radiacion electromagnetica y antenas

PROPAGACION Y RADIACIONELECTROMAGNETICA II

Miguel Delgado Leon

28 de Julio del 2005

Capıtulo 1

Radiacion Electromagnetica

1.1 Ecuaciones de Maxwell en medios con fuentes

las ecuaciones de Maxwell en medios con fuentes en su forma diferencial son lassiguientes:

∇ · D(r , t) = ρ(r , t) Ley de Gauss (1.1)

∇ · B(r , t) = 0 Ley de Gauss Magnetico (1.2)

3

4 CAPITULO 1. RADIACION ELECTROMAGNETICA

∇ × E(r , t) = − ∂∂t

B(r , t) Ley de Faraday (1.3)

∇ × H(r , t) = J(r , t) +∂

∂tD(r , t) Ley de Ampere Maxwell (1.4)

con las ecuaciones constitutivas:

D(r , t) = ε0 E(r , t) B(r , t) = µ0 H(r , t) (1.5)

1.2 potencial escalar y potencial vectorial

De (1.2) se deduce queB es un rotacional, ası:

B(r , t) = ∇ × A(r , t) (1.6)

reemplazando en (1.3), obtenemos:

∇ ×(E(r , t) +

∂

∂tA(r , t)

)= 0 (1.7)

Como sabemos, si el rotacional de un vector es cero, este vector es un gradiente,segun la ecuacion anterior, el termino entre parentesis es un gradiente, entonces:

E(r , t) = −∇V(r , t) − ∂

∂tA(r , t) (1.8)

Aqui, V es el potencial escalar yA es el potencial vectorial. Reemplazando (1.5)en (1.6) obtenemos:

H(r , t) =1µ0∇ × A(r , t) (1.9)

1.3. SOLUCION DE LA ECUACION DE ONDA ESCALAR NO HOMOGENEA5

(1.8) en (1.5), este resultado y (1.9) en (1.4) obtenemos:

∇ ×(

1µ0∇ × A(r , t)

)= J(r , t) + ε0

∂

∂t

(−∇V − ∂

∂tA(r , t)

)(1.10)

la expresiıon anterior puede modificarse, quedando:

∇ × ∇ × A(r , t) + µ0ε0∂2

∂t2A(r , t) + µ0ε0∇

(∂

∂tV(r , t)

)= µ0J(r , t) (1.11)

Utilizando la conocida identidad vectorial∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2A quereemplazando en la ecuacion anterior, obtenemos:

∇(∇ ·A(r , t))−∇2A(r , t) + µ0ε0∂2

∂t2A(r , t) + µ0ε0∇

(∂

∂tV(r , t)

)= µ0J(r , t) (1.12)

Imponiendo la llamada condicion de Lorentz o norma de Lorentz1

∇ · A(r , t) + µ0ε0∂

∂tV(r , t) = 0 (1.13)

que reemplazado en la ecuacion anterior, la simplifica a:

∇2A(r , t) − µ0ε0∂2

∂t2A(r , t) = −µ0 J(r , t) (1.14)

Esta es conocida como la ecuacion de onda vectorial no homogenea. (1.8) en(1.5) y luego en (1.1), llegamos a:

−ε0

(∇2V(r , t) + ∇ · ∂

∂tA(r , t)

)= ρ(r , t) (1.15)

Despejando de (1.13)∇ · A(r , t) y reemplazando en (1.15) llegamos a:

∇2V(r , t) − µ0ε0∂2

∂t2V(r , t) = − 1

ε0ρ(r , t) (1.16)

es la ecuacion de onda escalar no homogenea

1.3 Solucion de la ecuacion de onda escalar no ho-mogenea

En el caso estatico: ∂V/∂t = 0, (1.16) se reduce a la ecuacion de Poisson, cuyasolucion se conoce:

∇2V(r ) = − 1ε0ρ(r ) =⇒ V(r ) =

14πε0

∫

v′

ρ(r ′)R

d v′ (1.17)

1Al finalizar la exposicion se probara esta condicion


dondeR = r − r ′, r ′ es el vector posicion donde se localiza la carga yr el puntodonde se evaluaV. Cuando la distribucion de carga es una carga puntualq en elorigen, la solucion es:

V(r ) =q

4πε0 r(1.18)

La solucion de la ecuacion diferencial de (1.16) es muy complicada, sin embargo,se puede utilizar un artificio para llegar a resolverla: considerando la distribucionuna carga puntual en el origen que oscila siempre en el origen. Entonces, (1.16)se reduce a:

∇2V(r , t) − 1c2

∂2

∂t2V(r , t) = 0 en r , 0 (1.19)

Cuando la carga esta siempre en el origen, existe simetria en coordenadas esfericascon respecto aθ y φ, es decir,V = V(r) y la ecuacion anterior se reduce a:

1r2

∂

∂r

(r∂

∂rV(r , t)

)− 1

c2

∂2

∂t2V(r , t) = 0 (1.20)

haciendo un cambio de variableV = χ/r que reemplazado en (1.20), llegamos a:

∂2

∂r2χ(r , t) − 1

c2

∂2

∂t2χ(r , t) = 0 (1.21)

es la ecuacion de onda unidimensional que satisfece cualquier funcion con argu-mentor − ct o t − r/c

χ(r , t) = f (r − ct) = f (t − r/c) (1.22)

dondef puede ser cualquier funcion. Entonces, el potencial escalar ya es cono-cido:

V(r , t) =χ(r , t)

r=

f (t − r/c)r

(1.23)

En situacion estatica (1.23) debe coincidir con (1.18), por tanto:

f (r) =q(r)4πε0

(1.24)

Hemos encontrado la expresion de f , entonces, la solucion de la carga puntualoscilante es:

V(r , t) =q(t − r/c)

4πε0 r(1.25)

Generalizando para el caso de una distribucion de carga volumetrica se tiene lasolucion de (1.16)

V(r , t) =1

4πε0

∫

v′

ρ(r ′, t′)R

d v′ para t′ = t − Rc

(1.26)

1.3. SOLUCION DE LA ECUACION DE ONDA ESCALAR NO HOMOGENEA7

A esta solucion se conoce como el potencial escalar retardado. De manera simi-lar se puede obtener la solucion de (1.14)

A(r , t) =µ0

4π

∫

v′

J(r ′, t′)R

d v′ para t′ = t − Rc

(1.27)

A esta solucion se conoce como potencial vectorial retardado La interpretacionfısica es:

En un punto dado r y en un instante t, los potenciales se determinan porla carga y la corriente que existian en otros puntos r’ en instantes anteriorest’( =t-R/c)

Ejemplo 01Una carga electrica se distribuye en la superficie de una region esferica de radioa. La distribucion de carga es variable con el tiempo y tiene una densidad decarga dada porσ = σ0 cos(ω t). Determine el potencial escalarV en todo elespacio.

fig 1.1:

σ = σ0 cos(ωt′)

Condicion de Lorentz:

∇.−→A(r ,t) + µ0ε0δ

δtV

(−→r ,t)= 0

Solucion:

V(−→r ,t)

=1

4πε0

"

S′

σ(r ′,t′)

Rds′ =

14πε0

"

S′

σ0 cos[ω(t − R

C)]

Rds′

Trabajando con fasores:

cosθ = Reejθ

V(−→r ,t)

=1

4πε0

"

S′

σ0Reejωt− jω R

C

Rds′

V(−→r ,t)

= Re

1

4πε0

"

S′

σ0e− jω RC

Rds′

ejωt


Tenemos:

V(−→r )

=σ0

4πε0

"

S′

ejKR

Rds′

R2 = a2 + z2 − 2azcosθ

diferenciando:

RdR= azsendθ

V(−→r )

=σ0

4πε0

∫ π

0

∫ 2π

0

e− jKRa2senθR

dθdφ

fig 1.2:

V(−→r )

=σ0a2

2ε0

∫e− jKR

azdR

V(−→r )

=σ0a2ε0z

∫ z+a

z−ae− jKRdR

Para z mayor que a o puntos fuera de la distribucion

V(−→r )

=σ0

2zε0

(e− jKR

K

)|z+az−a

V(−→r )

=jσ0a

2ε0zK

(e− jK (z+a) − e− jK (z−a)

)

V(−→r )

= − jσ0a2ε0zK

e− jKz2 jsen(Ka)

V(−→r )

=σ0aε0zK

sen(Ka)e− jKz z> a

En un punto cualequiera z=r en tiempo real

V(−→r ,t)

=σ0aε0rK

sen(Ka) cos(ωt − Kz)

Capıtulo 2

Expresiones generales de loscampos electromagneticos radiados

En el capıtulo anterior hemos obtenido los potenciales retardados:

A(r , t) =µ0

4π

∫

v′

J(r ′, t′)R

d v′ V(r , t) =1

4πε0

∫

v′

ρ(r ′, t′)R

d v′ (2.1)

dondet′ = t − R/c y R = r − r ′. Si las fuentes tienen una variacion armonicaω,podemos trabajar con fasores, es decir, separar el espacio del tiempo:

A(r , t)V(r , t)

= Re

[A(r )V(r )

]ej ω t

(2.2)

Puesto que las fuentes varian armonicamente, entonces, la corriente puede ex-presarse como:

J(r ′, t′) = Re J(r ′) ejω t′ = Re J(r ′) ejω (t−R/c) = Re J(r ′) e− jωR/cejω t (2.3)

que reemplazado en (2.1), tenemos:

A(r , t) = Re

[µ0

4π

∫

v′

J(r ′)e− jωR/c

Rdv′

]ejω t

= Re

A(r ) ejω t

(2.4)

El termino entre corchetes es (segun (2.2)) el fasor potencial vectorial. Con-siderando ademask = ω/c, los potenciales retardados fasoriales seran:

A(r ) =µ0

4π

∫

v′

J(r ′)e− jk R

Rd v′ V(r ) =

14πε0

∫

v′

ρ(r ′)e− jk R

Rd v′ (2.5)

Las expresiones en tiempo real pueden pasarse a fasores cambiando∂/∂t→ jω.De (1.8) obtenemos el campo electrico:

E(r ) = −∇V(r ) − jωA(r ) (2.6)

9

10CAPITULO 2. EXPRESIONES GENERALES DE LOS CAMPOS ELECTROMAGNETICOS RADIADOS

Reemplazando (2.5) en esta ecuacion,obtenemos:

E(r ) = − 14πε0

∫

v′

[ρ(r ′)∇

(e− jk R

R

)+ jωµ0ε0J(r ′)

e− jk R

R

]d v′ (2.7)

No es dıficil demostrar que:

∇(e− jk R

R

)=

(− jk − 1

R

)e− jk R

RR (2.8)

que reemplazando en (2.7), el campo electrico queda como

E(r ) =1

4πε0

∫

v′

[(jk +

1R

)e− jk R

Rρ(r ′)R − jωµ0ε0J(r ′)

e− jk R

R

]d v′ (2.9)

Esta expresion del campo electrico es general y exacta. De (2.5) en (1.6) pode-mos obtener el campo magnetico:

B(r ) = ∇ ×[µ0

4π

∫

v′

J(r ′)R

e− jk Rdv′]

=µ0

4π

∫

v′∇

(e− jk R

R

)× J(r ′) dv′ (2.10)

quedando finalmente como:

B(r ) = −µ0

4π

∫

v′

(jk +

1R

)e− jk R

RR × J(r ′) dv′ (2.11)

Es la expresion general y exacta del campo magnetico

2.0.1 Campos inducidos

Las expresiones exactas deEy de B se pueden evaluar enzonas cercanas a las fuentes oen zonas lejanas:

fig 2.1:

zona cercana Si: kR 1 =⇒ kR 1

R2(2.12)

2.1. APROXIMACION DE LOS CAMPOS RADIADOS A GRANDES DISTANCIAS11

Entonces en (2.9) y (2.11) predomina uno de los terminos:

Ei(r ) =1

4πε0

∫

v′

R ρ(r ′)R2

e− jk Rdv′ (2.13)

y

H i(r ) =j k4π

∫

v′

J(r ′) × RR2

e− jk Rdv′ (2.14)

Son los campos electromagneticos cercanos a las fuentes

2.0.2 Campos radiados

Los campos en zonas muy alejadas de las fuentes deben cumplir

zona lejana Si: kR 1 =⇒ kR 1

R2(2.15)

Entonces en (2.9) y (2.11) predomina uno de los terminos:

Er (r ) =j k

4πε0

∫

v′

[ρ(r ′)R − √µ0ε0 J(r ′)

] e− jk R

Rdv′ (2.16)

Hr (r ) = − j k4π

∫

v′R × J(r ′)

e− jk R

Rdv′ (2.17)

2.1 Aproximacion de los campos radiados a grandesdistancias

En la seccion anterior hemosvisto que a grandes distan-cias de la fuente se cumple:k R 1 que implicar r ′.Entonces las aproximacionesque se pueden realizar son:

fig 2.2:

R =| r − r ′ |≈ r

(1− 2

r · r ′r2

)1/2

= r

(1− r · r ′

r2

)= r − r · r ′ (2.18)


tambiene− jk R

R≈ e− jk r

rejk r ·r ′ y R ≈ r (2.19)

Utilizando la ecuacion de continuidad:

ρ(r ′) = − 1jω∇′ · J(r ′) (2.20)

Reemplazando estas relaciones en (2.16), (2.17) y (2.5) obtenemos:

Er (r ) =jωµ0

4πe− jk r

rr ×

(r ×

∫

v′J(r ′)ejk r ·r ′dv′

)(2.21)

Hr (r ) = − j k4π

e− jk r

rr ×

∫

v′J(r ′)ejk r ·r ′dv′ (2.22)

y

Ar (r ) =µ0

4πe− jk r

r

∫

v′J(r ′)ejk r ·r ′dv′ (2.23)

Se observa que:

Er (r ) = −√µ0

ε0r × Hr (r ) = η0 Hr (r ) × r (2.24)

Los campos electromagneticos en funcion del potencial vectorial:

Er (r ) = jω r × (r × Ar (r )

)y Hr (r ) = − j

ω

η0r × Ar (r ) (2.25)

Asumiendo la expresion deAr (r ) en coordenadas esfericas:

Ar (r ) = Aρr + Aφφ + Azz (2.26)

que reemplazando en la expresion anterior resulta:

Er = 0 Eθ = − jωAθ Eφ = − jωAφ (2.27)

y

Hr = 0 Hθ = − jω

η0Aφ = −

Eφ

η0Hφ = − j

ω

η0Aθ =

Eθ

η0(2.28)

2.2. VECTOR DE RADIACION N 13

2.2 Vector de Radiacion N

En las expresiones (2.21), (2.22) y (2.23) aparece una integral comun, que seconoce como el vector de radiacion:

N =

∫

v′J(r ′)ejk r ·r ′dv′ (2.29)

de manera que el campoA resulta:

Ar (r ) =µ0

4πe− jk r

rN (2.30)

Reemplazando en (3.14) y (3.15) obtenemos

Eθ = − jωµ0e− jk r

4π rNθ Hφ = − j k

e− jk r

4π rNθ (2.31)

y

Eφ = − jωµ0e− jk r

4π rNφ Hθ = j k

e− jk r

4π rNφ (2.32)

2.3 Vector de Radiacion y la transformada de Fourier

La distribucion de la fuente y el vector de radiacion N es una transformada deFourier:

N =

∫ ∞

−∞ejkxx′dx′

∫ ∞

−∞ejkyy′dy′

∫ ∞

−∞ejkzz′J(x′, y′, z′)dz′ (2.33)

Si J es de una antena lineal, tenemos:

J(x′, y′, z′) = z I (z′)δ(x′)δ(y′) (2.34)

dondeδ son las funciones Delta de Dirac

OBSERVACION:


Distribuci on de corriente:

fig 2.3:

fig 2.4:

fig 2.5:

Ejemplo Calcular los campos radiados de una antena tipo dipolo de lon-gitud l donde l λ (λ longitud de onda). A estaantena se conoce comodipolo electrico hertziano.

Solucion Puede considerarse la distribucion de corriente como:

I (z′, t′) = I0 cos(ωt′) donde I (z′) = I0 (2.35)

Reemplzando(3.21)y luego en(3.20) tenemos:

N =

∫ ∞

−∞ejkxx′δ(x′)dx′

∫ ∞

−∞ejkyy′δ(y′)dy′

∫ ∞

−∞z I0 ejkzz′dz′ (2.36)

Las dos primeras integrales es 1 entonces queda:

Nz = I0

∫ l/2

−l/2ejkzz′dz′ = I0 l

sen(kzl/2)kzl/2

= I0 l (2.37)

2.3. VECTOR DE RADIACION Y LA TRANSFORMADA DE FOURIER15

Descomponiendokz en coordenadas esfericas, tenemos:

Nr = I0 l cosθ Nθ = −I0 l senθ (2.38)

Reemplazando en(3.17), (3.18)y (3.19)obtenemos:

Az(r ) =µ0I0 l4π

e− jk r

rEθ(r ) = jωµ0I0 l

e− jk r

rsenθ Hφ(r ) =

Eθ

η0(2.39)

Capıtulo 3

Antenas Lineales

El Institute of Electricaland Electronic Engineers (IEEE) define la an-tena como aquella parte de un sistema transmisor o receptor disenada es-pecificamente para radiar o recibir ondas electromagneticas.La radiaci on de ondas electromagneticas se cumple eficientemente con ayudade estructuras conductoras o dielectricas llamadas antenas. Cualquier es-tructura puede emitir ondas electromaneticas, pero no todas son mecanis-mos de radiacion eficientes.

3.1 Parametros de las antenas en transmision

Una antena formara parte de un sistema mas amplio, de radio comunica-ciones o radar, por ejemplo. Los parametros de la antena en transmisionson: Impedancia, Intensidad de radiacion, Diagrama de radiacion, Direc-tividad, Polarizacion y Ancho de banda

3.1.1 Impedancia

A la entrada de una antena puede definirse una impedancia de entradaZe

mediante relaciones tension corriente en ese punto, la impedancia poseerauna parte real Re(ω) y una parte imaginaria Xe(ω), ambas dependientes dela frecuencia. SiZe no presenta una parte reactiva a una frecuencia se diceque la antena es resonante.

Dado que la antena radia energıa hacia el espacio, hay una ”perdida”netade potenciaPrad hacia el espacio, que segun la teorıa de circuitos asigna unaresistencia de radiacion Rrad, esta resistencia no existe, es hipotetica. En-tonces, la potencia radiada hacia el espacio es:

Prad = I2e fRrad (3.1)

17

18 CAPITULO 3. ANTENAS LINEALES

Superpuestas a la resistencia de radiacion, se tienen las perdiadas en la an-tena representada por una resistenciaRΩ. Se define la eficiencia de radiacionξ como:

ξ =Prad

Pentrada=

I2e fRrad

I2e fRΩ + I2

e fRrad=

Rrad

Rrad + RΩ

(3.2)

Desde elpunto de vista de la teoria de campos electromagneticos, la potenciaradiada Prad es la densidad de flujo de potencia en una superficie esfericaque encierra a la antena:

Prad =

∮

sS · n ds (3.3)

Teniendo en cuenta la expresion de S,(2.31)y (2.32)

S =12

ReE × H∗ = rη

8λ2r2|Nθ|2 + |Nφ|2 (3.4)

3.1.2 Intensidad de radiacion U(θ, φ)

Una de las caracterısticas fundamentales de una antena es su capacidadpara radiar en cierta direccion. La intensidad de radiacion U(θ, φ) es la po-tencia radiada por unidad de angulo solido en una determinada direccion.Como se sabe:

Prad =

∮

sS · n ds=

∮

Ω

S r2senθ dθ dφ =

∮

sS r2 dΩ (3.5)

dondedΩ = senθ dθ dφ es el diferencial delangulo solido, el integrando del laultima integral es la potencia radiada por unidad deangulo solido, teniendoen cuenta(3.5) y (3.4), llegamos a

U(θ, φ) = S r2 =η

8λ2|Nθ|2 + |Nφ|2 (3.6)

3.1.3 Diagrama de radiacion

Es la grafica que describe la intensidad de campo lejano en funcion de ladireccion a una distancia fija. Por lo general, el diagrama es tridimensionaly varia con θ y φ en esfericas. La grafica en funcion de θ para φ constantese conoce como diagrama en el plano E. La grafica en funcion deφ para θconstante se conoce como diagrama en el plano H

3.2. ELEMENTOS FINITOS EN LA TEORIA DE ANTENAS 19

3.1.4 Directividad

La medida de la concentracion de potencia radiada en una direccion partic-ular es la ganancia directivaGd(θ, φ)

Gd(θ, φ) =U(θ, φ)Uprom

=U(θ, φ)

Prad

4π

=4πU(θ, φ)

Prad(3.7)

Puesto queU = S r2, reemplazando en la ecuacion anterior y despejandoS,tenemos

S =Gd(θ, φ)

4π r2Prad (3.8)

relacion util para la ecuacion de transmision de Friis. La directividad deuna antena es la razon de la intensidad de radiacion maxima a la intensidadde radiacion promedio

D =Umax

Uprom= Gd max ==

4πUmax

Prad(3.9)

La ganancia directiva y la directividad pueden expresarse en decibelesdB

D(dB) = 10log10 D (3.10)

3.1.5 Polarizacion

La polarizacion de una antena en una direccion fija es la de la onda ra-diada por ella en esa direccion. La polarizacion de una onda es la fıgurageometrica descrita al transcurrir el tiempo. Como hemos estudiado, ten-emos tres casos: polarizacion lineal, eliptica y circular

3.1.6 Ancho de banda

Todas las antenas, estan limitadas a operar satisfactoriamente en una bandao margen de frecuencia. Este intervalo de frecuencias, en el que un parametrode antena determinado no sobrepasa unos limites prefijados, se conoce comoancho de banda de la antena. El ancho de banda de la antena lo impondrael sistema del que forme parte y afectara al parametro mas sensible o crıticoen la aplicacion.

3.2 Elementos finitos en la teorıa de Antenas

El diseno y analisis de antenas de radio es un tema reconocido en ingenierıaque recibio un impulso sustancial con el advenimiento de la computacion


digital que hizo posible atacar muchos problemas hasta entonces irresol-ubles con relativa facilidad. La tecnica numerica mas importante en lasolucion de las ecuaciones integrales de antenas es el metodo de los mo-mentos. El problema que un disenador de antenas tiene que resolver es elcalculo de las corrientes distribuidas en un cierto arreglo de antenas.

3.2.1 Ecuacion de Pocklington

Esta ecuacion integral es una de las mas utiles en el analisis numerico deantenas lineales. En este caso se considera un alambre conductor cilindricorecto, con seccion transversal pequeno en comparacion con su longitud. Elpotencial vectorial retardado segun (2.5) es:

Az =µ0

4π

∫ l/2

−l/2

I (z′)e− j k R

Rdz′ (3.11)

donde se ha usado un valor medio de R

R =√

a2 + (z′ − z)2 (3.12)

Aqui a es el radio de la antena lineal. El campo electrico debido a la dis-tribuci on descrita de corriente es segun (2.6)

Ez = −∂V∂z− jωAz (3.13)

dondeV es el potncial escalar. utilizando la norma de Lorentz(1.13)

∂Az

∂z= −µ0ε0 jωV (3.14)

DespejandoV y reemplazando en(3.13)obtenemos:

jωε0Ez =1µ0

∂2Az

∂z2+ ω2ε0Az (3.15)

Ahora (3.11) en (3.15) obtenemos la ecuacion integral de Pocklington parala distribuci on de corriente I (z′)

jωε0Ez =

∫ l/2

−l/2

[I (z′)

(∂2

∂z2+ k2

)e− jkR

4πR

]dz′ (3.16)


3.2.2 Solucion de elementos finitos

Si el cilindro se excita enz = 0, entoncesEz, al ser el campo tangencial enuna superficie conductora perfecta, se anula en todas partes excepto sobrela superficie cilindrica del entrehierro excitado. La solucion numerica seobtiene dividiendo la longitud de la antena enM elementos finitos sobrecada uno de los cuales se supone constanteI (z′), con valoresI1, I2, · · ·, IM sise sustituyen estos valores constantes en(3.16)se llega a una matriz

V = ZI (3.17)

Resolviendo el sistema de ecuaciones, determinamos la distribucion de cor-riente en una antena lineal de longitudl. La solucion numerica es aproxi-mada a las siguientes distribuciones:

I (z′) = I0 cuando l λ (3.18)

I (z′) = I0

(1− 2

|z′|l

)cuando l ≤ λ

5(3.19)

I (z′) = I0 cos(k z′) cuando l =λ

2(3.20)

I (z′) = I0 sen k(l/2− |z′|) cuando l ≥ λ

2(3.21)

Ejemplo Para una antena lineal de media onda, determinar: los camposelectromagneticos radiadosE y H, la intensidad de radiacion U(θ, φ), la po-tencia radiada Prad, la resistencia de radiacion Rrad, la directividad D, y laeficiencia de radiacion ξ para una frecuencia de60 MHz, la antena es decobre, de radio 2 mm.Solucion La distribuci on de corriente fasorial, segun el programa raida.mes aproximadamente

I (z′) = I0cos(k z′) para − λ/4 ≤ z′ ≤ λ/4 (3.22)

reemplazando e(2.34)y (2.33), llegamos a:

N =

∫ ∞

−∞ejkxx′δ(x′)dx′

∫ ∞

−∞ejkyy′δ(y′)dy′

∫ ∞

−∞z I0cos(k z′) ejkzz′dz′ (3.23)

Las dos primeras integrales son 1, entonces queda

N =

∫ λ/4

−λ/4z I0cos(k z′) ejkzz′dz′ =

∫ λ/4

−λ/4z I0cos(k z′) ejk cosθ z′dz′ (3.24)


El resultado de esta integral no es dıficil,

Nz =2 I0cos(π2cosθ)

k sen2θ(3.25)

utilizando la identidad vectorial conocidaz = r cosθ − θsenθ, tenemos

Nr =2 I0cos(π2cosθ) cosθ

k sen2θNθ = −2 I0cos(π2cosθ)

k senθ(3.26)

Utilizando (2.31) llegamos a:

Eθ =jωµoI0e− jkrcos(π2cosθ)

2πkrsenθHφ =

I0e− jkrcos(π2cosθ)

2πrsenθ(3.27)

Reemplazando(3.15)en (3.4) obtenemos la intensidad de radiacion

U(θ, φ) =ηI2

0cos2(π2cosθ)

2λ2k2sen2θ=ηI2

0cos2(π2cosθ)

8π2sen2θ(3.28)

se ha utilizadoλ = 2π/k. La potencia radiadaPrad, segun (3.5) es

Prad =

∫ π

θ=0

∫ 2π

φ=0U senθ dθ dφ =

ηI20

4π

∫ π

θ=0

cos2(π2cosθ)

senθdθ (3.29)

La ultima integral no tiene solucion analıtica, mediante metodos numericos(trapecio o simpson) se llega a 1.2188, teniendo en cuenta queη = 120π, lapotencia radiada queda

Prad = 36.564I20 (3.30)

teniendo en cuenta(3.1) Prad = I2e fRrad = I2

0Rrad/2 = 36.564I20 obtenemos la

resistencia de radiacion Rrad = 73.128Ω. La ganancia direccional se obtienereemplazando(3.17)y (3.18)en (3.7) obtenemos

Gd =4π

ηI20cos2(0.5πcosθ)

8π2sen2θ

ηI20

4π 1.2188= 1.64

cos2(0.5πcosθ)sen2θ

(3.31)

La directividad D es laGd max, es decir,D = 1.64. De la relacion λ f = cobtenemosλ = 5m., la antena tiene una longitudl = 2.5m.. La resistenciasuperficial Rs es

Rs =

√π fµ

g=

√π6× 107 × 4π × 10−7

5.8× 107=

π

500

√329

(3.32)


La resistencia debido a las perdidas es

RΩ = Rsl

2πa=

π

500

√329

2.52π × 2× 10−3

= 0.4020 (3.33)

La eficiencia de radiacion es

ξ =Rrad

Rrad + RΩ

=73.1

73.1 + 0.4020= 0.9945 (3.34)

Ejemplo Determine el vector de radiacion N de un dipolo electrico elementalpSolucion Haciendo la aproximacion

ej k r ·r ′ = 1 + jkr · r ′ + · · ·considerando el primer termino en (2.29), tenemos:

N =

∫

v′J(r ′)ej k r ·r ′ d v′ =

∫

v′J(r ′) d v′ (3.35)

Utilizando la identidad conocida

∇′ · (x′J) = ∇′x′ · J + x′∇′ · J = Jx + x′∇′ · Jque integrando sobre el volumen de la fuente, resulta

∫

v′∇′ · (x′J) d v′ =

∫

v′Jx d v′ +

∫

v′x′∇′ · J d v′

ampliando el volumen, a un volumen mayor quev′ y aplicando el teoremade la divergencia al primer lado de la ecuacion anterior, se obtiene cero,quedando: ∫

v′Jx d v′ = −

∫

v′x′∇′ · J d v′

generalizando la expresion en(3.35) tenemos

N =

∫

v′J(r ′) d v′ = −

∫

v′r ′∇′ · J(r ′) d v′ (3.36)

utilizando la ecuacion de continuidad:

∇′ · J(r ′) + j ωρ(r ′) = 0

despenado J y reemplazando en(3.36), obtenemos la respuesta

N =

∫

v′j ωρ(r ′) r ′ d v′ = j ωp


donde p es el momento dipolar electrico

Tarea Demostrar que el vector de radiacion N para un dipolo elementalmagnetico es

N = j k m × r

donde m es el momento dipolar magnetico

Contenido

1 Radiacion Electromagnetica 31.1 Ecuaciones de Maxwell en medios con fuentes . . . . . . . . 31.2 potencial escalar y potencial vectorial . . . . . . . . . . . . . 41.3 Solucion de la ecuacion de onda escalar no homogenea . . . . 5

2 Expresiones generales de los campos electromagneticos radiados 92.0.1 Campos inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.0.2 Campos radiados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Aproximacion de los campos radiados a grandes distancias .112.2 Vector de Radiacion N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Vector de Radiacion y la transformada de Fourier . . . . . . 13

3 Antenas Lineales 173.1 Parametros de las antenas en transmision . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Intensidad de radiacion U(θ, φ) . . . . . . . . . . . . . 183.1.3 Diagrama de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.4 Directividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.5 Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.6 Ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Elementos finitos en la teorıa de Antenas . . . . . . . . . . . 193.2.1 Ecuacion de Pocklington . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Solucion de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . 21

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radiacion electromagnetica y antenas

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