Relación de ejercicios 1: SeriesdeFourier,problemasdecontorno...

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1 MODELOS MATEMÁTICOS II Curso 12–13 Relación de ejercicios 1: Series de Fourier, problemas de contorno, ecuaciones en derivadas parciales y cálculo de variaciones 1.- Determina los valores propios y las funciones propias del problema x 00 +4x 0 + (4 + 9λ)x =0 , x(0) = x 0 (1) = 0 . Solución: Se trata de un problema de contorno lineal y de segundo orden con coefi- cientes constantes, luego resolvemos en primer lugar la ecuación característica asociada μ 2 +4μ + (4 + 9λ)=0 . Si λ =0 se tiene que la única raíz de la ecuación característica es μ = -2 con multiplicidad dos, luego las soluciones de x 00 +4x 0 +4x =0 son todas de la forma x(t)= Ae -2t + Bte -2t , A, B IR. Imponiendo las condiciones de contorno obtenemos A = B =0, que nos conduce a la solución trivial; por consiguiente, λ =0 no puede ser un valor propio. Para λ< 0 las raíces de la ecuación característica son μ = -2 ± 3 p |λ|, que dan lugar a las soluciones x(t)= Ae -2+3 |λ| t + Be -2-3 |λ| t , A, B IR. Imponiendo nuevamente las condiciones de contorno volvemos a obtener A = B =0, por lo que tampoco hay valores propios negativos. Finalmente, para valores λ> 0 obtenemos μ = -2 ± 3 λi, luego todas las soluciones de x 00 +4x 0 + (4 + 9λ)x =0 son de la forma x(t)= e -2t Asen ( 3 λt ) + B cos ( 3 λt ) , A, B IR. Al imponer las condiciones de contorno x(0) = x 0 (1) = 0 se tiene que B =0 , 3 λ cos ( 3 λ ) =2sen ( 3 λ ) . Por consiguiente, los valores propios de nuestro problema son aquellos λ> 0 que resuelven la ecuación trigonométrica 3 λ cos ( 3 λ ) =2sen ( 3 λ ) , (1) en tanto que las funciones propias asociadas son de la forma x λ (t)= Ae -2t sen ( 3 λt ) , A IR,

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MODELOS MATEMÁTICOS IICurso 12–13

Relación de ejercicios 1: Series de Fourier, problemas de contorno,ecuaciones en derivadas parciales y cálculo de variaciones

1.- Determina los valores propios y las funciones propias del problema

x′′ + 4x′ + (4 + 9λ)x = 0 , x(0) = x′(1) = 0 .

Solución: Se trata de un problema de contorno lineal y de segundo orden con coefi-cientes constantes, luego resolvemos en primer lugar la ecuación característica asociada

µ2 + 4µ+ (4 + 9λ) = 0 .

Si λ = 0 se tiene que la única raíz de la ecuación característica es µ = −2 con multiplicidaddos, luego las soluciones de x′′ + 4x′ + 4x = 0 son todas de la forma

x(t) = Ae−2t +Bte−2t , A,B ∈ IR .

Imponiendo las condiciones de contorno obtenemos A = B = 0, que nos conduce a lasolución trivial; por consiguiente, λ = 0 no puede ser un valor propio. Para λ < 0 lasraíces de la ecuación característica son µ = −2± 3

√|λ|, que dan lugar a las soluciones

x(t) = Ae

(−2+3√|λ|

)t+Be

(−2−3√|λ|

)t, A,B ∈ IR .

Imponiendo nuevamente las condiciones de contorno volvemos a obtener A = B = 0, porlo que tampoco hay valores propios negativos. Finalmente, para valores λ > 0 obtenemosµ = −2± 3

√λ i, luego todas las soluciones de x′′ + 4x′ + (4 + 9λ)x = 0 son de la forma

x(t) = e−2t(Asen

(3√λ t)

+B cos(3√λ t)), A,B ∈ IR .

Al imponer las condiciones de contorno x(0) = x′(1) = 0 se tiene que

B = 0 , 3√λ cos

(3√λ)

= 2sen(3√λ).

Por consiguiente, los valores propios de nuestro problema son aquellos λ > 0 que resuelvenla ecuación trigonométrica

3√λ cos

(3√λ)

= 2sen(3√λ), (1)

en tanto que las funciones propias asociadas son de la forma

xλ(t) = Ae−2tsen(3√λ t), A ∈ IR ,

2

para todos aquellos valores λ > 0 que resuelven (1).

20 40 60 80 100

-20

-10

10

20

Figure 1: Las soluciones de la ecuación (1) son los ceros de la función representada: 0, 2.03042,6.41195, 12.9904, 21.7629, . . .

2.- Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones.

(a) El desarrollo en serie de Fourier de la función f(x) = x en (−π, π) es

2∑n≥1

(−1)n+1 sen(nx)

n.

(b) El desarrollo en serie de Fourier de la función f(x) = x converge hacia f en (−π, π).

(c) El problema de contorno(tx′)′ + x

t= −1

t, 1 ≤ t ≤ eπ

x′(1) = 1x(eπ) + x′(eπ) = 0

,

tiene infinitas soluciones.

(d) Los valores propios del problema de contorno

t2x′′ + tx′ = −λx , λ ∈ IR , x′(1) = x(eπ) = 0 ,

son λn = nπ para todo n ≥ 1 y las funciones propias son

xn(t) = cos

[(2n+ 1

2

)log(t)

].

3

Solución: (a) VERDADERA. El desarrollo de Fourier es de la forma

x ∼ a0

2+∞∑n=1

an cos[n(x+ π)] + bnsen[n(x+ π)]

,

con

an =1

π

∫ π

−πx cos[n(x+ π)] dx , n ∈ IN ∪ 0 ,

bn =1

π

∫ π

−πxsen[n(x+ π)] dx , n ∈ IN .

Claramente a0 = 0. Asimismo, por ser la función x cos(nx) impar se tiene

an =(−1)n

π

∫ π

−πx cos(nx) dx = 0 , n ∈ IN .

Por otro lado

bn =(−1)n

π

∫ π

−πxsen(nx) dx =

(−1)n

π(−1)n+1 2π

n= − 2

n.

Entonces

x ∼ −2∞∑n=1

sen[n(x+ π)]

n= 2

∞∑n=1

(−1)n+1 sen(nx)

n.

(b) VERDADERA. La complitud del sistema trigonométrico garantiza la convergenciaen L2(−π, π).

(c) FALSA. La ecuación diferencial puede ser reescrita de la siguiente forma:

t2x′′ + tx′ + x = −1 , (2)

admitiendo claramente como solución particular la función constante x ≡ −1. Bastarápues con encontrar la solución general de la ecuación homogénea t2x′′ + tx′ + x = 0, quees del tipo Euler. Es conocido que el cambio de variable t = es transforma esta última enuna ecuación lineal con coeficientes constantes, a saber: y′′+ y = 0, cuya solución generalviene dada por

y(s) = A cos(s) +Bsen(s) , A,B ∈ IR .

Deshaciendo finalmente el cambio de variable y tomando en consideración la soluciónparticular encontrada anteriormente, se tiene que la solución general de la ecuación (4) esde la forma

x(t) = A cos(ln(t)) +Bsen(ln(t))− 1 , A,B ∈ IR .

Aplicando ahora las condiciones de contorno deducimos fácilmente que

x′(1) = B = 1 ,

x(eπ) + x′(eπ) = −A− 1−Be−π = 0 ,

4

luego A = −(1 + e−π

), B = 1 y la única solución del problema planteado es

x(t) = −(1 + e−π) cos(log(t)) + sen(log(t))− 1 .

(d) FALSA. Si xn(t) = cos[(

2n+12

)log(t)

]fuese una función propia del problema

planteado asociada al valor propio λn = nπ, habría de resolver (en particular) la ecuación

t2x′′n + tx′n + nπxn = 0 .

Sin embargo

x′n(t) = −(

2n+ 1

2t

)sen[(

2n+ 1

2

)log(t)

],

x′′n(t) =

(2n+ 1

2t2

)sen[(

2n+ 1

2

)log(t)

]−(

2n+ 1

2t

)2

cos

[(2n+ 1

2

)log(t)

],

en cuyo caso resulta la relación

nπ =

(2n+ 1

2

)2

,

que es absurda.

3.- Sea la función f(x) = cos(x)− 1 + 2xπ

definida en el intervalo [0, π].

(a) Calcula el desarrollo en serie de Fourier de senos de f .

(b) ¿Converge dicho desarrollo uniformemente en [0, π]?

(c) ¿Satisfacen sus coeficientes la identidad de Parseval?

(d) Demuestra que

cos(x) = 1− 2x

π− 2

π

∑k≥1

sen(2kx)

k(1− 4k2).

Solución: (a) La serie de Fourier de senos de f se define como

f(x) ≈∞∑n=1

bnsen(nx) , bn =2

π

∫ π

0

f(x)sen(nx) dx

en el intervalo [0, π]. En nuestro caso se tiene

bn =2

π

∫ π

0

(cos(x)− 1 +

2x

π

)sen(nx) dx

=2

π

[n

n2 − 1

(1 + (−1)n

)+

1

n(cos(nπ)− 1) +

2

π

(− π

ncos(nπ)

)]= − 2

[n2

1− n2

(1 + (−1)n

)+ 1 + cos(nπ)

]= − 2

n(1− n2)π

(1 + (−1)n

)=

0 si n es impar

− 4n(1−n2)π

si n es par ,

5

luego

f(x) ≈ − 2

π

∞∑n=1

sen(2nx)

n(1− 4n2).

(b) SI, ya que f : [0, π] → IR es continua, f ′(x) = 2π− sen(x) también lo es (habría

bastado con que fuese continua a trozos) y f(0) = f(π) = 0.

(c) NO. Por un lado se tiene que

‖f‖2L2(0,π) =

∫ π

0

(cos(x)− 1 +

2x

π

)2

dx

=

∫ π

0

cos(x)2 dx− 2

∫ π

0

cos(x) dx+ π +4

π2

∫ π

0

x2 dx+4

π

∫ π

0

x(cos(x)− 1) dx

2+ π +

3− 8

π− 2π =

5π2 − 48

6π,

mientras que por otro lado1

∞∑n=1

(√π bn)2 =

4

π

∞∑n=1

1

n2(1− 4n2)2=

5π2 − 48

3π.

Lo cual estaba teóricamente justificado de antemano, pues∞∑n=1

c2n = ‖fimpar‖2

L2([−π,π]) = 2‖f‖2L2([0,π]) ,

donde fimpar denota la extensión impar de f al intervalo [−π, π] y cnn∈IN son los coe-ficientes de Fourier del desarrollo trigonométrico de fimpar (de entre los cuales los únicosno nulos son cn =

√π bn, que preceden a los senos en el desarrollo).

(d) Como el desarrollo en serie de senos converge uniformemente hacia f podemosescribir

cos(x)− 1 +2x

π= − 2

π

∞∑n=1

sen(2nx)

n(1− 4n2),

de donde obtenemos inmediatamente la identidad deseada.

4.- Se pide:

(a) Resuelve el siguiente problema mixto para la ecuación del telégrafo mediante elmétodo de separación de variables:

∂2u∂t2

+ 2∂u∂t

+ u = ∂2u∂x2, t > 0, x ∈ (0, π),

u(0, x) = sen(x), x ∈ [0, π],∂u∂t

(0, x) = 0, x ∈ [0, π],u(t, 0) = u(t, π) = 0, t > 0.

1Obsérvese que el sistema de senos es ortonormal solo si sus elementos están normalizados a la unidad,es decir, si consideramos el sistema

sen(nx)√π

n∈IN

, por lo que los coeficientes de Fourier asociados pasan

a ser de la forma√π bn

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(b) Encuentra una solución del problemautt − uxx = sen(x), t ∈ IR, x ∈ (0, π),u(0, x) = ut(0, x) = 0, x ∈ [0, π],u(t, 0) = u(t, π) = 0, t ∈ IR.

(Sugerencia: Búscala de la forma u(t, x) = v(x) + w(t, x), con v(0) = v(π) = 0 y wuna solución de la ecuación de ondas homogénea). ¿Hay más soluciones?

Solución: (a) Buscamos soluciones de la forma u(t, x) = v(t)w(x). Sustituyendo estaexpresión en la ecuación del telégrafo obtenemos

(v′′(t) + 2v′(t) + v(t))w(x) = v(t)w′′(x)⇔ v′′(t) + 2v′(t) + v(t)

v(t)=w′′(x)

w(x),

de donde se concluye que

v′′(t) + 2v′(t) + v(t)

v(t)= −λ =

w′′(x)

w(x).

Separando ahora las ecuaciones para v(t) y w(x) nos queda

v′′(t) + 2v′(t) + (1 + λ)v(t) = 0 , w′′(x) + λw(x) = 0 .

El problema de Sturm–Liouville conformado por la ecuación para w(x) junto con lascondiciones de contorno w(0) = w(π) = 0 es bien conocido; en efecto, únicamente el casoen que λn = n2, con n ∈ IN , genera (las siguientes) soluciones no triviales:

wn(x) = ksen(nx) , k ∈ IR .

Resolvemos a continuación la ecuación

v′′(t) + 2v′(t) + (1 + n2)v(t) = 0 ,

obteniendo la solución general

vn(t) = e−t(A cos(nt) +Bsen(nt)) , A,B ∈ IR .

Luegoun(t, x) = e−t

(c1 cos(nt) + c2sen(nt)

)sen(nx) , c1, c2 ∈ IR .

Imponiendo finalmente las condiciones iniciales

un(0, x) = c1sen(nx) = sen(x)⇒ c1 = 1 , n = 1 ,

∂un∂t

(0, x) =[e−t((c2n− c1) cos(nt)− (c1n+ c2)sen(nt)

)sen(nx)

](0, x)

= (c2n− c1)sen(nx) = 0⇒ c2 =c1

n= 1 ,

7

obtenemosu(t, x) = e−t(cos(t) + sen(t))sen(x) .

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figure 2: Evolución temporal de la solución del Ejercicio 5 (c).

(b) Sustituyendo la expresión sugerida (u(t, x) = v(x) + w(t, x)) en la ecuación deondas obtenemos

wtt(t, x)− v′′(x)− wxx(t, x) = −v′′(x) = sen(x) ,

donde hemos usado que w(x) se ha elegido para que resuelva la ecuación de ondas ho-mogénea wtt = wxx. Por tanto, integrando dos veces se obtiene

v(x) = sen(x) + Ax+B , A,B ∈ IR .

Aplicando ahora las condiciones v(0) = v(π) = 0 llegamos a que ha de ser A = B = 0, dedonde se desprende que v(x) = sen(x).

Por otra parte, aplicando las condiciones de contorno u(t, 0) = u(t, π) = 0 se obtienew(t, 0) = w(t, π) = 0. Finalmente, haciendo uso de los datos iniciales u(0, x) = ut(0, x) =0 llegamos a

w(0, x) = −sen(x) , wt(0, x) = 0 .

Únicamente falta por determinar la función w(t, x). Pero recopilando la informaciónanterior sabemos que w(t, x) resuelve el siguiente problema mixto para la ecuación deondas homogénea:

wtt = wxx, t ∈ IR, x ∈ (0, π),w(0, x) = −sen(x), x ∈ [0, π],wt(0, x) = 0, x ∈ [0, π],w(t, 0) = w(t, π) = 0, t ∈ IR.

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Buscamos soluciones con variables separadas de la forma w(t, x) = α(t)β(x). Entonces

α′′(t)

α(t)=β′′(x)

β(x)= −λ .

Comenzamos resolviendo el problema de contornoβ′′(x) + λβ(x) = 0 , x ∈ (0, π)β(0) = β(π) = 0

,

que únicamente admite soluciones no triviales si λn = n2, n ∈ IN , de donde se desprendefácilmente que ha de ser

βn(x) = ksen(nx) , k ∈ IR .Resolvemos a continuación la ecuación en t, obteniendo

αn(t) = A cos(nt) +Bsen(nt) , A,B ∈ IR .

En consecuencia

wn(t, x) =(c1 cos(nt) + c2sen(nt)

)sen(nx) , c1, c2 ∈ IR .

Al aplicar en última instancia las condiciones iniciales se obtiene

wn(0, x) = c1sen(nx) = −sen(x)⇒ c1 = −1, n = 1,

(wn)t(0, x) =[n(− c1sen(nt) + c2 cos(nt)

)sen(nx)

](0, x)

= c2nsen(nx) = 0⇒ c2 = 0 ,

que nos proporciona w(t, x) = − cos(t)sen(x). Finalmente, la solución buscada es

u(t, x) = v(x) + w(t, x) = (1− cos(t))sen(x) .

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figure 3: Evolución temporal de la solución del Ejercicio 5 (d).

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5.- Se considera el funcional F : C1([x0, x1])→ IR definido por

F [y] =

∫ x1

x0

F (x, y(x), y′(x)) dx ,

donde F ∈ C2([x0, x1] × D), siendo D un subconjunto convexo de IR2 y F una funciónconvexa.

(a) Deduce de forma justificada la ecuación de Euler–Lagrange que deben satisfacerlos posibles extremos locales de F que sean de clase C2([0, 1]). ¿Cuáles son lascondiciones de contorno que han de satisfacer los extremales?

(b) Demuestra que y ∈ C2([0, 1]) es solución del problema de minimización si y sólo sies un extremal.

(c) Calcula el mínimo de

F [y] =

∫ 2

1

2y2 +

x2

2(y′)2 − 4y

dx

en C1([1, 2]).

Solución: (a) Sean y ∈ C2([0, 1]) un extremo local de F y ϕ ∈ C2([0, 1]) una funcióntest arbitraria. Dado ε ∈ IR, consideremos la perturbación de y(x) determinada poryε(x) = y(x) + εϕ(x). Claramente yε ∈ C2([0, 1]). Podemos hacer la deducción (sinpérdida de generalidad) para el caso en que y ∈ C2([0, 1]) es un mínimo local de F , luegoF [y+εϕ] ≥ F [y]. Esto equivale a afirmar que la función ε 7→ F [y+εϕ] alcanza un mínimoen ε = 0 y, por tanto, derivando la integral con respecto al parámetro ε obtenemos

0 =d

(F [y + εϕ]

)(ε = 0)

=

(∫ 1

0

Fy(x, y + εϕ, y′ + εϕ′)ϕ+ Fp(x, y + εϕ, y′ + εϕ′)ϕ′

dx

)(ε = 0)

=

∫ 1

0

Fy(x, y, y

′)ϕ+ Fp(x, y, y′)ϕ′dx .

Integrando ahora por partes se concluye que

0 =

∫ 1

0

Fy(x, y, y

′)− d

dx

(Fp(x, y, y

′))ϕdx

+ Fp(1, y(1), y′(1))ϕ(1)− Fp(0, y(0), y′(0))ϕ(0) (3)

para toda función ϕ ∈ C2([0, 1]). En particular, si elegimos ϕ ∈ C2([0, 1]) tal que ϕ(0) =ϕ(1) = 0 se tiene que∫ 1

0

Fy(x, y, y

′)− d

dx

(Fp(x, y, y

′))ϕdx = 0 .

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Entonces una aplicación directa del lema fundamental del cálculo de variaciones nos per-mite concluir que

Fy −dFpdx

= 0 , (4)

por lo que (3) se traduce en

Fp(1, y(1), y′(1))ϕ(1)− Fp(0, y(0), y′(0))ϕ(0) = 0 (5)

para toda ϕ ∈ C2([0, 1]). Finalmente, la arbitrariedad de la función test ϕ nos permitededucir de (5) que las condiciones de contorno han de ser

∂F

∂y′(x = 0) =

∂F

∂y′(x = 1) = 0 . (6)

(b) El funcional F es convexo por ser la función F convexa. Asimismo D es convexopor ser el conjunto D convexo. Demostraremos que y(x) es un mínimo con respecto a Ddel funcional F si y solamente si y(x) es un extremal, es decir, resuelve la ecuación deEuler–Lagrange asociada a F . En el apartado anterior se comprobó que cualquier mínimolocal de F con respecto a D satisface la ecuación (4). Comprobemos a continuación elenunciado recíproco. Supongamos para ello que y ∈ D satisface (4). Dado cualquierelemento u ∈ D, podemos considerar una combinación convexa arbitraria λu + (1 − λ)ucon 0 < λ < 1. Entonces, por ser F convexa se tiene que

F [y + t(u− y)] = F [tu+ (1− t)y] ≤ tF [u] + (1− t)F [y] = F [y] + t(F [u]−F [y]) ,

es decir,F [y + t(u− y)]−F [y]

t≤ F [u]−F [y] .

Tomando límites en la desigualdad anterior cuando t→ 0 se obtiene

0 =d

dt

(F [y + t(u− y)]

)(t = 0) = lim

t→0

F [y + t(u− y)]−F [y]

t

≤ F [u]−F [y] ,

luego F [y] ≤ F [u] para todo u ∈ D, con lo que concluye la demostración.

(c) Denotemos p = y′ y

F (y, p) = 2y2 +x2p2

2− 4y ,

que es claramente una función convexa. En efecto, basta con observar que la matrizHessiana de F , dada por

HF (x) =

(∂2F∂y2

= 4 ∂2F∂y∂p

= 0∂2F∂p∂y

= 0 ∂2F∂p2

= x2

)es definida positiva. Entonces la ecuación de Euler–Lagrange asociada al problema varia-cional planteado es (cf. (4))

Fy −dFpdx

= 0 ,

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es decir,

0 = (4y − 4)− d

dx(x2y′) = 4y − 4− 2xy′ − x2y′′ . (7)

Claramente la función constante y ≡ 1 es una solución particular de esta ecuación. Portanto, para construir la solución general de la misma basta con conocer la solución generalde la ecuación homogénea x2y′′+2xy′−4y = 0, que es del tipo Euler. Haciendo el consabidocambio de variable x = ez podemos reducirla a una con coeficientes constantes, a saber:u′′ + u′ − 4u = 0, cuya solución general es

u(z) = Ae−1+

√17

2z +Be

−1−√17

2z , A,B ∈ IR .

Deshaciendo el cambio de variable obtenemos que la solución general de (7) es

y(x) = Ax−1+

√17

2 +Bx−1−

√17

2 + 1 , A,B ∈ IR .

Aplicando finalmente las condiciones de contorno (6) en el intervalo [1, 2], es decir y′(1) =y′(2) = 0, concluimos que la única solución posible a nuestro problema de minimizaciónes y ≡ 1.

6.- Sea Ω = [0, T ]× [0, 2π]. Se considera el siguiente funcional

F [y] =

∫Ω

(∂u

∂t

)2

−(∂u

∂x

)2

+∂u

∂xcos(2x)

d(x, t)

definido en el dominio

D = u ∈ C(Ω) : u(0, x) = u(T, x) = u(t, 0) = u(t, 2π) = 0 ,

donde t ∈ [0, T ] y x ∈ [0, 2π].

(a) Demuestra que si u ∈ C2(Ω), entonces la ecuación de Euler–Lagrange asociada alproblema variacional anterior es

∂2u

∂t2− ∂2u

∂x2= sen(2x) .

(b) Calcula una solución del problema mixto consistente en la ecuación de ondas de (a)junto con las siguientes condiciones iniciales y de contorno:

u(0, x) = sen(2x) ,∂u

∂t(0, x) = 0 , u(t, 0) = u(t, 2π) = 0 .

(Sugerencia: Búscala de la forma u(t, x) =∑∞

n=0 un(t) sen(nx2

)).

(c) ¿Es única la solución del problema planteado en (b)?

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Solución: (a) Definimos p = y′ y F (u, q, p) := q2−p2 +p cos(2x). Entonces la ecuaciónde Euler–Lagrange asociada al problema variacional planteado es

Fu −dFqdt− dFp

dt= 0 ,

donde hemos denotado q = ∂u∂t

y p = ∂u∂x. Obtenemos entonces

0 = −2d

dt

(∂u∂t

)− d

dx

(− 2

∂u

∂x+ cos(2x)

)= −2

∂2u

∂t2+ 2

∂2u

∂x2+ 2sen(2x) ,

que no es más que la ecuación del enunciado (a).

(b) Si buscamos una solución del problema planteado en (b) de la forma u(t, x) =∑∞n=0 un(t)sen(nx

2), ha de satisfacerse (formalmente)

∞∑n=0

(u′′n(t) +

n2

4un(t)

)sen(nx

2

)= sen(2x)

junto con las condiciones iniciales y de contorno, que aportan las relaciones adicionales

∞∑n=0

un(0)sen(nx

2

)= sen(2x) ,

∞∑n=0

u′n(0)sen(nx

2

)= 0 .

De este modo, habremos de resolver los problemas

u′′4(t) + 4u4(t) = 1 , u4(0) = 1 , u′4(0) = 0 ,

u′′n(t) +n2

4un(t) = 0 , un(0) = 0 , u′n(0) = 0 , n 6= 4 ,

de donde se obtiene

u4(t) =3 cos(2t) + 1

4, un(t) ≡ 0 si n 6= 4 .

Luego

u(t, x) =

(3 cos(2t) + 1

4

)sen(2x)

resuelve el problema planteado en (b).

13

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Figure 4: Evolución temporal de la solución del Ejercicio 7 (b).

(c) SI. En efecto, supongamos que u1(t, x) y u2(t, x) resuelven ambas el problemaplanteado en (b). Entonces la función v := u1 − u2 satisface el siguiente problema ho-mogéneo:

vtt = vxxv(0, x) = vt(0, x) = 0v(t, 0) = v(t, 2π) = 0

.

La función de energía asociada a este problema es

E(t) :=1

2

∫ 2π

0

(v2t + v2

x

)dx .

Claramente E ′(t) = 0, como se desprende de una sencilla integración por partes; luegoE(t) es constante y, en particular,

E(t) ≡ E(0) =1

2

∫ 2π

0

(vt(0, x)2 + vx(0, x)2

)dx = 0

para todo t ≥ 0 (ya que vt(0, x) = 0 = vx(0, x)). Por consiguiente, ha de cumplirsevt ≡ 0 ≡ vx, de donde se desprende que la función v(t, x) ha de ser constante. Comov(t, 0) = v(t, π) = 0, la única opción es v ≡ 0; luego u1 ≡ u2.

7.- Se considera el funcional

F [y] =

∫ π

0

(y′(x)2 − y(x)2

)dx

14

definido enD =

y ∈ C1[0, π] :

∫ π

0

y(x)2 dx = 1,

∫ π

0

y(x) dx = 0

.

(a) Calcula los valores propios y las funciones propias del problema de contorno

y′′ + y + λy = 0 , y′(0) = y′(π) = 0 .

(b) Calcula de forma justificada el mínimo de F [y] en D e indica en qué función sealcanza dicho mínimo.

Solución: (a) Es fácil observar que el valor de λ alrededor del cual debe discutirse laexistencia de soluciones no triviales del problema

y′′ + (1 + λ)y = 0 ,

y′(0) = y′(π) = 0 ,

es λ = −1. En tal caso la ecuación diferencial se reduce a y′′ = 0, cuya solución gen-eral viene dada por y(x) = Ax + B. Imponiendo entonces las condiciones de contornoobservamos que ha de ser A = 0, en tanto que el parámero B queda libre. Por consigu-iente, cualquier función constante resuelve el problema de Sturm–Liouville para λ = −1,de donde se desprende que λ = −1 es un valor propio del mismo con funciones propiasasociadas y(x) ≡ A ∈ IR. Si consideramos a continuación el caso λ < −1, encon-tramos que la solución general de la ecuación diferencial viene ahora determinada pory(x) = Ae

√−(1+λ)x + Be−

√−(1+λ)x. Aplicando las condiciones de contorno se obtiene el

sistema de ecuaciones

(A−B)√−(1 + λ) = 0 ,(

Ae√−(1+λ)π −Be−

√−(1+λ)π

)√−(1 + λ) = 0 ,

cuya única solución resulta ser A = B = 0. En consecuencia, no hay valores propios delproblema de Sturm–Liouville menores que −1. Finalmente, para el caso λ > −1 se obtienela solución general y(x) = A cos

(√1 + λx

)+B sen

(√1 + λx

), sujeta a las condiciones

B√

1 + λ = 0 ,

−A√

1 + λ sen(√

1 + λπ)

+B√

1 + λ cos(√

1 + λπ)

= 0 .

O, equivalentemente, B = 0 y λn = n2 − 1, los cuales generan las soluciones yn(x) =A cos(nx) para cualquier A ∈ IR.

En conclusión, los valores propios de nuestro problema son todos los de la formaλn = n2 − 1 para n = 0, 1, 2, . . . , en tanto que las funciones propias asociadas son

y(x) = A ∈ IR si λ = −1 (es decir, si n = 0) ,

yn(x) = A cos(nx), A ∈ IR, si λn = n2 − 1 con n = 1, 2, 3, . . . .

15

(b) Denotemos p = y′ y F (x, y, p) := p2 − y2, de modo que el funcional a minimizarno es otro que F [y] =

∫ π0F (x, y, p) dx. Como el espacio D en que se busca el mínimo de

F contiene ligaduras, emplearemos la técnica de los multiplicadores de Lagrange para en-contrarlo. Definimos para ello la siguiente corrección de F , que incorpora en su definiciónuna de las restricciones contempladas en D:

F ?(x, y, p) := F (x, y, p)− λy2 , λ = λ(x) .

Bastará entonces con resolver el problema de Euler–Lagrange asociado a F ? e imponerfinalmente a sus soluciones que se satisfagan ambas ligaduras, a saber:

∫ π0y(x) = 0,∫ π

0y(x)2 dx = 1. La ecuación de Euler–Lagrange que buscamos es la siguiente:

F ?y −

d

dx

(F ?p

)= Fy − 2λy − d

dx

(Fp)

= −2y − 2λy − 2y′′ = 0⇔ y′′ + (1 + λ)y = 0 ,

en tanto que las condiciones de contorno asociadas serán de tipo Newman: y′(0) = y′(π) =0, pues, dejando de lado las ligaduras, el espacio en que se busca el mínimo no es otro queC1[0, π] (sin condiciones de tipo Dirichlet predefinidas sobre los extremos). En definitiva,el problema de contorno de Euler–Lagrange que hemos de resolver es exactamente elplanteado en el apartado (a), del que ya conocemos sus valores propios y sus funcionespropias. Recordemos para acabar que los extremales serán únicamente aquellas solucionesy(x) del problema de Euler–Lagrange que verifiquen∫ π

0

y(x) = 0 ,

∫ π

0

y(x)2 dx = 1 . (8)

Luego

(i) si λ = −1, la única función propia que cumple la primera condición establecidaen (8) es y ≡ 0. Sin embargo, tal función no puede verificar simultáneamente lasegunda de las condiciones. Por consiguiente, el caso λ = −1 (o bien n = 0, si seatiende a la expresión λn = n2 − 1) no aporta extremales de F ;

(ii) si λn = n2 − 1 con n = 1, 2, 3, . . . , entonces yn(x) = A cos(nx) satisface la primeracondición de (8) si y solamente si

A

∫ π

0

cos(nx) dx =A

n

(sen(nπ)− sen(0)

)= 0 ,

condición que se cumple siempre cualquiera que sea A ∈ IR. Sin embargo, la segundaligadura solamente es satisfecha si

A2

∫ π

0

cos2(nx) dx = A2

∫ π

0

1 + cos(2nx)

2dx

=A2

2

(π +

1

2n

(sen(2nπ)− sen(0)

))=A2π

2= 1⇔ A = ±

√2

π.

16

Es decir, los extremales de nuestro problema (o candidatos a mínimo) son todas lasfunciones de la forma yn(x) = ±

√2π

cos(nx). Por otra parte, se tiene

F [yn] =

∫ π

0

y′n(x)2 − yn(x)2

dx =

∫ π

0

(∓√

2

πn sen(nx)

)2

−(±√

2

πcos(nx)

)2dx

=2

π

∫ π

0

(n2sen2(nx)− cos2(nx)

)dx =

2

π

∫ π

0

n2 − (1 + n2) cos2(nx)

dx

=2

π

(n2π − (1 + n2)

π

2

)= 2n2 − (1 + n2) = n2 − 1 ,

que alcanza su valor mínimo cuando n = 1.2 Consecuentemente, el mínimo de F [y] en Dvale 0 y se alcanza en y1(x) = ±

√2π

cos(x).

8.- Dada f ∈ C1[a, b], se considera el funcional

F [y] :=

∫ b

a

f(x)(1 + y′(x)2

)dx

definido en C10 [a, b]. Se pide:

(a) Determina la ecuación de Euler–Lagrange y las condiciones de contorno asociadasa este funcional.

(b) Demuestra que si 0 < a < b y f(x) = x, el funcional anterior tiene un único mínimoglobal. Calcúlalo.

Solución: (a) En este caso F (x, p) := f(x)(1 + p2), de modo que

Fy −d

dx(Fp) = − d

dx

(2pf(x)

)= −2y′′(x)f(x)− 2y′(x)f ′(x)

= −2(y′′(x)f(x) + y′(x)f ′(x)

)= 0⇔ fy′′ + f ′y′ = 0 ,

con condiciones de contorno asociadas y(a) = y(b) = 0, dado que las funciones pertenecientesal espacio C1

0 [a, b] se anulan en los extremos del intervalo.

(b) En este caso el funcional es estrictamente convexo, luego admite un único mínimoglobal. Si f(x) = x, la ecuación de Euler–Lagrange asociada al funcional se lee xy′′+y′ = 0o, de forma equivalente,

(xy′)′ = 0. Entonces se tiene que las soluciones han de cumplir

y′(x) = Axcon A ∈ IR, luego y(x) = A ln(x)+B, B ∈ IR. Imponiendo ahora las condiciones

de contorno obtenemos

y(a) = A ln(a) +B = 0, y(b) = A ln(b) +B = 0⇒ A = B = 0 ,

2Esta conclusión podría haberse avanzado sin necesidad de hacer el cálculo anterior, pues a nivelteórico es conocido que, con las restricciones impuestas en D, el mínimo del funcional coincide con elsegundo valor propio del problema de Sturm–Liouville asociado (demostrado en clase)

17

luego el mínimo de F se alcanza en y ≡ 0. Claramente F [0] :=∫ bax dx = b2−a2

2es el valor

mínimo del funcional.

9.- (a) Calcula los valores propios y las funciones propias del problema de contorno(t2y′)′ + λy = 0 ,y(1) = y(e) = 0 .

(b) A partir de los resultados de (a), justifica que el valor mínimo que alcanza elfuncional

F [y] :=

∫ e

1

t2(y′(t))2 dt ,

definido en D :=y ∈ C1

0 [1, e] :∫ e

1y(t)2 dt = 1

, es π2 + 1

4.

Solución: (a) La ecuación diferencial a resolver es t2y′′ + 2ty′ + λy = 0, que es deltipo Euler. Considerando entonces el cambio de variable t = es se obtiene la ecuación decoeficientes constantes x′′+ x′+ λx = 0. Calculamos sus soluciones general en función delos valores de λ:

(i) Si λ = 14, la solución general viene dada por x(s) = (A+Bs)e−

s2 , que en las variables

originales se corresponde con y(t) = 1√t

(A + B ln(t)

). Aplicando finalmente las

condiciones de contorno se obtiene A = B = 0, luego la única solución del problemade contorno es la trivial.

(ii) Si λ < 14, la solución general viene dada por x(s) = Aeµ+ s + Beµ− s, con µ± =

−12±√

1−4λ2

. Al recuperar las variables originales se obtiene y(t) = Atµ+ +Btµ− , quenuevamente nos conduce a la solución trivial después de imponer las condiciones decontorno.

(iii) Si λ > 14, la solución general viene dada por x(s) = e−

s2

(A sen

(√4λ−12

s)

+B cos(√

4λ−12

s))

,que en términos de las variables originales se traduce en

y(t) =1√t

(A sen

(√4λ− 1

2ln(t)

)+B cos

(√4λ− 1

2ln(t)

)).

Al aplicar las condiciones de contorno se obtiene B = 0 y

e−12A sen

(√4λ− 1

2

)= 0 ,

luego los valores propios son de la forma λn = n2π2 + 14, en tanto que las funciones

propias vienen dadas por yn(t) = A√tsen(nπ ln(t)

).

(b) Definimos p = y′, F (t, y, p) := t2p2 y F ?(t, y, p) := F (t, y, p) − µy2. La ecuaciónde Euler–Lagrange asociada a nuestro problema es

F ?y −

d

dt

(F ?p

)= Fy − 2µy − d

dt

(Fp)

= −2µy − 4ty′ − 2t2y′′ = 0 ,

18

es decir, t2y′′ + 2ty′ + µy = 0. Por otra parte, como las funciones de D tienen soportecompacto en [1, e], las condiciones de contorno han de ser y(1) = y(e) = 0. A nivel teóricoes conocido que el mínimo de nuestro funcional ha de coincidir con el primer valor propiodel problema de Sturm–Liouville asociado, que no es otro que el descrito en el apartado(a). Por consiguiente, el mínimo de F en D es π2 + 1

4.

Verifiquémoslo: Como consecuencia del apartado (a), sabemos que los extremales denuestro problema adoptan la forma yn(t) = A√

tsen(nπ ln(t)

)siempre que el parámetro

adopta los valores µn = n2π2 + 14. Imponiendo la ligadura contemplada en D, se tiene que∫ e

1

yn(t)2 dt =

∫ e

1

A2

tsen2

(nπ ln(t)

)dt = A2

∫ 1

0

sen2(nπx

)dx =

A2

2= 1⇔ A = ±

√2 .

Por consiguiente, los extremales del funcional F vienen dados por yn(t) = ±√

2tsen(nπ ln(t)

).

Entonces se obtiene que

F [yn] =

∫ e

1

t2(±√

2

t

tcos(nπ ln(t)

)∓√

2

2t−

32 sen

(nπ ln(t)

))2

dt

=

∫ e

1

2n2π2

tcos2

(nπ ln(t)

)dt+

∫ e

1

1

2tsen2

(nπ ln(t)

)dt

= 2n2π2

∫ 1

0

cos2(nπx

)dx+

1

2

∫ 1

0

sen2(nπx

)dx = n2π2 +

1

4.

En conclusión, el valor mínimo de F es π2

2+ 1

8y se alcanza cuando n = 1, esto es, en

y1(t) = ±√

2tsen(π ln(t)

).

10.- Sea D = y ∈ C1([0, π]) : y(0) = y(π) = 0. Dados f : IR → IR y α, λ ∈ IR, seconsidera el funcional F : D → IR definido por

F [y] :=

∫ π

0

((y′)2 + λf(x)yα

)dx .

(a) Deduce el problema de contorno de Euler–Lagrange satisfecho por los extremales deF .

(b) Si f(x) = sen(x), α = 2 y λ = 1, encuentra los extremales de F .

(c) Si f(x) ≡ 1 y α = 2, encuentra los valores propios de dicho problema de contorno.

(d) En las condiciones del apartado (b), ¿cuáles son los extremales de F si ahora con-sideramos D = y ∈ C1([0, π]) : y(π) = 0?

Solución: (a) Denotamos p = y′ y F (x, y, p) := p2 + λf(x)yα. Siguiendo los pasos delEjercicio 5(a) llegamos a que la ecuación de Euler–Lagrange que se pide viene dada por

19

la siguiente expresión:

Fy −d

dx

(Fp)

= λαf(x)yα−1 − d

dx

(2p)

= λαf(x)yα−1 − 2y′′ = 0 ,

es decir, y′′ − λα2f(x)yα−1 = 0. Por su parte, las condiciones de contorno son en este caso

las que vienen impuesas por D: y(0) = y(π) = 0.

(b) La ecuación de Euler–Lagrange es en este caso y′′ − sen(x) = 0, la cual ha deresolverse sujeta a las condiciones de contorno y(0) = y(π) = 0. Este problema noadmite soluciones diferentes de la trivial. En efecto: si existieran soluciones no triviales,bastaría con advertir que, como −sen(x) ≤ 1 ∀x, cualquier solución de y′′+ y = 0 deberíaanularse en (0, π) en virtud de la teoría de comparación de Sturm. En cambio, la funcióny(x) = sen(x) resuelve y′′ + y = 0 sin anularse en (0, π).

(c) En este caso la ecuación de Euler–Lagrange es y′′ − λy = 0, que ha de resolversesujeta a los datos de contorno y(0) = y(π) = 0. Las opciones son las siguientes:

(i) Si λ = 0, la solución general de la ecuación diferencial es y(x) = Ax + B, en tantoque las condiciones de contorno implican A = B = 0; luego λ = 0 no es un valorpropio de nuestro problema.

(ii) Si λ > 0, la solución general de la ecuación diferencial es y(x) = Ae√λx + Be−

√λx,

en tanto que las condiciones de contorno implican A = B = 0; luego ningún λ > 0es un valor propio de nuestro problema.

(iii) Si λ < 0, la solución general de la ecuación diferencial es y(x) = A sen(√−λx

)+

B cos(√−λx

). En este caso las condiciones de contorno implican B = 0 y

√−λ = n,

luego los valores propios de nuestro problema adoptan la forma λn = −n2, conn ∈ IN .

(d) En este caso habríamos de resolver la ecuación obtenida en el apartado (b), asaber: y′′ − sen(x)y = 0, sujeta a las condiciones de contorno y′(0) = y(π) = 0. Veamosque en este caso vuelve a suceder que la única solución posible es la trivial. En efecto:multiplicando la ecuación por y e integrando por partes se obtiene∫ π

0

y′′y dx−∫ π

0

sen(x)y2 dx = 0⇒ yy′]π

0−∫ π

0

(y′)2 dx =

∫ π

0

sen(x)y2 dx

⇒ −∫ π

0

(y′)2 dx =

∫ π

0

sen(x)y2 dx .

Nótese que el término de frontera yy′(π)− yy′(0) es nulo en virtud de las condiciones decontorno a considerar. Por otra parte, el primer miembro de la igualdad última es nopositivo en tanto que el segundo es no negativo, lo cual conduce inmediatamente a queambos han de ser iguales a cero. En tal caso debe cumplirse y′ ≡ 0, luego y debe ser unafunción constante. Finalmente, como en x = π toma el valor 0, necesariamente ha de sery ≡ 0.

20

11.- Sea D =y ∈ C1([0, 1]) : y(0) = 0, y(1) = 1

. Se considera el funcional

F : D → IR definido por

F [y] :=

∫ 1

0

(y′)3 dx .

(a) Calcula los extremales de F en D.

(b) Se considera la sucesión de funciones hn : [0, 1]→ IR definida por hn(x) =∫ x

0gn(z) dz,

donde

gn(x) =

−√n , x ∈ [0, 1/n]

0 , x ∈ (1/n, 1/2)2/√n , x ∈ [1/2, 1]

, n ≥ 2 .

¿Es C1? ¿Tiene derivada débil? En caso afirmativo, calcúlala. Comprueba tambiénque y(x) + hn(x) → y(x) en C([0, 1]) con la norma uniforme para toda y ∈C([0, 1]).

(c) En consonancia con el apartado anterior, consideramos ahora funciones del tipoy(x) + hn(x). ¿En qué espacio están? Consideramos también el funcional F exten-dido al espacio de Sobolev H1(0, 1). Calcula F [x+hn(x)] y limn→∞F [x+hn(x)].

(d) Sabiendo que y(x) = x es un extremal de F , calcula finalmente F [y(x)]. ¿Soncontradictorios los resultados obtenidos en los apartados (b), (c) y (d)? ¿Por qué?

Solución: (a) Denotamos p = y′ y F (x, y, p) := p3. La ecuación de Euler–Lagrangeasociada a F viene entonces dada por

Fy −d

dx

(Fp)

= − d

dx

(3p2)

= −6y′y′′ = 0 ,

o equivalentemente y′y′′ = 0. Sus soluciones son, pues, de la forma y(x) = Ax + B paracualesquiera A,B ∈ IR. Aplicando ahora las condiciones de contorno y(0) = 0 e y(1) = 1que definen D, resulta que ha de ser necesariamente A = 1 y B = 0, luego el únicoextremal de F en D es y(x) = x.

(b) Se tiene

hn(x) =

−√nx , x ∈ [0, 1/n]

−√nn, x ∈ (1/n, 1/2)

2√n(x− 1) , x ∈ [1/2, 1]

, n ≥ 2 ,

que es claramente continua. Además h′n = gn, que presenta discontinuidades de salto enx = 1

ny x = 1

2. Por consiguiente, hn no es de clase C1. Para verificar la derivabilidad de

hn en sentido débil basta con observar en primer lugar que hn ∈ L1loc([0, 1]); y luego que,

21

para toda función φ ∈ C∞c ([0, 1]), se cumple∫ 1

0

hn(x)φ′(x) dx = −√n

∫ 1n

0

xφ′(x) dx−√n

n

∫ 12

1n

φ′(x) dx+2√n

∫ 1

12

(x− 1)φ′(x) dx

= −√n

(1

nφ( 1

n

)−∫ 1

n

0

φ(x) dx

)−√n

n

(φ(1

2

)− φ( 1

n

))

+2√n

(1

2φ(1

2

)−∫ 1

12

φ(x) dx

)=√n

∫ 1n

0

φ(x) dx− 2√n

∫ 1

12

φ(x) dx ,

de modo que existe la derivada débil de primer orden de hn y viene descrita por

L1loc([0, 1]) 3 h′n(x) =

−√n , x ∈ [0, 1/n]

0 , x ∈ (1/n, 1/2)2√n, x ∈ [1/2, 1]

, n ≥ 2 .

Por otra parte, es claro que si fijamos ε > 0 y tomamos n0 = 1ε2, entonces para todo

IN 3 n > n0 se tiene que

maxx∈[0,1]

|y(x) + hn(x)− y(x)|

= max

x∈[0,1]

|hn(x)|

=

1√n< ε

y, como consecuencia, la convergencia uniforme de y(x) + hn(x) hacia y(x).

(c) Sabemos que y ∈ C1([0, 1]) en virtud de la definición de D; por otra parte, hn ∈C([0, 1]) y su derivada es una función continua a trozos (y, en particular, de cuadradointegrable); por tanto, podemos afirmar que y + hn ∈ H1(0, 1). Asimismo

F [x+ hn(x)] =

∫ 1

0

(1 + h′n(x)

)3dx

=

∫ 1n

0

(1−√n)3dx+

∫ 12

1n

dx+

∫ 1

12

(1 +

2√n

)3

dx

=

∫ 1n

0

(1− 3

√n+ 3n− n

32

)dx+

(1

2− 1

n

)+

∫ 1

12

(1 +

6√n

+12

n+ 8n−

32

)dx

=1

n− 3√n

n+ 3−

√n+

1

2− 1

n+

1

2+

3√n

+6

n+ 4n−

32

= 4−√n+

6

n+ 4n−

32 → −∞ cuando n→∞ .

(d) F [x] =∫ 1

0dx = 1. Esto no se contradice con ninguno de los resultados obtenidos.

La razón estriba en que no podemos esperar que F [x+ hn(x)] → F [x] en tanto que laconvergencia x+hn(x) → x es válida solamente en C([0, 1]), como se comprobó en (b),y no en H1(0, 1).