R. Dedekind. ¿Qué son y para qué sirven los números

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Qu son y para qu sirven

los nmeros?Por

Richard DedekindProfesor en la Escuela Politcnica de Braunschweig

vo [el hombre es siempre aritmtico]1

ContenidosPrlogo a la primera edicin.................................. a la segunda edicin.................................... a la tercera edicin.................................... 1. Conjuntos de elementos................................... 2. Representacin de un conjunto............................ 3. Similaridad de una representacin. Conjuntos similares... 4. Representacin de un conjunto en s mismo................ 5. Finito e infinito....................................... 6. Conjuntos simplemente infinitos. Serie de los nmeros naturales............................................... 7. Nmeros mayores y menores............................... 8. Partes finitas e infinitas de la serie numrica......... 9. Definicin de una representacin de la serie numrica mediante induccin...................................... 10. La clase de los conjuntos simplemente infinitos.......... 11. Adicin de nmeros...................................... 12. Multiplicacin de nmeros............................... 13. Potenciacin de nmeros................................. 14. Cardinal de un conjunto..................................

Prlogo a la primera edicin.

En la ciencia, lo que es demostrable no debe aceptarse sin demostracin. Por evidente que parezca esta exigencia, segn creo no hay que considerarla satisfecha ni siquiera en la fundamentacin de la ciencia ms sencilla, aquella parte de la lgica que trata de la teora de los nmeros, ni aun en las exposiciones ms recientes.*2 Al decir que la aritmtica (lgebra, anlisis)3 es slo una parte de la lgica, estoy manifestando ya que considero el concepto de nmero como algo completamente independiente de las representaciones o intuiciones del espacio y del tiempo, como algo que es ms bien un resultado inmediato de las puras leyes del pensamiento. Mi respuesta fundamental a la pregunta que se establece en el ttulo de este escrito es: los nmeros son creaciones libres del espritu humano, sirven como medio para concebir ms fcil y claramente la diversidad de las cosas.4 Mediante la construccin puramente lgica de la ciencia de los nmeros, y mediante el dominio numrico continuo que con ella se obtiene, nos encontramos por vez primera en situacin de investigar con precisin nuestras representaciones de espacio y tiempo, relacionndolas con este dominio numrico creado en nuestra mente.** Considerando atentamente lo que hacemos al contar una cantidad o nmero de cosas, nos vemos llevados a observar la capacidad mental de relacionar cosas con cosas, hacer corresponder una cosa a otra, o representar una cosa mediante otra, facultad sin la cual sera absolutamente imposible el pensamiento. Segn mi opinin, como ya he afirmado en un anuncio de este escrito,*** la ciencia entera de los nmeros debe erigirse sobre este nico fundamento, que es adems absolutamente indispensable. La intencin de hacer una exposicin semejante la tengo ya desde antes de la publicacin de mi escrito sobre la continuidad, pero slo despus de la aparicin del mismo, y con muchas interrupciones motivadas por el aumento de mis ocupaciones profesionales y por otros trabajos necesarios, he podido escribir entre los aos 1872 y 1878 un primer borrador de pocas hojas, que luego han ojeado y discutido conmigo parcialmente varios matemticos.5 Este borrador lleva el mismo ttulo y contiene ya, aunque no en el mejor orden, todos los pensamientos fundamentales de mi presente escrito, que slo les aporta una presentacin ms cuidada; como tales puntos fundamentales mencionar aqu la distincin ntida entre lo finito y lo infinito (64), la nocin de cardinal (161), la demostracin de que el mtodo de prueba conocido bajo el nombre de induccin completa (o paso de n a n+1) es realmente concluyente (59, 60, 80), y de que tambin la definicin por induccin (o recursin) es categrica y est libre de contradiccin (126). Este escrito lo puede entender todo aquel que posea lo que se llama un sano sentido comn; no se

) De los escritos que conozco mencionar el meritorio Lehrbuch der Arithmetik und Algebra de E. Schrder (Leipzig 1873), en el que se puede encontrar bibliografa, y adems los ensayos de Kronecker y de Helmholtz sobre el concepto de nmero y sobre contar y medir (en la coleccin de artculos filosficos dedicados a E. Zeller, Leipzig 1887). La aparicin de estos artculos es el motivo que me ha impulsado a hacer aparecer tambin mi concepcin del tema, similar a aquellas en muchos respectos pero esencialmente diferente en sus fundamentos, concepcin que he construdo hace muchos aos y sin ninguna influencia de otros autores.**

*

***

) Cf. el 3 de mi escrito: Continuidad y nmeros irracionales (Braunschweig 1872). ) Dirichlet, Vorlesungen ber Zahlentheorie, tercera edicin, 1879, 163, nota a la pag. 470.

necesitan en absoluto conocimientos filosficos o matemticos. Pero s perfectamente que muy pocos querrn reconocer, en las vagas figuras a las que les conduzco, sus nmeros, que les han acompaado toda su vida como amigos fieles y familiares; les espantar la larga serie de conclusiones simples que corresponde a las caractersticas de nuestro entendimiento escalonado [Treppenverstand], as como el seco anlisis de la serie de pensamientos sobre los que descansan las leyes de los nmeros, y les impacientar tener que seguir demostraciones de verdades que resultan, para su supuesta intuicin interior, evidentes y seguras de antemano. Por el contrario, yo encuentro en esa misma posibilidad de reducir semejantes verdades a otras ms simples, por larga y aparentemente artificial que pueda resultar la serie de razonamientos, una prueba convincente de que su posesin o la creencia en ellas nunca viene dada inmediatamente por intuicin interior, sino que se obtiene nicamente a travs de una repeticin ms o menos completa de cada uno de los razonamientos. Me gustara comparar esa actividad mental, difcil de seguir debido a la rapidez de su ejecucin, con la que desarrolla al leer un lector experto; tambin leer supone siempre una repeticin ms o menos completa de cada uno de los pasos que debe dar el principiante que deletrea penosamente; al experto le basta una pequea parte de los mismos, y por tanto escaso trabajo o esfuerzo mental, para reconocer la palabra correcta, claro que slo con una probabilidad muy alta; porque, como se sabe, incluso el corrector de pruebas ms experto deja pasar de vez en cuando una errata, es decir la lee mal, lo que sera imposible si la cadena de pensamientos correspondiente al deletreo se repitiese completamente. As tambin nos vemos conducidos constantemente y cada vez ms, ya desde nuestro nacimiento, a relacionar cosas con cosas, y de esta forma a ejercitar esa capacidad mental sobre la que descansa la creacin de los nmeros; mediante esta prctica incesante pero no premeditada, que tiene lugar ya en nuestros primeros aos de vida, y mediante la correspondiente construccin de juicios y series de inferencias, alcanzamos un tesoro de verdades propiamente aritmticas, a las que ms tarde se referirn nuestros primeros maestros como a algo sencillo, evidente, dado en la intuicin interior; y as sucede que muchos conceptos que son realmente muy complicados (como por ejemplo el de cardinal) se tienen equivocadamente por simples. En este sentido, al que me refiero con las palabras vo , construidas a imitacin de un dicho famoso, ojal que las siguientes pginas tengan un buen recibimiento, como un intento de erigir la ciencia de los nmeros sobre fundamentos uniformes, y ojal estimulen a otros matemticos a reducir las largas series de demostraciones a una cantidad ms discreta y agradable. De acuerdo con el propsito de este escrito me limito a la consideracin de la serie de los llamados nmeros naturales. De qu manera se puede realizar luego la extensin progresiva del concepto de nmero, la creacin del cero, de los nmeros negativos, quebrados, irracionales y complejos, reducindolos siempre a las nociones previas y sin que se inmiscuyan en absoluto ideas extraas (como por ejemplo la de cantidad medible) que en mi opinin slo mediante la ciencia de los nmeros pueden elevarse a una claridad completa, lo he mostrado ya en mi escrito anterior sobre la continuidad (1872), al menos para el caso de los nmeros irracionales; como ya manifestaba all mismo ( 3), es fcil tratar las dems extensiones de forma completamente similar, y me reservo el derecho de ofrecer algn da una exposicin completa de esta cuestin. Desde ese punto de vista resulta evidente, y nada nuevo, que todo teorema del lgebra y del anlisis superior, por alejado que est, puede expresarse como un teorema sobre nmeros naturales, afirmacin que tambin he odo repetidas veces en boca de Dirichlet. Pero de ningn modo encuentro algo meritorio -y esto estaba tambin muy lejos de Dirichlet- en realizar de hecho ese penoso circunloquio y no utilizar ni querer admitir ms nmeros que los naturales. Por el contrario, los avances

mayores y ms fructferos en la matemtica y en otras ciencias se han realizado principalmente a travs de la creacin e introduccin de nuevos conceptos, impulsada por la frecuente repeticin de fenmenos complejos, que slo a duras penas podan ser dominados mediante los viejos conceptos.6 Sobre este asunto sostuve ya en el verano de 1854, con ocasin de mi habilitacin como Privatdozent en Gttingen, una conferencia, ante la facultad de filosofa, cuyo punto de vista fue aprobado incluso por Gauss; pero no es ste el lugar de extenderse ms sobre ese tema. En lugar de ello aprovechar la ocasin para hacer algunas consideraciones relacionadas con mi escrito anterior, ya mencionado, sobre continuidad y nmeros irracionales. La teora de los nmeros irracionales que en l se desarrolla, ideada en otoo de 1858, se basa en aquel fenmeno que ocurre en el dominio de los nmeros irracionales ( 4) al que he puesto el nombre de cortadura y que he sido el primero en investigar detenidamente, y culmina en la demostracin de la continuidad del nuevo dominio de los nmeros reales ( 5.IV). Esa teora me parece ms sencilla, yo dira incluso ms serena, que las otras dos, distintas tanto de aquella como entre s, creadas por los seores Weierstrass y Cantor, teoras que en cualquier caso son completamente rigurosas. Ms tarde ha sido recogida, sin cambios esenciales, por el seor U. Dini en los Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali (Pisa 1878); pero la circunstancia de que, en el desarrollo de esa exposicin, mi nombre no se mencione al describir el fenmeno puramente aritmtico de la cortadura, sino casualmente all donde se trata de la existencia de una magnitud medible correspondiente a la cortadura, podra quiz llevar a sospechar que mi teora se apoya en la consideracin de semejantes magnitudes. Nada podra ser ms errneo; ms bien he aducido en el 3 de mi escrito varias razones por las que rechazo totalmente la inmiscusin de magnitudes medibles, y especialmente al final observo respecto a su existencia que para una gran parte de la ciencia del espacio la continuidad de sus figuras no es ni siquiera una suposicin necesaria, al margen de que en las obras de geometra esa nocin se mencione incidentalmente de forma nominal, pero nunca es definida con precisin, y por tanto tampoco se hace susceptible de demostracin. Para aclarar esto algo ms, considero a modo de ejemplo lo siguiente. Eljanse arbitrariamente tres puntos A, B, C que no estn en lnea recta, con la nica condicin de que las proporciones de sus distancias AB, AC, BC sean nmeros algebraicos,* y considrese que en el espacio slo existen aquellos puntos M para los cuales las proporciones entre AM, BM, CM y AB sean igualmente nmeros algebraicos; entonces el espacio compuesto de estos puntos es discontinuo por todas partes, como es fcil ver; pero a pesar de la discontinuidad o lacunariedad de este espacio, todas las construcciones que intervienen en los Elementos de Euclides son, hasta donde yo veo, igualmente practicables que en el espacio totalmente continuo; la discontinuidad de este espacio no se observara, no se experimentara en absoluto en la ciencia de Euclides. Si alguien me objetara que no podemos en absoluto pensar el espacio de otra forma que continuo, me gustara dudarlo y llamar la atencin sobre lo desarrollada y sutil que es la formacin cientfica necesaria simplemente para reconocer con claridad la esencia de la continuidad, y para comprender que fuera de las proporciones racionales entre magnitudes tambin pueden considerarse las proporciones irracionales, y fuera de las algebraicas tambin las trascendentes. Tanto ms hermoso me parece que el hombre pueda, sin ninguna representacin de las magnitudes medibles, y a travs de un conjunto finito de razonamientos simples, elevarse a la creacin del dominio aritmtico puro y continuo; y slo con este medio le es posible, en mi opinin, perfeccionar la representacin del espacio continuo hasta hacerla clara.*

) Dirichlet, Vorlesungen ber Zahlentheorie, 159 de la segunda edicin, 160 de la tercera.

La misma teora de los nmeros irracionales basada en el fenmeno de la cortadura se encuentra expuesta en la Introduction la thorie des fonctions d'une variable de J. Tannery (Paris 1886). Si comprendo correctamente un pasaje del prlogo de esta obra, el autor ide independientemente esa teora, es decir en un tiempo en que le eran desconocidos no slo mi escrito, sino tambin los Fondamenti de Dini, mencionados en el mismo prlogo; esta coincidencia me parece una agradable prueba de que mi concepcin corresponde a la naturaleza de la cosa, lo que tambin ha sido admitido por otros matemticos, por ejemplo por el seor M. Pasch en su Einleitung in die Differential- und Integralrechnung (Leipzig 1883). Por contra no puedo estar de acuerdo sin ms con el seor Tannery cuando dice que esta teora es el desarrollo de una idea procedente del seor J. Bertrand, contenida en su Trait d'arithmtique, y que consiste en definir un nmero irracional especificando todos los nmeros racionales que son menores, y todos los que son mayores que el nmero que se quiere definir. Sobre esta afirmacin, repetida por el seor O. Stolz al parecer sin mayor examen en el prlogo a la segunda edicin de sus Vorlesungen ber allgemeine Arithmetik (Leipzig 1886), me permito considerar lo siguiente. La conviccin de que un nmero irracional puede considerarse de hecho completamente determinado mediante la especificacin recin descrita, constituy siempre, y sin duda ya antes del seor Bertrand, patrimonio comn de todos los matemticos que se han ocupado del concepto de los irracionales; todo calculador que determina una raz irracional de una ecuacin mediante aproximaciones est siguiendo precisamente ese mtodo; y si se considera el nmero irracional como una proporcin entre magnitudes medibles, nica forma en que lo hace el seor Bertrand en su obra (tengo ante m la octava edicin del ao 1885), entonces este mtodo de determinacin est expresado ya de la manera ms clara en la clebre definicin que da Euclides (Elementos, V.5) para la igualdad de proporciones. Esta antigua conviccin es la fuente de mi teora tanto como de la del seor Bertrand y de algunos otros intentos ms o menos logrados de fundamentar la introduccin de los irracionales en la aritmtica. Pero si hasta aqu se puede estar totalmente de acuerdo con el seor Tannery, al realizar un verdadero examen del asunto se observar inmediatamente que la exposicin del seor Bertrand, en la que el fenmeno de la cortadura en su pureza lgica no se menciona una sola vez, no es en absoluto similar a la ma, en la medida en que busca abrigo en la existencia de magnitudes medibles, cosa que yo rechazo completamente de acuerdo con las razones arriba mencionadas; y al margen de esta circunstancia, me parece que esa exposicin, incluyendo las definiciones y pruebas subsiguientes basadas en la aceptacin de esa existencia, presenta todava algunas lagunas tan esenciales, que la afirmacin realizada en mi escrito ( 6) de que el teorema 2.3=6 todava no ha sido nunca probado rigurosamente, me parece justificada tambin a la vista de esta obra que yo no conoca en aquel tiempo, valiosa en algunos otros respectos. Harzburg, 5 de octubre de 1887 R. Dedekind

Prlogo a la segunda edicin.

El presente escrito ha encontrado pronto, tras su aparicin, no slo juicios favorables sino tambin

desfavorables, e incluso se le han reprochado faltas graves. No he podido convencerme de la correccin de esos reproches, y dejo ahora que el escrito, agotado hace poco, y para cuya defensa pblica carezco de tiempo, se reimprima sin variaciones, aadiendo entretanto al primer prlogo las siguientes observaciones. La propiedad que he utilizado como definicin de conjunto infinito (64) haba sido ya subrayada antes de la aparicin de mi escrito por Cantor ('Ein Beitrag zur Mannigsfaltigkeitslehre', Crelles Journal, tomo 84, 1878) e incluso por Bolzano (Paradoxien des Unendlichen, 20, 1851).7 Pero ninguno de estos autores ha intentado elevar esa propiedad a definicin del infinito, y construir sobre ese fundamento la ciencia de los nmeros de modo rigurosamente lgico, y justamente en esto consiste el contenido de mi arduo trabajo, que haba terminado ya en todo lo esencial aos antes de la aparicin del tratado de Cantor, y en un tiempo en que la obra de Bolzano me era totalmente desconocida incluso de nombre. Para aquellos que tengan inters y comprensin para las dificultades de semejante investigacin, aadir lo siguiente. Se puede establecer una definicin completamente diferente de finito e infinito, que parece todava ms sencilla en la medida en que no presupone el concepto de similaridad de una representacin (26), a saber: 'Un conjunto S se llama finito cuando se puede representar sobre s mismo (36) de tal manera que ninguna parte propia (6) de S se represente en s misma; en caso contrario se dice que S es un conjunto infinito.' Intentemos ahora erigir el edificio sobre este nuevo fundamento! Rpidamente se topa con grandes dificultades, y creo poder afirmar que la propia demostracin de la equivalencia total de esta definicin con la anterior slo se puede desarrollar (aunque entonces fcilmente) cuando se supone desarrollada ya la serie de los nmeros naturales y cuando se puede uno apoyar tambin en la consideracin final de (131); y sin embargo ni en una definicin ni en la otra se habla de ninguna de estas cosas! Se ver con esto lo grande que debe ser el nmero de razonamientos necesarios para semejante transformacin de una definicin en la otra. Cerca de un ao despus de la publicacin de mi escrito he conocido los Grundlagen der Arithmetik de G. Frege, aparecidos ya en el ao 1884. Por distinta que sea de la ma la opinin sobre la esencia del nmero expuesta en esa obra, contiene sin embargo, especialmente del 79 en adelante, puntos de estrecho contacto con mi escrito, sobre todo con mi definicin (44). Claro que, debido al diferente modo de expresin utilizado, no es fcil reconocer la coincidencia; pero ya la resolucin con que el autor se expresa sobre la conclusin de n a n+1 (al pie de la pgina 93) muestra claramente que se encuentra aqu en el mismo terreno que yo.8 Entretanto han aparecido casi completamente (18901891) las Vorlesungen ber die Algebra der Logik de E. Schrder. Es imposible extenderse aqu sobre la significacin de esta obra enormemente sugerente, a la que tributo mis mayores elogios; ms bien me gustara disculparme tan solo de que, a pesar de la observacin de la pag. 253 de la primera parte, he mantenido mis smbolos (8) y (17), algo torpes; no pretenden obtener aceptacin general, sino que se conforman con servir exclusivamente al propsito de este escrito aritmtico, para lo que en mi opinin son ms apropiados que los signos de suma y producto.9 Harzburg, 24 de agosto de 1893 R. Dedekind

Prlogo a la tercera edicin

Cuando hace ocho aos fui invitado a reemplazar la segunda edicin de este escrito, entonces ya agotada, por una tercera, tuve escrpulos en admitirlo porque entretanto se han mostrado vlidas ciertas dudas sobre la seguridad de importantes fundamentos de mi concepcin. Tampoco ahora ignoro la importancia y la parcial legitimidad de esas dudas. Pero no han perturbado mi confianza en la interna armona de nuestra lgica; creo que una investigacin rigurosa de la facultad creativa de nuestra mente que a partir de determinados elementos forma un nuevo objeto determinado, su conjunto, necesariamente distinto de cada uno de esos elementos debe ciertamente conducir a una organizacin irreprochable de los fundamentos de mi escrito. No obstante, otros trabajos me han impedido llevar a trmino una investigacin tan difcil, y por tanto pido indulgencia dado que mi escrito, pese a todo, aparece por tercera vez sin cambios, lo que slo se puede justificar por el hecho de que el inters por l no se ha extinguido todava, como muestra la continuada demanda.10 Braunschweig, 30 de septiembre de 1911 R. Dedekind

Prlogo indito (carta a Kerferstein, 27 de febrero de 1890) Le doy mis ms sinceras gracias por su amable carta del 14 de este mes y por su voluntad de procurarle audiencia a mi rplica. Pero quisiera pedirle que no se precipite en este asunto y que slo tome una decisin despus de haber ledo cuidadosamente y considerado una vez ms las definiciones y demostraciones ms importantes de mi ensayo sobre los nmeros, si es que tiene tiempo para ello. Me parece lo ms probable que entonces se convierta usted en todos los puntos a mi concepcin y mi tratamiento del asunto; y esto sera lo ms valioso para m, porque estoy convencido de que realmente tiene usted un profundo inters por la materia. Para facilitar en lo posible esa aproximacin, me gustara pedirle que prestara atencin a la siguiente serie de pensamientos, que expone la gnesis de mi ensayo. Cmo surgi mi escrito? Ciertamente no en un da, sino que es una sntesis construida tras un largo trabajo, que basada en el anlisis previo de la serie de los nmeros naturales tal como se ofrece a nuestra consideracin, por as decir, en la experiencia. Cules son las propiedades bsicas, independientes entre s, de esta serie N, es decir, aquellas propiedades que no pueden deducirse unas de otras pero de las cuales se siguen todas las dems? Y de qu manera hay que despojar a estas propiedades de su carcter especficamente aritmtico, de manera que queden subordinadas a conceptos ms generales y a actividades del entendimiento tales que sin ellas no es posible en absoluto el pensamiento, pero con ellas viene dado el fundamento para la seguridad y completud de las demostraciones, as como para la construccin de definiciones libres de contradiccin? Si la cuestin se plantea de esta manera, nos vemos llevados a la fuerza, segn creo, a los siguientes hechos: 1) La serie numrica N es un conjunto de individuos o elementos que se llaman nmeros. Esto conduce a la consideracin general de los conjuntos en cuanto tales ( 1 de mi escrito). 2) Los elementos del conjunto N estn en una cierta relacin unos con otros, reina un cierto orden que consiste ante todo en que a cada nmero determinado n le corresponde un determinado nmero n', el nmero sucesor o inmediatamente mayor. Esto nos lleva a la consideracin del concepto general de representacin [aplicacin] de un conjunto ( 2), y como la imagen (n) de cada nmero n es de nuevo un nmero n', o sea (N) es parte de N, se trata de una representacin de un conjunto N en s mismo, que por tanto habr que investigar en general ( 4).

3) A diferentes nmeros a, b les siguen nmeros a', b' tambin diferentes; la representacin tiene por tanto el carcter de claridad o similaridad ( 3) [aplicacin inyectiva]. 4) No todo nmero es un nmero sucesor n', es decir, (N) es parte propia de N, y en esto consiste (en conexin con lo anterior) la infinitud de la serie numrica N ( 5). 5) Y en particular el nmero 1 es el nico nmero que no se encuentra en (N). Con esto quedan enumerados aquellos hechos en lo que ve usted (pg. 124, lneas 8-14) la caracterizacin completa de un conjunto ordenado simplemente infinito. 6) Pero he mostrado en mi rplica (III) que esos hechos estn lejos de ser suficientes para abarcar completamente la esencia de la serie numrica N. Todos esos hechos seran vlidos tambin para todo conjunto S que adems de la serie numrica N contuviera un conjunto T de cualesquiera otros elementos t, a los que siempre se podra extender la representacin de tal modo que mantuviera el carcter de similaridad [inyectividad] siendo (T) = T. Pero tal conjunto S es evidentemente algo muy distinto de nuestra serie numrica N, y podra elegirlo de manera que apenas se preservara en l un nico teorema de la aritmtica. Qu hay que aadir pues a los hechos precedentes para depurar nuestro conjunto S de esos intrusos t que perturban todo orden, restringindolo a N? Este fue uno de los puntos ms difciles de mi anlisis, y superarlo requiri una larga reflexin. Presuponiendo el conocimiento de la serie de los nmeros naturales N y permitiendo as el empleo del lenguaje de la aritmtica, no encontraremos dificultades; slo necesitamos decir: un elemento n pertenece a la serie N si y slo si partiendo del elemento 1 y contando sin parar, es decir, por medio de una cantidad finita de repeticiones de la representacin (cf. el final del 131 de mi ensayo), se llega de hecho alguna vez al elemento n; de esta manera, sin embargo, nunca llegar a un elemento t ajeno a la serie N. Pero esta forma de caracterizar la diferencia entre los elementos t, que hay que desalojar de S, y los elementos n, que son los nicos que deben quedar, es totalmente intil para nuestro objetivo, y contiene el tipo peor y ms peligroso de crculo vicioso. Naturalmente, las simples palabras 'finalmente se alcanza en algn momento' tampoco lo consiguen; no nos seran ms tiles que, digamos, las palabras 'karam sipo tatura', que invento en este instante sin darles ningn significado claramente definido. Por tanto, cmo puedo, sin presuponer ningn conocimiento aritmtico, determinar conceptualmente con certeza la diferencia entre los elementos n y los t? Simplemente gracias a la consideracin de las cadenas (37, 44 de mi ensayo), y por medio de ellas completamente! Si quisiera evitar mi trmino tcnico 'cadena' dira: un elemento n de S pertenece a la serie N si y slo si n es elemento de toda parte K de S que posee la doble propiedad de que el elemento 1 est contenido en K y que la imagen (K) es parte de K. En mi lenguaje tcnico: N es la interseccin 1o o o(1) de todas aquellas cadenas K (de S) en las que est contenido el elemento 1. Slo con esto se ha determinado la caracterizacin completa de la serie N. A esto comentar, de paso, lo siguiente. La Conceptografa y los Fundamentos de la aritmtica de Frege vinieron a mis manos por vez primera durante un breve perodo del verano pasado (1889), y vi con placer que la manera como define la sucesin mediata entre elementos de una serie coincide en lo esencial con mi nocin de cadena (37, 44); nicamente hay que evitar asustarse de su terminologa algo incmoda. 7) Una vez determinada en mi anlisis (71, 73) la caracterizacin esencial del conjunto simplemente infinito, cuyo tipo abstracto es la serie numrica N, surga la cuestin: existe realmente en nuestro universo mental un tal conjunto? Sin la demostracin lgica de existencia sera siempre dudoso si el concepto de tales conjuntos no contiene quiz contradicciones internas. De ah la necesidad de tales pruebas (66, 72 de mi escrito).11 8) Una vez establecido esto, surga la cuestin: contiene tambin lo dicho hasta aqu un mtodo de prueba suficiente para demostrar en general proposiciones que se suponen vlidas para todos los nmeros n? S! La famosa demostracin por induccin descansa sobre el seguro fundamento de la nocin de cadena (59, 60, 80 de mi escrito). 9) Finalmente: es posible tambin establecer las definiciones de las operaciones numricas para todos los nmeros n, sin contradicciones? S! Esto se realiza de hecho gracias al teorema 126 de mi escrito. Con esto se haba terminado el anlisis y poda comenzar la construccin sinttica; y todava me caus bastantes problemas! Realmente, tampoco el lector de mi ensayo tiene una tarea fcil; adems de un sano sentido comn, se requiere una voluntad muy fuerte de rehacerlo todo completamente.

1 Conjuntos de elementos

1. En lo sucesivo entiendo por cosa todo objeto de nuestro pensamiento. Para poder hablar cmodamente de las cosas, se las designa mediante smbolos, por ejemplo mediante letras, y se permite hablar abreviadamente de la cosa a o simplemente de a, donde en realidad se est haciendo referencia a la cosa designada por a, y de ninguna manera a la propia letra a. Una cosa queda completamente determinada por todo aquello que se puede decir o pensar de ella. Una cosa a es la misma que b (idntica con b), y b la misma que a, cuando todo lo que se puede pensar de a puede tambin pensarse de b, y todo lo que vale para b puede tambin pensarse de a. Que a y b son slo smbolos o nombres para una y la misma cosa, se indicar mediante el smbolo a = b, e igualmente mediante b = a. Si adems b = c, o sea si tambin c, como a, es un smbolo para la cosa designada con b, entonces a = c. Si la mencionada coincidencia de la cosa designada mediante a con la cosa designada mediante b no se da, decimos que estas cosas a, b son distintas, a es otra cosa que b, b otra cosa que a; existe alguna propiedad que conviene a una pero no a la otra. 2. Sucede con mucha frecuencia que distintas cosas a, b, c..., consideradas por cualquier motivo bajo un mismo punto de vista, son reunidas mentalmente, y se dice entonces que constituyen un conjunto [System] S; se llama a las cosas a, b, c... elementos del conjunto S, y se dice que estn contenidas en S; inversamente S consiste en esos elementos. Un tal conjunto S (o una coleccin, una variedad, una totalidad) es igualmente, como objeto de nuestro pensamiento, una cosa (1); queda completamente determinado cuando para cada cosa est determinado si es o no un elemento de S.* El conjunto S es por tanto el mismo que el conjunto T, simblicamente S = T, cuando todo elemento de S es tambin elemento de T, y todo elemento de T lo es tambin de S. Para que la forma de expresin sea uniforme, es conveniente que consideremos tambin el caso especial en que un conjunto S est compuesto de un nico (un y slo un) elemento a, es decir que la cosa a es elemento de S pero toda cosa distinta de a no es elemento de S. Por el contrario excluiremos aqu totalmente por determinadas razones el conjunto vaco, que no contiene absolutamente ningn elemento, aunque para otras investigaciones puede ser cmodo imaginar algo semejante. 3. Definicin. Se dice que un conjunto A es parte de un conjunto S cuando cada elemento de A es tambin elemento de S. Como en lo sucesivo tendremos que referirnos contnuamente a tales relaciones entre un conjunto A y un conjunto S, queremos designarlas, para abreviar, mediante el smbolo A S. Evitar totalmente, por claridad y simplicidad, el smbolo inverso S A que podra servir para designar el mismo hecho, pero dir de vez en cuando, a falta de una palabra mejor, que S es todo de A, con lo que se expresar igualmente que entre los elementos de S se encuentran todos los elementos de A. Como adems, de acuerdo con 2, cada elemento de S) Para lo que sigue es totalmente indiferente de qu manera se establece esa determinacin, y si conocemos o no alguna forma de decidir al respecto; las leyes generales que se van a desarrollar no dependen en absoluto de ello, valen en todas las circunstancias. Menciono esto expresamente porque hace poco el seor Kronecker (en el tomo 99 del Journal fr Mathematik, pag. 334- 336) ha querido imponer a la libre construccin de conceptos en la matemtica determinadas limitaciones que no considero justificadas; sin embargo, me parece que solo ser conveniente extenderse ms sobre el tema cuando el distinguido matemtico haya hecho pblicas sus razones para la necesidad o al menos para la conveniencia de esas limitaciones.*

puede considerarse como un conjunto, podemos emplear tambin aqu el smbolo s S.12 4. Teorema. De acuerdo con 3, AA 5. Teorema. Si AB y BA, entonces A=B. La demostracin se sigue de 3,2. 6. Definicin. Se dice que un conjunto A es parte propia de S cuando A es parte de S pero distinto de S. Entonces (por 5) S no es parte de A, es decir (3) hay en S un elemento que no es elemento de A. 7. Teorema. Si AB y BC, lo que tambin se puede representar abreviadamente mediante ABC, entonces AC, y en particular A ser parte propia de C cuando A sea parte propia de B o cuando B sea parte propia de C. La demostracin se sigue de 3,6. 8. Definicin. Por el conjunto unin [zusammengesetzes System] de cualesquiera conjuntos A, B, C..., que se designar U(A,B,C...), se entender aquel conjunto cuyos elementos quedan determinados a travs de la siguiente prescripcin: una cosa vale como elemento de U(A,B,C...) cuando y slo cuando es elemento de cualquiera de los conjuntos A, B, C..., es decir, cuando es elemento de A o de B o de C... Admitimos tambin el caso de que se presente un nico conjunto A; entonces claramente U(A)=A. Advertimos adems que hay que diferenciar totalmente el conjunto U(A,B,C...), unin de A, B, C..., de aquel conjunto cuyos elementos son los propios conjuntos A, B, C... 9. Teorema. Los conjuntos A, B, C... son partes de U(A,B,C...). La demostracin se sigue de 8,3. 10. Teorema. Si A, B, C... son partes de un conjunto S, entonces U(A,B,C...)S. La demostracin se sigue de 8,3. 11. Teorema. Si P es parte de uno de los conjuntos A, B, C..., entonces PU(A,B,C...). La demostracin se sigue de 9,7. 12. Teorema. Si cada uno de los conjuntos P, Q... es parte de uno de los conjuntos A, B, C..., entonces U(P,Q...)U(A,B,C...). La demostracin se sigue de 11,10. 13. Teorema. Si A es unin de cualesquiera de los conjuntos P, Q..., entonces AU(P,Q...). Demostracin. Cada elemento de A es (por 8) elemento de uno de los conjuntos P, Q..., y por consiguiente (por 8) elemento de U(P,Q...), de donde (por 3) se sigue el teorema. 14. Teorema. Si cada uno de los conjuntos A, B, C... es unin de cualesquiera de los conjuntos P, Q..., entonces U(A,B,C...)U(P,Q...). La demostracin se sigue de 13,10. 15. Teorema. Si cada uno de los conjuntos P, Q... es parte de uno de los conjuntos A, B, C..., y si cada uno de los ltimos es unin de cualesquiera de los primeros, entonces U(P,Q...)=U(A,B,C...). La demostracin se sigue de 12,14,5. 16. Teorema. Si A=U(P,Q) y B=U(Q,R), entonces U(A,R)=U(P,B).

Demostracin. Segn el anterior teorema 15 tanto U(A,R) como U(P,B) es =U(P,Q,R). 17. Definicin. Se dice que una cosa g es elemento comn de los conjuntos A, B, C... cuando est contenida en cada uno de estos conjuntos (por tanto en A y en B y en C...). Igualmente se dice que un conjunto T es parte comn de A, B, C... cuando T es parte de cada uno de esos conjuntos, y entendemos por interseccin [Gemeinschaft] de los conjuntos A, B, C... el conjunto completamente determinado I(A,B,C...), que consiste en todos los elementos i comunes de A, B, C..., y por consiguiente es igualmente parte comn de esos mismos conjuntos. Admitimos tambin el caso en que se presenta un nico conjunto A; entonces hay que poner I(A)=A. Puede darse tambin el caso de que los conjuntos A, B, C... no tengan absolutamente ningn elemento comn, y por tanto no posean ninguna parte comn, ninguna interseccin; se llaman entonces conjuntos sin interseccin, y el smbolo I(A,B,C...) carece de significado (cf. el final de 2). Sin embargo dejaremos casi siempre al lector la tarea de aadir la condicin de existencia en los teoremas sobre intersecciones, y la de encontrar la interpretacin correcta de esos teoremas tambin para el caso de su no existencia. 18. Teorema. Toda parte comn de A, B, C... es parte de I(A,B,C...). La demostracin se sigue de 17. 19. Teorema. Cada parte de I(A,B,C...) es parte comn de A, B, C... La demostracin se sigue de 17,7. 20. Teorema. Si cada uno de los conjuntos A, B, C... es todo (por 3) de uno de los conjuntos P, Q..., entonces I(P,Q...)I(A,B,C...). Demostracin. Cada elemento de I(P,Q...) es elemento comn de P, Q..., y por tanto tambin elemento comn de A,B,C..., c.q.d.13

2 Representacin de un conjunto.14 21. Definicin.* Por una representacin [Abbildung, aplicacin] de un conjunto S se entender una ley segn la cual a cada elemento determinado s de S se le asigna una cosa determinada, que se llama la imagen [Bild] de s y se designa con (s); decimos tambin que (s) corresponde al elemento s, que (s) resulta o se produce a partir de s mediante la representacin , que s se transforma en (s) mediante la representacin . Si ahora T es una parte cualquiera de S, en la representacin de S est contenida igualmente una representacin determinada de T, que para simplificar puede designarse mediante el mismo smbolo , y que consiste en que a cada elemento t del conjunto T le corresponde la misma imagen (t) que posee t como elemento de S; igualmente se llama imagen de T y se designa (T) el conjunto que consiste de todas las imgenes (t), con lo que tambin queda definido el significado de (S). La asignacin de determinados signos o nombres a sus elementos puede considerarse como ejemplo de representacin de un conjunto. La ms sencilla representacin de un conjunto es aquella a travs de la

*

) Cf. Dirichlet, Vorlesungen ber Zahlentheorie, tercera edicin, 1879, 163.

cual cada uno de sus elementos se transforma en s mismo; la llamaremos representacin idntica del conjunto. Por comodidad, en los siguientes teoremas 22,23 24, que tratan de una representacin cualquiera de un conjunto cualquiera S, designaremos las imgenes de elementos s y partes T mediante s' y T'; adems establecemos que las letras latinas minsculas y maysculas sin acento significarn siempre elementos y partes de ese conjunto S. 22. Teorema.** Si AB, entonces A'B'. Demostracin. Cada elemento de A' es imagen de un elemento de A,por tanto de un elemento contenido en B, y consiguientemente es elemento de B', c.q.d. 23. Teorema. La imagen de U(A,B,C...) es U(A',B',C',...). Demostracin. Si designamos mediante M el conjunto U(A,B,C,...), que por 10 es igualmente parte de S, cada elemento de su imagen M' es la imagen m' de un elemento m de M; como (por 8) m es tambin elemento de uno de los conjuntos A, B, C..., y consiguientemente m' es elemento de uno de los conjuntos A', B', C'..., o sea (por 8) tambin elemento de U(A',B',C'...), entonces (por 3) M'U(A',B',C'...). Por otro lado, como A, B, C... son (por 9) partes de M, y por tanto (por 22) A', B', C'... son partes de M', tambin (por 10) U(A',B',C'...)M' y de ah junto con lo anterior se sigue, de acuerdo con 5, el teorema a demostrar M' = U(A',B',C'...). 24. Teorema. La imagen de cada parte comn de A, B, C..., por tanto tambin la de la interseccin I(A,B,C...), es parte de I(A',B',C'...). Demostracin. Aqulla es por 22 parte comn de A', B', C'..., de donde se sigue el teorema por 18. 25. Definicin y teorema. Si es una representacin de un conjunto S, y es una representacin de la imagen S'= (S), de aqu resulta siempre una representacin compuesta** de y , que consiste en que a cada elemento s de S le corresponde la imagen (s) = (s') = ((s)) donde una vez ms (s) = s'. Esa representacin puede designarse abreviadamente por . o , y la imagen (s) por (s), donde se debe tener muy en cuenta la posicin de los smbolos , , porque el signo , en general, carece de significado y slo tiene sentido cuando (S')S. Si ahora designa una representacin del conjunto (S') = (S), y la representacin del conjunto S' compuesta de y , entonces (s) = ((s') = (s') = (s), por lo que las representaciones compuestas y coinciden para cada elemento s de S, es decir = . De acuerdo con el significado de y , este teorema se puede expresar convenientemente . = . y esa representacin compuesta de , , puede designarse abreviadamente .**

*

) Cf. teorema 27.

*

) Cf. teorema 29.

) No hay que temer en absoluto una confusin de esta composicin de aplicaciones con la composicin de conjuntos de elementos (8).

**

3 Similaridad de una representacin. Conjuntos similares.

26. Definicin. Una representacin de un conjunto S se llama similar (o clara) cuando a diferentes elementos a,b del conjunto S les corresponden siempre diferentes imgenes a'=(a), b'=(b). Como en este caso de s'=t' se sigue siempre, inversamente, s=t, cada elemento del conjunto S'=(S) es la imagen s' de un elemento s nico y completamente determinado del conjunto S, de acuerdo con lo cual se le puede contraponer a la representacin de S una representacin inversa del conjunto S', designada , que consiste en que a cada elemento s' de S' le corresponde la imagen (s')=s y claramente es siempre una representacin similar. Es evidente que (S')=S, que adems es la representacin inversa correspondiente a , y que la representacin compuesta (25) de y es la representacin idntica de S (21). Igualmente se deducen los siguientes complementos al 2, manteniendo el simbolismo all utilizado.15 27. Teorema.*** Si A'B', entonces AB. Demostracin. Si a es elemento de A, a' es elemento de A', y por tanto de B', por lo que es =b', donde b es elemento de B; pero como de a'=b' siempre se sigue a=b, cada elemento a de A es tambin elemento de B, c.q.d. 28. Teorema. Si A'=B', entonces A=B. La demostracin resulta de 27,4,5. 29. Teorema.* Si G=I(A,B,C...), entonces G'=I(A',B',C'...). Demostracin. Cada elemento de I(A',B',C'...) est en cualquier caso contenido en S', y por tanto es la imagen g' de un elemento g contenido en S; pero como g' es elemento comn de A',B',C'..., g debe ser (por 27) elemento comn de A,B,C..., y por tanto elemento de G; por lo que cada elemento de I(A',B',C',...) es imagen de un elemento g de G, y por tanto elemento de G', es decir I(A',B',C',)G', y de aqu se sigue nuestro teorema teniendo en cuenta 24,5. 30. Teorema. La representacin idntica de un conjunto es siempre una representacin similar. 31. Teorema. Si es una representacin similar de S y es una representacin similar de (S), la representacin compuesta de y es en cualquier caso similar, y su correspondiente representacin inversa es =.. Demostracin. Como a diferentes elementos a,b de S les corresponden diferentes imgenes a'=(a), b'=(b), y a stas nuevamente diferentes imgenes (a')=(a), (b')=(b), es una representacin similar. Adems cada elemento (s)=(s') del conjunto (S) se transforma mediante en s'=(s), y ste mediante en s, de modo que (s) se transforma mediante . en s, c.q.d. 32. Definicin. Los conjuntos R,S se llaman similares cuando existe una representacin de S tal que (S)=R, y por tanto tambin (R)=S. Claramente todo conjunto es, por 30, similar a s mismo.16***

) Cf. teorema 22.

*

) Cf. teorema 24.

33. Teorema. Si R, S son conjuntos similares, cada conjunto Q similar a R es tambin similar a S. Demostracin. Si , son representaciones similares de S, R tales que (S)=R, (R)=Q, es (por 31) una representacin similar de S tal que (S)=Q, c.q.d. 34. Definicin. Por tanto se puede distribuir todos los conjuntos en clases, reuniendo en una determinada clase aquellos y slo aquellos conjuntos Q, R, S... que son similares a un determinado conjunto R, el representante de la clase; de acuerdo con el anterior teorema 33 la clase no cambia si se elige como representante cualquier otro conjunto S preteneciente a ella.17 35. Teorema. Si R,S son conjuntos similares, cada parte de S es tambin similar a una parte de R, cada parte propia de S tambin lo es a una parte propia de R. Demostracin. Si es una representacin similar de S, (S)=R, y TS, por 22 el conjunto similar a T es (T)R; si adems T es parte propia de S, y s es un elemento de S no contenido en T, por 27 el elemento (s) contenido en R no puede estar contenido en (T); con lo que (T) es parte propia de R, c.q.d.

4 Representacin de un conjunto en s mismo

36. Definicin. Si es una representacin similar o disimilar de un conjunto S y (S) es parte de un conjunto Z, llamamos a representacin de S en Z, y decimos que S es representado en Z mediante . De ah que llamemos a representacin del conjunto S en s mismo cuando (S)S; en este pargrafo queremos investigar las leyes generales de tal representacin . Para ello manejamos los mismos smbolos que en el 2, poniendo otra vez (s)=s', (T)=T'. A consecuencia de 22,7 estas imgenes son a su vez elementos o partes de S, como todas las cosas designadas con letras latinas. 37. Definicin. Se dice que K es una cadena cuando K'K. Notamos expresamente que este nombre no es propio de la parte K del conjunto S por s misma, sino tan solo se le atribuye en relacin con una determinada representacin ; respecto a otra representacin del conjunto S en s mismo, K podra muy bien no ser una cadena. 38. Teorema. S es una cadena. 39. Teorema. La imagen K' de una cadena K es una cadena. Demostracin. De K'K se sigue por 22 (K')'K'. c.q.d. 40. Teorema. Si A es parte de una cadena K, entonces A'K. Demostracin. De AK se sigue (por 22) A'K', y como (por 37) K'K, se sigue (por 7) A'K, c.q.d. 41. Teorema. Si la imagen A' es parte de una cadena L, existe una cadena K que satisface las condiciones AK, K'L; precisamente U(A,L) es una cadena tal. Demostracin. Sea K=U(A,L), de modo que por 9 la condicin AK se cumple. Como adems por 23 K'=U(A',L') y hemos supuesto que A'L, L'L, tambin se cumple la otra condicin K'L (por 10), y dado que (por 9) LK, de ah se sigue tambin que K'K, es decir, que K es una cadena, c.q.d. 42. Teorema. Un conjunto M que es la unin slo de cadenas A,B,C... es una cadena. Demostracin. Como (por 23) M'=U(A',B',C'...) y hemos supuesto que A'A,B'B,C'C..., se sigue (por

12) M'M, c.q.d. 43. Teorema. La interseccin G de las cadenas A,B,C... es una cadena. Demostracin. Como G es por 17 parte comn de A,B,C..., o sea (por 22) G' es parte comn de A',B',C'..., y dado que hemos supuesto A'A, B'B, C'C..., entonces (por 7) G' es tambin parte comn de A,B,C..., y de 18 se sigue que es tambin parte de G, c.q.d. 44. Definicin. Si A es cualquier parte de S, queremos designar con Ao la interseccin de todas aquellas cadenas (por ejemplo S) de las cuales A es parte; esa interseccin Ao existe (cf. 17) porque el propio A es ya parte comn de todas esas cadenas. Como adems Ao es una cadena (por 43), queremos llamarla cadena del conjunto A o abreviadamente cadena de A. Tambin esta definicin depende totalmente de la representacin del conjunto S en s mismo que estamos suponiendo, y si ms tarde se hace necesario por motivos de claridad, pondremos ms bien o(A) en vez de Ao, e igualmente designaremos la cadena de A correspondiente a otra representacin w mediante wo(A). Para estos importantsimos conceptos valen los siguientes teoremas.18 45. Teorema. AAo. Demostracin. A es parte comn de todas aquellas cadenas de las que Ao es la interseccin, de donde se sigue el teorema por 18. 46. Teorema. (Ao)'Ao. Demostracin. Dado que Ao es por 44 una cadena (37). 47. Teorema. Si A es parte de una cadena K, tambin AoK. Demostracin. Ao es la interseccin, y por tanto parte comn de todas las cadenas K de las que A es parte. 48. Nota. Es fcil convencerse de que la nocin de cadena Ao definida en 44 queda completamente caracterizada mediante los anteriores teoremas 45,46,47. 49. Teorema. A'(Ao)'. La demostracin se sigue de 45,22. 50. Teorema. A'Ao La demostracin se sigue de 49,46,7. 51. Teorema. Si A es una cadena, Ao=A. Demostracin. Como A es parte de la cadena A, por 47 tambin AoA, de donde se sigue el teorema por 45,5. 52. Teorema. Si BA, entonces BAo. La demostracin se sigue de 45,7. 53. Teorema. Si BAo, entonces BoAo, e inversamente. Demostracin. Como Ao es una cadena, de BAo se sigue (por 47) BoAo; inversamente, si BoAo, por 7 se sigue BAo, porque (por 45) BBo. 54. Teorema. Si BA, entonces BoAo. La demostracin se sigue de 52,53. 55. Teorema. Si BAo, entonces tambin B'Ao. Demostracin. Por 53 BoAo, y como (por 50) B'Bo, el teorema por demostrar se sigue de 7. Lo mismo se obtiene tambin, como es fcil ver, de 22,46,7 o tambin de 40.

56. Teorema. Si BAo, entonces (Bo)'(Ao)'. La demostracin se sigue de 53,22. 57. Teorema y definicin. (Ao)'=(A')o, es decir, la imagen de la cadena de A es igual a la cadena de la imagen de A. De ah que se pueda designar ese conjunto abreviadamente mediante A'o, y se le puede llamar a voluntad la cadena-imagen o la imagen-cadena de A. Mediante los smbolos ms claros dados en 44, el teorema se expresara (o(A))=o((A)). Demostracin. Poniendo para abreviar (A')o=L, L es una cadena (44), y por 45 A'L, con lo que (por 41) hay una cadena K que satisface las condiciones AK, K'L; de aqu se sigue tambin (por 47) AoK, y por tanto (Ao)'K', y consiguientemente por 7 (Ao)'L, es decir (Ao)'(A')o. Como adems por 49 A'(Ao)', y (Ao)' es por 44,39 una cadena, tambin (por 47) (A')o(Ao)', de donde, junto con el resultado anterior, se sigue el teorema a demostrar (5). 58. Teorema. Ao=U(A,A'o), es decir que la cadena de A est compuesta de A y de la imagen-cadena de A. Demostracin. Poniendo nuevamente para abreviar L=A'o=(Ao)'=(A')o y K=U(A,L), entonces (por 45) A'L, y como L es una cadena, por 41 vale lo mismo de K; como adems AK (9), por 47 se sigue tambin AoK. Por otro lado, como (por 45) AAo y (por 46) LAo, tambin (por 10) KAo, de donde, en conexin con el anterior resultado, se sigue el teorema a demostrar, Ao=K (5). 59. Teorema de induccin completa. Para demostrar que la cadena Ao es parte de cualquier conjunto -sea este ltimo parte de S o no-, basta mostrar . que A, y . que la imagen de cada elemento comn de Ao y es igualmente elemento de . Demostracin. Si es verdadero, existe siempre por 45 la interseccin G=I(Ao,), y precisamente (por 18) AG; como adems por 17 GAo, G es tambin parte de nuestro conjunto S, que se representa en s mismo mediante , e igualmente se sigue (por 55) G'Ao. Si es tambin cierto, es decir si G', entonces G', como parte comn de los conjuntos A, , debe ser (por 18) parte de su interseccin G, es decir que G es una cadena (37), y dado que, como ya se ha indicado, AG, por 47 se deduce tambin AoG, y de aqu junto con el anterior resultado se sigue G=Ao, o sea por 17 AoZ, c.q.d. 60. El teorema anterior constituye, como se mostrar ms tarde, el fundamento cientfico para el mtodo de prueba conocido bajo el nombre de induccin completa (paso de n a n+1), y se puede expresar tambin de la siguiente manera: Para demostrar que todos los elementos de la cadena Ao poseen una determinada propiedad [E

gtica] (o que el teorema [S gtica], en el que se trata de una cosa n indeterminada, vale realmente para todos los elementos n de la cadena Ao), basta mostrar . que todos los elementos a del conjunto A poseen la propiedad [E gtica] (o que [S gtica] vale para todos los a),y . que la misma propiedad [E gtica] conviene a la imagen n' de todo elemento n de Ao tal que posee la propiedad [E gtica] (o que el teorema [S gtica], en cuanto vale para un elemento n de Ao, tiene ciertamente que valer para su imagen n'). De hecho, si se designa con el conjunto de todas las cosas que poseen la propiedad [E gtica] (o para las cuales vale el teorema [S gtica]), inmediatamente resulta evidente la coincidencia completa del modo de expresin que empleamos ahora con el utilizado en 59. 61. Teorema. La cadena de U(A,B,C...) es U(Ao,Bo,Co...). Demostracin. Si designamos el primer conjunto M, y el ltimo K, K es por 42 una cadena. Como ahora por 45 cada uno de los conjuntos A,B,C... es parte de uno de los conjuntos Ao,Bo,Co..., con lo que (por 12) MK, por 47 se sigue tambin MoK. Por otro lado, como por 9 cada uno de los conjuntos A,B,C.. es parte de M, o sea por 45,7 parte de la cadena Mo, por 47 cada uno de los conjuntos Ao,Bo,Co... debe ser parte de Mo, con lo que por 10 KMo, de donde en conexin con lo anterior se sigue Mo=K, c.q.d. 62. La cadena de I(A,B,C...) es parte de I(Ao,Bo,Co...). Demostracin. Si designamos con G el primero, y con K el ltimo conjunto, K es por 43 una cadena. Como ahora cada uno de los conjuntos Ao,Bo,Co... es por 45 todo de uno de los conjuntos A,B,C..., con lo que (por 20) GK, se sigue por 47 el teorema GoK que queramos demostrar. 63. Teorema. Si K'LK de modo que K es una cadena, tambin L es una cadena. Si sta es parte propia de K, y U es el conjunto de todos aquellos elementos de K que no estn contenidos en L, si adems la cadena Uo es parte propia de K, y V es el conjunto de todos los elementos de K que no estn contenidos en Uo, entonces K=U(Uo,V), y L=U(U'o,V). Si finalmente L=K', entonces VV'. La demostracin de este teorema, del que (igual que de los dos anteriores) no haremos uso, puede dejarse al lector.19

*************************************** Del Nachlass: ***************************************

Representacin similar (clara) y conjuntos similares. 11.7.1887. Teorema. Si S est representado similarmente en s mismo, es decir, si la imagen (S)=S' S, y si adems S' T S, entonces tambin T es similar a S. Demostracin. Trivial en el caso T = S. En caso contrario, sea U el conjunto de todos los elementos de S

que no estn contenidos en T, y sea Uo la cadena20 ( 4) de U correspondiente a esta representacin de S. Si ahora s es cualquier elemento de S, pngase (s) = (s) o bien =s segn que s est contenido en Uo o no. Entonces es una representacin similar de S tal que (S) = T. A este respecto hay que mostrar 1. Similaridad de la representacin . ) Si diferentes a y b estn contenidos en Uo, entonces (a)=(a) y (b)=(b) son diferentes porque es una representacin similar. ) Si a est contenido en Uo y b no est contenido en Uo, entonces (a)=(a) y (b)=b son diferentes porque Uo es una cadena, (Uo) Uo, por lo que (a) est contenido en Uo, y (b) no est contenido en Uo. ) Si a y b no estn contenidos en Uo y son diferentes, (a) y (b) son diferentes. 2. (S) T. Designando con V el conjunto de todos los elementos de S que no estn contenidos en Uo, tenemos S = U(Uo,V), (S) = U((Uo),V). Ahora, como Uo S, tambin (Uo) (S), y como (S) T, tambin (Uo) T; como adems V T {pues si un elemento v de V no estuviera contenido en T, estara en U, y por tanto ( 4) en Uo, contra la definicin de V; mejor establecerlo antes}, entonces se deduce ( 1) que (S) T. 3. T (S). Sea t cualquier elemento de T. Si t est contenido en V, entonces t {a consecuencia de (S) = U((Uo),V)}21 tambin est contenido en (S). Pero si t no est en V, y por tanto est en Uo, como ( 4) Uo = U(U,(Uo)), por la definicin de U, t debe estar contenido en (Uo), y por tanto tambin debe estar en (S). C.Q.D. O igualmente claro T = U((Uo),V) = (S). Teorema: Si A es similar a una parte de B, y B es similar a una parte de A, tambin A y B son similares. Demostracin. y representaciones claras; y (A) B, (B) A, por tanto (A) (B) A; ahora, como la representacin es igualmente similar, (A) es similar a A, de modo que (por el teorema anterior) tambin (B) es similar a A, y como (B) es similar a B, entonces (teorema ms simple sobre similaridad) tambin A es similar a B. C.Q.D. ********************************************************************************************

5 Finito e infinito 64. Definicin.* Un conjunto S se llama infinito cuando es similar (32) a una parte propia de s mismo; en) Si no se quiere utilizar la nocin de conjuntos similares (32) se debe decir: S se llama infinito cuando existe una parte propia de S (6) en la que S se puede representar claramente (similarmente) (26,36). En esta forma he comunicado la definicin de infinito, que constituye el ncleo de toda mi investigacin, al seor Cantor en septiembre de 1882, y varios aos antes a los seores Schwarz y Weber. Todos los dems intentos que conozco de diferenciar lo finito de lo infinito me parecen tan poco*

caso contrario se llama a S conjunto finito. 65. Teorema. Todo conjunto consistente en un nico elemento es finito. Demostracin. Semejante conjunto no posee absolutamente ninguna parte propia (2,6). 66. Teorema. Existen conjuntos infinitos. Demostracin.* Mi universo mental, es decir, la totalidad S de todas las cosas que pueden ser objeto de mis pensamientos, es infinito. Porque si s designa un elemento de S, el pensamiento s', que s puede ser objeto de mi pensamiento, es tambin un elemento de S. Si lo consideramos como imagen (s) del elemento s, la representacin de S as determinada tiene la propiedad de que la imagen S' es parte de S; y S' es precisamente parte propia de S, porque hay en S elementos (por ejemplo mi propio yo) que son distintos de todo pensamiento s', y por eso no estn contenidos en S'. Finalmente es evidente que si a,b son diferentes elementos de S, tambin sus imgenes a',b' son diferentes, y que por tanto la representacin es clara (similar) (26). Con lo que S es infinito, c.q.d.22 67. Teorema. Si R, S son conjuntos similares, R es finito o infinito segn S sea finito o infinito. Demostracin. Si S es infinito, y por tanto similar a una parte propia S' de si mismo, y si R y S son similares, S' debe ser por 33 similar a R, y por 35 debe igualmente ser similar a una parte propia de R, que entonces (por 33) debe ser similar al propio R; por lo que R es infinito, c.q.d. 68. Teorema. Todo conjunto S que posee una parte T infinita es igualmente infinito; o con otras palabras, toda parte de un conjunto finito es finita. Demostracin. Si T es infinito, o sea si hay una representacin similar de T tal que (T) es una parte propia de T, y si T es parte de S, se puede extender esa representacin a una representacin de S poniendo, si s designa cualquier elemento de S, (s)=(s) o (s)=s segn s sea elemento de T o no. Esa representacin es similar; pues si a,b designan distintos elementos de S, y si ambos estn contenidos en T, la imagen (a)=(a) es diferente de la imagen (b)=(b), porque es una representacin similar; por otro lado, si a est contenido en T y b no lo est, (a)=(a) es diferente de (b)=b, porque (a) est contenido en T; finalmente, si ni a ni b estn contenidos en T, tambin (a)=a es diferente de (b)=b, como haba que mostrar. Como adems (T) es parte de T, o sea (por 7) parte de S, es evidente que tambin (S)S. Como finalmente (T) es parte propia de T, hay en T, y por tanto en S, un elemento t que no est contenido en (T)=(T); ahora, como la imagen (s) de cada elemento s de S no contenido en T es =s, y por tanto distinta de t, t no puede en absoluto estar contenido en (S); con lo que (S) es parte propia de S, y consiguientemente S es infinito, c.q.d. 69. Teorema. Todo conjunto que es similar a una parte de un conjunto finito es l mismo finito. La demostracin se sigue de 67,68. 70. Teorema. Si a es un elemento de S, y si el conjunto T de todos los elementos de S diferentes de a es finita, tambin S es finito. Demostracin. Tenemos que mostrar (por 64) que, si designa cualquier representacin similar de S en s mismo, la imagen (S) o S' nunca es parte propia de S, sino siempre =S. Claramente S=U(a,T), y consiguientemente (por 23), si seguimos designando las imgenes mediante tildes, S'=U(a',T'), y por la similaridadsatisfactorios que creo que debo renunciar a criticarlos.*

) Una consideracin similar se encuentra en el 13 de Paradoxien des Unendlichen de Bolzano (Leipzig 1851).

de la representacin , a' no est contenido en T' (26). Como adems hemos supuesto que S'S, tanto a' como cualquier elemento de T' debe ser, o bien =a o elemento de T. Por lo tanto, cuando a no est contenido en T' -caso que queremos tratar primero-, T' debe estar T y consiguientemente tendremos T'=T, porque es una representacin similar y T un conjunto finito; y como a', segn hemos observado, no est contenido en T', es decir en T, a' debe ser =a, y por consiguiente en este caso realmente S'=S, como se haba afirmado. En el caso contrario, si a est contenido en T' y es por tanto la imagen b' de un elemento b contenido en T, queremos designar con U el conjunto de todos aquellos elementos u de T que son distintos de b; entonces T=U(b,U) y (por 15) S=U(a,b,U), y S'=U(a',a,U'). Determinamos ahora una nueva representacin de T, poniendo (b)=a' y en general (u)=u', mediante lo cual (por 23) (T)=U(a',U'). Claramente es una representacin similar, porque lo era, y porque a no est contenido en U, y por tanto tampoco a' est en U'. Como adems a y cada elemento u son distintos de b, tambin a' y cada elemento u' deben (por la similaridad de ) ser distintos de a, y consiguientemente deben estar contenidos en T; con lo que (T)T, y como T es finito, (T)=T, por lo que U(a',U') debe ser =T. Pero de aqu se sigue (por 15) U(a',a,U')=U(a,T), es decir, por lo anterior, S'=S. Por lo que tambin en este caso se consigue la necesaria demostracin.

6 Conjuntos simplemente infinitos. Serie de los nmeros naturales.

71. Definicin. Un conjunto N se llama simplemente infinito cuando existe una representacin similar de N en s mismo tal que N aparece como cadena (44) de un elemento que no est contenido en (N). Llamamos a ese elemento, que en lo sucesivo designaremos mediante el smbolo 1, elemento base de N, y decimos igualmente que el conjunto simplemente infinito N est ordenado por la representacin . Manteniendo los cmodos smbolos anteriores ( 4) para las imgenes y cadenas, la esencia de un conjunto simplemente infinito N consiste en la existencia de una representacin de N y un elemento 1 que satisfacen las siguientes condiciones .,.,.,.: . N'N. . N=1o. . El elemento 1 no est contenido en N'. . La representacin es similar. Claramente se sigue de .,.,. que todo conjunto simplemente infinito N es realmente un conjunto infinito (64), porque es similar a una parte propia N' de s mismo.23 72. Teorema. En cada conjunto infinito S est contenido un conjunto simplemente infinito N. Demostracin. Por 64 hay una representacin similar de S tal que (S) o S' es una parte propia de S; hay por tanto un elemento 1 en S que no est contenido en S'. La cadena N=1o, que corresponde a esa representacin del conjunto S en s mismo (44), es un conjunto simplemente infinito ordenado por ; pues claramente se cumplen todas las condiciones caractersticas .,.,.,. (71). 73. Definicin. Si en la consideracin de un conjunto simplemente infinito N ordenado por una

representacin se prescinde totalmente de la peculiar naturaleza de los elementos, nicamente se retiene su diferenciabilidad y slo se consideran las relaciones mtuas en que los pone la representacin ordenadora , se llama a estos elementos nmeros naturales o nmeros ordinales o tambin nmeros a secas, y al elemento base 1 se le llama nmero base de la serie numrica N. Considerando esta liberacin de los elementos con respecto a cualquier otro contenido (abstraccin) se puede llamar a los nmeros, con derecho, creacin libre del espritu humano. Las relaciones o leyes que se derivan exclusivamente de las condiciones .,.,.,. de 71, y que por tanto son siempre las mismas en todos los conjuntos ordenados simplemente infinitos, sean cuales sean los nombres que casualmente correspondan a cada uno de los elementos (cfr. 134), constituyen el objeto inmediato de la ciencia de los nmeros o aritmtica. De los conceptos y teoremas generales del 4, sobre representacin de un conjunto en s mismo, inferimos en primer lugar los siguientes teoremas fundamentales, en los que entenderemos siempre por a,b...m,n... elementos de N, por A,B,C... partes de N, por a',b'...m',n'... A',B',C',... las imgenes correspondientes que se producen mediante la representacin ordenadora y que son siempre elementos o partes de N; la imagen n' de un nmero n se llamar tambin el nmero sucesor de n. 74. Teorema. Cada nmero n est contenido (por 45) en su cadena no, y la condicin nmo es equivalente (por 53) a nomo. 75. Teorema. A consecuencia de 57, n'o=(no)'=(n')o. 76. Teorema. A consecuencia de 46, n'ono. 77. Teorema. A consecuencia de 58, no=U(n,n'o). 78. Teorema. N=U(1,N'), y por tanto todo nmero distinto del nmero base 1 es elemento de N', es decir, imagen de un nmero. La demostracin se sigue de 77 y 71. 79. Teorema. N es la nica cadena de nmeros en la que est contenido el nmero base 1. Demostracin. Si 1 es elemento de una cadena de nmeros K, por 47 la correspondiente cadena es NK, y consiguientemente N=K, porque es trivial que KN. 80. Teorema de induccin completa (paso de n a n'). Para probar que un teorema vale para todos los nmeros n de una cadena mo, basta mostrar . que vale para n=m, y . que de la validez del teorema para un nmero n de la cadena mo se sigue siempre su validez para su sucesor n'. Esto se deduce inmediatamente de los teoremas ms generales 59 o 60. Lo ms frecuente ser el caso en que m=1, y por tanto mo ser la serie de nmeros N entera.

7 Nmeros mayores y menores

81. Teorema. Todo nmero n es distinto de su sucesor n'. Demostracin por induccin completa (80).

. El teorema es verdadero para el nmero n=1, porque no est contenido en N' (71), mientras que su sucesor 1', como imagen del nmero 1 contenido en N, es elemento de N'. . Si el teorema es verdadero para el nmero n, y ponemos su sucesor n'=p, entonces n es diferente de p, de donde se sigue por 26, debido a la similaridad (71) de la representacin ordenadora , que n', o sea p, es diferente de p'. Con lo que el teorema vale tambin para el nmero p sucesor de n, c.q.d. 82. Teorema. En la cadena-imagen n'o de un nmero n est contenida (por 74, 75) su imagen n', pero no el propio nmero n. Demostracin por induccin completa (80). . El teorema es verdadero para n=1, porque 1'o=N', y porque el nmero base 1 (por 71) no est contenido en N'. . Si el teorema es verdadero para un nmero n, y volvemos a poner n'=p, entonces n no est contenido en po, y por tanto es diferente de todo nmero q contenido en po, de donde se sigue por la similaridad de , que n', o sea p, es diferente de todo nmero q' contenido en p'o, o sea que no est contenido en p'o. Con lo que el teorema vale tambin para el numero p sucesor de n, c.q.d. 83. Teorema. La cadena-imagen n'o es parte propia de la cadena no. La demostracin se sigue de 76,74,82. 84. Teorema. De mo=no se sigue m=n. Demostracin. Como (por 74) m est contenido en mo, y (por 77) mo=no=U(n,n'o), si el teorema fuera falso, o sea si m fuera diferente de n, m debera estar contenido en la cadena n'o, y consiguientemente (por 74) tambin mon'o, es decir non'o; como esto contradice el teorema 83, nuestro teorema est demostrado. 85. Teorema. Si el nmero n no est contenido en la cadena de nmeros K, entonces Kn'o. Demostracin por induccin completa (80). . El teorema es, por 78, verdadero para n=1. . Si el teorema es verdadero para un nmero n, vale tambin para su sucesor n'=p; porque si p no est contenido en la cadena de nmeros K, por 40 tampoco n puede estar contenido en K, y de acuerdo con nuestro supuesto Kn'o; como ahora (por 77) n'o=po= =U(p,p'o), o sea KU(p,p'o), y p no est contenido en K, debe darse Kp'o, c.q.d. 86. Teorema. Si el nmero n no est contenido en la cadena de nmeros K, pero s su imagen n', entonces K=n'o. Demostracin. Como n no est contenido en K, por 85 Kn'o, y como n'K, por 47 tambin n'oK, y consiguientemente K=n'o, c.q.d. 87. Teorema. En cada cadena de nmeros K hay un nmero k, y (por 84) slo uno, cuya cadena ko es =K. Demostracin. Si el nmero base 1 est contenido en K, entonces K=N=1o. En caso contrario sea Z el conjunto de todos los nmeros no contenidos en K; como el nmero base 1 est contenido en Z, pero Z slo es parte propia de la serie numrica N, Z no puede (por 79) ser una cadena, es decir Z' no puede ser parte de Z; por tanto hay en Z un nmero n cuya imagen n' no est contenida en Z, por lo que ciertamente est contenida en K;

como adems n est contenido en Z, o sea no est contenido en K, por 86 K=n'o, o sea k=n', c.q.d. 88. Teorema. Si m,n son nmeros diferentes, entonces una y (por 83,84) slo una de las cadenas mo,no es parte propia de la otra, y precisamente o bien nom'o, o bien mon'o. Demostracin. Si nmo, o sea por 74 nomo, m no puede estar contenido en no (porque si no (por 74) mono, o sea mo=no, con lo que por 84 tambin sera m=n), y de aqu se sigue por 85 que nom'o. En caso contrario, si n no est contenido en la cadena mo, debe darse (por 85) mon'o, c.q.d. 89. Definicin. El nmero m se llama menor que el nmero n, e igualmente se llama n mayor que m, simblicamente mm, cuando se cumple la condicin nom'o, que por 74 tambin se puede expresar nm'o. 90. Teorema. Si m,n son nmeros cualesquiera, se verifica siempre uno y slo uno de los siguientes casos , , v: . m=n, n=m, es decir mo=no, . mm, es decir nom'o, v. m>n, nn', por 91,95 tambin l>n, y consiguientemente hay un nmero k que satisface la condicin l=k+n; como ste es por 138 diferente de 1 (porque si no l sera =n'), por 78 es la imagen m' de un nmero m, y consiguientemente l=m'+n, o sea que tambin (por 136) l=m+n', c.q.d.

12 Multiplicacin de los nmeros.

147. Definicin. Una vez que hemos encontrado en el anterior 11 un conjunto infinito de nuevas

representaciones de la serie numrica N en s misma, por 126 se puede emplear otra vez cada una de ellas para producir todava ms representaciones nuevas de N. Poniendo all =N y (n)=m+n=n+m, donde m es un nmero determinado, encontramos de nuevo en todos los casos I. (N)N, y ya slo queda, para determinar completamente, elegir el elemento w de N a voluntad. El caso ms sencillo es aquel en el que se pone esa eleccin en cierta conformidad con la eleccin de , poniendo w=m. Como la representacin determinada as completamente depende de este nmero m, designamos la correspondiente imagen (n) de un nmero n cualquiera mediante el smbolo mxn o m.n o mn, y llamamos a este nmero el producto formado a partir del nmero m por multiplicacin con el nmero n, o brevemente el producto de los nmeros m y n. El mismo queda completamente determinado (segn 126) mediante las condiciones II. m.1 = m, III. mn' = mn+m. 148. Teorema. m'n = mn+n. Demostracin por induccin completa (80). . El teorema es verdadero para n=1 por 147.II y 135.II. . Si el teorema vale para un nmero n, se sigue que m'n+m' = (mn+n)+m' y de ah (por 147.III, 141, 140, 136, 141, 147.III) m'n' = mn+(n+m') = mn+(m'+n) = mn+(m+n') = (mn+m)+n' = mn'+n'; por tanto el teorema vale tambin para el sucesor n', c.q.d. 149. Teorema. 1.n=n. Demostracin por induccin completa (80). . El teorema es verdadero para n=1 por 147.II. . Si el teorema es vlido para un nmero n, se sigue que 1.n+1=n+1, es decir (por 147.III, 135.II) 1.n'=n', de modo que el teorema vale tambin para el sucesor n', c.q.d. 150. Teorema. mn=nm. Demostracin por induccin completa (80). . El teorema vale para n=1 por 147.II, 149. . Si el teorema vale para un nmero n, se sigue que mn+m = nm+m, es decir (por 147.III, 148) mn'=n'm, de modo que el teorema vale tambin para el sucesor n', c.q.d. 151. Teorema. l(m+n)=lm+ln. Demostracin por induccin completa (80). . El teorema vale para n=1 por 135.II, 147.III, 147.II. . Si el teorema es vlido para un nmero n, se sigue que l(m+n)+l = (lm+ln)+l; pero por 147.III, 135.III

l(m+n)+l = l(m+n)' = l(m+n'), y por 141, 147.III (lm+ln)+l = lm+(ln+l) = lm+ln', con lo que l(m+n') = lm+ln', es decir que el teorema es vlido tambin para el sucesor n', c.q.d. 152. Teorema. (m+n)l = ml+nl. La demostracin se sigue de 151, 150. 153. Teorema. (lm)n = l(mn). Demostracin por induccin completa (80). . El teorema vale para n=1 por 147.II. . Si el teorema se cumple para un nmero n, se sigue que (lm)n+lm = l(mn)+lm, es decir (por 147.III, 151, 147.III) que (lm)n' = l(mn+m) = l(mn'), de modo que el teorema vale tambin para el sucesor n', c.q.d. 154. Nota. Si en 147 no hubiramos supuesto ninguna relacin entre w y , sino que hubiramos puesto w=k, (n)=m+n, habramos formado con ello (por 126) una representacin de la serie numrica N menos sencilla; para el nmero 1 sera (1)=k, y para cualquier otro nmero, expresable por tanto en la forma n', sera (n')=mn+k; porque as quedara satisfecha para todo nmero n la condicin (n')=(n), es decir (n')=m+(n), como se advierte facilmente empleando los teoremas precedentes.

13 Potenciacin de los nmeros.

155. Definicin. Si de nuevo se pone en el teorema 126 =N, y adems w=a, (n)=an=na, se forma una representacin de N, que satisface otra vez la condicin I. (N)N; designamos la correspondiente imagen (n) de un nmero cualquiera n mediante el smbolo an y llamamos a este nmero una potencia de la base a, mientras que a n se le llama el exponente de esta potencia de a. Este concepto queda por tanto completamente determinado mediante las condiciones II. a1=a, III. an'=a.an=an.a. 156. Teorema. am+n=am.an. Demostracin por induccin completa (80). . El teorema vale para n=1 por 135.II, 155.III, 155.II. . Si el teorema es vlido para un nmero n, se sigue que am+n.a=(am.an)a; pero por 155.III, 135.III se cumple que am+n.a = a(m+n)' = am+n', y por 153, 155.III (am.an)a = am(an.a) = am.an'; con lo

que am+n' = am.an', es decir que el teorema es vlido tambin para el sucesor n', c.q.d. 157. Teorema. (am)n=amn. Demostracin por induccin completa (80). . El teorema vale para n=1 por 155.II, 147.II. . Si el teorema es vlido para un nmero n, se sigue que (am)n.am = amn.am; pero por 155.III (am)n.am = (am)n', y por 156, 147.III amn.am = amn+m = amn'; con lo que (am)n' = amn', es decir que el teorema se cumple tambin para el sucesor n', c.q.d. 158. Teorema. (ab)n = an.bn. Demostracin por induccin completa (80). . El teorema vale para n=1 por 155.II. . Si el teorema se cumple para un nmero n, se sigue de 150, 153, 155.III que tambin (ab)n.a = a(an.bn) = (a.an)bn = an'.bn, y de aqu ((ab)n.a)b = (an'.bn)b; pero por 153, 155.III se cumple que ((ab)n.a)b = (ab)n.(ab) = (ab)n', e igualmente (an'.bn)b = an'.(bn.b) = an'.bn'; con lo que (ab)n' = an'.bn', es decir que el teorema se cumple tambin para el sucesor n', c.q.d.

14 Cardinal de un conjunto.

159. Teorema. Si es un conjunto infinito, cada uno de los conjuntos de nmeros Zn definidos en 98 es representable similarmente en (es decir, es similar a una parte de ), e inversamente. Demostracin. Si es infinito, por 72 hay ciertamente una parte T de que es simplemente infinita, o sea (por 132) que es similar a la serie numrica N, y a consecuencia de 35 cada conjunto Zn es tambin, como parte de N, similar a una parte de T, o sea a una parte de , c.q.d. La prueba de la inversa por evidente que pueda parecer es ms complicada. Si cada conjunto Zn es similarmente representable en , a cada nmero n le corresponde una representacin similar n de Zn tal que n(Zn). De la existencia de tal serie de representaciones n, que consideraremos dadas y sobre las que no haremos ninguna otra suposicin, derivamos en primer lugar con ayuda del teorema 126 la existencia de una nueva serie de representaciones n que poseen la propiedad especial de que cada vez que mn, o sea (por 100) cada vez que ZmZn, la representacin m de la parte Zm est contenida (21) en la representacin n de Zn, es decir que las representaciones m y n coinciden completamente para todos los nmeros contenidos en Zm, de modo que siempre m(m)=n(m). Para aplicar el mencionado teorema conforme a este objetivo, entendemos por aquel conjunto cuyos elementos son absolutamente todas las posibles representaciones similares de todos los conjuntos Zn en , y con ayuda de los elementos dados n, contenidos igualmente en , definimos una representacin de en s mismo de la manera siguiente. Si es un elemento cualquiera de , o sea por ejemplo una representacin similar del conjunto Zn en ,

el conjunto n'(Zn') no puede ser parte de (Zn), porque si no Zn' sera por 35 similar a una parte de Zn, o sea por 107 similar a una parte propia de s mismo, con lo que sera infinito, lo que entrara en contradiccin con el teorema 119; por tanto hay ciertamente en Zn' uno o varios nmeros p tales que n'(p) no est contenido en (Zn); de estos nmeros p elegimos siempre simplemente por establecer algo concreto el menor, k (96), y definimos, ya que Zn' es la unin (por 108) de Zn y n', una representacin de Zn' haciendo que para todos los nmeros m contenidos en Zn la imagen sea (m)=(m), y adems (n')=n'(k); ahora consideramos esta representacin de Zn en , que claramente es similar, como una imagen () de la representacin , y con ello queda completamente determinada una representacin del conjunto en s mismo. Una vez que hemos determinado las cosas y mencionadas en 126, elegimos finalmente para el elemento de designado por w la representacin dada 1; con ello se determina por 126 una representacin de la serie numrica N en que, si designamos la imagen correspondiente a un determinado nmero n no mediante (n) sino mediante n, satisface las condiciones II. 1=1, III. n'=(n). Por induccin completa (80) se deduce en primer lugar que n es una representacin similar de Zn en , dado que . esto es verdadero para n=1 a consecuencia de II, y . si esa afirmacin es adecuada para un nmero n, se sigue de III y de las caractersticas de la transformacin antes descrita de en , que la afirmacin vale tambin para su sucesor n', c.q.d. A partir de ah deducimos, igualmente por induccin completa (80) que, si m es un nmero cualquiera, la propiedad antes indicada n(m)=m(m) corresponde realmente a todos los nmeros n que son m, o sea (por 93, 74) que pertenecen a la cadena mo; de hecho . esto es inmediatamente evidente para n=m, y . si esa propiedad corresponde a un nmero n, se sigue otra vez, de III y las caractersticas de , que tambin corresponde al nmero n', c.q.d. Una vez establecida tambin esta propiedad particular de nuestra nueva serie de representaciones n, podemos demostrar facilmente nuestro teorema. Definimos una representacin de la serie numrica N haciendo corresponder a cada nmero n la imagen (n)=n(n); claramente (por 21) todas las representaciones n estn contenidas en esta representacin . Como n era una representacin de Zn en , se sigue en primer lugar que la serie numrica N queda igualmente representada por en , de modo que (N). Por otro lado, si m, n son nmeros distintos, podemos suponer por simetra (segn 90) que m