Resolução da Lista 5 de FF-207

01. Uma pequena bola de massa m, inicialmente em A, desliza sobre

uma superfície circular ADB sem atrito. Calcule quando a bola

está ao ponto C, a velocidade angular e a força exercida pela

superfície (em função de g, m, α, r) pelo método de Newton e

D’Alembert.

SOLUÇÃO:

Pelo método de D’Alembert:

Para facilitar os cálculos, vamos escolher o sistema de

coordenadas polar (r, α), pois com ele podemos facilmente

descrever a equação do vínculo holonômico que existe no

sistema, r é constante. Assim, a bola tem apenas um grau de

liberdade, α que será a coordenada generalizada. Então, temos

como deslocamento virtual:

Também, a única força aplicada na bola é o seu peso, que pode

ser decomposto na direção de (tangente à curva) e na direção

de (radial) em cada ponto. Assim, temos no ponto C:

Quanto à derivada do momento linear, temos:

Onde , pelo

fato de r ser constante. Assim, temos:

Finalmente, pelo método de D’Alembert, temos:

Fazendo a primeira integração dessa equação diferencial

ordinária, temos:

Esta é a velocidade angular da bola em C.

Pelo método de Newton:

Como o movimento é circular, a resultante das forças na direção

radial é a própria força centrípeta, dada pela seguinte fórmula:

As forças atuantes na direção radial são mostradas no diagrama

de corpo livre (Figura do enunciado que está à direita). Então,

temos:

02. Calcule as acelerações dos corpos, para a figura abaixo através

do método de Newton, D’Alembert e Euler-Lagrange.

Onde:

SOLUÇÃO:

Pelo método de Newton:

Segundo a lei de Newton, temos:

Analisando o sistema da figura 1, vamos calcular a força

resultante sobre cada bloco.

Bloco 1:

Bloco 2:

Bloco 3:

Temos três equações e quatro incógnitas. Assim, falta uma

equação que é:

Pois a polia é móvel e divide a tensão pela metade.

Resolvendo o sistema de 4 equações e 4 incógnitas chegamos ao

seguinte resultado:

m1

m2

m3

T1

T1

T2

T2

m2g

m3g

a1

a1 – a2

a1 + a2

Assim, podemos determinar a aceleração de cada bloco:

Pelo método de D’Alembert:

De acordo com o Princípio de D’Alembert, temos que:

Onde é a resultante das forças aplicadas na partícula ,

é

a derivada temporal do momento linear de cada partícula e

é o seu deslocamento virtual. É importante observar que o

somatório “corre” sobre a quantidade de partículas do sistema e

não sobre as coordenadas generalizadas. Assim, temos:

Para a massa :

Para a massa :

Para a massa :

Das equações de vínculo, temos:

Da figura também tiramos que:

Substituindo na eq. (5), temos:

Como os deslocamentos e são independentes, podemos

separar em duas equações:

Multiplicando a primeira por e a segunda por

, temos:

Então a aceleração de cada massa é:

Pelo método de Euler-Lagrange:

Utilizando-se a equação de Lagrange, temos que:

Onde é a função Lagrangeana, é a energia cinética

total e é a energia potencial.

Da figura, segue que:

Das equações de vínculo, temos:

Da figura também tiramos que:

Então, temos:

Então, a função Lagrange é:

Há duas coordenadas generalizadas independentes, então

e e .

Substituindo na eq. (6), temos:

Se multiplicarmos as duas equações por -1, teremos o mesmo

sistema encontrado pelo método de D’Alembert. Logo, teremos

as mesmas soluções:

03. Encontrar a curva Braquistócrona pelo Princípio de Hamilton, ou

seja, a trajetória de menor tempo entre dois pontos de uma

partícula que está somente sob a ação da gravidade.

Considerando como a velocidade com que a partícula desce a

curva, o tempo total de descida será:

Considerando que a partícula cai do repouso, temos pela

conservação da energia que:

Também, temos que:

Então, ficamos com:

Para que seja estacionária, ou seja, para minimizarmos esse

funcional, teremos:

E devemos ter:

Multiplicando a equação por , temos:

Somando e subtraindo o termo

, temos:

Podemos resolver essa equação de forma paramétrica. Para isso,

tomamos , teremos:

Logo, temos:

Além disso:

Então, integrando temos:

As equações (1) e (2) fornecem uma solução paramétrica para o

problema da braquistócrona. Ela é a representação paramétrica

de uma cicloide, mas precisamente de uma cicloide voltada para

cima, cujo raio da circunferência que a gerou é

a ser

determinado pelas condições iniciais.