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PRUEBA DE HIPOTESIS PARA MEDIAS

Se utiliza una prueba de unamuestrapara probar una afirmacin con respecto a una media de una poblacin nica.Si se conoce la desviacin estndar de la poblacin (), la distribucin de muestreo adecuada es la distribucin normal, si la poblacin que se muestra es normal, la distribucin de muestreo ser normal en el caso de todos los tamaos de la muestra, y el valor estadstico de prueba a utilizar es:

Si l poblacin no es normal, o si se desconoce su forma, se emplea la ecuacin anterior solamente para tamaos de muestra iguales o mayores 30, es decir, para n 30.Si no se conoce la desviacin estndar de la poblacin (), el valor estadstico de prueba es:

Se considera practico utilizar t solamente cuando se requiera que el tamao se la muestra sea menos a 30, ya que para muestras ms grandes los valores t y z son aproximadamente iguales, y es posible emplear la distribucin normal en lugar de la distribucin t

Ejemplo 1

Una fbrica de electrodomsticos afirma que una aspiradora consume un promedio de 46 kilovatios- hora al ao. Si en un estudio se toma una muestra aleatoria de 12 aspiradoras y se encuentra que consume un promedio de 42 kilovatios-hora al ao con una desviacin estndar de 11,9 kilovatios-hora, se podra afirmar con un nivel de significancia de 0,05 que la aspiradoras consumen, en promedio, menos de 46 kilovatios-hora al ao?

Datos:n= 12= 42 = 11,9=0.05

Establece la hiptesis nula y alternativa.H0: = 46 (hiptesis nula)H1: < 46 (hiptesis alternativa)

Calcular los grados de libertadgl = n - 1 = 12 1 = 11 Determinar la regin critica

Por lo tanto la regin crtica es:t < -1,796.

Calcular el valor del estadstico de prueba: Ubicamos el valor estadstico encontrado en la grfica y tenemos que:

DECISION: el valor de -1,16 se encuentra por fuera de la regin crtica y dentro de la regin de confianza, por tanto, la decisin es aceptar la hiptesis nula (H0).CONCLUSION: se concluye que el promedio anual de kilovatios- hora que consumen las aspiradoras no es menor de 46.

Ejemplo 2

En un colegio se hizo un estudio para determinar qu tan lejos de la institucin viven los estudiantes. Para ello, se tom una muestra de 50 estudiantes y se encontr que el promedio de las distancias del colegio a las casas de ellos es de 102.6. con un nivel de significancia de 0.10 probar la hiptesis segn la cual el medio de las distancias es menos de 105 km, si se sabe que = 5km.Datos:n= 50= 102,6 = 5=0.10

Establece la hiptesis nula y alternativa.H0: = 105 (hiptesis nula)H1: < 105 (hiptesis alternativa)

Determinar la regin critica

Por lo tanto la region criticaes Z< -1.28.

Calcular el valor del estadstico de prueba:

Ubicamos el valor estadstico encontrado en la grfica y tenemos que:

DECISION: el valor de -3,39 se encuentra por fuera de la regin de confianza y dentro de la regin critica, por tanto, la decisin es rechazar la hiptesis nula (H0) y aceptar la hiptesis alternativa (H1).CONCLUSION: se concluye que el promedio de las distancias de las casas de los estudiantes al colegio es menor de 105 Km.

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA DIFERENCIAS DE MEDIAS:

Laspruebasde dos muestras se utilizan para decidir si las medias de dos poblaciones son iguales. Se requieren dos muestras independientes, una de cada una de las dos poblaciones. Considrese, por ejemplo, una compaa investigadora que experimentan con dos diferentesmezclasdepintura, para ver si se puede modificar eltiempode secado de una pintura para uso domstico. Cada mezcla es probada un determinado nmero de veces, y comparados posteriormente los tiemposmediosde secado de las dos muestras. Una parece ser superior, ya que su tiempo medio de secado (muestra) es 30 minutos menor que el de la otra muestra.Pero, son realmente diferentes los tiempos medios de secado de las dos pinturas, o esta diferencia muestral es nada ms la variacin aleatoria que se espera, aun cuando las dos frmulas presentan idnticos tiempos medios de secado? Una vez ms, las diferencias casuales se deben distinguir de las diferencias reales.Con frecuencia se utilizan pruebas de dos muestras para comparar dosmtodosdeenseanza, dosmarcas, dos ciudades, dos distritos escolares y otras cosas semejantes.La hiptesis nula puede establecer que las dos poblaciones tienen medias iguales:

H0: 1 = 2

Las alternativas pueden ser algunas de las siguientes:

H0: 1 2 H0: 1 > 2 H0: 1 < 2

Cuando se conocen las desviaciones estndar de la poblacin el valor estadstico de prueba es el siguiente:

Para tamaos ms pequeos de muestra, Z estar distribuida normalmente slo si las dos poblaciones que se muestrean tambin lo estn.

Cabe suponer que el valor real de Z cuando H0 es verdadera est distribuido normalmente con una media de 0 y una desviacin estndar de 1, para caso que la suma de n1 + n2 es igual o mayor a 30.Cuando no se conoce las desviaciones estndar de la poblacin y n1 + n2 es menor a 30, el valor estadstico de prueba es como:

Cuando los tamaos de las dos muestras no son iguales y su suma es menos de 30, la frmula para el valor estadstico de prueba se convierte en :

Ejemplo 1

En una ciudad se hace un estudio para determinar las diferencias en los promedios de los puntajes en las pruebas de estado para matemticas de colegios pblicos y colegios privados. Se toma una muestra de 21 colegios pblicos y 13 colegios privados y se encuentra que le promedio de los puntajes de la prueba de matemticas es de 52 y 58 respectivamente. Si se sabe que las desviaciones estndares para los colegios privados y pblicos son 7 y 5 respectivamente, con un nivel de significancia de 0,10, probar las hiptesis segn la cual la diferencia de los promedios de los puntajes de matemticas en los dos tipos de colegio es diferente de 7 puntos.

Datos: Colegios privados Colegios pblicos

n1 = 13n2 = 21

1 = 582 = 52

1 = 7 2 = 5

=0.10

Establece la hiptesis nula y alternativa.H0: 1 - 2 = 7 (hiptesis nula)H1: 1 - 2 7(hiptesis alternativa)

Determinar la regin critica

Por lo tanto la regin critica es Z< -1,645 y Z> 1,645 Calcular el valor del estadstico de prueba:

Ubicamos el valor estadstico encontrado en la grfica y tenemos que:

DECISION: el valor de 0.45 se encuentra por fuera de la regin crtica y por dentro de la regin de confianza, por tanto, la decisin es aceptar la hiptesis nula y rechazar la hiptesis alternativa.CONCLUSION: se concluye que la diferencia de los promedios de los puntajes de matemticas en los dos tipos de colegio no es diferente de 7 puntos.

Ejemplo 2 Se presentan los contenidos de nicotina para cigarros largos con filtro y sin filtro seleccionados al azar.Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveracin de los cigarrillos largos sin filtro tienen una cantidad media de nicotina ms alta que la cantidad media de nicotina en cigarrillos largos con filtro.

Datos:

Largos con filtro Largos sin filtro

n1 = 21n2 = 8

1 = 0.942 = 1.65

1 = 0.31 2 = 0.16

=0.05

Establece la hiptesis nula y alternativa. 2 > 1 de los cual se obtiene 2 - 1 > 0 lo cual corresponde a la hiptesis alternativa. Entonces:H0: 2 - 1 = 0 (hiptesis nula)H1: 2 - 1 > 0(hiptesis alternativa)

Calcular los grados de libertadgl = n1 + n2 - 2= 21 + 8 - 2 = 27

Determinar la regin critica

Por lo tanto la regin critica es t >1,703 Calcular el valor del estadstico de prueba:Primero determinamos el valor p

Determinar el valor de t.

Ubicamos el valor estadstico encontrado en la grfica y tenemos que:

DECISION: el valor de 6,10 se encuentra por dentro de la regin crtica y fuera de la regin de confianza, por tanto, la decisin es rechazar la hiptesis nula y aceptar la hiptesis alternativa.CONCLUSION: se concluye que la cantidad promedio de nicotina en los cigarrillos largos sin filtro es mayor que el promedio de nicotina es los cigarrillos largos con filtro