Projeto e Análise de Algoritmos - bcc.unifal-mg.edu.br · A notação O possui sua importância,...
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Universidade Federal de Alfenas
Projeto e Anlise de Algoritmos
Aula 07 Notaes , , , [email protected]
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]
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ltima aula
Notao O
Uma funo f(n) domina assintoticamente outra funo g(n) se existem duas constantes positivas c e n0
-
ltima aula
Notao O
Uma funo f(n) domina assintoticamente outra funo g(n) se existem duas constantes positivas c e n0
tais que, para qualquer n >= n0,
-
ltima aula
Notao O
Uma funo f(n) domina assintoticamente outra funo g(n) se existem duas constantes positivas c e n0
tais que, para qualquer n >= n0,
temos g(n)
-
Outras notaes
Assim como a notao O fornece uma maneira assinttica de dizer que uma funo menor ou igual aoutra, existem outras notao que fornecem outras concluses sobre a complexidade de algoritmos;
-
Outras notaes
Assim como a notao O fornece uma maneira assinttica de dizer que uma funo menor ou igual aoutra, existem outras notao que fornecem outras concluses sobre a complexidade de algoritmos;
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Outras notaes
Assim como a notao O fornece uma maneira assinttica de dizer que uma funo menor ou igual aoutra, existem outras notao que fornecem outras concluses sobre a complexidade de algoritmos;
-
Outras notaes
Assim como a notao O fornece uma maneira assinttica de dizer que uma funo menor ou igual aoutra, existem outras notao que fornecem outras concluses sobre a complexidade de algoritmos;
-
Outras notaes
Assim como a notao O fornece uma maneira assinttica de dizer que uma funo menor ou igual aoutra, existem outras notao que fornecem outras concluses sobre a complexidade de algoritmos;
-
Notao
-
Notao
A notao bem parecida com a notao O;
O define um limite assinttico superior, e;
define um limite assinttico inferior.
-
Notao
A notao bem parecida com a notao O;
O define um limite assinttico superior, e;
define um limite assinttico inferior.
Exemplos: )( 34 nn
-
Notao
A notao bem parecida com a notao O;
O define um limite assinttico superior, e;
define um limite assinttico inferior.
Exemplos: )( 34 nn
)1(n
-
Notao
A notao bem parecida com a notao O;
O define um limite assinttico superior, e;
define um limite assinttico inferior.
Exemplos: )( 34 nn
)1(n
))(log()log(3 nn
-
Notao
A notao bem parecida com a notao O;
O define um limite assinttico superior, e;
define um limite assinttico inferior.
Exemplos: )( 34 nn
)1(n
))(log()log(3 nn
)1(1
-
Notao
A notao bem parecida com a notao O;
O define um limite assinttico superior, e;
define um limite assinttico inferior.
Exemplos: )( 34 nn
)1(n
))(log()log(3 nn
)1(1
)2(! nn
-
Notao
}nnf(n) g(n)c|
ne c{f(n):(g(n))
0
0
0
0
Limite assinttico inferior
-
Notao
Limite assinttico inferior
-
Notao
Na prtica a notao no vista sozinha em anlises de algoritmos;
-
Notao
Na prtica a notao no vista sozinha em anlises de algoritmos;
Pelo motivo de no interessar para a anlise de algoritmos;
-
Notao
Na prtica a notao no vista sozinha em anlises de algoritmos;
Pelo motivo de no interessar para a anlise de algoritmos;
A notao O possui sua importncia, pois o programador conclui que seu algoritmo no mximo to complexo a uma funo.
-
Notao
Na prtica a notao no vista sozinha em anlises de algoritmos;
Pelo motivo de no interessar para a anlise de algoritmos;
A notao O possui sua importncia, pois o programador conclui que seu algoritmo no mximo to complexo a uma funo.
Mas no mnimo to complexo, como a notao descreve, no importante para concluses prticas sobre algoritmos.
-
Notao
Na prtica a notao no vista sozinha em anlises de algoritmos;
Pelo motivo de no interessar para a anlise de algoritmos;
A notao O possui sua importncia, pois o programador conclui que seu algoritmo no mximo to complexo a uma funo.
Mas no mnimo to complexo, como a notao descreve, no importante para concluses prticas sobre algoritmos.
vem na maioria das vezes acompanhada a notao ; Como um complemento na anlise, nunca sozinha...
-
Notao
-
Conhecida tambm como limite firme ou limite assintoticamente restrito.
Notao
-
Conhecida tambm como limite firme ou limite assintoticamente restrito.
A notao O, apesar de fornecer informaes sobre a complexidade do algoritmo, nem sempre nos revela algo importante;
Notao
-
Conhecida tambm como limite firme ou limite assintoticamente restrito.
A notao O, apesar de fornecer informaes sobre a complexidade do algoritmo, nem sempre nos revela algo importante;
No faz sentido, para algum algoritmo, dizer que suas complexidade por exemplo O(n!).
Ou faz?
Notao
-
Conhecida tambm como limite firme ou limite assintoticamente restrito.
A notao O, apesar de fornecer informaes sobre a complexidade do algoritmo, nem sempre nos revela algo importante;
No faz sentido, para algum algoritmo, dizer que suas complexidade por exemplo O(n!). Ou faz?
Exemplos da falta de preciso de O:
Notao
)!(
)2(
)(
)(
)(
)(
1000
5
4
3
nOn
On
nOn
nOn
nOn
nOn
n
-
Notao
Uma funo f(n) pertence ao conjunto (g(n)) se existem constantes positivas n0, c1 e c2
-
Notao
}nng(n) cf(n)g(n)c|
ne,c c{f(n):(g(n))
021
021
0
0
Uma funo f(n) pertence ao conjunto (g(n)) se existem constantes positivas n0, c1 e c2 tais que ela possa ser imprensada entre c1.g(n) e c2.g(n), para um valor de n suficientemente grande.
-
Exemplo:
Para isso, devemos definir constantes c1, c2 e n0 tais que:
Encontre constantes que satisfaa as duas desigualdades...
Notao
)(nnn 2
2
32
2
2
22
1 32
1ncnnnc
}nng(n) cf(n)g(n)c|
ne,c c{f(n):(g(n))
021
021
0
0
-
Exemplo de constantes:
Notao
21
3
2
1c
nc
22
22
1 32
1ncnnnc Dividindo por n2 ...
-
Exemplo de constantes:
Portanto, se existem tais constantes
Notao
7
2
1
14
1
0
2
1
n
c
c
)(nnn 2
2
32
21
3
2
1c
nc
22
22
1 32
1ncnnnc Dividindo por n2 ...
-
Notao
))(()(
))(()(
)()(
xgxf
e
xgOxf
sse
)x(gxf
Observao:
-
Notao (o minsculo)
-
O limite assinttico superior fornecido pela notao O (-zo) pode:
Notao
-
O limite assinttico superior fornecido pela notao O (-zo) pode:
Ser assintoticamente restrito;
Notao
-
O limite assinttico superior fornecido pela notao O (-zo) pode:
Ser assintoticamente restrito;
No ser assintoticamente restrito;
Notao
-
O limite assinttico superior fornecido pela notao O (-zo) pode:
Ser assintoticamente restrito;
No ser assintoticamente restrito;
Exemplos:
Assintoticamente restrito:
No assintoticamente restrito:
Notao
)(2 22 nOn
)()log(
)(2 2
ncOn
nOn
-
Notao
Todas as funes de O (-zo) que no definem um limite assintoticamente restrito pertencem a o (-zinho)
-
Notao
))(()(
))(()())(()(
ngnf
entaongnfengOnfse
Todas as funes de O (-zo) que no definem um limite assintoticamente restrito pertencem a o (-zinho)
-
Notao
)()log(
)(2 2
nn
nn
))(()(
))(()())(()(
ngnf
entaongnfengOnfse
Todas as funes de O (-zo) que no definem um limite assintoticamente restrito pertencem a o (-zinho)
-
Comparativo com a notao O;
Notao
}nng(n) cnf|
nc{f(n):(g(n))
0
0
)(0
0,0
0c constantes as todaspara
vlido )()(0 limite o )),(()(
0c constante alguma para
vlidomantm se )()(0 limite o )),(()(
ncgnfngnf
ncgnfngOnf
No
-
Notao
0)(
)(lim
ento Se
ng
nf
(g(n))f(n)
n
Facilitando o entendimento...
-
Notao (omega minsculo)
-
O limite assinttico inferior fornecido pela notao (omega-zo) pode:
Ser assintoticamente restrito;
No ser assintoticamente restrito;
Exemplos:
Assintoticamente restrito:
No assintoticamente restrito:
Notao
)(2 22 nn
)(2 3 nn
-
Notao
))(log(2
)1(2 2
nn
n
))(()(
))(()())(()(
ngnf
entaongnfengOnfse
Todas as funes de (omegazo) que no definem um limite assintoticamente restrito pertencem a
-
Notao
}nn nfg(n)c|
nc{f(n):(g(n))
0
0
)(0
0,0
No
-
Notao
)(
)(lim
ento Se
ng
nf
(g(n))f(n)
n
Facilitando o entendimento...
-
Exerccios
-
Exerccios V ou F
))(()())(()( nfngssengnf
))(()())(()( ngnfentaongnfse (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
))(()())(()( ngnfentaongnfse
))(()())(()( ngnfentaongnfse
))(()())(()( ngnfentaongOnfse
))(()())(()( ngnfentaongnfse
))(()())(()( ngnfentaongnfse
))(()())(()( ngnfentaongnfse
))(()())(()( ngnfentaongnfse
-
Exerccio para prxima aula Descreva e implemente 3 algoritmos para a seguinte espiral:
Eles devem ter respectivamente as seguintes complexidades: (n); (sqrt(n)); (1).
Eu informo n, e voc informa as coordenadas x, y do n-sino ponto.
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Leitura para prxima aula
Livro: Algoritmos (Cormen)
4 Recorrncias;
4.1 O mtodo de substituio;
4.2 O mtodo de rvore de recurso
4.3 O mtodo mestre
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Bibliografia
CORMEN, T. H.; LEISERSON, C. E.; RIVEST, R. L.; (2002). Algoritmos Teoria e Prtica. Traduo da 2 edio americana. Rio de Janeiro. Editora Campus.
TAMASSIA, ROBERTO; GOODRICH, MICHAEL T. (2004). Projeto de Algoritmos - Fundamentos, Anlise e Exemplos da Internet.
![RADIOATIVIDADE [Modo de Compatibilidade] - Educacional · 13/04/2011 3 Partícula alfa ( α) 2α 4 Possui: 2 prótons, 2 nêutrons e nenhum elétron. Características das emissões](https://static.fdocument.org/doc/165x107/5bc3f9d409d3f27a338cdad7/radioatividade-modo-de-compatibilidade-13042011-3-particula-alfa-.jpg?t=1680073528)
