Pruebas de hipotesis Varianza desconocida
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Transcript of Pruebas de hipotesis Varianza desconocida
Novena sección
Pruebas de hipótesis
MsC Edgar Madrid Cuello
Departamento de Matemática, UNISUCRE
Estadística II
MARZO 2017
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis
Novena sección
Comparación de medias poblacionales σ21 y σ
22 desconocidas
De�nición (se sabe que: σ21 = σ22)
Las poblaciones muestreadas tienen varianzas desconocidas
pero iguales.Debido a esta suposición, das varianzas
muestrales se agrupan
Se utiliza la distribución t como el estadístico de prueba
s2p =(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
t =x̄1 − x̄2
sp
√1
n1+
1
n2
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis
Novena sección
Comparación de medias poblacionales σ21 y σ
22 desconocidas
De�nición (se sabe que: σ21 = σ22)
Las poblaciones muestreadas tienen varianzas desconocidas
pero iguales.Debido a esta suposición, das varianzas
muestrales se agrupan
Se utiliza la distribución t como el estadístico de prueba
s2p =(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
t =x̄1 − x̄2
sp
√1
n1+
1
n2
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis
Novena sección
Comparación de medias poblacionales σ21 y σ
22 desconocidas
De�nición (se sabe que: σ21 = σ22)
Las poblaciones muestreadas tienen varianzas desconocidas
pero iguales.Debido a esta suposición, das varianzas
muestrales se agrupan
Se utiliza la distribución t como el estadístico de prueba
s2p =(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
t =x̄1 − x̄2
sp
√1
n1+
1
n2
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis
Novena sección
Comparación de medias poblacionales σ21 y σ
22 desconocidas
De�nición (se sabe que: σ21 = σ22)
Las poblaciones muestreadas tienen varianzas desconocidas
pero iguales.Debido a esta suposición, das varianzas
muestrales se agrupan
Se utiliza la distribución t como el estadístico de prueba
s2p =(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
t =x̄1 − x̄2
sp
√1
n1+
1
n2
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis
Novena sección
Comparación de medias poblacionales σ21 y σ
22 desconocidas
De�nición (se sabe que: σ21 = σ22)
Las poblaciones muestreadas tienen varianzas desconocidas
pero iguales.Debido a esta suposición, das varianzas
muestrales se agrupan
Se utiliza la distribución t como el estadístico de prueba
s2p =(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
t =x̄1 − x̄2
sp
√1
n1+
1
n2
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis
Novena sección
σ21 = σ2
2 pero desconocidas
Ejemplo
Una muestra aleatoria de 10 observaciones de una población reveló
una media muestral de 23 y una desviación estándar de 4. Una
muestra aleatoria de 8 observaciones de otra población revelo una
media muestral de 26 y una desviación de la muestra de 5. Con un
nivel de con�anza del 95%, ¾hay alguna diferencia entre las medias
poblacionales?
Planteamiento de hipótesis
H0 : µ1 = µ2
H0 : µ1 6= µ2
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis
Novena sección
σ21 = σ2
2 pero desconocidas
Ejemplo
Una muestra aleatoria de 10 observaciones de una población reveló
una media muestral de 23 y una desviación estándar de 4. Una
muestra aleatoria de 8 observaciones de otra población revelo una
media muestral de 26 y una desviación de la muestra de 5. Con un
nivel de con�anza del 95%, ¾hay alguna diferencia entre las medias
poblacionales?
Planteamiento de hipótesis
H0 : µ1 = µ2
H0 : µ1 6= µ2
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis
Novena sección
σ21 = σ2
2 pero desconocidas
Ejemplo
Regla de decisión
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis
Novena sección
σ21 = σ2
2 pero desconocidas
Ejemplo
Se calcula la varianza agrupada
s2p =(10− 1)42 + (8− 1)52
10 + 8− 2=
319
16= 19.94
Se calcula el estadístico t
t =23− 26√
19.94
(1
10+
1
8
) =−3
2.12= −1.415
Se calcula el p-valor
p valor = p(t < −1.415, df = 16) = 0.088 > 0.05 = α
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Novena sección
σ21 = σ2
2 pero desconocidas
Ejemplo
Se calcula la varianza agrupada
s2p =(10− 1)42 + (8− 1)52
10 + 8− 2=
319
16= 19.94
Se calcula el estadístico t
t =23− 26√
19.94
(1
10+
1
8
) =−3
2.12= −1.415
Se calcula el p-valor
p valor = p(t < −1.415, df = 16) = 0.088 > 0.05 = α
MsC Edgar Madrid Cuello Departamento de Matemática, UNISUCRE Estadística IIPruebas de hipótesis
Novena sección
σ21 = σ2
2 pero desconocidas
Ejemplo
Se calcula la varianza agrupada
s2p =(10− 1)42 + (8− 1)52
10 + 8− 2=
319
16= 19.94
Se calcula el estadístico t
t =23− 26√
19.94
(1
10+
1
8
) =−3
2.12= −1.415
Se calcula el p-valor
p valor = p(t < −1.415, df = 16) = 0.088 > 0.05 = α
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Novena sección
σ21 6= σ2
2 y desconocidas
De�nición
Estadístico de prueba
t =x̄1 − x̄2√ET 2
1 + ET 22
Grados de libertad
gl =
(ET 2
1 + ET 22
)2ET 4
1
n1 − 1+
ET 42
n2 − 1
Donde
ET 21 = s21/n1 y ET
22 = s22/n2
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Novena sección
σ21 6= σ2
2 y desconocidas
De�nición
Estadístico de prueba
t =x̄1 − x̄2√ET 2
1 + ET 22
Grados de libertad
gl =
(ET 2
1 + ET 22
)2ET 4
1
n1 − 1+
ET 42
n2 − 1
Donde
ET 21 = s21/n1 y ET
22 = s22/n2
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Novena sección
σ21 6= σ2
2 y desconocidas
Ejemplo
Suponga que usted es un experto en la industria de la moda y
desea reunir información para comparar la cantidad mensual que
ganan las modelos que vistieron ropa de Liz Claiborne con respecto
a las que modelaron ropa de Calvin Klein. La siguiente es la
cantidad (en miles de dólares) que gana al mes por una muestra de
modelos de Liz Claiborne:5.0 4.5 3.4 6.0 3.3 4.5 4.6 3.55.2 4.8 4.4 4.6 3.6 5.0 3.4La siguiente es la cantidad (en miles de dólares) que gana al mes
una muestra de modelos de Calvin Klein
3.1 3.7 3.6 4.0 3.8 3.8 5.9 4.9 3.6 2.3 4.0 3.6
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Novena sección
σ21 6= σ2
2 y desconocidas
Ejemplo
¾Es
razonable concluir que las modelos de Liz Claiborne ganan mas?
Utilice un nivel de signi�cancia de 0.05 y suponga que las
desviaciones estándares de la las poblaciones no son iguales
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Novena sección
σ21 6= σ2
2 y desconocidas
Ejemplo
Se calculan los estadísticos de las dos muestraLiz Claiborne Calvin Klein
n 15 12
x̄ 4.387 3.858
s2 0.6312 0.7754
ET 2 0.0421 0.0646t = 1.617451gl = 22.49653α = 0.05
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Novena sección
σ21 6= σ2
2 y desconocidas
Ejemplo
Regla de decisión
p valor = p(t >1.617; 22.5) = 0.0598 > α
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Novena sección
σ21 6= σ2
2 y desconocidas en excel
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Novena sección
σ21 6= σ2
2 y desconocidas en excel
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Novena sección
σ21 6= σ2
2 y desconocidas en excel
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Novena sección
Muestras pareadas
De�nición
Hay ocasiones en las que las muestras no son independientes. En
otras palabras, las muestras son dependientes o están relacionadas.
Se denotará con µD la media poblacional de la distribución de las
diferencias. También se supone que dichas diferencias siguen una
distribución normal. El estadístico de prueba es t:
t =D̄
sD/√ncon gl = n−1
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Muestras pareadas
De�nición
Hay ocasiones en las que las muestras no son independientes. En
otras palabras, las muestras son dependientes o están relacionadas.
Se denotará con µD la media poblacional de la distribución de las
diferencias. También se supone que dichas diferencias siguen una
distribución normal. El estadístico de prueba es t:
t =D̄
sD/√ncon gl = n−1
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Novena sección
Muestras pareadas
De�nición
Hay ocasiones en las que las muestras no son independientes. En
otras palabras, las muestras son dependientes o están relacionadas.
Se denotará con µD la media poblacional de la distribución de las
diferencias. También se supone que dichas diferencias siguen una
distribución normal. El estadístico de prueba es t:
t =D̄
sD/√ncon gl = n−1
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Muestras pareadas
Ejemplo
La gerencia de Distrimuebles, cadena de mueblerías a crédito de la
costa caribe, diseño un plan de incentivos para sus agentes de
ventas. Para evaluar este plan innovador, se seleccionaron a 12
vendedores al azar, y se registraron sus ingresos anteriores y
posteriores al plan (en miles de pesos)
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Novena sección
Muestras pareadas
Ejemplo
Vendedor
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
Antes Después
320 340
290 285
421 475
510 510
210 210
402 500
625 631
560 560
360 365
431 431
506 525
505 619
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Muestras pareadas
Ejemplo
¾ Hubo algún aumento signi�cativo en el ingreso
semanal de un vendedor debido al innovador plan
de incentivos? Calcule el valor p e interprételo
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Muestras pareadas
Ejemplo
Vendedor
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
Antes Después
320 340
290 285
421 475
510 510
210 210
402 500
625 631
560 560
360 365
431 431
506 525
505 619
Diferencia
20
-5
54
0
0
98
6
0
5
0
19
144
D̄ = 25.92 sD = 40.79
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Muestras pareadas
Ejemplo
Vendedor
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
Antes Después
320 340
290 285
421 475
510 510
210 210
402 500
625 631
560 560
360 365
431 431
506 525
505 619
Diferencia
20
-5
54
0
0
98
6
0
5
0
19
144
D̄ = 25.92 sD = 40.79
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Muestras pareadas
Ejemplo
Vendedor
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
v11
v12
Antes Después
320 340
290 285
421 475
510 510
210 210
402 500
625 631
560 560
360 365
431 431
506 525
505 619
Diferencia
20
-5
54
0
0
98
6
0
5
0
19
144
D̄ = 25.92 sD = 40.79
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Muestras pareadas
Ejemplo
Nickel Savings and Loan desea comparar las dos compañías que
contrata para valuar las casas. Nickel Savings seleccionó una
muestra de 10 propiedades y programa los avalúos de las dos
empresas. Los resultados, en miles de dólares, son:
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Novena sección
Muestras pareadas
Ejemplo
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Novena sección
Muestras pareadas
Ejemplo
Con un nivel de signi�cancia de 0.05, ¾se puede concluir que hay
una diferencia entre los avalúos medios de las casas?
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