PRVI_DIO (Sadudin Hodžić)

JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geološko-građevinski fakultet

Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi «Otpornost materijala sa teorijom elastičnosti», autora Dr sci. Sadudina Hodžića, redovnog profesora na Rudarsko-geološko-građevinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 20 do 24.

1


1. Prostorno stanje napona

Zadatak 1.1 Za prizmu prikazanu na slici 1. odrediti sile koje djeluju u pravcu osa (x,y,z), ako su poznate dilatacije u pravcu ovih osa (x,y,z). εy=0,718⋅εx εz=0,155⋅εx εx=0,000224 a=10cm E=21000kN/cm2 µ=0,33 εx=0,000224 εy=0,718⋅εx=0,718⋅0,000224=0,000161 εz=0,155⋅εx=0,155⋅0,000224=0,0000348

Slika 1. Određivanje napona u prizmi: εx⋅E=σx-µσy-µσz εy⋅E=σy-µσx-µσz εz⋅E=σz-µσx-µσy σx-µσy-µσz=εx⋅E σy-µσx-µσz=εy⋅E σz-µσx-µσy=εz⋅E

z

2a

a

a

Fx Fx

Fy

Fy

Fz

Fz

x

y

σx-µσy-µσz=0,000224⋅21000 σy-µσx-µσz=0,000161⋅21000 σz-µσx-µσy=0,0000348⋅21000 σx-µσy-µσz=4,7

2


σy-µσx-µσz=3,38 σz-µσx-µσy=0,73 σx-0,33σy-0,33σz=4,7 σy-0,33σx-0,33σz=3,38 σz-0,33σx-0,33σy=0,73 σx-0,33σy-0,33σz=4,7 -0,33σx +σy-0,33σz=3,38 -0,33σx-0,33σy+σz =0,73

6015,03267,00718,0109,0109,0109,00359,00359,0133,0

133,0

33,033,0

1

133,033,033,0133,033,033,01

133,033,033,0133,033,033,01

=−−−−−−−=

−

−

−−

−−−−−−

=−−

−−−−

=

D

D

985,524,0512,011,10368,00795,07,433,0

133,0

73,038,37,4

133,073,033,0138,333,033,07,4

133,073,033,0138,333,033,07,4

=+−+++=

−

−

−−−−

=−

−−−

=

x

x

D

D

2/95,96015,0985,5 cmkN

DDx

x ===σ

554,5368,024,055,124,0512,038,373,038,37,4

33,033,0

1

173,033,033,038,333,033,07,41

173,033,033,038,333,033,07,41

=−++++=

−−

−−−−

=−

−−−

=

y

y

D

D

2/2,96015,0554,5 cmkN

DDy

y ===σ

194,455,1115,10795,0511,0368,073,033,0

133,0

33,033,0

1

73,033,033,038,3133,07,433,01

73,033,033,038,3133,07,433,01

=++−++=

−

−

−−

−−−

−=

−−−

−=

z

z

D

D

3


2/97,66015,0194,4 cmkN

DDz

z ===σ

kNaFaa

F

kNaFaa

FkNaF

aaF

zz

zz

yy

yy

xx

xx

69710297,622

18401022,922

199010295,922

22

22

22

=⋅⋅=⋅=⋅

=

=⋅⋅=⋅=⋅

=

=⋅⋅=⋅=⋅

=

σ

σ

σ

σ

σ

σ

Zadatak 1.2 U nekoj tački napregnutog tijela imamo napone: σx=2kN/cm2; τxy=0; τxz=1kN/cm2; τyx=0; σy=2kN/cm2; τyz=1kN/cm2; τzx=1kN/cm2; τzy=1kN/cm2; σz=1kN/cm2. -Utvrditi o kakvom se stanju napona radi, tj. dokazati da li je naponsko stanje ravno ili je prostorno. -Odrediti pravce i veličine glavnih napona. -Odrediti kosinuse pravaca glavnih napona. -Odrediti maksimalni napon smicanja. Formiramo tenzor napona:

=

111120102

S

Ako je veličina determinante matrice tenzora napona različita od nule, stanje napona je prostorno, a ako je jednaka nuli, radi se o ravnom naponskom stanju. Pored toga bar jedan od njenih minora mora biti različit od nule.

0

0220004112002

111120102

=

=−−−++==

D

D

4042002

1 =−==D

Dakle, vrijednost determinante je jednaka nuli, a jedan od minora je različit od nule. Prema tome u pitanju je ravno stanje napona.

4


Veličine glavnih napona σi (i=1,2,3), dobijamo rješavanjem sekularne jednačine karakteristične jednačine (*).

.....(*)....................0322

13 =−⋅+⋅− III iii σσσ

Ovdje su I1, I2 i I3, invarijante stanja napona.

21 5122cmkNI zyx =++=++= σσσ

4

2

2

2222

6110211222cmkNI

I zxyzxyxzzyyx

=−−−⋅+⋅+⋅=

−−−⋅+⋅+⋅= τττσσσσσσ

0001212122

2

3

2223

=+−⋅−⋅−⋅⋅=

⋅⋅⋅+⋅−⋅−⋅−⋅⋅=

I

I yzxzxyxyzzxyyzxzyx ττττστστσσσσ

Uvrštavanjem invarijanti u karakterističnu jednačinu, dobijamo:

22

21

2

2,1

2

23

224

326

21

256

25

25

065

1065

cmkN

cmkN

ii

iiii

==

==

±=−

±=

=+⋅−

⋅=⋅+⋅−

σ

σ

σ

σσ

σσσσ

03 =σ jer je u pitanju ravno naponsko stanje. Da bi našli kosinuse uglova koje glavni napon σi zatvara sa koordinatnim osama, postavljamo uvjet u vidu proporcije:

( )( ) ( )

( )

( )( )izzy

yziyi

zyzx

iyyx

izzx

yzyx

izzy

yziy

A

k

σσττσσ

ττσστ

γ

σστττβ

σσττσσ

α

−−

=

=−

=

−

=

−−

111 coscoscos

5


( )( )

222

1

iii

zyzx

iyyxi

izzx

yzyxi

CBAk

C

B

++±=

−=

−=

ττσστ

σστττ

Pošto je i=1,2,3, najpogodnije je da se račun predstavi tabelarno (nakon izračunavanja) za

23cmkN

=σ računamo Ai, Bi i Ci.

( )

( )

( )( )

111

320

1311

10

112311

132

1

1

1

−=−

=

−=−

=

=−=−

−=

C

B

A

22 2cmkN

=σ

( )

( )

( )( )

011

220

1211

10

1211

122

2

2

2

=−

=

−=−

=

−=−

−=

C

B

A

03 =σ ( )

( )

( )( )

211

020

1011

10

1011

102

3

3

3

−=−

=

−=−

=

=−

−=

C

B

A

6


Tabela 1. Kosinusi pravaca glavnih napona

i Ai Bi Ci 2iA 2

iB 2iC 222

iii CBA ++ cosαi cosβi cosγi 1 1 -1 -1 1 1 1 3

31

± 3

1±

31

±

2 -1 -1 0 1 1 0 2 2

1±

21

± 0

3 1 -1 -2 1 1 4 6 6

1±

61

± 6

2±

Maksimalni napon smicanja:

( ) ( ) 231max 5,10321

21

cmkN

=−⋅=−⋅= σστ

Stanje glavnih napona u posmatranoj tački, predstavljeno je Morovim krugovima.

Slika 2.

Uσ =1(kN/cm )=2cm2τ (kN/cm2)

σ (kN/cm2) σ3

σ1

τ max

σ2

Zadatak 1.3 U nekoj tački napregnutog tijela, date su komponente deformacije:

555

555

108110011050

105010021001−−−

−−−

⋅=⋅−=⋅=

⋅=⋅=⋅−=

,γ;,γ;,γ

;,ε;,ε;,ε

zxyzxy

zyx

Traži se: -Tenzor deformacija. -Veličine i pravci glavnih dilatacija. -Stanje glavnih dilatacija prikazati grafički preko Morovih krugova dilatacija.

7


Tenzor deformacija:

−−

−=

= −

5,05,09,05,0225,0

9,025,00,110

21

21

21

21

21

21

5

zzyzx

yzyyx

xzxyx

D

εγγ

γεγ

γγε

Karakteristična jednačina glasi:

*).........(....................0322

13 =−⋅+⋅− III iii εεε

I1, I2 i I3 su prva, druga i treća invarijanta stanja deformacija.

( )

( )44

141

2223

2222

1

zxyzxyxyzzxyzyxzyx

zxyzxyxzyzyx

zyx

I

I

I

γγγγεγεγεεεε

γγγεεεεεε

εεε

⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅=

++⋅−⋅+⋅+⋅=

++=

Voditi računa da je po zakonu konjugovanosti:

xzzxzyyzyxxy γγγγγγ === ;;

( ) 551 105,1105,021 −− ⋅=⋅++−=I

( ) ( ) ( )

⋅+⋅−+⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−= −−−−−−−−− 252525555555

2 108,1101105,041101105,0102105,0102101I

102 106225,2 −⋅−=I

( ) ( ) ([ ]( )

)

4108,1101105,0

105,0105,0108,110210110141105,0102101

555

2552552555553

−−−

−−−−−−−−−

⋅⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=I

151515153 10626,210225,0104012,1101 −−−− ⋅−=⋅−⋅−⋅−=I

Karakteristična jednačina glasi:

010626,2106225,2105,1 1510253 =⋅+⋅⋅−⋅⋅− −−−iii εεε

Za rješavanje prethodne sekularne jednačine trećeg stepena, slijede matematske upute.

8


Matematske osnove potrebne za rješavanje zadatka. Tabela 2. Tabela smijena

pr = p<0

032 ≤+ pq

3cosrq

=ϕ

3cos23

ϕ⋅⋅−= ry

−°⋅⋅=

360cos21

ϕry

+°⋅⋅=

360cos22

ϕry

Jednačina trećeg stepena u obliku:

03 =+⋅+⋅+⋅ dxcxbxa rješava se uvođenjem nove varijable:

abxy⋅

+=3

Zatim vršimo zamjenu:

32

2

2

23

3

333

32722

pqDa

bcap

ad

acb

abq

+=⋅−⋅⋅

=⋅

+⋅⋅

−⋅⋅

=⋅

Za diskriminantu D 0, postoje 3 realna rješenja. Kako za probleme rješavanja «karakteristične jednačine (*)» imamo uvijek takav slučaj, dalje rješavanje jednačine će se odvijati uz ovu predpostavku (D<0) i (p<0).

≤

Kada izračunamo y1; y2 i y3, vratimo se na «staru» varijablu: a

bxy⋅

+=3

, te za (y1), izračunamo

(x1), za (y2), izračunamo (x2) i za (y3), izračunamo (x3), i to su konačna rješenja.

15

10

5

23

3

10626,2106225,2

105,11

32722

−

−

−

⋅=

⋅−=

⋅−=

=

+⋅⋅

−⋅⋅

=⋅

dcba

ad

acb

abq

( ) ( ) ( )[ ]

( )15

1515

1510535

1053237,01006475,110626,231125,125,02

10626,23

106225,2105,127

105,122

−

−−

−−−−

⋅=

⋅=⋅+−−=⋅

⋅+⋅−⋅⋅−

−⋅−⋅

=⋅

qq

q

Nova varijabla:

aby ii ⋅

+=3

ε

( ) ( )

1010

102510

2

2

10124167,13

103725,33

101175,103

105,1106225,233

33

−−

−−−

⋅−=⋅

−=

⋅−=

⋅−−⋅⋅−=

⋅−⋅⋅

=⋅

p

abcap

9


Diskriminanta:

0101372,11042064,1102834,0 30303032 <⋅−=⋅−⋅=+= −−−pqD Pošto je diskriminanta manja od nule, sekularna jednačina ima tri realna korjena:

510 10060267,110124167,1 −− ⋅=⋅== pr

°=

=⋅⋅

== −

−

47,63

44665,0101919176,1

1053237,0cos 15

15

3

ϕ

ϕrq

5533

553

104776,11035,19776,1

3

109776,1347,63cos10060267,12

3cos2

−−

−−

⋅−=⋅

+−=−=

⋅−=°

⋅⋅⋅−=⋅⋅−=

by

ry

ε

ϕ

55522

552

55511

551

10826,01035,110326,0

3

10326,0347,6360cos10060267,12

360cos2

101514,21035,11065145,1

3

1065145,1347,6360cos10060267,12

360cos2

−−−

−−

−−−

−−

⋅=⋅+⋅=−=

⋅=

°

+°⋅⋅⋅=

+°⋅⋅=

⋅=⋅+⋅=−=

⋅=

°

−°⋅⋅⋅=

−°⋅⋅=

by

ry

by

ry

ε

ϕ

ε

ϕ

Dakle, glavne dilatacije iznose: ε1=2,1514⋅10-5 ε2=0,826⋅10-5 ε3=-1,4776⋅10-5 Prethodna 3 rješenja su korijeni karakteristične (sekularne) jednačine. Određivanje kosinusa smijerova glavnih dilatacija:

( )

( )( )

−

−

−

=

izzyzx

yziyyx

xzxyix

D

εεγγ

γεεγ

γγεε

21

21

21

21

21

21

Minore Ai, Bi i Ci, određivat ćemo za i=1,2,3; tj. ε1, ε2 i ε3.

10


Za: ε1=2,1514⋅10-5 εx=-1,0⋅10-5→ zadato εy=2,0⋅10-5→ zadato εz=0,5⋅10-5→ zadato

( )( )

( ) 10251

1

1

1

10000202,0106514,15,0

5,01514,021

21

−− ⋅=⋅−−−−

=

−

−=

A

Azzy

yzy

εεγ

γεε

( )

( ) 10251

1

1

1003715,0106514,19,0

5,025,021

21

21

−− ⋅=⋅−−

=

−=

B

Bzzx

yzyx

εεγ

γγ

( )

( ) 10251

1

1

1001126,0105,09,0

1514,025,021

2121

−− ⋅=⋅−

−=

−=

C

Czyzx

yyx

γγ

εεγ

Pošto je:

1coscoscos

coscoscos

12

12

12

1

1

1

1

1

1

=++

===

γβα

γβα kCBA

0052,0cos03882,0

10000202,010cos

03882,010

03882,0101

01126,003715,0000202,0101

1

1

1010

11

10

1022210

21

21

21

=

⋅⋅=⋅=

=

⋅=

++⋅=

++=

−

−−

α

α Ak

k

k

CBAk

11


957,0cos03882,0

1003715,010cos

1

1010

11

=

⋅⋅=⋅=

−

β

β Bk

29,0cos03882,0

1001126,010cos

1

1010

11

=

⋅⋅=⋅=

−

γ

γ Ck

( )( )

( ) 10252

2

2

2

106327,010326,05,0

5,0174,121

21

−− ⋅−=⋅−−−

=

−

−=

A

Azzy

yzy

εεγ

γεε

( )

( ) 10252

2

2

103685,010326,09,0

5,025,021

21

21

−− ⋅=⋅−−

=

−=

B

Bzzx

yzyx

εεγ

γγ

( )

( ) 10252

2

2

101816,1105,09,0

174,125,021

2121

−− ⋅−=⋅−

=

−=

C

Czyzx

yyx

γγ

εεγ

( ) ( )

( )

455,0cos39,1

106327,010cos

39,110

39,1101

1816,13685,06327,010

1

1

2

1010

22

10

1022210

22

22

22

−=

⋅−⋅=⋅=

=

⋅=

−++−⋅=

++=

−

−−

α

α Ak

k

k

CBAk

12


265,0cos39,1

103685,010cos

2

1010

22

=

⋅⋅=⋅=

−

β

β Bk

( )

85,0cos03882,0

101816,110cos

2

1010

22

−=

⋅−⋅=⋅=

−

γ

γ Ck

( )( )

( ) 10253

3

3

3

1011273,7109776,15,0

5,04776,321

21

−− ⋅=⋅−

−=

−

−=

A

Azzy

yzy

εεγ

γεε

( )

( ) 10253

3

3

10944,0109776,19,0

5,025,021

21

21

−− ⋅=⋅−

=

−=

B

Bzzx

yzyx

εεγ

γγ

( )

( ) 10253

3

3

102548,3105,09,0

4776,325,021

2121

−− ⋅−=⋅−

=

−=

C

Czyzx

yyx

γγ

εεγ

( )

903,0cos8778,7

101127,710cos

8778,710

8778,7101

944,02548,31127,710

1

1

3

1010

33

10

1022210

23

23

23

=

⋅⋅=⋅=

=

⋅=

+−+⋅=

++=

−

−−

α

α Ak

k

k

CBAk

13


12,0cos8778,7

10944,010cos

3

1010

33

=

⋅⋅=⋅=

−

β

β Bk

( )

413,0cos8778,7

102548,310cos

3

1010

33

−=

⋅−⋅=⋅=

−

γ

γ Ck

Dakle uglovi koje zaklapaju pravci glavnih dilatacija sa koordinatnim osama su: α→sa osom (x); β→sa osom (y); γ→sa osom (z). ε1→ (α1; β1; γ1 ) ε2→ (α2; β2; γ2 ) ε3→ (α3; β3; γ3 ) Tabela 3. Tabelarni prikaz kosinusa smijerova i iαcos iβcos iγcos ε1

1 0,0052 0,957 0,29 2,1514⋅10-5

2 -0,455 0,265 -0,85 0,826⋅10-5 3 0,903 0,120 -0,413 -1,4776⋅10-5

Morov krug dilatacija

14

Slika 3.

Uε=1⋅10 =2cm -5

ε1

ε2 ε⋅10-5

½ ⋅γ⋅10

½⋅γ

max

-5

ε3


Zadatak 1.4 Stanje deformacije u nekoj tački kvadra, ima tenzor deformacije:

00005,000005,000009,000005,00002,0000025,0

00009,0000025,00001,0

−−

−=D

Elasične konstante materijala su: E=21000kN/cm2, µ=1/3. Napisati tenzor napona za istu tačku, i odrediti prvu invarijantu tenzora napona. Modul klizanja:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

)6....(................................................................................

)5....(................................................................................

)4....(................................................................................

)3.......(....................1211

)2.......(....................1211

)1.......(....................1211

78772333,01

2100021 2

zxzx

yzyz

xyxy

yxzz

xzyy

zyxx

G

G

G

E

E

E

cmkNEG

γτ

γτ

γτ

εεµεµµµ

σ

εεµεµµµ

σ

εεµεµµµ

σ

µ

⋅=

⋅=

⋅=

+⋅+⋅−⋅−⋅+

=

+⋅+⋅−⋅−⋅+

=

+⋅+⋅−⋅−⋅+

=

=⋅+

=⋅+

=

15


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )( ) 0000335,000005,067,01

000134,00002,067,01000067,00001,067,01

000033,00002,00001,033,00000165,00001,000005,033,0

0000825,000005,00002,033,067,01

452,066,0133,01211

=⋅=⋅−

=⋅=⋅−−=−⋅=⋅−

=+−⋅=+⋅−=−⋅=+⋅

=+⋅=+⋅=−

=−⋅+=⋅−⋅+

z

y

x

yx

xz

zy

εµ

εµεµ

εεµεεµ

εεµµ

µµ

( ) ( )

[ ]

[ ]

[ ] 2

2

2

09,3000033,00000335,018,46460

459,50000165,0000134,018,46460

72,00000825,0000067,018,46460

18,46460452,0

21000211

cmkNcmkNcmkN

E

y

y

x

=−⋅=

=−⋅=

=+−⋅=

==−⋅+

σ

σ

σ

µµ

( )

2

2

2

41,100009,027877

788,000005,027877

394,0000025,027877

cmkN

cmkN

cmkN

zx

yz

xy

=⋅⋅=

−=−⋅⋅=

=⋅⋅=

τ

τ

τ

Tenzor napona:

2

09,3788,041,1788,0459,5394,041,1394,072,0

cmkNS

S

zzyzx

yzyyx

xzxyx

−−=

=στττστττσ

Prva invarijanta tenzora napona:

21 269,909,3459,572,0cmkNI zyxn =++=++= σσσ

16


17



18


2. Dvoosno naponsko stanje

Zadatak 2.1 Kvadar prikazan na slici 4. opterećen je silama: Fx; Fy; FT. Odrediti normalne i napone smicanja u presjeku koji stoji pod uglom: ϕ=43,5o. Odrediti pravce i intenzitete glavnih napona. Analitički dobijene rezultate provjeriti preko Morovog naponskog kruga. a=10cm

a/2

FTFx

Fy

ϕ

y

z

Fy=100kN

Fx=333kN =100kN

a

2/3a

Slika 4.

Analitičko rješenje zadatka

22

1

22

3

502

10022

33,333

10033

22

cmaaaA

cmaaaA

===⋅=

===⋅=

2223

2221

2223

3100300300

3

100

2100200200

2

100

10100

10001000

3

333

cmkN

aaAF

cmkN

aaAF

cmkN

aaAF

Txy

yy

xx

=====

−=−

=−

=−

=−

=

=====

τ

σ

σ

19


Za pozitivan smičući napon:

( ) ( )

2222222 282,7100

2,7282,72899,0300052,02001000212001000

21

2sin2cos21

21

cmkN

aaaaaan

xyyxyxn

===⋅+

++

−=

+−++=

σ

ϕτϕσσσσσ

99,05,43cos2sin052,05,43cos2cos

==

==o

o

ϕ

ϕ

( ) ϕτϕσστ 2cos2sin21

xyyxnl +−−=

2222222 784,5100

4,5784,5786,15594052,030099,0200100021

cmkN

aaaaaanl −=−=−=+−=⋅+

+−=τ

o

o

yx

xy

arctg

tg

28,13;56,262

5,02

2

=

=

=+

=

α

α

σστ

α

22424

2

4

2

22,18,670400

26,134140030041200

21400

aaaaaaa±=±=

⋅+±=σ

221 78,10100

8,10708,1070cmkN

a===σ

222 708,2100

8,2708,270cmkN

a−=−=−=σ

20


21

Provjera preko Morovog kruga

Grafičko rješenje τ σ2=-2,7kN/cm2 σ1=10,7kN/cm2

Uσ=1kN/cm2=1cm

-σy=2kN/cm2 σx=10kN/cm2

(2)

(1)

τxy α=13,28o

ϕ σ -τxy

τnl=-5,8kN/cm2 (2)

σn=7,3kN/cm2

Slika 5. Zadatak 2.2 Tanka ploča (slika 6.) je zategnuta u pravcu ose x i u pravcu ose y. Glavna naponska osa (1), stoji pod uglom α=26,5°, u odnosu na osu (x). U nekom kosom presjeku ove ploče poznati su naponi: σn=13,9kN/cm2; τnl=-0,95kN/cm2. Takođe je poznat napon smicanja: τxy=4kN/cm2. Odrediti: -Glavne napone σ1 i σ2. -Ugao (ϕ), pod kojim stoji kosi presjek. -Napone u pravcu osa x i y (σx i σy). Izvršiti provjeru alternativnom metodom.


22

y σy

τyx

τxy

ϕ σx σx x

Slika 6. σy z

Grafičko rješenje Polupriječnik Morovog kruga može se izraziti i preko relacije: τxy/R=2sinα R=τxy/2sinα=4/0,798=5kN/cm2. AO =R Pošto su zadati: τnl i σn; nanesemo σn i na kraju iz tačke A/

nanesemo -τnl. Pošto smo izračunali «R», uzmemo u šestar dužinu «R», i iz tačke A presječemo osu σ. To je tačka «O» centar Morovog kruga, koji sada možemo nacrtati, a sa njega dobiti tražene veličine.

σ O

Uσ=1kN/1cm2=1cm

σn=13,9kN/cm2

σ1=14kN/cm2

σx=12kN/cm2

σy=6kN/cm2 σ2=4kN/cm2

τ nl

A

A/

β

-τxy

τ xy=

4kN

/cm

2

(2)

(1)

2αϕ=32o

α=26,5o

R

τ

Slika 7. Odgovor: σx=12kN/cm2; σy=6kN/cm2; σ1=14kN/cm2; σ2=4kN/cm2; ϕ=32o


Analitička provjera rješenja

24

327,125,26

22

cmkN

tg

tg

xy

o

yx

xy

=

==

−=

τ

αα

σστ

α

( )( )

).......(..........6327,18

42327,1

22

2 acmkN

tg

yx

yx

xyyx

==−

⋅=−⋅

=−⋅

σσ

σσ

τσσα

Pošto je: 295,0cmkN

nl −=τ

( )

)1....(..........2cos33,1317,02sin2cos21,412sin15,32cos21,42sin15,31

95,012cos42sin395,0

)1(2cos42sin395,0

2cos42sin62195,0

2cos2sin21

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕτϕσστ

⋅+=⋅+=⋅⋅−⋅=

⋅⋅−⋅=

−⋅⋅+⋅−=−

⋅+⋅⋅−=−

⋅+⋅−−= xyyxnl

βαϕ =−

βτ

2sin=Rnl (vidi se na Morovom krugu)

°−=°−=

−=−

=

48,595,102arcsin

19,0595,02sin

ββ

β

°=+= 32αβϕ

44,02cos9,02sin

==

ϕϕ

9,0438,033,1317,02sin =⋅+=ϕ što zadovoljava jednačinu (1)

23


Iz jednačine (a) : yx σσ += 6

( ) ( )

( ) ( )

( ) yyy

yyyy

xyyxyxn

σσσ

σσσσ

ϕτϕσσσσσ

+=+++=++⋅+⋅=

⋅+⋅−+⋅+++⋅=

⋅+⋅−⋅++⋅=

9,76,33,136,33,126219,13

9,0444,06216

219,13

2sin2cos21

21

269,79,13cmkN

y =−=σ

Pošto je: 212666cmkN

yx =+=+= σσ

Dakle: σx=12kN/cm2; σy=6kN/cm2; ϕ=32o; što se u potpunosti slaže sa grafičkim rješenjem. Provjera glavnih napona:

( ) ( )

( ) ( ) 594461221612

21

421

21

222,1

222,1

±=⋅+−±+=

+−±+=

σ

τσσσσσ xyyxyx

;4;14 2221 cmkN

cmkN

== σσ

Dakle, i glavni naponi se u potpunosti slažu sa grafičkim rješenjem. Zadatak 2.3 Zadate su veličine glavnih napona: σ1=12,9kN/cm2; σ2=-4,9kN/cm2 i napona smicanja koji leži u kosoj ravnini pod uglom ϕ=30o. τnl=-4,9 kN/cm2 -Odrediti najpogodnijom metodom napone: σx, σy, τxy i σn. -Odrediti ugao (α) i odrediti ose (1) i (2) -Provjeriti drugom metodom tačnost rezultata dobijenih po prvoj metodi. Najpovoljnija metoda je grafička metoda, primjenom Morovog naponskog kruga. Očitane tražene veličine: σx=12kN/cm2; σy=-4kN/cm2; σn=11,4kN/cm2; τxy=4kN/cm2; α=13,35o

24


25

τ

Uσ=2kN/cm2=1cm

(1)

τ xy=

4kN

/cm

2

α=13,35° σ

τ nl=

-4,9

kN/c

m2

ϕ=30°

σn=11,4kN/cm2

σy=-4kN/cm2 σx=12kN/cm2

σ2=-4,9kN/cm2 σ1=12,9kN/cm2

(2)

Slika 8.

Analitička provjera

Unesene su očitane veličine: σx=12kN/cm2; σy=-4kN/cm2; τxy=4kN/cm2

( ) ( )

( ) ( ) 9,844441221412

21

421

21

222,1

222,1

±=⋅++±−=

+−±+=

σ

τσσσσσ xyyxyx

;9,49,84;9,129,84 2221 cmkN

cmkN

−=−==+= σσ

S obzirom da smo dobili zadate veličine za σ1 i σ2, dobijeni parametri grafičkom metodom su tačni.

( )

( ) 29,45,04866,041221

2cos2sin21

cmkN

nl

xyyxnl

−=⋅+⋅+−=

+−−=

τ

ϕτϕσστ

Iz prethodnog zaključujemo, da je i po drugoj provjeri tačan grafički način određenih, traženih veličina. Provjera očitanog ugla “α”


o

o

yx

xy

arctg

tg

3,136,262

5,0412

4222

=

=

=+⋅

=−

=

α

α

σστ

α

što se takođe slaže sa očitanom veličinom.

( ) ( )

( ) ( ) 246,11866,045,041221412

21

2sin2cos21

21

cmkN

n

xyyxyxn

=⋅+⋅+⋅+−⋅=

⋅+⋅−⋅++⋅=

σ

ϕτασσσσσ

Dakle, očitana veličina i izračunata veličina (σn) na bazi očitanja, identične su, pa je zaključak, da su sve tražene veličine, dobijene grafičkom metodom, tačne. Zadatak 2.4 Mjernim trakama postavljenim po pravcima (a), (b) i (c) na čeličnoj ploči (slika 9. ) ustanovljene su dilatacije: εa=0,00097 εb= 0,00103 εc=0 ,0011 Prema pravcima sila, očekuju se normalna naprezanja na zatezanje, a naprezanje na smicanje će takođe imati pozitivan predznak. Odrediti naprezanja u pravcu ose (x) σx, u pravcu ose (y) σy i naprezanje na smicanje τxy. takođe odrediti glavne napone, kao i njihov položaj. E=21000kN/cm2; G=7875kN/cm2

26

Slika 9.

θ1=17° θ2=22,5° θ3=45°

(c)

(b)

(a)

θ3

θ2

θ1

x

y


( )( )( ) )3..(..........2sin2cos2

)2..(..........2sin2cos2

)1..(..........2sin2cos2

33

22

11

θγθεεεεε

θγθεεεεε

θγθεεεεε

⋅+⋅−++=⋅

⋅+⋅−++=⋅

⋅+⋅−++=⋅

yxyxc

yxyxb

yxyxa

;00194,02 =⋅ aε ;00206,02 =⋅ bε ;0022,02 =⋅ cε

;0,02cos;707,02cos;829,02cos

3

2

1

===

θθθ

;0,12sin

;707,02sin;559,02sin

3

2

1

===

θθθ

γεε

γεεεε

γεεεε

++=

⋅+⋅−⋅++=

⋅+⋅−⋅++=

yx

yxyx

yxyx

0022,0

707,0707,0707,000206,0

559,0829,0829,000194,0

)3.....(........................................0022,0

)2.(..........707,0293,0707,100206,0

)1..(..........559,0171,0829,100194,0

γεε

γεε

γεε

++=

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

yx

yx

yx

Formiramo determinante i razvijemo ih po Sarusu, te određujemo dilatacije εx i εy, kao i ugao smicanja (klizanja) (γ).

138,01638,0293,1292,0954,0121,05359,01293,0171,0

1707,1829,1

111707,0293,0707,1559,0171,0829,1

111707,0293,0707,1559,0171,0829,1

−=−−−++=

==

D

D

000098,01293,0171,0

0022,000206,000194,0

110022,0707,0293,000206,0559,0171,000194,0

110022,0707,0293,000206,0559,0171,000194,0

−=

==

x

x

D

D

00071,0138,0

000098,0=

−−

==DDx

xε

27


28

00006,00022,0100206,0707,100194,0829,1

10022,01707,000206,0707,1559,000194,0829,1

10022,01707,000206,0707,1559,000194,0829,1

−=

==

y

y

D

D

00044,0138,0

00006,0=

−−

==DDy

yε

000139,011293,0707,1171,0829,1

0022,01100206,0293,0707,100194,0171,0829,1

0022,01100206,0293,0707,100194,0171,0829,1

−=

==

γ

γ

D

D

001,0138,0

000139,0=

−−

==DDyγ

Naponi:

( ) ( )

( ) ( )

2

222

222

87,7001,07875

89,1533,01

00071,033,000044,0210001

15,2033,01

00044,033,000071,0210001

cmkNG

cmkNEcmkNE

xy

xyy

yxx

=⋅=⋅=

=−

⋅+⋅=

−

⋅+=

=−

⋅+⋅=

−

⋅+=

γτ

µεµε

σ

µεµε

σ

Položaj glavnih osa napona:

0

0

42,3785,742

69,389,1515,20

87,7222

=

=

=−⋅

=−

=

α

α

σστ

α

arctg

tgyx

xy

( ) ( )

( ) ( ) 15,802,1887,7489,1515,202189,1515,20

21

421

21

222,1

222,1

±=⋅+−±+=

+−±+=

σ

τσσσσσ xyyxyx

;87,915,802,18;17,2615,802,18 2221 cmkN

cmkN

=−==+= σσ

;87,9;17,26 2min22max1 cmkN

cmkN

==== σσσσ


Zadatak 2.5 Odrediti prvu, drugu i treću invarijantu tenzora napona, napisati matricu (tenzor napona) za kvadar, opterećen kao na slici. a=10cm

FT

A3

A2 A1

Fx

Fy

y

z

Fy=50kN

=50kN Fx=100kN

3a

2a

0,75a

Slika 10.

2221

2222

2221

2251025,225,275,03

150105,15,1275,0

600106632

cmaaaA

cmaaaA

cmaaaA

=⋅==⋅=

=⋅==⋅=

=⋅==⋅=

Naponi:

2222

2223

2222

333,0100

3,333,335,150

222,0100

2,222,2225,2

50

667,0100

7,667,665,1

100

cmkN

aaAF

cmkN

aaAF

cmkN

aaAF

Txy

yy

xx

=====

−=−

=−

=−

=−

=

=====

τ

σ

σ

−=

−=

0000222,0333,00333,0667,0

000

02,223,33

03,337,66

22

22

aa

aaS

29


0;0;0;0 ==== zxyzxyz τττσ

22221

1

445,0100

5,445,442,227,66cmkN

aaaI

I yxzyx

===−=

+=++= σσσσσ

4

2

4

2

2222

22222

258964,010000

64,258964,25893,332,227,66cmkN

aaaaI

I xyyxzxyzxyxzzyyx

−=−

=−

=

−

−⋅=

−⋅=−−−⋅+⋅+⋅= τσστττσσσσσσ

02222

3 =⋅⋅⋅+⋅−⋅−⋅−⋅⋅= yzxzxyxyzzxyyzxzyxI ττττστστσσσσ

30



31


3. Jednoosno naponsko stanje

Zadatak 3.1 Za štapni sistem prikazan na slici 11. odrediti sile u štapovima (1), (2) i (3). Poprečni presjeci štapova su: A1=2,075cm2; A2=5cm2; A3=2cm2. Takođe odrediti pomijeranje tačke (C), pod djelovanjem sile G=100kN. Štapovi su od čelika. Težinu štapova zanemariti. l2=200cm.

3 2 1

B A

C

G

35o 30o

l 3

l 2

l1

S3

S2

S1

y

321

BA

C

G=100kN

35o30o

x

Slika 11. Slika 12.

331

31

15,130sin35sin

035sin30sin

SSS

SSS

o

o

oox

⋅=⋅=

=⋅−⋅=Σ

0819,0866,0035cos30sin

0

321

321

=−⋅++⋅=−⋅++⋅

=Σ

GSSSGSSS

Soo

y

GSSGSSS

=+⋅=⋅++⋅⋅

23

323

81,1819,0866,015,1

C/

Slika 13.

∆l2

∆l3

S3

S2

S1

C

35o30o

x35o

23 552,025,55 SS ⋅−=

23

2

3

0

2

3

819,0

819,0

35cos

llllll

∆⋅=∆

=∆∆

=∆∆

2

222

3

333 ;

AElSl

AElSl

⋅⋅

=∆⋅⋅

=∆

32


ooo llll

l 35cos;

30cos;30cos 2

32

11

2 === l

( )

kNSS

SS

SSAE

lSAE

lSl o

37,6725,5582,0

268,0552,025,555

819,0819,02552,025,55

819,035cos

552,025,55

2

2

22

22

2

22

3

223

==⋅

⋅=⋅−

⋅=

⋅⋅−

⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅−=

∆

kNS 05,1837,67552,025,553 =⋅−= kNSS 76,2005,1815,115,1 31 =⋅=⋅=

omijeranje tačke ( C ):

-C/=∆l2

P C

cmll

lAEl

1282,0200000641,0000641,0521000

37,67

22

2

2

22

=⋅=⋅=∆⋅⋅

=⋅

Sl 2 ⋅=∆

adatak 3.2

a statički sistem prikazan na slici 15., odrediti dilatacije u štapovima

Z Z CA i CB , ako su isti od

g na eza :

z

Slika 14.

čelika. Štapove dimenzionirati na osnovu sila u štapovima i dozvoljeno pr nja na istezanjeσde=12kN/cm2. Štapovi su okruglog popriječnog presjeka. Greda A-B, čiju težinu treba anemariti, opterećena je silama F1=60kN i F2=30kN.

lA

B

C

l/2l/2

l

α

α=60o

1

2 l=2m

α

F2 F1

33


roz tačku (A) postavimo koordinatni sistem i postavimo uvjete ravnoteže:

prva dva uvjeta odredimo sile u štapovima (kao funkcije ugla ϕ), a iz trećeg odredimo ugao (ϕ).

Slika 15.

K

0;0;0 =Σ=Σ= Byx MFF Σ

IzUgao (ϕ) je ravnotežni ugao. Zatim izračunamo sile FA i FB, i izvršimo dimenzioniranje štapova. Kada su poznati popriječni presjeci štapova, određuje se njihova deformacija (∆li) i dilatacija (εi).

CBCA60cos

=°

==

F2

l

B

C

F1

l/2

l/2l60o

60o

2

ϕ

FB x

F1+F2=G=90kN

ml 45,0

2=

1 y

FA A

ϕ

( )( )

)3.(....................0cos23sin2

)2(........................................0cossin)1(........................................0sincos

21 =⋅⋅

⋅+−⋅⋅⋅=Σ

=⋅−⋅+=Σ=⋅−⋅−=Σ

ϕα

ϕαϕα

lFFlFM

GFFYGFFX

AB

BAi

BAi

jednačine (1): Iz

αϕ

cossin⋅

=−GFBA F

jednačine (2): Iz

αϕ

sincos⋅

=+GFBA F

34


αααϕαϕ

αααϕαϕ

αϕ

αϕ

αϕ

αϕ

αϕ

αϕ

αϕ

cossin2)coscossin(sin

cossincoscossinsin

sincos

cossin2

sincos

sincos

cossin

cossin

cossin

⋅⋅⋅+⋅⋅

=

⋅⋅⋅+⋅⋅

=⋅

+⋅

=⋅

−⋅

=

−⋅

=⋅

−

⋅−=

−⋅

=−

GF

GGGGF

FGF

FGGF

GFF

FGF

A

A

AB

AA

AB

AB

Matematske smjene:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )ϕαϕααϕαϕ

ϕαϕαϕαϕααϕαϕ

ϕαϕαϕαααα

ϕαϕααϕ

ϕαϕααϕ

−=−⋅=⋅+⋅

++−++−−⋅=⋅+⋅

⋅+⋅=−=⋅⋅

++−⋅=⋅

+−−⋅=⋅

coscos22coscossinsin

coscoscoscos21coscossinsin

sinsincoscos)cos(2sincossin2

coscos21coscos

coscos21sinsin

( )

αϕα

2sincos GFA

⋅−=

Analogijom slijedi:

( )αϕα

2sincos GFB

⋅+=

Uvrštavanjem (FA) u jednačini (3), slijedi:

( ) 0cos23sin2

2sincos

21 =⋅⋅

⋅+−⋅⋅⋅

−⋅ ϕαα

ϕα lFFlG

Zamjenom poznatih veličina slijedi:

35


( )( )

°==

=⋅+

⋅=⋅+⋅⋅+⋅=⋅+⋅=−

⋅=−

47,5096,0

583,0cossin866,05,0

cos583,0sin866,0cos5,0sin866,0cos5,0sinsincoscoscos

cos583,0cos

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕαϕαϕα

ϕϕα

tg

( ) kNFA 3,60

866,02,52

120sin9047,560cos

==°

⋅°−°=

( ) kNFB 2,43

866,036,37

120sin9047,560cos

==°

⋅°+°=

Dimenzioniranje štapa (1)

21

1

025,512

3,60 cmFA

AF

d

A

Ad

===

=

σ

σ

cmd

dA

53,214,3025,54

4

1

21

1

=⋅

=

=π

Usvaja se d1=26mm. Dimenzioniranje štapa (2)

22

2

6,312

2,43 cmFA

AF

d

B

Bd

===

=

σ

σ

cmd

dA

14,214,3

6,344

2

22

2

=⋅

=

=π

Usvaja se d2=22mm.

cmCBCAll 40021 ====

36


Izduženje štapa (1):

cmAElFl A 216,0

3,5210004003,60

1

11 =

⋅⋅

=⋅⋅

=∆

2

2

1 3,54

6,2 cmA =⋅

=π

cmAElFl B 216,0

8,3210004002,43

2

22 =

⋅⋅

=⋅⋅

=∆

2

2

2 8,34

2,2 cmA =⋅

=π

4

1

121 104,5

400216,0 −⋅==

∆==

llεε

Zadatak 3.3 Zarubljena kupa prikazana na slici 16., opterećena je silom F=10000kN. Nacrtati dijagram napona po visini kupe, i odrediti zakonitost promjene napona po visini. Težinu kupe zanemariti.

r=20cm; R=40cm: h=100cm z

x

r

R

h

z

R

h

F

r

Slika 16. Slika 17.

37


38

( )

( )

( )

( )

z⋅=− 2,0

1002040

( )( )

)(126,0

14,304,

14,32,020

22

2

2

cmzz

z

z

⋅+

⋅⋅

⋅⋅+

zh

rRzx

zx

hrR

dzh

rRx

dzh

rRdx

⋅=−

⋅=

=−

⋅−

=

⋅−

=

∫

Tabela 4. Tabela izračunatog pritiska za z→0 do 100

z (cm)

A (cm2)

σp (kN/cm2)

0 1256 7,96 10 1520 6,6 20 1808 5,5 30 2123 4,7 40 2462 4,0 50 2826 3,54 60 3215 3,1 70 3630 2,75 80 4069 2,45 90 4534 2,2

100 5024 2,0

( )

12,251256

08202

2

A

zA

xrA

x

x

x

⋅+=

+⋅+=

=⋅+= π

Zakonitosti promjene napona:

π⋅

⋅

−

+= ∫2

0

dzh

rRrAz

x

⋅

⋅

−

+

==

∫22

0

cmkN

dzh

rRr

FAF

zx

x

π

σ Veličina (z) ima vrijednost od 0 do h.

Dijagram pritiska

Slika 18.

Fr

h

σmax

R

UL=10cm=1cm Uσ=2kN/cm =1cm 2

—


Zadatak 3.4 Stub od betona u obliku zarubljene kupe prikazane na slici 19., opterećen je silom F=40kN. zapreminska masa stuba: ρ=2,5t/m3. Stub se oslanja na čvrstu podlogu koja je od istog materijala kao i stub. Postaviti jednačinu za napon u proizvoljnom presjeku, a zatim nacrtati dijagram napona za čitav stub, po visini.

y

F

R1=20cm;R2=40cm

z

R2

h=8m

R1 F=40kN

R2

h=8m

R1

∆y

R

Slika 19. Slika 20.

zyRRzy

zy

zy

hRR

⋅+=∆+=⋅=∆

⋅

−

=∆

∆=

−

025,02,0025,0

82,04,0

1

12

( ) ( )

)(00196,00314,0126,014,3000625,001,004,014,3025,02,0

22

222

mzzAzzzRA

⋅+⋅+=

⋅⋅+⋅+=⋅⋅+=⋅= π

Težina štapa dužine (z)

22

1

22211

00098,00157,0126,02

00196,00314,0252,02

126,014,32,0

zzzzAAA

mRA

sr ⋅+⋅+=⋅+⋅+

=+

=

=⋅=⋅= π

39


Zapremina posmatranog dijela:

32 00098,00157,0126,0 zzzzAV sr ⋅+⋅+⋅=⋅= Težina:

32 024,038,01,35,2481,95,2

zzzGVVVgG

⋅+⋅+⋅=

⋅=⋅⋅=⋅⋅= ρ

Opća formula napona za bilo koju veličinu (z)

( )

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

−=+

−= 22

32

00196,00314,0126,0024,038,01,340

mkN

zzzzz

AGF

pσ

Za dijagram napona, uzete su veličine za (z). z=0; 2; 4; 6; 7 i 8m, i izračunati su naponi koji su prikazani tabelarno i nacrtani na dijagramu napona. Tabela 5.

z (m) Ai (m2) (F+G) (kN) σi (kN/m2) 0 0,126 40 -317,46 2 0,197 47,9 -243,6 4 0,283 60 -211,7 6 0,385 77,5 -201,3 7 0,441 88,5 -200,68 8 0,5024 101,4 -202,0

R1 F=40kN σmax=-317,46kN/cm2

h=8m

UL=100cm=1cm

Uσ=100kN/cm =1cm 2 — R2 z Slika 21.

40



41


4. Momenti inercije

Zadatak 4.1 Za lik prikazan na slici 22. odrediti glavne momente inercije, položaj glavnih osa inercije, glavne polupriječnike inercije i nacrtati elipsu inercije. Slika 22. Slika 23.

10

15cm

15

cm

60cm

20cm

30cm

x

y

X3=33,3

X2=25

A3

A2

A1

X1=13,3

y 3=5

5

y 2=3

0

y 1=5

Određivanje položaja težišta lika: Tabela 6. Br. Površina

(cm2) xi(cm) yi(cm) Sx

(cm3) Sy

(cm3) 1 150 13,3 5 750 1995 2 600 25 30 18000 15000 3 75 33,3 55 4125 2497,5 Σ 825 - - 22875 19492,5

Koordinate težišta:

cmAS

x

cmASy

yT

xT

6,23825

5,19492

7,27825

22875

==ΣΣ

=

==ΣΣ

=

42


Pošto je određen položaj težišta, određuju se momenti inercije za težišne ose.

4

223333

3191755589777293187593770846112327

3,27757,2215036

1520361510

37,2710

33,3210

cmI

I

x

x

=+++++=

⋅+⋅+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

=

27,3

A2

/V

A2/

A2///

x

y

xT=23,6cm

A3

A2//

A1

32,3

cm

y T=2

7,7c

m

22,7

6,43,6

Slika 24.

4

223333

3289670571591333344165243933

7,9753,1015036

2015361015

34,660

36,360

cmI

I

y

y

=+++++=

⋅+⋅+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

=

Napomena: Kada se traži (Ix), onda su za sopstvene momente inercije trokutova (1) i (3) baze paralelne osi (x);

tj. a1=20cm; a3=10cm. Za (Iy) a1=15cm; b3=15cm. 36

3haIxs⋅

=∆

Centrifugalni momenat inercije Svaku segmentarnu površinu: A1; A2

/; A2//; A2

///; A2/V i A3 množimo sa koordinatama težišta te

površine u odnosu na težište integralnog lika, vodeći računa o predznacima koodinata u pojedinim kvadrantima. A1=150cm2; A2

/=116,3 cm2; A2//=206,7 cm2;

A2///=99,7 cm2; A2

/V=177,3 cm2; A3=75 cm2;

Sopstveni centrifugalni momenat inercije pravouglog trokuta: 72

22 haIxys⋅

−=

43


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )4

22

22

2,5529878585,248512505,350713381106825,3127,19860

85,132,33,17772

152085,138,17,99

7,223,1015015,168,13,11615,162,37,20672

15103,277,975

cmI

I

xy

xy

=−+−+−+−=

−⋅⋅+⋅

−−⋅−⋅+

+−⋅−⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅

−⋅⋅=

Položaj glavnih osa inercije:

o

o

yx

xy

III

tg

5,10;12,212

386,032896319175

2,55298222

−=

−=

−=−

⋅−=

−−

=

α

α

α

Glavni momenti inercije:

( ) ( )

( ) ( )

153450176035

2,552984328963191752132896319175

21

421

21

2,1

222,1

222,1

±=

⋅+−⋅±+⋅=

⋅+−⋅±+⋅=

I

I

IIIIII xyyxyx

44

;22585;329485 4

24

1 cmIcmI ==

cmA

Ii

cmA

Ii

2,5825

22585

;20825

329485

22

11

==Σ

=

==Σ

=

Elipsa inercije:

Slika 25

0

(2)

(1)

i2 D

C

B

A

i 1

x

y


Zadatak 4.2 Za lik prikazan na slici 26. odrediti glavne momente inercije, položaj glavnih osa inercije, glavne polupriječnike inercije i nacrtati elipsu inercije. R=10cm Slika 26. Slika 27.

A3

y

A2

A4

3R

4R

xA1 R

R

3R

4R

Određujemo težište i zadati lik postavljamo u koordinatni sistem Tabela 7.

Ry 1

y/ 1 x

yBr. A(cm2) xi(cm) yi(cm) Sx

(cm3) Sy

(cm3) 1 157 10 5,8 910,6 1570 2 1200 10 40 48000 12000 3 600 35 60 36000 21000 4 157 54,2 60 9420 8509 Σ 2114 - - 94330 43079

Slika 28.

44

11

11,0;8

58,0;42,0

RIRI

RyRy

xy ⋅=⋅

=

⋅=⋅=′

π

Koodinate težišta:

RxilicmAS

x

RyilicmAS

y

Ty

T

Tx

T

⋅≅==Σ

Σ=

⋅≅==ΣΣ

=

220211443079

46,46,442114

94330

45


Za težišne ose x i y određujemo momente inercije:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

444

44444444

224

22

32

24

33

832000103,823,82

7,34,01426,2311,06,279,10

54,128

54,16

122388,3

211,0

346,32

354,22

cmRI

RRRRRRRRI

RRRRR

RRRRRRRRRI

x

x

x

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅⋅⋅

+⋅

+⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

=

ππ

π

TA2

A3 A4

3R

3,88

R x

y

2,54

R

1,54

R

3,42R

4,46

R

R

3,46

R

A1

Slika 29.

( ) ( ) ( )

444

444444

42

22

24

33

545000105,545,54

4,057,14,1811,0181682

42,32

11,0332

326

cmRI

RRRRRRI

RRRRRRRRRRI

y

y

y

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅

⋅+⋅⋅

⋅+⋅+

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅=

πππ

( ) ( ) ( )

444

44444

2

22

337000107,337,33

61245,63,886,13

88,32

73,1)(46,32

27,1)(254,242,354,12

5,154,16

cmRI

RRRRRI

RRRRRRR

RRRRRRRRRRI

xy

xy

xy

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅−⋅+⋅=

⋅−⋅−⋅⋅

+⋅−⋅⋅⋅⋅⋅+

+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅⋅=

π

π

46


Položaj glavnih osa simetrije:

o

o

o

yx

xy

arctg

RRR

III

tg

8,33;58,672

58,672

42,25,543,82

7,33222 44

4

−=

−=

−=

−=⋅−⋅

⋅⋅−=

−⋅−

=

α

α

α

α


( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

;319000109,319,31;1049000109,1049,104

5,364,680,732

5,543,822

7,3345,543,82215,543,82

21

421

21

4442

4441

4444

2,1

24244442,1

222,1

cmRIcmRI

RRRRI

RRRRRI

IIIIII xyyxyx

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

⋅±⋅=⋅±+⋅=

⋅⋅+⋅−⋅⋅±⋅+⋅⋅=

+−⋅±+⋅=

cm28,12

2114=

AIi

cmA

Ii

319000

;27,222114

1049000

22

11

=Σ

=

==Σ

=

Elipsa inercije: (2) i 2

α=-33,8° i1

(1)

Slika 30.

47


Zadatak 4.3 Za lik prikazan na slici31. odrediti glavne momente inercije, položaj glavnih osa inercije, glavne polupriječnike inercije i nacrtati elipsu inercije. δ=1cm

10δ 1

10δ

5

5δ10δ 10δ 15δ 5δ

2

25δ

10δ 3

4

5δ 10δ

Slika 31. Određivanje težišta lika: Tabela 8. Br. A(cm2) xi(cm) yi(cm) Sx (cm3) Sy (cm3) 1 250⋅δ2=250 12,5⋅δ=12,5 30⋅δ=30 7500⋅δ3=7500 3125⋅δ3=3125 2 75⋅δ2=75 12,5⋅δ=12,5 17,5⋅δ=17,5 1312,5⋅δ3=1312,5 937,5⋅δ3=937,5 3 100⋅δ2=100 10⋅δ=10 5⋅δ=5 500⋅δ3=500 1000⋅δ3=1000 4 25⋅δ2=25 3,33⋅δ=3,33 3,33⋅δ=3,33 83,25⋅δ3=83,25 83,25⋅δ3=83,25 5 25⋅δ2=25 26,67⋅δ=26,67 28,33⋅δ=28,33 708,25⋅δ3=708,25 666,75⋅δ3=666,75 Σ 475⋅δ2=475 - - 10104⋅δ3=10104 5812,5⋅δ3=5812,5

Koodinate težišta:

cmAS

x

cmAS

y

yT

xT

3,2113,213,21475

10104

2,1212,122,12475

5,5812

2

3

2

3

=⋅=⋅=⋅⋅

=Σ

Σ=

=⋅=⋅=⋅⋅

=ΣΣ

=

δδδ

δδδ

Momenat inercije za osu (x). Lik je podijeljen na 6 segmenata.

48


5δ

x

y

5

4

3

2

6

1 5δ

y T=

21,3δ

10δ

10δ

10δ

25δ

10δ 15δ 5δ

xT=12,2δ 2,8δ

Slika 32.

( )

( ) ( ) 4223

)2(

43

)1(

210067,825012

1025

4,843

7,35

δδδδδ

δδδ

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅

=

I

I

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

444

444444

)6()5()4()3()2()1(

4223

)6(

4223

)5(

4223

)4(

43

)3(

6047316047360473

821213641370116106210064,84

821297,172536105

136472536105

137013,165012105

161063

3,215

cmI

I

IIIIIII

I

I

I

I

x

x

x

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

+++++=

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅

=

δ

δδδδδδ

δδδδδ

δδδδδ

δδδδδ

δδδ

49


Momenat inercije za osu (y). Lik je podijeljen na 7 segmenata.

15δ

12,8δ

7

7,2δ

x

y

5

43

2

6

1

5δ

10δ

10δ

12,2δ

10δ

15δ 2δ

y T=

21,3δ

10δ

2,

2,8δxT=12,2δ

Slika 33.

( )

( ) 43

)2(

43

)1(

5,69903

8,1210

8,60523

2,1210

δδδ

δδδ

⋅=⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅

=

I

I

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

444

4444444

)7()6()5()4()3()2()1(

4223

)7(

4223

)6(

43

)5(

43

)4(

43

)3(

8,2226818,222688,22268

7,526622288,15218,1552,535,69908,6052

7,526647,142536

510

222837,92536

510

8,15213

7,710

8,1553

8,23,21

2,533

2,215

cmI

I

IIIIIIII

I

I

I

I

I

y

y

y

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

++++++=

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅

=

⋅=⋅⋅⋅

=

δ

δδδδδδδ

δδδδδ

δδδδδ

δδδ

δδδ

δδδ

50


Centrifugalni momenat inercije za težišne ose. Lik je podijeljen na 9 segmenata. Segmenti (9) i (8) imaju i sopstvene centrifugalne momente inercije.

( ) ( )

( ) ( )422

)9(

422)8(

422

)8()9(

6,24977,3447,14725

3,39457,3497,1786,825

7,3472

105

δδδδδ

δδδδδ

δδδ

⋅=⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅=⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅=

⋅−=⋅⋅⋅−

==

xy

xy

sopstvenixysopstvenixy

I

I

II

9

8

15δ

7

7,2δ

x

y

5

4 3

2

6

1

10δ

10δ

12,2δ

10δ

15δ 2δ

2,8δ

y T=

21,3δ

2,

10δ

5δ

xT=12,2δ

12,8δ

Slika 34.

( )

( )( )( ) ( )

( ) ( ) 4)7(

4)6(

4)5(

4)4(

4)3(

4)2(

4)1(

42253,166,3102,7

5,1541,165,52,23,11

2,8894,165,108,23,21

3,1785,118,17,32,2

8,2685,14,17,38,2

5,64741,67,8102,12

71274,67,8108,12

δδδδδ

δδδδδ

δδδδδ

δδδδδ

δδδδδ

δδδδδ

δδδδδ

⋅=⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅=⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅−=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅−=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅−=⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

I

I

I

I

I

I

I

)9()8()7()6()5()4()3()2()1( xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy IIIIIIIIII ++++++++=

51


444

444444444

5,1056015,105605,10560

6,2497394542255,1542,8893,178,265,64747127

cmI

I

xy

xy

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−⋅=

δ

δδδδδδδδδ


o

o

o

yx

xy

arctg

III

tg

47,14;93,282

93,282

5528,08,2226860473

5,10560222 44

4

−=

−=

−=

−=⋅−⋅

⋅⋅−=

−

−=

α

α

α

δδδα

Glavni centralni momenti inercije:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

11954419544;6319816319863198

2182741371

58,1056048,2226860473218,2226860473

21

421

21

442

4441

442,1

24244442,1

222,1

IcmI

I

I

IIIIII xyyxyx

⋅=⋅=

=⋅=⋅=

⋅±⋅=

⋅⋅+⋅−⋅⋅±⋅+⋅⋅=

⋅+−⋅±+⋅=

δ

δ

δδ

δδδδδ

;19544 4cm=

cm;

cmA

Ii

AIi

4,6475

19544

5,11475

63198

22

11

==Σ

=

==Σ

= (2)

y

Elipsa inercije: α=-14,47° x i 1

(1)

i2

Slika 35.

52


Zadatak 4.4 Za popriječni presjek nosača prikazanog na slici 36. odrediti momenat inercije za težišnu osu (x). R1=4δ; R2=2δ; R3=8δ; R4=6δ; δ=1cm.

y

-x x

R1 R2

R4 R3

20δ

2δ

Slika 36.

53


Određivanje težišta popriječnog presjeka

R1=4δ; R2=2δ; R3=8δ; R4=6δ; δ=1cm

5

2

3

1

y

2δ

20δ

R2

R1 4 x

R4

R3

Slika 37.

Površina (1): 2221 4014040220 cmA =⋅==⋅⋅⋅= δδδ

Površina (2): 222222

32 5,10015,1005,100

214,38

2cmRA =⋅=⋅=

⋅⋅=

⋅= δδπ


43 5,5615,565,56

214,36

2cmRA −=⋅−=⋅−=

⋅⋅−=

⋅−=− δδπ


14 2512525

214,34

2cmRA =⋅=⋅=

⋅⋅=

⋅= δδπ


25 3,613,63,6

214,32

2cmRA −=⋅−=⋅−=

⋅⋅=

⋅−=− δδπ

Površina presjeka:

222222254321

7,1027,1023,6255,565,10040 cmA

AAAAAA

=⋅=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅=Σ

−+−+=Σ

δδδδδδ

Koordinate površina (1,2,3,4,5): x1=7⋅δ=7⋅1=7cm; y1=14⋅δ=14⋅1=14cm; x2=14⋅δ=14⋅1=14cm; y2=(20⋅δ+4⋅δ+0,42⋅R3)= 27,4⋅δ=27,4⋅1=27,4cm; x3=14⋅δ=14⋅1=14cm; y3=(20⋅δ+4⋅δ+0,42⋅R4)= 26,5⋅δ=26, 5⋅1=26,5cm; x4=4⋅δ=4⋅1=4cm; y4=0,57⋅R1=2,3⋅δ=2,3⋅1=2,3cm; x5=4⋅δ=4⋅1=4cm; y5=(2⋅δ+0,57⋅R2)= 3,14⋅δ=3,14⋅1=3,14cm;

54


Statički momenti površina:

3332222

3332111

7,275317,27537,27534,275,100

56015605601440

cmyAS

cmyAS

x

x

=⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=

=⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=

δδδ

δδδ

33354321

3332555

3332444

3332333

4,185414,18544,1854

8,1918,198,1914,33,6

5,5715,575,573,225

14971149714975,265,56

cmSSSSSS

cmyAS

cmyAS

cmyAS

xxxxxx

x

x

x

=⋅=⋅=−+−+=Σ

−=⋅−=⋅−=⋅⋅⋅=⋅=−

=⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=

−=⋅−=⋅−=⋅⋅⋅=⋅=−

δ

δδδ

δδδ

δδδ

cmASy x

T 18118187,1024,1854

2

3

=⋅=⋅=⋅⋅

=ΣΣ

= δδδ

3332222

3332111

1407114071407145,100

2801280280740

cmxAS

cmxAS

y

y

=⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=

=⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=

δδδ

δδδ

33354321

3332555

3332444

3332333

8,97018,9708,970

2,2512,252,2543,6

1001100100425

7911791791145,56

cmSSSSSS

cmxAS

cmxAS

cmxAS

yyyyyy

y

y

y

=⋅=⋅=−+−+=Σ

−=⋅−=⋅−=⋅⋅⋅=⋅=−

=⋅=⋅=⋅⋅⋅=⋅=

−=⋅−=⋅−=⋅⋅⋅=⋅=−

δ

δδδ

δδδ

δδδ

cmAS

x yT 45,9145,945,9

7,1028,970

2

3

=⋅=⋅=⋅⋅

=ΣΣ

= δδδ

Momenti inercije:

Slika 38. xT=9,45δ

R1=4δ R2=2δ R3=8δ R4=6δ δ=1cm

T

6δ

y

x

14δ

y T=1

8δ

55


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

444

444

4444444

2234

2

22

141

2244

4

2234

3

33

123151123151231513828,18,6685

2840985,14288025,4501829144

242,0142

11,0

442,0142

11,0642,062

11,0

842,062

11,03142

362

cmI

I

RR

RRRR

RRI

x

x

x

=⋅=⋅=

⋅−⋅−⋅+

+⋅+⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅⋅+⋅⋅⋅

−⋅−

−⋅⋅+⋅⋅⋅

+⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅

−⋅−

−⋅⋅+⋅⋅⋅

+⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

=

δ

δδδ

δδδδδδδ

δδπ

δδπδδπ

δδπδδδδ

Zadatak 4.5 Nacrtati elipsu inercije za presjek prikazan na slici 39. δ=2cm

56

Slika 39. 3δ

10δ

7,5δ

3δ

δ

δ

δ


Određivanje koordinata težišta:

y

x

A4

A3

A2

A1 x1

x2

y 3

y 2

y 1

x3

x4

y 4

A´1=3δ2; A´2=6,5δ2; A´5=2δ2; y1=4,2δ; y2=3,2δ; y5=6,8δ

y 3

A/5

y

xA/4

A/3

A/2

A/2

7,3δ

y 2

y 1

4,45δ

y 5

3,7δ

y 4

Slika 40. Slika 41.

A1=3⋅δ2=3⋅22=12cm2; x1=10⋅δ=10⋅2=20cm; y1=11,5⋅δ=11,5⋅2=23cm; A2=7,5⋅δ2=7,5⋅22=30cm2; x2=5,75⋅δ=5,75⋅2=11,5cm; y2=10,5⋅δ=10,5⋅2=21cm; A3=9⋅δ2=9⋅22=36cm2; x3=2,5⋅δ=2,5⋅2=5cm; y3=5,5⋅δ=5,5⋅2=11cm; A4=3⋅δ2=3⋅22=12cm2; x4=1,5⋅δ=1,5⋅2=3cm; y4=0,5⋅δ=0,5⋅2=1cm; A= A1+A2+A3+A3= 22,5⋅δ2=22,5⋅22=90cm2

cmyA

yAyAyAyAy

cmxA

xAxAxAxAx

T

T

T

T

6,1423,73,75,22

5,035,595,105,75,113

9,8245,445,45,22

5,135,2975,55,7103

2

222244332211

2

222244332211

=⋅=⋅=⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅=

=⋅=⋅=⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅=

δδ

δδδδδδδδ

δδ

δδδδδδδδ

57


Određivanje momenata inerercije za težišne ose:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

44

444444444

224444

22224

25

/5

333322

/2

21

/1

3

599225,374

5,37448,9217,07,12985,1654,06,799,5225,2

8,6212

23

389365,50

125,65,35,62,43

1227

122

33,7

37,3

125,6

123

cmI

I

I

yAyAyAI

x

x

x

x

=⋅=

⋅=+++++++=

⋅+++++⋅+⋅+=

⋅+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅+⋅+⋅

=

δδδδδδδδδ

δδδδδδδδδδδ

δδδδδδδδδδ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

345,1

305,555,53

12395,111

121145,3

122 33

223

223

2/5

3 δδδδδδδδδδδδδδδ ⋅+

⋅+⋅+

⋅+⋅+

⋅+⋅+

⋅= AI y

44

444444444

8,326028,203

8,20393,424,9225,08,4192,08,237,0

cmI

I

y

y

=⋅=

⋅=+++++++= δδδδδδδδδ

44

4444444

22

2222

8,308428,192

8,19292,4695,5134,1334,372,4093,69

)8,6()45,3(2)95,1()65,3(3,7

)95,1(85,17,3)72,0(2,345,152,22,305,555,52,43

cmI

I

I

xy

xy

xy

=⋅=

⋅=++−−+=

−⋅−⋅+−⋅−⋅+

+−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

δδδδδδδ

δδδδδδ

δδδδδδδδδδδδ

Glavni centralni momenti inercije:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

;2,125122,782,78;8,799628,4998,499

8,2100,289

8,19248,2035,374218,2035,374

21

421

21

4442

4441

442,1

24244442,1

222,1

cmIcmI

I

I

IIIIII xyyxyx

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

⋅±⋅=

⋅⋅+⋅−⋅±⋅+⋅=

+−±+=

δ

δ

δδ

δδδδδ

Polupriječnici inercije:

;6,328,18,15,222,78

;4,927,47,45,228,499

2

42

2

2

41

1

cmAIi

cmAIi

=⋅=⋅=⋅⋅

==

=⋅=⋅=⋅⋅

==

δδδ

δδδ

58



°−=°−=

°−=

−=⋅−⋅

⋅⋅−=

−

−=

06,33;12,662

12,662

258,28,2035,374

8,192222 44

4

αα

α

δδδα

arctgII

Itg

yx

xy

Elipsa inercije:

i2

i 1

(2)

(1)

y

x

Slika 42.

59


Zadatak 4.6 Za lik prokazan na slici 43. odrediti glavne momente inercije kao i položaj glavnih osa inercije. δ=2cm

x

2,5δ20

,5δ

10δy

δ δ

δ

15,7

5δ

6,75δ

10δ

6δ2δ

11,5δ

1

2

3

T

4

4,25δ

10δ δ δ

2δ

5δ

20δ

δ

Slika 43. Slika 44. Određivanje težišta lika:

2224

2223

2222

2221

8022020

402101020255

20255

cmA

cmAcmA

cmA

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

δ

δ

δ

δ

cmy

y

T

T

5,31275,1575,1540

2002055,1125,11240

2010105,2055,2255,222

2222

=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅

=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

δδδδδ

δδδδδδδδδ

60


cmx

x

T

T

5,8225,425,440

50605,575,240

205,210655,115,052

2222

=⋅=⋅=⋅+⋅+⋅+⋅

=

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

=

δδδδδδ

δδδδδδδδ

Slika 45.

y

x

2,5δ

4,75δ

7,25δ 3,75δ

2δ

6,75δ

15,7

5δ

δ

15,7

5δ

6,75δ

7,87

5δ

4,25δ

2,5δ

1,75δ 4,

25δ

2,12

5δ

3,25δ 6,75δ

Momenat inercije za osu (x):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )223

22333

75,41012

1075,65212

52325,4

37,15 δδδδδδδδδδδδ

⋅⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

=xI

244

444444

6,3248926,20306,2030

6,22583,06,455216,251302

cmI

I

x

x

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

δ

δδδδδδ

61


Momenat inercije za osu (y): ( ) ( ) ( )

( ) ( )

244

44444444

223

22

322

333

81762511511

617,126342,03,7042,05,1024,11

75,12012

2025,75

12575,35

125

375,6

325,3

cmI

I

I

y

y

y

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅⋅⋅++⋅⋅

+⋅⋅⋅+

+⋅⋅

+⋅⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

=

δ

δδδδδδδδ

δδδδδδ

δδδδδδδδδδ

Centrifugalni momenat inercije:

( ) ( )( ) ( )

444

444444

22

22

22

8,643623,4023,402

7,2441082178,152512625,775,6537,375,475,6

75,1)875,7(75,1575,1125,225,4

62,175,425,375,675,35

cmI

I

I

xy

xy

xy

=⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅−⋅−⋅−=

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+

+⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅+

+⋅−⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅=

δ

δδδδδδ

δδδδδδ

δδδδδδ

δδδδδδ


( ) ( )

( ) ( ) ( )

;6,657721,4111,411;34080221302130

7,8598,1270

3,40245116,2030215116,2030

21

421

21

4442

4441

442,1

24244442,1

222,1

cmIcmI

I

I

IIIIII xyyxyx

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

⋅±⋅=

⋅⋅+⋅−⋅±⋅+⋅=

+−±+=

δ

δ

δδ

δδδδδ

Polupriječnici inercije:

;4,622,32,340

1,411

;58,14229,729,740

2130

2

42

2

2

41

1

cmAIi

cmAIi

=⋅=⋅=⋅⋅

==

=⋅=⋅=⋅⋅

==

δδδ

δδδ


o

o

o

yx

xy

arctg

III

tg

95,13;9,272

9,272

529,05116,2030

3,402222 44

4

−=

−=

−=

−=⋅−⋅

⋅⋅−=

−−

=

α

α

α

δδδα

62

PRVI_DIO (Sadudin Hodžić)

Documents

Transcript of PRVI_DIO (Sadudin Hodžić)