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319

7Trigonometría

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO

Actividades finalesSoluciones de las actividades

99 Razonadamente y sin cambiar de unidad, clasifica según su amplitud un ángulo de 3 rad. Después compruébalo expresándolo en grados, minutos y segundos.

Un ángulo de 3 rad, algo menor que π, es un ángulo obtuso: 3 rad =3 ⋅180

π≈ 171º 53' 14,42"

100 Expresa en radianes la amplitud de un ángulo de:

a) −60º b) −300º c) 480º d) 720º e) 600º f) 1 125º

a) −60º =−60º ⋅ π

180º= −

π3

c) 480º =480º ⋅ π180º

=8π3

e) 600º =600º ⋅ π180º

=10π

3

b) −300º =−300º ⋅ π

180º= −

5π3

d) 720º =720º ⋅ π180º

= 4π f) 1125º =1125º ⋅ π

180º=

25π4

101 Determina la amplitud de un ángulo que abarca un arco de 1,5 m de longitud en una circunferencia de 3 m de radio. Exprésalo en radianes y en grados.

Despejando de la fórmula obtenida en el ejercicio 12: amplitud (rad) =Larco

r=

1,5

3=

1

2 rad = 28º 38' 52,4"

¿Qué tienes que saber?

164 165

¿QUÉ7 tienes que saber? Actividades Finales 7

Ayúdate de la calculadora para hallar qué ángulo cumple que:

a) cos α = 0,2079 c) cos α = 0,9205

b) tg α = 0,6009 d) sen α = 0,9205

Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo

Justifica si existe algún ángulo, α, para el que:

a) sen α = 1,5

b) tg α = 2

En caso afirmativo, calcula las restantes razones trigonométricas.

Razona, sin hacer operaciones, si es posible que:

sen2α ⋅ cos2α = 2

Decide de forma razonada si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Si tg α = 3, entonces: cos α = 3 ⋅ sen αb) Existe un ángulo, α, tal que:

sen α =1

2 y cos α =

1

3

c) Si sen α = 0,4, entonces: cos α = 0,6

d) Si sen α < cos α, entonces: tg α < 1

¿Existe algún ángulo para el que sen α =2

3 y

tg α =2

5? ¿Por qué?

Calcula todas las razones trigonométricas de los ángulos que cumplen que:

a) cos α =5

3 c) sen α =

5

6

b) tg α =1

2 d) cos α =

6

3

Expresa todas las soluciones de forma exacta con fracciones y con radicales.

Averigua el valor del seno de un ángulo para el que:

cos α = tg α

Aplica las relaciones fundamentales para calcular de forma exacta todas las razones trigonométricas de un ángulo que cumple que sen α = cos α. ¿De qué ángulo se trata?

Determina todas las razones trigonométricas de 30º y

60º partiendo solo de sen 30° =1

2.

Básate en las relaciones fundamentales y en que 30° + 60° = 90°.

107

108

109

110

111

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113

114

115

Medida de ángulos

Razonadamente y sin cambiar de unidad, clasifica según su amplitud un ángulo de 3 rad. Después compruébalo expresándolo en grados, minutos y segundos.

Expresa en radianes la amplitud de un ángulo de:

a) −60º c) 480º e) 600º

b) −300º d) 720º f) 1 125º

Determina la amplitud de un ángulo que abarca un arco de 1,5 m de longitud en una circunferencia de 3 m de radio. Exprésalo en radianes y en grados.

Calcula de forma razonada el valor de los ángulos señalados en la figura.

❚ En grados

❚ En radianes

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Comprueba que los triángulos ABC y ABH son rectángulos.

A

BHC 9 m 16 m

20 m15 m12 m

Calcula las razones trigonométricas de B haciendo uso de los dos triángulos. ¿Obtienes el mismo resultado en ambos casos? ¿A qué se debe?

Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de estos triángulos rectángulos.

a) c = 7 dm, b = 4,9 dm

b) c = 2,5 cm, a = 5,9 cm

Calcula los lados que faltan en este triángulo si tg α ≈ 1,54.

Determina la longitud de los lados que faltan en los siguientes triángulos rectángulos. Aproxima con dos cifras decimales.

a) B = 62°, b = 5 dm

b) a = 10 cm, C = 37°

99

100

101

102

A

B

C

103

104

105

α

B Ac

a

C

13,4 m

106

Determina las razones trigonométricas de los ángulos agudos de este triángulo rectángulo, así como su amplitud. ¿Existe alguna relación entre α y β?

Calculamos las razones trigonométricas.

❚ Para α: sen α =5

13 cos α =

12

13 tg α =

15

12

❚ Para β: sen β =12

13 cos β =

5

13 tg β =

12

15

Con la calculadora resulta: α = arc sen5

13≈ 22° 37´ 12´´ β = arc cos

5

13≈ 67° 22´ 48´´

Los ángulos agudos del triángulo son complementarios y sus razones están relacionadas.

sen α = cos β cos α = sen β tg α =1

tg β

Razones trigonométricas de un ángulo agudoTen en cuentaRazones trigonométricas de un ángulo agudo, α:

sen α =cateto opuesto

hipotenusa

cosα =cateto adyacente

hipotenusa

tgα =cateto opuesto

cateto adyacente

La tangente de un ángulo agudo vale 1

2. Calcula el seno y el coseno.

La tangente relaciona seno y coseno: tg α =sen αcos α

→ sen αcos α

=1

2→ 2 ⋅ sen α = cos α

Sustituyendo en la relación sen2α + cos2 α = 1 resulta:

sen2 α + (2 ⋅ senα )2 = 1→ 5 ⋅ sen2 α = 1→ sen α =1

5=

5

5

Luego: cos α = 1−1

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=4

5=

2 5

5

Como el ángulo es agudo, el seno y el coseno son positivos.

Relaciones entre las razones trigonométricasTen en cuentaRelaciones fundamentales entre las razones de un ángulo

sen2α + cos2 α = 1

senαcosα

= tgα

Si sen 60° =3

2 y cos 60° =

1

2, calcula: sen 120° cos 240° tg 300°

❚ Dado que 120º pertenece al segundo cuadrante, se puede expresar como 180° − α. En este caso, α = 60°.

sen 120° = sen (180°− 60°) = sen 60° =3

2

❚ El ángulo 240º está en el tercer cuadrante y se puede expresar como 180° + α. También en este caso, α = 60°.

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −1

2

❚ Puesto que 300º pertenece al cuarto cuadrante, se expresa como −α. De nuevo, α = 60° y:

tg 300° = tg (360°− 60°) = tg (−60°) = −tg 60° = − 3

Razones trigonométricas de un ángulo cualquieraTen en cuentaÁngulos suplementarios

sen (180°−α ) = sen α

cos (180°−α ) = −cos α

tg (180°−α ) = −tg α

Ángulos que se diferencian en 180º

sen (180° + α ) = −sen α

cos (180° + α ) = −cos α

tg (180° + α ) = tg α

Ángulos opuestos

sen (−α ) = −sen α

cos (−α ) = cos α

tg (−α ) = −tg α

12 cm13 cm

15 cmα

β

Sugerencias didácticasEn esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Reconocer las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

❚❚ Aplicar las relaciones entre las razones trigonométricas.

❚❚ Extender las razones trigonométricas a un ángulo cualquiera.

❚❚ Resolver triángulos rectángulos y oblicuángulos.

7 Trigonometría

320Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO

102 Calcula de forma razonada el valor de los ángulos señalados en la figura.

❚❚ En grados

❚❚ En radianes

El ángulo C! es el ángulo central de un hexágono regular:

C! =360º

6= 60º =

π3

rad

Y A! es el ángulo interior, suma de los dos ángulos iguales del triángulo central, suplementario de C!.

A! = 180º− 60º = 120º =2π3

rad

Por otro lado: B! =120º

2= 60º =

π3

rad

103 Comprueba que los triángulos ABC y ABH son rectángulos.

Calcula las razones trigonométricas de B haciendo uso de los dos triángulos. ¿Ob-tienes el mismo resultado en ambos casos? ¿A qué se debe?

Si sus lados verifican el teorema de Pitágoras podemos afirmar que son rectángu-los. Y ambos lo son:

ABC → 152 + 202 = 9 + 16( )2 → 225 + 400 = 625

ABH → 122 + 162 = 202 → 144 + 256 = 400

Si calculamos las razones trigonométricas de B! a partir de ABC:

sen B! =15

25= 0,6 cos B! =

20

25= 0,8 tg B! =

15

20= 0,75

Y a partir de ABH: sen B! =12

20= 0,6 cos B! =

16

20= 0,8 tg B! =

12

16= 0,75

En ambos casos obtenemos el resultado porque la razón no depende del tamaño del triángulo elegido si no del valor del ángulo. Y como los triángulos son semejantes sus ángulos miden lo mismo.

104 Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de estos triángulos rectángulos.

a) c = 7 dm, b = 4,9 dm b) c = 2,5 cm, a = 5,9 cm

a) Determinamos la longitud de la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras: a = 72 + 4,92 ≈ 8,5 dm

Así las razones de sus ángulos son:

B! → sen B! =b

a≈

4,9

8,5= 0,5764... cos B! =

c

a≈

7

8,5= 0,8235... tg B! =

b

c=

4,9

7= 0,7

C! → sen C! =c

a≈

7

8,5= 0,8235... cos C! =

b

a≈

4,9

8,5= 0,5764... tg C! =

c

b=

7

4,9= 1,4285...

b) Determinamos la longitud del cateto que falta aplicando el teorema de Pitágoras: b = 5,92 − 2,52 ≈ 5,3 cm

Así las razones de sus ángulos son:

B! → sen B! =b

a≈

5,3

5,9= 0,8983... cos B! =

c

a=

2,5

5,9= 0,4237... tg B! =

b

c≈

5,3

2,5= 2,12

C! → senC! =c

a=

2,5

5,9= 0,4237... cos C! =

b

a≈

5,3

5,9= 0,8983... tg C! =

c

b= ≈

2,5

5,3= 0,4716...

105 Calcula los lados que faltan en este triángulo si tg a ≈ 1,54.

A partir de la tangente hallamos el valor de cateto c y con él, el de la hipotenusa aplicando Pitágoras.

tg α =cateto opuesto

cateto adyacente→

13,4

c= 1,54 → c ≈ 8,7 m

Hipotenusa ≈ 13,42 + 8,72 ≈ 16,0 m

A

B

C

A

BHC 9 m 16 m

20 m15 m12 m

α

B Ac

a

C

13,4 m

321

7Trigonometría


106 Determina la longitud de los lados que faltan en los siguientes triángulos rectángulos. Aproxima con dos cifras decimales.

a) B = 62°, b = 5 dm b) a = 10 cm, C = 37°

a) Podemos determinar los lados que faltan con las razones en las que está involucrado el cateto opuesto:

sen 62º =5

a→ a =

5

sen 62º≈ 5,66 dm tg 62º =

5

c→ c =

5

tg 62º≈ 2,66 dm

b) Podemos determinar los lados que faltan con las razones en las que está involucrada la hipotenusa:

sen 37º =c

10→ c = 10 ⋅ sen 37º ≈ 6,02 cm cos 37º =

b

10→ b = 10 ⋅ cos 37º ≈ 7,99 cm

107 Ayúdate de la calculadora para hallar qué ángulo cumple que:

a) cos a = 0,2079 b) tg a = 0,6009 c) cos a = 0,9205 d) sen a = 0,9205

a) arc cos 0,2079 ≈ 78º b) arc tg 0,6009 ≈ 31º c) arc cos 0,9205 ≈ 23º d) arc sen 0,9205 ≈ 67º

108 Justifica si existe algún ángulo, a, para el que:

a) sen a = 1,5 b) tg a = 2

En caso afirmativo, calcula las restantes razones trigonométricas.

a) No, el valor del seno nunca es mayor que 1.

b) Sí existe. Y sus razones son: tg α =sen αcos α

→ 2 =sen αcos α

→ sen α = 2 ⋅ cos α

sen2 α + cos2 α = 1→ 22 ⋅ cos2 α + cos2 α = 1→ 5 ⋅ cos2 α = 1→ cos α =1

5=

5

5 sen α = 2 ⋅

5

5=

2 5

5

109 Razona, sin hacer operaciones, si es posible que: sen2a ⋅ cos2a = 2

No, las dos razones son números menores que 1 y así serán también sus cuadrados. Si multiplicamos dos números menores que uno su producto no puede ser 2.

110 Decide de forma razonada si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Si tg a = 3, entonces: cos a = 3 ⋅ sen a c) Si sen a = 0,4, entonces: cos a = 0,6

b) Existe un ángulo, a, tal que: sen α =1

2 y cos α =

1

3 d) Si sen a < cos a, entonces: tg a < 1

a) Falsa. Sería al revés: tg α = 3 →sen αcos α

= 3 → sen α = 3 ⋅ cos α

b) Falsa. Se debería cumplir sen2 α + cos2 α = 1 y sin embargo: 1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

+1

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=1

4+

1

9=

13

36≠ 1

c) Falsa. sen α = 0,4 → cos α = 1− 0,42 = 0,84 ≠ 0,6

d) Verdadera. Si sen α < cos α → tg α =sen αcos α

<1, pues el numerador es menor que el denominador.

111 ¿Existe algún ángulo para el que sen α =2

3 y tg α =

2

5? ¿Por qué?

No existe un valor para el coseno menor que uno, que verifique la relación con la tangente y el seno.

tg α =sen αcos α

→2

5=

23

cos α→ cos α =

5 ⋅ 23

2=

5

3>1

112 Calcula todas las razones trigonométricas de los ángulos que cumplen que:

a) cos α =5

3 b) tg α =

1

2 c) sen α =

5

6 d) cos α =

6

3Expresa todas las soluciones de forma exacta con fracciones y con radicales.

a) sen α = 1− cos2 α = 1−5

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

2

=4

9=

2

3→ tg α =

sen αcos α

=2

3

53

=2 5

5

7 Trigonometría


b) tg α =sen αcos α

→1

2=

sen αcos α

→ 2 ⋅ sen α = cos α

sen2 α + cos2 α = 1→ sen2 α + 22 ⋅ sen2 α = 1→ 5 ⋅ sen2 α = 1→ sen α =1

5=

5

5 cos α = 2 ⋅

5

5=

2 5

5

c) cos α = 1− sen2 α = 1−5

6

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=11

36=

11

6→ tg α =

sen αcos α

=5

6

116

=5 11

11

d) sen α = 1− cos2 α = 1−6

3

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

2

=3

9=

3

3→ tg α =

sen αcos α

=3

3

63

=2

2

113 Averigua el valor del seno de un ángulo para el que: cos a = tg a

Si cos α = tg α → cos α =sen αcos α

→ cos2 α = sen α , y entonces:

sen2 α + cos2 α = 1→ sen2 α + sen α = 1→ sen2 α + sen α−1 = 0 →sen α =

−1+ 5

2

sen α =−1− 5

2<−1, no válida

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪Solo es válida la solución positiva.

114 Aplica las relaciones fundamentales para calcular de forma exacta todas las razones trigonométricas de un ángulo que cumple que sen a = cos a. ¿De qué ángulo se trata?

Si sen α = cos α : tg α =sen αcos α

=sen αsen α

= 1:

sen2 α + cos2 α = 1→ sen2 α + sen2 α = 1→ 2 ⋅ sen2 α = 1→ sen α =1

2=

2

2= cos α

Se trata del ángulo π4

= 45º .

115 Determina todas las razones trigonométricas de 30º y 60º partiendo solo de sen 30° =1

2.

Básate en las relaciones fundamentales y en que 30° + 60° = 90°.

Si sen 30° =1

2: cos 30º = 1− sen2 30º = 1−

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=3

4=

3

2→ tg 30º =

sen 30º

cos 30º=

12

32

=3

3

Como 30º y 60º son complementarios, verifican que:

sen 60º = cos 30º =3

2 cos 60º = sen 30º =1

2 tg 60º = cotg 30º =1

13

= 3

323

7Trigonometría


116 Resuelve estos triángulos rectángulos.

a)

67º

C

Ab

a

B

9 cm

b)

40º C

A

b

c

Ba = 200 m

a) A! = 90º , B! = 67º , C! = 90º− 67º = 23º tg 67º =b

c→ tg 67º =

b

9→ b = 9 ⋅ tg 67º ≈ 21,20 cm

cos 67º =

c

a→ cos 67º =

9

a→ a =

9

cos 67º≈ 23,03 cm

b) A! = 90º , C! = 40º ,B! = 90º− 40º = 50º sen 40º =c

a→ sen 40º =

c

200→ c = 200 ⋅ sen 40º ≈ 128,56 m

cos 40º =

b

a→ cos 40º =

b

200→ b = 200 ⋅ cos 40º ≈ 153,21 m

117 Halla los elementos que faltan en estos triángulos rectángulos.

a)

C

A5 cm

3 cm

B a

b)

C Ab

23,6 m

10,5 m

B

Expresa los ángulos en radianes.

a) Hallamos B! y C! a través de sus tangentes:

tg B! =b

c→ B! = arc tg

5

3= 59º 2'10,48" = 1,0304 rad tg C! =

c

b→ C! = arc tg

3

5= 30º57' 49,52" = 0,5402 rad

Y a aplicando el teorema de Pitágoras: a = 32 + 52 = 34 ≈ 5,83 cm

166 167

7 Trigonometría Actividades Finales 7

Desde donde está situado, Ramón ve una torre de 15 m de altura bajo un ángulo de 30º. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra de ella?

Esta señal indica peligro por una subida de fuerte pendiente.

Significa que, por cada 100 m que avanzamos en horizontal, la carretera presenta un desnivel de 10 m en vertical. ¿Qué ángulo forma la carretera en ese momento con la horizontal? ¿Cuántos metros hemos subido en un trayecto de 500 m?

¿Qué área tiene un decágono regular inscrito en una circunferencia de 5 dm de radio?

Blas y Raúl se han colocado en línea recta en lados opuestos de un generador eólico para medir su altura. El terreno es llano y los dos amigos están separados por 41 m. Cada uno desde su posición mide el ángulo con el que se ve el generador desde el suelo. ¿Qué altura tiene el generador?

Fátima está haciendo el esquema de un terreno que hay que reforestar y ha tomado estas medidas.

¿Se ajusta el esquema a la realidad? Halla las medidas que faltan y haz un esquema sabiendo que ha mantenido pasos constantes de 1 m aproximadamente. ¿Cuáles son el perímetro y el área?

Durante la restauración de una antigua ermita se va a sustituir un capitel deteriorado por una pieza en forma de tronco de cono de las mismas dimensiones. ¿Cuál será su volumen? Determina su peso si la densidad del granito es de 2 600 kg/m3.

139

140

141

142

143

144

Teorema del seno y teorema del coseno

Resuelve los triángulos de los que conocemos estos datos. ¿Qué resultado utilizas?

a) A = 95º, a = 9 m, c = 7,5 m

b) A = 20º, C = 60º, b = 20 cm

c) A = 25º, B = 75º, c = 16,2 dm

d) C = 56º, c = 6,3 dm, a = 4,2 dm

Determina la medida de los elementos que faltan en los triángulos cuyos elementos conocidos son los siguientes.

a) A = 37º, b = 5,4 cm, c = 6,5 cm

b) a = 23 mm, b = 41 mm, c = 32 m

c) a = 9 cm, B = 55º, c = 7 cm

Aplicaciones

Considera los siguientes triángulos y calcula.

a) Su perímetro b) Una altura c) Su área

A B

C

a

c

b =

4,5

cm

32

m 45 m

C’

B’

A’b’

95º52º

67º

Las diagonales de este paralelogramo miden 30 mm y 24 mm. ¿Qué perímetro tiene? ¿Cuál es su área?

55º

Determina el área comprendida entre un heptágono y su circunferencia circunscrita si el radio mide 10 cm.

Problemas de trigonometría

¿A qué altura sobre el suelo está trabajando el técnico?

133

134

135

136

137

138

Traza una circunferencia goniométrica de 1 dm de radio en cuaderno. Marca en ella:

a) Un ángulo cuyo seno valga 0,4.

b) Un ángulo cuyo coseno valga −0,6.

c) Un ángulo cuya tangente valga −2.

Indica en cada apartado cuántas soluciones hay y a qué cuadrantes pertenecen.

Copia y completa la tabla.

Cuadrante 3º 2º 4º 3º

sen α −6

3O O O

cos α O O1

3O

tg α O −5

2O 3

Observa la figura y expresa en radianes los ángulos que se muestran sobre la circunferencia goniométrica.

❚ Además escribe sus razones trigonométricas.

Sabiendo que cosα = −3

2, ¿cuáles son las razones

del ángulo suplementario de α?

Dos de las razones de un ángulo son:

cos α =3

4 tg α =

7

3

Averigua todas las razones del ángulo que resulta al sumarle 180º.

Averigua las razones trigonométricas del opuesto de un ángulo del segundo cuadrante cuyo seno vale 0,6.

Calcula todas las razones trigonométricas de 31º sabiendo que sen 149° ≈ 0,5150 y sin usar las teclas trigonométricas de tu calculadora.

Sabiendo que tg 165° = −2 + 3 , determina las razones trigonométricas de 195º sin utilizar las teclas de seno, coseno y tangente.

Considerando que cos 15° ≈ 0,9659, aproxima sin usar la calculadora:

a) sen 75° c) cos 345°

b) cos 165° d) cos −165°

124

125

126

•O X

1

1Y

45º

90º120º

150º

225º

300º

330º

127

128

129

130

131

132

Resolución de triángulos rectángulos

Resuelve estos triángulos rectángulos.

a) b)

67º

C

Ab

a

B

9 cm

40º C

A

b

c

Ba = 200 m

Halla los elementos que faltan en estos triángulos rectángulos.

a) b)

C

A5 cm

3 cm

B a C Ab

23,6 m

10,5 m

B

Expresa los ángulos en radianes.

Calcula los datos que faltan en este triángulo rectángulo.

C

A

B

b = 4 √3 cm—

c = 12 cm

a

Halla después la altura y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa con las razones trigonométricas de B y C . ¿Se verifica el teorema de la altura?

Calcula el radio y la apotema de un octógono regular de 32 m de perímetro.

Calcula el área de estos triángulos.

a) b)

A

B

C25 cm

10 cm

35º 9,4 dm

6,3 dm

A

B

C55º

Halla también su perímetro, si es posible.

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Expresa estos ángulos entre 0º y 360º. Indica el número de vueltas y a qué cuadrante pertenecen.

a) 420º c) 1 200º

b) −90º d) −225º

¿Qué signo tendrán sus razones trigonométricas? Hállalas con la calculadora.

¿Qué puedes decir de α si cos α = −0,8?

Indica a qué cuadrante pertenece el ángulo, α, si:

a) sen α < 0 b) cos α > 0 c) tg α < 0

116

117

118

119

120

121

122

123

7 Trigonometría


b) Hallamos B! y C! a través de sus razones trigonométricas:

sen C! =c

a→ C! = arc sen

10,5

23,6= 26º 25' 4,5" cos C! =

c

a→ C! = arc cos

10,5

23,6= 63º 34' 55,5"

Y b aplicando el teorema de Pitágoras: b = 23,62 −10,52 ≈ 21,14 m

118 Calcula los datos que faltan en este triángulo rectángulo.

Halla después la altura y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa con las razones trigonométricas de B y C . ¿Se verifica el teorema de la altura?

Hallamos B! y C! a través de sus tangentes:

tg B! =b

c→ B! = arc tg

4 3

12= 30º tg C! =

c

b→ C! = arc tg

12

4 3= 60º

Y a aplicando el teorema de Pitágoras: a = 4 3( )2 + 122 = 162 ≈ 13,86 cm

Hallamos las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, aplicando el coseno.

cos B! =m

c→ m = c ⋅ cos B! = 12 ⋅ cos 30º = 6 3 cm cos C! =

n

b→ n = b ⋅ cos C! = 4 3 ⋅ cos 60º = 2 3 cm

Y la altura con el seno de cualquiera de los dos: sen B! =h

c→ h = c ⋅ sen B! = 12 ⋅ sen 30º = 6 cm

Y verifican el teorema de la altura: h2 = m ⋅n → 62 = 6 3 ⋅2 3

119 Calcula el radio y la apotema de un octógono regular de 32 m de perímetro.

El ángulo central de un octógono regular mide: 360º

8= 45º

Cada uno de los triángulos que se forman es isósceles y los ángulos iguales miden: 180º−45º

2= 67,5º

La altura de ese triángulo lo divide en dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa es el radio y los catetos la altura y la mitad del

lado. Para este triángulo: A! = 90º , B! = 67,5º , C! = 90º− 67,5º = 22,5º y lado =32

8= 4 m → c =

4

2= 2 m

Calculamos el radio y la apotema utilizando las razones de 22,5º:

sen C! =c

a→ sen 22,5º =

2

a→ a =

2

sen 22,5º≈ 5,23 cm es la medida del radio

tg C! =c

b→ tg 22,5º =

2

b→ b =

2

tg 22,5º≈ 4,83 cm es la medida de la apotema

120 Calcula el área de estos triángulos.

a)

A

B

C25 cm

10 cm

35º

b)

9,4 dm

6,3 dm

A

B

C55º

Halla también su perímetro, si es posible.

a) Calculamos la altura con el seno de 35º: sen A! =h

c→ h = c ⋅ sen A! = 10 ⋅ sen 35º = 5,74 cm

Y con ella el área: A =b ⋅h

2≈

25 ⋅5,74

2= 71,75 cm2

Aplicando el teorema del coseno: a = 17,76 cm. Luego, el perímetro es: 10 + 25 + 17,76 = 52,76 cm

b) Calculamos la altura con el seno de 55º: sen C! =h

a→ h = a ⋅ sen C! = 6,3 ⋅ sen 55º ≈ 5,16 dm

Y con ella el área: A =b ⋅h

2≈

9,4 ⋅5,16

2≈ 24,25 dm2

Aplicando el teorema del coseno: c = 7,75 dm. Luego, el perímetro es: 7,75 + 6,3 + 9,4 = 23,45 dm

C

A

B

b = 4 √3 cm—

c = 12 cm

a

325

7Trigonometría


121 Expresa estos ángulos entre 0º y 360º. Indica el número de vueltas y a qué cuadrante pertenecen.

a) 420º b) −90º c) 1 200º d) −225º

¿Qué signo tendrán sus razones trigonométricas? Hállalas con la calculadora.

a) 420º = 1⋅360º +60º→ Primer cuadrante

sen 420º = sen 60º =3

2 cos 420º = cos 60º =

1

2 tg 420º = tg 60º = 3

b) −90º→ 360º− 90º = 270º→ Entre el tercer y el cuarto cuadrante

sen −90º( ) = sen 270º = −1 cos −90º( ) = cos 270º = 0 tg −90º( ) = tg 270º = ∃

c) 1200º = 3 ⋅360º +120º→ Segundo cuadrante

sen 1200º = sen 120º =3

2 cos 1200º = cos 120º = −

1

2 tg 1200º = tg 120º = − 3

d) −225º→ 360º−225º = 135º→ Segundo cuadrante

sen (−225º )º = sen 135º =2

2 cos (−225º ) = cos 135º =

− 2

2 tg (−225º ) = tg 135º = −1

122 ¿Qué puedes decir de a si cos a = −0,8?

El ángulo pertenece al segundo o tercer cuadrante.

123 Indica a qué cuadrante pertenece el ángulo, a, si:

a) sen a < 0 b) cos a > 0 c) tg a < 0

a) El ángulo pertenece al tercer o cuarto cuadrante.

b) El ángulo pertence al primer o cuarto cuadrante.

c) El ángulo pertenece al segundo o cuarto cuadrante.

124 Traza una circunferencia goniométrica de 1 dm de radio en tu cuaderno. Marca en ella:

a) Un ángulo cuyo seno valga 0,4.

b) Un ángulo cuyo coseno valga −0,6.

c) Un ángulo cuya tangente valga −2.

Indica en cada apartado cuántas soluciones hay y a qué cuadrantes pertenecen.

En todos los apartados hay dos soluciones.

a) Primero y segundo b) Segundo y tercero c) Segundo y cuarto

125 Copia y completa la tabla.

Cuadrante 3º 2º 4º 3º

sen a −6

3

5 29

29−

2 2

3−

3

2

cos a −3

3−

2 29

29

1

3−

1

2

tg a 2 −5

2 −2 2 3

7 Trigonometría


126 Observa la figura y expresa en radianes los ángulos que se muestran sobre la circunferencia go-niométrica.

❚❚❚Además escribe sus razones trigonométricas.

(º) 45º 90º 120º 150º 225º 300º 330º

radπ4

π2

2π3

5π6

5π4

5π3

11π6

sen a 2

21 3

2

1

2−

2

2−

3

2−

1

2

cos a 2

20 −

1

2−

3

2−

2

2

1

23

2

tg a 1 ∃ − 3 −3

31 − 3 −

3

3

127 Sabiendo que cosα = −3

2, ¿cuáles son las razones del ángulo suplementario de a?

Determinamos primero las razones de a sabiendo que si su coseno es negativo y tiene suplementario, pertenece al segundo cuadrante.

Aplicando las relaciones fundamentales de la trigonometría:

sen α = 1− cos2 α = 1− −3

2

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

2

=1

2→ tg α =

sen αcos α

=12

− 32

= −3

3

Y entonces las razones del suplementario son:

sen 180º−α( ) = senα =1

2 cos 180º−α( ) = −cos α = −

3

2 tg 180º−α( ) = −tg α = −

3

3

128 Dos de las razones de un ángulo son: cos α =3

4 tg α =

7

3Averigua todas las razones del ángulo que resulta al sumarle 180º.

Si el coseno y la tangente son positivos el ángulo α pertenece al primer cuadrante. Determinamos primero el seno aplicando la

relación: tg α =sen αcos α

→7

3=

sen α3

4

→7

4= sen α

Y entonces las razones del obtenido tras sumar 180º son:

sen 180º + α( ) = −senα = −7

4 cos 180º + α( ) = −cos α = −

3

4 tg 180º + α( ) = tg α =

7

3

129 Averigua las razones trigonométricas del opuesto de un ángulo del segundo cuadrante cuyo seno vale 0,6.

Aplicando las relaciones fundamentales de la trigonometría y teniendo en cuenta que a pertenece al segundo cuadrante:

cos α = − 1− sen2 α = − 1− 0,62 = −0,8 → tg α =sen αcos α

=0,6

−0,8= −0,75

Y entonces las razones de su opuesto son:

sen (−α ) = −sen α = −0,6 cos (−α ) = cos α = −0,8 tg (−α ) = −tg α = 0,75

130 Calcula todas las razones trigonométricas de 31º sabiendo que sen 149° ≈ 0,5150 y sin usar las teclas trigonométricas de tu calculadora.

Como 31º = 180º−149º aplicamos la relación entre las razones de un ángulo y su suplementario.

Determinamos primero las razones de 149º sabiendo que pertenece al segundo cuadrante. Aplicando las relaciones fundamen-tales de la trigonometría:

cos 149º = − 1− sen2 149º = − 1− 0,51502 ≈ −0,8572 → tg 149º =sen 149º

cos 149º=

0,5150

−0,8572≈ −0,6008

Y entonces las razones del suplementario son:

sen 31º = sen 149º ≈ 0,5150 cos 31º = −cos 149º ≈ 0,8572 tg 31º = −tg 149º ≈ 0,6008

•O X

1

1Y

45º

90º120º

150º

225º

300º

330º

327

7Trigonometría


131 Sabiendo que tg 165° = −2 + 3 , determina las razones trigonométricas de 195º sin utilizar las teclas de seno, coseno y tan-gente.

Como 195º = −165º aplicamos las razones de un ángulo y su opuesto. Hallamos primero las razones de 165º sabiendo que pertenece al segundo cuadrante. Aplicando las relaciones fundamentales de la trigonometría:

tg α =sen αcos α

→ −2 + 3 =sen αcos α

→sen αcos α

≈ −0,2679 → sen α = −0,2679 ⋅ cos α

sen2 α + cos2 α = 1→ −0,2679( )2 ⋅ cos2 α + cos2 α = 1→ 1,0718 ⋅ cos2 α = 1 cos α ≈ −1

1,0718≈ −0,9659

Y, por tanto: sen α ≈ −0,2679 ⋅ (−0,9659) ≈ 0,2588Y entonces las razones de su opuesto son:

sen (−α ) = −sen α ≈ −0,2500 cos (−α ) = cos α ≈ −0,9659 tg(−α ) = −tg α = 2− 3

132 Considerando que cos 15° ≈ 0,9659, aproxima sin usar la calculadora:

a) sen 75° b) cos 165° c) cos 345° d) cos −165°

a) sen 75° = sen 90º−15º( ) = sen 15º ≈ 0,2589

b) cos 165° = cos 180°−15º( ) = −cos 15º ≈ −0,9659

c) cos 345º = cos −15º( ) = cos 15º ≈ 0,9659

d) cos −165º( ) = cos 195º( ) = cos 180º + 15º( ) = −cos 15º( ) ≈ −0,9659

133 Resuelve los triángulos de los que conocemos estos datos. ¿Qué resultado utilizas?

a) A = 95º, a = 9 m, c = 7,5 m c) A = 25º, B = 75º, c = 16,2 dm

b) A = 20º, C = 60º, b = 20 cm d) C = 56º, c = 6,3 dm, a = 4,2 dm

Todos estos triángulos se resuelven utilizando el teorema del seno.

a) sen 95º

9=

sen B!

b=

sen C!

7,5→ C! = arc sen

7,5 ⋅ sen 95º

9≈ 56º 6' 55"

B! = 180º− 95º +56º 6' 55"( ) = 28º 53' 5" → b =9 ⋅ sen 28º 53' 5"( )

sen 95º≈ 4,36 m

b) B! = 180º− 20º + 60º( ) = 100º→sen 20º

a=

sen 100º

20=

sen 60º

c→ a ≈ 6,95 cm

c ≈ 17,59 cm

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) C! = 180º− 25º + 75º( ) = 80º→sen 25º

a=

sen 75º

b=

sen 80º

16,2→ a ≈ 6,95 dm

b ≈ 15,89 dm

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

d) sen A!

4,2=

sen B!

b=

sen 56º

6,3→ A! = arc sen

4,2 ⋅ sen 56º

6,3≈ 33º 33' 7"

B! = 180º− 56º + 33º 33' 7"( ) = 90º 26' 53" → b =6,3 ⋅ sen 90º 26' 53"( )

sen 56º≈ 7,60 dm

134 Determina la medida de los elementos que faltan en los triángulos cuyos elementos conocidos son los siguientes.

a) A = 37º, b = 5,4 cm, c = 6,5 cm

b) a = 23 mm, b = 41 mm, c = 32 mm

c) a = 9 cm, B = 55º, c = 7 cm

a) a = 5,42 + 6,52 − 2 ⋅5,4 ⋅6,5 ⋅ cos 37º ≈ 3,92 cm

sen 37º

3,9=

sen B!

5,4=

sen C!

6,5→ B! = arc sen

5,4 ⋅ sen 37º

3,9≈ 56º 26' 15"

C! = 180º− 37º + 56º 26' 15"( ) = 86º 33' 45"

b) A! = arc cos412 + 322 − 232

2 ⋅ 41⋅32

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟≈ 33º 58' 35"

C! = 180º− A! + B!( ) = 51º 2' 6"

B! = arc cos232 + 322 − 412

2 ⋅23 ⋅32

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟≈ 94º 59' 19"

7 Trigonometría


c) b = 92 + 72 − 2 ⋅9 ⋅7 ⋅ cos 55º ≈ 7,6 cm

sen A!

9=

sen 55º

7,6=

sen C!

7→ A! = arc sen

9 ⋅ sen 55º

7,6≈ 75º 56' 30"

C! = 180º− 55º + 75º 56' 30"( ) = 49º 3' 30"

135 Considera los siguientes triángulos y calcula.

A B

C

a

cb

= 4,

5 cm

32

m 45 m

C’

B’

A’b’

95º52º

67º

a) Su perímetro b) Una altura c) Su área

❚ Determinamos a y b con el teorema del seno:

B! = 180º− 52º + 67º( ) = 61º→sen 52º

a=

sen 61º

4,5=

sen 67º

c→ a ≈ 4,05 cm

c ≈ 4,74 cm

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Así el perímetro es: P = 4,05 + 4,5 + 4,74 = 13,29 cm

La altura sobre c es: sen A! =hc

b→ sen 52º =

hc

4,5→ hc = 4,5 ⋅ sen 52º ≈ 3,55 cm

Y el área: A =c ⋅hc

2=

4,74 ⋅3,55

2≈ 8,41 cm2

❚ Determinamos b’ con el teorema del coseno: b' = 322 + 452 − 2 ⋅32 ⋅ 45 ⋅ cos 95º ≈ 57,45 m

Así el perímetro es: P = 32 + 57,45 + 45 = 134,45 m

La altura sobre a’ es: sen B'! =ha'

c'→ sen 95º =

ha'

32→ ha' = 32 ⋅ sen 95º ≈ 31,88 m

Y el área: A =a' ⋅ha'

2=

32 ⋅31,88

2≈ 510,08 m2

136 Las diagonales de este paralelogramo miden 30 mm y 24 mm. ¿Qué perímetro tiene? ¿Cuál es su área?

Los ángulos centrales miden: 55º y 180º− 55º = 125º

Hallamos la longitud de sus lados aplicando el teorema del coseno a los triángulos OAB y OBC que forman las diagonales sabiendo que estas se cortan por su punto medio:

Lado mayor: AB = 152 + 122 − 2 ⋅15 ⋅12 ⋅ cos 125º ≈ 23,99 mm

Lado menor: BC = 152 + 122 − 2 ⋅15 ⋅12 ⋅ cos 55º ≈ 12,75 mm

Luego el perímetro: P ≈ 2 ⋅ (23,99 + 12,75) = 73,48 mm

Para determinar el área hallamos el ángulo en A con el teorema del coseno:

B! = arc cos23,992 + 12,752 − 242

2 ⋅23,99 ⋅12,75

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ≈ 74,6º

Así la altura sobre el lado AB es: sen B! =hAB

BC→ sen 74º 38' 9"( ) =

ha12,75

→ ha = 12,75 ⋅ sen 74º 38' 9"( ) ≈ 12,29 mm

Y el área: A = AB ⋅hAB = 23,99 ⋅12,29 ≈ 294,84 mm2

137 Determina el área comprendida entre un heptágono y su circunferencia circunscrita si el radio mide 10 cm.

Necesitamos conocer la longitud del lado y la apotema. Los triángulos isósceles que se forman al trazar los radios tienen ángu-

los: A! =360º

7≈ 51,4º y B! = C! =

180º−A!

2=

450

7≈ 64,3º y lados iguales b = c = 10 cm

125º55º

A B

O

CD

AB = 23,99 mmBC = 12,75 mm

OB = 15 mmOC = 12 mm

329

7Trigonometría


Determinamos el lado a con el teorema del seno:

sen A!

a=

sen B!

b=

sen C!

c→

sen 51,4º

a=

sen 64,3º

10→ a =

10 ⋅ sen 51,4º

sen 64,3º≈ 8,67 cm

Y la altura sobre a: sen B! =ha

c→ sen 64,3º =

ha

10→ ha = 10 ⋅ sen 64,3º ≈ 9,01 cm

La diferencia entre las áreas es: A = π ⋅ r 2 −P ⋅a

2≈ π ⋅102 −

7 ⋅8,67 ⋅9,01

2≈ 40,75 cm2

138 ¿A qué altura sobre el suelo está trabajando el técnico?

La escalera forma con el suelo y el edificio un triángulo rectángulo. La altura y la distancia entre el edificio y el pie de la escalera son los catetos. Podemos determinar la altura utilizando la tangente de 60º:

tg 60º =h

1,5→ h = 1,5 ⋅ tg 60º = 1,5 ⋅ 3 ≈ 2,60 m

El técnico trabaja a unos 2,60 m de altura.

139 Desde donde está situado, Ramón ve una torre de 15 m de altura bajo un ángulo de 30º. ¿A qué distancia en línea recta se encuentra de ella?

La torre forma con el suelo y la visual un triángulo rectángulo. La altura de la torre y la distancia a la que se encuentra Ramón son los catetos. Podemos determinar la altura utilizando la tangente de 30º.

tg 30º =15

d→ d =

15

tg 30º=

15

33

≈ 25,98 m

Ramón se encuentra a unos 26 m de la torre.

140 Esta señal indica peligro por una subida de fuerte pendiente.

Significa que, por cada 100 m que avanzamos en horizontal, la carretera presenta un desnivel de 10 m en vertical. ¿Qué ángulo forma la carretera en ese momento con la horizontal? ¿Cuántos metros hemos subido en un trayecto de 500 m?

El desplazamiento en vertical y en horizontal son los catetos de un triángulo rectángulo y determinan el valor de la tangente de ese ángulo.

tg α =10

100→ α = arc tg

1

10≈ 5º 42' 38,14"

Si el trayecto es de 500 metros habrá subido 50 metros pues los triángulos son semejantes.

141 ¿Qué área tiene un decágono regular inscrito en una circunferencia de 5 dm de radio?

El ángulo central de un decágono regular mide: 360º

10= 36º

Cada uno de los triángulos que se forman es isósceles y los ángulos iguales miden: 180º−36º

2= 72º

La altura lo divide en dos triángulos rectángulos de hipotenusa, el radio y catetos: la altura y la mitad del lado. En este triángulo: A! = 90º , B! = 72º , C! = 90º−72º = 18º y la hipotenusa es igual al radio, a = 5 dm .

Calculamos la apotema y el lado utilizando las razones de 18º:

sen C! =c

a→ sen 18º =

c

5→ c = 5 ⋅ sen 18º ≈ 1,55 dm es la mitad del lado → l = 2 ⋅1,55 = 3,10 dm

cos C! =b

a→ cos 18º =

b

5→ b = 5 ⋅ cos 18º ≈ 4,76 dm es la medida de la apotema

De ahí, el área es: A =P ⋅a

2≈

10 ⋅3,10 ⋅ 4,76

2= 73,78 dm2

7 Trigonometría


142 Blas y Raúl se han colocado en línea recta en lados opuestos de un generador eólico para medir su altura. El terreno es llano y los dos amigos están separados por 41 m. Cada uno desde su posición mide el ángulo con el que se ve el generador desde el suelo. ¿Qué altura tiene el generador?

A partir de los triángulos que forman el generador con el suelo y las distintas posiciones en las que se encuentran Blas y Raúl podemos relacionar la altura del generador con las distancias utilizando las tan-gentes:

tg 60º =h

41− d

tg 45º =h

d

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→ tg 60º ⋅(41− d ) = h

tg 45º ⋅d = h

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Igualación⎯ →⎯⎯⎯ tg 60º ⋅ (41− d ) = tg 45º ⋅d → d =41⋅ tg 60º

tg 45º + tg 60º≈ 26 m

Sustituyendo: h = d ⋅ tg 45º = 26 ⋅ tg 45º ≈ 26 m

Como la altura de ellos es muy pequeña podemos considerar que la altura del generador es de 26 m.

143 Fátima está haciendo el esquema de un terreno que hay que refores-tar y ha tomado estas medidas.

¿Se ajusta el esquema a la realidad? Halla las medidas que faltan y haz un esquema sabiendo que ha mantenido pasos constantes de 1 m aproximadamente. ¿Cuáles son el perímetro y el área?

El esquema está desproporcionado. En el dibujo ha trazado los lados prácticamente iguales.

Si los pasos son de 1 m aproximadamente, aplicando el teorema del coseno, el lado que falta mide:

c = 502 + 802 − 2 ⋅50 ⋅80 ⋅ cos 70º ≈ 78,51 m → P = 50 + 80 + 78,51 = 208,51 m

La altura sobre el lado de 80 m sería: sen C! =ha

b→ sen 70º =

ha

50→ ha = 50 ⋅ sen 70º ≈ 46,98 m

Y el área: A =a ⋅ha

2≈

80 ⋅ 46,98

2= 1879,38 m2

El perímetro del terreno es de, aproximadamente, 209 m y el área de unos 1 879 m2.

144 Durante la restauración de una antigua ermita se va a sustituir un capitel deteriorado por una pieza en forma de tronco de cono de las mismas dimensiones. ¿Cuál será su volumen? Determina su peso si la densidad del granito es de 2 600 kg/m3.

Aplicamos semejanza para conocer la altura del cono mayor y menor:

h

r=

H

R→

h

30=

h + 30

40→ 40h = 30h + 900 → h = 90 cm → H = 120 cm

Así el volumen es:

V = V1 −V2 =π ⋅ R2 ⋅H

3−

π ⋅ r2 ⋅h

3≈π ⋅ 402 ⋅120− 302 ⋅90( )

3≈ 116238,93 cm3 ≈ 0,116 m3

Y el peso: 2600 ⋅0,116 = 301,6 kgPesa unos 300 kg.

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