Razonamiento No Monotono

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Captulo6Razonamientopordefectomediante-resolucionFernandoSolerToscano16.1. RazonamientopordefectoynomonotonaUnadelas caractersticas propias delos sistemas formales (deductivos)clasicosessumonotona. As, dado L, unlenguajedeprimerordenconlasconvenciones habituales, si L entonces, si se verica (6.1)es decir, que es consecuencia logica de , entonces, dado cualquier conjuntode formulas , tambien se vericara (6.2)Sinembargo, muchosrazonamientosquerealizamosenlavidaordinarianosonmonotonos, puesnoposeenningunacualidadsimilaralapropiedadformal de la relacion de consecuencia logica clasica que permite pasar de (6.1)a (6.2) en todos los casos, sean cuales sean , y . Por ejemplo, facilmente1EstetrabajoseharealizadoenelmarcodelProyectodeInvestigacionHUM2004-01255delMinisteriodeEducacionyCiencia.Asimismo,sehacontadoconlaayudadelaJuntadeAndaluca,atravesdelananciacionalGrupoHUM609delPlanAndaluzdeInvestigacion,ydelaconcesiondeunabecadeFormaciondeDoctores.86 Captulo6. Razonamientopordefectomediante-resolucionreconoceramos como valido el razonamiento2que aparece en el cuadro 6.1 sisolo tomamos en cuenta las premisas ay b.a. Si se acciona el interruptor, la bombilla se enciende.b. Voy a accionar el interruptor.c. La bombilla esta fundida.La bombilla se encendera.Cuadro 6.1: Ejemplo de un razonamiento no monotonoSi tomamos como las dos primeras premisas y como la conclusion, en-tonces podemos comparar el anterior razonamiento (sin considerar la premisac) con la relacion de consecuencia logica expresada en (6.1). Sin embargo, si ha-cemos que contenga la premisa c, entonces no es valido lo expresado en (6.2),puesto que desde a, by c no se puede inferir, mediante sentido com un, la con-clusion Labombillaseencendera. Esmas, podemosinferirprecisamentelocontrario, La bombilla no se encendera.El ejemplo anterior es un caso de razonamiento por defecto, muy habitual enlas inferencias que solemos llamar de sentido com un. Uno de los recursos propiosdel razonamiento humano es la generalizacion inductiva, basada con frecuenciaen lo que en terminos formales se conoce como asunciones de normalidad. As,la mente comprende la premisa adel cuadro 6.1 realmente mas o menos como:Normalmente, si se acciona el interruptor, la bombilla se enciende.o bien:Si se acciona el interruptor y todo va bien, la bombilla se enciende.con lo que en condiciones normales es verdad lo expresado en a, pero se reservala posibilidad de que haya situaciones anormaleso atpicas, como que la bom-billa se funda, que impiden usar la premisa. Entonces, la regla ase emplearasiemprequenosepuedainferirquelasituaciondadaesunodeloscasosdeanormalidad. Pordefecto, seasumiraquetodasituacionesnormal (respectode la aplicacion de cada regla) mientras no se demuestre lo contrario.Por que funciona as la mente humana? Los psicologos cognitivos no hanllegado a un acuerdo sobre por que la mente se comporta de forma distinta a lal ogica formal. Lo que resulta claro es que este modo de razonar resulta muchom as ecaz que si intentaramos corregir nuestra mente para que solo realizarainferenciaslogicas. Entonces, porejemplo, lapremisaadeberaconsiderarse2Como es habitual, las oraciones que se encuentran sobre la lnea horizontal son premisas;laqueaparecedebajo, eslaconclusion. Intuitivamente, unrazonamientoesvalidosi noesposiblequelaspremisasseanverdaderasysimultaneamentelaconclusionseafalsa.6.1. Razonamientopordefectoynomonotona 87estrictamentefalsa. Tal vezseraverdaderalapremisaa

, quereza: Si seaccionael interruptorylabombillanoestafundida, entonceslabombillaseenciende. Peroenrealidad, a

tampocoesvalida. Quizasloseaa

: Si seacciona el interruptor y la bombilla no esta fundida y el interruptor no esta roto,entonceslabombillaseenciende.Omejor,a

: Siseaccionaelinterruptorylabombillanoestafundidayel interruptornoestarotoyel suministroelectrico no se ha cortado, entonces la bombilla se enciende. Pero tampoco esestrictamenteverdaderaa

; harafaltasiempreunnuevorenamiento, yalnal toda regla sera innita, y seguramente intratable para la mente humana.Si laevolucionnoshapermitidosobrevivirrazonandodeestemodoilogicoseguramente sea porque es mucho mas economico considerar reglas del tipo dea, y tener la mente siempre abierta a que toda regla puede tener excepciones,algunas quizas no descubiertas.A pesar de que la relacion de consecuencia logica clasica no logre capturarlas inferencias quehemosllamado desentidocom un, existen numerososacer-camientosformalesamodosderazonamientonomonotonos.Concretamente,el razonamiento por defecto puede formalizarse a traves de los llamados siste-mas Reiter, que permiten a nadir, a los calculos propios de la logica clasica, unconjunto de reglas de la forma siguiente:1, . . . , n, 1, . . . , m(6.3)Dada una teora (un conjunto de formulas de L), la regla (6.3) permiteinferir siempre que puedan demostrarse 1, . . . , n y ademas 1, . . . , msea un conjunto satisfactible. El sentido del operador es restringir la aplica-bilidad de la regla (6.3) solo a los casos en que sea consistente con la teora asumir simultaneamente como verdaderas todas lasi, 1 1 m. Entonces,cada una de lasiformaliza una de las asuncionesdenormalidadque debenhacerse para aplicar la regla (6.3). Ademas, cuando la regla no puede aplicarsees que nos encontramos ante una situacion anormal, puesto que las asuncionesde normalidad que exige (6.3) no pueden ser satisfechas dentro de la teora .Para ilustrar lo anterior, veamos un ejemplo tpico de regla por defecto. Esla siguiente:Ave(x), Avenormal vuela(x)V uela(x)(6.4)Tengamosencuentaquelavariablelibrexqueapareceen(6.4)sedebeentender implcitamente como cuanticada universalmente, puesto que la reglasetrata,realmente,deunesquemaqueaceptamosparacadainstanciadelavariable x. Por tanto, (6.4) es simplemente la formalizacion de la idea com un dequegeneralmentetodaslasavesvuelan. El predicadoAvenormal vuela(x),88 Captulo6. Razonamientopordefectomediante-resolucionque aparece marcado con , es una asuncion de normalidad, en este caso de lanormalidad de las aves respecto de la capacidad de volar.Las siguientes f ormulas nos ayudaran a comprender cuando puede aplicarsela regla (6.4) y cuando no esta permitido:x(Ping uino(x) Avenormal vuela(x)) (6.5)Ave(a) (6.6)Ping uino(a) (6.7)Consideremos una teora 1 que contenga exclusivamente las formulas (6.5)y (6.6). Ademas, la unica regla por defecto es (6.4). Entonces, dado que por (6.6)tenemosAve(a) y queAvenormal vuela(a) es consistente con 1(para pro-bar esto necesitaramos recurrir a alg un procedimiento semantico de b usquedademodelos, aunqueenestecasoserabastantesencillo), podemosaplicarlasiguiente instancia de (6.4),Ave(a), Avenormal vuela(a)V uela(a)(6.8)y concluir, por defecto,V uela(a), es decir, que el avea vuela.Pero, que ocurre si ampliamos nuestro conocimiento sobre a? Sea 2 la teo-ra que ampla 1 con (6.7). Entonces ya no podemos usar la regla (6.8), ya quela asuncion de normalidad que su aplicacion requiere resulta inconsistente con lateora, puesto que desde (6.5) y (6.7) podemos deducir Avenormal vuela(a).Por tanto, al saber quea es un ping uino, concluimos que pese a ser un ave noposeelacapacidadcom undevolar. Sehaactivado, pues, unaexcepcionanuestra regla por defecto (6.4).Lasconclusionesqueseobtienenempleandoel razonamientopordefectonosolopuedenrebatirseporquesea nadaconocimientoespeccosobreunciertoindividuo,comohaocurridoenelejemploanteriorala nadiralabasede conocimientos la informacion de quea es un ping uino. Tambien es posiblea nadir reglas generales, como las siguientes:x(Tienealasrotas(x) Avenormal vuela(x))x(Gallina(x) Avenormal vuela(x))...Con estas reglas, seguramente se impedira aplicar la regla (6.4) para aves que,de otra forma, asumiramos, por defecto, que s vuelan. Son nuevas excepcionesa la regla general de que todas las aves vuelan.Antes de continuar, realicemos una observacion. Al formular la regla (6.4),la asuncion de normalidad podra haber sido el mismo predicado V uela(x), con6.2. Abduccionyrazonamientopordefecto 89lo que tendramos la siguiente regla:Ave(x), V uela(x)V uela(x)(6.9)Entonces, si cambiamos (6.5) porx(Ping uino(x) V uela(x))enlateora1seguiramos concluyendopor defectoV uela(a), peroahora,en2nosolonopodramosobtenerestaconclusion,sinoquesedemostraraV uela(a). Dehecho, puedenemplearsecomoasuncionesdenormalidadlosmismos predicados que aparecen en las conclusiones de las reglas por defecto.Sin embargo, en este trabajo vamos a usar predicados distintos, para que siem-pre resulte claro cuales son los que se reservan como asunciones de normalidad.Enlofundamental, el tratamientoquepresentaremosnovarasi seusanlosmismos predicados, tan solo hara falta tener en cuenta ciertos detalles.UnproblemaquesurgealusarsistemasReiteresqueparaaplicarreglascomo(6.3)debecomprobarsequetodaslasi, 1 i nsondemostrablesen la teora que se esta usando, pero ademas que todas lasj, 1 j m sonconsistentesconlateora. Enprimerorden, laformadehacerlosegundoesmediante procedimientos semanticos de b usqueda de modelos. Pero esto amplaenormementelacomplejidaddelsistema,pueshayquehacerenparalelodosprocesos, la comprobacion de que se demuestran las i y la de la consistencia detodas lasjcon la teora. Por ello, resultara util encontrar un mismo procesoque pudiese integrar ambas comprobaciones. Es lo que vamos a hacer en estetrabajo, tratar las inferencias por defecto como un modo especial de abduccion,yaplicarentonceselcalculode-resolucion,queoriginalmentedesarrollamospara su aplicacion en la resolucion de problemas abductivos, pero que demues-tra ser util para abordar la formalizacion de otros modos de razonamiento nomonotonos.6.2. AbduccionyrazonamientopordefectoC. S. Peirce, padre del pragmatismo norteamericano, dene un tipo de razo-namiento, la abduccion, que guarda muchas semejanzas con los razonamientosque hemos presentado en la seccion anterior. Para Peirce, solo en logica y mate-m aticas pueden existir juicios seguros, irrebatibles. Para el resto de disciplinas,y por supuesto tambien para los razonamientos de sentido com un, no es posibleesta seguridad; nos movemos siempre en el terreno de la hipotesis. Por ello, lasconclusionesqueahoraalcanzamospodranserma nanarebatidassi lanuevainformacion que obtenemos as lo exige. En este tipo de razonamientos resulta90 Captulo6. Razonamientopordefectomediante-resolucionfundamental el papel de la abduccion, usada para explicar observaciones nuevascon el conocimiento que tenemos. Peirce proporciona el siguiente esquema parailustrar como procede la abduccion:El hecho sorprendente, C, es observado.Pero si A fuera verdad, Csera aceptado como algo evidente.Por lo tanto, hay razon para sospechar que A es verdad (CP 5.189,1903).La abduccion parte de una sorpresa, la observacion del hecho inesperado C,para el que desea buscarse una explicacion.Analizando nuestro conocimientoconcluimos que si A fuera verdad entonces Csera una consecuencia obvia. Portanto, la conclusion abductiva nos presenta A como una explicacion posible dela observacion C.Este tipo de razonamiento ha sido estudiado en numerosas disciplinas, porel protagonismo que encuentra practicamente en todo ambito que se caractericepor el empleo de inferencias explicativas. Por ejemplo, en la Inteligencia Arti-cial se emplean modelos formales de inferencia abductiva para la construccionde programas de diagnosis que pueden detectar cuales son los fallos (la expli-cacion, A) que hay detras del comportamiento defectuoso (la observacion, C)de cierto sistema (una red de ordenadores, un microprocesador, etc.). TambienenFilosofadelaCienciasehadiscutidocual esel papel querepresentaelrazonamiento abductivo dentro de la explicacion cientca, es decir, dentro delas operaciones que se llevan a cabo (en la mente de cierto individuo o dentrode la comunidad cientca) cuando se formula una explicacion (que puede serhasta una nueva teora) para un fenomeno nuevo o inexplicado.Pasando a un plano mas formal, veamos como podemos tratar logicamentelas ideas de problema abductivo y solucion abductiva. En las deniciones siguien-tes seguimos, en parte, a M. Cialdea y F. Pirri [CP93] y A. Aliseda [Ali97].Denicion1(Problemaabductivo)Sean3 Ly L.Entonces, de-cimos que , ) es unproblema abductivo si y solo si se vericanyLa denicion 1 establece que , ) es un problema abductivo cuando desde no se derivan ni ni su negacion. Por tanto, ocupa el lugar de una teora3La semantica de L se construye como es habitual en un lenguaje de primer orden, teniendosimplementeencuentaquesoloseeval uanlassentencias,formulassinvariableslibres.6.2. Abduccionyrazonamientopordefecto 91y el de una observacion que no se deriva de tal teora (tampoco se deriva lanegacion de la observacion, pues en tal caso sera una refutacion de , y no seplanteara un problema abductivo) pero que desea explicarse dentro de . Lasexplicaciones de en seran las soluciones abductivasal problema abductivo, ), como explicamos en la siguiente denicion.Denicion2(Solucionabductiva)Sea , ) un problema abductivo y L.Entonces,decimosqueesunasolucion abductivaal problemaabductivo, ) si y solo si se cumplen:, (6.10), (6.11) (6.12)Cadaunodelosrequisitosqueladenicion2imponeaestableceunacondicionquedebencumplirlassolucionesabductivas. As, (6.10)formalizala exigencia fundamental para que sea una explicacion de en la teora .Se trata de que la observacion se derive de la teora junto con la explicacion.Tambien, (6.11)imponeunrequisitoimportante, asaber, quelaexplicacionsea consistente con la teora. En otro caso, explicara con cualquier cosa,seg un la propiedad de la relacion de consecuencia logica clasica conocida comoexplosion, que formaliza el principio de ex contradictione quodlibet. El requisitoexpresado en (6.12) no es incluido necesariamente por todos los autores dentrode la nocion de solucion abductiva. Lo que exige es que la observacion no sederive de la sola explicacion . As, sera una explicacion valida para la teora, pero probablemente no lo sera para otra teora

.Es com un exigir requisitos adicionales a las soluciones abductivas para deentretodaslasexplicacionesposibles(queenlenguajesformalescomoel deprimerordenqueestamosusandopuedenserinnitas)seleccionarlamejorexplicacion. Tambien nosotros vamos a incorporar criterios preferencialesparaelegir las explicaciones. Son los siguientes:Formasintacticadelasexplicaciones. Las explicaciones seleccionadas se-ran sentencias (formulas sin variables libres) de L con la siguiente formaQ1x1. . . Qnxn(1 . . . m)tal que cadaQi, 1 i n es un cuanticador o (tambien puede nohaber cuanticadores) y cadaj, 1 j m, es un literal de L.Minimalidadsemantica. Dadas dos explicaciones1y2, si1292 Captulo6. Razonamientopordefectomediante-resolucionentonces preferimos2a1, ya que es una explicacion mas debil, y portanto menos restrictiva. Decimos que2es minimal respecto de1. De-terminarlaminimalidadenlogicadeprimerordenesunproblemain-decidible, perosiemprequepuedadeterminarsequeunaexplicacionesminimal respecto de otra, aplicaremos el criterio anterior.Usodepredicadosabducibles. Enocasiones, interesaraque los literalesqueformanpartedelasexplicacionesusenciertospredicadosespec-cos. Paraello, sedeniraciertoconjuntodepredicadosde Lcomoelconjunto de predicados abducibles, y solo se aceptaran explicaciones talesque todos sus predicados sean abducibles.Unrasgofundamental del razonamientoabductivoessucaracternomo-notono. Entreotrascosas, estonospermitiratratarel razonamientoporde-fecto como una forma de abduccion. Veamos un ejemplo, tomado de [KKT98],dondesemaniestalanomonotonadelaabduccion.Usaremosunlenguajeproposicional conlasvariables l (quetomamospor llovioanoche), a(porlos aspersores han regado),c (el cesped esta mojado),z (los zapatos estanmojados). Denimos el problema abductivo siguiente:l c, a c, c z, z)De modo que la teora contiene la informacion siguiente:Si llovio ayer, el cesped esta mojado.Si los aspersores han regado, el cesped esta mojado.Si el cesped esta mojado, los zapatos estan mojados.y la observacion que desea explicarse es que los zapatos estan mojados. Seg unlo explicado, entre las soluciones abductivas se encuentranl,a yc. Pero ahorabien, sea otro problema abductivo:l c, a c, c z, l, z)quesoloa nadeal problemaabductivoanteriorlaformula l, locual puedesuceder, por ejemplo, si alguien nos dice que no llovio anoche. Entonces, lyano cumple los requisitos establecidos por la denicion 2 para ser una solucionabductiva a este segundo problema abductivo. S lo seguiran siendo a y c, entreotras.Esteejemplomuestracomolaampliaciondelasteoraspuedealterarelconjunto de soluciones abductivas posibles. No solo pueden perderse soluciones;seg unseanlas ampliaciones delas teoras tambienpuedena nadirsenuevasexplicaciones.6.2. Abduccionyrazonamientopordefecto 93En la proxima seccion mostraremos el calculo de -resolucion, un calculo ab-ductivoquenospermitirasistematizarlab usquedadesolucionesabductivas.Posteriormente,enlaseccion6.4veremoscomopuedenresolverselosproble-mas propios del razonamiento por defecto mediante -resolucion. Pero primero,mostremos como es posible transformar un problema de razonamiento por de-fecto en un problema abductivo. En parte, seguimos ideas de P. Flach [Fla94],aunque adaptadas a nuestro tratamiento de la abduccion.Consideremos el ejemplo que presentamos en la pagina 87. Se trata de sabersi determinada ave vuela. Para ello contamos con la regla por defecto (6.4). Paratransformar este problema en un problema abductivo, comenzamos por formu-lar la teora. Las formulas (6.5), (6.6) y (6.7) permanecen tal cual. La clave estaen transformar las reglas por defecto en formulas de la teora. Concretamente,podemos transformar (6.4) en:x(Ave(x) Avenormal vuela(x) V uela(x)) (6.13)En general, una regla por defecto como (6.3) se transforma en la formulax1, . . . , xj(1 . . . n 1 . . . m ) (6.14)tal quex1, . . . , xjson las variables libres que ocurren en (6.3).Volviendo a nuestro problema, consideremos que la teora, , se componede(6.5), (6.6)y(6.13). Entonces, , V uela(a))esunproblemaabductivo,enel sentidodeladenicion1, tal comopuedecomprobarsemediantecual-quiersistemadedecisionparalogicadeprimerorden. Estosignicaque, ensentido clasico, no es posible determinar sia vuela o no. Igualmente, seg un ladenicion 2, se verica queAvenormal vuela(a) es una solucion abductiva anuestro problema abductivo, lo cual implica:, Avenormal vuela(a)V uela(a) (6.15), Avenormal vuela(a) (6.16)Avenormal vuela(a)V uela(a) (6.17)Entonces, cual es la respuesta a la cuestion sobre si a vuela o no? Veamos,por (6.15) tenemos que si asumimosAvenormal vuela(a) podemos concluir,junto a la teora , que a vuela. Pero esto es una asuncion de normalidad, por loque puede asumirse siempre que no resulte contradictoria con la teora (tal erael sentido de ); precisamente (6.16) asegura que no existe tal contradiccion. Por ultimo, (6.17) indica que para concluir quea vuela no solo hace falta aceptarlas asunciones de normalidad, sino que la teora resulta imprescindible.Ahora bien, si a nadimos (6.7) a , perdemos la solucion abductiva Avenor-mal vuela(a), ya que (6.16) deja de vericarse, porque la asuncion de norma-lidad resulta inconsistente con la nueva teora, que ahora nos dice que por sera un ping uino no es posible asumirAvenormal vuela(a).94 Captulo6. Razonamientopordefectomediante-resolucionGeneralizando, para tratar un problema de razonamiento por defecto comoun problema abductivo, seguimos los siguientes pasos:1. Se transforman las reglas por defecto tipo (6.3) en formulas tipo (6.14).Estasformulas, juntoconlabasedeconocimientos, formaranlateora. Los predicados que formaban las asunciones de normalidad se tomanahora como predicados abducibles.2. Sea lo que deseamos derivar por defecto desde (en el ejemplo anterior era V uela(a)). Entonces, si , ) es un problema abductivo, existe unproblema de razonamiento por defecto, porque lo que deseamos saber,no se inere en sentido clasico de nuestra base de conocimientos.3. Si existe al menos una solucion abductiva tipo1 . . . lal problemaabductivo , ) tal que cadak, 1 k l, es un literal formado por unpredicado abducible (para que pueda asumirse por defecto) y sin variables(paraquelasasuncionesdenormalidadseansiempresobreindividuosconcretos, determinados), entonces es posible inferir por defecto desde. Ello es as porque, por la denicion 2:Por (6.10), solo hace falta aceptar el conjunto 1, . . . , l de asun-ciones de normalidad para derivar desde .Por(6.11),puedenaceptarsetalesasuncionesdenormalidad,puesson consistentes con (requisito de ).Finalmente, por (6.12), las asunciones de normalidad tienen un papelcomplementario de la teora, no bastan por s mismas para derivar.6.3. Elcalculode-resolucionEn esta seccion presentamos el calculo de-resolucion, dual a la resolucionclasica propuesta por J. A. Robinson [Rob65], que en principio desarrollamosparaabordarproblemasabductivosperoque, comoposteriormenteveremos,muestra su utilidad para otras formas de razonamiento no monotono; concre-tamente, para el razonamiento por defecto.Aunque para resolver problemas interesantes de razonamiento por defectonecesitamosalmenosunaexpresividaddeprimerorden,comenzaremosmos-trando brevemente una version del calculo de-resolucion para logica proposi-cional. Esta version es decidible, tal como permite la logica proposicional, por loque podremos construir un proceso abductivo decidible mediante-resolucionproposicional. Posteriormente, indicaremos la extension a primer orden, en queladecidibilidadsepierde,pero,apesardetodo,elsistemaresultaadecuado6.3. Elcalculode-resolucion 95para un gran n umero de aplicaciones, entre las que se encuentra la resolucion delos problemas de razonamiento por defecto que mostraremos en la seccion 6.4.Dadoel caracteresquematicodeestetrabajo, tansoloproporcionaremosindicaciones de las pruebas de los resultados mas interesantes. En cualquier ca-so, como el calculo de -resolucion es dual a la resolucion de Robinson, tambienlos son las pruebas de los teoremas principales.6.3.1. VersionproposicionalA continuacion, presentamos el calculo abductivo para el lenguaje proposi-cional Lp, denido como es habitual. Comenzamos con algunas deniciones.Denicion3(-clausula)Una-clausula es un conjunto de literales = 1, . . . ny equivale a la conjuncion de los literales1 . . . n,de modo que dada una valoracionv,vsatisface si y solo sivsatisface todoslos i, 1 i n. En adelante, nos referiremos a las -clausulas mediante letrasgriegas may usculas. Connos referimos a la-clausula vaca, universalmentevalida.Denicion4(Forma-clausal)Unaforma-clausal Aesunconjuntode-clausulasA = 1, . . . , ny equivale a la disyuncion de sus -clausulas, de forma que dada una valoracionv, vsatisfaceAsi ysolosi vsatisfaceal menosunadelas -clausulasi,1 i n. Enadelante, nosreferiremosalasformas -clausalesmedianteletras may usculas latinas. La forma-clausal vaca es no satisfactible4.Lasdenicionesde-clausulayforma-clausal nospermitenextenderlanotacion usada para expresar relaciones de consecuencia logica en Lp. As, por4Mientrasquela-clausulavacaesuniversalmentevalida(puestoqueuna-clausulaseeval ua,porladenicion3,igualqueunconjuntodeformulas),laforma-clausalvacanoessatisfactible. Setratadedosconjuntosvacosdediferentenivel, puesloselementosqueintegranlas-clausulasylasformas-clausalessondiferentes(enelprimercasosonliteralesde Lp; enel segundo, -clausulas). Observesequeunaforma-clausal noseeval uaigualqueunconjuntodeformulas, yaqueparaqueunavaloracionvsatisfagadebecumplirseque haya al menos una -clausula que sea satisfecha por v. Esto nunca puede vericarseparalaforma-clausalvaca,comoresultaobviopornocontenerninguna-clausula.96 Captulo6. Razonamientopordefectomediante-resolucionejemplo, mediante Aexpresamosquetodavaloracionvquesatisfagala-clausula(enel sentidodeladenicion3)satisfaceigualmentelaforma-clausalA (en el sentido de la denicion 4).Teorema5(Conversionaforma-clausal)Para toda formula proposicio-nal Lpexiste una forma-clausal A tal que APruebainformal: Para demostrar este teorema solo hay que considerar que,por las deniciones 3 y 4, dada cualquier formula en forma normal disyuntiva(11 . . . j11) . . . (1n . . . jnn)la forma-clausal11, . . . , j11 , . . . , 1n, . . . , jnn es equivalente. Entonces, dada cualquier formula podemos obtenerFND()enformanormal disyuntiva, ydesdeah unaforma-clausal A, seg unseha indicado. Entonces, como yFND() son equivalentes, y tambien lo sonFND() yA, resulta que yAson equivalentes. Denicion6(Reglade-resolucion)Dadas las -clausulas 1 y 2, la regla de-resolucion se expresa de la siguiente forma:1 2 1 2Decimos que la clausula 1 2es un-resolvente de las dos primeras.Denicion7(Demostracionpor-resolucion)Unasecuenciade-clau-sulas es unademostracion mediante -resolucion de la-clausula a partir delas-clausulas 1, . . . , n, lo que expresamos con1, . . . , n si y solo si se cumplen las dos siguientes condiciones:Cadaunadelas -clausulas delasecuenciaes obienunadelas i,1 i n o un-resolvente de-clausulas anteriores.La secuencia termina con la-clausula .6.3. Elcalculode-resolucion 97Los dos siguientes teoremas establecen la correccion y completud debil delc alculo de-resolucion. Sus pruebas son duales a las correspondientes para elc alculo de resolucion proposicional.Teorema8(Correccion)Paratoda forma-clausal A ytoda-clausula ,siA , entoncesATeorema9(Completuddebil)Si un conjunto de-clausulasA es univer-salmente valido, entoncesA Teorema10(Completudabductiva)SeaAunaforma-clausal nouni-versalmente valida. Entonces,A , para cada-clausula que verique losiguiente: es satisfactible.ANo existe ninguna-clausula

tal que

APrueba informal: SeaA una forma-clausal no universalmente valida. Con-sideremosque= 1, . . . , nesuna-clausulaconlascaractersticasqueindicaelenunciadodelteorema.Entonces,como A,tenemosque A 1, . . . , n, siendoiel literalcomplementariodecadai, 1 i n.Entonces, A 1, . . . , n , porel teorema9. Sea Temlademos-tracion por -resolucion dea partir de A1, . . . , n y construyamosuna prueba paralela Tem

, que solo emplea-clausulas deA. Por tanto, comolas -clausulas isolointervieneneliminandoliterales i, la-clausula

quedemuestra Tem

solocontieneliteralesdeA.Porhipotesis,sabemosqueno puede darse

, as que

= , y como se ha obtenido exclusivamentea partir de-clausulas deA, tenemos queA . Los dos siguientes resultados nos permiten eliminar, de las pruebas mediante-resolucion, las -clausulassubsumidas porotrasylasnosatisfactibles. Lanoci on de subsuncion es igual que en el calculo de resolucion. Decimos que una-clausula esta subsumida por otra

si y solo si5

. Las pruebas deambos corolarios son duales a las de los resultados equivalentes en el calculo deresolucion.5Enocasionesseconsideraqueestasubsumidapor

si ysolosi

, yentoncesseeliminanlas-clausulassubsumidasporotrasdiferentes,yaqueentoncestoda-clausulaestasubsumidaporsmisma.98 Captulo6. Razonamientopordefectomediante-resolucionCorolario11(Regladesubsuncion)Dada una-clausula , siA , entonces existe una-clausula

tal queA

y

.Corolario12(Eliminacionde-clausulascontradictorias)Para toda -clausula satisfactible y todo conjunto de-clausulasB, siB , , 1, . . . , n , entoncesB .Denicion13(Saturacion)Dada la forma-clausalA, el conjuntosatura-cion por -resolucion desde A, que llamamos A, es el mas peque no que contienetodas las-clausulas satisfactibles demostrables mediante-resolucion a partirdeA que no estan subsumidas por otras-clausulas tambien demostrables por-resolucion desdeA.Intuitivamente, podemos construir Aaplicandolareglade -resoluciontantas veces como sea posible a las-clausulas deA, as como a las que vayanapareciendo. Finalmente, se eliminan del conjunto resultante todas las-clau-sulas no satisfactibles o que resulten subsumidas por otras que hayan aparecido.Deestaforma,paracualquierconjuntonitode-clausulasA,elprocesodeconstruccion deAtermina siempre en un n umero nito de pasos.Corolario14(Propiedadfundamentaldelasaturacion)Sea A una for-ma-clausal. Entonces,Acontiene solamente cada-clausula tal que es satisfactible.ANo existe ninguna-clausula

tal que

APruebainformal:Estecorolarioesunresultadocasiinmediatoapartirdelos teoremas 8 y 10 y de la denicion 13. Denicion15(Solucionabductivaminimal)Dado el problema abductivo, ), decimos que una -clausula = 1, . . . , n es una solucion abductivaminimal si y solo si se verican:1 . . . nes una solucion abductiva al problema abductivo , ), enel sentido de la denicion 2.Noexisteninguna-clausula

queseatambienunasolucionab-ductiva para , ).6.3. Elcalculode-resolucion 99Al conjunto de-clausulas que sonsoluciones abductivas minimales del proble-ma abductivo , ) lo llamamos /b(, ).Teorema16Dadoel problemaabductivo , ), = 1, . . . , n,si Nesla forma-clausal de (1 . . . n) yOla de, se verica/b(, ) = (N O)(N O)Pruebainformal: En primer lugar, podemos demostrar que toda-clausulade /b(, ) pertenece a (N O) (N O). Sea = 1, . . . , n una-clausulade /b(, ). Entonces, porladenicion15, 1 . . . nesunasolucion abductiva al problema abductivo , ), en el sentido de la denicion 2,lo cual implica:1. . .n, 1. . .n. Pero entonces, 1. . .n1. . .n .Entonces, siCes la forma-clausal de1 . . . n puede probarseque C, as comoque CesequivalenteaN O, yportanto (N O).1. . . n, 1. . . n. Por tanto, 1. . . n(1. . . n),y entonces / N.1 . . . n. Entonces, / O.Lostresresultadosalosquehemosllegadoaseguranque (N O)(N O).Ahora, supongamos (N O) (N O). Lapruebade/b(, )puederealizarsesiguiendolostrespasosanterioresensentidoin-verso. Losresultadosanterioresnospermitendenirunprocesoabductivoparal ogica proposicional que sigue los siguientes pasos, para cualquier conjunto def ormulas = 1, . . . , n y cualquier formula:Analisisdelateora. SeobtieneN, forma-clausal de (1 . . . n).Entonces,sienNnohayninguna-clausulasatisfactibleesqueesuniversalmente valida, y el proceso acaba, puesto que en tal caso , )nopuedeserunproblemaabductivo.Enotrocaso,seobtieneN,ysi N, entonces es no satisfactible, y el proceso acaba. En otro caso,Analisisdelaobservacion. Se obtiene O, forma -clausal de . Entonces, sienO no hay ninguna-clausula satisfactible es que no es satisfactible,y el proceso acaba. En otro caso, se obtieneO, y si O, entonceses universalmente valida, y el proceso acaba. En otro caso,100 Captulo6. Razonamientopordefectomediante-resolucionB usquedaderefutaciones. Si toda-clausula deOpertenece aN o estasubsumidaporalgunadesus-clausulasentoncesesque(estopuedeprobarsemedianteunsencillorazonamientosemantico),yentalcaso la observacion refuta la teora. En otro caso,B usquedadeexplicaciones. ApartirdeNyOseforma(N O), ydesde ah (NO). Sipertenece a este ultimo conjunto, entonces , con lo que la teora explica la observacion. En otro caso, se construye/b(, ) =(N O) (N O), conloquetenemos todas lassoluciones abductivas minimales al problema abductivo , ).Enelprocesoabductivoqueacabamosdepresentarencontramosalgunosaspectos epistemologicos bastante interesantes, que se asemejan a ciertas ideasprovenientes de la losofa de la ciencia. En primer lugar, hay dos rasgos refu-tacionistas que merece la pena resaltar. Uno de ellos es que el proceso comienzabuscando los puntos debiles de la teora, representados por las-clausulas quese obtienen tras el primer caso; cada una de ellas contiene una posibilidad derefutarlateora.Ademas,traselsegundopaso,deanalisisdelaobservacion(an alisiscartesiano, si sequiere; setratadereducirlaobservacionalosele-mentos mnimos necesarios para explicarla) volvemos a encontrar otro aspectorefutacionista, pues antes de buscar las explicaciones se comprueba si la obser-vacion va o no en contra de la teora.Otro rasgo interesante es el caracter directo del proceso explicativo. Otrossistemas abductivos (como la abduccion basada en tablas semanticas, o inclusoen resolucion al modo tradicional) trabajan obteniendo conclusiones que dedu-cen de la teora junto con la negacion de la observacion y despues negandolas,de donde se obtienen las explicaciones. Esta forma de proceder, indirecta, tienemucho que ver con la reduccion al absurdo, pero no parece cercana al modo na-tural en que la mente humana trabaja cuando busca una explicacion razonablea una observacion nueva. Sin embargo, la -resolucion obtiene directamente lasexplicaciones, pues cada-clausula que resulta del proceso es ya una solucionabductiva.Por ultimo,laversionproposicionaldelprocesoabductivomediante-re-solucion es decidible, como se deriva de los resultados presentados. Por tanto,dadas cualesquiera teora y observacion, podemos saber:Si es no satisfactible, universalmente valida o contingente (meramentesatisfactible).Si es no satisfactible, universalmente valida o contingente (meramentesatisfactible).6.3. Elcalculode-resolucion 101Si (refutacion) o (observacion ya explicada) o bien , )es un problema abductivo. En este ultimo caso podemos obtener las so-luciones abductivas minimales.Veamos unpeque noejemploparailustrar laresoluciondeunproblemaabductivo mediante-resolucion. Volvamos al problema abductivo presentadoal nal de la pagina 92 (segunda version, con teora ampliada). Entonces,, ) = l c, a c, c z, l, z)Veamos cada paso del proceso abductivo:Analisisdelateora. En este caso N (forma -clausal de ((l c) (a c) (c z) l)) esl, c, a, c, c, z, lComo enNhay-clausulas satisfactibles, tenemos que no es univer-salmente valida. Ademas,N = a, z, a, c, c, z, ly como / N, entonces es meramente satisfactible.Analisisdelaobservacion. ElconjuntoO,forma-clausaldees z.Como enOhay una-clausula satisfactible, es satisfactible. Ademas,O= O, y como / O, entonces es meramente satisfactible.B usquedaderefutaciones. Como hay al menos una-clausula deO, z,que no pertenece aNni esta subsumida por alguna de sus-clausulasentonces es que , con lo que no hay refutacion.B usquedadeexplicaciones. Tenemos que:(N O) = a, z, a, c, c, z, l, z(NO)= a, c, z, l, y como / (NO), entonces./b(, ) = (N O) (N O) = a, c.Portanto,lasdos soluciones abductivas minimales sona yc.Facilmente pueden incorporarse al proceso abductivo criterios preferencialesde seleccion de la mejor explicacion. As, en el ejemplo anterior se puede emplearuncriteriobasadoenlahistoriadelas-clausulasparadeterminarqueaesmejor explicacion que c, pues tiene mayor historia, es decir, han sido necesariaspara obtenerla mas-clausulas que para obtenerc, por lo que se ha usado unamayor porcion de la teora.102 Captulo6. Razonamientopordefectomediante-resolucion6.3.2. ExtensionaprimerordenEn este apartado presentamos algunos aspectos de la extension del calculode-resolucion,ascomodelprocesoabductivomostrado,alogicadeprimerorden. Asumiremos que L es un lenguaje de primer orden con las convencioneshabituales. Para la semantica solo se asignaran valores de verdad a las senten-cias,oformulasde Lsinvariableslibres.Una L-estructuraM= T, )estacompuestaporeldominionovaco Tylafunci oninterpretacion ,denidacomo es habitual.Denicion17Para cualquier L, representamos con sko() la forma nor-mal de Skolem de.Dual a la forma normal de Skolem, denimos la forma normal de Herbrand,tomada de [Bus95]:Denicion18Decimos queunaformula Lestaen formanormal deHerbrand si y solo si:1. esta en forma prenexa.2. En no aparecen cuanticadores universales.Dada cualquier sentencia L, denimos el procedimiento de transformacionde a su forma normal de Herbrand, que llamaremosher(), de la siguientemanera:1. A partir de, obtenemos su forma prenexa, que llamaremosp.2. Se suprimen los cuanticadores universales depcomenzando por el queestamasalaizquierdaycontinuandosucesivamentehacialaderecha,observando estas reglas:a) Los cuanticadores universales que no tengan a la izquierda ning uncuanticador existencial se eliminan y se sustituye cada ocurrenciade la variable que cuantican por un parametro que no ocurra en laformula.b) Los cuanticadores universales que tengan a la izquierda alg un cuan-ticador existencial se eliminan igualmente, pero en este caso se sus-tituye cada ocurrencia de la variable que cuantican por un terminoqueconsisteenunfunctor(quenodebehaberseusadoantes)quetienecomoargumentostodaslasvariablesqueaparecencuantica-dasexistencialmentealaizquierdadel cuanticadoruniversal quese elimina.6.3. Elcalculode-resolucion 103El resultado de seguir los pasos anteriores esher(), la forma normal de Her-brand de. A los terminos que se introducen en los pasos 2a y 2b los llama-remos terminos de Skolem6.Laspropiedadesdelaformanormal deHerbrandsondualesalasdelaformanormal deSkolem. Tambienel siguienteresultadopuededemostrarsede forma dual a como se probara el resultado correspondiente (tambien dual)para formas de Skolem.Teorema19Dada cualquier sentencia L, se verican:her() si y solo siher()Denicion20Una-clausula es un conjunto de literales de L, = 1, . . . nSi x1, . . . , xm, m 0,eselconjuntodevariableslibresqueaparecenen, entonces, dadauna L-estructuraM, consideramosque Msatisfacesiysolosi M x1, . . . , xm(1 . . . n).EntoncesescribimosM ,comouna abreviatura de lo anterior, ya que la semantica que usamos no contempla lainterpretacion de formulas con variables libres. Si Mx1, . . . , xm(1. . .n)escribimos (tambien como abreviatura)M , y decimos queMno satisface.Enadelante,nosreferiremosalas-clausulasmedianteletrasgriegasma-y usculas. Connos referimos a la-clausula vaca, universalmente valida.Denicion21Una forma-clausal A es un conjunto de-clausulasA = 1, . . . , nDadauna L-estructuraM,consideramosqueMsatisfaceA,loqueescri-bimosMA(encasocontrario, MA)si ysolosi Mi, paraalgunai A.Enadelante,nosreferiremosalasformas-clausalesmedianteletrasma-y usculas latinas. La forma-clausal vaca es no satisfactible.Denicion22Dadaunasentencia L, denimos el procedimientodetransformacion de a A, su forma -clausal, que consta de los siguientes pasos:6Usamoslamismadenominacionqueparalosterminosintroducidosdurantelatransfor-maci onaformanormaldeSkolem.104 Captulo6. Razonamientopordefectomediante-resolucion1. A partir de obtenemos su forma normal de Herbrand,her().2. Empleamosequivalenciasproposicionalesparatransformarlamatrizdeher() a forma normal disyuntiva7. El resultado, que llamaremos her()dtendra la formax1, . . . , xm((11 . . . 1j1) . . . (n1 . . . njn))siendonel n umerodeconjunciones elementales desumatriz, ycadaikel k-esimoliteral, 1 k ji, delai-esimaconjuncionelemental,1 i n.3. A partir deher()d, construimos directamenteA, de la forma:A = 11, . . . , 1j1, . . . , n1, . . . , njnes decir, lo que hacemos es quitar los cuanticadores iniciales y construiruna -clausula por cada una de las conjunciones elementales que aparecenen la matriz deher()d.El siguiente teorema es una consecuencia de resultados anteriores y de con-siderar que la transformacion a forma-clausal consiste unicamente en la ob-tencion de la forma normal de Herbrand y la aplicacion de ciertas equivalencias.Desde ah, el corolario que viene a continuacion es una consecuencia inmediata.Teorema23Dada cualquier sentencia L, su forma-clausal,A, es equi-valente aher().Corolario24Dada cualquier sentencia L cuya forma-clausal esA, severica queA si y solo si.A continuacion introducimos el calculo de-resolucion en logica de primerorden.Peroantes,comolareglade-resolucionseaplicaraa-clausulasconconjuntos disjuntos de variables, denimos la operacion de renombramiento devariables.Denicion25Dada la-clausula cuyas variables son x1, . . . , xn, deni-mos el procedimiento derenombramiento de variables de como la obtencionde(x1, . . . , xn/y1, . . . , yn), siendocadayi, 1 i n, unavariablequenoaparece en .7Aunque estemos ante una formula de primer orden, siguen siendo validas las equivalenciasproposicionales,yaquelasemanticade Lesunaextensiondelade Lp.6.3. Elcalculode-resolucion 105Denicion26Dadas 1 y 2 , dos-clausulas cuyos conjuntosde variables son disjuntos, y ademas es un unicador de maxima generalidadde , , se dene laregla de-resolucion de la siguiente forma:1 2 1 2Dela-clausula1 2decimosqueesun-resolventedelas-clausulas1 y 2 .Denicion27Decimos que la-clausula puede demostrarse mediante-re-solucion a partir de las-clausulas 1, . . . , n, lo que representamos como1, . . . , n si y solo si existe una secuencia de -clausulas, a la que llamamos demostracionmediante-resoluciondeapartirde1, . . . , n,quecumplelossiguientesrequisitos:Cada una de las-clausulas de la secuencia es:1. Una de las i, 1 i n, o bien2. Una clausula obtenida por renombramiento de variables de otra-clausula anterior, o bien3. Un-resolvente de-clausulas anteriores.La secuencia termina con la-clausula .Los teoremas que siguen, de correccion y completud, son una extension delos que presentamos para logica proposicional. La correccion se demuestra deforma dual a la correccion del calculo de resolucion clasico. Para probar la com-pletud, necesitaramos demostrar una version dual del Teorema de Herbrand,o bien recurrir a la dualidad de la -resolucion con la resolucion de Robinson yobtener la completud del calculo de -resolucion como corolario de la completudde la resolucion.Teorema28(Correcciondela-resolucion)Sea la formula L tal quesu forma-clausal A vericaA . Entonces,.Teorema29(Completuddela-resolucion)Sea L una sentencia talque. Entonces, siA es la forma-clausal de, se vericaA .Denicion30(-explicacion)Sea L una sentencia, cuya forma-clau-salesA,talque .Entonces,decimosquelasentencia Lesuna-ex-plicacion de si se cumplen las siguientes condiciones:106 Captulo6. Razonamientopordefectomediante-resolucion1. tiene la formaQ1x1. . . Qn1xn1(1. . . m1),n1 0, siendo cadai,1 i m1,unliteral,ycadaQj,1 j n1,uncuanticadorconlavariablexjcomo ndice.2. Es posible construirsko() = y1, . . . , yn2(1. . . m1),n2 n, sien-dolasustitucionqueasignaacadaunadelasvariablescuanticadasexistencialmenteenunterminonuevo, demodoqueninguno8delosfunctores ni constantes que aparecen enA pero no en este ensko().3. Existe una-clausula = 1, . . . , m2 tal que:a) A .b) Dadalaformanormal deSkolemsko() = y1, . . . , yn2(1 . . . m1)indicadaenelpunto2anterior,paracadak ,1 k m2 existe un i, 1 i m1, tal que para alguna sustitucion posiblekse cumpleik = k.Para obtener-explicaciones resulta interesante el algoritmo que P.T. CoxyT. Pietrzykowski [CP84] proporcionanpararealizarskolemizacioninversa.As,dadounliteral quecontieneterminosdeSkolemylasvariableslibresx1, . . . , xn, devuelveunconjuntoCdeliteralescuanticadosysinvariableslibres con las siguientes propiedades:Correccion: si C, entonces x1, . . . , xn().Completud: Para cada sentencia L, si , entonces existe un literalcuanticado Ctal que .Noredundancia: Si, C, entonces y .Medianteunaadaptaciondeestealgoritmoaconjuncionesdeliteralesesposible construir las-explicaciones. Ademas, la propiedad de no redundanciaes deseable para evitar -explicaciones no minimales, como ocurra en el ejemploanterior.M.CialdeayF.Pirri[CP93]presentanunaextensiondelalgoritmode Cox y Pietrzykowski que puede aplicarse a conjunciones de literales, y portanto a la construccion de -explicaciones. A continuacion proporcionamos unaadaptacion de su denicion.Denicion31(Skolemizacioninversa)Sea Lunaformulaenformanormal de Skolem y seats() = t1, . . . , tk el conjunto de terminos de Skolemyvariableslibresqueaparecenen. Sea tp1, . . . , tpk)unordentotal deloselementos de ts() de forma que para cada i y j, si tpi ocurre en tpjentonces i