RUBÉN ALVA CABRERARUBÉN ALVA CABRERArubalva@hotmail.com

TEOREMA DE PITÁGORAS

A

B C

CATETO

CATETO

HIPOTENUSA

2 2(CATETO) (CATETO) 2(HIPOTENUSA)

3

45 512

1320

21 29

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS

qq=

CatetoOpuestoasen

Hipotenusa

CatetoAdyacentea

cosHipotenusa

Hipotenusasec

CatetoAdyacentea

Hipotenusa

cscCatetoOpuestoa

CatetoAdyacentea

cotCatetoOpuestoa

CatetoOpuestoa

tanCatetoAdyacentea

CATETO

OPUESTO

A

CATETO ADYACENTE A

HIPOTENUSA

SENO COSENO

TANGENTE COTANGENTE

SECANTE COSECANTE

12

35

H2 2 2H 12 35

TEOREMA DE PITÁGORAS

H 1369 37

sen

cos

tan 12373537

1235

cot

sec

csc 3512

37353712

EJEMPLO :

EJEMPLO :

Sabiendo que es un ángulo agudo tal que sen=2/3.....

23

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

1sen

csc

1

cossec

1tan

cot

EJEMPLOS

o

1A)

sen36ocsc 36 o

1B)

cos 17osec 17

sen csc 1 cos sec 1 tan cot 1

D)sen2 csc 2 1o oC)tan 49 cot 49 1

oE)cos 63 sec 1 o63

F) tan 2 cot 1 2

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

PROPIEDAD :

“LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TODO ÁNGULO AGUDO SON RESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO”

sen cos

cos

tan

sen

cot a

b ccot

sec

csc

tan

csc

sec

EJEMPLOSoA)sen25 oB) tan 43 oC)sec 60

ocos 65ocot 47ocsc 30

...............

...............

...............

o o O25 65 90 o o O43 47 90 o o O60 30 90

oD)sen cos 20 o O20 90 o70

E) tan 5 cot o5 90 o15

F)sen5

cos

5 2

2 5

3

rad10

TRIÁNGULOS NOTABLES

1 2

3

o30 (

)

O601

1

2

o45

o45

(

)3

4

5

o37

o53

(

)

osen30 12

otan 60 3

osec 45 2 ocot 37 43

otan 30 1

3

3x

333

osen45 1

22

x2

22

))

((o30

o37 o45

4 3

4

3 3

3 3

CALCULAR : cot

83 3

cot4

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

HHsen

H cos

L sec L tan

L

5

o62

o5sen62

o5 cos 62

8

8 tan8 sec

CASO 1 : DATOS , HIPOTENUSA y ÁNGULO AGUDO

CASO 2 : DATOS ; CATETO ADYACENTE Y ÁNGULO AGUDO

L

L cot

L csc k

o24

ok csc 24

ok cot 24

EJEMPLO

)

)

mCalcular L en términos de m y ;

L

CASO 3 : DATOS; CATETO OPUESTO y ÁNGULO AGUDO

SOLUCIÓN

m

m tanLL m tan

m

cot L m tan m cot

L m cot m tan L m (cot tan ) NOTA : DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR

F

yF

xF X

Y

xF F cos

yF Fsen

ÁREA DEL TRIÁNGULO

A B

C

ab

c

abS senC

2

bcS senA

2

acS senB

2

EJEMPLO

5m

8m

O60

o(5)(8)S sen60

2

(5)(8) 3S ( )

2 2 210 3m

ÁNGULOS VERTICALES

Los ángulos verticales son ángulos agudos contenidos en un plano vertical y formados por dos líneas imaginarias llamadas horizontal y visual

ÁNGULO DE ELEVACIÓN

ÁNGULO DE DEPRESIÓN

HORIZONTAL

VISUAL

VISUAL

))

Una persona observa en un mismo plano vertical dos ovnis volando a una misma altura con ángulos de elevación de 530 y 370 si la distancia entre los ovnis es de 70m ¿A qué altura están los ovnis?

EJEMPLO :

SOLUCIÓN

) ) o37O53

70

12k 12k

) O539k

) o37

16k

+

9k +70 = 16k k = 10 H = 120

=H

ÁNGULOS HORIZONTALES

Los ángulos horizontales son ángulos agudos contenidos en un plano horizontal, se determinan tomando como referencia los puntos cardinales norte(N) , sur(S) , este(E) y oeste(O).

DIRECCIÓN

La dirección de B respecto de A es E30N o N60E o

La dirección de C respecto de A es oS56 O S34O o

o

o

RUMBOEl rumbo de Q respecto de P

o47

El rumbo de M respecto de P o27 al este del sur

al oeste del norte

N

S

EO

O30

O56A

B

C

EO

S

N

P

Qo47

o27

M

)(

()

ROSA NÁUTICAGráfico que contiene 32 direcciones notables, cada dirección forma entre ellas un ángulo cuya medida es 'o1511

En el gráfico adjunto sólo se muestran 16 direcciones notables, cada una forma entre ellas un ángulo cuya medida es 'o3022

N

S

EO

NNE

ENE

NNO

ONO

OSO

SSO

ESE

SSE

NENO

SO SE

Las otras 16 direcciones se obtienen trazando las bisectrices de los 16 ángulos que se muestran en el gráfico anterior.

E

NE

NNNE

ENENE41E

E41NE

NE41N

N41NE

NNO

NO41N

N41NO

NOO41NO

ONONO41O

O

¿Cuánto mide el ángulo entre las direcciones NE1/4N y NO1/4O ?

Rpta.o90

Un insecto parte de un punto F y recorre 40 km en la dirección N530O luego recorre 402 km en la dirección SO, finalmente recorre 60 km hacia el este. ¿A qué distancia se encuentra el insecto de F ?

EJEMPLO :

SOLUCIÓN N

S

EO

o53 )

o45

o45

4040 2

60

x

o37

24

3216

40 20 12

16

OBSERVA QUE EL TRIÁNGULO DE COLOR

ROJO ES NOTABLE

X = 20

F

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UN ÁNGULO AGUDO (método gráfico)

2

2

a

bc

c))

(

) 2

tan2

b

c a

c a

b

+

EJEMPLO :

Sabiendo que : tan 8=24/7, calcula tan2SOLUCIÓN

8

24

7

25

425

24tan 4

25 7

24

tan 432

3tan 4

4

4 2

3

4

5

5

3tan 2

9 1

tan 23

(

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rubalva@hotmail.com