra graduada k[x]/〈xm+1〉. En los dos libros básicos [Lod] y[Wei] que citamos aśı como en [Vi] se encuentra planteado solamente.

Existen diferentes maneras de definir la homoloǵıa Ćıclica, nosotros par-tiremos de un complejo simplificado.

Definición 1.55. Sea A una k álgebra unital. Definimos

B : A⊗ A⊗n −→ A⊗ A⊗n+1

por medio de B(a0, . . . , an) =∑

(−1)in(1⊗ ai⊗ . . .⊗ an⊗ a0⊗ . . .⊗ ai−1)−(−1)(i−1)n(ai−1 ⊗ 1⊗ ai ⊗ . . .⊗ an ⊗ a0 ⊗ a1 ⊗ . . .⊗ ai−2).

Se verifica que B ◦B = 0 y B ◦ b+ b ◦B = 0.

Definición 1.56. Sea el bicomplejo B(A)

...

��

...

��

...

b

��A⊗ A⊗2

b��

A⊗ Aoo

��

ABoo

A⊗ Ab��

ABoo .

A

Definimos la homoloǵıa Ćıclica de A como HCn(A) = Hn(Tot(B(A), B+ b)).

Observación. Es claro que la homoloǵıa de las columnas de B(A) calculanla homoloǵıa de Hochschild de A. Si reemplazamos las columnas del complejoB(A) por el complejo de Hochschild reducido obtenemos que la homoloǵıa

16

ćıclica es isomorfa a la homoloǵıa del bicomplejo B(A)

B(A) : ...b��

...

b

��

...

b

��A⊗ A2

b��

A⊗ AB

oo

b

��

Aoo

A⊗ A

��

A,B

oo

A

donde A = A/k y B(a0, . . . , an) =∑

(−1)in(1 ⊗ ai ⊗ . . . an ⊗ a0 ⊗ . . . ai−1).De manera más precisa tenemos el siguiente Teorema.

Teorema 1.57. Sea A una k−álgebra unital entonces

HCn(A) = Hn(Tot(B(A))).

Prueba. Como el morfismo de álgebras π : A → A se extiende a un mor-fismo de bicomplejos π : B(A) → B(A) y las columnas de B(A) y B(A) sonquasi isomorfas entonces las homoloǵıas de los complejos B(A) y B(A) sonisomorfas. �

Ejemplo 1.58. Si A = k obtenemos HCn(k) es k en grado par y cero engrado impar. De manera general tenemos

Proposición 1.59. Para toda k−álgebra conmutativa con unidad se cumple

HC1(A) 'Ω1AdA

Prueba. [Lod, Proposición 2.1.14]. �

Teorema 1.60. Dado una k−álgebra A existe una secuencia exacta larga

. . . // HCn−1(A) // HHn(A)I // HCn(A)

S // HCn−2(A)B // . . .

17

Prueba. Es suficiente tomar la secuencia exacta larga en homoloǵıa de

0 // (C∗(A), b) // (CC∗(A), b+B) // (CC∗−2(A), b+B) // 0

�

Observación. Es claro que si f : A→ A′ es un morfismo de k−álgebras en-tonces este induce un morfismo de complejos CCn(f) : CCn(A)→ CCn(A′).

A continuación veremos la homoloǵıa ćıclica en el caso suave

Lema 1.61. Sea A una k−álgebra conmutativa con unidad. Entonces el dia-grama

ΩnA/k

d��

ψ // HHn(A)

B

��Ωn+1A|k

ψ // HHn+1(A),

donde ψ(r0dr1 ∧ . . . ∧ dr) = [(r0 ⊗ r1) ∗ . . . ∗ (1⊗ rn)], es conmutativo.Prueba. [Wei, Lema 9.8.10]. �

Observación. La aplicación (1/n!)π de Loday Quillen induce un morfismode bicomplejos.

...

��

...

��

...

��A⊗ A2

b��

A⊗ ABoo

b

��

ABoo

A⊗ Ab

��

ABoo

A

(1/n!)π−→

...

��

...

��

...

��Ω2

0��

Ω1doo

��

Ω0doo

Ω1

0��

Ω0doo

Ω0

(1.3)

En el caso suave usando el hecho de que ψ en cada columna induce unisomorfismo ΩnA ' HHn(A) (ver Teorema 1.51) tenemos :Teorema 1.62. Si A es un álgebra e.t.f suave sobre k entonces

HCn(A) =ΩnA

dΩn−1A⊕Hn−2DR (A)⊕ . . .

18

Prueba. Basta tomar las homoloǵıas de los complejos totales en 1.3. �

Observación. Para ver algunos ejemplos más analizaremos la definición dela homoloǵıa ćıclica en el caso graduado.

De la definición vemos que C(A) y CC(A) se descomponen en C(A) =⊕iC(A)i y CC(A) =

⊕iCC(A)i, donde

(A⊗ An)i =⊕∑ij=i

Ai0 ⊗ Ai1 ⊗ . . .⊗ Ain .

Lo que si es menos obvio es el Teorema que enunciamos a continuación.

Teorema 1.63. Sea A un álgebra graduada unital sobre k ⊃ Q. Entonces lasecuencia SBI se descompone en

0 // HCn−1(A)i // HHn(A)iI // HCn(A)i

S // 0,

∀i ≥ 1.

Prueba. [Wei, Teorema 9.9.1]. �

Continuemos con nuestro ejemplo.

Ejemplo 1.64. Sea A = k[x]〈xm+1〉 , entonces por definición tenemos

Ω1A =Ω1k[x]

d(xm+1) + xm+1 · Ω1k[x].

Como d(xm+1) = (m+ 1)xmdx, usando el isomorfismo Ω1k[x] ' k [x] , la igual-dad anterior es equivalente a

Ω1A =k [x]

〈xm〉,

y la aplicación d : A→ Ω1A quedaria definida como xk 7→ kxk−1. Para todo xken Ω1A con k < m podemos tomar (1/(k+1))x

k+1 ∈ A no nulo, y tenemos qued((1/(k+1))xk+1) = xk. Entonces d(A) = Ω1A. Por lo tanto de la Proposición1.59 obtenemos

HC1(A) =Ω1AdA

= 0.

19

Definamos los módulos H̃Hn(A) :=HHn(A)HHn(A0)

y H̃Cn(A) :=HCn(A)HCn(A0)

. De lassecuencias exactas

0 // H̃C0(A)' // H̃H1(A) // H̃C1(A) // 0

0 // H̃C1(A) // H̃H2(A)' // H̃C2(A) // 0

como HC1(A) = 0 se sigue que

H̃C0(A) ' H̃C2(A) ' H̃H2(A) ' H̃H1(A).

Debido que A0 = k entonces HHn(A0) = 0 para todo n > 0. Esto significaque H̃Hn(A) = HHn(A) para todo n > 0. Por lo tanto

H̃C0(A) ' H̃C2(A)k ' HH2(A) ' HH1(A).

El isomorfismo H̃C0(A) ' HH1(A) prueba queHC0(A) = HC(A0)⊕HH1(A).Debido a que HC0(A0) ⊕ HH1(A) y A = HH0(A) son espacios vectorialesde igual dimensión entonces HC0(A) ' HH0(A).

De la secuencia

0 // H̃C2(A)' // HH3(A)

0 // H̃C3(A)k // 0,

como dimk(H̃C2(A)) = dimk(HH2(A)) = dimk(HHn(A)) para todo n > 0entonces H̃C3(A) = 0.

Admitamos como hipótesis inductiva que H̃Cn(A) ' HHn(A) para n pary H̃Cn+1 = 0. De la secuencia exacta

0 // H̃Cn+1(A)0 // HHn+2(A)

' // H̃Cn+2(A) // 0

como H̃Cn+1(A) = 0, por hipótesis inductiva, entoncesHCn+2(A) ' HHn+2(A).Finalmente de la secuencia

0 // H̃Cn+2(A)' // HHn+3(A)

0 // H̃Cn+3(A) // 0

como dimk(H̃Cn+2(A)) = dimk(HHn+2(A)) = dimk(HHn+3) entonces H̃Cn+3(A) =0. Esto finaliza la prueba de inducción. Como HC0(A) = HH0(A) de laecuación

HCn(A) = HCn(A0)⊕ H̃Cn(A)

20

para n ≥ 1 y el hecho que A0 = k se prueba que

HCn(A) =

HH0(A) si n=0

HHn(A)⊕ k si n es par0 si n es impar

(1.4)

Definición 1.65. Dada la k−álgebra A, definamos el complejo periódico

CP (A) : . . . . . .

��

. . .

��

. . .

��. . . A⊗ A2oo

b+d

��

A⊗ Aoo

��

ABoo

. . .

��

A⊗ Ab

��

Boo ABoo

A⊗ Ab

��

ABoo

A

y la homoloǵıa ćıclica periódica HPn(A) = Hn(CP (A)).

Definición 1.66. Definamos el complejo periódico negativo, al cual deno-taremos como CN(A), de la siguiente forma

CN(A) : . . . . . .

��

. . .

��. . . A⊗ A2

b��

Boo A⊗ AB

ooBoo

b

��. . .

��

A⊗ ABoo

b

��

ABoo

A⊗ Ab

��

ABoo

A

y la homoloǵıa ćıclica negativa como HNn(A) = Hn(CN(A)).

21

Observación. De las definiciones anteriores tenemos las secuencias exactascortas

0 // CN∗(A) // CP∗(A) // CC∗−2(A) // 0,

0 // CN∗+2(A) // CN∗(A) // (C(A), b) // 0,

las cuales proporcionan una secuencia exacta larga que relacionas sus ho-moloǵıas.

1.3. Método de Cálculo

Desarrollamos la teoŕıa de la homoloǵıa de Hochschild y ćıclica para álge-bras diferenciales graduadas. Este estudio nos lleva a conocer la homoloǵıaćıclica y Hochschild para álgebras de la forma R/I, donde R es un anillor.l.e.t.f. e I es un ideal de tipo interseción completa. Presentamos la definiciónde un álgebra diferencial graduada, y calculamos el primer módulo de difer-enciales de Kähler graduado para álgebras de la forma ∧V, y R⊗∧V dondeV es un espacio vectorial graduado. Finalmente desarrollamos las herramien-tas necesarias para poder demostrar una versión graduada del Teorema deHochschild Kostant Rosenberg, presentamos un bosquejo de la demostraciónde la descomposición de Hodge de la homoloǵıa de Hochschild y ćıclica. Estadecomposición se realiza de la siguiente manera : El complejo ćıclico de R/Ise reemplaza por el complejo ćıclico de R ⊗ ∧(V ), que es el complejo ćıclicode (T (R ⊗ ∧(V )), ∂, b, B). Este es quasiisomorfo a un complejo de la forma(ξ, δ, 0, β). El complejo ćıclico y de Hochschild de este se descomponen enciertos complejos ξjj+k y ξ

j que son quasiisomorfos a Lj y Dj. De aqúı sesigue que estos complejos calculan la homoloǵıa ćıclica y de hochschild delálgebra R/I.

Observación. Recordemos que una k−álgebra diferencial graduada (A.D.G)se define como un álgebra graduada con un morfismo ∂ : An → An−1 quecumple la regla de Leibniz

∂(ab) = ∂(a)b+ (−1)|a|a∂(b)

y es un diferencial, es decir ∂ ◦ ∂ = 0. Entre los ejemplos que nos interesa seencuentra el siguiente

22

Ejemplo 1.67. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 un ideal. Defi-namos N = ⊕ri=1R · ei y el complejo

K(f1, . . . , fr) = ∧N =r⊕p=0

∧pN,

donde d(ei1 ∧ . . . ∧ eik) =∑r

j=1(−1)j−1d(eij)ei1 ∧ . . . ∧ êij ∧ . . . ∧ eik , cond(eij) = fj. El producto enK(f1, . . . , fr) se define como ω·η := ω∧η. Tambiénse prueba que el diferencial d cumple d(ω ∧ η) = d(ω) ∧ η + (−1)|ω|ω ∧ d(η).

Observación. Notemos que si V = ⊕ri=1k · ei entonces N = R ⊗ V y K ∼=R ⊗ ∧V como álgebras graduadas. Más aún K(f1, . . . , fr) = ⊗ri=1K(fi). Acontinuación presentaremos un teorema que será pieza fundamental en laspropiedades que presentamos en el segundo Caṕıtulo. Este Teorema se llamacriterio de exactitud y es enunciado a continuación

Teorema 1.68. Sea A un anillo noetheriano. Un complejo de longitud finitade módulos libres (de tipo finito)

M : 0 M0oo M1oo . . .oo Mnoo 0oo

es exacto excepto posiblemente en el nivel 0 si al localizar en cada primo Pde profundidad(P ) ≤ n− 1, MP es exacto salvo el nivel cero.

Prueba. Corolario 1.4.14 de [BH]. �

Corolario 1.69. Sea

M : 0 //M0 //M1 // . . . //Mm // . . .

un complejos de módulos libres f.g. y H i(MP ) = 0 para todo P con ht(P ) <m, entonces H i(M) = 0 para todo i < m

Prueba. Se sigue del teorema anterior. �

Para ilustrar su uso presentamos la demostración del siguiente lema.

Lema 1.70. Sea (R; η) es un anillo r.l.e.t.f. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 donde{f1, . . . , fr} es una secuencia regular entonces H i(K(f1, . . . , fr), d) = 0 paratodo i 6= m y Hr(K(f1, . . . , fr)) = R/〈f1, . . . , fr〉.

23

Prueba. La demostración se basa en el Criterio de Exactitud.Como K(f1, . . . , fr) es un complejo de módulos libres f.g de longitud r

aplicamos el Teorema 1.68 cuando n = r.Sea P un primo tal que profundidad(P ) ≤ r−1. Como profundidad(I) =

r, entonces P + I. Es decir algún fi no esta en Pi. Sin perdida de gen-eralidad podemos asumir que el elemento fr es unidad en el anillo RP .Como K(f1, . . . , fr) =

⊗ri=1K(fi) entonces podemos escribir el complejo

K(f1, . . . , fr) de la siguiente manera

· · ·

��

· · ·

��(K(f1, . . . , fr−1))2

��

(K(f1, . . . , fr−1))2froo

��(K(f1, . . . , fr−1))1

��

(K(f1, . . . , fr−1))1froo

��(K(f1, . . . , fr−1))0 (K(f1, . . . , fr−1))0.fr

oo

Debido a que el elemento fr es unidad, al calcular los módulos de homoloǵıade las filas del complejo anterior obtenemos cero en todo nivel. Es decir elcomplejo K(f1, . . . , fr)P es exacto en RP . Por lo tanto, usando el criterio deexactitud obtenemos que el complejo H i(K(f1, . . . , fr)) = 0 para todo i 6= r.

�

A continuación definimos la homoloǵıa de Hochschild y la ćıclica paraálgebras diferenciales graduadas.

Definición 1.71. Sea (A, ∂) una k−álgebra diferencial graduada. Definamosen

Cp,q(A) = (A⊗ A⊗p

)q = ⊕Ai0 ⊗ Ai1 ⊗ . . .⊗ Aip ,donde la suma recorre las (p+ 1)−tuplas (i0, . . . , ip) tal que i0 + . . .+ ip = q,los morfismos

∂(ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . .⊗ aip) =n∑j=0

(−1)i0+...+ij−1ai0 ⊗ . . .⊗ ∂(aij)⊗ . . .⊗ aip ,

b(ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . .⊗ aip) =p∑j=0

(−1)jai0 ⊗ ai1 ⊗ . . .⊗ aijaij+1 ⊗ . . .⊗ aip+

24

(−1)ip(i0+...+ip−1)+paipai0 ⊗ . . .⊗ aip−1 .Observación. Se verifica que ∂ ◦ ∂ = 0, b ◦ b = 0, ∂ ◦ b− b ◦ ∂.Definición 1.72. Definamos el complejo de Hochschild del A.D.G (A, ∂)como el complejo total de

...

��

...

��

...

��T (A) : C20

b��

C21

b��

∂oo C22

b��

∂oo · · ·oo

C10

b��

C11

b��

−∂oo C12

b��

−∂oo · · ·oo

C00 C01∂oo C02.∂

oo · · ·oo

Acá Cpq := Cp,q(A). La homoloǵıa de Hochschild del A.D.G (A, ∂) se definecomo HHn(A, ∂) := Hn(Tot(T (A))).

Definición 1.73. Definamos B : Cp,q(A)→ Cp+1,q(A) como

B(ai0 ⊗ ai1 ⊗ . . .⊗ aip) =p∑j=0

(−1)e(j)1⊗ aij ⊗ . . . aip ⊗ ai0 ⊗ . . .⊗ aij−1 ,

donde e(j) = jp+p∑

h=j

ih(∑k 6=h

ik).

Observación. Se verifica que b ◦B+B ◦ b = B ◦∂−∂ ◦B = 0; y B ◦B = 0.Definición 1.74. Definamos el complejo ćıclico del A.D.G (A, ∂) como

...

��

...

��

...

��Tot(T (A))2

b+d��

Tot(T (A))1oo

��

Tot(T (A))0Boo

Tot(T (A))1

b+d��

Tot(T (A))0Boo

Tot(T (A))0.

25

La homoloǵıa ćıclica del A.D.G (A, ∂) es por definición

HCn(A, ∂) := Hn(Tot(Tot(T (A), b+ ∂), B)).

Observación. Generalizar la estructura anterior nos lleva a la siguientedefinición.

Definición 1.75. Dado el bicomplejo (Mp,q; b, d)

M : ...

��

...

��

...

��M10

b��

M11doo

b��

M12oo

��

· · ·oo

M00 M01doo M02oo · · ·oo

Definimos HHn(M) = Hn(Tot(M), b+ d).

Definición 1.76. Sean (Mp,q, b, d) y B : Mp,q → Mp+1,q, con B ◦ B =B ◦ d+ d ◦B = B ◦ b+ b ◦B = 0. Definamos el bicomplejo D

...

��

...

��

...

��M2

b+d��

M1oo

��

M0Boo

M1

b+d��

M0Boo

M0

donde Mn =⊕

p+q=nMp,q, B : Mn →Mn+1 y HCn(M) = Hn(Tot(D)).

Observación. Veamos lo que sucede si b = 0. Para dimensiones bajas, elcomplejo D se expresa como

26

...

��

...

��

...

��M30 ⊕M21 ⊕M12 ⊕M03

d��

M20 ⊕M11 ⊕M02oo

��

. . .oo

��M20 ⊕M11 ⊕M02

d��

M10 ⊕M01oo

d��

M00oo

M10 ⊕M01d��

M00Boo

M00

Analizando los morfismos vemos que D se descompone en los complejos E0∗ ,E1∗ y E

2∗ , . . . los cuales son

...

��M02

d��

M01

d��

M00

...

��

...

d

��M12

��

M02

d��

oo

M11

��

M01

d��

oo

M10 M00Boo

...

��

...

��

...

��M22

d��

M12

��

oo M02

��

oo

M21

d��

M11

��

oo M01

��

oo

M20 M10Boo M00oo . . .

respectivamente. De aqúı obtenemos que HC0(D) es la homoloǵıa en nivelcero del primer complejo, HC1(D) resulta la suma de la homoloǵıa de gradouno del primer complejo y cero del segundo complejo. Finalmente HC2(D)resulta la suma de la homoloǵıa en grado dos del primer complejo, en gradouno del segundo y cero del tercer complejo. En general tenemos:

Tot(D)n =⊕

i≥0Mn−2i =⊕

i≥0{⊕

n−2iMp,q}, y como

Mn : Mn,0 ⊕Mn−1,1 ⊕Mn−2,2 ⊕ . . .⊕M2,n−2 ⊕M1,n−1 ⊕M0.n

Mn−2 : 0⊕Mn−2,0 ⊕Mn−3,1 ⊕ . . .⊕M1,n−3 ⊕M0,n−2 ⊕ 0Mn−4 : 0⊕ 0⊕Mn−4,0 ⊕ . . .⊕M0,n−4 ⊕ 0⊕ 0

27

entonces Tot(D)n =⊕

p+q=n

{⊕i≥0Mp−i,q−i

}. Por lo tanto, si definimos

Epq :=⊕

i≥0Mp−i,q−i tenemos que (Ep∗ , B + b) es un bicomplejo. En efec-

to si (ap,q+1, ap−1,q, . . . , an−k−i,k+1−i, an−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) ∈ Epq+1 entonces

(B + d)(ap,q+1, ap−1,q, . . . , an−k−i,k+1−i, an−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) =

(dap,q+1+Bap−1,q, dap−1,q+Bap−2,q, . . . , dan−k−i,k+1−i+Ban−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) ∈ Epq .

Mas aún Tot(D)n =⊕

p+q=nEpq y HCn(M) =

⊕np=0 Hn−p(E

p∗).

La afirmación anterior se refleja en el siguiente diagrama

Totn+1 = E0n+1⊕

��

E1n⊕

��

E2n−1

��

⊕ . . .⊕

��

En+10

��Totn = E

0n⊕

��

E1n−1⊕

��

E2n−2

��

⊕ . . .⊕

��

0

��Totn−1 = E

0n−1⊕ E1n−2 E2n−3 ⊕ . . .⊕ 0

el cual en cada sumando se escribe como

En−kk+1 : Mn−k,k+1

��Mn−k,k Mn−k−1,koo

��Mn−k−1,k−1 Mn−k−2,k−1oo

��Mn−k−2,k−2. oo

Con ello vemos en la definición anterior que si b = 0, la homoloǵıa ćıclicase descompone en suma de la homoloǵıa de ciertos complejos (Ep∗ , d+B). Lahomoloǵıa de Hochschild tiene una descomposición similar.

Definición 1.77. Dado (Mp,q, b, d) y B : Mp,q → Mp+1,q, donde B ◦ B =B ◦ d+ d ◦B = B ◦ b+ b ◦B = 0. Definamos el bicomplejo negativo CN

28

. . . ...

��

...

��. . . M3

d+b��

Boo M2B

ooBoo

d+b��

. . .

��

M2Boo

d+b��

M0Boo

M1

d+b��

M0Boo

M0

y la homoloǵıa como HN∗(M) := H∗(Tot(CN)) como la homoloǵıa ćıclicanegativa.

Definición 1.78. Dado el bicomplejo (Mp,q, b, d) y B como en la Definición1.76 definamos los complejos Lj de la siguiente manera

Mj,0 Mj,1doo Mj,2

doo . . .doo Mj,∗doo · · ·doo

y el bicomplejo (Mp,q, d, B) como

...

d

��d

��

...

d

��

...

d

��. . . M2,1

Boo

d��

M1,1Boo

d��

M0,1Boo

d��

. . . M2,0Boo M1,0

Boo M0,0.Boo

Finalmente definamos el complejo M≥p como

...

d

��d

��

...

d

��

...

d

��. . . Mp+2,1

Boo

d��

Mp+1,1Boo

d��

Mp,1Boo

d��

. . . Mp+2,0Boo Mp+1,0

Boo Mp,0.Boo

29

Proposición 1.79. Sea (Mp,q, b) y B : Mp,q −→ Mp+1,q como en la Defini-ción 1.76. Si b = 0 entonces

HHn(M) =n⊕p=0

Hn−p(Lp),

y

HCn(M) =n⊕p=0

Hn−p(Ep∗).

Prueba. Se sigue del análisis anterior. �

Proposición 1.80. Sea (Mp,q, b, d) y B : Mp,q −→Mp+1,q como en la Defini-ción 1.76. Si b = 0 entonces

HNk(M) =∏p∈Z

Hk−2p(M>p)

Prueba. Similar a la prueba anterior. �

Para grados bajos basta analizar la descomposición de la homoloǵıa delsiguiente complejo

......

��

...

��

...

��· · · ...oo

��

M30 ⊕M21 ⊕M12 ⊕M03oo

d

��

M20 ⊕M11 ⊕M02oo

��· · · M30 ⊕M21 ⊕M12 ⊕M03oo

d��

M20 ⊕M11 ⊕M02oo

d��

M10 ⊕M01oo

d��

· · · M20 ⊕M11 ⊕M02

��

oo

��

M10 ⊕M01oo

d��

M00Boo

· · · M10 ⊕M01oo

����

M00Boo

· · · M00oo

30

La definición de la homoloǵıa ćıclica nos permite apreciar de manerainmediata la siguiente proposición

Proposición 1.81. Dada (A, ∂) una k−álgebra diferencial graduada en-tonces existe una secuencia exacta larga

. . . // HHn(A, ∂)I // HCn(A, ∂)

S // HCn−2(A, ∂)B // . . .

Prueba. Es suficiente tomar homoloǵıa en la secuencia exacta corta

0 // Tot(T (A))∗ // Tot(Tot(T (A)), B)∗ // Tot(Tot(T (A)), B)∗−2 // 0

�.

Observación. En el teorema que viene a continuación usamos la siguientepropiedad : si f es un morfismo de bicomplejos el cual restricto a cada colum-na o fila es un quasiisomorfismo entonces f induce un quasiisomorfismo debicomplejos.

Teorema 1.82. Sea f : (A, ∂)→ (B, ∂) un quasiisomorfismo y k un cuerpoentonces f induce un isomorfismo en la homoloǵıa de Hochschild y por lotanto en la Cı́clica.

Prueba. En los complejos de Hochschild T (A), T (B) las filas resultan ser(A; ∂)⊗, (B; ∂)⊗, y f : (A, ∂)→ (B, ∂) es un quasi isomorfismo. Entonces lasfórmulas de Künneth indican que f : T (A) → T (B) establece un quasiiso-morfismo a nivel de cada fila de los complejos T (A) y T (B). Esto significaque tenemos un quasiisomorfismo entre los bicomplejos T (A) y T (B) - deacuerdo a la observación anterior-. De aqúı, del mismo modo, se prueba tam-bién que f establece un quasiisomorfismo entre la homoloǵıa ćıclica de A yB. �

A continuación desarrollaremos los conceptos necesarios para presentaruna generalización del Teorema de H.K.R (Teorema 1.51) para el caso gra-duado.

Definición 1.83. Sea (A, ∂) una k−álgebra diferencial graduada. Definamosel (A, ∂)−módulo graduado

Ω1(A,∂) :=A⊗ A[−1]

N,

31

donde N = 〈1⊗ ab− (−1)|a|a⊗ b− (−1)|a||b|b⊗ a〉, a, b homogéneos, A[−1] =⊕nA[−1]n y A[−1]n = An−1.

Definición 1.84. Sea (A, ∂) una k−A.D.G y M un (A, ∂)−módulo gradua-do. Diremos que una aplicación k−lineal

D : (A, ∂)→M

es una derivación graduada si

D(a · b) = (−1)|a|a ·D(b) + (−1)|a||b|b ·D(a).

Ejemplo 1.85. Sea (A, ∂) una k−A.D.G. La aplicación

d : (A, ∂)→ Ω1(A,∂)

definida como d(a) = 1⊗ a cumple la definición anterior. La relación queguarda ∂ y d es la siguiente : Si en A⊗ A[−1] definimos el diferencial

∂A⊗A(a⊗ b) = ∂(a)⊗ b− (−1)|a|a⊗ ∂(b),

y denotamos por δ la aplicación ∂ en el Ω(A,∂). Entonces

d ◦ ∂(a) + δ ◦ d(a) = 1⊗ ∂(a) + δ(1⊗ a) = 1⊗ ∂(a)− 1⊗ ∂(a) = 0.

Nota. Existen diferentes maneras de definir un derivada para el caso gradua-do; una que se encuentra en [Vi] y otra la de [Lod]. En esta parte se analizala relación entre ellas; la que presentamos a continuación.

Definición 1.86. Definamos la aplicación µ : A⊗A −→ A como µ(a⊗ b) =a · b, e I = Ker(µ).

Lema 1.87. Con la estructura de álgebra (a⊗ b) · (x⊗ y) = (−1)|b||x|ax⊗ by,definida en A⊗ A el ideal I es generado por a⊗ 1− 1⊗ a.

Prueba. En efecto si µ(∑

i ai ⊗ bi) =∑

i ai · bi = 0, entonces∑i

(ai ⊗ bi − aibi ⊗ 1) =∑i

(ai ⊗ 1) · (1⊗ bi − bi ⊗ 1)

�

Lema 1.88. Sea A un A.D.G., entoncesA⊗ AN ′

' II2, donde N se define de

la siguiente manera N := 〈1⊗ ab− a⊗ b− (−1)|a||b|b⊗ a〉.

32

Prueba. Sea α : A⊗ A −→ II2

definida como α(a⊗ b) = a⊗ b− ab⊗ 1, delas igualdades

α(c · (a⊗ b)) = α(ca⊗ b) = ca⊗ b− cab⊗ 1 = c · α(a⊗ b)

yα(1⊗ ab− a⊗ b− (−1)|a||b|b⊗ a) =

1⊗ ab− ab⊗ 1− (a⊗ b− ab⊗ 1)− (−1)|a||b|(b⊗ a− ba⊗ 1) =1⊗ ab− a⊗ b− (−1)|a||b|b⊗ a+ ab⊗ 1 = (1⊗ a− a⊗ 1)(1⊗ b− b⊗ 1),

tenemos que α induce una aplicación α :A⊗ AN ′

−→ II2

a la cual también

denominaremos α. Ahora tomemos β : A ⊗ A −→ A⊗ AN ′

definida como

β(a⊗ b) = a⊗ b. Del hecho

−a⊗ 1 = 1⊗ a · 1− a⊗ 1− (−1)|a||1|1⊗ a

tenemos que β(1 ⊗ a − a ⊗ 1) = 1⊗ a. Por otro lado notemos que todoelemento x ∈ I2 se escribe como

x =∑i

ri(1⊗ai−ai⊗1)r′i(1⊗bi−bi⊗1) =∑i

(−1)tirir′i(1⊗ai−ai⊗1)(1⊗bi−bi⊗1),

(ver Lema 1.87), pues

(1⊗ ai − ai ⊗ 1)r′i(1⊗ bi − bi ⊗ 1) =

(−1)|ai||r′i|r′i ⊗ aibi − (−1)|ai|(|r′i|+|bi|)r′ibi ⊗ ai − air′i ⊗ bi + air′ibi ⊗ 1 =

(−1)|ai||r′i|r′i(1⊗ ai − ai ⊗ 1)(1⊗ ai − ai ⊗ 1),y como

β((1⊗a−a⊗1)(1⊗b−b⊗1)) = 1⊗ ab− a⊗ b− (−1)|a||b|b⊗ a+ ab⊗ 1 ∈ N ′

y β es A lineal. Entonces hemos definido una aplicación β :I

I2−→ A⊗ A

N ′.

Ahora comoβ ◦ α(a⊗ b) = β(a⊗ b− ab⊗ 1) = a⊗ b,

yα ◦ β(1⊗ a− a⊗ 1) = α(1⊗ a) = 1⊗ a− a⊗ 1

33

concluimos la prueba del lema. �

Una de las propiedades que se preservan del caso no graduado es la sigui-ente

Lema 1.89. El A−módulo Ω1A tiene la propiedad universal : Dado cualquierderivación D : A→M existe un único f : Ω1A →M morfismo de A módulosque hace que el diagrama

A

d @@@

@@@@

D //M

Ω1A

∃!f

>>||||||||

conmute.

Prueba. Es suficiente definir f(a⊗ b) = aD(b) �

Observación. notemos que el morfismo d1 : A→ A⊗AN ′ definido como d1(a) =1⊗ a verifica la siguiente igualdad

d1(ab) = ad1(b) + (−1)|a||b|bd1(a).

Definamos la aplicación

d′(a) = (−1)|a|d1(a).

De la definición tenemos que

d′(ab) = (−1)|a|+|b|d1(ab) = (−1)|a|+|b|(ad1(b) + (−1)|a||b|bd1(a)) =

(−1)|a|a(−1)bd1(b) + (−1)|b|+|a||b|b(−1)|a|d1(a) =

(−1)|a|ad′(b) + (−1)|b|+|a||b|bd′(a)

= (−1)|a|ad′(b) + (−1)|a||b|bd′(a),

es decir d′ es una derivación.

Lema 1.90. La derivada d′ : A→ A⊗AN ′

cumple la propiedad universal : Paratoda derivación graduada

D : A→M

34

existe un único morfismo f : A⊗AN ′→M, tal que el diagrama

A

d′ BBB

BBBB

BD //M

A⊗AN ′

∃!f

=={{{{{{{{

conmute.

Prueba. Definamos la aplicación f1 : A ⊗ A → M como f1(a ⊗ b) =(−1)baD(b). Sea 1⊗ ab− a⊗ b− (−1)|a||b|b⊗ a un generador de N ′, entonces

f1(1⊗ ab− a⊗ b− (−1)|a||b|b⊗ a)

= (−1)|a|+|b|D(ab)− (−1)|b|aD(b)− (−1)|a||b|+|a|bD(a) =

(−1)|a|+|b|((−1)|a|aD(b)+(−1)(|a|+1)|b|bD(a))−(−1)|b|aD(b)−(−1)|a||b|+|a|bD(a)

= (−1)|b|aD(b) + (−1)|a||b|+|a|bD(a)− (−1)|b|aD(b)− (−1)|a||b|+|a|bD(a) = 0.

Por lo tanto f1 induce una aplicación en el cociente

f :A⊗ AN ′

→M,

más aún notemos que f ◦ d′(a) = D(a). Además es claro que f es única. �

Corolario 1.91. El módulo Ω1(A,∂) es isomorfo al módulo graduadoA⊗AN ′

.

Prueba. Se sigue directamente de la propiedad universal. �

Ejemplo 1.92. Sea V un espacio vectorial graduado y ∧V el álgebra simétri-ca libre en el sentido graduado, entonces Ω1∧V = ∧V ⊗ V [−1]. En efecto,definamos la aplicación

d : ∧V −→ ∧V ⊗ V [−1]

como

d(v1 · · · vn) =n∑i=1

(−1)|v1|+···+|vi−1|+|vi|(|vi+1|+···+|vn)|)v1 · · · v̂i · · · vn ⊗ vi.

35

Sean x, y elementos en ∧V. Sin perdida de generalidad los podemos suponerque son de la forma x = v1 · · · vn y y = w1 · · ·wn. Entonces

d(v1 · · · vn · w1 · · ·wn) =n∑i=1

(−1)av1 · · · v̂i · · · vn · y ⊗ vi +m∑j=1

(−1)bx · w1 · · · ŵj · · ·wm ⊗ wi,

donde a = |v1|+ · · ·+ |vi−1|+ |vi|(|vi+1|+ · · ·+ |vn|+ |y|) y b = |x|+ |w1|+· · ·+ |wi−1|+ |wi|(|wi+1|+ · · ·+ |wm|). Como

v1 · · · v̂i · · · vn · y = (−1)|w|(|v|−|vi|)y · v1 · · · v̂i · · · vn,

entonces la igualdad anterior se escribe

(−1)|y||x|y · d(x) + (−1)|x|x · d(y).

Esto indica que la aplicación d es una derivada.Por otro lado, para toda derivada D : A → M y x = v1 · · · vn elemento

en ∧V se cumple que

D(x) =n∑i=1

(−1)|v1|+···+|vi−1|+|vi|(|vi+1|+···+|vn)|)v1 · · · v̂i · · · vn ·D(vi);

por lo tanto si definimos

f : ∧V ⊗ V [−1]→M

como f(x⊗ v) = xD(v) obtenemos que f ◦ d = D. Esto significa que

Ω1∧V = ∧V ⊗ V [−1].

Entre los ejemplos que nos interesa se encuentra el ADG (A ⊗ ∧V, ∂),en un caso particular, cuando A es un anillo r.l.e.t.f. En general tenemos elsiguiente Lema.

Lema 1.93. Sea A0 ⊗ ∧V un A.D.G., entonces

d : A0 ⊗ ∧V −→ Ω1A := Ω1A0 ⊗ ∧V ⊕ A0 ⊗ Ω1∧V

dado por d(a⊗ v) := da⊗ v + a⊗ dv es la derivada universal.

36

Prueba. Notemos que Ω1A tiene una estructura de A módulo, pues Ω1A0

yΩ1∧V tienen estructura de A0 y ∧V módulos respectivamente, donde Ω1A0tiene grado uno. Ahora definamos la siguiente aplicación d : A −→ Ω1A comod(a ⊗ v) = da ⊗ v + a ⊗ dv.Veamos que d sea una derivación. En efecto, delas igualdades

d(a⊗ v · b⊗ w) = dDR(ab)⊗ vw + ab⊗ dDR(vw) =

d(a)b⊗ vw + ad(b)⊗ vw + ab⊗ d(v)w + (−1)|v|ab⊗ vd(w) =

d(a)⊗v ·b⊗w+a⊗d(v)·b⊗w+(−1)|v|a⊗v ·d(b)⊗w+(−1)|v|a⊗v ·b⊗d(w) =

d(a⊗ v) · b⊗ w + (−1)|v|a⊗ v · d(b⊗ w);

tenemos que d es una derivación según se define en [Vi]. A continuaciónveremos que d cumple la propiedad universal. En el diagrama

A0

d !!BBB

BBBB

B id⊗1// A

d ��???

????

?D //M

Ω1A0 id⊗1// Ω1A

∃!f

>>}}}}}}}}

claramente A0 ↪→ A y Ω1A0 ↪→ Ω1A (pues k es un cuerpo). Es decir D induce

una derivación d1 = D ◦ (id ⊗ 1) sobre A0 y por la propiedad universalexiste una única aplicación f1 : Ω

1A0−→ M . El mismo análisis para ∧V nos

proporciona f2 : Ω1∧V −→ M . Definamos f : Ω1A −→ M como f(adb ⊗ v) =

f1(bda)v, f(a ⊗ dv) = af2(v), y como f(d(a) ⊗ v + a ⊗ d(v)) = f1d(a)v +af2d(v) = D(a⊗ 1)v + aD(1⊗ v) = D(a⊗ v), el diagrama

A

d @@@

@@@@

D //M

Ω1A

∃!f

>>||||||||

conmuta. La unicidad se sigue del hecho que f restricto a cada uno de lossumandos es único por la propiedad universal de ΩA0 y Ω

1∧V respectivamente.

Lema 1.94. En ∧V ⊗ ∧V ⊗ ∧V existe un diferencial

δ : ∧V ⊗ ∧pV ⊗ ∧V −→ ∧V ⊗ ∧p−1V ⊗ ∧V,

37

con δ|∧V⊗∧V = m tal que el complejo

· · · ∧ V ⊗ ∧pV ⊗ ∧V δ // ∧V ⊗ ∧p−1V ⊗ ∧V // · · · // ∧V ⊗ ∧V m // ∧V,

donde m(x⊗ y) = xy, es exacto salvo posiblemente en el último nivel.

Prueba. Sea (∧V, 0) y (∧V ⊗ ∧V,D) donde D(v) = v y D2 = 0. Veamosque este último complejo es exacto. Si V = 0 no hay nada que probar. Porlo tanto podemos asumir que V 6= 0 y tomar una base (B,≺) totalmenteordenada de V ; entonces en elementos de ∧(k · w1)⊗ ∧(k · w1) definimos :Si |w| es impar h(wp ⊗ w) = wp+1/(p + 1), y h(wp) = 0. Si |w| es parh(w ⊗ wp) = 0 y h(wp) = w ⊗ wp−1. De la definición anterior tenemos : Si|w| es impar,

(hD +Dh)(wp ⊗ w) = Dh(wp ⊗ w) = D(wp+1/(p+ 1)) = wp ⊗ w

pues hD(wp ⊗ w) = wp ⊗ w2 = 0 (pues w2 = 0) y

(hD +Dh)(wp) = hD(wp) = h(pwp−1 ⊗ w) = wp.

En el caso cuando |w| es par el análisis es similar. Si definimos

A(w1, · · · , wr) = ∧(k · w1)⊗ ∧(k · w1)⊗ · · · ⊗ ∧(k · wr)⊗ ∧(k · wr),

para una secuencia estrictamente creciente w1 < · · · < wr, h se extiende auna aplicación

h :