RESAVANJE SILVESTEROVE MATRICNE JEDNA CINE · SADRZAJ 6 Predgovor Najjednostavnija jednaˇcina koja...

82
Univerzitet u Niˇ su PRIRODNO-MATEMATI ˇ CKI FAKULTET Departman za matematiku MASTER RAD RE ˇ SAVANJE SILVESTEROVE MATRI ˇ CNE JEDNA ˇ CINE Mentor: Prof. dr Nebojˇ sa Dinˇ ci´ c Student: Bogdan D. - Dord¯evi´ c Niˇ s, 2017.

Transcript of RESAVANJE SILVESTEROVE MATRICNE JEDNA CINE · SADRZAJ 6 Predgovor Najjednostavnija jednaˇcina koja...

Univerzitet u NisuPRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

Departman za matematiku

MASTER RAD

RESAVANJE SILVESTEROVE

MATRICNE JEDNACINE

Mentor:Prof. dr Nebojsa Dincic

Student:Bogdan D. -Dordevic

Nis, 2017.

Sadrzaj

1 Uvod 81.1 Kompleksna analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 σ−algebre, topoloski i metricki prostori . . . . . . . . . . . . . 91.3 Normirani, Banahovi i Hilbertovi prostori . . . . . . . . . . . . 121.4 Ograniceni linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Banahove algebre sa jedinicom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 Spektralna teorija operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Furijeova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Resivost jednacine 252.1 Egzistencija resenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Resivost jednacine kada su A i B

normalni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.1 Operatori sa konacno-dimenzionalnim slikama . . . . . 292.2.2 Slucaj kada je A = B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Resivost jednacine kada su A, B i Cneograniceni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Konstrukcija resenja 383.1 Analiticka resenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.1 Resenja dobijena funkcionalnim racunomogranicenih operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.2 Resenje pomocu znaka operatora . . . . . . . . . . . . 413.1.3 Normalni, ermitski i unitarni operatori . . . . . . . . . 42

3.2 Resavanje pomocuZordanove normalne forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Polinomijalno resenje matricneSilvesterove jednacine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 Numericko resavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4.1 Njutnov metod za racunanje znaka operatora i njegove

optimizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1

SADRZAJ 2

3.4.2 Metodi koji koriste potprostore Krilova . . . . . . . . . 54

4 Primene 624.1 Primene u funkcionalnoj i

matricnoj analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.1 Slicnost matrica operatora . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.2 Embrijeva teorema o komutativnosti . . . . . . . . . . 634.1.3 Hiperinvarijantni potprostori . . . . . . . . . . . . . . . 634.1.4 Spektralni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Polinomi u asocijativnimalgebrama sa jedinicom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 Primena u diferencijalnim jednacinama . . . . . . . . . . . . . 694.3.1 Apstraktne diferencijalne jednacine . . . . . . . . . . . 694.3.2 Jednacina Ljapunova i

stabilnost dinamickog sistema . . . . . . . . . . . . . . 714.4 Primene u kvantnoj mehanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4.1 Linearni vremenski-invarijantni sistemi . . . . . . . . . 78

Literatura 79

SADRZAJ 3

Spisak oznaka

• U c− komplement skupa U ;

• τ− topologija na topoloskom prostoru;

• int(U)− topoloska unutrasnjost skupa U ;

• cl(U), U− topolosko zatvorenje skupa U ;

• ∂(U)− rub skupa U ;

• d(·, ·)− metrika na metrickom prostoru;

• dist(U, V )− rastojanje izmedu skupova U i V ;

• diam(U)− dijametar skupa U ;

• K(x0, r)− otvorena kugla sa centrom u x0 poluprecnika r > 0;

• S(x0, r)− sfera sa centrom u x0 poluprecnika r > 0;

• K[x0, r]− zatvorena kugla sa centrom u x0 poluprecnika r > 0;

• ∥ · ∥− norma; (V, ∥ · ∥)− normirani prostor;

• ⟨·, ·⟩− skalarni proizvod; (V, ⟨·, ·⟩)− unitarni prostor;

• ⊕− direktna suma;

• ⊗− Kronekerov proizvod matrica;

• dim(V )− dimenzija vektorskog prostora V ;

• V ⊥−ortogonalni komplement skupa V ;

• L(V1, V2)− skup svih linearnih operatora iz vektorskog prostora V1 uvektorski prostor V2;

• L(V )− skup svih linearanih operator na vektorskom prostoru V ;

• B(V1, V2)− skup svih ogranicenih linearanih operator iz normiranogprostora V1 u normirani prostor V2;

• B(V )− skup svih ogranicenih linearnih operatora na normiranom pros-toru V ;

• N (A)− jezgro linearnog operatora A;

SADRZAJ 4

• R(A)− slika linearnog operatora A;

• D(A)− domen linearnog operatora A;

• V ′− prostor ogranicenih linearnih funkcionala na prostoru V ;

• A∗− Hilbert-konjugovan operator linearnog operatora A;

• A− algebra;

• C0− polugrupa jednoparametarske familije linearnih operatora;

• ρ(·)− rezolventni skup elementa algebre;

• R(λ, ·)− rezolventna funkcija u tacki λ elementa algebre;

• σ(·)− spektar elementa algebre;

• σp(·)− tackasti spektar elementa algebre;

• σa(·)− aproksimativni tackasti spektar elementa algebre;

• σδ(·)− aproksimativni defektni spektar elementa algebre;

• [·, ·]− komutator data dva elementa algebre; [a, b] = ab− ba;

• F− polje;

• Mp×q(F)− skup svih matrica tipa p× q nad poljem F ;

• F [x]− skup svih polinoma nad poljem F ; Fn[x]− skup svih polinomastepena najvise n nad poljem F ;

• dg(p)− stepen polinoma p;

• Γ, γ− kriva, putanja ili kontura u C.

• GΓ0− oblast koju kontura Γ ogranicava;

• GΓ∞− oblast koju Γ ne obuhvata;

• IndΓ(a)− indeks zatvorene putanje Γ oko tacke a;

• IndΓ(U)− indeks zatvorene putanje Γ oko skupa U ;

• f− Furijeova transformacija funkcije f ;

• F−1[f ]− inverzna Furijeova transformacija funkcije f ;

SADRZAJ 5

• Sn,S(Rn,C)− Prostor Svarca;

• grad(f)− gradijent funkcije f ;

• Sσ− σ−algebra na skupu S;

• B(U)− Familija Borelovih podskupova skupa U u topoloskom prostoru;

• Lp(Rn)− prostor funkcija ciji je stepen p Lebeg integrabilan na Rn;

• z(Ω)− skup svih kompleksnih funkcija analitickih u nekoj okolini kom-pakta Ω;

• h− Plankova konstanta.

SADRZAJ 6

Predgovor

Najjednostavnija jednacina koja se javlja u linearnoj algebri je linearnajednacina oblika AX = Y , odnosno XB = Y . Iako je posluzila kao polaznatacka za konstrukciju jako bogate teorije (npr. uopstenih inverza), u konkret-nim linearnim sistemima se mnogo cesce javljaju jednacine gde figurise visematrica. Prvi koji se bavio problematikom ove vrste bio je Silvester1. On jeza date matrice A, B i Y nasao matricu X tako da vazi jednakost

AX −XB = Y. (1)

Pored toga, dokazao je potrebne i dovoljne uslove da jednacina (1) ima jedin-stveno resenje po X, za proizvoljno Y . U njegovu cast, sve jednacine oblika(1) se nazivaju Silvesterove jednacine. Ubrzo se slican problem javio i u teorijioperatora: za date ogranicene linearne operatore A, B i Y , naci ogranicenlinearan operator X tako da vazi (1). Ovim problemom se bavilo visematematicara, a najuticajnije rezultate medu njima je ostvario Rozenblum2,cije su rezultate kasnije uopstili Rot3 i Svajncberg4. Zbog toga se, kada suA, B, X i Y operatori, cesto jednacina (1) naziva Silvester-Rozenblumovajednacina.

Iako je problem prvi put resen jos 1884. godine i bio aktuelan pocetkomdvadesetog veka, nagla ekspanzija savremene nauke i tehnologije, posebnonumerike i kvantne mehanike, vratili su jednacinu (1) u zizu istrazivanja.Pronadeni su novi rezultati vezani za resivost i resavanje Silvester-Rozenblu-move jednacine, kao i rezultati koji koriste tu jednacinu (ili njenu resivost) usvojim dokazima. Najistaknutiji primer je operatorska jednacina Ljapunova,rezultat koji igra fundamentalnu ulogu u teoriji stabilnosti funkcionalnih iobicnih diferencijalnih jednacina.

U ovom master radu ce biti prikazani postojeci rezultati vezani za Silvester-Rozenblumovu jednacinu, kao i njihove primene na konkretne naucne prob-leme. Rad je podeljen u cetri glave.

U prvoj glavi (Uvodu) uvedeni su osnovni pojmovi, koji se kasnije koriste.Navedena tvrdenja su bez dokaza, sa posebnim akcentom na navedene refer-

1James Joseph Sylvester (1814-1897), engleski matematicar. Dao je znacajan doprinosmatricnoj analizi, teoriji brojeva i kombinatorici

2Marvin Rosenblum.3W. E. Roth.4A. Schweinsberg.

SADRZAJ 7

ence [15], [11] i [20].

U drugoj glavi (Resivost jednacine) prikazani su rezultati koji obezbedujuegzistenciju resenja Silvesterove jednacine. Diskutovani su razliciti slucajevi,kao npr. kada su A i B normalni operatori, neograniceni operatori, operatorisa konacno-dimenzionalnim slikama itd. Takode je diskutovano na temu podkojim uslovima je resenje jedinstveno.

Treca glava (Konstrukcija resenja) se prirodno nadovezuje na drugu glavu,jer su u njoj dati postupci za konstrukciju resenja Silvesterove jednacine.Izvedeni metodi koriste razlicite tehnike i tacni su samo pod odredenimuslovima, te je i ovde vrsena diskusija po osobinama koje imaju A i B.U ovoj glavi su takode prikazani i osnovni numericki algoritmi za resavanjeSilvesterove jednacine. Njihove optimizacije i adaptacije se mogu naci npr.u [8] i [10].

U cetvrtoj glavi (Primenama) ilustrovano je kako se Silvesterova jednacinajavlja i primenjuje u drugim naucnim disciplinama. Prilozeni matematickii fizicki problemi su samo odabran deo rezultata na tu temu, koji su biliprikladni za ovu tezu. Nastavak ovih rezultata moze se naci u [23], [1], [22] i[14], posebno u vezi dalje implementacije Silvesterove jednacine.

Izuzetnu zahvalnost dugujem svom mentoru, profesoru Nebojsi Dincicu, napredlozenoj aktuelnoj i interesantnoj temi. Njegova nesebicna pomoc kadaje to bilo potrebno, kao i konstruktivni dobronamerni saveti, doprineli sukonacnoj formi master rada. Profesorka Dijana Mosic i profesorka MilicaKolundzija su svojim sugestijama znacajno doprinele kvalitetu rada.

Zahvaljujem se svojoj porodici na velikoj podrsci i ljubavi.

Glava 1

Uvod

1.1 Kompleksna analiza

Definicija 1.1. Slika neprekidnog preslikavanja γ : [a, b] → C jeste kriva uC. Tacka γ(a) je pocetak a γ(b) je kraj te krive. Kriva je orijentisana u smislurasta parametra t, odnosno od γ(a) ka γ(b). Dve krive se mogu nadovezati,ako se kraj prve krive poklopi sa pocetkom druge krive. Kriva γ je deo po deoglatka, ako je preslikavanje γ′ ograniceno i deo po deo neprekidna funkcija,pri cemu je |γ′| > 0 u svakoj tacki u kojoj γ′ postoji. Deo po deo glatka krivau C jeste putanja u C.Ako je γ : [a, b] → C putanja, onda je slika putanje γ oznacena sa Γ =γ([a, b]). Na osnovu neprekidnosti funkcije γ i kompaktnosti segmenta [a, b]u R, proizilazi kompaktnost skupa Γ u C.

Definicija 1.2. Putanja γ je zatvorena, ako je γ(a) = γ(b). Tacka z ∈ C jetacka samopreseka putanje γ ako postoje, osim eventualno krajnjih tacakate krive, dve razlicite tacke t1 i t2 iz [a, b] sa svojstvom da γ(t1) = γ(t2) = z.Putanja je prosta ako nema tacaka samopreseka. Prosta i zatvorena putanjajeste kontura.

Teorema 1.1. [Zordanova teorema o zatvorenoj putanji] Ako je γkontura, onda Γ vrsi particiju kompleksne ravni na tri disjunktna skupa.

Definicija 1.3. Neka je γ kontura u ravni. Otvoren skup u ravni ravni, kojije konacnog dijametra i ogranicen je skupom Γ, oznacen je sa GΓ

0 i naziva seunutrasnjost konture γ. Neogranicen otvoren skup u ravni, cija je granica Γ,oznacen je sa GΓ

∞ i naziva se spoljasnjost konture γ.

Posledica 1.1. Neka je γ kontura u ravni. Tada je C = GΓ0 ∪ Γ ∪ GΓ

∞, pricemu su svaka dva skupa na desnoj strani uzajamno disjunktna.

8

GLAVA 1. UVOD 9

O otvorenim skupovima, unutrasnjosti i dijametru datog skupa bice recinadalje.

Definicija 1.4. Kontura γ u C je pozitivno orijentisana, ako pri kretanjutacke po skupu Γ u smeru orijentacije, skup GΓ

0 ostaje sa leve strane.

Definicija 1.5. Skup A ⊂ C je povezan, ako skup A nije jednak uniji dvadisjunktna otvorena i neprazna podskupa od C.

Definicija 1.6. Otvoren povezan skup u C jeste oblast.

Definicija 1.7. Oblast G ⊂ C je prosto-povezana (jednostruko-povezana)ako za svaku konturu γ sa svojstovm Γ ⊂ G, vazi da je GΓ

0 ⊂ G.

Definicija 1.8. Neka je Γ zatvorena putanja u C i neka je z ∈ C \ Γ. Tadaje indeks zatvorene putanje (broj obilazaka putanje1) Γ u odnosu na (oko)tacku z jednak

IndΓ(z) =1

2πi

∫γ

ξ − z.

Teorema 1.2. [Kosi-Gursa] Neka je G otvorena prosto povezana oblast uC, i neka je f : G → C analiticka funkcija u V . Tada je

∫γf(z)dz = 0, za

svaku konturu γ sa svojstvom Γ ⊂ G.

Teorema 1.3. [Kosijeva integralna formula] Neka je f kompleksna ana-liticka funkcija u prosto povezanoj oblasti G, i neka je γ kontura sa svojstvomΓ ⊂ G, koja je pozitivno orijentisana. Tada za svaku tacku z ∈ GΓ

0 vazi

f(z) =1

2πi

∫Γ

f(ξ)

ξ − zdz.

1.2 σ−algebre, topoloski i metricki prostori

Definicija 1.9. Neka je dat neprazan skup S. Kolekciju Sσ ⊂ P (S) pod-skupova od S je σ−algebra na S, ako ispunjava sledece osobine:(1) S ∈ Sσ;(2) Ako je A ∈ Sσ, onda je i Ac ∈ Sσ;

(3) Ako je An ∈ Sσ za svako n ∈ N, tada je i+∞∪n=1

An ∈ Sσ.

1engl. winding number

GLAVA 1. UVOD 10

Definicija 1.10. Neka je Z neprazan skup i P (Z) njegov partitivni skup.Familija τ ⊂ P (Z) podskupova skupa Z je topologija na Z, ako vaze sledeceosobine:(1) Z, ∅ ∈ τ ;(2) ako je Aii∈I ⊂ τ , gde je I indeksni skup proizvoljne kardinalnosti, ondaje∪i∈I Ai ∈ τ ;

(3) ako su A1, A2 ∈ τ , tada je A1 ∩ A2 ∈ τ .Ureden par (Z, τ) je topoloski prostor, ili Z je topoloski prostor ako setopologija na ovom skupu podrazumeva.

Definicija 1.11. Neka je (Z, τ) topoloski prostor. Skup U ⊂ Z je otvoren(u odnosu na topologiju τ) ako je U ∈ τ . Ako je F ⊂ Z i F c ∈ τ , tada je Fzatvoren (u odnosu na topologiju τ).

Definicija 1.12. Neka je (Z, τ) topoloski prostor i A ⊂ Z. Unutrasnjostskupa A, u oznaci int(A), jeste najveci otvoren skup koji je sadrzan u A.Zatvorenje skupa A, u oznaci cl(A) ili A, jeste najmanji zatvoren skup kojisadrzi a. Drugim recima,

int(A) =∪V⊂AV ∈τ

V, cl(A) =∩F⊃AF c∈τ

F.

Definicija 1.13. Neka je (Z, τ) topoloski prostor i A ⊂ Z. Rub skupa A, uoznaci ∂(A), jeste ∂(A) := A \ A.

Definicija 1.14. Neka su A,B podskupovi topoloskog prostora (Z, τ). SkupA je gust u B ako je B sadrzan u zatvorenju od A, tj. ako je B ⊂ A.

Definicija 1.15. Topoloski prostor Z je separabilan ako u njemu postojinajvise prebrojiv skup S koji je gust u Z, odnosno ako je S = Z.

Definicija 1.16. Neka su (Z1, τ1) i (Z2, τ2) dva topoloska prostora i f : Z1 →Z2 preslikavanje. f je (τ1, τ2)− neprekidno preslikavanje, ako je inverzna slikasvakog otvorenog skupa iz Z2 otvoren skup u Z1, tj. ako je

(∀U ∈ τ2) v ∈ Z1 : f(v) ∈ U ∈ τ1.

Definicija 1.17. Neka su na skupu Z date dve topologije τ1 i τ2, i nekaje Id : Z → Z identicko preslikavanje. Ako je preslikavanje Id (τ1, τ2)−neprekidno, tada je τ2 manja topologija u odnosu na τ1 (ekvivalentno, τ2 ⊂τ1). Tada je τ2 slabija topologija od τ1, odnosno da je τ1 jaca topologija odτ2. Ukoliko je τ1 istovremeno i jaca i slabija topologija od τ2, tada su ovetopologije ekvivalentne.

GLAVA 1. UVOD 11

Definicija 1.18. Neka je (Z, τ) topoloski prostor i K ⊂ Z. Familija Vii∈Ipodskupova skupa Z je pokrivac skupa K ako je

K ⊂∪i∈I

Vi.

Ukoliko je pri tome Vi ∈ τ za svako i ∈ I, tada je Vii∈I otvoren pokrivacskupa K. Pokrivac Vii∈I je konacan ako je indeksni skup I konacan.

Definicija 1.19. SkupK je kompaktan u topoloskom prostoru (Z, τ), ako seiz svakog otvorenog pokrivaca skupa K moze izdvojiti konacan potpokrivacskupa K. Skup K je relativno kompaktan ako je K kompaktan.

Definicija 1.20. Neka je X neprazan skup i d : X ×X → R+0 preslikavanje

koje ima sledeca svojstva:(1) d(x, y) ≥ 0 za svako x, y ∈ X;(2) d(x, y) = 0 ako i samo ako x = y;(3) d(x, y) = d(y, x) za svako x, y ∈ X;(4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) za svako x, y, z ∈ X.Tada je preslikavanje dmetrika na skupuX, a ureden par (X, d) jeste metrickiprostor. Krace, skup X je metricki prostor ako se metrika d podrazumeva.

Definicija 1.21. Neka je (X, d) metricki prostor, i neka je (xn)n niz u X.(1) Niz (xn)n je konvergentan u X ako postoji x∗ ∈ X tako da je

limn→+∞

d(xn, x∗) = 0.

(2) Ako za niz (xn)n vazi:

(∀ϵ > 0)(∃n0 ∈ N)(∀p ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n0 ⇒ d(xn, xn+p) < ϵ),

tada je (xn)n Kosijev niz u X.

Posledica 1.2. Svaki konvergentan niz je Kosijev.

Definicija 1.22. Metricki prostor (X, d) je kompletan ako svaki Kosijev nizu X jeste konvergentan u X.

Definicija 1.23. Neka su A,B podskupovi metrickog prostora (X, d). Ras-tojanje izmedu skupova A i B, u oznaci dist(U, V ), jeste infimum svih ras-tojanja izmedu tacaka iz A i B, odnosno

dist(A,B) := infx∈Ay∈B

d(x, y).

GLAVA 1. UVOD 12

Definicija 1.24. Dijametar skupa A, u oznaci diam(A), je supremum svihrastojanja unutar skupa A, odnosno

diam(A) := supx,y∈A

d(x, y).

Definicija 1.25. Neka je (X, d) metricki prostor, x0 ∈ X i r > 0.Otvorena kugla sa centrom u x0 poluprecnika r jeste skup: K(x0, r) = x ∈X : d(x, x0) < r.Sfera sa centrom u x0 poluprecnika r jeste skup: S(x0, r) = x ∈ X :d(x, x0) = r.Zatvorena kugla sa centrom u x0 poluprecnika r > 0 jeste skup K[x0, r] :=K(x0, r)

∪S(x0, r).

Teorema 1.4. Neka je (X, d) metriski prostor. Topologija na X, indukovanametrikom d, definisana je na sledeci nacin:

Λ = K(x0, r) : x0 ∈ X, r > 0,

τ := X, ∅∪

A ∩B : A,B ∈ Λ∪

∪i∈IAi : Aii∈I ⊂ Λ.

Definicija 1.26. Skup U je otvoren u metrickom prostoru ako je otvoren utopologiji indukovanoj tom metrikom.

Definicija 1.27. Neka je (Z, τ) topoloski prostor. Ako postoji metrika d naskupu Z tako da je τ indukovana metrikom d, tada je (Z, τ) metrizabilantopoloksi prostor, ili τ je metrizabilna topologija.

Definicija 1.28. Neka je (X, τ) metrizabilan topoloski prostor. Najmanjaσ−algebra na X koja sadrzi τ je Borelova σ−algebra i oznacava se sa B(X).

Posledica 1.3. B(X) je presek svih σ−algebri koje sadrze τ .

1.3 Normirani, Banahovi i Hilbertovi pros-

tori

F oznacava polje realnih ili kompleksnih brojeva. Nadalje svi vektorski pros-tori su nad poljem F . Ukoliko ima potrebe, posebno cemo naglasiti da lirazmatramo realne ili kompleksne vektorske prostore.

GLAVA 1. UVOD 13

Definicija 1.29. Dimenzija vektorskog prostora X, u oznaci dim(X), jestekardinalnost algebarske baze tog prostora.

Prethodna definicija je korektna zato sto sve algebarske baze vektorskog pros-tora X imaju istu kardinalnost. Ako je X konasno dimenzionalan vektorskiprostor, onda se koristi i oznaka dim(X) <∞.

Definicija 1.30. Neka je X vektorski prostor, i neka su X1 i X2 potprostoriod X sa osobinom da je X1 ∩ X2 = 0X. Tada je potprostor X1 ⊕ X2 :=x1 + x2 : xi ∈ Xi, i = 1, 2 naziva direktna suma potprostora X1 i X2.

Definicija 1.31. Neka je X vektorski prostor nad F . Funkcija ∥ ·∥ : X → Rjeste norma na X, ako vaze sledece osobine:(1) ∥x∥ ≥ 0 za svako x ∈ X;(2) ∥x∥ = 0 ako i samo ako je x = 0;(3) ∥λx∥ = |λ|∥x∥ za svako λ ∈ F i svako x ∈ X;(4) ∥x+ y∥ ≤ ∥x∥+ ∥y∥ za svako x, y ∈ X.Tada je (X, ∥ · ∥) normiran prostor. Jednostavnije, X je normiran prostorako se norma ∥ · ∥ podrazumeva.

Teorema 1.5. Neka je (X, ∥ ·∥) normiran prostor. Funkcija d : X×X → R,definisana na sledeci nacin:

(∀x, y ∈ X) d(x, y) := ∥x− y∥,jeste metrika na X. Tada metrika d indukovana normom ∥ · ∥.

Definicija 1.32. Neka je X normiran prostor. Niz (xn)n u X je kovergen-tan (Kosijev) po normi, ako je konvergentan (Kosijev) u odnosu na metrikuindukovanu normom.

Definicija 1.33. Normiran prostor X je Banahov ako je (X, d) kompletanmetricki prostor, pri cemu je d metrika indukovana normom.

Teorema 1.6. Svaki konacno-dimenzionalan potprostor Y normiranog pros-tora X je Banahov. Specijalno, svaki konacno-dimenzionalan prostor X jeBanahov.

Posledica 1.4. Svaki konacno-dimenzionalan potprostor Y normiranog pros-tora X je zatvoren u X.

Teorema 1.7. Ako je X beskonacno-dimenzionalan Banahov prostor, tadaje dim(X) > ℵ0.

Neka su X,Y vektorski prostori nad F . Skup svih linearnih operatora iz Xu Y jeste L(X, Y ).

GLAVA 1. UVOD 14

Definicija 1.34. Neka su X i Y normirani prostori nad F . Operator A ∈L(X,Y ) je ogranicen ako postoji realan broj M ≥ 0 takav da je

(∀x ∈ X) ∥Ax∥ ≤M∥x∥.

Skup svih ogranicenih linearnih operatora iz X u Y jeste B(X, Y ).

Definicija 1.35. Neka su X i Y normirani prostori, A ∈ B(X,Y ). Normaoperatora A, u oznaci ∥A∥ je broj

∥A∥ := sup∥x∥=0

∥Ax∥∥x∥

.

Teorema 1.8. Neka su X,Y normirani prostori. Tada je (B(X, Y ), ∥ · ∥)normiran prostor.

Definicija 1.36. Neka je (xn)nX niz u normiranom prostoru X. Formalnizapis

x1 + x2 + . . . =+∞∑n=1

xn

jeste red u X. Ukoliko niz (Sn)n, definisan kao Sn :=n∑k=1

xk, konvergira u X

i pri tom je limn→∞

Sn = S, onda je red+∞∑n=1

xn konvergentan u X i

∞∑n=1

xn = S.

Definicija 1.37. Neka je X normirani prostor, i neka je (xn)n niz u X. Akobrojni red

+∞∑n=1

∥xn∥

konvergira, tada red+∞∑n=1

xn apsolutno konvergira.

Teorema 1.9. Normirani prostor X je Banahov, ako i samo ako za svakired u X vazi da iz apsolutne konvergencije reda sledi (obicna) konvergencijatog reda.

GLAVA 1. UVOD 15

Definicija 1.38. Skalarni proizvod na kompleksnom vektorskom prostoru Xjeste funkcija ⟨·, ·⟩ : X ×X → C, koja zadovoljava sledece osobine:(1) ⟨λ1x1 + λ2x2, y⟩ = λ1⟨x1, y⟩ + λ2⟨x2, y⟩ za svako λ1, λ2 ∈ C i svakox1, x2, y ∈ X;(2) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ za svako x, y ∈ X;(3) ⟨x, x⟩ ≥ 0 za svako x ∈ X;(4) ⟨x, x⟩ = 0 ako i samo ako je x = 0.Uredeni par (X, ⟨·, ·⟩) je kompleksan unitaran (pred-Hilbertov) prostor.Napomena. Ukoliko je X realan vektorski prostor, onda umesto svojstva(2) u prethodnoj definiciji, vazi aksioma:(2’) ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ za svako x, y ∈ X,odnosno skalarni proizvod ima osobinu simetricnosti.

Nadalje cemo, ako drugacije nije naglaseno, pretpostavljati da su svi vek-torski prostori kompleksni.

Teorema 1.10. Neka je X unitaran prostor sa skalarnim proizvodom ⟨·, ·⟩.Funkcija ∥ · ∥ : X → R, definisana kao

∥x∥ := ⟨x, x⟩1/2, x ∈ X,

jeste norma na X. Ova norma je indukovana skalarnim proizvodom.

Definicija 1.39. Neka je X unitaran prostor, i neka je X Banahov prostoru odnosu na normu indukovanu skalarnim proizvodom. Tada je X Hilbertovprostor.Napomena. Hilbertov prostor je cesto oznacen na isti nacin kao polazniunitaran prostor, odnosno (X, ⟨·, ·⟩).

Definicija 1.40. Neka je X unitaran prostor i E ⊂ X neprazan skup. Tadaje E⊥ := x ∈ X : (∀y ∈ E) ⟨x, y⟩ = 0 ortogonalan komplement skupa E.

Teorema 1.11. [Teorema o ortogonalnoj dekompoziciji] Neka je Mzatvoren potprostor Hilbertovog prostora X. Ako je z ∈ X, tada postojejednoznacno odredeni vektori x ∈M i y ∈M⊥ tako da je z = x+ y. Prematome vazi X =M⊕M⊥, i tada se ova direktna suma jeste ortogonalna suma.

Definicija 1.41. Neka je X normiran prostor nad poljem F . Ogranicenlinearani funkcional na X jeste svaki ogranicen linearan operator iz X u F .Prostor ogranicenih linearnih funkcionala na X jeste X ′ := B(X,F).

Teorema 1.12. [Risova lema o reprezentaciji] Ako je f ogranicen line-aran funkcional na Hilbertovom prostoru X, tada postoji jedinstven vektoryf ∈ X tako da za svako x ∈ X vazi

GLAVA 1. UVOD 16

f(x) = ⟨x, yf⟩.

1.4 Ograniceni linearni operatori

Teorema 1.13. Neka su X i Y normirani prostori i A ∈ B(X,Y ). Tada je

∥A∥ = sup∥x∥=1

∥Ax∥ = sup∥x∥≤1

∥Ax∥ = infM > 0 :M ≥ ∥Ax∥, ∥x∥ ≤ 1.

Teorema 1.14. Neka su X i Y normirani prostori i A ∈ B(X,Y ). Sledeciuslovi su ekvivalentni:(1) A je uniformno neprekidno preslikavanje na X;(2) A je neprekidno preslikavanje u 0;(3) A ∈ B(X,Y ).

Teorema 1.15. Neka su X i Y normirani prostori. Tada je B(X,Y ) normi-ran prostor (u odnosu na normu operatora).

Definicija 1.42. Neka su X,Y normirani prostori, i neka je A ∈ B(X,Y ).Tada je:N (A) = x ∈ X : Ax = 0 jezgro operatora A;R(A) = Ax : x ∈ X slika operatora A.

Teorema 1.16. Neka su X,Y normirani prostori i A ∈ L(X, Y ). Tada jeN (A) potprostor od X, a R(A) je potprostor od Y . Ako je, pored toga,A ∈ B(X,Y ), onda je N (A) zatvoren potprostor od X.

Definicija 1.43. Neka su X1, X2 potprostori normiranog prostora X sa svo-jstvomX1∩X2 = 0. Neka je A1 ∈ B(X1), A2 ∈ B(X2, X1), A3 ∈ B(X1, X2)i A4 ∈ B(X2). Tada je preslikavanje(

A1 A2

A3 A4

): X1 ⊕X2 → X1 ⊕X2

definisano kao:

(∀(x1 ⊕ x2) ∈ X1 ⊕X2)

(A1 A2

A3 A4

)(x1⊕x2) := (A1x1+A2x2)⊕(A3x1+A4x2).

Definicija 1.44. Neka su X i Y normirani prostori, i neka je A ∈ B(X,Y ).A je kompaktan operator ako svaki ogranicen skup iz X slika na relativnokompaktan skup u Y .

GLAVA 1. UVOD 17

Teorema 1.17. Neka je X normiran a Y Banahov prostor. Tada je B(X, Y )Banahov prostor.

Posledica 1.5. X ′ je Banahov prostor.

Teorema 1.18. [Teorema o ogranicenom inverzu] Neka su X i Y Ba-nahovi prostori i A ∈ B(X,Y ). Ako je preslikavanje A ,,1-1” i ,,na”, tadapostoji A−1 ∈ B(Y,X).

Definicija 1.45. Neka je X normiran prostor i P ∈ B(X). Ako je P = P 2,onda je P projektor.

Teorema 1.19. Neka je P projektor na normiranom prostoru X. Tada jeR(P ) ∩ N(P ) = 0, X = R(P ) ⊕ N(P ) i P je projektor sa X na R(P )paralelno sa N(P ).

Definicija 1.46. Neka je X Hilbertov prostor, P je projektor na X, i Mje zatvoren potprostor od X. Ako je R(P ) = M i N(P ) = M⊥, tada je Portogonalan projektor. Osim toga, P je projektor sa X na M paralelno saM⊥.

Teorema 1.20. Neka su X i Y Hilbertovi prostori i T ∈ B(X, Y ). Tadapostoji jedinstven ogranicen linearan operator T ∗ ∈ B(Y,X), tako da zasvako (x, y) ∈ X × Y vazi

⟨Tx, y⟩ = ⟨x, T ∗y⟩.

Definicija 1.47. Operator T ∗, odreden prethodnom teoremom, jeste Hilbert-adjungovan (Hilbert-konjugovan) operator od T .

Teorema 1.21. Neka su X, Y, Z Hilbertovi prostori, S, T ∈ B(X, Y ), V ∈B(Y, Z) i λ ∈ C. Tada je:(1) ⟨T ∗y, x⟩ = ⟨y, Tx⟩, za svako x ∈ X i y ∈ Y ;(2) (S + T )∗ = S∗ + T ∗;(3) (λT ) = λT ∗;(4) (T ∗)∗ = T ;(5) ∥T ∗∥ = ∥T∥;(6) ∥T ∗T∥ = ∥TT ∗∥ = ∥T∥2;(7) TT ∗ = 0 ako i samo ako je T = 0;(8) (V S)∗ = S∗V ∗;(9) 0∗ = 0 i I∗ = I.

Teorema 1.22. Neka suX, Y Hilbertovi prostori i T ∈ B(X,Y ). Ako postojiT−1 ∈ B(Y,X) tada postoji i (T ∗)−1 ∈ B(X,Y ) i vazi (T ∗)−1 = (T−1)∗.

GLAVA 1. UVOD 18

Definicija 1.48. Neka je X Hilbertov prostor i T ∈ B(X). Tada:(1) T je normalan operator ako T ∗T = TT ∗;(2) T je samokonjugovan (ermitski) operator ako je T = T ∗;(3) T je unitaran operator ako je T invertibilan i TT ∗ = T ∗T = I.

Teorema 1.23. Neka je X kompleksan Hilbertov prostor, T ∈ B(X). T jesamokonjugovan ako i samo ako za svako x ∈ X, ⟨Tx, x⟩ jeste realan broj.

Definicija 1.49. Neka je X kompleksan Hilbertov prostor, T ∈ B(X). T jepozitivan (ne-negativan) operator ako za svako x ∈ X \ 0 vazi

⟨Tx, x⟩ > 0 (⟨Tx, x⟩ ≥ 0).

Operator T je negativan ako je −T pozitivan. Operator je definitan ako jeili pozitivan ili negativan.

Posledica 1.6. Svaki definitan operator je ermitski.

Teorema 1.24. Ako je X Hilbertov prostor i T ∈ B(X), tada je TT ∗ pozi-tivan operator.

Definicija 1.50. Neka je X Hilbertov prostor, A i B ermitski operatori naX. Ako je A−B ≥ 0, onda je A ≥ B ili B ≤ A.

Definicija 1.51. Neka je X Hilbertov prosrtor, A samokonjugovan operatoriz B(X) i

m(A) = inf∥x∥=1

⟨Ax, x⟩, M(A) = sup∥x∥=1

⟨Ax, x⟩.

Brojevi m(A) i M(A) se nazivaju, respektivno, donja i gornja granica samo-konjugovanog operatora A.

Posledica 1.7. Neka je A ∈ B(X) samokonjugovan operator na Hilbertovomprostoru X. Tada je ∥A∥ = max|m(A)|, |M(A)| = sup

∥x∥=1

|⟨Ax, x⟩|.

Teorema 1.25. Neka je X Hilbertov prostor i T ∈ B(X). Tada postojesamokonjugovani operatori A,B ∈ B(X) tako da je T = A + iB. OperatoriA i B su jednoznacno odredeni operatorom T .

Definicija 1.52. Neka je X Hilbertov prostor i T ∈ B(X). Realan i imagi-naran deo operatora T oznacavaju se, respektivno, sa Re(T ) i Im(T ), i

Re(T ) =T + T ∗

2, Im(T ) =

T − T ∗

2i.

GLAVA 1. UVOD 19

Teorema 1.26. Neka je X Hilbertov prostor i T ∈ B(X). Sledeci uslovi suekvivalentni:(1) T je normalan operator;(2) Re(T ) i Im(T ) medusobno komutiraju;(3) ∥T ∗x∥ = ∥Tx∥ za svako x ∈ X.

Teorema 1.27. [Kvadratni koren pozitivnog operatora] Neka je XHilbertov prostor i T ∈ B(X) pozitivan operaror. Tada postoji jedinstvenpozitivan operator L ∈ B(X) tako da je L2 = T . Ako A ∈ B(X) komutirasa T , tada A komutira i sa L.

1.5 Banahove algebre sa jedinicom

Definicija 1.53. Vektorski prostor A nad poljem skalara F , jeste algebranad F ako je definisano preslikavanje

(a, b) 7→ a · b = ab : A×A → A,

tako da je A prsten, i pri tome za svako a, b, c ∈ A i svako λ ∈ F vazi:

(λa) · b = λ(a · b) = a · (λb).

Algebra A ima jedinicu, ukoliko prsten (A, ·) ima jedinicu. Algebra je normi-rana, ako je vektorski prostor A snadbeven normom ∥ · ∥, za koju vazi

∥ab∥ ≤ ∥a∥ · ∥b∥, a, b ∈ A.

Normirana algebra A je Banahova, ako je normiran vektorski prostor A Ba-nahov.Napomena. Nadalje podrazumevamo da je algebra A Banahova, komplek-sna i sa jedinicom 1.

Posledica 1.8. Neka je X Banahov prostor. Tada je B(X) kompleksnaBanahova algebra sa jedinicom I.

Definicija 1.54. Neka je a ∈ A. Spektar elementa a, u oznaci σ(a), je skupsvih komplesknih brojeva λ sa svojstvom da λ1− a nije invertibilan elementu A. Komplement skupa σ(a) u C se oznacava sa ρ(a) i naziva se rezovlentniskup elementa a.

Teorema 1.28. Neka je a ∈ A. Tada je σ(a) neprazan kompaktan podskupod C.

GLAVA 1. UVOD 20

Definicija 1.55. Neka je a ∈ A. Rezolventna funkija elementa a je funkcijaR(·, a) : ρ(a) → A definisana sa

R(λ, a) := (λ− a)−1, λ ∈ ρ(a).

Teorema 1.29. [Rezolventne jednacine] Neka je a, b ∈ A, λ, µ ∈ ρ(a) iη ∈ ρ(a) ∩ ρ(b). Tada je

R(λ, a)−R(µ, a) = −(λ− µ)R(λ, a)R(µ, a);

R(η, a)−R(η, b) = R(η, a)(a− b)R(η, b).

Teorema 1.30. Neka je a ∈ A. Ako je a invertibilan element u A, tada je

σ(a−1) = (σ(a))−1.

Definicija 1.56. Neka je a ∈ A. Spektralni poluprecnik elementa a, u oznacir(a), jeste

r(a) := sup|λ| : λ ∈ σ(a).

Teorema 1.31. [Teorema o spektralnom poluprecniku] Za svako a ∈ Avazi

r(a) = limn→+∞

∥an∥1/n.

Lema 1.1. [20] Neka je a, b ∈′ kalA. Ako je ab = ba, tada je

σ(a− b) ⊂ σ(a)− σ(b) = λ− µ : λ ∈ σ(a), µ ∈ σ(b).

1.6 Spektralna teorija operatora

Definicija 1.57. Neka je X Banahov prostor i A ∈ B(X). Tackasti spektaroperatora A jeste

σp(A) = λ ∈ C : λI − A nije 1− 1.

σp(A) je takode skup sopstvenih vrednosti operatora A.

Definicija 1.58. Neka je X Banahov prostor, A ∈ B(X) i neka je λ ∈ σp(A).Tada je x ∈ N (A − λI) \ 0 sopstveni vektor operatora A, koji odgovarasopstvenoj vrednosti λ.

GLAVA 1. UVOD 21

Definicija 1.59. Neka je X Banahov prostor i A ∈ B(X). Aproksimativnitackasti spektar operatora A jeste:

σa(A) = λ ∈ C : (∃(xn)n) ∥xn∥ = 1 i limn→+∞

∥(A− λI)xn∥ = 0.

Teorema 1.32. Neka je X kompleksan Banahov prostor i T ∈ B(X). Tadaje σp(T ) ⊂ σa(T ) ⊂ σ(T ). Osim toga, σa(T ) = ∅.

Definicija 1.60. Neka je X Banahov prostor i A ∈ B(X). Aproksimativnidefektni spektar operatora A, u oznaci σδ(A), je skup svih kompleksnih bro-jeva λ takvih da λI − A nije ,,na”.

Teorema 1.33. Neka je X Hilbertov prostor i A ∈ B(X) normalan operator.Tada je r(A) = ∥A∥.

Teorema 1.34. Neka je X Hilbertov prostor, A ∈ B(X), λ, µ ∈ σp(A)razlicite sopstvene vrednosti operatora A. Neka su x i y sopstveni vektorioperatora A koji odgovaraju sopstvenim vrednostima redom λ i µ. Tadasu x i y linearno nezavisni vektori. Ako je, pored toga, A samokonjugovanoperator, tada su x, y uzajamno ortogonalni vektori.

Teorema 1.35. Neka je X Hilbertov prostor, A ∈ B(X). Tada:(1) Ako je A pozitivan operator, onda je σ(A) ⊂ R+.(2) Ako je A invertibilan operator, onda 0 /∈ σ(A).(3) Ako je A ermitski operator, onda je σ(A) ⊂ R.(4) Ako je A unitaran operator, onda je σ(A) ⊂ z ∈ C : |z| = 1.(5) Ako je A normalan operator, onda je σ(A) = σa(A);(6) Ako je A∗ Hilbert-konjugovan operator od A, tada je σ(A∗) = σ(A) =λ : λ ∈ σ(A).Podsecamo da je A kompleksna Banahova algebra sa jedinicom 1.

Definicija 1.61. Ako je a ∈ A, tada je z(a) skup svih kompleksnih funkcijakoje su analiticke u okolini spektra σ(a). Domen ovakve funkcije f oznacenje sa Dom(f).

Teorema 1.36. Neka je a ∈ A i f ∈ z(a). Tada postoji otvoren skupΩ, tako da je ∂Ω = Γ za neki konacan cikl kontura γ u C, pri cemu jeσ(a) ⊂ Ω ⊂ Dom(f). Tada je Γ ∩ σ(a) = ∅ i Γ ⊂ Dom(f), i Ω je Kosijevdomen za f u odnosu na a.

Teorema 1.37. Neka je a ∈ A, f ∈ z(a) i neka je Ω Kosijev domen za f uodnosu na a, tako da je Γ = ∂Ω za neki konacan cikl kontura γ u C.Tada postoji integral (definisan kao granicna vrednost odgovarajucih Ri-manovih suma):

GLAVA 1. UVOD 22

f(a) :=1

2πi

∫γ

f(λ)(λ− a)−1dλ.

Teorema 1.38. Neka je a ∈ A. Preslikavanje f 7→ f(a) ima sledeca svojstva:(1) Ako je f, g ∈ z(a) i λ, µ ∈ C, tada je (λf + µg)(a) = λf(a) + µg(a) i(fg)(a) = f(a)g(a);(2) Ako je f(z) = 1 za svako z ∈ Dom(f), onda je f(a) = 1;(3) Ako je f(z) = 0 za svako z ∈ Dom(f), onda je f(a) = 0;(4) Ako je f(z) = z za svako z ∈ Dom(f), onda je f(a) = a.(5) Ako je κ ∈ A′, onda je κ(f(a)) = (κ f)(a).

Napomena. Preslikavanje f 7→ f(a) je algebarski homomorfizam iz z(a) uA.

Teorema 1.39. [Teorema o preslikavanju spektra] Ako je a ∈ A if ∈ z(a), onda je

σ(f(a)) = f(σ(a)).

Teorema 1.40. Ako je f ∈ z(a) i g ∈ z(f(a)), onda je h = g f ∈ z(a) ih(a) = g(f(a)).

Teorema 1.41. [Spektralna teorema za ogranicene ermitske opera-tore] Neka je X Hilbertov prostor. Za ermitski operator H ∈ B(X) postojijedinstvena familija (Eλ)λ∈R ortogonalnih projektora na X, tako da vazi:(1) Eα ≤ Eβ ako je α ≤ β;(2) funkcija λ 7→ Eλx je s desna neprekidna na R, za svako x ∈ X;(3) Eλ = 0 ako je λ < m i E = I ako je λ ≥M ;(4) Eλ je jak limes polinoma od H tj. za svako λ ∈ R postoji niz polinom(pn,λ)n∈N tako da je

Eλx = limn→+∞

pn,λ(H)x za svako x ∈ X;

(5) za svaki polinom p vazi

p(H) =

∫ M

m−0

p(λ)dEλ,

u smislu uniformne konvergencije u prostoru B(X). Poslednji integral jedefinisan kao granisna vrednost Riman-Stiltjesovih suma.

GLAVA 1. UVOD 23

Teorema 1.42. [Spektralna teorema za unitarne operatore]) Nekaje X Hilbertov prostor. Za svaki unitaran operator U postoji jedinstvenafamilija (Eλ)λ ∈ R ortogonalnih projektora na X, tako da vazi:(1) Eα ≤ Eβ ako je α ≤ β;(2) funkcija λ 7→ Eλx je s desna neprekidna na R, za svako x ∈ X;(3) Eλ = 0 ako je λ < 0 i E = I ako je λ ≥ 2π;(4) Eλ je jak limes niza polinoma od U i U−1;(5)

U =

∫ 2π

0

eiλdEλ,

gde je integral uzet u smislu uniformne konvergencije u prostoru B(X).(6) za svako C ∈ B(X) vazi [C,U ] = 0 ako i samo ako [C,Eλ] = 0, za svakoλ ∈ R.

Teorema 1.43. [Spektralna teorema za normalne operatore] Nekaje X Hilbertov prostor. Za svaki normalan operator N ∈ B(X) postojijedinstvena familija ortogonalnih projektora (Eλ)λ ∈ C na X, tako da vazi

N =

∫CλdEλ,

gde je, za svako λ ∈ C, Eλ = ErRe(λ)·Ei

Im(λ), pri cemu je N = Re(N)+i Im(N),

Re(N) =

∫RµdEr

µ,

i

Im(N) =

∫RηdEi

η.

1.7 Furijeova transformacija

Definicija 1.62. Neka je f : R → R realna funkcija, koja je apsolutnointegrabilna na R. Furijeova transformacija funkcije f u tacki s ∈ R, uoznaci f(s), jeste

f(s) =1√2π

∫ +∞

−∞f(x)e−isxdx.

Inverzna Furijeova transformacija funkcije f u tacki x ∈ R, u oznaci F−1[f ](x),jeste

F−1[f ](x) =1√2π

∫ +∞

−∞f(t)eitxdt.

GLAVA 1. UVOD 24

Definicija 1.63. Neka je f : Rn → C apsolutno integrabilna funkcija. Furi-jeova transformacija funkcije f u tacki t ∈ Rn, u oznaci f(t), jeste

f(t) =1

(2π)n/2

∫Rn

f(t)e−i⟨x,t⟩dx.

Inverzna Furijeova transformacija funkcije f u tacki x ∈ Rn, u oznaci F−1[f ](x),jeste

F−1[f ](x) =1

(2π)n/2

∫Rn

f(t)ei⟨t,x⟩dt.

Pri tome je ⟨·, ·⟩ skalarni proizvod vektora iz Rn:

x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn, ⟨x, y⟩ :=n∑k=1

xkyk.

Definicija 1.64. Analiticka funkcija f : Rn → C je brzo-opadajuca ubeskonacnosti, ako vazi

supx=(x1,...,xn)∈Rn

∣∣∣∣xk11 · . . . · xknn · ∂|m|

∂xm11 · . . . · ∂xmn

n

(f)(x)

∣∣∣∣ < +∞,

gde je |m| = m1+. . .+mn, pri cemu sumi, ki proizvoljni nenegativni indeksi,i = 1, n.

Definicija 1.65. Skup svih brzo-opadajucih funkcija u beskonacnosti na Rn

oznacen je sa Sn = S(Rn,C), i naziva se prostor Svarca.

Teorema 1.44. Furijeova i inverzna Furijeova transformacija su ogranicenilinearni operatori na Sn, i pri tome su ovi operatori uzajamno inverzni.

Teorema 1.45. Neka je f ∈ Ck(R), k ∈ N0. Ako su f, f ′, . . . , f (k) apsolutnointegrabilne na R, tada:(1) za svako n ∈ 0, . . . , k vazi f (n)(y) = (iy)nf(y);

(2) f(y) = o(1/|y|k), kada |y| → +∞.

Teorema 1.46. Neka je f ∈ Ck(Rn), k ∈ N0. Ako su f, f′, . . . , f (k) apsolutno

integrabilne na Rn, tada:

(1) za svako m ∈ 0, . . . , k vazi f (m)(y) = im1+...+mnym11 · . . . · ymn

n f(y), pricemu je m = m1 + . . .+mn i y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn;

(2) f(y) = o(1/∥y∥k), kada ∥y∥ → +∞, ∥y∥ :=√

⟨y, y⟩.

Glava 2

Resivost jednacine

2.1 Egzistencija resenja

Neka su (Vi, ∥ · ∥i), i = 1, 2, Banahovi prostori, B ∈ B(V1) i A ∈ B(V2)ograniceni linearni operatori na njima. Za unapred zadato Y ∈ B(V1, V2),interesuje nas pod kojim uslovima postoji X ∈ B(V1, V2) tako da vazi:

AX −XB = Y. (2.1)

Ukoliko drugacije nije naglaseno, prethodno uvedene pretpostavke ce bitipodrazumevane.Naredna teorema obezbeduje dovoljne uslove za egzistenciju i jedinstvenostresenja jednacine (2.1).

Teorema 2.1. [Silvester-Rosenblum] Ako su A i B takvi da je σ(A) ∩σ(B) = ∅, onda jednacina (2.1) ima jedinstveno resenje po X.Dokaz. Definisemo linearan operator T na B(V1, V2) na sledeci nacin. Zasvako X neka je T (X) := AX −XB. Sada je polazno tvrdenje ekvivalentnos tim da je T invertibilan ako je σ(A)

∩σ(B) = ∅. Da bismo dokazali posled-

nju jednakost, uvedimo pomocne operatore A(X) := AX i B(X) := XB.Sada je T = A − B i pri tom je [A,B] = 0. Primetimo da je σ(A) ⊂ σ(A) iσ(B) ⊂ σ(B). Sledi: 0 /∈ σ(A) − σ(B) ⊂ σ(A) − σ(B). Primenjujuci Lemu1.1, zakljucujemo da 0 /∈ σ(A− B) ≡ σ(T ), cime je tvrdenje dokazano.

Ako je (V1, ∥ · ∥1) ≡ (V2, ∥ · ∥2), tada su A,B,X, Y ∈ B(V1, ∥ · ∥1), teprethodni rezultat vazi na datoj Banahovoj algebri ogranicenih linearnih ope-ratora B(V1). Stavise, istim postupkom se pokazuje da je tvrdenje tacno ina proizvoljnoj Banahovoj algebri sa jedinicom, o cemu ce vise reci biti uPrimenama. U konacno-dimenzionalnom slucaju vazi jace tvrdenje.

25

GLAVA 2. RESIVOST JEDNACINE 26

Teorema 2.2. [Silvester] Neka su A ∈ Mn×n(C), B ∈ Mm×m(C), X, Y ∈Mn×m(C). Matricna jednacina AX − XB = Y ima jedinstveno resenje poX ako i samo ako je σ(A) ∩ σ(B) = ∅, za proizvoljno Y.Dokaz.⇐: Ovaj smer neposredno sledi iz Teoreme 2.1.⇒: Neka je λ zajednicka sopstvena vrednost za matrice A i B. Tada je λsopstvena vrednost za matricu A∗. Postoje ne-nula vektori u i v takvi da jeB(u) = λu i A∗(v) = λv. Neka je Y (u) := v. Pretpostavimo da postoji Xtakvo da je AX −XB = Y. No tada je

0 = λ⟨X(u), v⟩ − λ⟨X(u), v⟩ = ⟨X(u), λv⟩ − λ⟨X(u), v⟩= ⟨X(u), A∗(v)⟩ − ⟨λX(u), v⟩ = ⟨AX(u), v⟩ − ⟨XB(u), v⟩= ⟨(AX −XB)u, v⟩ = ⟨Y (u), v⟩ = ⟨v, v⟩ = ∥v∥2 > 0,

jer je v = 0, kao sopstveni vektor matrice A∗. Sledi kontradikcija.

Obrat ne vazi u beskonacno-dimenzionalnom slucaju, odnosno iz jedinstve-nosti resenja jednacine (2.1) ne sledi disjunktnost spektara operatora A i B.Ovu tvrdnju cemo ilustrovati sledecim primerom.

Primer 1. Neka je V beskonacno-dimenzionalan normiran prostor i B ∈B(V ) operator koji je na a pri tom nije 1-1. Neka je A = Y = 0 ∈ B(V ).Nadimo X ∈ B(V ) tako da vazi AX −XB = Y ⇔ XB = 0. Iz cinjenice daje B na sledi da je jedino moguce resenje X = 0. Medutim, B nije 1-1, te je0 ∈ σ(B) ∩ σ(A) = ∅.

Napomena. U prethodnom primeru smo iskoristili jedu osobinu koja karak-terise iskljucivo beskonacno-dimenzionalne prostore, a to je da postoji ogra-nicen linearan operator na datom prostoru koji jeste na a nije 1-1. Ovakvakonstrukcija nije moguca na konacno-dimenzionalnim prostorima, jer u pros-toru kvadratnih matrica jedini scenario gde je moguce da neka matrica nijeinvertibilna jeste da joj je rang strogo manji od dimenzije, odnosno da nije na.

Narednom teoremom dajemo dovoljne uslove za egzistenciju resenja (2.1),pri cemu ne zahtevamo jedinstvenost.

Teorema 2.3. Neka je σδ(A) ∩ σa(B) = ∅, gde su σδ(A) aproksimativnidefektni spektar operatora A, i σa(B) aproksimativni tackasti spektar oper-atora B. Tada jednacina (2.1) ima resenje po X, za svako Y.Dokaz. Uvedimo operatore A(X) := AX i B(X) := XB. Stavimo T =A− B, tj. T (X) := AX −XB. Moguce je pokazati da je:1) σδ(A) = σδ(A);

GLAVA 2. RESIVOST JEDNACINE 27

2) σδ(B) = σa(B);3) σδ(T ) ⊂ σδ(A)− σδ(B).Po pretpostavci teoreme, nula ne pripada aproskimativnom defektnom spek-tru operatora T, te je on na. Drugim recima, za svako unapred zadato Ypostoji X, tako da je T (X) = Y , tj. polazna jednacina je resiva.

2.2 Resivost jednacine kada su A i B

normalni operatori

U ovoj sekciji cemo podrazumevati da su H,H1 i H2 Hilbertovi prostori,A ∈ B(H2) i B ∈ B(H1) normalni operatori. Odgovarajuca tvrdenja zaegzistenciju resenja pod ovim pretpostavkama je dokazao Svajncberg [21].Kao posledicu cemo navesti Rozenblumovu teoremu, koja obuhvata slucajkada su operatori A i B samokonjugovani.

Lema 2.1. [21] Ako je

(Q RS T

)invertibilan operator koji deluje na direk-

tnoj sumi Hilbertovih prostora H1 ⊕H2, tada je SS∗ + TT ∗ invertibilan naH2.

Dokaz.Neka je W =

(Q RS T

)(Q RS T

)∗

. Sada je SS∗ + TT ∗ odozdo

ogranicen linearan operator. Za ∥fn∥ = 1 i lim ∥(SS∗ + TT ∗)fn∥ = 0, sledilobi da

lim ∥W 1/2(0⊕fn)∥2 = lim⟨W (0⊕fn), (0⊕fn)⟩ = lim⟨(SS∗+TT ∗)fn, fn⟩ = 0,

sto je u kontradikciji sa invertibilnoscu operatora W 1/2. S obzirom da jeSS∗ + TT ∗ ogranicen odozdo, sledi da je on invertibilan.

Teorema 2.4. [Putnam-Fagled] Neka su T,M i N linearni operatori nakompleksnom Hilbertovom prostoru. Ako su operatori M i N normalni, i Mje ogranicen operator, tada iz jednakosti MT = TN sledi M∗T = TN∗.

Teorema 2.5. [21] Neka su B i A ograniceni normalni operatori na kom-pleksnim Hilbertovim prostorima H1 i H2, redom. Tada jednacina (2.1) ima

resenje X ako i samo ako su matrice

(A 00 B

)i

(A Y0 B

)slicne na pros-

toru H1 ⊕H2.

Dokaz. Kako je

(I −X0 I

)(A 00 B

)(I X0 I

)=

(A AX −XB0 B

),

direktan smer ove teoreme je dokazan.

GLAVA 2. RESIVOST JEDNACINE 28

Obratno, pretpostavimo da su date operatorske matrice slicne. Tada(Q RS T

)(A 00 B

)=

(A Y0 B

)(Q RS T

),

gde je matrica

(Q RS T

)invertibilna. Odatle sledi da je QA − AQ = Y S,

RB − AR = Y T , SA = BS i TB = BT . Iz Putnam-Fagledove teoremesledi da SA∗ = B∗S i TB∗ = B∗T . Takode BSS∗ = SAS∗ = SS∗B, te Bkomutira i sa SS∗ i sa TT ∗. Sada

Y (SS∗ + TT ∗) = (QA− AQ)S∗ + (RB − AR)T ∗

= (QAS∗ +RBT ∗)− (AQS∗ + ART ∗)

= (QS∗ +RT ∗)B − A(QS∗ +RT ∗).

Iz dokazane leme sledi da je SS∗ + TT ∗ invertibilno. S obzirom da in-verz datog izraza komutira sa B, sledi da je Y = AX − XB za X =−(QS∗ +RT ∗)(SS∗ + TT ∗)−1.

Uslov normalnosti se moze donekle oslabiti. To nam obezbeduje narednirezultat.

Teorema 2.6. [21] Neka je C kolekcija svih uredenih parova (A,B) za koje

jednacina (2.1) ima resenje X ako i samo ako su

(A Y0 B

)i

(A 00 B

)slicni. Neka je (A,B) ∈ C. Tada:(1) (A1, B1) ∈ C gde su A1 i B1 slicni sa A, B, respektivno.(2) (B∗, A∗) ∈ C.(3) (A−1, B−1) ∈ C ako su A i B invertibilni.(4) (A+ λI,B + λI) ∈ C za svako λ ∈ C.Dokaz.

(1) Ako je S−1A1S = A, T−1B1T = B i R−1

(A1 00 B1

)R =

(A1 Y0 B1

),

onda

R−1

(S 00 T

)(A 00 B

)(S−1 00 T−1

)R

=

(S 00 T

)(A S−1Y T0 B

)(S−1 00 T−1

).

S obzirom da je (A,B) ∈ C, sledi da je S−1Y T = AX − XB za neko X,odnosno, Y = SAXT−1 − SXBT−1 = A1(SXT

−1)− (SXT−1)B1.

GLAVA 2. RESIVOST JEDNACINE 29

(2) Ako je

(B∗ Y0 A∗

)slicno sa

(B∗ 00 A∗

), onda je

(A Y ∗

0 B

)slicno sa(

A 00 B

). Sledi da je Y ∗ = AX−XB, odnosno Y = B∗(−X∗)−(−X∗)A∗.

(3) Ako su

(A−1 Y0 B−1

)i

(A−1 00 B−1

)slicni, onda su i njihovi inverzi

slicni. Prema tome je −AY B = AX −XB odnosno Y = A−1X −XB−1.(4) Ako umesto A i B stavimo redom A−λI i B−λI, onda jednakosti (1)-(3)i dalje vaze, te vazi i (4).

Iz prethodne teoreme vidimo da A i B ne moraju da budu normalni operatori,ali svakako moraju biti slicni nekim normalnim operatorima, koji ispunjavajuuslove Teoreme 2.5, da bi jednacina (2.1) imala resenje.

Posledica 2.1. [Rozenblum] [18] Neka su A i B ograniceni samokonju-govani operatori na separabilnim Hilbertovim prostorima H2 i H1, redom iY ∈ B(H1,H2). Jednacina (2.1) ima resenje ako i samo ako su operatorske

matrice

(A Y0 B

)i

(A 00 B

)slicne na H1 ⊕H2.

2.2.1 Operatori sa konacno-dimenzionalnim slikama

Lema 2.2. [19] Neka su A,B,C ∈ Mn×n(Fn[x]) kvadratne matrice ciji suelementi iz skupa polinoma nad poljem F stepena n. Potreban i dovoljanuslov da matricna jednacina

AX − Y B = C

ima resenja po X i Y je da matrice(A C0 B

)i

(A 00 B

)budu slicne.

Uzimajuci u obzir regularnost mnozenja matrica, Lema 2.2 vazi i kada sumatrice pravougaone. Naredna dva tvrdenja su poznata kao Rotove teoreme,i oba se pokazuju preko prethodne leme.

Teorema 2.7. [Rot][19] Neka su A ∈ Mm×r(F), B ∈ Ms×n(F) i C ∈Mm×n(F). Potreban i dovoljan uslov da matricna jednacina AX − Y B = Cima resenja po X ∈ Mr×n(F) i Y ∈ Mm×s(F) je da operatorske matrice(

A C0 B

)i

(A 00 B

)

GLAVA 2. RESIVOST JEDNACINE 30

budu slicne.

Teorema 2.8. [Rot]Neka suA ∈ Mm×r(F), B ∈ Ms×n(F) i C ∈ Mm×n(F).Potreban i dovoljan uslov da matricna jednacina AX −XB = C ima resenje

po X ∈ Mr×n(F) je da operatorska matrica

(A C0 B

)bude slicna sa(

A 00 B

).

Kljucnu ulogu u Rotovim teoremama igra konacna dimenzionalnost matrica.U beskonacno-dimenzionalnom slucaju one ne vaze, a kontraprimer je daoRozenblum [18]. Ekstenziju Rotovih rezultata ponovo pronalazimo u [21]:

Lema 2.3. Ako su

(A1 00 0

)i

(B1 00 0

)slicne na Hilbertovom prostoru

H1 ⊕H2, gde je H1 konacno-dimenzionalan, onda su A1 i B1 slicni operatorina H1.

Dokaz. Neka su A =

(A1 00 0

)i B =

(B1 00 0

)slicni na H1⊕H2 i neka

je dimH1 = k. Ako je λ = 0 onda je dimN (A1 − λI)n = dimN (A− λI)n =dimN (B − λI)n = dimN (B1 − λI)n, za svaki prirodan broj n. Takode

dimN (An1 ) = k − dim(R(An1 )) = k − dim(R(An)) =

k − dim(R(Bn)) = k − dim(R(Bn1 )) = dimN (Bn

1 ).

Kako je dimN (A1 − λI)n = dimN (B1 − λI)n za svako λ i svako n, sledi dasu A1 i B1 slicne.

Definicija 2.1. Neka su V1 i V2 dati prostori i L ∈ L(V1, V2). Za operatorL kazemo da je sa konacno-dimenzionalnom slikom (konacnog ranga) ako jeR(L) konacno-dimenzionalan potprostor od V2.

Teorema 2.9. Neka su A i B operatori sa konacno-dimenzionalim slikamana kompleksnim Hilbertovim prostorima. Tada jednacina AX − XB = Y

ima resenje ako i samo ako je

(A 00 B

)slicna sa

(A Y0 B

).

Dokaz. Primetimo da je svaki operatorA sa konacno-dimenzionalnom slikomna Hlbertovom prostoru H unitarno ekvivalentan sa operatorom oblika(

A1 00 0

),

gde je A1 operator na konacno-dimenzionalnom potporstoru od H. Pred-stavimo H ortogonalnom sumom H = H1 ⊕ H2, gde je H1 konacno-dimen-zionalan prostor koji sadrzi slike preslikavanja A i A∗. Iz Teoreme 2.6 (1)

GLAVA 2. RESIVOST JEDNACINE 31

mozemo pretpostaviti da su dati operatori A i B vec u ovom obliku. Sada

je pretpostavka da su

(A Y0 B

)i

(A 00 B

)slicne ekvivalentna sa pret-

postavkom da je A1 0 0 00 0 0 00 0 B1 00 0 0 0

slicna sa

A1 0 Y1 Y20 0 Y3 Y40 0 B1 00 0 0 0

.

Jednakost slika zahteva da Y4 = 0, Y2 = A1X2 i Y3 = −X3B1 za neke X2 iX3. Dalje, posmatrajmo slicnost matrica

I 0 0 X2

0 I X3 00 0 I 00 0 0 I

A1 0 Y1 A1X2

0 0 −X3B1 00 0 B1 00 0 0 0

I 0 0 −X2

0 I −X3 00 0 I 00 0 0 I

=

A1 0 Y1 00 0 0 00 0 B1 00 0 0 0

.

Nakon zamene mesta vrstama i kolonama, dobijamo slicnost matricaA1 0 0 00 B1 0 00 0 0 00 0 0 0

i

A1 Y1 0 00 B1 0 00 0 0 00 0 0 0

.

Lema 2.3 implicira slicnost matrica

(A1 00 B1

)i

(A1 Y10 B1

), dok Rotova

Teorema 2.7 za konacne matrice implicira Y1 = A1X1 − X1B1, za neko X1.Konacno, (

Y1 Y2Y3 Y4

)=

(A1X1 = X1B1 A1X2

−X3B1 0

)=(

A1 00 0

)(X1 X2

X3 0

)−(X1 X2

X3 0

)(B1 00 0

),

odnosno Y = AX −XB.

GLAVA 2. RESIVOST JEDNACINE 32

2.2.2 Slucaj kada je A = B

Definicija 2.2. Derivacija operatora A u tacki X je ∆A(X) := AX −XA.

Naredna teorema je direktna posledica Teoreme 2.5, kada je A = B.

Teorema 2.10. Neka je A ogranicen normalan operator na kompleksnom

Hilbertovom prostoru. Tada su

(A 00 A

)i

(A Y0 A

)slicne matrice ako i

samo ako je Y u slici derivacije operatora A.

Definicija 2.3. Neka je (V, ∥ · ∥) dati Banahov prostor. Skup svih nizova

(xn)n∈N iz V , sa osobinom da+∞∑n=1

∥xn∥2 konvergira, oznacavamo sa l2V . Ako

se prostor V podrazumeva, onda prostor nizova sa kvadrat-apsolutno kon-vergentnim redovima oznacavamo jednostavno l2.

Definicija 2.4. Operator U1 : l2 → l2, definisan kao:

(∀x ≡ (x1, x2, x3, . . .) ∈ l2) U1(x) := (0, x1, x2, x3, . . .)

nazivamo desni jednostrani pomeraj (sift). Operator U2 : l2 → l2, definisankao:

(∀x ≡ (x1, x2, x3, . . .) ∈ l2) U2(x) := (x2, x3, . . .)

nazivamo levi jednostrani pomeraj (sift). Operator je jednostrani pomerajako je on ili desni ili levi jednostrani pomeraj.

Teorema 2.11. [21] Neka je U jednostrani pomeraj. Tada postoji X tako

da je UX−XU = Y ako i samo ako su matrice

(U 00 U

)i

(U Y0 U

)slicne.

U slucaju kada U nije operator jednostranog pomeraja, iz slicnosti matrica(A 00 A

)i

(A Y0 A

)ne mora da sledi da je Y iz kodomena derivacije

operatora A. Medutim, Y svakako mora biti komutator nekih elemenata izB(H1,H2). Sledece tvrdenje nam govori upravo to. Dokaz se moze naci u[21] i tamo navedenim referencama.

Teorema 2.12. [21] Neka je A ogranicen linearan operator na komplek-

snom Hilbertovom prostoru H. Ako su matrice

(A 00 A

)i

(A Y0 A

)slicne, tada je Y komutator.

GLAVA 2. RESIVOST JEDNACINE 33

2.3 Resivost jednacine kada su A, B i C

neograniceni operatori

Definicija 2.5. Neka je K Banahov prostor i (T (t))t≥0 jednoparametarskafamilija linearnih operatora iz L(K). Ukoliko za (T (t))t≥0 vazi(1) TtTs = Tt+s, za svako t, s ≥ 0,(2) T0 = I,(3) lim

t→t0Ttx = Tt0x, za svako t0 ≥ 0 i svako x ∈ K,

tada je (T (t))t≥0 semigrupa (polugrupa) klase C0.

Definicija 2.6. Neka je K Banahov prostor i (T (t))t≥0 semigrupa linearnihoperatora klase C0 iz L(K). Infinitesimalni generator A polugtupe (T (t))t≥0

je linearno preslikavanje iz L(K) zadato kao

Ax = limh→0+

h−1(Th − I)x,

definisano tamo gde limes na desnoj strani prethodne jednakosti postoji:

D(A) =

x ∈ K : ∃ lim

h→0+h−1(Th − I)x

.

Egzistencija infinitesimalnog generatora date polugrupe klase C0 igra kljucnuulogu u polugrupama operatora, kako u teoriji tako i u primenama. U kvant-noj mehanici (o cemu ce biti vise reci u Primenama) se aksiomatski po-drazumeva da se evolucija procesa u vremenu modeluje jednoparametarskomunitarnom grupom klase C0, ciji generatorni element odgovara ukupnoj en-ergiji sistema.Formulisimo rezultat od fundamentalnog znacaja za generatorni element datejednoparametarske C0−polugrupe.

Teorema 2.13. [23] Domen infinitesimalnog generatora C0−polugrupe lin-earnih operatora iz L(K) je gust u datom Banahovom prostoru K.

Definicija 2.7. Neka je V proizvoljan normiran prostor. Operator A ∈ L(V )je neogranicen ako

(∀M > 0)(∃x ∈ V )∥Ax∥ > M∥x∥.

Lema 2.4. Neka je V beskonacno-dimenzionalan normiran prostor. Tadapostoji operator A ∈ L(K) koji nije ogranicen.

GLAVA 2. RESIVOST JEDNACINE 34

Neka su A i −B generatorni elementi za C0−semigrupe (T (t)) i (S(t)) naBanahovim prostorima K i H, respektivno, dok je C neogranicen operatorsa H na K. Posmatramo jednacinu

AX −XB = C. (2.2)

Definicija 2.8. Neka je B linearan operator na H. Operator C : H → Kje B-ogranicen ako je D(B) ⊂ D(C) i operator C(λ − B)−1 je ogranicen zamakar jedno (posledicno, za sve) λ iz rezolventnog skupa za B.

Napomena. Ako je C zatvoren operator1, takav da je D(B) ⊂ D(C), ondaje C B-ogranicen.

Definicija 2.9. Niz linearnih operatora (Ln) ∈ L(K,H) konvergira jako kalinearnom operatoru L ∈ L(K,H), u oznaci

L = s− limn→+∞

Ln,

ako za svakox ∈

∩n∈N

(D(An) ∩ D(A))

vazilim

n→+∞Anx = Ax.

Topologija indukovana ovakvom konvergencijom je jaka topologija na pros-toru operatora L(K,H).

Definicija 2.10. Niz vektora (xn) ∈ K konvergira slabo ka vektoru x ∈ K,u oznaci

x = w − limn→+∞

xn,

ako za svaki ogranicen funkcional f ∈ K′ f(xn) konvergira ka f(x). Topologijaindukovana ovakvom konvergencijom je slaba topologija na prostoru K.

Definicija 2.11. Niz operatora (Ln) ∈ L(K,H) konvergira uniformno (ponormi) ka linearnom operatoru L ∈ L(K,H), u oznaci

L = limn→+∞

Ln,

ako je limn→∞

∥Ln − L∥ = 0. Topologija indukovana ovakvom konvergencijom

je uniformna topologija na prostoru operatora L(K,H).

1Operator C je zatvoren ako mu je graf (x,Cx) : x ∈ D(C) zatvoren podskup odK ×H.

GLAVA 2. RESIVOST JEDNACINE 35

Teorema 2.14. [12] Neka su A i −B generatori C0−polugrupa (T (t)) i(S(t)), t ≥ 0, na K i H, respektivno. Neka su

Q(t) : D(B) ⊂ H → K : Q(t)(f) := T (t)CS(t)(f), t ≥ 0,

R(t) : D(B) ⊂ H → K : R(t)(f) := −∫ t

0

Q(s)fds, t ≥ 0.

Pretpostavimo da:(1) zatvorenje familije Q(t)ft≥0 u slaboj topologiji sadrzi 0 za svako f ∈D(B);(2) R(t) ima neprekidnu ekstenziju do ogranicenog linearnog operatora, zasvako t ≥ 0 i familija R(t)t≥0 je relativno kompaktna u slaboj topologiji.

Tada jednacina (2.2) ima ograniceno resenje. Obratno, ako (2.2) ima ogra-niceno resenje, tada je R(t) ogranicen, za svako t ≥ 0. Stavise, ako za svakiogranicen operator Y iz H u K operator T (t)Y S(t) konvergira ka nuli kadt → +∞ u slaboj (resp. jakoj, uniformnoj) operatorskoj topologiji, tada jeresenje X jednacine (2.2) jedinstveno i R(t) konvergira ka X u slaboj (resp.jakoj, uniformnoj) operatorskoj topologiji.

Napomena. Operator R(t) je dobro definisan za svako t ≥ 0 jer je preslika-vanje t 7→ Q(t)f = T (t)CS(t)f = T (t) ·CR(λ,B) ·S(t) · (λ−B)f neprekidnoza svako f ∈ D(B) i svako λ ∈ ρ(B).

Dokaz. Neka je λ ∈ ρ(B) i definisemo C1 := CR(λ,B). Tada je C1

ogranicen linearan operator. Za t ≥ 0, definisimo operatore Q1(t) : H → K iR1 : H → K kao

Q1(t)f := T (t)C1S(t)f,

R1(t)f := −∫ t

0

Q1(s)fds.

Tada su Q1(t) i R1(t) ograniceni linearni operatori. Posmatramo jednacinu

AY − Y B = C1. (2.3)

Po pretpostavci teoreme, postoji mreza tα → ∞ takva da T (tα)CS(tα) slabokonvergira ka 0 i R(tα) slabo konvergira ka ogranicenom linearnom operatoruQ. No sada T (tα)C1S(tα) slabo konvergira ka 0 i R1(tα) slabo konvergiraka ogranicenom operator QR(λ,B). Sledi da (2.3) ima ograniceno resenje,naime Y = QR(λ,B). Sada se Y (λ − B) moze prosiriti do ogranicenog

GLAVA 2. RESIVOST JEDNACINE 36

linearnog operatora Q. Pokazacemo da je upravo Q = Y (λ−B) resenjejednacine (2.2).Neka je f ∈ D(B2). Imamo (λ−B)f ∈ D(B) i

AQf −QBf = AY (λ−B)f − Y (λ−B)Bf

= (AY − Y B)(λ−B)f

= C1(λ−B)f = Cf.

(2.4)

Sledi da je AQf −QBf = Cf , te je

T (t)AQS(t)f − T (t)QS(t)Bf = T (t)CS(t)f, (2.5)

za svako f ∈ D(B2). Poznat je rezultat ([12]) da je, za svako f ∈ D(B2) isvako ϕ ∈ D(A′),

d

dt⟨T (t)QS(t)f, ϕ⟩ = ⟨T (t)AQS(t)f, ϕ⟩−⟨T (t)QS(t)Bf, ϕ⟩ = ⟨T (t)CS(t)f, ϕ⟩.

(2.6)Sada je

⟨R(t)f, ϕ⟩ = −∫ t

0

⟨T (s)CS(s)f, ϕ⟩ds

= −∫ t

0

d

ds⟨T (s)QS(s)f, ϕ⟩ds

= −⟨T (t)XS(t)f −Qf, ϕ⟩,

(2.7)

odakle zakljucujemo da je

R(t)f = Qf − T (t)QS(t)f (2.8)

za svako f ∈ D(B2). S obzirom da su operatori u (2.8) ograniceni i D(B2)je gust u H, sledi da jednakost (2.8) vazi za svako f ∈ D(B). Neka je sadaf ∈ D(B) i ϕ ∈ D(A′).

⟨T (t)CS(t)f, ϕ⟩ = d

dt

∫ t

0

⟨T (s)CS(s)f, ϕ⟩ds = − d

dt⟨R(t)f, ϕ⟩

=d

dt⟨T (t)QS(t)f −Qf, ϕ⟩ = d

dt⟨T (t)QS(t)f, ϕ⟩

= ⟨T (s)AQS(s)f − T (s)QS(s)Bf, ϕ⟩,

(2.9)

odakle sledi

T (t)AQS(t)f − T (t)QS(t)Bf = T (t)CS(t)f ∀t ≥ 0.

GLAVA 2. RESIVOST JEDNACINE 37

Stavimo li da je t = 0, imamo AQf −QBf = Cf , za svako f ∈ D(B).Obratno, ako je X resenje (2.2), onda istom argumentacijom sledi

R(t)f = Xf − T (t)XS(t)f

za svako f ∈ D(B). S obzirom da su svi operatori na desnoj strani u posled-njoj jednakosti ograniceni i D(B) je gust skup u H, R(t) ima neprekidnu ek-stenziju do ogranicenog linearnog operatora naH. Stavise, ako T (t)XS(t) →0 u slaboj (respektivno, jakoj, uniformnoj)operatorskoj topologiji, onda R(t)→ X slabo (respektivno, jako, uniformno). Sledi da jeX jedinstveno odredeno.Definicija 2.12. Za polugrupu (T (t))t≥0 generisanu operatorom A, kazemoda ima granicu rasta w(A), gde je

w(A) = infλ ∈ R : ∃M > 0 tako da je ∥T (t)∥ ≤Meλt, ∀t ≥ 0.

Ako je w(A) < 0, onda je polugrupa (T (t))t≥0 uniformno eksponencijalnostabilna.

Teorema 2.15. Neka je w(A) +w(−B) < 0 i neka je familija (R(t))t≥0 uni-formno ogranicena. Tada jednacina (2.2) ima jedinstveno ograniceno resenje.Dokaz. Kako je AX −XB = (A+ λ)X −X(B + λ) mozemo pretpostavitida je w(S) = 0 i w(T ) < 0. Tada za svako λ ∈ ρ(B) vazi

∥T (t)CS(t)∥ = ∥T (t)CR(λ,B)S(t)(λ−B)f∥≤M1e

w(A)t · ∥CR(λ,B)∥ ·M2 · ∥(λ−B)f∥ → 0.(2.10)

Sada je uslov (1) iz Teoreme 2.14 ispunjen. Takode, kada t1, t2 → +∞, ikada je f ∈ D(B), sledi da je

∥R(t1)f −R(t2)f∥ ≤∫ t2

t1

∥T (s)CS(s)f∥ds

≤∫ t2

t1

M1ew(A)s∥CR(λ,B)∥M2∥(λ−B)f∥ds

≤M

∫ t2

t1

ew(A)sds→ 0, t1, t2 → +∞.

(2.11)

S obzirom da je familija R(t) uniformno ogranicnena i da je D(B) gust skupu H, sledi da R(t) jako konvergira ka ogranicenom operatoru. Sada je zaTeoremu 2.14 uslov (2) zadovoljen. Primenjujuci sada Teoremu 2.14, sledida postoji resenje za (2.2), a kako je ∥T (t)Y S(t)f∥ → 0 kada t→ ∞ za svakiogranicen operator Y ∈ B(H,K), to je granicna vrednost familije jedinstvena,odnosno neprekidna ekstenzija operatora lim

t→+∞R(t) je jedinstvena.

Glava 3

Konstrukcija resenja

3.1 Analiticka resenja

U ovom odeljku cemo predstaviti rezultate koji daju konstrukciju teorijskog(egzaktnog) resenja Silvester-Rozenblumove jednacine. S obzirom da su onapredstavljena Nojmanovim redom ili Rimanovim integralom, slabo su upotre-bljiva u praksi, medutim, daju pogodnu teorijsku osnovu za konstruisanjeodgovarajucih numerickih metoda, koji imaju jako bitnu ulogu u primenamaove jednacine.

3.1.1 Resenja dobijena funkcionalnim racunomogranicenih operatora

Neka su na Banahovim prostorima V1 i V2 dati ograniceni linearni operatoriA ∈ B(V2), B ∈ B(V1) i Y ∈ B(V1, V2). Pretpostavimo da postoji X ∈B(V1, V2) tako da vazi jednakost

AX −XB = Y. (3.1)

Teorema 3.1. [2] Neka su A i B operatori takvi da je σ(B) = z : |z| < ρi σ(A) ⊂ z : |z| > ρ, za neko ρ > 0. Tada je operator X iz (3.1) zadat kao:

X =+∞∑n=0

A−n−1Y Bn. (3.2)

Dokaz. Dokazacemo da operatorski red u (3.2) konvergira. Neka su ρ1 <ρ < ρ2 takvi da je σ(B) ⊂ K(0, ρ1) i σ(A) ⊂ K[0, ρ2]

c, gde su K(0, ρ1)i K(0, ρ2) koncentricni diskovi u kompleksnoj ravni, sa centrima u nuli ipoluprecnika redom ρ1 i ρ2. Tada je σ(A−1) ⊂ K(0, ρ−1

2 ). Prema formuli za

38

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 39

spektralni radijus operatora B, r(B) = limn→+∞

∥Bn∥1/n, postoji prirodan broj

N, takav da je za svako (n ≥ N) ∥Bn∥ < ρn1 i ∥A−n∥ < ρ−n2 . Otud sledi daje ∥A−n−1Y Bn∥ < (ρ1

ρ2)n∥A−1Y ∥, odnosno operatorski red u (3.2) konvergira

po normi. Drugim recima, postoji ogranicen linearan operaor X, takav da je

X =+∞∑n=0

A−n−1Y Bn.

Sada je

AX = A

+∞∑n=0

A−n−1Y Bn = AA−1

+∞∑n=0

A−nY Bn =+∞∑n=0

A−nY Bn

= Y ++∞∑n=1

A−nY Bn,

XB = (+∞∑n=0

A−n−1Y Bn)B =+∞∑n=0

A−n−1Y Bn+1 =+∞∑n=1

A−nY Bn.

Direktnom proverom, sledi da je: AX −XB = Y.

Teorema 3.2. [Rozenblum] Neka je Γ unija zatvorenih kontura u kom-plesknoj ravni, takva da je ukupan broj obilazaka Γ oko σ(A) jeste 1, a brojobilazaka Γ oko σ(B) jeste 0. Tada se X iz jednacine (3.1) moze izraziti uobliku:

X =1

2πi

∫Γ

(A− ξ)−1Y (B − ξ)−1dξ. (3.3)

Dokaz. Ako je AX −XB = Y onda za svaki kompleksan broj ξ vazi:

(A− ξ)X −X(ξ −B) = Y.

Ako su A− ξ i B − ξ invertibilni, sledi

X(B − ξ)−1 − (A− ξ)−1X = (A− ξ)−1Y (B − ξ)−1. (3.4)

Neka je Γ unija zatvorenih kontura, sa osobinama kao u pretpostavci teoreme,tj. IndΓ(σ(A)) = 1 i IndΓ(σ(B)) = 0. Sada se, delovanjem operatora L 7→∫ΓL u jednakosti (3.4) dobija:

0− (−2πi) · IV2X =

∫Γ

(A− ξ)−1Y (B − ξ)−1dξ,

tj. (3.3) vazi.

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 40

Ako je Re(a) > Re(b), onda je nesvojstveni integral+∞∫0

et(b−a)dt konvergentan

i njegova vrednost je 1b−a . Zbog toga se, pod uslovom da je Re(a) > Re(b),

resenje jednacine ax− xb = y moze zapisati u obliku:

x =

+∞∫0

et(b−a)ydt. (3.5)

Definicija 3.1. Neka su X, Y normirani prostori, U otvoren podskup od X,f : U → Y dato preslikavanje i x0 ∈ U . Ako postoji F ∈ L(X, Y ), tako daje, za svako h ∈ X tako da je x0 + h ∈ U ,

limh→0

∥f(x0 + h)− f(x0)− F (h)∥∥h∥

= 0,

tada je F Freseov izvod funkcije f u tacki x0. Tu vezu obelezavamo kaoF = f ′

x0.

Lema 3.1. [17] Neka su V1 i V3 Hilbertovi prostori, A ∈ B(V1), B ∈ B(V2) iY ∈ B(V1, V2). Neka su a i b realni brojevi, takvi da je a > b i a ≥ A + A∗,b ≥ B +B∗. Definisimo T ∈ B(B(V1, V2)) kao T (X) := AX −XB. Tada∫ ∞

0

∥etT (Y )∥dt ≤ 1

2(a− b)−1∥Y ∥.

Teorema 3.3. [Hajnc] Neka su V1, V2 Hilbertovi prostori, B ∈ B(V1), A ∈B(V2) operatori ciji su spektri sadrzani u otvorenoj levoj, odnosno otvorenojdesnoj kompleksnoj poluravni, redom. Tada se resenje jednacine (2.1) mozeizraziti u obliku

X =

+∞∫0

e−tAY etBdt, (3.6)

gde je integral u (3.6) uzet u smislu ravnomerne konvergencije u prostoruoperatora.

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 41

Dokaz. Definisemo T ∈ B(B(V1, V2)) kao T (X) := AX − XB. Sada je,primenom Kosijeve integralne formule,

etT (Y ) =1

2πi

∫Γ

et(B−z)Y (z − A)−1dz

= etBY1

2πi

∫Γ

e−tz(z − A)−1dz

= etBY e−tA,

gde je Γ kontura koja obilazi σ(A), pozitivno orijentisana u odnosu na oblastkoju ogranicava. Iz Leme 3.1 sledi da je integral u (3.6) apsolutno konver-gentan, te je i konvergentan, jer je B(V1, V2) Banahov prostor. Sada je

−T∫ ∞

0

etTdt = −∫ ∞

0

T · etTdt = −∫ ∞

0

d

dtetT

= − limt→+∞

etT + I = I,

te je −∫∞0etTdt ogranicen linearan operator, inverzan za T na B(V1, V2).

Kako su V1 i V2 Banahovi prostori, po teoremi o ogranicenom inverzu, T−1

je ogranicen i definisan na celom B(V1, V2). Sledi da je X u (3.6) resenjepolazne jednacine (2.1).

3.1.2 Resenje pomocu znaka operatora

Prethodna teorema se moze dokazati i pomocu funkcije znaka operatora.Neka je T proizvoljna kvadratna matrica, koja nema cisto imaginarnu sop-stvenu vrednost. Predstavimo je u obliku T = SJS−1, gde je J Zordanovanormalna forma matrice T . Preptostavimo da je J predstavljena blok ma-

tricama: J =

(J1 00 J2

), gde se sopstvene vrednosti matrica J1 i J2 nalaze

u otvorenoj desnoj, odnosno otvorenoj levoj poluravni, respektivno.

Definicija 3.2. Znak (signum) funkcija date matrice T je

sgn(T ) := S

(I 00 −I

)S−1.

Neka je sada T ogranicen linearan operator, u cijem spektru se ne nalazi nijedan cisto imaginaran kompleksan broj. Neka je σ(T ) = σ1

∪σ2, gde je σ1

sadrzano u otvorenoj desnoj a σ2 u otvorenoj levoj poluravni. Neka su Γione konture, za koje vazi IndΓi

(σi) = 1 i IndΓi(σ \ σi) = 0, i = 1, 2. Za

j ∈ 1, 2, stavimo:

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 42

Tj =1

2πi

∫Γj

(ξ − T )−1dξ.

Definicija 3.3. Znak (signum) funkcija datog operatora T je

sgn(T ) := T1 − T2 = 2T1 − 1.

Neka vazi AX −XB = Y. Tada je(A Y0 B

)=

(I −X0 I

)(A 00 B

)(I X0 I

). (3.7)

Ako je σ(A) sadrzano u otvorenoj desnoj, a σ(B) sadrzano u otvorenoj levojpoluravni, onda je

sgn

(A Y0 B

)=

(I −X0 I

)(I 00 −I

)(I X0 I

)=

(I 2X0 −I

).

(3.8)Sada se X moze procitati iz prethodne jednacine, pod pretpostavkom da je

moguce odrediti sgn

(A Y0 B

). Pored definicije, znak operatora je moguce

odrediti i pomocu integralne reprezentacije:

sgn(T ) =2

πT

+∞∫0

(λ2 + T 2)−1dλ.

Korisniji nacin za racunanje znaka operatora je iterativni postupak, analoganNjutnovom metodu za nalazenje kvadratnog korena. Stavimo T0 := T idefinisemo iterativni postupak: Tk+1 := 1

2(Tk + T−1

k ). Tada niz Tkk∈N0

konvergira ka sgn(T ) sa kvadratnom stopom konvergencije. Vise reci o ovomece biti u sekciji Numericko resavanje jednacine.

3.1.3 Normalni, ermitski i unitarni operatori

U primenama se nailazi na problem resavanja Silvesterove jednacine podnekim dodatnim uslovima. Ti uslovi najcesce podrazumevaju da su opera-tori A i B normalni, unitarni, samokonjugovani ili cak definitni. Narednatvrdenja obuhvataju rezultate pod tim okolnostima.U ovoj sekciji ponovo razmatramo jednacinu (3.1), pod pretpostavkama dasu dati vektorski prostori V1 i V2 Hilbertovi.

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 43

Ako su A i B ermitski operatori, tada su iA i iB anti-ermitski i njihovi spektrileze na imaginarnoj osi. Ova cinjenica onemogucava primenu Teoreme 3.3,

jer nesvojstveni integral+∞∫0

e−tAY etBdt ne konvergira. Jedan od nacina za

prevazilazenje ovog problema je uvodenje pomocne skalarne funkcije f , kojaobezbeduje konvergenciju tog integrala. Tada se (3.6) transformise u izraz

X =

0∫−∞

e−itAY eitBf(t)dt.

Kako su u prethodnoj jednakosti operatori e−itA i eitB unitarni, sledi da Ri-

manov operatorski integral0∫

−∞e−itAY eitBf(t)dt konvergira ako je f apsolutno

integrabilna funkcija na R. Problem koji se sada prirodno namece je sledeci:

kako uociti skalarnu funkciju f tako da za operator X :=0∫

−∞e−itAY eitBf(t)dt

vazi da je resenje Silvesterove jednacine (2.1)?U skalarnom slucaju, trazena funkcija f je ona, za koju vazi f(a− b) = 1

a−b ,

gde je f(s) =+∞∫−∞

e−itsf(t)dt Furijeova transformacija1 date funkcije (koja

uvek postoji, na klasi apsolutno integrabilnih funkcija na R). Ova relacija jeprosiriva i do algebre ogranicenih ermitskih operatora, sto ilustruje sledecateorema.

Teorema 3.4. Neka su A i B ermitske matrice, takve da je σ(A)∩σ(B) = ∅.Neka je f ma koja apsolutno integrabilna funkcija na R za ciju Furijeovutransformaciju vazi da je f(s) = 1

s, kad god je s ∈ σ(A) − σ(B) = λ − µ :

λ ∈ σ(A), µ ∈ σ(B). Tada se resenje jednacine (3.1) moze predstavitiStiltjesovim integralom:

X =

+∞∫−∞

e−itAY eitBf(t)dt. (3.9)

Dokaz. Neka su α ∈ σ(A) i β ∈ σ(B) sa odgovarajucim sopstvenim vek-torima u i v, respektivno. Kako je eitA unitaran operator, sledi da je (eitA)∗ =e−itA, te je

⟨Ae−itAY eitBv, u⟩ = ⟨Y eitBv, eitAAu⟩ = eit(β−α)α⟨Y v, u⟩.1Jednostavnosti radi, koeficijent 1√

2πje izbacen.

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 44

Ako je X obezbedeno konvergentnim nesvojstvenim integralom u (3.9), ondaje

⟨(AX −XB)v, u⟩ = f(α− β) · (α− β)⟨Y v, u⟩ = ⟨Y v, u⟩.Kako su sopstveni vektori za A koji odgovaraju razlicitim sopstvenim vred-nostima uzajamno ortogonalni, te samim tim i linearno nezavisni, oni cinebazu (celog) prostora na kom deluje A. Analogno vazi i za matricu B.Uzimajuci u obzir da je skalarni proizvod ogranicen linearan funkcional,posmatran kao preslikavanje po prvoj koordinati (Risova lema), sledi da jeAX −XB = Y . Posledica 3.1. Neka su A i B ograniceni ermitski operatori, ciji se spektrisastoje iskljucivo od odgovarajucih sopstvenih vrednosti, tj. spektri su imtackasti. Ako je σ(A)∩ σ(B) = ∅, i funkcija f uzeta kao u Teoremi 3.4, tadase resenje jednacine (3.1) moze izraziti nesvojstvenim Stiltjesovim integralom(3.9).

Ova posledica omogucuje ekstenziju reprezentacije (3.9) na prostor ermitskihoperatora, jer je skup operatora sa (realnim) tackastim spektrima svuda gustu skupu ermitskih operatora.

Posledica 3.2. Neka su A i B ograniceni ermitski operatori. Ako je σ(A)∩σ(B) = ∅, i funkcija f uzeta kao u Teoremi 3.4, tada se resenje jednacine(3.1) moze izraziti nesvojstvenim Stiltjesovim integralom (3.9).

Sada mozemo rezultat da prosirimo normalne operatore.

Teorema 3.5. Neka su A i B normalni operatori, takvi da je σ(A)∩σ(B) =∅. Neka je A = A1 + iA2 i B = B1 + iB2, gde su A1 i A2 komutativniermitski operatori, kao i B1 i B2. Neka je f apsolutno integrabilna na (R2),cija Furijeova transformacija ima osobinu da je f(s1, s2) = 1

s1+is2, za svako

s1 + is2 ∈ σ(A) − σ(B). Tada se resenje jednacine (3.1) moze predstaviti uobliku

X =

+∞∫−∞

+∞∫−∞

e−i(t1A1+t2A2)Y ei(t1B1+t2B2)f(t1, t2)dt1dt2. (3.10)

Teorema 3.6. Neka su A i B unitarni operatori, sa osobinom da je σ(A) ∩

σ(B) = ∅. Neka je ann∈Z proizvoljan niz, za koji vazi+∞∑

n=−∞ane

inθ = 11−eiθ ,

za svako eiθ ∈ σ(A) · (σ(B))−1. Tada se resenje jednacine (2.1) moze izrazitiu obliku

X =+∞∑

n=−∞

anA−n−1Y Bn.

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 45

3.2 Resavanje pomocu

Zordanove normalne forme

Neka je A ∈ Mm×m(F), B ∈ Mn×n(F) i X,C ∈ Mm×n,

det(A) =m∑i=1

(λ − λi)αi ,∑m

i=1 αi = m, i neka je det(B) =n∑j=1

(µ − µj)nβj,∑n

j=1 βj = n. U ovoj sekciji cemo resiti Silvesterovu jednacinu u matricnomobliku bez polazne pretpostavke o disjunktnosti spektara za matrice A iB. Kao rezultat cemo dobiti resenje koje ce zavisiti od odredenog brojaparametara.Glavna ideja ovog metoda je da se matrice A i B svedu na Zordanove nor-malne forme. Iako numericki nestabilan postupak, pruza nam uvid u tokakvog su oblika resenja Silvesterove jednacine kada je jedinstvenost narusena.Odgovarajuc metod i teoreme pokazao je Ma [13].Postoje nesingularne matrice U i V takve da je A = UJ(A)U−1 i B =V J(B)V −1, gde su J(A) i J(B) Zordanove normalne forme matrica A i B,redom. Neka je Nl = (δi+1,j) za l = 1, 2, . . . , l − 1 i j = 2, 3, . . . , l, gde jeδi+1,j Kronekerov simbol. J(A) i J(B) se mogu izraziti kao

J(A) = λ1Iαa +Nα1 , λ2Nα2 + Iα2 , . . . , λuIαu +Nαu,

J(B) = µ1Iβ1 +Nβ1 , µ2Iβ2 +Nβ2 , . . . , µvIβv +Nβv.

Sada se polazna jednacina

AX −XB = C (3.11)

transformise uJ(A)X ′ −X ′J(B) = C ′, (3.12)

gde je X ′ = U−1XV i C ′ = U−1CV . Nakon nalazenja X ′ resenje za (3.11)je dato kao X = UX ′V −1.Neka jeX ′ predstavljeno po blokovima, tako da su brojevi vrsta po blokovimaisti kao broj vrsta kod matrice J(A) i brojevi kolona svakog bloka su jednakibroju kolona matrice J(B): X = (Xij), i = 1, 2, . . . , u, j = 1, 2, . . . , v.Partikulrno resenje jednacine J(A)X ′ −X ′J(B) = C ′ je dato sledecom teo-remom.

Teorema 3.7. Partikularno resenje jednacine (3.12) je sastavljeno od ma-trica sledecih oblika:

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 46

(1) Ako je λi − µj = 0, tada

Xij =

αi+βj−2∑n=0

(λi − µj)−(n+1)(−1)n

∑p+q=n

(−1)p(n

p

)N qαiCijN

pβj,

gde je Cij podmatrica od C ′, dobijena istim postupkom kao podmatrice Xij

u X ′.(2) Ako je λi − µj = 0, gde su elementi (xkl) od X

′ i (ckl) od C′, k = 1, αi,

l = 1, βj, tada vaze relacije:ck,l = xk+1,l − xk,l−i,

ck,1 = xk+1,1,

cαi,l = −xαi,l−1

(3.13)

za k = 1, αi − 1, l = 2, βj i x1,βj uzima proizvoljnu vrednost.

Detaljnija provera prethodno izvedenih relacija pokazuje da elementi xkl nisujedinstveno odredeni. Stavise, dolazi se do uslova saglasnosti koje elementickl moraju da ispunjavaju da bi bilo moguce naci resenja Xij u slucaju kadaje λi − µj = 0.Pretpostavimo da je αi > βj i posmatrajmo dijagonale podmatrica (clt) gdeje t = l. Neka je k = αi − t+ 1 i l = t. Tada iz (3.13) sledi

cαi−t+1,1 = xαi−t+2,1, cαi,t = −xαi,t−1.

Neka je (k, l) ∈ (αi−1, t−1), . . . , (αi− t+2, 2). Sabirajuci sve jednakosti,dobijamo

cαi−1,t−1 + · · ·+ cαi−t+2,2 = xαi,t−1 − xαi−t+2,1,

odnosnocαi,t + cαi−1,t−1 + · · ·+ cαi−t+1,1 = 0,

za t = 2, βj. Sada je ocigledno da je cαi,1 = 0. Sledi da je poslednja jednakosttacna za t = 1, βj. Odavde sledi da suma elemenata sa donje dijagonale u Cijmora da nestane da bi uslov λi − µj = bio ispunjen. Ukupan broj jednacinakoji sada figurise usistemu je (αi−1)(βj−1)+(αi−1)+(βj−1), dok je brojjednacina koji figurise u poslednjem izrazu svega βj−1. S obzirom da svako c′

u poslednjem izrazu moze biti izrazeno kao linearna kombinacija x′, sledi datacno αiβj − βj jednacina zavisi od αiβj − 1 parametara. Svaka podmatricaXij, racunajuci i proizvoljne x1,βj , ima βj proizvoljnih parametara.

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 47

Ukoliko je αi < βj onda se analognim postupkom pokazuje da je

cαi,t + cαi−1,t−1 + · · ·+ cαi−t+1,1 = 0,

kad je t = 1, αi. Sledi da podmatrica Xij sadrzi αi proizvoljnih parametara.Ovim putem smo dokazali naredno tvrdenje

Teorema 3.8. Kada je λi − µj = 0 tada podmatrica Xij u partikularnomresenju za (3.12) zavisi od minαi, βj parametara. Suma elemenata sa donjedijagonale matrice Cij mora da se izgubi da bi sistem (3.12) bio resiv.

3.3 Polinomijalno resenje matricne

Silvesterove jednacine

U radu [7], izlozen je metod za direktno resavanje jednacine (3.1) u ma-tricnom obliku, pod pretpostavkom da matrice A i B nemaju zajednickihsopstvenih vrednosti. Glavna prednost ovog metoda je ta sto ne koristifunkcionalni racun ogranicenih linearnih operatora, niti zahteva redukovanjematrica na njihove Zordanove normalne forme (sto u opstem slucaju mozebiti veoma komplikovano i numericki nestabilno). U slucaju da A i B imajuzajednicke sopstvene vrednosti, dolazimo do delimicnog rezultata, koji dajepotreban ali ne i dovoljan uslov da neka matrica X bude resenje polaznejednacine.Uvodne pretpostavke: Neka su A ∈ Rm×m, B ∈ Rn×n i C ∈ Rm×n. Posma-tramo jednacinu:

AX −XB = C. (3.14)

Neka je

p(s) =m∑i=0

αisi

karakteristican polinom za matricu A i

q(s) =n∑i=0

βisii

karakteristican polinom za matricu B. Pretpostavimo da su p i q monicnipolinomi.

Lema 3.2. Neka je X resenje jednacine (3.14). Tada za svako k ≥ 1:

AkX −XBk =k−1∑i=0

Ak−1−iCBi. (3.15)

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 48

Dokaz. Tvrdenje dokazujemo matematickom indukcijom. Za k = 1, iskazje tacan po pretpostavci teoreme. Pretpostavimo da je k > 1 i da jednakost(3.15) vazi za k ≤ N , odnosno

ANX −XBN =N−1∑i=0

AN−1−iCBi.

Mnozeci prethodnu jednakost sa A s leve, odnosno sa B s desne strane,dobijamo:

AN+1X − AXBN = AN−1∑i=0

AN−1−iCBi (3.16)

i

ANXB −XBN+1 =N−1∑i=0

AN−1−iCBi+1. (3.17)

Sabirajuci (3.16) i (3.17), dobijamo

AN+1X−XBN+1+ANXB−AXBN = A

N−1∑i=0

AN−1−iCBi+N−1∑i=0

AN−1−iCBiB.

(3.18)Sledi

AN+1X −XBN+1 =N−1∑i=0

AN−iCBi +N−1∑i=0

AN−1−iCBi+1 + AXBN − ANXB

=N−1∑i=0

AN−iCBi +N−1∑i=0

AN−1−iCBi+1 − A(AN−1X −XBN−1)B

=N−1∑i=0

AN−iCBi +N−1∑i=0

AN−1−iCBi+1 − A(N−2∑i=0

AN−2−iCBi)B

=N−1∑i=0

AN−iCBi +N−1∑i=0

AN−1−iCBi+1 −N−2∑i=0

AN−1−iCBi+1

=N−1∑i=0

AN−iCBi + CBN

=N∑i=0

AN−iCBi.

(3.19)

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 49

Definisimo: η(k,A,C,B) :=k∑i=0

Ak−iCBi. Tada se jednakost (3.15) moze

zapisati kao:AkX −XBk = η(k − 1, A, C,B). (3.20)

Sada imamo

n∑k=1

βk(AkX −XBk) =

n∑k=1

βk(AkX −XBk) + β0(X −X)

=

(n∑k=1

βkAkX + β0X

)−

(n∑k=1

βkXBk + β0X

)

=

(n∑k=1

βkAk + β0Im

)X −X

(n∑k=1

βkBk + β0In

)=q(A)X −Xq(B) = q(A)X.

(3.21)

S druge strane je

n∑k=1

βk(AkX −XBk) =

n∑k=1

βkη(k − 1, A, C,B). (3.22)

Definisemo η(A,C,B) :=n∑k=1

βkη(k−1, A, C,B). Primetimo da je η(A,C,B)

polinomijalna funkcija matrica A,B,C ciji koeficijenti su odredeni koefici-jentima karakteristicnog polinoma za B, te za svaku unapred zadatu Silves-terovu jednacinu (3.14) postoji jedinstveno odreden polinom η(A,C,B).Sada dolazimo do korektno postavljene jednacine:

q(A)X = η(A,C,B). (3.23)

Teorema 3.9. Ako matrice A i B nemaju zajednicke sopstvene vrednosti,onda je (3.23) ekvivalentno sa (3.14).Dokaz. ⇒: Ovaj smer je dokazan prethodnim izvodenjem.⇐: Neka je X resenje za (3.23). Tada

A(q(A)X)− (q(A)X)B = q(A)(AX −XB) = Aη(A,C,B)− η(A,C,B)B.

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 50

Stavise, vazi da je:

Aη(A,C,B)− η(A,C,B)B

=An∑i=0

βi

(i−1∑j=0

Ai−1−jCBj

)−

n∑i=0

βi

(i−1∑j=0

Ai−1−jCBj

)B

=n∑i=0

βi

(i−1∑j=0

Ai−jCBj

)−

n∑i=0

βi

(i−1∑j=0

Ai−1−jCBj+1

)

=n∑i=0

βi

(i−1∑j=0

Ai−jCBj −i−1∑j=0

Ai−1−jCBj+1

)

=n∑i=0

βi(AiC − CBi) =

n∑i=0

βiAiC − C

n∑i=0

βiBi

=q(A)C − Cq(B) = q(A)C,

(3.24)

odnosno,

q(A)(AX −XB) = q(A)C.

S obzirom da je q karakteristican polinom za matricu B i po pretpostavci Ai B nemaju zajednickih sopstvenih vrednosti, sledi da je q(A) nesingularnamatrica. Drugim recima, mora biti AX −XB = C.

Posledica 3.3. U slucaju da matrice A i B nemaju zajednickih sopstvenihvrednosti, resenje jednacine (3.14) je polinom od A,B i C i ono je:

X = (q(A))−1η(A,C,B). (3.25)

Dokaz. Istom argumentacijom kao u prethodnoj teoremi, kako je σ(A) ∩σ(B) = ∅, sledi da je q(A) nesigularna matrica. Neka je njen karakteristicni

polinom f(s) =m∑k=0

γksk, gde je γm = 1. Kako je q(A) nesingularna, tvrdimo

da je γ0 = 0. Po Teoremi o preslikavanju spektra polinomom i teoremi Kejli-Hamiltona, sledi da je

f(q(A)) =m∑k=1

γk[q(A)]k + γ0Im = 0.

Sada je

q(A)− 1

γ0

m∑k=1

γk[q(A)]k−1 = Im.

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 51

Drugim recima, q(A)−1 je polinom od q(A), te je samim tim i polinom od A.Sledi da je X, kao proizvod polinoma, polinom od A,B i C.

Sledece tvrdenje navodimo bez dokaza, jer je direktna posledica prethodnoizvedenih izraza.

Posledica 3.4. U slucaju kada matrice A i B imaju zajednickih sopstvenihvrednosti, svako resenje jednacine (3.14) zadovoljava jednacinu (3.23). Dru-gim recima, resenja polazne Silvester-Rozenblumove jednacine ima smislatraziti u skupu resenja za jednacinu (3.23).

3.4 Numericko resavanje

3.4.1 Njutnov metod za racunanje znaka operatora injegove optimizacije

Uvodne pretpostavke: Neka su A ∈ Rm×m, B ∈ Rn×n i Y ∈ Rm×n, takve daje σ(A) sadrzano u otvorenoj levoj, a σ(B) sadrzano u otvorenoj desnoj polu-ravni. Sada se resenje Silvester-Rozenblumove jednacine (2.1) moze ocitatiiz matricne jednakosti:

sgn

(A Y0 B

)=

(I −X0 I

)(I 00 −I

)(I X0 I

)=

(I 2X0 −I

).

(3.26)

Posmatrajmo sada operatorsku matricu S :=

(A Y0 B

).

Pretpostavimo da spektar operatora S ne sece imaginarnu osu. Tada itera-tivni postupak

S0 := S,

Sk+1 :=12(Sk + S−1

k ), k ∈ N0

(3.27)

konvergira kvadratnom stopom konvergencije ka sgn(S).

Definicija 3.4. Iterativni postupak (3.27), pod pretpostavkom da spektardatog operatora S ne sece imaginarnu osu, je Njutnov postupak odredivanjaznaka operatora S.

Primenjujuci Njutnov metod za znak operatora na matricu S, uporedivanjemodgovarajucih koordinata u jednakosti (3.26), direktno se moze ocitati trazenamatrica X, koja je resenje jednacine (2.1).

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 52

Roberts [16] je primetio da iteracija (3.27) moze zasebno da se primeni nasvaki od elemenata matrice S, odnosno

A0 := A, Ak+1 :=1

2(Ak + A−1

k ), (3.28)

B0 := B Bk+1 :=1

2(Bk +B−1

k ), (3.29)

Y0 := Y, Yk+1 :=1

2(Yk + A−1

k YkB−1k ), k ∈ N0. (3.30)

Nizovi Akk∈N0 i Bkk∈N0 konvergiraju redom ka sgn(A) i sgn(B). Popretpostavci su spektri za A i −B u otvorenoj levoj poluravni, tj. A i −Bsu stabilni operatori. Sledi da su im znakovi negativni, sgn(A) = −Im isgn(B) = −In. Posmatrajmo, ocigledno konvergentan, Y∞ := limk→+∞ Yk.Direktnom proverom sledi da je X := Y∞/2 resenje jednacine (2.1).Iteracije za sgn(A) i sgn(B) mogu da se zadaju na drugaciji nacin. Bajers[3] je uocio da iterativni postupak

Zk+1 := Zk −1

2(Zk − Z−1

k ), Z0 := Z ∈ A,B, (3.31)

koristi prethodnu vrednost Zk kao korekcioni faktor u sledecoj vrednosti Zk+1.Na ovaj nacin se povecava preciznost aproksimacije u poslednjim koracimaalgoritma, kada je granica dozvoljene greske skoro dostignuta. U nekim prob-lemima, obican Njutnov postupak moze da stagnira pre ispunjenosti uslovazaustavljanja dok ce korigovani postupak zbog vece preciznosti zadovoljitiuslov prekida postupka. Konvergencija i Njutnovog i korigovanog algoritmase moze ubrzati. U [3] je iskoriscena apsolutna vrednost determinante, tj.

Zk := ckZk, ck := | det(Zk)|−1p ,

gde su (Z, p) ∈ (A,m), (B, n), k ∈ N0. Determinanta se javlja kao posledicanalazenja inverzne matrice u svakoj iteraciji. Primetimo da je ovde determi-nanta racunata za Ak, odnosno Bk, sto je drugacije skaliranje nego da smodeterminantu racunali direktno za Sk.Iz znakova matrica A i B, dobijenih pomocu (3.28), mozemo izvesti uslov zaprekid algoritma. Naime, ako su relativne greske izracunatih aproksimacijaznakova A i B manje od unapred zadate tacnosti cε, onda postupak moze dastane. Drugim recima, ako je

max∥Ak + Im∥, ∥Bk + In∥ ≤ cε, (3.32)

gde je ε trazena tacnost a c ∈ k, 10√k, algoritam moze da prestane sa

radom. U praksi se pokazalo da je nekad bolje uzeti√ε kao granicu greske,

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 53

jer Njutnov algoritam ima kvadratnu stopu konvergencije, te stabilnost algo-ritma nije narusena.Broj operacija u Robertsovom metodu zavisi direktno od toga koliko je alge-barskih operacija potrebno za racunanje inverznih matrica za Ak i Bk, kao iracunanje resenja Yk dva linearna sistema. Ako pretpostavimo da su faktor-izacije za Ak i Bk dobijene kao posledica racunanja odgovarajucih inverza,broj algebarskih operacija se moze oceniti na oko 2(n3 + nm(n +m) +m3)flopsa2, dok je u originalnom Njutnovom metodu broj flopsa 2(n+m)3, koji seodnosi na matricu dimenzije (n+m)×(n+m). Gausov postupak eliminacijeu Zordanovim normalnim formama nece obezbediti ustedu na algebarskimoperacijama.U [1], Bener je Njutnov metod optimizovao u smisu da je smanjio vremeracunanja i opterecenost memorije. Za razliku od [16] i [3], u [1] je pos-matrana iterativna sema samo za Yk. Polazi se od toga da se operator Ypredstavi dekompozicijom: Y = FG, gde su F ∈ Rn×p i G ∈ Rp×m. Sadaimamo rekuzivni prikaz:

F0 := F, Fk+1 := [Fk, A−1k Fk], (3.33)

G0 := G, Gk+1 := [Gk, GkB−1k ]⊤. (3.34)

Ako je p mnogo manje od n,m, ovakva iteracija stedi broj operacija pripokretanju algoritma. Medutim, ova prednost se gubi u kasnijim iteracijamajer se broj kolona u Fk+1, odnosno vrsta u Gk+1 duplira pri svakom koraku.Ovaj problem je Bener prevazisao na sledeci naci nacin: neka je Fk ∈ Rn×pk

i GK ∈ Rpk×n. Sada uradimo dekompoziciju Gk+1 = URP , gde je U ortog-onalna matrica, P je matrica permutacije i R je gornje-trougaona matricaoblika R = [R1, 0]⊤, R1 ∈ Rr×m, potpunog ranga po vrstama (desno in-vertibilna). Nakon toga, predstavimo

[Fk, A−1k Fk]U = V TQ, T = [T1, 0]⊤,

gde je V ortogonalna matrica, Q je matrica permutacije i T je gornje-trougaona, T1 ∈ Rt×2pj potpunog ranga po vrstama. Particijom V = [V1, V2],V1 ∈ Rn×t, racunajuci

[T11, T12] := T1Q, T11 ∈ Rt×r,

dobijamo nove iterativne seme odgovarajucih dimenzija:

Fk+1 := V1T11, Gk+1 := R1P.

2Aritmetickih operacija u pokretnom zarezu po vremenu (eng. floating-point arithmeticoperations).

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 54

Sada se Yk+1 iz Robertsovog metoda moze dobiti kao:

Yk+1 := Fk+1Gk+1.

Sada je

Z1 :=1√2

limk→+∞

Fk, Z2 :=1√2

limk→+∞

Gk,

ondosno X = Z1Z2 je resenje polazne jednacine (2.1). Ako X ima malunumericku sliku, Z1 i Z2 ce imati proporcionalno mali broj vrsta i kolona,te ce vreme racunanja i memorija biti dosta optimalniji u odnosu na origi-nalni Njutnov metod i [16]. Zbog razlaganja polaznih matrica na proizvode,ovaj metod se cesto naziva faktorisana optimizacija Njutnovog metoda ilifaktorisano resavanje Silvesterove jednacine.

3.4.2 Metodi koji koriste potprostore Krilova

Definicija 3.5. Neka su dati vektor u ∈ Rn i prozivoljna kvadratna matricaL ∈ Rn×n. Potprostor Krilova reda k + 1 ∈ N je

Kk+1(L, u) := Lin(u, Lu, . . . , Lku).

Potprostori Krilova igraju bitnu ulogu u iterativnim postupcima vezanim zaresavanje linearnih sistema. Njihova prednost lezi u tome da su odredeniunapred zadatim vektorom, matricom i stepenom te matrice, te pogodnostodabira tih parametara pruza mogucnost za optimizovanje vec postojecih al-goritama. Standardan predstavnik problema koji se resavaju ovim metodimaje linearna jednacina:

Lx = b, (3.35)

gde je b ∈ Rn unapred zadati vektor, a L ∈ Rn×n je kvadratna nesingularnamatrica. Pod pretopstavkom da su A,B i Y kvadratne matrice iste dimen-zije, ilustrovacemo kako se (2.1) redukuje na sistem jednacina oblika (3.35).Najpre definisemo Kronekerov proizvod matrica.

Definicija 3.6. Neka je A matrica dimenzija m × n i B matrica dimenzijap × q. Kronekerov proizvod matrica A i B, u oznaci A ⊗ B je preslikavanjecija je slika matrica dimenzija mp× nq, definisano kao:

A⊗B =

a11B . . . a1nB...

. . ....

an1B . . . annB

.

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 55

Matrice X,Y ∈ Rn×n mozemo posmatrati redom kao vektore x, y ∈ Rn2.

Preciznije,

e⊤j Zek = e⊤j+n(k−1)z, 1 ≤ j, k ≤ n (Z, z) ∈ (X, x), (Y, y).

Sada jednacinu (2.1) mozemo predstaviti u obliku

(I ⊗ A−B⊤ ⊗ I)x = y, (3.36)

gde ⊗ predstavlja Kronekerov proizvod matrica. Ovako transformisana,jednacina (3.36) ima trazeni oblik (3.35), te mozemo primeniti metode zaresavanje linearnih sistema koji koriste potprostore Krilova. Polazna pret-postavka je da je matrica L simetricna i pozitivno definitna. Uvodimopomocnu skalarnu funkciju vektorskog argumenta

ϕ(x) := x⊤Lx− 2b⊤x. (3.37)

Teorema 3.10. [10] Problem nalazenja nula izraza (3.35) ekvivalentan jeproblemu nalazenja minimuma funkcije (3.37).Dokaz.Za i ∈ 1, . . . , n, vazi da je

∂ϕ

∂xi= 2(li1x1 + · · ·+ linxn)− 2bi,

te je

gradϕ(x) = 2(Lx− b) = −2r,

gde je r = b−Lx. Ako ϕ dostize minimum u x∗, onda gradϕ(x∗) = 0, odnosnoLx∗ = b, sto znaci da je x∗ resenje (3.35). Sa druge strane, ako je x∗ resenjesistema (3.35), onda za svaki vektor y imamo

ϕ(x∗ + y) = (x∗ + y)⊤L(x∗ + y)− 2b⊤(x∗ + y) = ϕ(x∗) + y⊤Ly.

Kako je L pozitivno definitna, to je, za y = 0, y⊤Ly = ⟨Ly, y⟩ > 0, te je x∗tacka minimuma funkcije ϕ.

Problem nalazenja minimuma funkcije je jedna od centralnih tema opti-mizacije. Ilustrovacemo glavne numericke metode koji se bave ovom temom.Njihova specijalna adaptacija za resavanje polazne jednacine (3.36) se mozenaci u [8]. U ovoj sekciji, oznaka ∥x∥L ce oznacavati normu vektora x u

pozitivno definitnoj matrici L, tj. ∥x∥L =√x⊤Lx =

√⟨Lx, x⟩.

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 56

Metod najbrzeg pada

Iako formalno ne pripada grupi metoda koji koriste potprostore Krilova,metod najbrzeg pada (eng. steepest descend method) daje prikladnu os-novu za njihovu konstrukciju. Metod se bavi nalazenjem minimuma funkcijeϕ iz (3.37), pod pretpostavkom da je data matrica L simetricna i pozitivnodefinitna.Standardan nacin nalazenja tacke minimuma date funkcije je pretrazivanje popravcu. Polazi se od pocetne vrednosti x0, i bira se pogodan pravac p0. Zatimse, na pravoj l ≡ x0+αp0 : α ∈ R trazi odgovarajuca tacka x1 := x0+α0p0,takva da je ϕ(x1) = ϕ(x0 + α0p0) ≤ ϕ(x0 + αp0). Drugim recima, trazi seuslovni minimum funkcije ϕ po pravoj l. Nakon toga, postupak se ponavlja,s tim da je sada polazna vrednost x1, s novim pravcem pretrazivanja p1.Ovakvim postupkom dobijamo dva niza: niz pravaca pretrazivanja pkk∈N0

i niz koraka αkk∈N0 . Razliciti nacini odredivanja pravaca pk i razliciti naciniodredivanja koraka αk predstavljaju razlicite algoritme za pretrazivanje popravcu.Prikazujemo algoritam najbrzeg pada.Neka je f(α) := ϕ(xk+αpk) = α2p⊤k Lpk−2αr⊤k pk+ϕ(xk), gde je rk = b−Lxk.Imamo

df

dα= 2αp⊤k Lpk − 2r⊤k pk = 0,

odnosno

αk =r⊤k pkp⊤k Lpk

.

Sada imamo

xk+1 = xk + αkpk.

Neposrednom proverom, sledi da je

ϕ(xk+1)− ϕ(xk) = ϕ(xk + αkpk)− ϕ(xk)

= α2kp

⊤k Lpk − 2αkr

⊤k pk

= −(r⊤k pk)2

p⊤k Lpk≤ 0.

Iz prethodnog izraza mozemo videti najbolji odabir za pravac pk. Naime,pravac najbrzeg pada funkcije ϕ je onaj pravac po kome je njen gradijentnegativan. Zato je sada ocigledno da treba uzeti pk = rk. Zbog ovako uzetog

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 57

pravca se dati metod zove metod najbrzeg pada.

Naredno tvrdenje daje stopu konvergencije ovog metoda. Njegov dokaz semoze naci u [10].

Teorema 3.11. Neka su 0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ≤ λn sopstvene vrednostisimetricne nenegativno definitne matrice L. Tada niz xk, konstruisanmetodom najbrzeg pada, zadovoljava nejednakost:

∥x∗ − xk∥L ≤(λn − λ0λn + λ1

)k∥x0 − x∗∥L,

gde je x∗ resenje jednacine (3.35).

Konjugovano-gradijentni metod

Pretpostavke u ovom metodu su iste kao u metodu najbrzeg pada. Osnovnaideja konjugovano-gradijentnog metoda je sledeca. Za dati pocetni vektor x0ponovo biramo pravac sa negativnim gradijentom, tj. p0 = r0. Zatim imamo

α0 =r⊤0 p0p0⊤Lp0

, x1 = x0 + α0p0, r1 = b− ALx1.

Nakon toga, u k + 1-om koraku, biramo pravac pk u ravni

π2 = x = xk + ξrk + ηpk−1 : ξ, η ∈ Rtako da funkcija ϕ najbrze opada. Ako posmatramo ϕ kao funkciju dvaargumenta ξ i η, onda imamo:

ψ(ξ, η) = ϕ(xk + ξrk + ηpk−1)

= (xk + ξrk + ηpk−1)⊤L(xk + ξrk + ηpk−1)

− 2b⊤(xk + ξrk + ηpk−1).

Direktnim racunom, dobijamo da je:∂ψ∂ξ

= 2(ξr⊤k Lrk + ηr⊤k Lpk−1 − r⊤k rk),∂ψ∂η

= 2(ξr⊤k Lpk−1 + ηpk−1⊤Lpk−1),

gde smo iskoristili da je r⊤k pk−1 = 0 (videti [10], Glava 6, Teorema 3.). Nekasu

∂ψ

∂ξ=∂ψ

∂η= 0,

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 58

zatim nalazimo jedinstvenu tacku minimuma

x = xk + ξ0rk + η0pk−1

funkcije ϕ u ravni π2, gde ξ0 i η0 zadovoljavaju:ξ0r

⊤k Lrk + η0r

⊤k Lpk−1 = r⊤k rk

ξ0r⊤k Lpk−1 + η0p

⊤k−1Lpk−1 = 0.

Sada mozemo da odaberemo pravac

pk = rk +η0ξ0pk−1

koji jeste optimalan za minimalizaciju funkcije ϕ u ravni π2. Neka je

βk−1 =η0ξ0.

Iz

ξ0r⊤k Lpk−1 + η0p

⊤k−1Lpk−1 = 0

sledi da je

βk−1 = − r⊤k Lpk−1

p⊤k−1Lpk−1

.

Sada imamo formule za racunanje nepoznatih koraka i pravaca:

αk =r⊤k pkp⊤k Lpk

,

xk+1 = xk + αkpk,

rk+1 = b− Lxk+1,

βk = − r⊤k+1Lpk

p⊤k Lpk,

pk+1 = rk+1 + βkpk.

Primetimo da je p⊤k Lpk−1 = 0, odnosno da su pk i pk+1 uzajamno L-spregnuti(eng. L-conjugated).

Teorema 3.12. [10] Vektori ri i pi imasju sledece osobine:1) p⊤i rj = 0, 0 ≤ i < j ≤ k;2) r⊤i rj = 0, i = j, 0 ≤ i, j ≤ k;3) p⊤i Lpj = 0, i = j, 0 ≤ i, j ≤ k;4) Lin(r0, . . . , rk) = Lin(p0, . . . , pk) = Kk+1(L, r0), gde je

Kk+1(L, r0) = Lin(r0, Lr0, . . . , Lkr0)

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 59

potprostor Krilova reda k + 1.Dokaz. Indukcijom, za k = 1, vazi da je

p+ 0 = r0 r1 = r0 − α0Lp0, p1 = r1 + β0p0.

Tada

p⊤0 r1 = r⊤0 r1 = r⊤0 (r0 − α0Lp0) = r⊤0 r0 − α0p⊤0 Lp0 = 0,

jer je

α0 = r⊤0 t0/p⊤0 Lp0

i

p⊤1 Lp0 = (r1 + β0r0)⊤Lr0 = r⊤1 Lr0 −

r⊤1 Lr0r⊤0 Lr0

r⊤0 Lr0 = 0.

Sada pretpostavimo da tvrdenje vazi za k i dokazimo da vazi za k + 1.Za (1), koristeci pretpostavku i osobinu da je rk+1 = rk − αkLpk, imamo daje

p⊤i rl+1 = p⊤i rk − αkp⊤i Lpk = 0, 0 ≤ i ≤ k − 1,

i da je

p⊤k rk+1 = p⊤k rk −p⊤k rkp⊤k Lpk

Lpk = 0.

Sledi da (1) vazi i za k + 1.Da bismo pokazali (2) za k + 1, pretpostavljamo da tvrdenja (1)-(4) vaze zak. Tada je, po pretpostavci,

Lin(r0, . . . , rk) = Lin(p0, . . . , pk).

Primenjujuci (1), znamo da je rk+1 ortogonalno na ovaj potprostor. Zbogtoga, (2) je tacno i za k + 1.Da bismo pokazali (3), iskoristicemo pretpostavku indukcije i pokazano tvrdenjepod (2). Iz

pk+1 = rk+1 + βkpk, ri+1 = ri − αiLpi,

sledi

p⊤k+1Lpi =1

αir⊤k+1(ri − ri+1) + βkp

⊤k Lpi = 0, i = 0, 1, . . . k − 1.

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 60

Po konstrukciji βk, imamo

p⊤k+1Lpk = (rk+1 + βkpk)⊤Lpk = r⊤k+1Lpk −

r⊤k+1Lpk

p⊤k Lpkp⊤k Lpk = 0.

Zakljucujemo da je tvrdenje (3) tacno za k + 1.Da bismo pokazali da (4) vazi i za k + 1, polazimo od pretpostavke da je

rk, pk ∈ Kk+1(L, r0) = Lin(r0, Lr0, . . . , Lkr0).

Sledi

rk+1 = rk − αkLpk ∈ Kk+2(L, r0)

i

pk+1 = rk+1 + βkpk ∈ Kk+2(L, r0).

Iz (2) i (3) za k + 1, zakljucujemo da su vektori r0, . . . , rk+1 i p0, . . . , pk+1

linearno nezavisni. Time je (4) pokazano za k + 1.

Sledece tvrdenje daje kriterijum konvergencije konjugovano-gradijentnog metoda.

Teorema 3.13. [10] xk, dobijeno konjugovano-gradijentnom iterativnomsemom, ispunjava uslov

ϕ(xk) = minϕ(x) : x ∈ x0 +Kk(L, r0),

odnosno

∥xk − x∗∥L = min∥x− x∗∥L : x ∈ x0 +Kk(L, r0),

gde je x∗ egzaktno resenje (3.35).

Uopsteni metod najmanjeg ostatka

Pretpostavka u ovom metodu je da je matrica L u sistemu (3.35) nesingu-larna. Algoritam se zasniva na tome da se u k−toj iteraciji trazi xk kaoresenje problema

minx∈x0+Kk(L,r0)

∥b− Lx∥2,

gde je r0 = b− Lx0. Neka je x ∈ x0 +Kk(L, r0). Imamo

GLAVA 3. KONSTRUKCIJA RESENJA 61

x = x0 +k−1∑j=0

γjLjr0

i

r = b− Lx = b− Lx0 −k−1∑j=0

γjLj+1r0 = r0 −

k∑j=1

γj−1Ljr0.

Sledi da je

r = Pk(L)r0,

gde je Pk polinom reda ne veceg od k, takav da je Pk(0) = 1.

Teorema 3.14. [10] Neka je xk resenje k−te iteracije uopstenog metodanajmanjeg ostatka. Tada

∥rk∥2 = minP : dg(P )≤kP (0)=1

∥P (L)r0∥2 ≤ ∥Pk(L)r0∥2.

Sta vise,

∥rk∥2∥r0∥2

≤ ∥Pk(L)∥2.

Vazi jos jace tvrdenje:

Teorema 3.15. Uopsteni metod najmanjeg ostatka dostize egzaktno resenjejednacine (3.35) u najvise n iteracija, gde je L ∈ Rn×n nesingularna matrica.Dokaz. Karakteristicni polinom matrice L je dat kao

pL(z) = det(zI − L),

gde je stepen tog polinoma n i po Vijetovim formulama vazi da je pL(0) =

(−1)n det(L) = 0. Tada Pn(z) :=pL(z)pL(0)

ima osobinu da je stepena ne veceg

od n i da je Pn(0) = 1. Po Kejli-Hamiltonovoj teoremi, sledi da je Pn(L) =pL(L) = 0. Sada je, po prethodnoj teoremi, rn = b− Lxn = 0. Dakle, xn jeresenje jednacine (3.35).

Glava 4

Primene

4.1 Primene u funkcionalnoj i

matricnoj analizi

4.1.1 Slicnost matrica operatora

Posmatrajmo matrice operatora

(A C0 B

)i

(A 00 B

). Postavlja se pi-

tanje pod kojim uslovima su ove dve matrice slicne.

Napomenimo da je, za dati operator X matrica operatora

(I X0 I

)invert-

ibilna, i njen inverz je

(I −X0 I

). Sada se polazni problem transformise u

nalazenje pogodnog operatora X, tako da vazi jednakost:(A C0 B

)(I X0 I

)=

(I X0 I

)(A 00 B

).

Da bi prethodni identitet bio zadovoljen, potrebno je i dovoljno naci X takoda je AX + C = XB, odnosno AX − XB = C. Sada Teorema 2.1 dajetrazeni rezultat:Ako je σ(A) ∩ σ(B) = ∅, tada za svako unapred zadato C operatorska

matrica

(A C0 B

)je slicna sa

(A 00 B

).

Direktnom primenom matematicke indukcije na Teoremu 2.1, ispitivanjeslicnosti matrica operatora se moze prosiriti na klasu blok-gornje-trougaonihmatrica operatora. Neka su (Ak)k=1,n operatori, takvi da, kad god je i = j,σ(Ai) ∩ σ(Aj) = ∅. Tada je svaka blok-gornje-trougaona matrica operatora,

62

GLAVA 4. PRIMENE 63

oblika A1 A12 . . . A1n

0 A2 . . . A2n...

......

0 0 . . . An

slicna blok-dijagonalnoj matrici operatora

A1 0 . . . 00 A2 . . . 0...

......

0 0 . . . An

.

Primetimo da su kvadratne matrice nad datim prstenom (ili poljem) skalaraspecijalni slucajevi operatorskih matrica.

4.1.2 Embrijeva teorema o komutativnosti

Ako C komutira sa A+B i sa AB, da li onda C mora da komutira sa A i Bzasebno? U opstem slucaju, odgovor je negativan, a primer koji potkrepljuje

taj odgovor je sledeci. Uzmimo A =

(1 00 0

)i B =

(0 00 1

). Tada svaka

2× 2 matrica komutira sa A+B i AB.

Teorema 4.1. [Embri] Neka su A i B takvi operatori, da je σ(A)∩σ(B) = ∅.Tada svaki operator, koji komutira sa A+B i AB komutira i sa A i sa B.Dokaz.Neka je C takvo da je (A + B)C = C(A + B) i (AB)C = C(AB).Pomnozimo li prvu jednakost sa A sa leve strane dobijamo:

AAC + ABC = AAC + CAB = ACA+ ACB,

tj.A(AC − CA) = (AC − CA)B.

Primenjujuci Silvester-Rozenblumovu Teoremu, sledi da je AC − CA = 0.Sledi da C komutira sa A. Analogono se pokazuje za B.

4.1.3 Hiperinvarijantni potprostori

Definicija 4.1. Neka je V dati vektorski prostor i W potprostor od V . Wje trivijalan potprostor od V ako je ili W = 0 ili W = V .

GLAVA 4. PRIMENE 64

Definicija 4.2. Neka je V dati vektorski prostor, A ∈ L(V ) i W potprostorod V . Potprostor W je invarijantan za dati operator A, ako se slika u sebetim operatorom, tj. ako je A(W ) ⊂ W .

Jedan od najvecih otvorenih problema u funkcionalnoj analizi je pitanje egzis-tencije netrivijalnog invarijantnog potprostora za dati operator. Preciznije,da li svaki operator na beskonacno-dimenzionalnom prostoru ima netrivijalaninvatijantan potprostor? Postoje primeri Banahovih prostora, na kojimaoperatori nemaju netrivijalne invarijantne potprostore. Medutim, u klasiHilbertovih prostora, ovaj problem ostaje neresen. Postoji nekoliko verzijaovog problema, i svaka od njih je jos uvek otvorena. Jedna od njih je problemhiperinvarijantnih potprostora za dati operator.

Definicija 4.3. Za potprostor W kazemo da je hiperinvarijantan potprostorprostora V za dati operator A ∈ L(V ) ako je invarijantan potprostor od Vpod dejstvom svakog operatora koji komutira sa A.

Posledica 4.1. Ako je A (skalarni) umnozak identickog operatora, ondaocigledno ne postoji hiperinvarijantan potprostor koji nije trivijalan.Sada se problem hiperinvarijantnih potprostora formulise na sledeci nacin:

Na beskonacno-dimenzionalnom Hilbertovom prostoru, da li svaki operatorkoji nije umozak identickog operatora ima netrivijalni hiperinvarijantni pot-prostor?

U konacno-dimenzionalnom slucaju, svaki neskalarni operator ima netrivi-jalan hiperinvarijantan potprostor, jer svaka familija komutativnih operatora(matrica) ima zajednicku sopstvenu vrednost, koja generise taj sopstveni pot-prostor. Generalizaciju ove osobine je dokazao Lomonosov, tvrdeci da svakikompaktnan ne-nula operator ima netrivijalan hiperinvarijantan potprostor,ali je generalan problem i dalje neresen. Napomenimo da je algebra kom-paktnih operatora zatvorena podalgebra algebre ogranicenih operatora, teneposredna ekstenzija Lomonosovog rezultata nije moguca.

Lako je naci primere invarijantnih potprostora koji nisu hiperinvarijantni.Medutim, dovoljan uslov da invarijantan potprostor bude hiperinvarijantanmoze se dokazati pomocu Silvester-Rozenblumove Teoreme.Ako je M zatvoren potprostor Hilbertovog prostora H invarijantan pod de-jstvom operatora A, onda u skladu sa ortogonalnom dekompozicijom H =

M⊕M⊥, operatoru A odgovara operatorska matrica

(A1 A2

0 A3

). Nula u

donjem levom uglu reprezentuje invarijantnost prostora M.

GLAVA 4. PRIMENE 65

Teorema 4.2. Neka su A =

(A1 A2

0 A3

)i B =

(B1 B2

B4 B3

). Ako je

σ(A1) ∩ σ(A3) = ∅ i B komutira sa A, onda je B4 = 0.Dokaz. Kako A i B komutiraju, sledi da je AB = BA. Posmatramo pozi-ciju (2, 1) u matricnom obliku prethodne jednakosti. Sledi da je A3B4 =B4A1. No, kako su spektri operatora A1 i A3 disjunktni, na osnovu Silvester-Rozenblumove Teoreme sledi da homogena jednacina ima jedinstveno resenje(a to je upravo trivijalno).

Zakljucujemo da je M hiperinvarijantan potprostor za A ako je σ(A1) ∩σ(A3) = ∅. Poslednji rezultat je moguce uopstiti.

Teorema 4.3. Ako je A gornje blok-trougaona matrica operatora:A11 ∗ . . . ∗0 A22 . . . ∗...

......

0 0 . . . Ann

pri cemu je σ(A11) ∩ σ(Ann) = ∅, onda A ima netrivijalan hiperinvarijantanpotprostor.Dokaz. Neka je x proizvoljan ne-nula vektor oblika x = x1⊕0⊕0⊕ . . .⊕0,u reprezentaciji baze generisane onom ortogonalnom dekompozicijom pros-tora, u kojoj je A gornje blok-trougaona matrica. Neka je M zatvorenjelinearne mnogostrukosti Bx : AB = BA. Tada je M = 0 i pri tomje M hiperinvarijantan potprostor u odnosu na operator A. Pokazacemoda M nije ceo prostor. To cemo uraditi tako sto cemo pokazati da vek-tori oblika y = 0 ⊕ . . . ⊕ 0 ⊕ yn pripadaju M⊥. Pretpostavimo da jeB = (Bi,j) proizvoljan operator koji komutira sa A. Posmatrajmo u ma-tricnoj jednacini AB = BA element sa koordinatama (n, 1). Uocavamo daje AnnBn1 = Bn1A11. Koriscenjem Silvester-Rozenblumove Teoreme, sledi daje Bn1 = 0, e je n−ta koordinata vektora Bx nula, za svaki operator B kojikomutira sa A. Odavde sledi trazeni rezultat.

Za operator kazemo da je n-normalan ako se moze predstaviti n × n blok-matricom operatora, oblika A = (Aij), u kojoj su Aij medusobno komu-tativni operatori. Prethodna teorema ima posledicu, koja tvrdi da svakin−normalan operator, koji nije skalarni umnozak identickog operatora, imanetrivijalan hiperinvarijantan potprostor. Ovaj rezultat je dokazao Huver.

GLAVA 4. PRIMENE 66

4.1.4 Spektralni operatori

Definicija 4.4. Neka je B(C) σ−algebra Borelovih podskupova od C. Spek-tralna mera na Banahovom prostoru K je preslikavanje E, sa B(C) na prostoroperatora nad K, sa sledecim svojstivma:(1) (E(S))2 = E(S), za svako S ∈ B(C).(2) E(∅) = 0, E(C) = I.(3) E je ograniceno preslikavanje.(4) E ima kompaktan nosac.(5) E(S1 ∩ S2) = E(S1)E(S2), za svako S1, S2 ∈ B(C).(6) Kad god je Sjj∈N disjunktna familija podskupova od C, onda je

E(+∞∪j=1

Sj)x =+∞∑j=1

E(Sj)x,

za svako x ∈ K, tj. E(·) je prebrojivo aditivna u jakoj topologiji.

Primetimo da je svaka spektralna mera regularna, u smislu da je za svakiBorelov skup S, potprostor R(E(S)) je zatvoren lineal od R(E(K)) : K ⊂S,K je kompakt.Spektralna teorema za normalne operatore tvdri da se svaki normalan op-erator na Hilbertovom prostoru moze izraziti kao Stiltjesov integral A =∫λdE(λ), gde je E spektralna mera definisana na Borelovim skupovima

kompleksne ravni C. Fagledova teorema kaze da svaki operator koji komutirasa normalnim operatorom A komutira i sa njegovim Hilbert-konjugovanimoperatorom A∗. Taj rezultat je ekvivalentan sa cinjenicom da, ako je E spek-tralna mera pridruzena operatoru A, tada za svaki Borelov skup S ⊂ C vazida je E(S) hiperinvarijantan potprostor za operator A. Danford je generali-zovao Fagledovu Teoremu za spektralne operatore. Pojednostavljenje dokazaDanfordove Teoreme se moze postici primenom Silvester-Rozenblumove Teo-reme.

Teorema 4.4. [Fagled1-Danford2] Ako je A spektralni operator sa spek-tralnom merom E(·), onda je za svaki Borelov skup S, potprostor R(E(S))hiperinvarijantan potprostor pod dejstvom operatora A.Dokaz. Neka je B proizvoljan operator koji komutira sa A i neka je S datiBorelov skup. Pokazacemo da je (1−E(S))BE(S) = 0. Kako je 1−E(S) =E(C \ S), s obzirom da je spektralna mera regularna, dovoljno je pokazatida je

E(K1)BE(K2) = 0,

1Fugled Bent (1925-), danski matematicar.2Nelson James Dunford (1906-1986), americki matematicar.

GLAVA 4. PRIMENE 67

kad god su K1 i K2 disjunktni kompakti u C.Neka su skupoviK1 iK2 sa trazenom osobinom. Tada da je E(K1)ABE(K2) =E(K1)BAE(K2). Kako je svaki E(S) idempotent i komutira sa A, sledi daje

E(K1)AE(K1)E(K1)BE(K2) = E(K1)BE(K2)E(K2)AE(K2).

Sada operatore E(K1)AE(K1) i E(K2)AE(K2) mozemo posmatrati kao pres-likavanja, redom, na R(E(K1)) i R(E(K2)), ciji su spektri sadrzani u K1 iK2, respektivno. Po Silvester-Rozenblumovoj Teoremi, sledi da je

E(K1)BE(K2) = 0,

cime je dokaz potpun.

4.2 Polinomi u asocijativnim

algebrama sa jedinicom

U ovoj sekciji cemo se baviti specijalnim slucajem Silvester-Rozenblumovejednacine kada je Y = 0. Klasa jednacina oblika

AX −XB = 0

se naziva homogena Silvester-Rozenblumova jednacina. Naredne teoremedaju potrebne i dovoljne uslove da homogena jednacina ima jedinstvenoresenje.

Teorema 4.5. Neka je F proizvoljno polje, r i s prirodni brojevi, A ∈Mr×r(F) i B ∈ Ms×s(F) kvadratne matrice nad F tako da im sopstvenevrednosti leze u polju F . Sledeca tvrdenja su ekvivalentna:(1) Za svaka dva polinoma f, g ∈ F [t], postoji h ∈ F [t] tako da je f(A) =h(A) i g(B) = h(B).(2) A i B nemaju zajednicke sopstvene vrednosti.(3) Za svaku matricu X ∈ Mr×s(F) vazi implikacija:

AX = XB ⇒ X = 0.

Dokaz.(2) i (3) su ekvivalentna, po Silvesterovoj teoremi.(1) ⇒ (2) : Ako (2) ne vazi, onda A i B imaju neku zajednicku sopstvenuvrednost λ. Neka su u i v redom odgovarajuci sopstveni vektori za λ uodnosu na matrice A i B, tj. Au = λu i Bv = λv. Neka su f i g konstantnipolinomi, f = 0, g = 1. Tada iz (1), primenom teoreme o preslikavanju

GLAVA 4. PRIMENE 68

spektra polinomom, sledi h(λ)u = h(A)u = f(A)u = 0, ali je i h(λ)v =h(B)v = g(B)v = v, te je 0 = h(λ) = 1, odakle sledi kontradikcija.(2) ⇒ (1) : Ako (2) vazi, onda karakteristicni polinomi ϕA i ϕB redom zaA i B su uzajamno prosti nad F , te postoje polinomi p, q ∈ F [t] takvi daje pϕA + qϕB = 1. Za proizvoljne f, g ∈ F [t] neka je h := pϕBf + qϕAg =(1 − qϕA)f + qϕAg. S obzirom da je ϕA(A) = 0 sledi da je h(A) = f(A) ianalogno, h(B) = g(B), tj. (1) vazi.

Teorema 4.6. Za proizvoljno polje F , ma koje prirodne brojeve n1, . . . , nm,m ∈ N, i ma koje kvadratne matrice Ai ∈ Mni

(F), i = 1,m, cije sopstvenevrednosti leze u F , sledeca tvrdenja su ekvivalentna:(1) Za svaki izbor polinoma f1, . . . , fm ∈ F [t], postoji h ∈ F [t] tako dafi(Ai) = h(Ai), za i = 1,m.(2) ni jedan par razlicitih matrica iz skupa A1, . . . Am nema ni jednu za-jednicku sopstvenu vrednost.(3) Za svako i, j ∈ 1, . . .m vazi

i = j ⇒ (∀X ∈ Mni×nj(F)) AiX = XAj ⇒ X = 0.

Dokaz. (2) ⇒ (1) : Dovoljno je uociti da postoje polinomi p1, . . . , pm ∈ F [t]takvi da za karakteristicne polinome datih matrica, ϕA1 , . . . , ϕAm vazi

m∑i=1

piϕAi= 1.

Sada uocimo polinom

h :=m∑i=1

piϕA1 . . . ϕAi−1ϕAi+1

. . . ϕAmfi.

Sada ostatak teoreme direktno sledi generalizacijom prethodnog dokaza.

Ekstenziju poslednjeg rezultata na asocijativne algebre sa jedinicom dao jeDrejzin [5]:

Teorema 4.7. Neka je F proizvoljno polje, A ma koja asocijativna algebranad F sa jedinicom 1, i A′ proizvoljan podskup od A, zadat kao familija A′ =aii∈I , gde je I proizvoljan indeksni skup, takav da je card(I) ≤ card(A) igde je ai = aj ⇒ i = j. Tada iz tvrdenja:(1) Za svaku familiju fii∈I ⊂ F [t] polinoma, postoji h ∈ F [t] tako da

fi(ai) = h(ai) i ∈ I

sledi tvrdenje

GLAVA 4. PRIMENE 69

(2) Za svake razlicite i, j ∈ I i svako x ∈ A vazi implikacija

aix = xaj ⇒ x = 0.

Dokaz. Pretpostavimo da (2) nije tacno. Tada iz (1) sledi

fj(ai)x = xfj(aj) = xh(aj) = h(ai)x = fi(ai)x,

sto je netacno za, na primer, fi = 0 i fja = 1. Dakle, (2) sledi iz (1), sto je itrebalo dokazati.

4.3 Primena u diferencijalnim jednacinama

4.3.1 Apstraktne diferencijalne jednacine

U ovoj sekciji, pretpostavljamo da je K dat Banahov prostor. Ogranicenlinearan funkcional ϕ ∈ K′ u tacki x ∈ K je zadat kao ⟨x, ϕ⟩. Sa W p,1(R,K)opisujemo skup svih apsolutno neprekidnih funkcija sa R na K, takvih daje f ′ ∈ Lp(R,K). F (R,K) je skup svih funkcija sa R na K, i D : D(D) ⊂F (R,K) → F (R,K), je neogranicen operator, zadat kao Df := f ′. Preslika-vanje δ0 : D(δ0) ⊂ F (R,K) → K je zadato kao δ0(f) := f(0).Za date u, u′, u(n) ∈ F (R,K) i neogranicen linearan operator A ∈ L(F (R,K)),posmatrajmo diferencijalnu jednacinu prvog reda,

u′(t) = Au(t) + f(t) (4.1)

i diferencijalnu jednacinu n-tog reda

u(n)(t) = Au(t) + f(t) (4.2)

Primetimo da se Silvesterova jednacina javlja i kada operatori koji u njojfigurisu nisu ograniceni. Stoga je prikladno u ovakvim slucajevima primenitirezultate izvedene u sekciji 2.3. Generalno, posmatramo operatorsku jedacinu

AX −XB = C, (4.3)

gde su A i B neograniceni operatori na K, H, redom, C dati neogranicenlinearan operator iz L(H,K), dok je X trazeno ograniceno resenje.Motivacija iza resavanja jednacine (4.3) je sledeca. Definisemo matrice oper-atora

A1 :=

(A C0 B

)i A2 :=

(A 00 B

).

GLAVA 4. PRIMENE 70

Postavlja se pitanje pod kojim uslovima su matrice A2 i A1 slicne. Iz prethodnoizlozenog, dovoljan uslov za to je da jednacina (4.3) ima resenje.

Kada bi operatorske matrice A2 i A1 bile slicne, onda bi bilo moguce ura-diti redukciju apstraktne diferencijalne jednacine, cime bismo pojednostavilinjeno resavanje. Naime, umesto nehomogene jednacine (4.1) sa pocetnimuslovom u(0) = x0 ∈ K, posmatrali bismo homogenizovani problem

U ′(t) =

(A δ00 d

dt

)U(t), U(0) = (x0, f), (4.4)

na prostoru K×F (R,K), gde smo δ0 pretpostavili da je neogranicen operatorna prostoru funkcija F (R,K).

Teorema 4.8. [12] Neka je A generator C0 polugrupe (T (t))t≥0 na K, takveda je w(T ) < 0 i D : W p,1 → Lp(R,K) dato kao D = d/dt. Tada jednacina

AX −XD = δ0 (4.5)

ima jedinstveno resenje.

Definicija 4.5. Neka je K Banahov prostor i f : R → K dato preslikavanje.f je Helder-neprekidna sa stepenom α > 0 ako postoji C > 0 takvo da∥f(x)− f(y)∥ ≤ C|x− y|α, za svako x, y ∈ R. Skup svih Helder-neprekidnihfunkcija sa R na K stepena α oznacavamo sa Hα(R,K).

Posledica 4.2. [12] Neka je A generator ma koje analiticke polugrupe. TadaKosijev problem (4.1) sa pocetnim uslovom u(0) = x0 ∈ K ima jedinstvenoresenje za svako x ∈ D(A) i Helder-neprekidnu funkciju f ∈ Hα(R,K).

Posledica 4.3. [12] Neka je A generator C0 polugrupe na K. Tada Kosijevproblem (4.1) sa pocetnim uslovom u(0) = x0 ∈ K ima jedinstveno resenjeza svako x ∈ D(A) i svako f ∈ F (R, [D(A)]) koje je ograniceno i uniformnoneprekidno, gde je [D(A)] Banahov prostor (D(A), ∥ · ∥A) sa normom

∥x∥A := ∥x∥+ ∥Ax∥.

GLAVA 4. PRIMENE 71

4.3.2 Jednacina Ljapunova istabilnost dinamickog sistema

Konacno-dimenzionalni slucaj

Uocimo dinamicki sistem prvog reda

x′(t) = f(x, t), (4.6)

gde je f unapred zadato vektorsko polje a t iz nekog parametarskog skupa[t0, T ]. Moze se pokazati da je svako Kosijevo resenje, definisano na tomparametarskom segmentu, neprekidno zavisno od pocetnih uslova. Medutim,ta neprekidna zavisnost se gubi ako dozvolimo da parametarski skup budeneogranicen, odnosno ako umesto [t0, T ] posmatramo [t0,+∞).Pretpostavimo da je G = [t0,+∞) ×D, D ⊂ Rn oblast egzistencije i jedin-stvenosti resenja dinamickog sistema (4.6), da za svaku vektorsku funkcijuf vazi uslov f ∈ C(1)(G) i da je svako Kosijevo resenje x = x(t), x(t0) =x0, x0 ∈ D definisano na intervalu [t0,+∞).

Definicija 4.6. Resenje x = ϕ(t), ϕ(t0) = ϕ0 sistema (4.6) je stabilno poLjapunovu kad t→ +∞ ako za svako ε > 0 postoji δ = δ(ε) tako da za svakoresenje x = x(t), x(t0) = x0 ovog sistema, iz ∥x0 − ϕ0∥ < δ sledi

∥x(t)− ϕ(t)∥ < ε, t ∈ [t0,+∞).

Resenje koje nije stabilno naziva se nestabilnim. Nestabilno je i svako resenjekoje je definisano na konacnom segmentu [t0, t1], t1 ∈ (t0,+∞), a pri tomnema produzenje na [t0,+∞).

Definicija 4.7. Resenje x(t) = ϕ(t), ϕ(t0) = ϕ0 sistema (4.6) je asimptotskistabilno po Ljapunovu kad t → +∞ ako je stabilno i postoji σ > 0 tako daza svako resenje x = x(t), x(t0) = x0 ovog sistema, iz ∥x0 − ϕ0∥ < σ sledi

limt→+∞

∥x(t)− ϕ(t)∥ = 0.

Ispitivanje stabilnosti i asimptotske stabilnosti ma kog resenja sistema (4.6)uvek se moze svesti na ispitivanje tih osobina trivijalnog resenja odgovarajucegsistema na koji se (4.6) ekvivalentno transformise.Neka je ϕ(t), ϕ(t0) = ϕ0 ma koje Kosijevo resenje sistema (4.6). Tadauvodenjem pomocne funkcije y(t) := x(t)−ϕ(t) dobija novi dinamicki sistem

y′(t) = f(x, t)− f(ϕ, t) = f(y + ϕ, t)− f(ϕ, t) = g(y, t)

g(0, t) = 0(4.7)

GLAVA 4. PRIMENE 72

gde je ocigledno y ≡ 0 trivijalno resenje.Takode, translacijom nezavisno promenljive t = t0 + t′ se sve trajektorijemogu translirati u [0,+∞). Zato pretpostavljamo da je polazni sistem dat ubas transliranom homogenizovanom obliku, odnosno pretpostavljamo da je(4.6) dato kao

x′(t) = f(x) (4.8)

sa trivijalnim resenjem x = 0, za svako t ∈ [0,+∞). U faznom prostoru Rn

fazna trajektorija trivijalne integralne krive je polozaj ravnoteze x = 0.

Definicija 4.8. Polozaj ravnoteze x = 0 sistema (4.8) je stabilan po Ljapunovukad t→ +∞ ako za svako ε > 0 postoji δ = δ(ε) > 0 tako da za svaku faznutrajektoriju x = x(t), x(0) = x0 ovog sistema, iz ∥x0∥ < δ sledi ∥x(t)∥ < ε,za svako t ∈ [0,+∞). Ako pored toga postoji σ > 0 tako da iz ∥x0∥ < σsledi lim

t→+∞∥x(t)∥ = 0, onda je polozaj ravnoteze x = 0 asimptotski stabilan.

Posmatrajmo sada konkretniji problem, gde je dati dinamicki sistem linearan.Preciznije, neka je dat sistem

x′(t) = A(t)x+ g(t), (4.9)

gde su matrica A(t) i vektorska funkcija g(t) neprekidne na [0,+∞). Sledecetvrdenje se dokazuje neposrednom primenom homogenizacije uslova kao u(4.7).

Teorema 4.9. Resenja nehomogenog linearnog sistema (4.9) su ili sva sta-bilna ili sva nestabilna.Sada uocavamo da je za stabilnost proizvoljnog resenja linearnog sistema(4.9) dovoljno ispitati stabilnost jednog konretnog Kosijevog resenja.Primetimo sledece: opsti homogenizovani dinamicki sistem (4.8) se mozelinearizovati, odnosno svesti na (4.9). Naime, posto je f ∈ C(1)(D), D ⊂ Rn,tada je f(x) = f ′(0) · x + R(x), gde je f(0) = 0, f ′(0) = [ ∂fi

∂xi]n×n(0) i

∥R(x)∥ ≤ k∥x∥2, u nekoj okolini O0 oko 0, za k = const. Sada mozemo daposmatramo linearan sistem sa konstantnim koeficijentima

x′ = f ′(0) · x. (4.10)

Dolazimo do fundamentalnih teorema u teoriji stabilnosti resenja dinamickihsistema.

Teorema 4.10. [Prva teorema Ljapunova] Ako u linearizovanom ho-mogenizovanom sistemu (4.10) sve sopstvene vrednosti matrice f ′(0) imajunegativan realni deo tada je polozaj ravnoteze x = 0 asimptotski stabilan.

GLAVA 4. PRIMENE 73

Ako je realni deo makar jedne sopstvene vrednosti matrice f ′(0) pozitivan,onda je x = 0 nestabilan polozaj ravnoteze tog sistema.

Definicija 4.9. Funkcija v(x), pozitivno definitna u okolini O0 tacke x0naziva se funkcija Ljapunova za sistem (4.8) ako je

v′(x) =n∑i=1

∂v

∂xi(x)fi(x) ≤ 0, x ∈ O0.

Teorema 4.11. [Druga teorema Ljapunova] Neka je za sistem (4.8)funkcija f ∈ C(1)(D) i tacka x = 0 polozaj ravnoteze. Pretpostavimo dau nekoj okolini O0 oko 0 postoji pozitivno definitna funkcija v, neprekidno-diferencijabilna u toj okolini, sa osobinom:(1) ako je v′(x) ≤ 0 za x ∈ O0 \ 0, polozaj ravnoteze x = 0 je stabilan;(2) ako je v′(x) < 0 za x ∈ O0 \ 0, polozaj ravnoteze x = 0 je asimptotskistabilan;(3) ako je v′(x) > 0 za neko x ∈ O0 \ 0, polozaj ravnoteze x = 0 jenestabilan.

Beskonacno-dimenzionalni slucaj

Posmatrajmo sada funkcionalni dinamicki sistem, zadat kao:

d

dtZ = AZ (4.11)

gde je A dati operator sistema.U cilju ispitivanja stabilnosti resenja (4.11), pozabavicemo se najpre resavanjemoperatorske jednacine Ljapunova:

AX +XA∗ = −I. (4.12)

Teorema 4.12. Ako je spektar linearnog operatora A ∈ B(H) sadrzan uotvorenoj levoj poluravni, onda postoji jedinstven pozitivan invertibilan op-erator X koji je resenje jednacine Ljapunova (4.12).Dokaz. S obzirom da je Re σ(A) < 0, isto tvrdenje vazi i za A∗, te jeσ(A) ∩ σ(−A∗) = ∅. Po Silvester-Rozenblumovoj jednacini sledi da postojijedinstveno X tako da je AX +XA∗ = −I. Pokazacemo da je X pozitivnoi invertibilno.Konjugovanjem poslednje jednakosti, sledi da je X∗A∗ + AX∗ = −I, te izjedinstvenosti resenja (Silvester-Rozenblum), sledi da je X samokonjugovanoperator. Bez gubljenja opstosti, mozemo pretpostaviti da je numericki rang

GLAVA 4. PRIMENE 74

operatora A sadrzan u otvorenoj levoj poluravni. Pretpostavimo da je λ ∈σ(X) ⊂ R i f ∈ H \ 0 takvo da je Xf = λf. Tada je

⟨−f, f⟩ = ⟨(AX +X∗A)f, f⟩ = ⟨(AXf, f⟩+ ⟨Af,Xf⟩ = 2λ⟨Af, f⟩.

Kako su Re⟨Af, f⟩ i ⟨−f, f⟩ negativni realni brojevi, sledi da je λ > 0.Drugim recima, X je pozitivno-definitan operator.

Napomena. U prethodnoj teoremi smo podrazumevali da je spektar op-eratora X zapravo skup njegovih sopstvenih vrednosti. Ta cinjenica je tacnaza konacno-dimenzionalne prostore, dok u beskonacno-dimenzionalnim pros-torima, u opstem slucaju ne vazi. Medutim, za beskonacno-dimenzionalneprostore se analognim postupkom dokazuje da su sve aproksimativne sop-stvene vrednosti operatora X pozitivne, odakle sledi trazena definitnost.

Napomena. Primetimo da je umesto I u prethodnoj teoremi mogao stajatima koji pozitivno definitan invertibilan operator.U narednoj teoremi ilustrujemo vezu izmedu resenja jednacine (4.12) i sta-bilnosti resenja dinamickog sistema (4.11).

Teorema 4.13. Ako je A dati operator na Hilbertovom prostoru, takav damu je spektar sadrzan u otvorenoj levoj poluravni, tada je svako resenjevektorske diferencijalne jednacine (4.11) stabilno po Ljapunovu, u smislu dalimt→+∞

∥Z(t)∥ = 0.

Dokaz. Neka je X pozitivno definitno resenje jednacine Ljapunova (4.12),cije su egzistencija i jedinstvenost obezbedeni prethodnom teoremom. Definisimorealnu ne-negativnu funkciju F = F (t) := ⟨XZ(t), Z(t)⟩. Kako je po pret-postavci teoreme operatorska funkcija Z diferencijabilna po t, to je i Fdiferencijabilna i vazi: F ′(t) = ⟨XZ ′(t), Z(t)⟩ + ⟨XZ(t), Z ′(t)⟩. Kako jeZ ′(t) = AZ(t), to je

F ′(t) = ⟨XAZ(t), Z(t)⟩+⟨XZ(t), AZ(t)⟩ = ⟨(XA+A∗X)Z(t), Z(t)⟩ = −∥Z(t)∥2.

Neka je δ > 0 takvo da je X ≥ δI. Tada F (t) = ⟨XZ(t), Z(t)⟩ ≥ δ∥Z(t)∥2,te je

F ′(t)

F (t)≤ −∥Z(t)∥2

∥X∥∥Z(t)∥2=

−1

∥X∥,

odnosno ln(F (t)) ≤ −t∥X∥ + c, za neku konstantu c, tj. F (t) ≤ ec−t/∥X∥. Sledi

da je F (t) majorirana funkcijom iz prostora Svarca, odnosno limt→+∞

F (t) = 0.

Kako je F (t) ≥ δ∥Z(t)∥2, tvrdenje teoreme direktno sledi.

GLAVA 4. PRIMENE 75

4.4 Primene u kvantnoj mehanici

U kvantnoj mehanici, jedna cestica koja se nalazi u R3 se opisuje talasnomfunkcijom:

ψ(x, t) : R3 × R → C, (4.13)

gde x odgovara polozaju tacke u prostoru a t u vremenu. Prostorni polozajx date cestice je velicina koja se moze posmatrati tj. meriti, te se nazivaopservabla stanja.Matematicki posmatrano, ψ je kvadratno integrabilna funkcija, ciji se moduoponasa kao gustina verovatnoce, odnosno

∥ψ∥2 =∫R3

|ψ(x, t)|2dx = 1, t ∈ R.

U stvarnosti nije moguce neposredno meriti x, vec samo izvesne funkcije odx. Zato se najcesce ispituje da li se cestica nalazi u nekom skupu Ω ⊂ R3

pomocu uslovnog ocekivanja:

Eψ(χΩ) =

∫R3

χΩ(x)|ψ(x, t)|2dx =

∫Ω

|ψ(x, t)|2dx,

gde je χΩ karakteristicna funkcija skupa Ω.Da bi se napravio adekvatan matematicki model, svaki fizicki sistem najpretreba aksiomatizovati. Stoga uvodimo aksiome kvantne mehanike:

(A1) Konfiguracijski (ili fazni) prostor datog kvantno-mehanickog sistema jeseparabilan kompleksan Hilbertov prostor H, a moguca stanja ovog sistemapredstavljena su elementima ψ ∈ H takvima da je ∥ψ∥ = 1.(A2) Svakoj opservabli a odgovara linearan operator A definisan maksi-malno na gustom skupu D(A). Operator koji odgovara polinomu Pn(a) =∑n

j=0 αjaj je odgovarajuci polinom posmatranog operatora A : Pn(A) =∑n

j=0 αjAj, αj ∈ R, gde se uzima u obzir da je A neogranicen linearan op-

erator i shodno tome D(Pn(A)) = D(An) = ψ : D(A) : Aψ ∈ D(An−1),A0 = I.(A3) Ocekivana vrednost pri merenju a kada je sistem u stanju ψ ∈ D(A)data je sa Eψ(A) = ⟨ψ,Aψ⟩ = ⟨Aψ,ψ⟩, sto mora biti realan broj za sveψ ∈ D(A).(A4) Evolucija u vremenu je data jako neprekidnom jednoparametarskomunitarnom grupom (U(t))t≥0. Generator ove grupe odgovara energiji sistema.

GLAVA 4. PRIMENE 76

Prirodno je pretpostaviti da je jednoparametarska unitarna grupa (U(t))t≥0

jako neprekidna s desna, odnosno da vazi:

limt→0

U(t)ψ = U(t0)ψ, ψ ∈ H. (4.14)

Sada energiju sistema, odnosno generator jednoparametarske unitarne grupedefinisemo kao

Hψ = limt→0+

i

t(U(t)ψ − ψ), (4.15)

sa domenom D(H) = ψ ∈ H : limt→0+

it(U(t)ψ − ψ) postoji.

Definicija 4.10. Operator H, uveden jednakosti (4.15) se naziva Hamil-tonijanom datog kvantno-mehanickog sistema i odgovara ukupnoj energijisistema.Ako pretpostavimo da ψ(0) ∈ D(H), tada je ψ(t) resenje Sredingerovejednacine

id

dtψ(t) = Hψ(t). (4.16)

Pretpostavimo da je unapred poznata energija sistema, tj. da je unapredzadata unitarna jednoparametarska grupa

Uj(t)ψ(x) = e−itxjψ(x), j = 1, 3 (4.17)

Za ψ ∈ S3 vazi da

limt→0

e−itxjψ(x)− ψ(x)

t= txjψ(x). (4.18)

Istim postupkom za sve tri koordinate x1, x2 i x3 dolazimo do koordinatnogpomeraja u vektorskom obliku x = (x1, x2, x3).

Definicija 4.11. Prethodno uveden vektor x koji deluje na ψ(x) kao u (4.18)se naziva operatorom polozaja.Sada posmatrajmo jednoparametarsku grupu translacija

Uj(t)ψ(x) = ψ(x− tej), j = 1, 3. (4.19)

gde je ej jedinicni vektor u pravcu j−te koordinate. Kada diferenciramoprethodni izraz po t, dolazimo do

−i ∂∂xj

ψ(x) = limt→0

iψ(x− tej)− ψ(x)

t, (4.20)

te je njen generator pj = −i ∂∂xj

. Moguce je pokazati (posredstvom Furijeove

transformacije) da je pj unitarno ekvivalentan sa xj.

GLAVA 4. PRIMENE 77

Definicija 4.12. Operator p = (p1, p2, p3) opisan u (4.20) je operator im-pulsa.

Moze se pokazati da su spektri za xj i pj cisto apsolutno-neprekidni i da sudati sa σ(xj) = σ(pj) = R. Sledi da su operatori x i p neograniceni.Odredenosti radi, neka je sa P dat operator impulsa a sa Q operator polozaja.Pokazuje se da je PQ−QP = −ih

2πI, gde je h Plankova konstanta3. Postavlja

se pitanje da li je isti scenario moguc kada su P i Q ograniceni linearni oper-atori, preciznije: da li postoje ograniceni linearni operatori P i Q tako da jeidenticko preslikavanje I njihov komutator, PQ−QP = I. Odgovor je neg-ativan, a u dokazu se koriste cinjenice da je I invertibilan samokonjugovanoperator. Detaljniji dokaz se moze naci u [1] i tamo navedenim referencama.Sada se prirodno dolazi do problema minimizacije komutatora, odnosno: naciX, tako da za dati ogranicen linearan operator A velicina ∥I − AX +XA∥bude najmanja. Uzimajuci u obzir prethodnu relaciju, sada se problem prir-dono generalizuje: za date ogranicene linearne operatore A i B, naci X takoda je X = AX −XB. Da bismo primenili Silvester-Rozneblumovu teoremu,uvodimo dodatne pretpostavke. Neka je σ(A) ⊂ S1, σ(B) ⊂ Sc2, gde su S1 iS2 koncentricni diskovi, takvi da je S1 ⊂ S2 i dist(S1, S

c2) = δ > 0. Moze se

pokazati da je zadovoljena relacija

∥X∥ ≤ 1

δ∥AX −XB∥,

te smo na ovaj nacin dosli do procene velicine resenja jednacine X = AX −XB.

3h = 6.626070040 · 10−34J · s (,,Dzul-sekund”)

GLAVA 4. PRIMENE 78

4.4.1 Linearni vremenski-invarijantni sistemi

Dat je vremenski-invarijantnan sistemx′(t) = Ax(t) +Bu(t), t ≥ 0, x(0) = x0,

y(t) = Cx(t), t ≥ 0,(4.21)

gde su A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m, C ∈ Rp×n a opservabla stanja je funkcijaz : [0,+∞) → Rn takva da je za neku nesignularnu matricu Z ∈ Rn×n ie(t) := z(t)− Zx(t) ispunjeno:

limt→+∞

e(t) = 0.

Klasican nacin konstrukcije opservable stanja je sledeci. Uveo ga je Luenen-berg i detaljna konstrukcija se nalazi u [22]. Ideja je da se uoci jos jedandinamicki sistem

z′(t) = Hz(t) + Fy(t) +Gu(t), (4.22)

cije je resenje trazena opsrevabla z(t). Ako je (A,C) opservirano i (H,F ) kon-trolisano, onda jedinstveno invertibilno resenje Silvesterove jednacine opserv-able

HX −XA+ FC = 0

postoji. Ako je pri tom G = XB, resenje z(t) za sistem (4.22) je opservablastanja sistema (4.21), za ma koju pocetnu vrednost x0, z(0) i ma koju pocetnufunkciju u(t).Priroda linearnih vremenski-invarijantnih sistema je takva, da je broj ulaznihparametara n mnogo veci od broja posmatranih parametara p. Zato jeprikladno takve sisteme modelirati n-dimenzionalnim matricama koje imajurang p, jer dimenzija slike (rang preslikavanja) predstavlja broj posmatranihparametara. Stoga je u interesu redukcija datog modela, odnosno kako re-dukovati dati matricni sistem da bude jednostavniji za analizu a da se pritom ne izgube informacije bitne za analizu eksperimenta. Poenta je doci dopomocnog vremenski-invarijantnog linearnog sistema,

x′(t) = Ax(t) + Bu(t) t ≥ 0, x(0) = x0,

y(t) = Cx(t) t ≥ 0,(4.23)

gde su A ∈ Rr×r, B ∈ Rr×m, C ∈ Rp×r, tako da je prostor-vremenskadimenzija r sistema (4.23) mnogo manja od polazne dimenzije n u (4.21) igreska izlaznog vektora y(t)− y(t) je vrlo mala, za istu pocetnu funkciju u(t).Jedan od nacina redukcije datog sistema je izlozen [1] i koristi faktorisanoresenje Silvesterove jednacine, numericki metod koji je izlozen u ovoj tezi.

Literatura

[1] P. Benner - Factorized solutions of Sylvester equations wth appli-cations in control, in Proc. of the 16th International Symposiumon Mathematical Theory of Network and Systems (MTNS 2004),2004.

[2] R. Bhatia, P. Rosenthal - How and why to solve the operator equa-tion AX −XB = Y , Bull. London Math. Soc. 29 1–21, 1997.

[3] R. Byers - Solving the algebraic Ricatti equation with the matrixsign function, Linear Algebra Appl. 85 267–279, 1987.

[4] N. C. Dincic - Osnovi Furijeove analize, zbirka resenih zadataka,prvo izdanje, Univerzitet u Nisu, Prirodno-matematicki fakultet,Nis, 2014.

[5] M. P. Drazin - On a result of J.J. Sylvester, Linear Algebra Appl.505 361–366, 2016.

[6] M. Eisenberg - Topology, Holt, Rinehart and Winston Inc. Unives-rity of Massachusetts, Amherst, 1974.

[7] Q. Hu, D. Cheng - The polynomial solution to the Sylvster matrixequation, Applied Mathematics Letters 19 859–86, 2006.

[8] D. Y. Hu, L. Reichel - Krylov-subspace methods for the Sylvesterequation, Linear Algebra Appl. 172 283–313, 1992.

[9] S. Jankovic - Diferencijalne jednacine, Drugo izdanje, Univerzitetu Nisu, Prirodno-matematicki fakultet, Nis, 2004.

[10] X. Jin, Y. Wei - Numerical linear algebra and its applications, SCI-ENCE PRESS USA Inc. Beijing, 2005.

[11] S. Kurepa - Funkcionalna analiza, elementi teorije operatora,Skolska knjiga, Zagreb, 1981.

79

LITERATURA 80

[12] N. T. Lan -On the operator equation AX−XB = C with unboundedoperators A,B, and C, Abstract and Applied Analysis 6 (6) 317–328, 2001.

[13] E-C. Ma - A finite series solution of the matrix equation AX −XB = C, SIAM Journal on Applied Mathematics 14 (3) 490–435,1966.

[14] S. Mecheri -Why we solve the operator equation AX−XB = C, pre-print, http://faculty.ksu.edu.sa/smecheri/Documents/equasem.pdf

[15] V. Rakocevic - Funkcionalna analiza, Naucna knjiga, Beograd 1994.

[16] J.D. Roberts - Linear model reduction and solution of the algebraicRicatti equation by use of the sign function, Internat. J. Control 32677–687, 1980.

[17] M. Rosenblum - On the operator equation BX − XA = Q, DukeMath. J. 23, 263–270, 1956.

[18] M. Rosenblum - The operator equation BX − XA = Q with self-adjoint A and B, Proc. Amer. Soc. 20, 115–120, 1969.

[19] W. E. Roth - The equations AX − Y B = C and AX −XB = C inmatrices, Proc. Amer. Math. Soc. 3, 392–396, 1952.

[20] W. Rudin - Real and complex analisys, 3rd edition, McGraw-Hill,New York, 1991.

[21] A. R. Schweinsberg - The operator equation AX − XB = C withnormal A and B, Pacific Journal of Mathematics 102 (2) 447-453,1982.

[22] G. Teschl - Mathematical Methods in Quantuum Mechanics, withapplications to Schrodinger perators, Amer. Math. Soc. Providence,Rhode Island, 2009.

[23] K. Yosida - Functional Analysis, Sixth edition, Springer, VerlagBerlin Heidelberg, 1980.

Biografija

Bogdan -Dordevic je roden 05.05.1993. godine u Leskovcu, Republika Sr-bija. Osnovnu skolu “Ucitelj Tasa” u Nisu, kao i specijalizovano matematickoodeljenje gimnazije “Svetozar Markovic” u Nisu, zavrsio je kao nosilac Vukovihdiploma. Ucestvovao je na takmicenjima iz matematike i fizike. Pohadaoje seminare matematike u Istrazivackoj stanici Petnica. Bio je glavni au-tor rada: “Reprezentovanje pletenica rotacijama” i isti je prezentovao naPetnickoj konferenciji u Novom Sadu 2011. godine.Prirodno - matematicki fakultet u Nisu, odsek za matematiku, upisao je

skolske 2012/13. godine. Osnovne akademske studije Matematika zavrsio je2015. godine sa prosecnom ocenom 10. Master akademske studije Matem-atika na Prirodno-matematickom fakultetu u Nisu upisao je skolske 2015/16.godine. Prosecna ocena na master akademskim studijama je 10. Za vremestudiranja, Bogdan -Dordevic je bio dvostruki stipendista Fonda za mladetalente “Dositej Obradovic”.Skolske 2015/16. i 2016/17. godine Bogdan -Dordevic je drzao vezbe

iz predmeta Matematicka analiza 2 i Uvod u kompleksnu analizu na os-novnim akademskim studijama Matematika, Prirodno-matematickog fakul-teta u Nisu.Bogdan -Dordevic je objavio jedan naucni rad:

1. Bogdan D. Djordjevic, The singular value of A+B and αA+βB, AnaleleStiintifice Ale Universitatii “Al.I.Cuza” Din Iasi (S.N.) Matematica, TomLXII, f.2 vol 3 (2016), 737-743.

Svoje naucne rezultate Bogdan -Dordevic, je prezentovao na naucnoj kon-ferenciji 11th International Symposium on Geometric Function Theory andApplications, August 24-27, 2015, Ohrid, Republic of Macedonia, i pri tomje odrzao predavanje pod nazivom: Singular values of some matrix pencils.

81