Pruebas de Hiptesis 1. Se sabe que la desviacin tpica de las notas de cierto examen de Matemticas es 2,4. Para una muestra de 36 estudiantes se obtuvo una nota media de 5,6. Sirven estos datos para confirmar la hiptesis de que la nota media del examen fue de 6, con un nivel de confianza del 95%?

1. Enunciamos las hiptesis nula y alternativa: H0 : = 6 La nota media no ha variado. H1 : 6 La nota media ha variado.

2. Zona de aceptacin Para = 0.05, le corresponde un valor crtico: z/2 = 1.96. Determinamos el intervalo de confianza para la media: (6-1,96 0,4 ; 6+1,96 0,4) = (5,22 ; 6,78)

3. Verificacin. Valor obtenido de la media de la muestra: 5,6 .

4. Decisin Aceptamos la hiptesis nula H 0, con un nivel de significacin del 5%.

2. Una marca de nueces afirma que, como mximo, el 6% de las nueces estn vacas. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacas.

Soluciones:

1 Con un nivel de significacin del 1%, se puede aceptar la afirmacin de la

marca? 1 Enunciamos las hiptesis nula y alternativa:

H0 : p 0.06 H1 : p >0.06

2Zona de aceptacin = 0.01 z = 2.33. Determinamos el intervalo de confianza:

3Verificacin.

4Decisin

Aceptamos la hiptesis nula H0. Con un nivel de significacin del 1%.

2 Si se mantiene el porcentaje muestral de nueces que estn vacas y 1 - = 0.95,

qu tamao muestral se necesitara para estimar la proporcin de nueces con un error menor del 1% por ciento?

1 - = 0, 9 5z /2 = 1, 96

3. La duracin de las bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una distribucin normal con una desviacin tpica de 120 horas de duracin. Su vida media est garantizada durante un mnimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, despus de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significacin de 0,01 , habra que rechazar el lote por no cumplir la garanta?

1. Enunciamos las hiptesis nula y alternativa: H0 : 800 H1 :

bateras el t iempo medio de duracin en conversacin fue de 290 minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviacin tpica:

Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significacin del 2%? 1. Enunciamos las hiptesis nula y alternativa:

H0 : 300 H1 : < 300

2.Zona de aceptacin = 0.02; 1- = 0. 98; P(1.96)= 0. 98; z = 1.96 . Determinamos el intervalo de confianza:

3.Verificacin.

= 290 4.Decisin Rechazamos la hiptesis nula H0. Con un nivel de significacin del 2%.

6. Se cree que el nivel medio de protombina en una poblacin normal es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviacin tpica de 4 miligramos/100 ml. Para comprobarlo, se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18.5 mg/100 ml. Se puede aceptar la hiptesis, con un nivel de significacin del 5%?

1. Enunciamos las hiptesis nula y alternativa: H0 : =20 mg/100 ml H1 : 20 mg/100 ml

2.Zona de aceptacin Para = 0.05, le corresponde un valor crtico: z/2 = 1.96. Determinamos el intervalo de confianza para la media:

3.Verificacin.

Valor obtenido de la media de la muestra: 18.5. 4.Decisin Rechazamos la hiptesis nula H0, con un nivel de significacin del 5%.

Nota:

Los ejercicios que en los que se propone en la respuesta H0 : =# H1 : # , se pueden resolver de la forma H0 : = # H1 : < #, segn sea el caso, podr ver que las respuestas son cercanas a las propuestas.

Correlacin Lineal

1. Cinco nios de 2, 3, 5, 7 y 8 aos de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kilos.

1 Hallar la ecuacin de la recta de regresin de la edad sobre el peso. 2 Cul sera el peso aproximado de un nio de seis aos?

x i y i x i y i x i2 y i

2

2 14 4 196 28

3 20 9 400 60

5 32 25 1 024 160

7 42 49 1 764 294

8 44 64 1 936 352

25 152 151 5 320 894

2. Un centro comercial sabe en funcin de la distancia, en kilmetros, a la que se site de un ncleo de poblacin, acuden los clientes, en cientos, que figuran en la tabla:

N de clientes (X) 8 7 6 4 2 1

Distancia (Y) 15 19 25 23 34 40

1 Calcular el coeficiente de correlacin lineal. 2 Si el centro comercial se sita a 2 km, cuntos clientes puede esperar? 3 Si desea recibir a 500 clientes, a qu distancia del ncleo de poblacin debe situarse?

x i y i x i y i x i2 y i

2

8 15 120 64 225

7 19 133 49 361

6 25 150 36 625

4 23 92 16 529

2 34 68 4 1 156

1 40 40 1 1 600

28 156 603 170 4 496

Correlacin negativa muy fuerte .

3. Las notas obtenidas por cinco alumnos en Matemticas y Qumica son:

Matemticas 6 4 8 5 3. 5

Qumica 6. 5 4. 5 7 5 4

Determinar las rectas de regresin y calcular la nota esperada en Qumica para un alumno que tiene 7.5 en Matemticas.

x i y i x i y i x i2 y i

2

6 6. 5 36 42. 25 39

4 4. 5 16 20. 25 18

8 7 64 49 56

5 5 25 25 25

3. 5 4 12. 25 16 14

26. 5 27 153. 25 152. 5 152

4. Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

Estatura (X)

186

189

190

192

193

193

198

201

203

205

Pesos (Y)

85 85 86 90 87 91 93 103

100

101

Calcular: 1 La recta de regresin de Y sobre X. 2 El coeficiente de correlacin . 3 El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.

x i y i x i2 y i

2 x i y i

186 85 34 596 7 225 15 810

189 85 35 721 7 225 16 065

190 86 36 100 7 396 16 340

192 90 36 864 8 100 17 280

193 87 37 249 7 569 16 791

193 91 37 249 8 281 17563

198 93 39 204 8 649 18 414

201 103 40 401 10 609 20 703

203 100 41 209 10 000 20 300

205 101 42 025 10 201 20 705

1 950 921 380 618 85 255 179 971

Correlacin positiva muy fuerte.

5. A partir de los siguientes datos referentes a horas trabajadas en un

taller (X), y a unidades producidas (Y), determinar la recta de

regresin de Y sobre X, el coeficiente de correlacin lineal e interpretarlo.

Horas (X)

80 79 83 84 78 60 82 85 79 84 80 62

Produccin (Y)

300

302

315

330

300

250

300

340

315

330

310

240

x i y i x i y i x i2 y i

2

80 300 6 400 90 000 24 000

79 302 6 241 91 204 23 858

83 315 6 889 99 225 26 145

84 330 7 056 108 900 27 720

78 300 6 084 90 000 23 400

60 250 3 600 62 500 15 000

82 300 6 724 90 000 24 600

85 340 7 225 115 600 28 900

79 315 6 241 99 225 24 885

84 330 7 056 108 900 27 720

80 310 6 400 96 100 24 800

62 240 3 844 57 600 14 880

936 3 632 73 760 1 109 254 285 908

Correlacin positiva muy fuerte

Nota:

Aunque los procedimientos pueden diferir del visto en clase las respuestas deben de coincidir.