La Transformada de Fourier y sus Propiedades

Transformada de Fourier1

Transformada de Fourier2

∫∞

∞−

ω

πωω= de)(F)t(f tj

21

∫∞

∞−

ω−=ω dte)t(f)(F tj

Integral de Fourier y Transformada de Fourier

2

Notación Operacional

3

Series de Fourier. 4

Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t)

siguiente

Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la

función es

-p/2 0 p/2

1f(t)

t

<

<<

<

=−

−

t0

t1

t0

)t(f

2

p

2

p

2

p

2

p

Series de Fourier. 5

Integrando

Usando la fórmula de Euler

.

5

Espectro Continuo de Magnitud (o Amplitud) y Fase

6

Ejercicio Nº1:

Usando Matlab calcular la transformada de Fourier del siguiente pulso rectangular y

graficar su transformada.

7

Implementación con Matlab del cálculo de la Transformada de Fourier correspondiente a un Pulso Rectangular de duración y amplitud igual a uno.

8

Implementación con Matlab del cálculo del Espectro de Magnitud correspondiente a un Pulso Rectangular de duración y amplitud igual a uno

>> ezplot(abs(X), -30,30)

9

10

Espectro de Magnitud y Fase del Pulso Rectangular

11

Algunas propiedades de la Transformada de

Fourier

•Linealidad

•Desplazamiento en el Dominio t.

•Cambio de escala en el Dominio t.

•Multiplicación por una exponencial Compleja.

( o desplazamiento en el dominio ω).

• Convolución en el dominio t.

• Convolución en el dominio ω.

• Simetría (o Dualidad).

12

Propiedad de Linealidad

Transformada de Fourier

13

Desplazamiento en el Dominio t

14

Ejercicios Propuestos:

1)Si f(t) se traslada en el dominio t, ¿qué sucede con su espectro de magnitud? ¿ ¿qué sucede con su espectro de fase? 2)Calcule la Transformada de Fourier del siguiente pulso

rectangular y su espectro continuo de amplitud.

15

Respuesta del ejercicio 2

16

Cambio de escala en el Dominio t

Se puede demostrar que esta propiedad es válida para a<0

17

Ejercicio:

1)Dado el pulso rectangular P2(t), grafique el

pulso P2(2t).

2)Calcule la transformada de Fourier de

ambos pulsos

18

Respuesta

19

Multiplicación por una exponencial Compleja.

( o desplazamiento en el dominio ω)

20

Ejercicio:

Dada la función f(t) con transformada F(ω),

calcular la transformada de Fourier de:

a) f(t) cos(ω0t)

b) f(t) sen(ω0t)

21

Respuesta (a)

22

Respuesta (b)

23

Ejercicio: Dado el pulso P(t) de duración 0.50

seg:1)Calcular la transformada de Fourier

de: f (t)= P(t)cos(ω0t),con ω0=60

(rad/seg).

2) Graficar f(t) y su transformada

24

Respuesta

25

Convolución en el dominio t

26

27

Convolución en el dominio ω

28Transformada de Fourier

Propiedad de Simetría

29

Energía asociada a una señal

30

Teorema de ParsevalDe la deducción anterior resulta

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32

Transformada Generalizada de

FourierNos permitirá encontrar la Transformada de la función

escalón unidad, de una señal cosenoidal y senoidal.

33

34

Transformada de la Delta de Dirac

35

Transformada de la señal constante f(t) = 1

36

Transformada de Fourier de una señal

cosenoidal

37

Transformada de Fourier de una señal senoidal

38

Transformada de la función signo y de la función escalón unidad

Transformada de Laplace

Bioinformática

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