PRVI_DIO (Sadudin Hod¾i‡)

download PRVI_DIO (Sadudin Hod¾i‡)

of 62

  • date post

    23-Aug-2014
  • Category

    Documents

  • view

    167
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of PRVI_DIO (Sadudin Hod¾i‡)

JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geoloko-graevinski fakultet Teoretske osnove za izradu zadataka u narednom poglavlju nalaze se u knjizi Otpornost materijala sa teorijom elastinosti, autora Dr sci. Sadudina Hodia, redovnog profesora na Rudarsko-geoloko-graevinskom fakultetu u Tuzli, na stanicama broj 20 do 24. 1JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geoloko-graevinski fakultet 1. Prostorno stanje napona Zadatak 1.1 Za prizmu prikazanu na slici 1. odrediti sile koje djeluju u pravcu osa (x,y,z), ako su poznate dilatacije u pravcu ovih osa (x,y,z). y=0,718x z=0,155x x=0,000224 a=10cm E=21000kN/cm2 =0,33 x=0,000224 y=0,718x=0,7180,000224=0,000161 z=0,155x=0,1550,000224=0,0000348 Slika 1. Odreivanje napona u prizmi: xE=x-y-z yE=y-x-z zE=z-x-y x-y-z=xE y-x-z=yE z-x-y=zE z 2aa a Fx Fx Fy Fy Fz Fz x y x-y-z=0,00022421000 y-x-z=0,00016121000 z-x-y=0,000034821000 x-y-z=4,7 2JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geoloko-graevinski fakultet y-x-z=3,38 z-x-y=0,73 x-0,33y-0,33z=4,7 y-0,33x-0,33z=3,38 z-0,33x-0,33y=0,73 x-0,33y-0,33z=4,7 -0,33x +y-0,33z=3,38 -0,33x-0,33y+z =0,73 6015 , 0 3267 , 0 0718 , 0 109 , 0 109 , 0 109 , 0 0359 , 0 0359 , 0 133 , 0133 , 033 , 033 , 011 33 , 0 33 , 033 , 0 1 33 , 033 , 0 33 , 0 11 33 , 0 33 , 033 , 0 1 33 , 033 , 0 33 , 0 1= = = =DD 985 , 5 24 , 0 512 , 0 11 , 1 0368 , 0 0795 , 0 7 , 433 , 0133 , 073 , 038 , 37 , 41 33 , 0 73 , 033 , 0 1 38 , 333 , 0 33 , 0 7 , 41 33 , 0 73 , 033 , 0 1 38 , 333 , 0 33 , 0 7 , 4= + + + + = = =xxDD 2/ 95 , 96015 , 0985 , 5cm kNDDxx = = = 554 , 5 368 , 0 24 , 0 55 , 1 24 , 0 512 , 0 38 , 373 , 038 , 37 , 433 , 033 , 011 73 , 0 33 , 033 , 0 38 , 3 33 , 033 , 0 7 , 4 11 73 , 0 33 , 033 , 0 38 , 3 33 , 033 , 0 7 , 4 1= + + + + = = =yyDD 2/ 2 , 96015 , 0554 , 5cm kNDDyy = = = 194 , 4 55 , 1 115 , 1 0795 , 0 511 , 0 368 , 0 73 , 033 , 0133 , 033 , 033 , 0173 , 0 33 , 0 33 , 038 , 3 1 33 , 07 , 4 33 , 0 173 , 0 33 , 0 33 , 038 , 3 1 33 , 07 , 4 33 , 0 1= + + + + = = =zzDD 3JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geoloko-graevinski fakultet 2/ 97 , 66015 , 0194 , 4cm kNDDzz = = = kN a Fa aFkN a Fa aFkN a Fa aFz zzzy yyyx xxx697 10 2 97 , 6 221840 10 2 2 , 9 221990 10 2 95 , 9 222 22 22 2= = = == = = == = = = Zadatak 1.2 U nekoj taki napregnutog tijela imamo napone: x=2kN/cm2; xy=0; xz=1kN/cm2; yx=0; y=2kN/cm2; yz=1kN/cm2; zx=1kN/cm2; zy=1kN/cm2; z=1kN/cm2. -Utvrditi o kakvom se stanju napona radi, tj. dokazati da li je naponsko stanje ravno ili je prostorno. -Odrediti pravce i veliine glavnih napona. -Odrediti kosinuse pravaca glavnih napona. -Odrediti maksimalni napon smicanja. Formiramo tenzor napona: )`=1 1 11 2 01 0 2S Ako je veliina determinante matrice tenzora napona razliita od nule, stanje napona je prostorno, a ako je jednaka nuli, radi se o ravnom naponskom stanju. Pored toga bar jedan od njenih minora mora biti razliit od nule. 00 2 2 0 0 0 41 12 00 21 1 11 2 01 0 2== + + = =DD 4 0 42 00 21 = = = D Dakle, vrijednost determinante je jednaka nuli, a jedan od minora je razliit od nule. Prema tome u pitanju je ravno stanje napona. 4JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geoloko-graevinski fakultet Veliine glavnih napona i (i=1,2,3), dobijamo rjeavanjem sekularne jednaine karakteristine jednaine (*)`. .....(*) .......... .......... 03 2213= + I I Ii i i Ovdje su I1, I2 i I3, invarijante stanja napona. 2 15 1 2 2cmkNIz y x = + + = + + = 4222 2 226 1 1 0 2 1 1 2 2 2cmkNIIzx yz xy x z z y y x= + + = + + = 0 0 0 1 2 1 2 1 2 2232 2 23= + = + =IIyz xz xy xy z zx y yz x z y x Uvrtavanjem invarijanti u karakteristinu jednainu, dobijamo: 2 22 122 , 122 32243262125625250 6 510 6 5cmkNcmkNi iii i i= == = = |.|

\| == + = + 03 = jer je u pitanju ravno naponsko stanje. Da bi nali kosinuse uglova koje glavni napon i zatvara sa koordinatnim osama, postavljamo uvjet u vidu proporcije: ( )( ) ( ) ( )( )( )i z zyyz i yizy zxi y yxi z zxyz yxi z zyyz i yAk ====1 1 1cos cos cos 5JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geoloko-graevinski fakultet ( )( )2 2 21i i izy zxi y yxii z zxyz yxiC B AkCB+ + === Poto je i=1,2,3, najpogodnije je da se raun predstavi tabelarno (nakon izraunavanja) za 23cmkN= raunamo Ai, Bi i Ci. ( )( )( )( )11 13 2 013 1 11 01 1 23 1 11 3 2111 == === ==CBA 2 22cmkN= ( )( )( )( )01 12 2 012 1 11 012 1 11 2 2222== == ==CBA 03 = ( )( )( )( )21 10 2 010 1 11 010 1 11 0 2333 == ====CBA 6JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tabela 1. Kosinusi pravaca glavnih napona i Ai Bi Ci 2iA 2iB 2iC 2 2 2i i iC B A + +cosi cosicosi 1 1 -1 -1 1 1 1 3 31 31 31 2 -1 -1 0 1 1 0 2 21 21 0 3 1 -1 -2 1 1 4 6 61 61 62 Maksimalni napon smicanja: ( ) ( )2 3 1 max5 , 1 0 32121cmkN= = = Stanje glavnih napona u posmatranoj taki, predstavljeno je Morovim krugovima. Slika 2. U =1(kN/cm )=2cm2 (kN/cm2) (kN/cm2) 3 1max 2 Zadatak 1.3 U nekoj taki napregnutog tijela, date su komponente deformacije: 5 5 55 5 510 8 1 10 0 1 10 5 010 5 0 10 0 2 10 0 1 = = = = = =, ; , ; , ; , ; , ; , zx yz xyz y x Trai se: -Tenzor deformacija. -Veliine i pravci glavnih dilatacija. -Stanje glavnih dilatacija prikazati grafiki preko Morovih krugova dilatacija. 7JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tenzor deformacija: )` =)`= 5 , 0 5 , 0 9 , 05 , 0 2 25 , 09 , 0 25 , 0 0 , 1102121212121215z zy zxyz y yxxz xy xD Karakteristina jednaina glasi: *) .........( .......... .......... 03 2213= + I I Ii i i I1, I2 i I3 su prva, druga i trea invarijanta stanja deformacija. ( )( )4 41412 2 232 2 221zx yz xyxy z zx y zy x z y xzx yz xy x z y z y xz y xIII + + + =+ + + + =+ + = Voditi rauna da je po zakonu konjugovanosti: xz zx zy yz yx xy = = = ; ; ( )5 5110 5 , 1 10 5 , 0 2 1 = + + = I ( ) ( ) ( ) ((

+ + + = 252525 5 5 5 5 5 5210 8 , 1 10 1 10 5 , 04110 1 10 5 , 0 10 2 10 5 , 0 10 2 10 1 I10210 6225 , 2 = I ( ) ( ) ( | |( ) )410 8 , 1 10 1 10 5 , 010 5 , 0 10 5 , 0 10 8 , 1 10 2 10 1 10 14110 5 , 0 10 2 10 15 5 525 525 525 5 5 5 53 ++ + + = I15 15 15 15310 626 , 2 10 225 , 0 10 4012 , 1 10 1 = = I Karakteristina jednaina glasi: 0 10 626 , 2 10 6225 , 2 10 5 , 115 10 2 5 3= + i i i Za rjeavanje prethodne sekularne jednaine treeg stepena, slijede matematske upute. 8JU UNIVERZITET U TUZLI Rudarsko-geoloko-graevinski fakultet Matematske osnove potrebne za rjeavanje zadatka. Tabela 2. Tabela smijena p r = p