Radioaktivni raspadi - phy.pmf.unizg.hrifriscic/nf_skripta_6.pdf · 6. RADIOAKTIVNIRASPADI 96 Ovu...

6

Radioaktivni raspadi

6.1 Zakonitosti radioaktivnih raspada opcenito

Tri osnovne i najcesce vrste radioaktivnog raspada su α-, β- i γ-emisija, shematski prikazani naslici 6.1. Osim njih, poznati su u raspadi emisijom jednog ili dva protona, neutrona, a za teze jezgrei 14C. Spontana fisija (fisija koja nije izazvana upadnim neutronima) je takoder vrsta radioaktivnograspada za koju vrijede iste zakonitosti kao za ostale raspade.

Slika 6.1: Shematski prikaz radioaktivnih raspada u karti nuklida.

Za sve je ove raspade zajednicko to da je rijec o statistickom procesu opisanom sljedecim za-konom:

dN(t)

dt= −λN(t) ,

gdje je λ tzv. konstanta raspada (razlicita za razlicite jezgre i vrste raspada), a N(t) broj radioak-tivnih jezgara u nekom trenutku. Trivijalno integracijom ovog izraza dobiva se:

N(t) = N0e−λt ,

gdje je N0 broj radioaktivnih nuklida u trenutku t=0. Srednje vrijeme zivota radioaktivnih jezgarajednog tipa dano je s:

τ = t =

∫∞0 t|dN/dt|dt∫∞0 |dN/dt|dt =

∫∞0 tN0λe

−λtdt∫∞0 N0λe−λtdt

=1/λ

1=

1

λ.

Srednje vrijeme zivota nekog izotopa u nekom stanju vezano je sa sirinom tog stanja preko Heisen-bergovog principa neodredenosti:

∆E∆t ≈ h ;

94

6. RADIOAKTIVNI RASPADI 95

imamo dakle:

∆E =h

τ=

0.658 · 10−15 eV

τ(s)= Γ .

Osim srednjeg vremena zivota, standardno se koristi “vrijeme poluraspada” T1/2, tj. vrijeme unutarkojeg se raspadne polovica pocetnog broja radioaktivnih nuklida. Iz ove definicije dobivamo:

N0

2= N0e

−λT1/2 ,

T1/2 =ln 2

λ.

Aktivnost A nekog uzorka je broj raspada u jedinici vremena; dakle:

A =

∣

∣

∣

∣

dN

dt

∣

∣

∣

∣

= λN .

SI-jedinica za aktivnost je 1 Bq (Becquerel) koji je definiran kao 1 raspad u sekundi. U praksi je uupotrebi jedinica Ci (Curie); za nju vrijedi:

1 Ci = 3.7 · 1010 Bq ;

to je otprilike radioaktivnost 1g 226Ra (sto je bila originalna definicija).

————————————————————————————————Zadatak 6.1

Radioaktivni ugljik 14C proizvodi se kozmickim zracenjem pa u atmosferi postojistalan omjer 14C i ostalih izotopa ugljika: na svakih 9.3·1011 atoma 12C dolazi jedankoji kao jezgru sadrzi 14C (izotop 13C je takoder stabilan i u prirodi se nalazi u ≈1% atoma ugljika, ali za potrebe ovog zadatka to je nevazno). Zivi organizmi kon-tinuirano izmjenjuju ugljik s okolinom pa se i u njima nalazi ugljik 14C u navedenomravnoteznom udjelu. Smrcu organizma, 14C se u njemu prestaje “obnavljati” i nje-gova kolicina pocinje opadati (vrijeme poluraspada 14C je T1/2= 5730 godina) - tase cinjenica moze iskoristiti za odredivanje vremena proteklog od smrti nekog zivogorganizma. Ako je za uzorak dobiven iz neke grobnice izmjereno 7.1 raspada u minutipo gramu uzorka, procjenite njegovu starost.

——————Rjesenje 6.1

Molarna masa ugljika je M= 12.0 g, pa jedan gram ugljika sadrzi NA/12.0= 5.02·1022atoma. Broj jezgara 14C u jednom gramu ugljika je stoga:

N(14C) =N(12C)

9.3 · 1011 = 5.4 · 1010 .

Dakle, broj raspada unutar svakog grama ugljika u jednoj sekundi nalazi se iz izraza:

dN

dt= λN = 5.4 · 1010 · ln 2

5730 · 365.25 · 24 · 60 = 12.4 min−1 .

Aktivnost pada prema izrazu:A = A0e

−λt ,

pa uz A= 7.1 min−1 i A0= 12.9 min−1 dobivamo:

t = − 1

λln

(

A

A0

)

= −T1/2

ln 2ln

(

A

A0

)

≈ 4800 god.


Ovu metodu tzv. radiougljicnog datiranja osmislio je kasnih 40-tih godina proslogstoljeca Willard Libby i za to dobio Nobelovu nagradu za kemiju (1960. godine).Metoda je u meduvremenu bitno unaprijedena i uzima u ozbir promjene ravnoteznekolicine 14C u atmosferi, kao i niz drugih efekata. Umjesto (tehnicki netrivijalnog)brojanja raspada 14C, moguce je prebrojavati i same jezgre 14C, nakon ubrzavanja izakretanja u magnetskim poljima - ta se tehnika standardno naziva “akceleratorskamasena spektroskopija” (AMS) i njome je danas moguce analizom uzoraka od samopar miligrama odrediti njegovu starost i do 60000 godina u proslost. Osim 14C, AMSkoristi i druge radioaktivne dugozivuce izotope (npr. 10Be i 26Al) za proucavanjeuzoraka vaznih za arheologiju, geologiju, biomedicinu itd.————————————————————————————————

6.2 Lancani raspad (raspad u nizu)

Ako radioaktivni raspad ne vodi na stabilan nuklid, vec je ovaj radioaktivan, dobiva se “lancaniraspad” ili “raspad u nizu”:

1λ1→ 2

λ2→ 3 .

Za prvi nuklid u nizu, broj jezgara ce jednostavno padati po eksponencijalnom zakonu, dok ce zadrugi nuklid vrijediti diferencijalna jednadzba:

dN2

dt= λ1N1 − λ2N2 .

Rjesenje ove diferencijalne jednadzbe uz uvjet N2(t=0)=0 glasi:

N2 = N10λ1

λ2 − λ1

(

e−λ1t − e−λ2t)

.

Broj atoma, pa dakle i aktivnost drugog nuklida u preparatu, mijenja se kao razlika dvaju ekspo-nencijala. Ako je λ1≫λ2, prvi nuklid raspast ce se brzo i prijeci u drugi pa ce vrijediti:

N2 = N10e−λ2t (za λ1t ≫ 1) .

Drugi nuklid se, dakle, raspada kao da je N10 bio pocetni broj njegovih jezgara. Ako je λ1≪λ2, zaλ2t≫1 bit ce:

N2 =λ1

λ2N10e

−λ1t ,

odnosno:λ1N1 = λ2N2 .

Ovaj rezultat znaci da je aktivnost jednog i drugog nuklida jednaka, pa se kaze da je uspostavljena“sekularna ravnoteza”.

Kada bi imali vise clanova u nizu raspada:

1λ1→ 2

λ2→ 3λ3→ · · · λn→ n+ 1 ,

opce rjesenje diferencijalne jednadzve uz pocetni uvjet:

t = 0 N1 = N10, N2 = N3 = · · · = Nn = 0 ,

dano je Batemanavom formulom:

dN

dt= N10

(

h1e−λ1t + h2e

−λ2t + · · ·hne−λnt)

,


gdje je:

h1 =λ1

λn − λ1· λ2

λ2 − λ1· λ3

λ3 − λ1· · · λn−1

λn−1 − λ1,

h2 =λ1

λ1 − λ2· λn

λ2 − λ2· λ3

λ3 − λ2· · · λn−1

λn−1 − λ2,

· · · · · ·

hn =λ1

λ1 − λn· λ2

λ2 − λn· λ3

λ3 − λn· · · λn−1

λn−1 − λn.

————————————————————————————————Zadatak 6.2

Pri fisiji urana 235U u 4.5% slucajeva dobiva se antimon 133Sb. Taj je izotop nesta-bilan i vodi na niz raspada:

133Sb10 min−→ 133Te

60 min−→ 133I22 h−→ 133Xe

5.3 d−→ 133Cs ,

gdje je iznad strelica dano vrijeme poluraspada.(a) 1g urana ozracen je neutronima toka Φ= 1011 neutrona cm−2 s−1 u vremenuod 60 minuta. Izracunajte broj stvorenih atoma antimona (Sb), telurija (Te) i joda(I) pri prestanku ozracivanja. Prirodni uran sastoji se od 99.3% 238U i 0.7% 235U.Udarni presjek za fisiju izazvanu termickim neutronima za 235U jednak je σ= 500barna.(b) 12 sati nakon ozracivanja stvoreni atomi joda odvojeni su kemijskim procesom odostatka uzorka. Koliko je atoma dobiveno ako je efikasnost procesa odvajanja 75%


S indeksom “1” oznacit cemo velicine (broj jezgara i konstantu raspada) za Sb, s “2”za Te i s “3” za I.Broj jezgara 133Sb stvorenih svake sekunde pri ozracivanju jednak je:

C = N0Φσ · 4.5% ,

gdje je s N0 oznacen broj jezgara mete:

N0 =1 g · 0.7%235 g/mol

· 6.023 · 1023mol−1 = 1.8 · 1019

Za broj jezgara stvorenih svake sekunde dobivamo:

C = 1.8 · 1019 · 1011 · 500 · 10−24 · 0.045 = 4.0 · 107 s−1 .

Iz sheme raspada iscitavamo:

λ1 =ln 2

600= 1.16 · 10−3 s−1 ,

λ2 =ln 2

3600= 1.93 · 10−4 s−1 ,

λ3 =ln 2

22 · 3600 = 8.75 · 10−6 s−1 .

(a)Broj jezgara antimona mora zadovoljavati ovu diferencijalnu jednadzbu:


dN1

dt= C − λ1N1 .

Uz N1=0 u t=0, nakon T= 3600 s imamo:

N1(T ) =C

λ1

(

1− e−λ1T)

= 3.43 · 1010 .

Za telurij dobivamo:dN2

dt= λ1N1 − λ2N2 .

Uz N2=0 u t=0, nakon T= 3600 s dobivamo:

N2(T ) =C

λ2

(

1 +λ2

λ1 − λ2e−λ1T − λ1

λ1 − λ2e−λ2T

)

= 8.38 · 1010

Za jod dobivamo formom istu diferencijalnu jednadzbu kao za telurij:

dN3

dt= λ2N2 − λ3N3 ,

no buduci da N3 izrazavamo preko N2 (za koji smo dobili netrivijalno rjesenje),rjesenje ove jednadzbe postaje prilicno komplicirano:

N3(T ) =C

λ3

(

1− λ2λ3

(λ1 − λ2)(λ1 − λ3)e−λ1T − λ3λ1

(λ2 − λ3)(λ2 − λ1)e−λ2T

)

+

+C

λ3

(

λ2λ3

(λ1 − λ2)(λ1 − λ3)− λ3λ1

(λ2 − λ3)(λ1 − λ2)− 1

)

e−λ3T .

Buduci da vrijedi:λ3 ≪ λ1 , λ3 ≪ λ2 ,

vrijedi i:e−λ1T ≪ 1 , e−λ2T ≪ 1 ,

pa od prve zagrade u rjesenju za jod (N3) u prvoj aproksimaciji prezivljava samojedinica. Oba clana druge zagrade sadrze λ3 kao multiplikativan faktor (u nazivnikuse λ3 zanemaruje), pa nam opet od zagrade prezivljva samo jedinica. Dobivamodakle:

N3(T ) ≈C

λ3

(

1− e−λ3T)

= 2.77 · 1010 .

(b)Po prestanku ozracivanja antimon se vise ne proizvodi, vec se samo raspada; jed-nadzbe koje opisuju taj raspad nesto su jednostavnije:

N1(t) = N1(T )e−λ1T ,

N2(t) =λ1

λ1 − λ2e−λ1T +

[

N2(T ) +λ1N1(T )

λ1 − λ2

]

e−λ2T ,

N3(t) =λ1λ2N1(T )

(λ1 − λ2)(λ1 − λ3)e−λ1T +

λ2

λ1 − λ2

[

N2(T ) +λ1N1(T )

λ1 − λ2

]

e−λ2T +

+

[

N3(T ) +λ2N2(T )

λ2 − λ3+

λ1λ2N1(T )

(λ1 − λ3)(λ2 − λ3)

]

e−λ3T


Za t= 12h (dakle t≫τ1, t≫τ2) prva dva clana u izrazu za N3(t) postaju zanemarivomaleni pa dobivamo:

N3(12 h) =

[

N3(T ) +λ2N2(T )

λ2 − λ3+

λ1λ2N1(T )

(λ1 − λ3)(λ2 − λ3)

]

e−λ3T = 1.04 · 1011 .

Dakle, broj odvojenih atoma izotopa joda je:

N(I) = N3(12 h) · 0.75 = 7.8 · 1010 .

————————————————————————————————

————————————————————————————————Zadatak 6.3

Jezgra 8Li primjer je “odgodenog β-emitera”. Osnovno stanje ove jezgre ima vrijemepoluraspada T1/2= 0.85 s i raspada se u stanje jezgre 8Be na Ex= 2.9 MeV-a (J=2),koje se zatim brzo raspada u dvije α-cestice.(a) Odredite paritet stanja jezgre 8Be na Ex= 2.9 MeV-a;(b) Zbog cega je vrijeme poluraspada tog stanja drasticno (22 reda velicine) kraceod vremena poluraspada osnovnog stanja jezgre 8Li?(c) Iz navedenih podataka odredite moguce vrijednosti Jπ za osnovno stanje jezgre8Li.


(a) Ovo je primjer raspada u nizu kod kojeg je vrlo brz α-raspad “odgoden” sporimβ-raspadom. Konacno stanje u raspadu 8Be sastoji se od dva istovrsna bozona (α-cestice, koje imaju Jπ= 0+) pa valna funkcija konacnog stanja mora biti simetricna

na izmjenu njihovih koordinata - orbitalni moment impulsa L mora stoga biti paran!Ukupan paritet je:

π = πrelπα1πα2

= (−1)L · 1 · 1 = 1 ;

dakle, promatrano stanje ima pozitivan paritet.

(b)Beta-raspad osnovnog stanja 8Li je proces koji se odvija slabom nuklearnominterakcijom, dok se alfa-raspad odvija jakom - ako zbog neceg alfa-raspad nijepotisnut (kao sto je potisnut tuneliranjem kod teskih jezgara), on ce uvijek biti brziza omjer jakosti ove dvije interakcije (vise desetaka redova velicine).

(c)Iako spor u usporedbi s “odgodenim” α-raspadom, β-raspad osnovnog stanja 8Li jedovoljno brz da ne bude dvojbe da je rijec o dozvoljenom raspadu za koji vrijedeizborna pravila:

∆J = 0, 1 , ∆π = 0 .

Dakle, pariter osnovnog stanja 8Li je nuzno pozitivan, dok mu spin moze biti 1, 2 ili3 (jer se raspada odvija u stanje s J=2). Buduci da se β-raspad ne odvija u osnovnostanje 8Be (za koje je ocito Jπ =0+), jasno je da spin 8Li nije 1 - sve u svemu,osnovnoe stanje 8Li ima Jπ = 2+ ili 3+.————————————————————————————————


6.3 Alfa-raspad

————————————————————————————————Zadatak 6.4

Jednostavnim razmatranjem masa moze se uociti da je alfa-raspad prirodnog zlata(197Au) energetski dozvoljen i da bi pri tom raspadu bile emitirane α-cestice en-ergije 3.3 MeV-a. Jezgra 197

79 Au u osnovnom stanju ima Jπ= 3/2+, isto kao i jezgrakoju dobivamo njenim alfa-raspadom (19377Ir). Procjenite vrijeme poluraspada ovogizotopa!


Alfa-raspad je klasican primjer tuneliranja u kvantnoj fizici - shematski je barijerakroz koju tunelira α-cestica dana na slici 6.2.

Slika 6.2: Shematski prikaz barijere za alfa-raspad.

Tuneliranje se odvija izmedu tocke na udaljenosti rs od sredista jezgre zlata, gdje jers definiran kao domet jake nuklearne sile izmedu α-cestice i preostale jezgre (pa seracuna kao suma njihovih polumjera):

rs = 1.2 ·(

A1/3 + 41/3)

= 1.2 ·(

1931/3 + 41/3)

≈ 8.8 fm .

Q-vrijednost raspada (u ovom zadatku≈ 3.3 MeV), odnosno energija koja se oslobadau raspadu:

Q(A,Z) = EB(A− 4, Z − 2) + 28.3− EB(A,Z) ,

definira tocku gdje prestaje tuneliranje (tj. tocku izlaska iz klasicno nedozvoljenogpodrucja):

Q =2(Z − 2)e2

(4πǫ0)rc⇒ rc =

2(Z − 2)e2

(4πǫ0)Q. (6.1)

Za raspad zlata (Z= 79), dobiva se rc≈ 75 fm.Van dosega nuklearnog potencijala (r>rs), Schrodingerova jednadzba za radijalni dio(u) valne funkcije α-cestice dana je s (vidi npr. zadatak 4.2):

− h2

2m

1

r

d2

dr2(ru) +

[

2(Z − 2)e2

(4πǫ0)r+

h2

2m

l(l + 1)

r2

]

u = Qu ,


gdje je:

Ψ(rθφ) =ul(r)

rY ml (θφ) .

Uzmemo li kao masu m u Schrodingerovoj jednadzbi reduciranu masu za sistemα+193Ir:

m =mαm193

mα +m193,

automatski uzimamo u obzir odboj jezgre kcerke pri emisiji α-cestice (pa kao energijumozemo jednostavno uzeti nekorigiranu Q-vrijednost).Buduci da se raspad odigrava izmedu dva stanja s Jπ= 3/2+, l moze biti 0, 2, 4,itd. Svaki l veci od nule kroz centrifugalni ce clan povecati centrifugalnu barijeru,pa ce se raspadi odigravati s l= 0 (ovo opcenito vrijedi, ako su takvi raspadi mogucis aspekta zakona ocuvanja momenta impulsa). Uz l=0 i uz zamjenu:

u(r) = f(r)/r , (6.2)

Schrodingerova jednadzba postaje:

− h2

2m

d2f

dr2+

2(Z − 2)e2

(4πǫ0)rf = Qf .

Da umjesto kulonskog potencijala imamo konstantan potencijal (potencijal neovisano r), rjesenje za f(r) bila bi eksponencijalna funkcija ili s realnim ili s imaginarnimargumentom; to nas navodi da za gornju jednadzbu probamo naci rjesenje oblika:

f(r) = eφ(r) ,

gdje je φ(r) za sada neodredena funkcija. Uvrstavanjem u Schrodingerovu jednadzbudobivamo:

h2

2m

[

d2φ

dr2+

(

dφ

dr

)2]

=

(

2(Z − 2)e2

(4πǫ0)r−Q

)

.

Da umjesto kulonskog potencijala imamo konstantan potencijal, d2φ/dr2 bi bio jed-nak nuli - kulonski potencijal koji se pojavljuje u nasem slucaju mijenja se dovoljno“sporo” da i za njega pretpostavimo isto, tj. da zanemarimo prvi clan u uglatojzagradi gornje jednadzbe. Tada istu jednostavno transformiramo u:

dφ

dr= ±

√

2m

h2

(

2(Z − 2)e2

(4πǫ0)r −Q

)

,

te:

φ(r) = ±∫

√

2m

h2

(

2(Z − 2)e2

(4πǫ0)r−Q

)

dr .

Za r>rc (klasicno dozvoljeno podrucje) priblizno rjesenje moze se napisati u ovomobliku:

f(r) = A · exp(

+i

∫ r

rck(r)dr

)

+B · exp(

−i

∫ r

rck(r)dr

)

,

gdje je:

k(r) = +

√

2m

h2

(

Q− 2(Z − 2)e2

(4πǫ0)r

)

.

Za rs<r<rc (klasicno zabranjeno podrucje) za priblizno rjesenje dobivamo:


f(r) = C · exp(

+

∫ rc

rK(r)dr

)

+D · exp(

−∫ rc

rK(r)dr

)

, (6.3)

gdje je:

K(r) = +

√

2m

h2

(

2(Z − 2)e2

(4πǫ0)r−Q

)

.

Konstatne A, B, C i D odreduju se iz rubnih uvjeta. Buduci da nas zanima rjesenjekoje opisuje izlaznu α-cesticu, konstanta B nuzno mora biti jednaka nuli (jer mnozi“val” koji se u vremenu priblizava ishodistu). Glede parametra C i D, smanjivanjemr eksponencijala koja mnozi D postaje zanemariva pa taj clan mozemo zanemariti -to ne znaci da valna funkcija eksponencijalno raste u ovom podrucju (kao sto cemokasnije vidjeti).Dakle, B i D su jednaki nuli, dok se A i C odreduju razmatranjem valne funkcije nagranicima barijere. Da bi doslo do emisije α-cestice, ista se mora formirati na rubujezgre (2 protona i 2 neutrona moraju se geometrijski grupirati) - opis tog procesanije jednostavan, a njegovi detalji nisu vazni za potrebe ovog zadatka. Dovoljno jepretpostaviti da za radijalan tok α-cestica vrijedi:

4πr2c |u(rc)|24πr2s |u(rs)|2

= e−G ,

sto ocekujemo za tuneliranje kroz bilo kakvu barijeru (G je za sada neodredenafunkcija od r koja se standardno naziva “Gamovljevim faktorom”). Znajuci vezuizmedu u(r) i f(r) (izraz 6.2), dobivamo:

∣

∣

∣

∣

f(rc)

f(rs)

∣

∣

∣

∣

2

= e−G .

Lijevu stranu ovog izraza mozemo raspisati preko izraza 6.3, pa dobivamo:

G = 2

∫ rc

rsK(r)dr =

= 2

∫ rc

rs

√

2m

h2

(

2(Z − 2)e2

(4πǫ0)r−Q

)

dr = (6.4)

= 2

√

2mQ

h2

∫ rc

rs

(

rcr− 1

)1/2

dr , (6.5)

gdje je iskoristena definicija rc (izraz 6.1).Izvrijednavanje integrala u izrazu za G je prilicno komplicirano; narednih 10-takredova posveceno je samo tome. Definirajmo:

r = rc cos2 θ ;

tada vrijedi:dr = −2rc cos θ sin θdθ ,

(

rcr− 1

)1/2

=

(

1

cos2 θ− 1

)1/2

=(

tg2θ)1/2

= tg θ .

Granice integracije uz novu varijablu integracije postaju:

rc → 0 ,


rs → θ0 = arc cos√

rs/rc .

Sada mozemo izracunamti G:

G = 2rc

√

2mQ

h2

∫ θ0

02 sin2 θdθ =

= 2rc

√

2mQ

h2[θ0 − sin θ0 cos θ0] =

=π

h

(

2(Z − 2)e2

4πǫ0

)

√

2mc2

QG(rs/rc) , (6.6)

gdje je G definiran kao:

G(rs/rc) =2

π

[

arc cos

√

rsrc

−√

rsrc

(

1− rsrc

)

]

.

G je bezdimenzionalna funkcija koja za rs/rc izmedu 0 i 1 poprima vrijednosti izmedu1 i 0 (vidi sliku 6.3).

Slika 6.3: Funkcija G(x). Preuzeto iz Cottingham.

Tok α-cestica koje “prelaze” tocku rs obrnuto je proporcionalan karakteristicnomvremenu formacije τ0. Vjerojatnost (po jedinici vremena) da ce α-cestica penetriratibarijeru dana je tada s τ−1

0 e−G, pa je srednje vrijeme zivota za alfa-raspad dano s:

τ = τ0eG . (6.7)


Karakteristicno vrijeme nastanka α-cestice ne bi trebalo varirati jako od jezgre dojezgre - τ0 dakle mozemo shvatiti kao konstantu koju mozemo odrediti usporedbomove jednostavne teorije s eksperimentom.

U tablici su dane eksperimentalno odredena vremena srednjeg zivota za neke tipicnealfa-emitere, te teorijske vrijednosti izracunate na gore opisan nacin uz τ0= 7.0·10−23

s (to je vrijednost uz koju se dobiva najbolje slaganje). Vidimo da je slaganjenaseg jednostavnog modela s eksperimentom odlicno i to na vremenskoj skali oddvadesetak redova velicina!! Jedino znacajnije odstupanje postoji za jezgru 210Po,no ona ima magican broj neutrona (126) pa se dakako i ocekuje da ce τ0 biti razlicitod vrijednosti dobivene za ne-magicne jezgre.

Izracunajmo τ za 197Au. Na pocetku zadatka pokazano je da je rs≈ 8.8 fm, a rc≈ 75fm, pa se G(rs/rc) moze ili izracunati ili ocitati sa slike 6.3 kao G≈ 0.7. Uvrstavanjemu izraz 6.6 (uz Q= 3.3 MeV) dobiva se G≈ 110. Uvrstavanjem u izraz 6.7 dobiva se:

τ = 7.0 · 10−23 s ≈ 5 · 1017 god.

Slicna se vrijednost dobiva i pomocu Geiger-Nuttalovog zakona.

Dobiveno srednje vrijeme zivota (5 · 1017 godina) izotopa zlata 197Au puno je dulje(8 redova velicina) od starosti Zemlje (≈ 4.5·109 godina) pa se za sve prakticne svrhezlato moze smatrati stabilnim. Iako diskutirani α-raspad zlata jos nije eksperimen-talno detektiran, to bi uskoro moglo biti ostvareno jer je nedavno eksperimentalnopotvrden usporediv alfa-raspad jezgre 209Bi: u vrlo komplicaranom eksperimentu ukojem je sam detektor (ohladen na 20 mK) sadrzavao atome bizmuta izmjereno jeT1/2= 1.9·1019 godina (za detalje vidjeti clanak P. de Marcillac et al., Nature 422,2003, 876).————————————————————————————————


6.4 Beta-raspad

————————————————————————————————Zadatak 6.5

Pokazite da se kod raspada neutrona za Gamow-Tellerov matricni element dobiva〈|MGT|2〉=3, a za Fermijev matricni element 〈|MF|2〉=1.


Kod dozvoljenih raspada, a raspad neutrona je takav, Fermijev clan ima samo oper-ator dizanja i spustanja izospina (vidi npr. Wong, str. 192):

A∑

j=1

τ∓(j) ,

pa je matricni element dan s:

MF =

⟨

jf mf tf tzf

∣

∣

∣

∣

∣

∣

A∑

j=1

τ∓(j)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ji mi ti tzi

⟩

.

Buduci da mi razmatramo raspad neutrona, A=1 i suma po j svodi se na samojedan clan. Pretpostavimo da je mi = +1/2 (izvod bi bio identican i uz pretpostavkumi = −1/2), a da mf moze posve opcenito biti ±1/2 (po njemu sumiramo!). Nadalje,buduca da nam je “pocetno stanje” neutron (koji ima tz= -1/2), a konacno proton(s tz= +1/2), bitan nam je samo operator dizanja τ+. Imamo dakle:

|〈MF 〉|2 =∑

mf

|〈jf mf tf tzf |τ+| ji mi ti tzi〉|2 =

=

∣

∣

∣

∣

⟨

jf =1

2mf =

1

2

∣

∣

∣

∣

⟨

tf =1

2tzf =

1

2

∣

∣

∣

∣

τ+

∣

∣

∣

∣

ji =1

2mi =

1

2

⟩∣

∣

∣

∣

ti =1

2tzi = −1

2

⟩∣

∣

∣

∣

2

+

+

∣

∣

∣

∣

⟨

jf =1

2mf = −1

2

∣

∣

∣

∣

⟨

tf =1

2tzf =

1

2

∣

∣

∣

∣

τ+

∣

∣

∣

∣

ji =1

2mi =

1

2

⟩ ∣

∣

∣

∣

ti =1

2tzi = −1

2

⟩∣

∣

∣

∣

2

.

Operator izospina ne djeluje na spinski dio valne funkcije pa je drugi clan u gornjojsumi jednak nuli; za prvi clan vrijedi (vidi npr. Wong, str. 29):

⟨

tf =1

2tzf =

1

2

∣

∣

∣

∣

τ+

∣

∣

∣

∣

ti =1

2tzi = −1

2

⟩

=√

ti(ti + 1)− tzi(tzi + 1) =

=

√

1

2

(

1

2+ 1

)

− (−)1

2

(

−1

2+ 1

)

=

=

√

3

4+

1

4= 1 .

Dakle,|〈MF 〉|2 = 1 .

Za Gamow-Tellerov clan racun je malo kompliciraniji jer i odgovarajuci operator imakompliciraniji oblik:

|〈MGT 〉|2 =∑

µ mf

∣

∣

∣

∣

∣

∣

〈jf mf tf tzf |A∑

j=1

σµ(j)τ±(j) |ji mi ti tzi〉

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

.


Kao i u prethodnom izvodu (za Fermijev clan), buduci da razmatramo raspad neu-trona, A= 1 i suma po j svodi se na samo jedan clan. Opet cemo pretpostaviti daje mi = +1/2. Takoder, bitan nam je samo operator dizanja τ+ - izospinski diomatricnog elementa bit ce isti kao za Fermijev clan (tj. 1). Bitan nam je dakle samoovaj faktor:

|〈MGT 〉|2 =∑

µ mf

|〈jf mf | σµ |ji mi〉 |2 =

=

∣

∣

∣

∣

⟨

1

2

1

2

∣

∣

∣

∣

σx

∣

∣

∣

∣

1

2

1

2

⟩∣

∣

∣

∣

2

+

∣

∣

∣

∣

⟨

1

2

1

2

∣

∣

∣

∣

σy

∣

∣

∣

∣

1

2

1

2

⟩∣

∣

∣

∣

2

+

∣

∣

∣

∣

⟨

1

2

1

2

∣

∣

∣

∣

σz

∣

∣

∣

∣

1

2

1

2

⟩∣

∣

∣

∣

2

+

+

∣

∣

∣

∣

⟨

1

2− 1

2

∣

∣

∣

∣

σx

∣

∣

∣

∣

1

2

1

2

⟩∣

∣

∣

∣

2

+

∣

∣

∣

∣

⟨

1

2− 1

2

∣

∣

∣

∣

σy

∣

∣

∣

∣

1

2

1

2

⟩∣

∣

∣

∣

2

+

∣

∣

∣

∣

⟨

1

2− 1

2

∣

∣

∣

∣

σz

∣

∣

∣

∣

1

2

1

2

⟩∣

∣

∣

∣

2

.

Buduci da vrijedi:

σx

∣

∣

∣

∣

1

2

1

2

⟩

=

∣

∣

∣

∣

1

2− 1

2

⟩

, σx

∣

∣

∣

∣

1

2− 1

2

⟩

=

∣

∣

∣

∣

1

2

1

2

⟩

, σy

∣

∣

∣

∣

1

2

1

2

⟩

= i

∣

∣

∣

∣

1

2− 1

2

⟩

,

σy

∣

∣

∣

∣

1

2− 1

2

⟩

= −i

∣

∣

∣

∣

1

2

1

2

⟩

, σz

∣

∣

∣

∣

1

2

1

2

⟩

=

∣

∣

∣

∣

1

2

1

2

⟩

, σz

∣

∣

∣

∣

1

2− 1

2

⟩

= −∣

∣

∣

∣

1

2− 1

2

⟩

,

ocito je da u gornjoj sumi prezivljavaju samo treci, cetvrti i peti clan, pa dobivamo:

|〈MGT 〉|2 = 12 + 12 + |i|2 = 3 .

————————————————————————————————

————————————————————————————————Zadatak 6.6

(2 boda) Izracunajte omjer prosjecne i maksimalne energije elektrona u beta-raspadupretpostavljajuci da je potonja (Emax) puno manja od m0c

2, te da je kulonskafunkcija, F (Z,p), konstanta unutar cijelog intervala mogucih energija elektrona.


Pretpostavka da je Emax puno manja od m0c2 = 511 keV-a povlaci da mozemo

koristiti nerelativisticke izraze; ta je aproksimacija posve prihvatljiva za beta-raspadepoput raspada tricija: 3H → 3He+e−+ν+18.6 keV.Trazimo omjer prosjecne i maksimalne energije pri ovakvom beta-raspadu:

〈E〉Emax

=

∫ Emax

0 EP (E)dE

Emax∫ Emax

0 P (E)dE.

Koristeci izraze u npr. Wong str. 196, imamo:

P (E)dE = C (Emax − E)2 p2dp = C ′ (Emax − E)2√EdE ,

gdje smo koristili:

E =p2

2m,

dE =2pdp

2m=

pdp

m,

dp = mdE

p=

mdE√2mE

.


Za trazeni omjer sada dobivamo:

〈E〉Emax

=C ′∫ Emax

0 (Emax − E)2E3/2dE

C ′Emax∫ Emax

0 (Emax − E)2E1/2dE=

=

∫ Emax

0

(

E2max − 2EmaxE + E2

)

E3/2dE

Emax∫ Emax

0 (E2max − 2EmaxE + E2)E1/2dE

=

=E2

max

∫ Emax

0 E3/2dE − 2Emax∫ Emax

0 E5/2dE +∫ Emax

0 E7/2dE

E2max

∫ Emax

0 E1/2dE − 2Emax∫ Emax

0 E3/2dE +∫ Emax

0 E5/2dE=

=1

Emax

[

E2maxE

5/2 · 2/5− EmaxE7/2 · 2/7 + E9/2 · 2/9

E2maxE

3/2 · 2/3− EmaxE4/2 · 2/5 + E7/2 · 2/7

]Emax

0

=

=E

9/2max(2/5− 4/7 + 2/9)

E9/2max(2/3− 4/7 + 2/7)

=

=63−90+35

31535−42+15

105

=8/315

8/105=

=1

3.

Kod ovakvih raspada (s vrlo malom Q-vrijednoscu), prosjecna energija koju odnoseelektroni jednaka je trecini maksimalne energije.————————————————————————————————

6.5 Gama-prijelazi

Izborna pravila za gama-prijelaze multipolarnosti L dana su s:

|Ji − Jf | ≤ L ≤ Ji + Jf (L 6= 0) ,

πi = πf . . . parni elektricni, neparni magnetski prijelazi;πi 6= πf . . . neparni elektricni, parni magnetski prijelazi.

Vrlo pojednostavljeno konstanta raspada za gama-prijelaze moze se procjeniti pretpostavivsi dado emisije fotona dolazi pri prelasku protona izmedu stanja dobro opisanih modelom ljusaka; uzR = R0A

1

3 , za par najnizih multipola dobiva se:

λ(E1) = 1.0 · 1014A2/3E3 ,

λ(E2) = 7.3 · 107A4/3E5 ,

λ(E3) = 34 ·A2E7 ,

λ(E4) = 1.1 · 10−5A8/3E9 ,

gdje je λ dana u s−1, a E u MeV-ima. Za magnetske prijelaze vrijedi:

λ(M1) = 5.6 · 1013E3 ,

λ(M2) = 3.5 · 107A2/3E5 ,

λ(M3) = 16 ·A4/3E7 ,

λ(M4) = 4.5 · 10−6A2E9 .

Ovi izrazi nazivaju se Weisskopfovim procjenama i ne trebaju biti shvaceni kao apsolutno tocni, vecvise kao razumna usporedba izmedu razlicitih prijelaza. Odstupanja od ovog izraza najveca su zatzv. kolektivna stanja tezih, odnosno klasterska stanja lakih jezgara.


————————————————————————————————Zadatak 6.7

Procjenite vrijeme poluraspada stanja 2+ jezgre 7234Se na Ex= 862 keV-a (osnovno

stanje ove jezgre ima Jπ= 0+, kao i velika vecina parno-parnih jezgara).


Iz izbornih pravila vidimo da prijelaz izmedu stanja 2+ i 0+ nuzno mora biti E2-prijelaz; upotrebom odgovarajuceg Weisskopfovog izraza dobivamo:

λ(E2) = 1.0 · 1010 s−1 ,

T1/2 =ln 2

λ= 6.9 · 10−11 s = 69 ps .

Eksperimentalno izmjerena vrijednost je T1/2= 3.5 ps. Pojava da Weisskopfove proc-jene daju red velicine preduga vremena poluraspada je vrlo cesta za prva 2+ stanjatezih jezgara - ta se stanja, naime, ne opisuju dobro modelom ljusaka vec odgovarajuvibracijskim ili rotacijskim pobudenjima koja ce biti diskutirana u poglavlju 7.2.————————————————————————————————

6.6 Dodatni rijeseni zadaci

————————————————————————————————Zadatak 6.8

Uzorak zlata postavljen je pod neutronski snop konstantnog intenziteta tako da se1010 neutrona u svakoj sekundi apsorbiraju putem reakcije:

19779Au + n → 198

79Au + γ . (6.8)

Nuklid 198Au raspada se (β-raspad) u nuklid 198Hg sa srednjim vremenom zivota τod 3.89 dana. Koliko ce atoma 198Au biti prisutno u uzorku nakon 6 dana iradijacije?Koliko ce atoma 198Hg tada biti prisutno, uz pretpostavku da neutroni ne utjecu nataj nuklid? Koji je ravnotezni broj atoma 198Au?


Uz oznake:N(t) ... broj nuklida 198Au stvorenih u vremenu t od pocetka iradijacije,λ ... konstanta raspada,P ... brzina stvaranja nuklida 198Au (ovdje zadana kao konstantna),vrijedi:

dN(t)

dt= P − λN(t) .

Rjesenje ove jednadzbe je:

N(t) =P

λ(1− e−λt) .

Uz t= 6 dana, λ−1= 3.89 dana i P= 1010 s−1, dobiva se:

N(6 dana) = 2.64 · 1015 .


Dobiva se, dakako, broj proizvedenih jezgara (Pt= 5.18·1015) umanjen za broj ras-padnutih jezgara (2.54·1015) u 6 dana.Ravnotezni broj jezgara 198Au, N(∞), dobiva se uz uvjet:

dN

dt= 0 ;

dakle, kada je t vrlo velik:P = N(∞)λ .

Dobiva se:

N(∞) =P

λ= 3.66 · 1015 .

————————————————————————————————

————————————————————————————————Zadatak 6.9

Jezgra 21083Bi (srednje vrijeme zivota τ= 7.2 dana) raspada se emisijom β-cestice u

jezgru 21084Po (srednje vrijeme zivota τ= 200 dana), koja se pak α-raspada u jezgru

20682Pb. Proizvede li se neki izvor tako da sadrzi cisti 210Bi, nakon koliko vremena cebrzina emitiranja α-cestica dostici maksimim?


Shematski prikaz niza raspada dan je na slici 6.4.

2

1

N (t)2

N (t)1

N (t)3

β , λ−

Bi ....

Po ...

Pb ...

84

82206

210

21083

α, λ

Slika 6.4: Shematski prikaz niza raspada 210Bi.

Uz definicije kao na slici, vrijedi:

dN1(t)

dt= −λ1N1(t) ,

dN2(t)

dt= +λ1N1(t)− λ2N2(t) .

Rjesenje ove jednadzbe dano je s:

N2(t) =λ1N1(0)

λ1 − λ2

(

e−λ2t − e−λ1t)

.

Broj emitiranih α-cestica u jedinici vremena, Rα(t), odreden je raspadom jezgre210Po:

Rα(t) = λ2N2(t) .


Buduci da je N2(t) uvijek veci ili jednak nuli, Rα ima maksimum kada je:

dN2(t)

dt= 0 .

Emisija α-cestica bit ce maksimalna u trenutku kada je zadovoljen slijedeci izraz(derivacija zagrade u izrazu 6.6 mora biti jdnaka nuli):

λ2 exp (−λ2t) = λ1 exp (−λ1t) ;

dobiva se:

tmax =1

λ1 − λ2ln

λ1

λ2.

Uz τ=λ−11 = 7.2 dana i τ=λ−1

2 = 200 dana, dobiva se:

tmax =1

1/7.2− 1/200ln

200

7.2= 24.8 dana .

————————————————————————————————

————————————————————————————————Zadatak 6.10

Dva najniza stanja jezgre 42Sc imaju spin i paritet Jπ= 0+ (osnovno stanje) i 7+.Ta se stanja raspadaju emisijom pozitrona u stanja jezgre 42Ca (Jπ= 0+ i 6+), uzreducirane vrijednosti vremena poluraspada:

(ft)0+ = 3200 s , (ft)7+ = 16000 s .

Eksperimentalno je utvrdeno da ne postoji raspad u stanje u drugo pobudeno stanjena Ex= 1.84 MeV (Jπ= 0+).a) Pomocu modela ljusaka, opisite beta-raspade prema vrsti!b) Koristeci model ljusaka, odredite priblizno omjer (ft)0+/(ft)7+ i usporedite seksperimentalnim.


a) Za 42Sc (Z=21) znamo da je Tz= (Z-N)/2=0, pa je i T za najniza stanja jednaknuli. Za 42Ca (Z=20) analogno dobivamo T=1.U modelu ljusaka jezgra 42Sc i okolne jezgre popunjavaju f7/2-podljusku. Zbrajanjedva momenta impulsa nukleona u jednocesticnim orbitalama s j= 7/2 daje ukupnimoment impulsa u rasponu 0, 1, . . ., 7. Koristeci rezultat poglavlja 7.1.2 (J+T morabiti neparan!), poopceni Paulijev princip daje ove moguce konfiguracije:

T = 1 . . . Jπ = 0+, 2+, 4+, . . .

T = 0 . . . Jπ = 1+, 3+, 5+, . . .

Zadani prijelazi su definitivno dozvoljeni (to znamo po ft-vrijednostima) pa je ∆Jmaksimalno 1. Izborna pravila za Gamow-Tellerove dozvoljene prijelaze su (vidinpr. Wong str. 198):

∆J= 0,1 (0→0 zabranjeno), ∆T= 0,1 (0→0 zabranjeno) i πi=πf ;

dok za Fermijeve prijelaze mora biti ispunjeno:


∆J= 0, ∆T= 0, πi=πf .

Stanje 7+ u 42Sc se stoga raspada u stanje 6+ u 42Ca i to mora biti Gamow-Tellerovprijelaz; prijelaz izmedu osnovnih stanja (0+→0+) je s druge strane cisti Fermijevprijelaz.b) Vjerojatnost beta-prijelaza u jedinici vremena proporcionalna je s:

Γ(β) ∼ g2F 〈MF 〉2 + g2GT 〈MGT 〉2 ,

gdje je s 〈M〉 oznacen matricni element slabog medudjelovanja usrednjen po spinu,te vrijedi (vidi npr. Wong str. 182):

gF = 1.4 · 10−62 Jm3 ,

gGT = 1.6 · 10−62 Jm3 .

Kao i u zadatku 6.5, eksplicitno uvrstavamo operatore za Fermijev i Gamow-Tellerovslucaj (vidi i npr. Wong, str. 192), te dobivamo:

〈MF 〉2 =1

2Ji + 1

∑

Mi, Mf

⟨

Jf Mf Tf Tzf

∣

∣

∣

∣

∣

A∑

k=1

τ±(k)

∣

∣

∣

∣

∣

Ji Mi Ti Tzi

⟩2

=

=

⟨

Jf Mf Tf Tzf

∣

∣

∣

∣

∣

A∑

k=1

τ±(k)

∣

∣

∣

∣

∣

Mi Mi Ti Tzi

⟩2

.

〈MGT 〉2 =1

2Ji + 1

∑

m, Mi, Mf

∣

∣

∣

∣

∣

⟨

Jf Mf Tf Tzf

∣

∣

∣

∣

∣

A∑

k=1

σm(k)τ±(k)

∣

∣

∣

∣

∣

Mi Mi Ti Tzi

⟩∣

∣

∣

∣

∣

2

,

gdje je m= 1, 2 i 3, a:

σ+1 = σx + iσy , σ0 = σz , σ+1 = σx − iσy.

Matricne elemente uvrstavamo u izraz za ft-vrijednost:

ft =2π3h7

m5c4ln2

g2F 〈MF 〉2 + g2GT 〈MGT 〉2.

Racunanjem omjera sve konstante se krate:

ft (7+ → 6+)

ft (0+ → 0+)=

g2F 〈MF 〉20+g2GT 〈MGT 〉27+

.

Za matricne elemente dobivamo:

〈MF 〉 =

⟨

Jf Mf Tf Tzf

∣

∣

∣

∣

∣

A∑

k=1

τ±(k)

∣

∣

∣

∣

∣

Mi Mi Ti Tzi

⟩

=

= 〈Jf Mf Tf Tzf |T±|Mi Mi Ti Tzi〉 ==

√

T (T + 1)− TziTzf . (6.9)

Buduci da vrijedi T=1 i Tzi=0, dobivamo:

〈MF 〉2 = 2 .


Analogno:

〈MGT 〉2 =∑

m

|〈6 6 1 −1 |σm(1)τ±(1) + σm(2)τ±(2)| 7 7 0 0〉|2 =

= 4∑

m

|〈6 6 1 −1 |σm(1)τ±(1)| 7 7 0 0〉|2 .

Raspisujuci pocetno i konacno stanje preko valnih funkcija dvaju valentnih nukleona,dobivamo:

|7 7〉 =∣

∣

∣

∣

7

2

7

2;7

2

7

2

⟩

,

|7 6〉 = 1√2

(∣

∣

∣

∣

7

2

6

2;7

2

7

2

⟩

+

∣

∣

∣

∣

7

2

7

2;7

2

6

2

⟩)

,

|6 6〉 = 1√2

(∣

∣

∣

∣

7

2

6

2;7

2

7

2

⟩

−∣

∣

∣

∣

7

2

7

2;7

2

6

2

⟩)

.

Gamow-Tellerov matricni element sada postaje:

〈MGT 〉2 = 4∑

m

∣

∣

∣

∣

⟨

7

2

6

2;7

2

7

2; 1 −1

∣

∣

∣

∣

σ−(1)τ±(1)

2

∣

∣

∣

∣

7

2

7

2;7

2

7

2; 0 0

⟩∣

∣

∣

∣

2

= 2 .

Matricni su elementi isti pa je omjer ft-vrijednosti:

ft (7+ → 6+)

ft (0+ → 0+)=

g2Fg2GT

=

(

1.4

1.6

)2

= 0.77 .

Dobiven omjer za red je velicine manji od eksperimentalnog (16000 / 3200 = 5.0),sto je posljedica ekstremno pojednostavljenog modela koji je koristen.————————————————————————————————

6.7 Zadaci za domacu zadacu

1. (1 bod) Period poluraspada jezgre 212Bi iznosi 60.5 minuta. Ova jezgra se raspada i β-raspadom i α-raspadom. Konacan produkt sadrzi 64% 212Po i 36% 208Tl. Izracunajte parci-jalne konstante raspada λα i λβ .

2. (1 bod) Jezgre radioaktivnog elementa, cija je konstanta raspada λ, stvaraju se konstantnombrzinom q. Izvedite zakon promijene broja radioaktivnih jezgara s vremenom, ako u pocetnomtrenutku nije bilo radioaktivnih jezgara.

3. (1 bod) Izotop 176Lu emitira β-cestice. Mjerenjem uzorka Lu2O3 mase 296 mg, na brojackomuredaju cija je efikasnost za detekciju β-cestice 4.2%, dobijen je odbroj od 68 impulsa pominuti. Izotopski sastav Lu-izotopa je: 97.4% 175Lu (stabilan izotop) i 2.6% 176Lu. Izracunajtesrednje vrijeme zivota ovog izotopa u odnosu na β-raspad.

4. (2 boda) Diskutirajte energiju odboja u alfa-, beta- i gama-raspadima. Izracunajte i usporeditered velicine te energije na primjeru jezgre 56Ni i istih Q-vrijednosti (Qα=Qβ=Qγ= 4 MeV).U kojim je procesima raspada energija odboja zanemariva?

5. (1 bod) Za jezgru sa Z=90 i A=230, odredite omjere vjerojatnosti α-raspada s L=0 : L=2: L=4 : L=6 (za energiju raspada od 5 MeV-a). Pretpostavite da centrifugalna barijerapovecava ukupnu barijeru za:

1

3

L(L+ 1)h2

2mR2.


6. (2 boda) Jezgra 8Be u osnovnom stanju nije vezana i raspada se u dvije α-cestice pri cemu seoslobada energija od 92 keV-a. Procjenite srednje vrijeme zivota ove jezgre i usporedite ga seksperimentalnim (2.5·10−17 s).

7. (1 bod) Izotop 222Rn raspada se putem α-emisije u 218Po, koji je takoder radioaktivan. Periodipoluraspada su 3.825 dana (Rn) i 3.05 minuta (Po). (a) Izracunajte vrijeme nakon kojeg ce sesakupiti maksimalna kolicina izotopa 218Po, ako je pocetan uzorak sadrzavao samo cist 222Rn.(b) Izracunajte maksimalnu kolicinu jezgre 218Po (u gramima) ako je pocetna kolicina 222Rnodgovarala volumenu od 0.65 cm3.

8. (2 boda) Kalij cini oko 0.3% mase covjeka, a 0.012% ukupne mase kalija cini njegov radioak-tivni izotop 40K (t1/2= 1.25·109 godina). Shema raspada 40K dana je na slici (6.5). Procjeniteprosjecnu godisnju dozu koju covjek prima zbog radioaktivnosti kalija. Na temelju shemeraspada objasnite zasto je vrijeme poluzivota ove jezgre tako dugo.

Slika 6.5: Shema raspada jezgre 40K.

9. (1 bod) Objasnite kako je moguce da se jezgra 4019K raspada i β−-raspadom i β+-raspadom i

uhvatom elektrona!

10. (1 bod) Jezgra 6230Zn raspada se ili emisijom pozitrona ili K-uhvatom. Maksimalna kineticka

energija pozitrona je 0.66 MeV. Zanemarujuci odboj jezgre i korekcije uzrokovane vezanjemelektrona, izracunajte:a) maksimalnu energiju neutrina pri emisiji pozitrona;b) energiju neutrina emitiranog pri K-uhvatu.

11. (1 bod) Odredite koji su beta-raspadi dozvoljeni, koji zabranjeni, te koji su Fermijevog tipa,a koji Gamow-Tellerovi:(a) 3H→3He;(b) 14O(g.s.)→14N∗(0+);(c) 47

21Sc(7/2−)→47

22Ti∗(7/2−);

(d) 3616S(0

+)→3617Cl(2

−);(e) 152

63 Eu∗(0−)→15262 Sm∗(0+);

(f) n→p.

12. (1 bod) Pobudeno stanje (3/2−) jezgre 17O na Ex= 4.56 MeV ima srednje vrijeme zivotaτ=1.6·10−20 s. Objasnite takvu malenu vrijednost. Procjenite sirinu Γ tog stanja.

13. (2 boda) Maksimalna kineticka energija pozitrona emitiranih u β+-raspadu jezgre 137N je 1.24

MeV. Nakon tog beta-rapada, ne dolazi do daljnjih beta- i gama-raspada. Iz tih podatakaodredite polumjer jezgara s A=13 i usporedite s izrazom R=r0A

1/3.

14. (1 bod) Slika (6.6) pokazuje da je jezgra 3H jace vezana od jezgre 3He. Zasto se onda 3Hraspada (β-raspadom) u 3He?


Slika 6.6: Energija vezanja po nukleonu B/A kao funkcija masenog broja A.

15. (3 boda) Pokazite da je konstanta beta-raspada λβ proporcionalna s Q5β (Qβ je Q-vrijednost

danog β−-raspada), u slucaju kada za kineticku energiju elektrona vrijedi: Te≫mec2.

16. (1 bod) Izotop 37Ar elektronskim uhvatom prelazi u stabilni 37Cl. Odredite energiju odbojaatoma klora i energiju neutrina koji prati elektronski uhvat. Pretpostavite da jezgra atoma37Ar miruje (mase 37Ar i 37Cl su 36.978416u i 36.97754u, 1u= 1.66054·10−27 kg).

17. (1 bod) Neke jezgre mogu se raspasti i β− i β+-raspadom, te K-uhvatom. Pokazite da jejezgra 64Cu (mase 63.9298u) takva jezgra. Mase obliznjih jezgara su 64Ni - 63.9280u, 63Zn -63.9291u (1u= 1.66054·10−27 kg).

18. (2 boda) Izracunajte koji se dio elektrona emitira unutar 100 eV od tocke maksimalne energijepri β-raspadu tricija:

3H → 3He + e− + νe + 18.60 keV ,

pretpostavljajuci da ja masa neutrina jednaka nuli.

19. (2 boda) Pozitronski raspad 8B u 8Be ima maksimalnu energiju 14.09 MeV. Koji dio neutrinanastalih pri ovom raspadu ima dovoljnu energiju da inducira reakciju ν+37Cl→37Ar+e− (Q=−0.81 MeV)?

20. (1 bod) Maksimalna kineticka energija pozitrona emitiranog pri raspadu 11C→11B je 1.983 ±0.003 MeV. Iz te informacije i poznate mase jezgre 11B (M= 11.009305u) izracunajte masujezgre 11C!

21. (3 boda) Izracunajte prosjecnu energiju koju odnose neutrini u ppI-ciklusu opisanom na str. 44.

22. (1 bod) Izotopi kalcija (Z=20), kobalta (Z=19) i argona (Z=18) s A=40 imaju energijevezanja redom 332.65 MeV, 332.11 MeV i 335.44 MeV. Koji su β-raspadi moguci medu ovimizotopima? Specifirajte Q-vrijednosti za svaki od mogucih β-raspada.

23. (1 bod) Jezgra 2111Na se raspada u 21

11Ne emisijom pozitrona. Polumjer jezgri s A= 21 je R=3.6 fm. Odredite maksimalnu energiju emitiranog pozitrona pretpostavljajuci ravnomjernukuglastu raspodjelu naboja jezgre!

24. (3 boda) Procjenite razliku u konstantama raspada neutralnog 7Be i dvostruko ioniziranog7Be2+. Koliko bi bilo vrijeme poluraspada iona 7Be4+?


25. (2 boda) Jezgra 10847Ag u osnovnom stanju ima Jπ= 1+, a nestabilna je na β-raspad sa srednjim

vremenom zivota τ= 3.4 minute. Prvo pobudeno stanje te jezgre na Ex= 109 keV ima Jπ=6+ i srednje vrijeme zivota τ= 180 godine. Kvantitivno objasnite zasto pobudeno stanje zivibitno dulje od osnovnog!

26. (2 boda) Pokazite da za β+-raspad 14O u 14N, model ljusaka predvida Fermijev matricnielement jednak

√2!

27. (3 boda) Izrazite ft-vrijednost u β-raspadu 30P → 30Si s preko ft-vrijednosti β-raspada 30S →30P. Osnovno stanje 30P je (Jπ= 1+, T= 0), a osnovna stanja 30Si i 30S su analogna (Jπ=0+,T= 1).

28. (2 boda) Procjenite energiju Augerovih elektrona emitiranih nakon elektronskog K-uhvata ujezgri 71Ge. Pretpostavite da unutrasnji elektroni ovog atoma popunjavaju orbitale poputvodikovih.

29. (1 bod) Koju vrstu elektromagnetskog zracenja ocekujete izmedu stanja na Ex= 2.12 MeV(1/2−) i osnovnog stanja jezgre 11B (3/2−)? Procjenite srednje vrijeme zivota pobudenogstanja.

30. (1 bod) Standardni kalibracijski γ-izvor 60Co baziran je na shemi danoj na slici (6.7). Objas-nite zasto se 60Co ne raspada direktno u osnovno stanje jezgre 60Ni, te zasto se emitiraju dvafotona (a ne samo jedan) pri de-ekscitaciji jezgre 60Ni. Procjenite vrijeme izmedu β-raspadai emisije fotona.

Slika 6.7: Shema raspada jezgre 60Co.

31. (2 boda) Jezgra 7Li emitira gama-zraku energije 0.48 MeV pri prijelazu is prvog pobudenogstanja (Jπ= 1/2−) u osnovno stanje (Jπ= 3/2−).a) Koji su moguci multipolariteti i priroda ovog prijelaza?b) Koja je od tih mogucnosti najvjerojatnija?c) Procjenite virijeme poluzivota pobudenog stanja.

32. (2 boda) Vremena poluzivota uranovih izotopa (Z= 92) s A= 234, 235 i 238 su redom 2.5·105godina, 7.1·108 godina i 4.5·109 godina. Njihova relativna zastupljenost u prirodi je 0.0057%,0.72% i 99.27%. Jesu li ovi podaci konzistentni s pretpostavkom da su sva tri izotopa nastalau istoj kolicini u isto vrijeme (otprilike u doba nastanka Suncevog sustava). Nekonzistentnostiprobajte objasniti cinjenicom da su izotopi

23490 Th i

23491 Pa β-nestabilni.

33. (1 bod) Pokazite da je za velike Z i A energija oslobodena kada jezgra emitira α-cesticu danas:

Qα = −4av +8

3asA

−1/3 + 4acZ

(

1− Z

3A

)

A−1/3 − 4aa(N − Z)2

A2+B(4He) ,


gdje je B(4He) energija vezanja αcestice (28.3 MeV), a av, as, ac i aa parametri definiranipoluempirijskom formulom mase. Jedini izotopi srebra i zlata prisutni u prirodi su 107

47Ag i19779Au; objasnite njihovu stabilnost u kontekstu gornjeg izraza.

34. (3 boda) Jezgra s A nukleona (od toga Z protona) dozivljava fisiju bez evaporacije neutrona iod nje nastaju dvije jezgre (masa A1 i A2, te naboja Z1 i Z2). Neka je relativni udio protonau oba produkta fisije isti; tada mozemo definirati: y1=A1/A=Z1/Z i y2=A2/A=Z2/Z.(a) Krecuci od poluempirijske formule mase

M(Z,A) = Zmp +Nmn +

(

−aV A+ aSA2/3 + aC

Z(Z − 1)

A1/3+ aA

(A− 2Z)2

A± aP

A1/2

)

/c2 ;

aV = 15.8 MeV , aS = 18.3 MeV , aC = 0.71 MeV ,

aA = 23.2 MeV , aP = 12 MeV ,

nadite Q-vrijednost za ovakvu fisiju kao funkciju y1 i y2.(b) Nadite za koji je y1 ta Q-vrijednost maksimalna.(c) Za dobiveni y1 izrazite Q-vrijednost kao funkciju Z i A, te nadite uz koji uvjet ce Q-vrijednost biti pozitivna!

35. (2 boda) Promotrite raspad:20Ne∗ → 16O+4 He

Odredite kutnu raspodjelu navedenog nuklearnog raspada ukoliko je poznato da je 16O jezgraspina 0, a 20Ne∗ pobudeno stanje spina 1 polarizirano tako da je 25% jezgri u stanju Jz = 0,a ostali su u stanju Jz = 1. Skicirajte rezultat.

36. (2 boda) 7/2+ stanje na 1.72 MeV u 21Ne ima poluzivot od 48 fs i raspada se u 94% slucajevau 0.33 MeV 5/2+ stanje s omjerom mjesanja δ = 0.14± 0.02 i u 6% slucajeva u 3/2+ osnovnostanje. Odredite B(E2) i B(M1) za navedene raspade.

37. (3 boda) Pri γ-raspadu X(1−) → Y (0+) kutnu raspodjelu mJ = ±1 stanja opisuje:

(1 + cos2 θ)/2 .

Kakvu ovisnost ocekujete za raspad stanja mJ = 0 ? Podrobno obrazlozite odgovor.

38. (1 bod) Pacijentu je ubrizgan 24Na aktivnosti A= 2·103 raspada po sekundi. Poslije 5hizmjerena je aktivnost 1 cm3 krvi i nadeno je da ona iznosi 15 raspada po minuti. Pretpostaviteda se radioaktivna supstanca zadrzala samo u krvi (dakle, da je ostali ograni ne apsorbiraju)i izracunajte ukupan volumen krvi pacijenta (period poluraspada 24Na iznosi 14.9 h).

39. (2 boda) Morska voda sadrzi 0.55 g kalija po litri. Prirodan kalij sadrzi 0.012% 40K koji jeradioaktivan s periodom T1/2= 1.2·109 godina. Izracunajte: (a) kolika je specificna aktivnostmorske vode; (b) koliko dugo treba mjeriti preparat of jednog litra morske vode, ako je ukupnaefikasnost brojackog uredaja 5%, a rezultat se trazi s relativnom tocnoscu boljom od 1%.

40. (2 boda) (a) Izracunajte starost rude koja sadrzi 50% torija, 30% urana i 8% olova, pret-postavljajuci da je olovo radiogene prirode. Period poluraspada 238U je 4.49·109 godina, a232Th 1.39·1010 godina. (b) Izracunajte volumen helija stvorenog u raspadu 10 g ove rude.

41. (2 boda) U geologiji se “vrijeme zakapanja” razlicitih ruda koje sadrze veliku kolicinu kvarca(tj. SiO2) standardno odreduje metodom datiranja pomocu izotopa 10Be i 26Al. Ovi izotopinastaju kada visokoenergetski proton iz kozmickog zracenja pogodi kisik iz SiO2 (koji se“rasprsne” i nastaje izmedu ostalog 10Be), odnosno silicij (reakcijom rasprskavanja nastaje i


26Al). Dok je ruda izlozena kozmickom zracenju (tj. na povrsini zemlje), omjer broja jezgara26Al i 10Be je stalan i jednak 6.75:1. Ako nekim geoloskim procesom takva ruda zavrsi dubokoispod povrsine zemlje, omjer 26Al:10Be pocinje se mjenjati. Odredite “vrijeme zakapanja”kvarcne rude uzete iz spilje na velikoj dubini ispod povrsine zemlje, ako svaki njen gramsadrzi 0.71·106 atoma 10Be i 1.63·106 atoma 26Al. Vrijeme poluraspada za 26Al je T1/2=0.70·106 godina, a za 10Be T1/2= 1.38·106 godina.

42. (1 bod) Koristeci zakone ocuvanja energije i impulsa pokazite da foton ne moze nestati pretvor-bom u par elektron-pozitron.

43. (1 bod) Foton energije 2 MeV u polju neke jezgre kreira par pozitron/elektron. Ako je brzinapozitrona 0.4c, kolika je kineticka energija elektrona?

6.8 Dodatna literatura

1. W.N. Cottingham, D.A. Greenwood: “An Introduction to Nuclear Physics”, Cambridge Uni-versity Press, 2001.

2. K. Krane: “Introductory Nuclear Physics”, John Wiley and Sons, 1988.

3. S.S.M. Wong: “Introductory Nuclear Physics”, John Wiley & Sons, 2004.

Radioaktivni raspadi - phy.pmf.unizg.hrifriscic/nf_skripta_6.pdf · 6. RADIOAKTIVNIRASPADI 96 Ovu...

Documents

Transcript of Radioaktivni raspadi - phy.pmf.unizg.hrifriscic/nf_skripta_6.pdf · 6. RADIOAKTIVNIRASPADI 96 Ovu...