Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A....

33
Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 1 Quantum Mechanics Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 2 Model Bohr untuk atom sepertinya berada pada trek yang benar, tapi …. hanya berlaku untuk atom dengan satu elektron saja… tidak berlaku untuk helium… tidak memperhitungkan intensitas garis spektrum… tidak memperhitungkan interaksi antar atom… dan tidak menjelaskan “stationary states.” Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 3 5.1 Quantum Mechanics Pada mekanika Newton, jika anda tahu posisi dan momentum partikel, bersama dgn seluruh gaya yg bekerja padanya, anda dapat memprediksi perilakunya setiap saat. Tapi kita telah melihat bahwa karena partikel memiliki sifat sebagai gelombang, kita hanya dapat mengukur pendekatan/ perkiraan dimana partikel berada dan mau kemana partikel bergerak. Kita hanya dapat memprediksi probabilitas keberadaanya dikemudian. Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 4 Mekanika quantum adalah cara mengekspresikan hukum konservatif mekanika klasik sehingga mencakup dualitas wave -particle yang telah kita pelajari. Mekanika quantum mengambil hukum fundamental dari fisika klasik dan memasukan sifat gelombang dari benda (matter). simbol yang kita gunakan untuk fungsi gelombang adalah Ψ (“si”), yang termasuk time dependence, atau ψ, yang hanya tergantung pada spatial koordinat. Dengan kata lain, Ψ = Ψ(xyzt) and ψ = ψ(xyz).

Transcript of Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A....

Page 1: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

1

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 1

Quantum Mechanics

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 2

Model Bohr untuk atom sepertinya berada pada trek yang benar, tapi ….

hanya berlaku untuk atom dengan satu elektron saja…tidak berlaku untuk helium…tidak memperhitungkan intensitas garis spektrum…

tidak memperhitungkan interaksi antar atom…dan tidak menjelaskan “stationary states.”

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 3

5.1 Quantum Mechanics

Pada mekanika Newton, jika anda tahu posisi dan momentum partikel, bersama dgn seluruh gaya yg bekerja padanya, andadapat memprediksi perilakunya setiap saat.

Tapi kita telah melihat bahwa karena partikel memiliki sifatsebagai gelombang, kita hanya dapat mengukur pendekatan/ perkiraan dimana partikel berada dan mau kemana partikelbergerak. Kita hanya dapat memprediksi probabilitaskeberadaanya dikemudian.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 4

Mekanika quantum adalah cara mengekspresikan hukumkonservatif mekanika klasik sehingga mencakup dualitaswave-particle yang telah kita pelajari.

Mekanika quantum mengambil hukum fundamental dari fisikaklasik dan memasukan sifat gelombang dari benda (matter).

simbol yang kita gunakan untuk fungsi gelombang adalah Ψ(“si”), yang termasuk time dependence, atau ψ, yang hanyatergantung pada spatial koordinat.

Dengan kata lain, Ψ = Ψ(xyzt) and ψ = ψ(xyz).

Page 2: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

2

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5

Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap fungsigelombang Ψ, walaupun Ψ itu sendiri tidak memilikiinterpretasi fisis. Magnitude absolute Ψ∗Ψ yang dievaluasi pada saat dan tempattertentu akan menceritakan kepada kita probabilitas untukmenemukan sistem yang direpresentasikan dengan Ψ padastate (xyzt). Jika sistem yang dijelaskan dengan Ψ eksis,maka

*

-

dV = 1 .∞

Ψ Ψ∫

Yaitu, system eksis dlm beberapa state pd seluru waktu. Fungsi gelombang seperti ini dinormalisasi.

Fungsi gelombang harus “well-behaved”: Ψ dan turunannyahrs kontinyu dan bernilai tunggal dimana saja, dan Ψ harusdapat dinormalisasi.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 6

Ψ dapat merepresentasikan partikel tunggal atau seluruhsistem. Mari kita gunakan kata “partikel” untuk sementar.

Pada satu dimensi, probabilitas untuk menemukan particle yang direpresentasikan oleh Ψ antara x1 dan x2 adalah

2

1

x *

xdx .Ψ Ψ∫

Mari kita gunakan contoh. Misalkan Ψ(x,t) = Ax, dimana A adalah konstanta.

Ψ tdk tergantung waktu; shg kitadapat menulisnya hanya sebagaiΨ(x) [or ψ(x)].

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 7

Apakah Ψ “well-behaved?” Ψ dan turunannya adalah single-value dan continuous, tapi tidak bisa dinormalisasi karenaintegral dari Ψ*Ψ “blows” up:

Ψ Ψ*Ψ.

Warna merah menyatakannilai integral. Apa yang akankita peroleh jika -∞ < x < ∞?

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 8

Akan tetapi, jika kita batasi partikelini didalam “box,” maka Ψ dapatdinormalisasi. Shg untuk contohfungsi gelombang kita, kita akangunakan Ψ(x) = Ax, for 0 ≤ x ≤ 1, dan Ψ(x) = 0 dilainnya, dimana A adalah konstata yang harusditentukan.Step pertama selalu normalisasi Ψ (kecuali jika, Ψ sudahdinormalisasi).*

Jika Ψ memiliki beberapa “unknown constant,” sepertiA (contoh diatas), kita harus normalisasi!

*Failure to normalize is the first common mistake.

Page 3: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

3

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 9

Untuk menormalisasi, integralkan :

*1 = dV .∞

−∞

Ψ Ψ∫

Ψ = 0 untuk x < 0 dan x > 1, shg integral menjadi

( ) ( )1 *

01 = Ax Ax dx ∫ *Failure to use appropriate

limits of integration is the second common mistake.

( )1 2

01 = Ax dx ∫

132

0

x1 = A

3

3 32 1 0

1 = A - 3 3

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 10

2A1 =

3 A = 3 .

Kita telah menormalisasi Ψ: (x) = 3 x for 0 x 1 .Ψ ≤ ≤

Tunggu dulu, kita telah sebutkan bahwa Ψ artinya ada t (waktu) di fungsigelombang, dan ψ artinya tdk ada t (waktu) di fungsi gelombang. Dimana t (waktu)?

Kita dapat menambahkan :

(x,t) = 3 x for 0 x 1 and all t .Ψ ≤ ≤

That was a lot of work for a stupid little linear function. What good is this?

Good question! Answer: now that we know ψ, in principle we “know” (i.e., can calculate) everything knowable about the particle represented by ψ. That’s quite a powerful statement!

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 11

OK, berikan kami contoh dari sesuatu yang dapat kita hitung!

Hitung probabilitas dimana pengukuran dapat menemukanpartikel yg direpresentasikan dengan ψ antara x = 0 dan x = 0.5.

2

1

x *1 2 x

P(x x x ) = dx≤ ≤ Ψ Ψ∫1/2 *

0

1P(0 x ) = ψ ψ dx

2≤ ≤ ∫

( )( )1/2

0

1P(0 x ) = 3 x 3 x dx

2≤ ≤ ∫

1/2 2

0

1P(0 x ) = 3 x dx

2≤ ≤ ∫

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 12

1/23

0

1 xP(0 x ) = 3

2 3≤ ≤

331 1

P(0 x ) = -02 2

≤ ≤

1 1P(0 x ) = .

2 8≤ ≤

Apakah hasil ini memberikan sense?* Bagaimanamengeceknya?

*Failure to check that the result makes sense is the third common mistake.

Page 4: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

4

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 13

Dibawah ini adalah plot fungsi gelombang. Tetapi ingat, kitatidak mengukur fungsi gelombang. Yang kita ukur adalahsebanding dengan besaran fungsi gelombang dikuadratkan.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 14

Dibawah ini adalah plot dari kerapatan probabilitas (besarfungsi gelombang kuadrat).

Kita tidak dapat mengatakan probabilitas particle ada di x = 0.5 (Heisenberg), tapi kita dapat mengatakan probabilitasbahwa particle dapat ditemukan didalam area dx berpusatpada x = 0.5.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 15

Daerah merah menyatakanprobabilitas particle dapatditemukan pada 0 ≤ x ≤ 0.5.

Daerah biru merepresentasikanprobabilitas particle dapatditemukan diantara 0.5 ≤ x ≤ 1.0.

Sepertinya daerah merah 1/8 dari total area; daerah birusekitar 7 kali lebih besar dibanding daerah merah?

Kita peroleh P(0 ≤ x ≤ 0.5) = 1/8. Apa yg akan kita perolehjika kita hitung P(0.5 ≤ x ≤ 1.0)?

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 16

Kita telah mengakui dalam beberapa bab bahwa partikelmempunyai sifat gelombang, dan kita sudah melihat beberapacontoh dari percobaan yang mendukung klaim ini.

5.2 The Wave Equation

Secepatnya, kita harus menghadapi tantangan, dan sampaipada beberapa teori matematika yg serius untuk mendukungklaim ini.

Jika partikel mempunyai sifat gelombang dan dapat dijelaskanoleh suatu fungsi gelombang, harus ada suatu persamaangelombang untuk partikel. kita harus menemukan fungsi ini.

Mari kita meninjau ulang persamaan gelombang

Page 5: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

5

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 17

Ini adalah bentuk umum dari persamaan gelombang :

.2 2

2 2 2

y 1 y =

x v t∂ ∂∂ ∂

Solusi y(x,t) adalah suatu gelombang yang menjalar dengankecepatan v melalui ruang (satu dimensi) dan waktu. (Persamaan 1-dimensional diatas dapat dengan mudahdigeneralisasi untuk 3 dimensi.)

What are these things?

∠ merepresentasikan turunan parsial. jika F adalah fungsi dari(xyz), maka jika kita lakukan ∠F/∠x, kita menganggap y dan z adalah konstant :

2 2 2FIf F(xyz) = 9xy + x yz , then = 9y + 2xyz .

x∂∂

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 18

Solusi persamaan gelombang mempunyai bentuk

xy = F t ± .

v

Tanda - menyatakan gelombang yang yang menjalar ke arahx+, dan tanda + menyatakan gelombang yang yang menjalarke arah x-

Bentu fungsi yang equivalent adalah y = F( kx ± ωt ) .

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 19

Suatu contoh solusi persamaan gelombang adalah gelombangyang setara dengan partikel bebas:

(Partikel bebas adalah partikel yang tidak dipengaruhi olehgaya-luar, termasuk yang menimbulkan suatu potensial.)

j ( kx - ωt )y = A e = A cos ( kx - ωt ) + j A sin ( kx - ωt ) .

Jika kita mengambil bagian riil dari y, kita mempunyaipergerakan gelombang dalam suatu dawai diregangkan. (Persamaan di buku Beiser's sedikit berbeda tapi equivalen)

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 20

Pada bagian ini kita baru menuliskan suatu bentuk persamaangelombang yang diperbaiki. Kita mengingatkan diri kita bahwajika objek dinyatakan sbg gelombang, fungsi gelombangnyaharus memenuhi bentuk beberapa persamaan gelombang.

Pada bagian ini kita akan memperkenalkan persamaanSchrödinger, yang anda dapat pikirkan sebagai sebagaipernyataan mekanika kuantum untuk kekekalan energi, danmungkin merupakan persamaan mekanika kwantum yang paling utama.

5.3 Persamaan Schrödinger: Bentuk Time-Dependent

Mari kita turunkan persamaan Schrödinger.

“Where did we get that from? It's not possible to derive it from anything you know. It came out of the mind of Schrödinger.”—Richard Feynman

Page 6: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

6

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 21

Kita mulai dengan conservasi energi:

Dimana potential U merepresentasikan pengaruh alam padapartikel (atau system) yang kita pelajari.

U dapat merepresentasikan pengaruh applied electric fields, charged partikels, gravity, springs, etc.

2pE = K + U = + U ,2m

Misalkan partikel (or system) direpresentasikan dengan fungsigelombang Ψ(x,t).

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 22

j (kx - ωt) (j/ ) (Px - Et)(x, t) = A e = A e .Ψ h

21E = P + U(x, t) .

2m

Kalikan persamaan konservasi energi dengan Ψ(x,t) :

Jika ini harus merupakan persamaan gelombang, maka hrs memiliki solusi

(x, t) (x,t) (x,t) Ψ Ψ Ψ

Bagian kedua persamaan diatas datang dari E = ħω and P = ħk.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 23

j (kx - ωt) (j/ ) (Px - Et)(x,t) = A e = A e .Ψ h

(j/ ) (Px - Et) (j/ ) (Px - Et)jPA e = A e

x∂ ∂

h h

h

22 2(j/ ) (Px - Et) (j/ ) (Px - Et)

2 2

jP PA e = A e = - (x,t) .

x∂ Ψ ∂

h h

h h

Sekarang, perhatikan ∂2Ψ/∂x2

Hasilnya adalah -P2Ψ/ ħ2 :

Ψ Ψ

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 24

Selesaikan untuk P2Ψ/2m, kita peroleh

2 2

2 2

P= - (xt) .

x∂ Ψ

Ψ∂ h

2 2 2

2

P= - .

2m 2m xΨ ∂ Ψ

∂h

Page 7: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

7

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 25

(j/ ) (Px - Et) (j/ ) (Px - Et)-jEA e = A e

t∂ ∂

h h

h

[ ] [ ]-jE =

t∂

Ψ Ψ∂ h

(j/ ) (Px - Et)(x,t) = A e Ψ h

Sekali lagi, ambil bentuk ∂Ψ/∂t.

Hasilnya adalah –jEΨ / ħ:

Ingat bahwa

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 26

Selesaikan untuk EΨ,

Masukan apa yg sudah kita peroleh EΨ dan P2Ψ/2m kedalampersamaan konservasi energi maka akan diperoleh

Ini adalah bentuk satu-dimensi time-dependent persamaanSchrödinger; ini akan mudah untuk mengeneralisasi untuk 3 dimensions.

E = j .t

∂ΨΨ

∂h

2 2

2j = - + U .t 2m x

∂Ψ ∂ ΨΨ

∂ ∂h

h

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 27

Telah memperdaya kita, karena p betul-betul merepresentasi-kan operator ∂/∂x (ingat, dlm mekanika Newton momentum berhubungan dgn velocity, yg merupakan turunan pertamadari posisi) dan E merepresentasikan operator ∂/∂t.

21E (x,t) = (x,t) + U(x,t) (x, t) p

2mΨ Ψ Ψ

Persamaan kita yg original :

Kita telah “justified” pers. Schrödinger, tapi belummenurunkannya

Persamaan konservasi energi kita yg simple merupakanpersamaan differential linear.

Tidak masalah – kita tidak pernah menurunkan hkmNewton. Namun kita membenarkannya, menunjukan hal itubekerja, dan menggunakannya. Kita percaya karena hkm itumenjelaskan kenyataan.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 28

Hal yang sama berlaku untuk persamaan Schrödinger. Yang mendalilkan prinsip pertama, persamaan ini lahir karenapengamatan atas kenyataan fisik, dan dipercaya karena suksesmenjelaskan alam semesta.

Dengan kata lain, “we believe it because it works.”* 2 2

2

Ψj = - + U .

t 2m x∂ ∂ Ψ

Ψ∂ ∂

hh

Pers. Schrödinger merupakan pers. differential linier dari fungsigelombang Ψ. Potential U(x,t), bisa 0 atau merupakan konstanta, atau dapatjuga berupa operator yang komplek. U(x,t) merepresentasikaneffek alam pada partikel.

Page 8: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

8

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 29

Kalau kita tahu kondisi batas untuk partikel dan potential U(x,t), secara prinsip kita dapat menyelesaikan untuk fungsigelombang pd berbagai t dan x.

Sekali kita punya fungsi gelombang, maka persoalan telah kitaselesaikan.

Pada bab ini kita akan menyelesaikan pers. Schrödinger untukbeberapa potential yang simpel.

2 2

2

Ψj = - + U .

t 2m x∂ ∂ Ψ

Ψ∂ ∂

hh

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 30

Apa potensial yang paling simple yg dpt anda pikirkan?

Betul: U=0, yaitu potential untuk partikel bebas.

Kita gunakan pers. Schrödinger, dgn U=0, dan solve Ψ.

Atau kita dapat lebih effisien dan mengambil partikel bebas Ψ, masukan ke pres. Schrödinger, dan perhatikan jika kita dapatmemperoleh identitas yang ada.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 31

Fungsi gelombang untuk partikel bebas -(j/ ) (Et - Px)= e .Ψ h

pres. Schrödinger untuk partikel bebas (U = 0) adalah

( )-(j/ ) (Et - Px)-(j/ ) (Et - Px)

e jEj = - j e = E .

t

∂Ψ

h

hh hh

2 2

2

Ψ Ψj = - .

t 2m x∂ ∂∂ ∂

hh

Bagian kiri :

Bagian kanan:

( ) ( )2 -(j/ ) (Et - Px) 22 2 2

-(j/ ) (Et - Px)2

e -jP P - = - e = .

2m x 2m 2m

∂ Ψ ∂

h

hh h

h

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 32

kiri = kanan :2P

E = .2m

Ψ Ψ

2PE = .

2m

Kita sudah ingat bentuk tsb.

Tapi tentu saja kita perlu mengecek konsistensi pd kasus ygpaling simpel sebelum kita menghabiskan waktu untuk pres. Schrödinger.

Ingat—ini versi nonrelativistic.

Apa yg dapat kita lakukan?

Page 9: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

9

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 33

5.4 Linearitas dan Superposisi

2 2

2j = - + U t 2m x

∂Ψ ∂ ΨΨ

∂ ∂h

h

Dalam mekanika kwantum, ilmu fisika dan matematiksepertinya terlibat untuk selamanya. Artinya kita dapat seringmemperoleh pengertian yang mendalam dengan melihat persmatematik, tidak terikat pada sistem fisik tertentu

pres. Schrödinger linear dlm Ψ. Dengan kata lain, tdk memilikiistilah independen dari Ψ, dan tdk ada istilah melibatkan“higher powers” Ψ atau turunannya.

Hal itu juga berarti fungsi gelombang “behave well.”

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 34

Sebagai konsekuensi linearitas, jika Ψ1 dan Ψ2 adalah solusiuntuk pres. Schrödinger, maka mereka merupakan kombinasilinear

1 1 2 2= a + a ,Ψ Ψ Ψ

dimana a1 dan a2 adalah konstanta.

Konsekwensi lebih lanjut adalah fungsi gelombangmematuhi superposisi dan exhibit interference.

Jika sistem direpresentasikan dengan fungsi gelombang Ψ=a1Ψ1+a2Ψ2, bagaimana kita menghitung kerapatanprobabilitas untuk Ψ?

Kita tdk dapat hanya menambahkan probabilitas! Kita tdkdapat menulis P= a1P1+ a2P2, dimana P1 = Ψ1

* Ψ1 dan P2 = Ψ2

*Ψ2!

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 35

Beiser menggunakan hasil ini untuk menunjukan kenapatembakan electron melalui double slit memperlihatkan effekinterference (tdk seperti partikel murni tapi sepertigelombang).

Sebagai gantinya,

( ) ( )**1 1 2 2 1 1 2 2P = = a + a a + aΨ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ

( ) ( )* * * *1 1 2 2 1 1 2 2P = a + a a + a Ψ Ψ Ψ Ψ

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )* * * * * * * *1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2P = a a + a a + a a + a aΨ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ

( )( ) ( )( )* * * *1 1 2 2 1 1 2 2 2 2P = P +P + a a + a aΨ Ψ Ψ Ψ

Interferensi!Gelombang interferensi!

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 36

5.5 Nilai Ekspektasi

Sekali kita “solve” pres. Schrödinger untuk Ψ, kita mengetahuisegalanya tentang partikel yang bisa diketahui di dalam batasyang dikenakan oleh asas ketakpastian.

Telah kita ceritakan bagaimana cara mengkalkulasikemungkinan menemukan partikel dalam sebuah volume berpusat pada koordinat (x,t) dalam satu dimensi atau (x,y,z,t) dalam tiga dimensi.

2

1

x *1 2 x

P(x x x ) = dx≤ ≤ Ψ Ψ∫2

1

r *1 2 r

P(r r r ) = dV .≤ ≤ Ψ Ψ∫r r r

Page 10: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

10

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 37

Mari kita mulai dengan contoh. Misalkan kita ingin menemukan rata-rata dari sekumpulanbilangan 1,1,1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4. Bagaimana kitamenghitung rata-rata?

Jumlahkan bilangan dan bagi dengan jumlahbilangan? Itu bisa dilakukan, tapi bagaimana jikakita punya zillions bilangan. Adakah cara yang lebihbaik?

Rata-rata adalah( ) ( ) ( ) ( )3 2 4 5×1 + ×2 + ×3 + ×4

3 2 4+ + +5.

Kadang-kadang kita ingin mengkalkulasi nilai rata-rata beberapa kwantitas terukur. Seperti halnya mekanika kwantumyang mempunyai cara sendiri menghitung probabilitas, mekanika kwantum mempunyai cara yang khusus untukmenghitung rata-rata.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 38

Secara umum, rata-rata Ni bilangan memiliki nilai xi adalah

i ii

ii

N xx = .

N

∑∑

jika variable x kontinyu, kita ganti “sum” dgn integral.

Dlm mekanika quantum, probabilitas Pi untuk menemukanpartikel dlm interval dx pada xi adalah

2i iP dx = dx .Ψ

Pikirkan Ψ*Ψ seperti N (“how much probability” ⇔ “how many”).

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 39

Dalam QM (mekanika kwantum) karena kita berhadapandengan kemungkinan, kita menggunakan istilah nilai harapandibanding nilai rata-rata.(“expectation value” rather than “average value.”)

i ii

ii

N xx = .

N

∑∑Untuk

memperoleh QM average <x>…

…ganti inidgn Ψ*Ψ…

…ganti inidgn Ψ*Ψ denganekstra x di dlmnya

…dan ganti ini dgnintegral (krn variable kitakontinyu).

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 40

Nilai ekspektasi x adalah

*

-

*

-

x dxx = ,

dx

∞∞

Ψ Ψ

Ψ Ψ

∫∫

Di mana kita sudah menggantikan variabel diskrit dgn kontinyudan penjumlahan menjadi integral.

Nilai ekspektasi adalah ekuivalen mekanika kuantum dari nilairata-rata.

“like” N

Jika Ψ dinormalisasi, integral pada pembagi = 1, dan

*

-x = x dx .

∞Ψ Ψ∫

Ini belum final, karena masih ada masalah.

Page 11: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

11

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 41

Posisi, momentum, energi, kinetik energi, etc. secara aktualadalah operator, dan urutan bagaimana kitamenggunakannya adalah sangat penting.

Ingat, momentum berhubungan dgn ∂/∂x danenergi berhubungan dengan ∂/∂t.

Pendekatan yang benar adalah membuat “Ψ*Ψ sandwich”untuk memperoleh nilai ekspektasi.

*

-x = x dx

∞Ψ Ψ∫

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 42

Secara umum, nilai ekspektasi suatu kuantitas, termasukoperator adalah

( ) ( )*

-G x = G x dx .

∞Ψ Ψ∫

Menggunakan ekspresi operator untuk momentum jugamencegah kita menggunakan

ˆ ˆ*

-p = p dx

∞Ψ Ψ∫

Untuk mengklaim cara mengingkari prinsip ketidakpastian

the “hat” reminds us momentum is an operator

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 43

Mari kita gunakan fungsigelombang kita sbg contoh

(x) = 3 x for 0 x 1 ψ ≤ ≤

Refreshing your memory…

Nilai ekspektasi x seperti probabilitas rata-rata menemukansuatu partikel pada mengkoordinir x. yg merupakan titik dimana kita bisa “balance” ψ*ψ plot pada ujung jari.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 44

Saya akan gerakkan penunjuklaser sepanjang x-axis. Andakatakan “ stop” kapan sajajika anda pikir saya telahmencapai titik di mana area merah akan seimbang padaujung jari saya.

Mari kita cek apakah matematika setuju dgn keputusan anda.

( ) ( )141 1* 3

- 0 00

x 3x = x dx = 3 x x 3 x dx = 3 x dx = 3 = .

4 4∞

∞Ψ Ψ∫ ∫ ∫

Page 12: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

12

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 45

5.6 Operators

Seperti yang telah kita bahas ketika melakukan justifikasi padapersamaan Schrödinger's, energi dan momentum adalahoperator dalam dunia mekanika kwantum. Kita menggunakantanda “topi” (∧) untuk mengidentifikasi operator

p2 2 2 2

2 22 2

p = - p = - =

2m 2m x x j xΨ ∂ Ψ ∂ ∂

⇒ ⇒∂ ∂ ∂

h hh

total energy

operator

EE = j = j t t

∂Ψ ∂Ψ ⇒

∂ ∂h h

momentum operator

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 46

Konservasi energi menjadi operasi:

ˆ ˆ ˆE =K +U.

Dan operator energi kinetik adalah

ˆ .2 2

2K = - 2m x

∂∂

h

Seperti yang diperlihatkan Beiser, mendalikan bentuk opertor E dan p sama dengan mendalilkan persamaan Schrödinger.

Bagian ini juga menunjukan kenapa bentuk yang tepat untuknilai ekspektasi adalah

( ) ( )*

-G x, p = G x, p dx .

∞Ψ Ψ∫

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 47

5.7 Persamaan Schrödinger: Bentuk Steady-State

Dalam satu dimensi (yaitu, Ψ hanya fungsi dari x dan t), Ψdapat ditulis dalam bentuk

-(jE/ ) t (jp/ ) x -(jE/ ) t = A e e = e ,Ψ ψh h h

Dimana ψ adalah hanya fungsi posisi (x).

Biasanya, gaya yang bekerja pada objek adalah independenterhadap waktu. Sebagai contoh, gaya tarik gravitasi matahariadalah independen terhadap waktu.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 48

Jika gaya yang bekerja pada objek hanya tergantung padaposisi dan independen terhadap waktu, maka potensial U jugahanya fungsi dari posisi.

Dalam kasus persamaan Schrödinger2 2

2j = - + U t 2m x

∂Ψ ∂ ΨΨ

∂ ∂h

h

menjadi2 2

-(jE/ )t -(jE/ )t -(jE/ )t2E e = - e + U e ,

2m x∂ ψ

ψ ψ∂

h h hh

atau2

2 2

2m+ (E - U) = 0 .

xψ∂ ψ

∂ h

Ini adalah persamaan Schrödinger steady-state dalam satudimensi.

Page 13: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

13

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 49

Beiser, hal 174, menunjukan bagaimana menuliskannya dlm 3 dimensi.Untuk Fungsi gelombang yang mengikuti persamaan ini, harusmematuhi syarat batas, dan dia beserta derivatif-nya harusterbatas, kontinyu, dan bernilai tunggal

Catat bahwa energi partike terikat secara khas terkuantisasi(hanya memiliki nilai yang diskrit), tetapi variabel lain, sepertiposisi, tidak perlu dikuantisasi.

Jika tidak ada fungsi gelombang seperti itu untuk U tertentu, maka sistem tidak bisa ada pada suatu posisi mantap.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 50

Eigenvalue—energy En dimana persamaan Schrödinger memiliki solusi.

Eigenfunction— fungsi gelombang ψn yang merupakan solusipersamaan Schrödinger.

Eigenfunction ψn memiliki hubungan dengan eigenvalue En.

Sebenarnya, persamaan eigenvalue memiliki bentukˆ

n n nG = G .ψ ψ

“G-hat” adalah operator, ψn adalah eigenfunction, adn Gnadalah eigenvalue.

Schrödinger’s equation is just one example of an eigenvalue equation.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 51

5.8 Particle in a Box

Apa yang akan kita lakukan?

2

2 2

2m + (E - U) = 0 .

xψ∂ ψ

∂ h

Persamaan Schrödinger steady-state dalam satu dimensi

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 52

OK, mari kita coba bermain dengan persamaan diatas.

Fisikawan selalu mulai dengan yang paling mudah. Apa sistemyang paling mudah dalam hal ini?

U = 0?Ya, partikel bebas—tapi kita telah melakukannya. Sistemtermudah yang bagaimana dengan “something” happening?

Sistem dengan U = 0 tapi partikel tidak bebas?

Yaitu — partikel dalam box!

2

2 2

2m+ (E - U) = 0 .

xψ∂ ψ

∂ h

Page 14: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

14

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 53

Kita telah bahas “particle dlm box” pd Bab 3.

Tapi pada bab ini kita akan bahas dengan cara MQ”

*So the particle can’t get “over” the wall.

**So the particle can’t pass through the wall.

∞∞

Buat box dengan tinggidan kuat dinding yg tidakterbatas

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 54

∞∞

next?

Labels!

Axes!

U=∞ U=∞

x

E

x=0 x=L

L

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 55

2

2 2

2m + (E - U) = 0

xψ∂ ψ

∂ h

U=∞ U=∞

x

E

x=0 x=L

L

Next step?

OSE:0

U=0 inside the box. (No need to label that; U=0 is where the x and energy axes cross.)

Next step: solve.

2

2 2

2mE + = 0

xψ∂ ψ

∂ h

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 56

Diluar box, ψ = 0 (partikel tdk dapat keluar dari box).

Kita perlu untuk solve

untuk ψ, di dalam box.

Bagimana kita selesaikan persamaan diatas?

jika ψ = 0 untuk x < 0 dan x > L, maka jika ψ kontinyu, kita harus punyaψ(0) = 0 dan ψ(L) = 0 .

Karena ψ adalah kontinyu, solusi kita dibatasi oleh kondisi ψ(0) = ψ(L) = 0.*

2

2 2

2mE+ = 0

xψ∂ ψ

∂ h

Page 15: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

15

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 57

Bagaimana kita selesaikan persamaan ini?

Cara lama (hard work)?

Lihat di buku? —masih banyak yang harus dikerjakan

Diterka?

Kenapa tdk?2

2 2

2mE + = 0

xψ∂ ψ

∂ h

Berapa jumlah solusi linear yg independent yg dimilikipersamaan ini?Jawab : hanya dua. Jika kita terka* dua solusi, masukan kedalam pers., dan jika terkaan kita betul maka kita telahmenyelesaikan pers. diatas tanpa kerja keras.

Pers. ini memiliki 2 solusi linear yg independent. Adabeberapa solusi, semuanya dapat dikonstruksi dari 2 solusi linear yg independent

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 58

Solusi macam apa yang akan anda terka?

Saya akan terka dengan solusi gelombang.

Saya akan terka dengan bentuk komplek exponentials :

+ψ ψ .(j p/ ) x - (j p/ ) x= A e or = A e h h -

Ada 2 solusi yg independent. Jika ini adalah solusi persamaanSchrödinger untuk partikel dlm box, maka solusi lainnya haruskombinasi linier dari solusi diatas.

Jika kita ambil selisih ψ+-ψ- dan gunakan relasi Euler, kitaakan dapatkan fungsi sinus. Jika kita ambil jumlah ψ++ψ- kitaakan dapatkan fungsi cosinus.

Bentuk gelombang yg bagaimana yang anda terka?

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 59

Fungsi sinus dan cosinus menyatakan dua fungsi linier ygindependent, dan karena itu kita dapat menulis solusi sebagaisinus dan cosinus.

Karena kita temukan cara termudah adalah menggunakansinus dan cosinus, dan karena Beiser juga menggunakan carayg sama, maka kita akan terka fungsi kita dibuat dari sinus dan cosinus

2mE 2mE = A sin x + B cos x .ψ

h h

Ini datang dari p = (2mE)½ dan dari fakta bahwa kita akanmereproduksi bab 3 tentang kuantisasi energi padaperhitungan sekarang.

see note

Note: this trial solution is a linear combination of two linearly independent functions; if it works, we have found both the needed solutions.

Tunggu — (2mE)½ ini apa dan bagaiman mendapatkannya?

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 60

Kita dapat masukan

Ke dalam 2

2 2

ψ 2mE+ = 0

x∂ ψ∂ h

dan verifikasi apakan persamaan diatas terpenuhi (yaitu, kitaakan mendapatkan suatu identitas). Ini berlaku dengan baik. Silahkan coba sendiri jika tidak percaya.

Ini berarti terkaan kita memberikan kita dua unik kandidatuntuk solusi.

Berikutnya, kita perlu menggunakan kondisi batas dan melihatapa yang mereka katakan tentang solusi kita (dan koeffisient A dan B).

ψ 2mE 2mE= A sin x + B cos x .

h h

Page 16: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

16

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 61

BC (Boundary Conditions): ψ(0) = ψ(L) = 0, karena partikeltidak mungkin ada di dalam infinite potential wall, dan haruskontinyu pada perbatasan.

ψ 2mE 2mE= A sin x + B cos x .

h h

Kondisi ψ(0)=0 memerlukan B=0, karena cos(0) =1.

2mE L = n , n = 1,2,3,...π

h

Karena hanya sin(±nπ)=0, kondisi ψ(L)=0 memerluka

Catat bahwa n = 0 bukan solusi karena fungsi gelombang kita= 0 (“non-particle”).

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 62

2mEL = n , n = 1,2,3,...π

h

Energy level terkuantisasi, sama seperti pada bab 3. Dari persamaan diatas kita dapatkan E :

2 2 2

n 2

nE = , n = 1,2,3, ...

2mLπ h

Ini identik dengan solusi pd bab 3 kecuali kita gunakan ħ disinidan h pd bab 3.

Masukan energy eigenvalues En dari persamaan diatas ke

ψ nn

2mE= A sin x

h

Kita dapatkan eigenfunctions ψnn x

= A sin .Lπ

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 63

Langkah terakhir adl normalisasi untuk mendapatkan harga A.

**

L

- 0

n x n x1= dx = A sin A sin dx

L L∞

π π ψ ψ ∫ ∫

diperoleh A = (2/L)½ dan ψ .n2 n x

= sin L L

π

don’t forget appropriate limits!

Menyelesaikan “particle in a box” adalah salah satudari syarat mahasiswa lulus QM.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 64

Ada beberapa web sites yang memuat “particle in a box”physics.hyperphysics

Wolfram Research

Physics 252 at Univ. of Virginia

my Mathcad document

Anda harus dapat mengidentifikasieigenfunctions untuk n=1, 2, 3, etc. Anda hrs dapat menghitungprobabilitas pada daerah ygberbeda dalam box.

Applet

Page 17: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

17

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 65 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 66

2 2 2

n 2

nE = , n = 1,2,3, ...

2mLπ h

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 67

Jelaskan fenomena dibawah iniCdSe

ZnS

2.3 nm 4.2 nm 4.8 nm 5.5 nm

Larger Band Gap

Smaller Band Gap

Courtesy of Bawendi and Coworkers.

2 2 2

n 2

nE = , n = 1,2,3, ...

2mLπ h

Dengan menggunakan

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 68

Optional advanced material.

2 2

2j = - + U .t 2m x

∂Ψ ∂ ΨΨ

∂ ∂h

h

Mari kita mulai dengan time-dependent Schrödinger equation

Dan biarkan U = 0 di dlm box.

2 2

2j = - .t 2m x

∂Ψ ∂ Ψ∂ ∂

hh

Dua kemungkinan solusi*(j/ ) (px - Et) (j/ ) (-px - Et)(x,t) = A e and (x, t) = A e .Ψ Ψh h

Ini adalah dua solusi linear independent. Keduanya memilikitime dependence yang sama.

Page 18: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

18

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 69

Selesaikan seperti sebelumnya, kita dapatkan fungsigelombang

-jEt/2 n x(x,t) = sin e .

L Lπ

Ψ h

Ψ*Ψ adalah independent terhadap waktu karena

-jEt/ jEt/ e e = 1.h h

Ini mengillustrasikan arti istilah “stationary state.” Distribusiprobabilitas Ψ*Ψ adalah independent terhadap waktu.

only difference is that now we explicitly show the time dependence

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 70

E=U

x

E

x=0 x=L

L

sumur potential terbatasmemiliki panjang L dantinggi U.

Ada tiga region:I, II, dan III.

I II III

Pada regions I dan III, pers. Schrödingeris

2

2 2

2m+ (E - U) = 0 ,

xψ∂ ψ

∂ h

yg dapat kita tuliskan sbg2

2ψ - ψ 2 a = 0 ,x∂∂

2m (U - E)α = .

hdimana

-∞ +∞

Pada slide berikut kitaakan asumsikan E<U shgakan menjadi real.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 71

E=U

x

E

x=0 x=L

L

I II III

-∞ +∞

Perhatikan partikle dgnE < U. Solusi pd region I dan III adalah

ax -ax ax -axI III= Ce + De and = Fe + Ge .ψ ψ

22ψ - ψ 2 a = 0 ,

x∂∂

2m (U - E)α = .

h

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 72

E=U

x

E

x=0 x=L

L

I II III

ψ ax -axI = Ce + De

ψ ax -axIII = Fe + Ge

Solusi ini adalah real, dan tdkexponential komplex. C, D, F, dan G adalah koefisien ygakan ditentukan lewat syaratbatas.

Regions I dan III diperluas ke x = -∞ dan x = +∞.Karena fungsi gelombang harus finite disetiap tempat, koeffisien D dan F harus 0, shg

ψ ψax -axI III= Ce and = Ge .

Kedua solusi menurun secara eksponensial dengan semakinjauhnya posisi dari dinding batas.

-∞ +∞

Page 19: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

19

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 73

ψII2mE 2mE

= A sin x + B cos x , h h

E=U

x

E

x=0 x=L

L

I II III

Pd region II, pers. Schrödinger adalah

2

2 2

2m + (E - U) = 0 ,

xψ∂ ψ

∂ h

Persamaan ini memiliki solusiyg sama dgn sebelumnyapartikel dlm (infinite) box:

Kecuali sekarang B ≠ 0 karena ψ memiliki amplitude pd masing-masing barrier.

-∞ +∞

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 74

ax -axI II III

2mE 2mE= Ce = A sin x + B cos x = Ge

ψ ψ ψ

h h

Ada 5 informasi yg kita inginkan: koeffisien A, B, C, dan G, danenergi E.

Kita punya 5 kondisi: ψ kontinyu pd x = 0 dan x = L, ψ′kontinyu pd x = 0 and x = L, dan normalisasi ψ. 5 kondisi inimemberikan 5 persamaan.

6 persamaan, 5 yg tdk diketahui, sisanya hanya matematik.

Salah satu cara menyelesaikannya adalah denganmenggunakan tool seperti Mathcad.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 75

ψ for n=1

ψ for n=2

ψ for n=3

Notice bagaimana ekor fungsigelombang memanjangkedalam barrier—ada finite probability untuk menemukanpartikel disana.

Ekor fungsi gelombang yglebih panjang artinyagelombang yg lebih panjangdan krn itu momentum danenergi lebih kecil.

partikel di dlm finite box dapat memiliki energi lebihrendah dibanding partikel didlm infinite box.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 76

Ini adalah perbandinganfungsi gelombang untukinfinite dan finite sumurpotensial, n=1, 2, dan 3.

Page 20: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

20

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 77

Ini adalah perbandinganprobability density functions untuk infinite danfinite square wells, n=1, 2, dan 3.

Which probability goes with which well. Why?

Which plot corresponds to n=2? How can you tell?

What is the meaning of the red shaded areas?

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 78

Apakah kamu berusaha untukceritakan ada suatu kemungkinanmenemukan batu bata ini terjepitseparuhnya pada suatu dinding takdapat tembus?

Persisnya tdk seperti itu

ada suatu kemungkinanmenemukan batu bata di suatutempat di dalam dinding yang takdapat tembus

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 79

Efek Terobosan (Tunnel Effect)

Kita menemukan sesuatu yang “aneh” pada partikel dalamsumur terhingga.

Dari hasil perhitungan diperoleh hasil bahwa ada probabilitaspartikel berada didalam dinding meskipun dindingnyadiharapkan tidak dapat ditembus partikel.

Atau, dari perhitungan kita dapatkan bahwa ada probabilitaspartikel berada ditempat yang tidak seharusnya ada.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 80

Ini adalah percobaan yg kita pikirkan. Lemparkan bola padadinding tembok setinggi 3 m.

Terlalu rendah shgmantul kembali

Cukup tinggi shgmelampaui dinding

Efek Terobosan (Tunnel Effect)

Page 21: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

21

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 81

Jika E < U akanmantul kembali.

Jika E > U akan melewati.

U

U

E

E

Sebenarnya, partikel menembus tetapi penjelasan diatas hanya sekedar gambaran konseptual.

Efek Terobosan (Tunnel Effect)

Bagaimana tentang suatu partikel klasik energi E menumbukpada suatu penghalang setinggi U?

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 82

Bagaimana tentang partikel quantum mekanik berenergi E ygmenumbuk penghalang setinggi U?

jika E < U akandipantulkan kembali.

atau mungkinjuga tidak.

U

U

E

E

Kita harus bayangkan partikel sbg gelombang ketika melakukan eksperiment ini.

Efek Terobosan (Tunnel Effect)

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 83

jika E > U akanmelewatinya.

atau mungkinjuga tidak.

U

U

E

E

E > U?

Kita harus bayangkan partikel sbg gelombang ketika melakukan eksperiment ini.

Efek Terobosan (Tunnel Effect)

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 84

UE E

Mari kita pikirkan hal berikut ini…

Energi kinetik sebelum dan sesudah penghalang adl sama (tdkada kehilangan energi ketika melewati penghalang), shgmomentum dan wavelength juga sama.

Bagaimana dgn panjang gelombang di dlm penghalang?

KEinside = (E – U) < E = KEoutside shg KEinside harus lebih kecil.

maka pinside < poutside dan λinside > λoutside.

Jika E < U maka λinside adalah imajiner?!

λ1 λ2 = λ1λinside

Page 22: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

22

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 85

Jika kamu sedang memakai kacamata, lalu melepaskannya, dan letakan enam inchi atau lebih dari muka anda, dan lihatpada kaca mata.

Anda dapat melihat melalui kaca mata. Jika ada benda ygterang dibelakang anda, anda bisa melihatnya melalui refleksipada kaca mata.

Seseorang yang berdiri di sebelah lain kacamata anda akanmelihat juga objek yang terang melalui kacamata anda.

Beberapa photon melewati kaca mata, yang lainnyadirefleksikan. Ada probabilitas transmisi, dan probabilitasrefleksi.

Efek Terobosan (Tunnel Effect)

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 86

Karena photon adalah gelombang maka hal itu dapat terjadi.

Partikel juga gelombang. Jadi mereka dapat direfleksikan dandi transmikan.

Dalam slide berikut ini kita akan menyelesaikan persamaanScrödinger untuk mencari partikel quantum yang dapatmenerobos penghalang yg tinggi, atau direfleksikan olehpenghalang yang rendah.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 87

Ini adalah diagram potential untuk masalah kita. Partikel memiliki masa danenergi E, dan penghalang dgntinggi U dan panjang L.

x

E

U

0 LAda tiga region: Ada tiga region: I, Ada tiga region: I, II, Ada tiga region: I, II, dan III.

I II III

Kita harus menyelesaikan persamaan Schrödinger untukpartikel yang memiliki energi E di dalam ketiga region sepertipada gambar diata.

Persamaan Schrödinger di regions I, II, dan III menjadi…

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 88

x

E

U

0 L

I II III

2I

I2 2

2m + E = 0

x∂ ψ

ψ∂ h

Pekerjaan kita adalah menyelesaikan persamaan ini, equations, sesuai dengan syarat batas ψ yang ada, dan sesuai dgn kondisibahwa ψ dan turunannya harus kontinyu dan terbatas.

Ketiga persamaan adalah valid baik untuk E > U atau E < U. Kita akan asumsikan E < U ketika kita menyelesaikanpersamaan Schrödinger pada region II.

2III

III2 2

2m + E = 0

x∂ ψ

ψ∂ h

( )2

IIII2 2

2m + E -U = 0

x∂ ψ

ψ∂ h

Page 23: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

23

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 89

Kita mulai dgn mengasumsikan solusiwave-like untuk ψ di regions I dan III, dimana potential U = 0.

x

E

U

0 L

I II III

Solusi wave-like yang tepat adalah

ψ 1 1 j k x - j k xI = A e + B edan

ψ 1 1 j k x - j k xIII = F e + G e

dimana

12 2mE

k = = .πλ h

Kenapa k1 pd region I dan III sama? Karena energi kinetik adl sama pd region I dan III. Partikel tdkkehilangan ketika melewatipenghalang.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 90

ψ 1 1j k x - j k xI = A e + B e

x

E

U

0 L

I II IIIψ 1 1j k x - j k x

III = F e + G e

Ingat ψI dan ψIII adalah berbentuk

ψ

ψ ψ

1 1j k x - j k xI

+ -I I

= A e + B e

= +

dan ψ

ψ ψ

1 1j k x - j k xIII

+ -III III

= F e + G e

= + dimana ψI

+ menyatakan gelombang pd region I yg bergerakkearah kanan, ψI

- menyatakan gelombang pd region I ygbergerak kearah kiri,

dan ψIII+ menyatakan gelombang pd region III yg bergerak

kearah kanan, dan ψIII- menyatakan gelombang pd region III

yg bergerak kearah kiri.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 91

Kita asusmsikan gelombang kitabergerak dari kiri ke kanan.

x

E

U

0 L

I II IIIJika gelombang kita menembuspenghalang, pada region III tdkakan ada yang direfleksikankembali ke kiri.

Hal ini mengatakan kepada kita ψIII- = 0 shg G = 0.

Solusi lengkap persoalan ini memerlukan perhitungan ψ disetiap tempat, shg kita akan perlu ψI, ψII, dan ψIII. Akan tetapi, sering dalam perhitungan MQ, Solusi lengkap tidak diperlukan. Sekarang kita hanya akan menghitung probabilitas transmisimelalui penghalang.

ψ 1 1 j k x - j k xIII = F e + G e

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 92

Fungsi gelombang partikel (wave) yang menumbuk penghalang:

ψ

ψ ψ

1 1j k x - j k xI

+ -I I

= A e + B e

= +

ψI+*ψI

+ adalah rapat probabilitas gelombang datang. Pd satudimensi, itu adalah rapat probabilitas linier yang memilikisatuan partikel/meter.

Jika v is kecepatan group gelombang ψI+, maka jml partikel per

meter2 perdetik yg menumbuk penghalang dari kiri adalahSI

+ = ψI+* ψI

+ v.

Sama dgn diatas, jml partikel per meter2 perdetik yg keluar darikanan penghalang adalah SIII+ = ψIII

+* ψIII+ v.

Page 24: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

24

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 93

Probabilitas transmissi adalah

( ) ( )( ) ( )

*+ ++III IIIIII

*+ + +I I I

vST = =

S v

ψ ψ

ψ ψ

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

1 1 1 1

1 11 1

* j k x j k x - j k x j k x*

* - j k x j k x* j k x j k x

F e F e F e F eT = =

A e A eA e A e

*

*

F FT =

A A

Untuk mendapatkan ekspresi T yang bermanfaat, kita perlumenerapkan kontinuitas ψ dan turunannya untuk mengeliminasiA dan F.

Berarti kita perlu melihat persamaan Schrödinger in region II.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 94

Pada region II, persamaan Schrödinger adalah

Solusi pada region II adl: ψ j k x - j k xII = C e + D e′ ′

dimana( )

.2m E - U

k = ′h

wavenumber adalah k'. Tapi jika E < U, maka k' adalahimajiner.

Apa implikasinya ?Apa implikasinya ? Jawabnya : damped atau blowing up exponentials, bukan gelombang, pd region II.

Apakah anda dapat menangkap sense tsb? Ya, jika andapikirkan.

( )2

IIII2 2

2m+ E -U = 0

x∂ ψ

ψ∂ h

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 95

Karena k' imaginary, kita definisikan k2 = - jk'. Shg

ψ 2 2 - k x k xII = C e + D e

Dari sini jelas bahwa ψII bukan merepresentasikan gelombang, tapi lebih sebagai damped atau blowing up exponential.

Secara Philosopi, sesorang dapat berargumentasi bahwa karenaψII tdk merepresentasikan gelombang , maka tdkmerepresentasikan partikel yg bergerak, karena itu tdk adapartikel di region II. Tapi ψII*ψII merepresentasikan rapatprobabilitas, shg ada probabilitas untuk menemukan partikel didlm penghalang.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 96

Mari kita pikirkan tentang perhitungan yg telah kita lakukan.

Kita memiliki ekspresi untuk transmissi, berisi constanta A danF. Kita perlu mencari konstanta tsb untuk menghitungtransmissi.

Kita juga telah menuliskan solusi wavefunction pd region II, tapi hanya mendapatkan konstanta, C dan D. Ini kelihatanbelum menolong. Malah membuat lebih rumit krn menambahkonstanta yg harus dicari.

Apa yg dapat kita lakukan, sekarang kita punya solusi di region I, II, dan III, adalah gunakan syarat batas pada kedua sisi.

Mari kita lihat...dua batas (sisi), 2 kondisi pd masing-masing sisi(wave function dan turunannya) memberikan 4 kondisi, untukmencari 4 unknown A, C, D, dan F. 4 unknown, 4 condition, maka kita dapat selesaikan maslah kita (transmisi).

Page 25: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

25

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 97

x

E

U

0 L

I II III

Masalah lengkapnyasebenarnya ada 5 konstantayg harus dicari dgn 4 kondisi.

Untuk mendapatkan T hanya memerlukan 4 konstanta. Jikakita ingin menyelesaikan persamaan gelombang kita perlu satukondisi lagi

A,B C,D F

ψ & ψ′ cont. ψ & ψ′ cont.

Jika kita ingin mencari solosi persamaan gelombang, kita perlumenerapkan normalisasi, yang akan memberikan kondisi kelima untuk 5 konstanta, shg sekarang masalah dpt

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 98

Ini adalah kondisi batas

Pd bagian kiri (x = 0),

ψ ψI II = (1)

I II = (2)x x

∂ψ ∂ψ∂ ∂

Pd bagian kanan (x = L),

x

E

U

0 L

I II IIIA,B C,D F

ψ & ψ′ cont. ψ & ψ′ cont.

II III = (4)x x

∂ψ ∂ψ∂ ∂

ψ ψII III = (3)

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 99

Masukan ψI dan ψII ke dlm (1) diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 j k 0 - j k 0 -k 0 k 0Ae + Be = Ce + De

A + B = C + D

Masukan ψI dan ψII ke dalam (2) diperoleh

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 j k 0 - j k 0 -k 0 k 01 1 2 2jk Ae - jk Be = -k Ce + k De

kemudian, masukan ψII dan ψIII ke (3) dan (4) untukmendapatkan

2 2 1 - k L k L j k LCe + De = Fe

2 2 1 - k L k L j k L2 2 1-k Ce + k De = jk Fe

Ajk1 – Bjk1 = -Ck2 + Dk2

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 100

Sekarang kita gantikan

dengan

2I

I2 2

2m+ E = 0

x∂ ψ

ψ∂ h

2III

III2 2

2m+ E = 0

x∂ ψ

ψ∂ h

( )2

IIII2 2

2m+ E -U = 0

x∂ ψ

ψ∂ h

A + B = C + D

2 2 1- k L k L j k LCe + De = Fe

2 2 1- k L k L j k L2 2 1-k Ce + k De = jk Fe

Ajk1 – Bjk1 = -Ck2 + Dk2

Page 26: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

26

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 101

Ada masalah: 5 unknown dengan 4 equation. Kita perlu satulagi equation. Akan tetapi ingat, kita dapat menerapkannormalisasi jika kita memerlukan

Kita hanya tertarik menyelesaikan rasio F*F/ A*A. Kita dapatmenyelesaikan N equation dlm N+1 unknown coefficien untukrasio dua coefficien.

A + B = C + D

2 2 1 - k L k L j k LCe + De = Fe

2 2 1 - k L k L j k L2 2 1-k Ce + k De = jk Fe

Ajk1 – Bjk1 = -Ck2 + Dk2

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 102

BagaimanamendapatkanA/F?

Silahkan coba sendiri.

Jawabannya adalah :

( ) ( )1 2 1 2jk + k L jk -k L2 1 2 1

1 2 1 2

k k k kA 1 j 1 j = + - e + - - e

F 2 4 k k 2 4 k k

A + B = C + D

2 2 1- k L k L j k LCe + De = Fe

2 2 1- k L k L j k L2 2 1-k Ce + k De = jk Fe

Ajk1 – Bjk1 = -Ck2 + Dk2

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 103

Kita dapat sederhanakan persoalan dgn mengasumsikanpenghalang yang tinggi dan lebar.

Tinggi berarti potential penghalang relatif tinggi thd energikinetik. Pada kasus ini k2/k1>k1/k2. (lihat lagi definisi k1 dank2.)

Lebar artinya fungsi gelombang betul-betul disusutkan padaregion penghalang antara x=0 dan x=L. artinya k2L>>1.

Dengan pendekatan ini, persamaan untuk A/F dapatdisederhanakan menjadi

( )1 2jk + k L2

1

kA 1 j = + e

F 2 4 k

hey, that’s not so bad

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 104

Kita harus mendapatkan complex conjugate A*/F* (hanya gantij dgn -j ). Transmissi menjadi

2

*-2k L

2*2

1

F F 16T = = e

A A k4 + k

Kuantitas pada kurung kotak bervariasi “slowly” dibandingkandengan bagian exponential, dan besarnya disekitar 1, shg kitadapat sederhanakan lagi

2-2k LT = e

dimana( )

2

2m U - Ek = .

h

Page 27: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

27

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 105

2-2k LT = e ( )2

2m U - Ek =

h

Simpan dlm ingatan bahwa ini hanya berlaku untuk penghalangyg tinggi dan lebar. Jika penghalang tdk tinggi dan lebar, kitaharus gunakan ekspresi penuh untuk A/F (kemudian kitakalikan dgn complex conjugate).

Tadi kita sederhanakan bahwa besaran dlm kurungkotak memiliki nilai sekitar 1, namun sebenarnya lebihdekat ke 4. Apakah menggangu?

Iya, tapi 4 lebih dekat ke 1 dibanding ke 10, shg kita anggapbernilai 1.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 106

“Artinya kita menerima error sampai faktor 10?” Teoriapa?

Ini adalah teori yang hebat, jika kita hanya inginmengembangkan “feel for the physics”. Tentu saja, dalam “real life” kita harus menggunakan full expression, tanpa pendekatan

Mari kita lihat contoh. Misalkan 1 eV elektron menumbukpenghalang 5 eV dan 0.5 nm lebar.

5 adalah lebih besar dari 1, dan 0.5 nm lebih panjang dibandingpanjang gelombang elektron energi rendah. Sehingga kitamungkin dapat menggunakan persamaan transmissi yang disederhanakan.

Pertama-tama, kita cari k2.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 107

( )2

2m U - Ek =

h

( )( ) ( )( )

-31 -19

2 -34

2 9.11×10 kg 5 eV - 1 eV 1.6×10 J/eVk =

1.055×10 J s⋅

Absolutely not! The square root “messes up” your units. You will be wrong every time!

-10 -12k = 1.00×10 m

What mass do I use here?What is the object?

Electron!

Can I keep energies in eV and use the eV·s version of ħ?

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 108

transmissis

2-2k LT = e

( )( )10 -10-2 1.0×10 5.0×10 -5T = e = 4.5×10

T sebaiknya diantara 0 dan 1. Untuk pendekatan ini sebaiknyakecil. Sepertinya pendekatan kita OK.

Dapatkah kita menghitung probabilitas refleksi?

Because of the exponential, small differences in how you round in calculating k2 can make large apparent differences here.

Page 28: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

28

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 109

5.11 Harmonic Oscillator

Deret Maclaurin (deret Taylor disekitar origin):

2 2 3 3

2 30 0 0

dF x d F x d FF(x) = F(0) + x + + + . . .

dx 2! dx 3! dx

Jika F menyatakan gaya balik (restoring) (gaya yang mengembalikan sistem ke asalnya) maka F(0) = 0.

Untuk simpangan yang kecil, seluruh orde yang tinggi(termasuk x2, x3, dsb.) cukup kecil, sehingga

0

dFF(x) x = - k x .

dx ≈

Tanda – ada karena F adalah gaya restoring, shg turunannya adalah negatif.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 110

Pada simpangan yang kecil, semua gaya balik (restoring) mengikuti hukum Hooke:

F(x) = - k x .

Secara klasik, osilator harmonik tunduk pd hukum Hooke.

Satu pers. differential lagi yang harus dicari solusinya!

Dari Hukum ke-2 Newton F = ma. diperoleh2

2

d x- k x = m .

dt

2

2

d xm + k x = 0 .

dt

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 111

Solusi dari persamaan differential tadi berbentuk

x = A cos (ωt + φ)

Dimana frekuensi osilasi f

k ω = 2 f = .

21U(x) = k x .

2

Lalu apa?

Dari Fisika Dasar, potential harmonik osilator adalah

Banyak sistem yang dijelaskan dengan osilator harmonik. Kita lebih baik melihat tinjauan quantum mekanik tentang ini.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 112

Mari kita pikirkan tentang osilator harmonik…

Klasih, seluruh energi diperbolehkan . Menunut QM?

Hanya energi tertentu (kuantisasi)?

Klasik, enrgi = nol diperbolehkan. Menunut QM?

Nonzero, seperti partikel dlm box

Klasik, osillator tdk dapat eksis dlm daerah terlarang. Sebagaicontoh osilasi pendulum dgn amplitude A tdk dapat memilikisimpangan > A.

Ada kemungkinan menemukan sistem di daerah terlarang

Page 29: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

29

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 113

Mari kita selesaikan persamaan Schrödinger untuk potential osilator harmonik.

22

2 2

2m 1 + E - kx = 0 .

x 2∂ ψ ψ ∂ h

Jika kita misalkan2 m f 2E

y = x and = h hf

πα

maka persamaan Schrödinger menjadi

( )2ψ α ψ .2

2 + + y = 0 y∂∂

Solusi persamaan ini harus mengikuti semua persyaratan ygtelah kita diskusikan dan ψ harus dinormalisasi.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 114

Persamaan dapat diselesaikan hanya untuk harga α tertentu, yaitu α=2n+1 dimana n = 0, 1, 2, 3, ...

Untuk harga α tersebut diatas, fungsi gelombang memilikibentuk

( )ψ21

y- 14 - 2n 2n n

2mf= 2 n! H (y) e .

h

Orang biasa mungkin akan melihat persamaan diatas rumit, namun bagi ahli matematika persamaan diatas adalah simpel. Hanya kumpulan angka, fungsi exponential, dan Polynomial Hermite Hn. Polynomial adalah simple. H0(y) = 1, H1(y) = 2y, dan polynomial berikutnya lihat di Table 5.2 buku Beiser.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 115

Yang lebih penting, kita menemukan bahwa pers. gelombangdapat diselesaikan hanya dengan nilai E tertentu (ingat, α = 2E/hf = 2n+1),

n1

E = n + hf , n = 0,1,2, ...2

Energi E dari osilator harmonika mekanika quantum terkuantisasi dengan step hf, dan zero point energinya adalahE0 = ½hf.

Dokumen Mathcad yg mengilustrasikan tingkat energi osilatorharmonik QM, probabilitas, dan nilai ekspektasi adalad sbb.

Karena scaling yg kita lakukan dlm re-writing persamaanSchrödinger, sulit sekali mengidentifikasi daerah terlarang padagrafik Mathcad. Gantinya silahkan lihat Figures 5.12 dan 5.13, hal. 191 dari buku Beiser, untuk illustrasi bagaimana ekorfungsi gelombang dlm daerah terlarang mengkerut dgn naiknyan.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 116

Wave Functions

Page 30: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

30

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 117

Probability Densities

n = 1n = 2Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 118

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 119

OSILATOR HARMONIK

Deret Maclaurin (deret Taylor disekitar origin):

2 2 3 3

2 30 0 0

dF x d F x d FF(x) = F(0) + x + + + . . .

dx 2! dx 3! dx

Jika F menyatakan gaya balik (restoring) (gaya yang mengembalikan sistem ke asalnya) maka F(0) = 0.

Untuk simpangan yang kecil, seluruh orde yang tinggi(termasuk x2, x3, dsb.) cukup kecil, sehingga

0

dFF(x) x = - k x .

dx ≈

Tanda – ada karena F adalah gaya restoring, shg turunannya adalah negatif.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 120

Pada simpangan yang kecil, semua gaya balik (restoring) mengikuti hukum Hooke:

F(x) = - k x .

Secara klasik, osilator harmonik tunduk pd hukum Hooke.

Satu pers. differential lagi yang harus dicari solusinya!

Dari Hukum ke-2 Newton F = ma. diperoleh2

2

d x- k x = m .

dt

2

2

d xm + k x = 0 .

dt

Page 31: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

31

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 121

Solusi dari persamaan differential tadi berbentuk

x = A cos (ωt + φ)

Dimana frekuensi osilasi f

k ω = 2 f = .

21U(x) = k x .

2

Lalu apa?

Dari Fisika Dasar, potential harmonik osilator adalah

Banyak sistem yang dijelaskan dengan osilator harmonik. Kita lebih baik melihat tinjauan quantum mekanik tentang ini.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 122

Mari kita pikirkan tentang osilator harmonik…

Klasik, seluruh energi diperbolehkan . Menunut QM?

Hanya energi tertentu (kuantisasi)?

Klasik, energi = nol diperbolehkan. Menunut QM?

Nonzero, seperti partikel dlm box

Klasik, osillator tdk dapat eksis dlm daerah terlarang. Sebagaicontoh osilasi pendulum dgn amplitude A tdk dapat memilikisimpangan > A.

Ada kemungkinan menemukan sistem di daerah terlarang

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 123

Mari kita selesaikan persamaan Schrödinger untuk potential osilator harmonik.

22

2 2

2m 1 + E - kx = 0 .

x 2∂ ψ ψ ∂ h

Jika kita misalkan2 m f 2E

y = x and = h hf

πα

maka persamaan Schrödinger menjadi

( )2ψ α ψ .2

2 + + y = 0 y∂∂

Solusi persamaan ini harus mengikuti semua persyaratan ygtelah kita diskusikan dan ψ harus dinormalisasi.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 124

Persamaan dapat diselesaikan hanya untuk harga α tertentu, yaitu α=2n+1 dimana n = 0, 1, 2, 3, ...

Untuk harga α tersebut diatas, fungsi gelombang memilikibentuk

( )ψ21

y- 14 - 2n 2n n

2mf= 2 n! H (y) e .

h

Orang biasa mungkin akan melihat persamaan diatas rumit, namun bagi ahli matematika persamaan diatas adalah simpel. Hanya kumpulan angka, fungsi exponential, dan Polynomial Hermite Hn. Polynomial adalah simple. H0(y) = 1, H1(y) = 2y, dan polynomial berikutnya lihat di Table 5.2 buku Beiser.

Page 32: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

32

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 125

Yang lebih penting, kita menemukan bahwa pers. gelombangdapat diselesaikan hanya dengan nilai E tertentu (ingat, α = 2E/hf = 2n+1),

n1

E = n + hf , n = 0,1,2, ...2

Energi E dari osilator harmonika mekanika quantum terkuantisasi dengan step hf, dan zero point energinya adalahE0 = ½hf.

Dokumen Mathcad yg mengilustrasikan tingkat energi osilatorharmonik QM, probabilitas, dan nilai ekspektasi adalad sbb.

Karena scaling yg kita lakukan dlm re-writing persamaanSchrödinger, sulit sekali mengidentifikasi daerah terlarang padagrafik Mathcad. Gantinya silahkan lihat Figures 5.12 dan 5.13, hal. 191 dari buku Beiser, untuk illustrasi bagaimana ekorfungsi gelombang dlm daerah terlarang mengkerut dgn naiknyan.

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 126

Wave Functions

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 127

Probability Densities

n = 1n = 2Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 128

Dari Figure 5.13, terlihat osilator harmonik QM "reduces" menjadi osilator harmonik klasik untuk harga n yg besar.

Page 33: Quantum Mechanics - Komunitas Fisika Unimed · PDF file2 Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 5 Mekanika quantum memiliki perhatian terhadap

33

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 129

Figure 5.11, potential yang berbeda untuk sistem yang berbedamenyebabkan tingkat energi yg berbeda

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 130

Priview Bab 5

Fungsi Gelombang – probability densities – normalization – expectation values – “good” and “bad”* wave functions – perhitungan probabilitas.

Partikel dlm box – Bagaimana menyelesaikan SE – tingkatenergi – kuantisasi – nilai ekspektasi – pengaruh panjangbox – perhitungan probabilitas.

Partikel dlm sumur – Bagaimana menyelesaikan SE –tingkat energi – kuantisasi – nilai ekspektasi – pengaruhpanjang box – perhitungan probabilitas– bandingkan dgninfinite well –forbidden regions (klasik).

Modifikasi dari Slide Phys107 O. A. Pringle Physics Dept. U. Missouri-Rolla 131

Tunneling – (mencari solusi SE) – probabilitas transmissi –probabilitas refleksi – efek masa partikle dan energi pd probabilitas tunneling – efek tinggi penghalang padaprobabilitas tunneling.

Beberapa conyoh aplikasi. Scanning tunneling microscope (STM). Efek Quantum pd IC dengan semakin kecilnyaukuran IC .

Osilator Harmonik – (mencari solusi SE) – tingkat energi –zero point energi – kuantisasi – nilai ekspektasi –forbidden regions (klasik)– batas klasik.