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Kapitel 4 QM in 3 Dimensionen 4.1 Schr¨ odinger Gleichung in 3 Dimensionen Schr¨ odinger Gl.: i¯ h Ψ ∂t = H Ψ Hamilton-Operator bekommen wir aus der klassischen Energie: 1 2 mv 2 + V = 1 2m (p 2 x + p 2 y + p 2 z )+ V durch die standarte Substituition p x →−i¯ h ∂x p y →−i¯ h ∂y p z →−i¯ h ∂z oder p →−i¯ hWir bekommen i¯ h Ψ ∂t = ¯ h 2 2m 2 Ψ+ V Ψ mit Laplace-Operator in Kartesischen Koordinaten 2 = 2 ∂x 2 + 2 ∂y 2 + 2 ∂z 2 Die Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Elementarvolumen zu finden ist |Ψ( r,t)| 2 dV , wobei dV = dx dy dz, mit der Normierungsbedingung: V |Ψ( r,t)| 2 dV =1 53

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Kapitel 4

QM in 3 Dimensionen

4.1 Schrodinger Gleichung in 3 Dimensionen

Schrodinger Gl.:

ih∂Ψ

∂t= HΨ

Hamilton-Operator bekommen wir aus der klassischen Energie:

1

2mv2 + V =

1

2m(p2x + p2y + p2z) + V

durch die standarte Substituition

px → −ih ∂∂x

py → −ih ∂∂y

pz → −ih ∂∂z

oder~p→ −ih∇

Wir bekommen

ih∂Ψ

∂t= − h2

2m∇2Ψ+ VΨ

mit Laplace-Operator in Kartesischen Koordinaten

∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

Die Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Elementarvolumen zu finden ist|Ψ(~r, t)|2dV , wobei dV = dx dy dz, mit der Normierungsbedingung:

V|Ψ(~r, t)|2dV = 1

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(Wir integrieren uber den ganzen Raum.)Fur zeitunabhangiges Potential benutzen wir den Ansatz Ψ(~r, t) = ψ(~r)φ(t),genauso wie in einer Dimension. Wir bekommen ein vollstandiges System vonstationaren Zustanden

Ψn(~r, t) = ψn(~r)e−iEnt/h,

wobei die raumliche Wellenfunktion ψ die Losung der zeitunabh. Schr. Gl. ist:

− h2

2m∇2ψ + V ψ = Eψ

Die allgemeine Losung der zeitabh. Schr. Gl

Ψ(~r, t) =∑

cnψn(~r)e−iEnt/h

Konstanten cn bekommen wir, wie ublich, aus der Anfangsbedingung Ψ(~r, 0).

4.1.1 Bsp.: ein Teilchen im Quader

Potential:

V (x, y, z) =

{

0, 0 < x < a , 0 < y < a , 0 < z < a∞, sonst

Schr. Gl. im Quader:

− h2

2m

(

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2

)

= Eψ

Ansatz: ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z). Einsetzen, und mit XY Z dividieren:

1

X

d2X

dx2+

1

Y

d2Y

dy2+

1

Z

d2Z

dz2= −2m

h2E

Alle drei Summanden links sollen konstant sein. Wir notieren diese Konstanten mit−k2x,−k2y ,−k2z . Dann

d2X

dx2= −k2xX ,

d2Y

dy2= −k2yY ,

d2Z

dz2= −k2zZ

und

E =h2

2m(k2x + k2y + k2z)

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Losungen:

X(x) = Ax sin(kxx) +Bx cos(kxx) Y (y) = Ay sin(kyy) +By cos(kyy)

Z(z) = Az sin(kzz) +Bz cos(kzz)

Randbedingungen:

X(0) = X(a) = 0 =⇒ Bx = 0 , sin(kxa) = 0 =⇒ kx =nxπ

a, nx = 1, 2, . . ..

Normierung genauso wie fur den unendlich hohen Potentialtopf: Ax =√

2/a.Ahnlich fur X,Y . Letzendlich:

ψ(x, y, z) =

(

2

a

)3/2

sin

(

nxπ

ax

)

sin

(

nyπ

ay

)

sin

(

nzπ

az

)

E =h2

2m

π2

a2(n2x + n2y + n2z)

In 1D war es

En =h2

2m

π2

a2n2

Finden wir Energiewerte und Entartung.

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Uberprufen Orthonormierung. Wir benutzen∫ a

0sin

(

πx

an

)

sin

(

πx

an′)

=a

2δnn′

ψijk|ψi′j′k′⟩

=

∫ a

0

∫ a

0

∫ a

0ψijkψi′j′k′dxdydz

=

(

2

a

)3 ∫ a

0sin

(

πx

ai

)

sin

(

πx

ai′)

dx

∫ a

0(·)dy

∫ a

0(·)dz = δii′δjj′δkk′

4.2 Zentralpotential

Typisches Problem: Zentralkraft. Das Potential ist V (~r) = V (r) =⇒ wirbenutzen die Kugelkoordinaten. Laplace-Operator

∇2 =1

r2∂

∂r

(

r2∂

∂r

)

+1

r2 sin θ

∂θ

(

sin θ∂

∂θ

)

+1

r2 sin2 θ

(

∂2

∂φ2

)

Ansatz: ψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ). Wir bekommen

− h2

2m∇2ψ + V ψ = Eψ

− h2

2m

[

Y

r2d

dr

(

r2dR

dr

)

+R

r2 sin θ

∂θ

(

sin θ∂Y

∂θ

)

+R

r2 sin2 θ

∂2Y

∂φ2

]

+ V RY = ERY

Dividieren mit RY , multiplizieren mit −2mr2/h2:{

1

R

d

dr

(

r2dR

dr

)

− 2mr2

h2[V (r)− E]

}

+1

Y

{

1

sin θ

∂θ

(

sin θ∂Y

∂θ

)

+1

sin2 θ

∂2Y

∂φ2

}

= 0

Erste {. . .} ist nur von r abhangig, zweite {. . .}/Y nur von θ, φ, also beide Gliedersollen konstant sein. Wir notieren diese Separationskonstante mit l(l+1); hier kannl eine beliebige komplexe Zahl sein, aber spater wird gezeigt, dass l ganzzahlig ist.l: die Nebenquantenzahl oder Drehimpulsquantenzahl.Die Gleichung fur R

1

R

d

dr

(

r2dR

dr

)

− 2mr2

h2[V (r)− E] = l(l + 1)

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soll man fur jede Potentialfunktion V (r) losen. Die Winkelgleichung

1

Y

{

1

sin θ

∂θ

(

sin θ∂Y

∂θ

)

+1

sin2 θ

∂2Y

∂φ2

}

= −l(l + 1)

ist vom Potential unabhangig.

4.2.1 Winkelgleichung

Winkelgleichung ist mit dem Ansatz Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ) losbar. Zuerst schreibenwir die Gleichung um (multiplizieren mit Y sin2 θ):

sin θ∂

∂θ

(

sin θ∂Y

∂θ

)

+∂2Y

∂φ2= −l(l + 1) sin2 θY

Einsetzen Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ), dann mit ΘΦ dividieren:

{

1

Θ

[

sin θd

(

sin θdΘ

)]

+ l(l + 1) sin2 θ

}

+1

Φ

d2Φ

dφ2= 0

Dann erscheint noch eine Separationskonstante, die wir mit m2 notieren. Wirbekommen

1

Θ

[

sin θd

(

sin θdΘ

)]

+ l(l + 1) sin2 θ = m2

1

Φ

d2Φ

dφ2= −m2

m heisst die magnetische Quantenzahl.Fur Φ bekommt man eine sehr einfache Losung

Φ(φ) = eimφ

Aus der Periodizitatsbedingung

Φ(φ+ 2π) = Φ(φ) =⇒ e2πmi = 1 =⇒ m = 0,±1,±2, . . .

Die Losung fur Θ kann man durch die Legendre-Funktionen undLegendre-Polynomen darstellen; die ist nur fur ganzzahlige positive l und|m| ≤ l normierbar.Normierung:

|ψ|2r2 sin θ dr dθ dφ =

|R(r)|2r2 dr∫ ∫

|Y |2 sin θdθ dφ = 1

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Es ist bequem, die Funktionen separat zu normieren:

∫ ∞

0|R(r)|2r2 dr = 1

∫ π

0

∫ 2π

0|Y |2 sin θdθ dφ = 1

Die normierte Winkelwellenfunktionen heissen Kugelflachenfunktionen:

Y ml (θ, φ) = ǫ

2l + 1

(l − |m|)!(l + |m|)!P

ml (cos θ)eimφ

mit ǫ = (−1m) fur m ≥ 0 und ǫ = 1 fur m < 0. Pml sind Legendre-Funktionen. Die

Funktionen Y ml sind orthogonal:

∫ π

0

∫ 2π

0[Y m

l ]∗Y m′

l′ sin θdθ dφ = δll′δmm′

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4.2.2 Radialgleichung

Winkelfunktionen Y ml sind fur alle Zentralpotentiale gleich, nur R(r) ist von V (r)

abhangig. Die Gleichung ist

d

dr

(

r2dR

dr

)

− 2mr2

h2[V (r)−E]R = l(l + 1)R

Substitution:u(r) = rR(r)

Dann

R = u/r ,dR

dr= [

du

drr − u]/r2 ,

d

dr

(

r2dR

dr

)

= rd2u

dr2

rd2u

dr2− 2mr2

h2[V − E]

u

r= l(l + 1)

u

r

d2u

dr2− 2m

h2[V −E]u = l(l + 1)

u

r2

− h2

2m

d2u

dr2+

[

V +h2

2m

l(l + 1)

r2

]

u = Eu

Wir vergleichen mit der zeitunabh. Schr. Gl. in einer Dimension:

− h2

2m

d2ψ

dx2+ V ψ = Eψ

Die Gleichungen sind identisch, wenn wir das effektive Potential einfuhren:

Veff = V +h2l(l + 1)

2mr2

Zentrifugalterm, wie im Kepler-Problem: Veff = V + L2z

2mr2 . Vergleich zeigt, dassl-Zahl den Drehimpuls beschreiben soll.Normierungbedingung ist jetzt

∫ ∞

0|R(r)|2r2 dr =

∫ ∞

0|u|2 dr = 1

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4.3 Bsp.: ein Teilchen in der Kugel

Sei das Potential V = 0 fur r < a und V = ∞ sonst. Fur r > a ist die Wellenfktgleich Null. Fur r < a:

− h2

2m

d2u

dr2+h2

2m

l(l + 1)

r2u = Eu

d2u

dr2− l(l + 1)

r2u = −2mE

h2u

d2u

dr2=

[

l(l + 1)

r2− k2

]

u

mit

k =

√2mE

hE =

k2h2

2m

Randbediengung: u(a) = 0.Fur l = 0:

d2u

dr2= −k2u =⇒ u(r) = A sin(kr) +B cos(kr)

R(r) = u(r)/r = Asin(kr)

r+B

cos(kr)

r

Wir verlangen, dass R(r) begrenzt ist. Dann soll B = 0, sonst limr→0R(r) = ∞.Randbediengung gibt: sin(ka) = 0 =⇒ ka = nπ , n = 1, 2, . . .. DieEnergie ist:

En0 =k2h2

2m=

π2h2

2ma2n2 , n = 1, 2, . . .

(Genau wie im unendl. hoh. Potentialtopf in einer Dimension.) Normierung:

A =√

2/a

Mit Y 00 = 1/

√4π

ψn00 = Rn0(r)Y00 (θ, φ) =

1√2πa

sin(nπr/a)

r=

1√2πa

nπ/a sin(nπr/a)

nπr/a=

n√π

a√2aJ0(

nπr

a) ,

wobei J0(x) = sin(x)/x ist die Bessel-Fkt nullter Ordnung. Allgemeine Lsg furl > 0 bekommnt man durch Bessel- und Neumann-Fkt.

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4.4 Wasserstoffatom

Schwerer Proton (in Koordinatenursprung) und Elektron. Coulombsches Potential:

V (r) = − e2

4πε0

1

r

Die radiale Gleichung lautet:

− h2

2m

d2u

dr2+

[

− e2

4πε0

1

r+h2l(l + 1)

2mr2

]

u = Eu

Die Aufgabe ist die Gleichung zu losen und die erlaubte Werte der Energie zubestimmen. Man kann zeigen, dass die normierbare Losungen nur fur

En =E1

n2mit E1 = − me4

32h2π2ε20= −13.6 eV

existieren, mitn = 1, 2, . . .

undl = 0, 1, 2, . . . , n− 1, m = −l,−l + 1, . . . , l − 1, l

Hier n ist die Hauptquantenzahl. Das ist die beruhmte Bohr-Formel.Bindungsenergie ist 13.6 eV.

E1 = − h2

2ma20= −13.6 ,

wobei a0 =4πε0h

2

me2 der Bohr-Radius ist.Die Wellenfunktionen haben 3 Indexen: ψnlm = Rnl(r)Y

ml (θ, φ), wobei

n = 1, 2, 3, . . . l = 0, 1, . . . , n− 1 m = −l,−l + 1, . . . , 0, 1 . . . l

Z.B., der Grundzustand ist:

ψ100 =1

πa30

e−r/a0

Funktionen sind orthonormiert:∫

ψ∗nlmψn′l′m′r2 sin θdθdφ = δnn′δll′δmm′

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Entartung: fur jeden Wert von l gibt es 2l + 1 moglichen Werten von m. Dann

d(n) =n−1∑

l=0

(2l + 1) = n2

Andere Notation: Zustand des Elektron im Wasserstoffatom:

|ψ〉 = |n, l,m〉

Weiter sehen wir, dass eigentlich sollen wir schreiben:

|ψ〉 = |n, l,m, s〉

Hier die Quantenzahl s entspricht Spin.

Bohr-Radius klassisch, grobe Schatzung. Aus der Unscharferelation: p ≈ h/a0.Dann

T =p2

2m=

h2

2ma20

V (a0) = − 1

4πε0

e2

a

Minimiert man die Gesamtenergie T (a) + V (a), erhalt man

a0 =4πε0h

2

me2

4.4.1 Spektrum des Wasserstoffatoms

Wenn das Wasserstoffatom im Zustand |n, l,m〉 ist, dann soll es auch so bleiben,weil der Zustand stationar ist. Eine Storung (Kollisonen mit anderen Atomen,Photonen, etc) kann aber das System in einen anderen Zustand bringen.Energiedifferenz:

Eγ = Ei − Ef = E1

(

1

n2i− 1

n2f

)

= hω = hν

Eγ > 0: Emission eines Photons; Eγ < 0: Absorption eines Photons.ν = c/λ =⇒

1

λ=

E1

2πhc

(

1

n2i− 1

n2f

)

= R

(

1

n2i− 1

n2f

)

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Hier R ist die Rydberg-Konstante.Ubergange zum Grundzustand, d.h. nf = 1: Lyman-Serie, ultraviolett.Ubergange zum ersten angeregten Zustand, d.h. nf = 2: Balmer-Serie, sichtbar.Ubergange zum zweiten angeregten Zustand, d.h. nf = 3: Paschen-Serie, infrarot.

4.5 Drehimpuls

Klassisch:~L = ~r × ~p

oderLx = ypz − zpy Ly = zpx − xpz Lz = xpy − ypx

Quantenmechanisch: den Operator des Drehimpulses bekommen wir durch diestandarte Substitution:

px → −ih ∂∂x

py → −ih ∂∂y

pz → −ih ∂∂z

4.5.1 Kanonische Vertauschrelationen

In 3 Dimensionen (Ubung) gelten kanonische Vertauschrelationen (in 1D:[x, p] = ih):

[ri, pj] = ihδij [ri, rj ] = [pi, pj ] = 0

Wir berechnen (alle Operatoren sind distributiv!)

[Lx, Ly] = [ypz − zpy, zpx − xpz] =

[ypz, zpx]− [ypz, xpz]− [zpy, zpx] + [zpy, xpz]

In [ypz, xpz] und [zpy, zpx] alle Operatoren kommutieren =⇒

[ypz, xpz] = 0 [zpy, zpx] = 0

[ypz, zpx] = ypzzpx − zpxypz = ypxpzz − ypxzpz = ypx[pz, z]

[zpy, xpz] = xpy[z, pz ]

[Lx, Ly] = [ypz, zpx] + [zpy, xpz] = xpy[z, pz]− ypx[z, pz ] = ih(xpy − ypx) = ihLz

Mit x→ y, y → z, und z → x:

[Lx, Ly] = ihLz [Ly, Lz] = ihLx [Lz, Lx] = ihLy

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Verallgemeinerte Unscharferelation:

σ2Lxσ2Ly

≥(

1

2i〈ihLz〉

)2

=h2

4〈Lz〉2

=⇒ Zwei Komponenten des Drehimpulses sind nicht vertraglich!Anderseits, der Operator

L2 = L2x + L2

y + L2z

kommutiert mit Lx. Wir berechnen:

[L2, Lx] = [L2x, Lx] + [L2

y, Lx] + [L2z, Lx] = [L2

y, Lx] + [L2z, Lx]

(Alle Kommutatoren kommutieren mit sich selbst.) Weiter benutzen wir:

[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B

[L2, Lx] = Ly[Ly, Lx] + [Ly, Lx]Ly + Lz[Lz, Lx] + [Lz, Lx]Lz

[L2, Lx] = Ly(−ihLz) + (−ihLz)Ly + Lz(ihLy) + (ihLy)Lz = 0

Also,[L2, Lx] = 0 [L2, Ly] = 0 [L2, Lz] = 0

4.5.2 Eigenwerte des Drehimpulsoperators

L2 und Lz sind vertragliche Observablen =⇒ wir suchen nach gemeinsameEigenzustande:

L2f = λf und Lzf = µf

Wir benutzen Kletteroperatoren:

L± = Lx ± iLy

Kommutator mit Lz:

[Lz, L±] = [Lz, Lx]± i[Lz, Ly] = ihLy ± i(−ihLx) = ±h(Lx ± iLy)

[Lz, L±] = ±hL±

Offensichtlich:[L2, L±] = 0

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N.R. fur weitere Nutzung:

L±L∓ = (Lx ± iLy)(Lx ∓ iLy) = L2x + L2

y ∓ i(LxLy − LyLx) = L2 − L2z ∓ i(ihLz)

OderL2 = L±L∓ + L2

z ∓ hLz

Aussage: Wenn f die Eigenfunktion von L2 und von Lz ist, dann L±f ist es auch.Beweis:

[L2, L±] = 0 =⇒ L2(L±f) = L±(L2f) = L±(λf) = λ(L±f)

L2(L±f) = λ(L±f) =⇒ L±f ist Eigenfunktion von L2

mit dem selben Eigenwert λ. Weiter,

Lz(L±f) = (LzL± − L±Lz)f + L±Lzf = ±hL±f + L±(µf)

Lz(L±f) = (µ ± h)(L±f) =⇒ L±f ist Eigenfunktion von Lz

mit dem neuen Eigenwert µ± h.Also, fur vorgegebene λ gibt es eine “Treppe” von Zustanden mit Eigenwertenµ± h, µ± 2h, . . .. Aber Eigenwert von Lz (sprich Messwert der z-Komponente desDrehimpulses) kann nich grosser als L sein =⇒ es gibt das hochste Niveau(Funktion ft) sodass

L+ft = 0

Den entsprechenden Eigenwert notieren wir mit lh (wir sehen bald, dass l dieNebenquantenzahl ist). Genauso, es gibt das niedrigste Niveau (Funktion fb) sodass

L−fb = 0

Den entsprechenden Eigenwert notieren wir mit lh.Wir benutzen jetzt die NR oben:

L2 = L−L+ + L2z + hLz =⇒

L2ft = λft = (L−L+ + L2z + hLz)ft = 0 + h2l2ft + h2lft = h2l(l + 1)ft

=⇒ λ = h2l(l + 1)

AhnlichL2 = L+L− + L2

z − hLz =⇒

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L2fb = λfb = (L+L− + L2z − hLz)fb = 0 + h2 l2fb − h2 lfb = h2 l(l − 1)fb

=⇒ λ = h2l(l − 1)

Also,l(l + 1) = l(l − 1)

Eine Losung ist l = l + 1, aber das wahre bedeuten, dass fb Niveau hoher als ftNiveau ist! Andere Losung ist

l = −lWir wissen auch, dass die Eigenwerte von Lz sich stufenweise andern, mit demSchritt h. Dann

−lh+Nh = lh ,

wobei N eine ganze Zahl ist. Dann l = N/2 ist ganzzahlig oder halb-ganzzahlig:

l = 0, 1/2, 1, 3/2, . . .

und Eigenwerte von Lz sind mh, mit

m = −l,−l+ 1, . . . , l − 1, l

(Wir sehen bald dass m die magnetische Quantenzahl ist).Jeden Zustand beschreiben wir mit l,m, d.h. mit der Eigenfunktion fml :

L2fml = h2l(l + 1)fml Lzfml = hmfml

D.h. Betrag des Drehimpulses ist h√

l(l + 1), z-Komponente ist mh.Bemerkung 1:

l(l + 1) > l =⇒ z-Komponente ist immer kleiner als Betrag

des Drehimpulses. Also, es kann nicht sein, dass ~L ↑↑ ~ez: das waehre bedeuten,dass alle drei Komponenten exakt bekannt sind, und das ist wegen derverallgemeinerten Unscharferelation

σ2Lxσ2Ly

≥(

1

2i〈ihLz〉

)2

=h2

4〈Lz〉2

nicht moglich. Das Teilchen kann nicht einen definierten Drehimpuls haben.Bemerkung 2: Man kann zeigen, dass fml = Y m

l (θ, φ). Kugelflachenfunktionen sindEigenfunktionen von L2 und Lz.Bemerkung 3: Algebraische Methode (Kletteroperatoren) erlaubt, dass l (unddeswegen auch m) ganzzahlig oder auch half-ganzzahlig sein kann. Mit demSeparationsansatz haben wir aber bekommen, dass l ganzzahlig sein soll.Widerspruch?

68

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4.6 Spin

Klassisch: Drehimpuls~L = ~r × ~p

(Rotations des Schwerpunktes) und Drehimpuls

~S = I~ω

(Rotation um den Schwerpunkt). Letzendlich, ~S ist die Summe von ~L von allenPunkten, also klassisch gibt es eigentlich keine Unterscheidung zwischen ~S und ~L.In der Quantenmechanik hat solche Unterscheidung eine fundamentale Bedeutung.In QM unterscheiden wir

1. Bahndrehimpuls ~L, z.B. wegen Rotation des Elektrons um Proton.

2. Interner Drehimpuls ~S, kann nicht durch eine Funktion vonRaumkoordinaten geschrieben werden.

Algebraische Theorie is zur Theorie des Drehimpulses ahnlich. Es gelten diekanonische Vertauschrelationen: (wir nehmen die als Postulate)

[Sx, Sy] = ihSz [Sy, Sz] = ihSx [Sz, Sx] = ihSy

Eigenwertgleichungen:

S2 |s m〉 = h2s(s+ 1) |s m〉 Sz |s m〉 = hm |s m〉

Eigenzustande sind keine Funktionen, deswegen benutzen wir die ket-Notation.Jetzt gibt es auch keine Grunde, die halb-geradzahlige Werte auszuschliessen:

s = 0, 1/2, 1, 3/2, . . . m = −s,−s+ 1, . . . , s − 1, s

Jedes Teilchen hat ein specifisches und konstantes wert von s: wir nennen denWert Spin des Teilchens: π-Mesonen haben Spin 0, Elektronen, Protonen undNeutronen haben Spin 1/2, Photonen haben Spin 1, u.s.w.

4.6.1 Spin 1/2

Das ist der wichtigster Fall. Es gibt nur zwei Eigenzustande:

1.∣

12 ,

12

, oder Spin aufwarts, oder ↑

69

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2.∣

12 ,−1

2

, oder Spin abwarts, oder ↓

Zweizustandssystem: Eigenvektoren

χ+ =

(

10

)

χ− =

(

01

)

Der allgemeine Zustand wird durch die 1× 2 Matrix (Spinor) dargestellt:

χ = aχ+ + bχ− =

(

ab

)

Die entsprechenden Operatoren sind 2× 2 Matrizen. Die Eigenwertgleichungen furs = 1/2 lauten:

S2χ+ =3

4h2χ+ S2χ− =

3

4h2χ−

und S2 ist noch unbekannt:

S2 =

(

c de f

)

Die erste Eigenwertgleichung ist dann:(

c de f

)(

10

)

=3

4h2(

10

)

oder(

ce

)

=

(

3h2/40

)

Die zweite Eigenwertgleichung:(

c de f

)(

01

)

=3

4h2(

01

)

oder(

df

)

=

(

0

3h2/4

)

Also, c = f = 3h2/4, e = d = 0 und

S2 =3

4h2(

1 00 1

)

70

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Genauso, die Gleichungen

Szχ+ =h

2χ+ Szχ− = − h

2χ−

liefern

Sz =h

2

(

1 00 −1

)

Mit Hilfe von Kletteroperatoren findet man

Sx =h

2

(

0 11 0

)

Sy =h

2

(

0 −ii 0

)

Zu merken: Si, S2 sind hermitesch. Man schreibt Si =

h2σi, wo σi die

Pauli-Matrizen sind:

σx =

(

0 11 0

)

σy =

(

0 −ii 0

)

σz =

(

1 00 −1

)

Eigenvektoren und Eigenwerte von Sz: χ+ mit h/2 und χ− mit −h/2. Wir messenSz eines Teilchen im Zustand χ = aχ+ + bχ−. Mogliche Ergebnisse: Sz = h/2 mitder W’keit |a|2 und Sz = −h/2 mit der W’keit |b|2.Jetzt messen wir Sx. Eigenvektoren (normierte) und Eigenwerte von Sx:

χ(x)+ =

(

1/√2

1/√2

)

mit λ = h/2

χ(x)− =

(

1/√2

−1/√2

)

mit λ = −h/2

Wir nehmen diese Vektoren als neue Basis.

χ(x)+ + χ

(x)− =

( √20

)

=√2χ+

χ(x)+ − χ

(x)− =

(

0√2

)

=√2χ−

χ = aχ+ + bχ− = a(χ(x)+ + χ

(x)− )/

√2 + b(χ

(x)+ − χ

(x)− )/

√2

71

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χ =a+ b√

2χ(x)+ +

a− b√2χ(x)−

W’keit, bei der Messung h/2 zu bekommen, ist |a+ b|2/2. W’keit, bei der Messung−h/2 zu bekommen, ist |a− b|2/2.Bsp. Sei ein Teilchen (Spin 1/2) im Zustand:

χ =1√6

(

1 + i2

)

Wie gross ist die W’keit h/2 oder −h/2 bei der Messing von Sx und Sz zubekommen?Hier a = (1 + i)/

√6 und b = 2/

√6. Dann fur Sz: die W’keit ±h/2 zu Messen ist

bzw. |a|2 = 1/3 und |b|2 = 2/3. Erwartungswert

h/2 · 1/3 + (−h/2) · 2/3 = −h/6

Oder direkt:

〈Sz〉 = 〈χ|Sz|χ〉 = χ†Szχ =

(

(1− i)√6

2√6

)

(

h/2 00 −h/2

)( (1+i)√62√6

)

= − h6

〈Sx〉 = 〈χ|Sx|χ〉 = χ†Sxχ =

(

(1− i)√6

2√6

)

(

0 h/2h/2 0

)( (1+i)√62√6

)

=h

3

Nochmal zur statistischen Interpretation. Sei Zustand des Teilchens χ+. Dannz-Messung gibt immer h/2. Aber x-Messung ist unscharf: die gibt ±h/2 mit W’kei1/2. Das bedeutet: der Zustand ist genau bekannt, aber das Teilchen hat keinbestimmten Wert der x-Komponente des Spins.

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4.7 Addition von Drehimpulsen

Sei es 2 Teilchen mit Spin 1/2. Eg gibt dann 4 Varianten:

↑↑ , ↑↓ , ↓↑ , ↓↓

Total Spin? Zustand ist χ1χ2. Wir schreiben:

Sz = S(1)z + S(2)

z ,

wobei S(1,2)z wirkt auf χ1,2. Dann

Szχ1χ2 = (S(1)z + S(2)

z )χ1χ2 = (S(1)z χ1)χ2 + χ1(S

(2)z χ2) = (hm1χ1)χ2 + χ1(hm2χ2)

Szχ1χ2 = h(m1 +m2)χ1χ2

Die vier Varianten geben dann m = 1, m = 0, m = 0, m = −1. Also, es gbt einen“extra” Zustand mit m = 0. (m soll mit Schritt 1 anedrn). Die Losung: wirkonstruiren Zustand

|1 0〉 =1√2(↑↓ + ↓↑)

Das kann man so begrunden. Kletteroperator

S± = Sx ± iSy =h

2

(

0 11 0

)

± ih

2

(

0 −ii 0

)

S−(↑↑) = (S(1)− ↑) ↑ + ↑ (S

(2)− ↑)

S+ = h

(

0 10 0

)

S− = h

(

0 01 0

)

Das gibt:S± = (h ↓) ↑ + ↑ (h ↓) = h(↓↑ + ↑↓)

Zwei andere Zustande:|1 1〉 =↑↑ |1 − 1〉 =↓↓

Das ist triplet-Konfiguration.Singlet-Konfiguration:

|0 0〉 =1√2(↑↓ − ↓↑)

Wenn wir S± verwenden, dann bekommen wir 0, also l = 0.Allgemein: wenn zwei Spins s1, s2 gibt (oder Drehimpulsen), dann die Summe ist

s = s1 + s2, s1 + s2 − 1, s1 + s2 − 2, . . . , |s1 − s2|

73

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4.8 Teilchen im Magnetfeld

Das magnetische Moment (auch magnetisches Dipolmoment) einer Stromverteilung(klassisch)

~µ =1

2

~r ×~jdV

Oder~µ = γ~S

Hier γ ist gyromagnetisches Verhaltnis. Magnetisches Dipol im Feld ~B: es entstehtein Drehmoment, so dass Dipol in die Richtung des Feldes gedreht wird, so dassfreies Dipol wird ~µ ↑↑ ~B (wie Kompasszeiger). Die Energie

H = −~µ~B = −γ ~B~S

Bsp. Larmor-Precession

Wir betrachten das Teilchen mit Spin 1/2 im Ruhe, im Magnetfeld ~B = B0~k. Dann

Hamiltonian (klassisch) istH = −γB0Sz

QM: Hamiltonian ist jetzt eine Matrix:

H = −γB0h

2σz = −γB0h

2

(

1 00 −1

)

H hat die selbe Eigenvektoren wie σz:

1. χ+ mit E+ = −(γB0h)/2

2. χ− mit E− = +(γB0h)/2

(Energie ist kleiner wenn Dipol parallel zum Feld ist.)Hamiltonian ist zeitunabhangig =⇒ Die Losung der zeitabhangigen Schr. Gl.:

ih∂χ

∂t= Hχ

stellen wir durch die stationaren Zustande dar:

χ(t) = aχ+e−iE+t/h + bχ−e

−iE−t/h =

(

aeiγB0t/2

be−iγB0t/2

)

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Konstanten bekommen wir aus der Anfangsbedingung:

χ(0) =

(

ab

)

Normierung: |a|2 + |b|2 = 1. Wir notieren: a = cos(α/2), b = sin(α/2). Dann:

χ(t) = cos(α/2)χ+e−iE+t/h + sin(α/2)χ−e

−iE−t/h =

(

cos(α/2)eiγB0t/2

sin(α/2)e−iγB0t/2

)

Erwartungswerte:

〈Sx〉 = χ(t)†Sxχ(t) =h

2sinα cos(γB0t)

〈Sy〉 = χ(t)†Syχ(t) = − h2sinα sin(γB0t)

〈Sz〉 = χ(t)†Szχ(t) =h

2cosα

Precession: Bewegung auf der Kegeloberflache; Halbwinkel des Kegels ist α,Larmor Frequenz ist ω = γB0.Bsp. Stern-Gerlach-Versuch.Falls das Feld nicht homogen ist, dann wirkt auch die Kraft:

~F = ∇(~µ ~B)

Wegen Precession, die Kraft in x oder y Richtung wird rausgemittelt. Die Kraft indie z-Richtung ist von der Richtung des Spins abhangig =⇒ Spaltung desAtomstrahles in zwei Strahlen.

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