•A1 El estado de tensión en un punto viene dado por las siguientes componentes del tensor tensión:

0Mpa4Mpa1Mpa2Mpa4 =====−= yzxzxyzzyyxx σσσσσσ

Determinar: a) El vector de tensión en las direcciones normales ê1, ê2 y ê3. b) Las componentes de la tensión que actúan en un plano cuya normal forma un

ángulo de 45° con el eje y y 45° con el eje z. c) El valor de las componentes intrínsecas (σn y τn) que actúan sobre dicho plano.

•A2 El estado tensional de los puntos que componen un cuerpo elástico viene dada por:

( )( ) ( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−++−

+++−+=

zxzyxzyzyx

zyzyxyx

533106

634σ

Las tensiones están expresadas en N/mm2 y las coordenadas en mm. Se pide: a) Calcular las fuerzas de volumen. b) El tensor de tensiones σ en el punto P (0,1,-1). ¿Tiene alguna particularidad este

punto? •A3 El estado de tensional en un punto de un cuerpo viene dado por:

2N/mm04243234

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= kσ

Determinar el valor de k tal que en el punto pase un plano en el que las tensiones sean nulas y determinar el vector normal de dicho plano. •A4 En un punto P de un sólido elástico, el estado tensional viene definido como:

MPa102040202020402010

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−

=σ

Determinar: a) Calcular las tensiones y direcciones principales. b) Obtener de forma analítica y de forma gráfica mediante los círculos de Mohr las

componentes intrínsecas del vector de tensiones correspondientes a un plano cuya normal forma ángulos iguales con los semiejes cartesianos ortogonales x, y y z.

•A5 Obtener las tensiones principales y la tensión tangencial máxima τmax del estado tensional plano:

MPa12

12

12⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−=σ

•A6 Determinar el valor y sentido que debe tener la tensión tangencial t’ de la figura para que exista equilibrio sabiendo que la tensión tangencial t=100MPa.

•A7 Dado el estado tensional plano indicado en la figura del cual se sabe que MPa 7=Iσ , determinar:

a) El valor de la tensión principal IIσ b) Las direcciones principales c) Las componentes intrínsecas para un plano donde 0=θ

•A8 Sabiendo que la máxima tensión principal es de 5 MPa, dibujar las componentes intrínsecas del vector tensión en todos los lados del siguiente hexágono regular:

θ

3 MPa 2 MPa

•A9 Dado el estado tensional plano donde el módulo de la máxima tensión tangencial es √2MPa dibujar todos los posibles estados tensionales en los lados del octágono regular de la figura.

•A10 Determinar todos los posibles valores de σ y τ de la figura, sabiendo que la máxima tensión tangencial sobre cualquier plano en el punto es τmax=1.

σ > 0 τ > 0

•A11 Una barra prismática de 5 mm2 de sección está sometida a un esfuerzo de tracción F=1500 N aplicado según su eje longitudinal.

Admitiendo que la distribución de tensiones en su interior es uniforme, determinar: a) La tensión tangencial máxima que actúa en un punto dado de la sección central. b) Los planos en los que actúa la tensión tangencial máxima. c) La tensión normal nσ que actúa en dichos planos.

•A12 Un punto de un cuerpo está sometido a un estado tensional plano definido por el tensor de tensiones:

MPa⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

15353525σ

1. Determinar gráficamente las tensiones y direcciones principales. 2. Determinar el valor de la tensión tangencial máxima en los planos en los que el vector tensión forma un ángulo de 80o con la normal a dicho plano. 3. Determinar el valor de la tensión tangencial máxima de los planos cuya normal forma 80o con la dirección principal Ie . •A13 Dado el estado tensional adjunto, detornar los planos que tienen las componentes intrínsecas σn = 5 MPa y τn = 3 MPa.

2 σ

τ

τ σ

1500 N 1500 N

1MPa

1MPa

MPa3550

5350000

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=σ

•A14 Del estado tensional en un punto se sabe que:

a. La máxima tensión tangencial en los planos paralelos a la dirección principal nII (correspondientes a la tensión principal media) es igual a 3 MPa.

b. La máxima tensión tangencial en los planos paralelos a la dirección principal nI (correspondientes a la tensión principal mayor) es igual a 2 MPa.

c. σIII = 0 A este estado tensional se le suma un estado hidrostático de tensiones de valor Iσ p−= donde (p ≥ 0). Obtener todos los posibles valores de p para los que es posible encontrar algún plano cuyas componentes intrínsecas en el estado final de tensiones sean: σ = 3 MPa & |τ| = 1 MPa. •A15 Los esquemas 1 y 2 de la figura adjunta representan el estado tensional de un punto, pero referidos a dos sistema de ejes diferentes. Determinar las tensiones normales y tangenciales que actúan en la cara ABCD del esquema 2 teniendo en cuenta el criterio de signos convencional para el tensor de tensiones.

•A16 En la figura se representa el estado de tensión plana de un punto sobre cuatro planos que pasan por el mismo.

Determinar: 1. Los posibles valores de σ, τ ,θ1 y θ2. 2. Deformaciones y direcciones principales. 3. La componente intrínseca tangencial y los posibles

valores del ángulo β si la componente intrínseca normal es de 5 MPa.

4. La tensión tangencial mínima de todos los planos cuya componente intrínseca normal es de 5 MPa y determinar uno de sus planos de corte.

τ > 0 σ > 0

τ

4

σ

6

4

θ1

θ2

τ

β

8 MPa 6 MPa

4 MPa

BCD

A

5 MPa

3 MPa

5 MPa

3 MPa

e3

e2e1 Esquema 1 Esquema 2

•B1 La descripción espacial del movimiento de un medio continuo viene dada por la ecuación de movimiento:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

=

= −

t

t

t

eXtXx

eXx

eXx

t2

313

222

211

5

,Xx

Comprobar la existencia de la ecuación de movimiento inversa y determinar su expresión. •B2 Dada la ecuación de movimiento definida en el instante t=1 por la expresión:

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

+=

=

==

33

2322

11

211,

Xx

XXx

Xx

tXx

Se pide: a) Dibujar la deformada del cuadrado

definido por los puntos OABC contenidos en el plano x1=0 y cuyos lados miden la unidad.

b) Calcular el estiramiento en el entorno del punto C en las direcciones 2e y 3e− .

c) Calcular el cambio de ángulo de los lados OC y CB en el punto C.

•B3 La deformación en el instante t=1del cubo de lado la unidad representado en la figura viene gobernada por la ecuación de movimiento:

( )( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

+===

333

222

2111 21,

XaxXax

XXaxtXx

donde a1, a2 y a3 son constantes.

Determinar: a) La longitud de la diagonal OC en el cubo deformado. b) El ángulo entre los ejes 1e y 2e tras la deformación. c) Las condiciones que han de satisfacer las constantes

para que la deformación sea posible si: i. El material es incompresible. ii. El ángulo entre los elementos OC y OD se

mantiene constante.

•B4 Para un determinado instante, la ecuación de movimiento de un medio continuo viene definida por:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++−=−=−=

=

3213

322

311

XAXAXxXAXxXAXx

x

Siendo A una constante. Determinar:

a) El tensor Gradiente de deformaciones F. b) El tensor C. c) El tensor de deformación E. d) Obtener la longitud final de la diagonal (1,1,1) utilizando la teoría de la deformación.

•B5 Dada la ecuación de movimiento en el instante t=1

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=+=

==2233

22

2211

1,

XaXx

XxXaXx

tXx

siendo a una constante. Determinar el tensor de grandes deformaciones E y de pequeñas deformaciones ε. •B6 En un medio continuo el vector de desplazamientos tiene las siguientes componentes:

22122 ;2;2 zawyxavxau ==−=

donde a es una constante de valor a=10-4 cuando las componentes del vector de desplazamientos y las coordenadas x, y y z están en metros. Determinar:

a) El tensor de deformación ε en un punto cualquiera del cuerpo. b) Los alargamientos principales y las direcciones principales en el entorno del punto

P de coordenadas (1,2,1). •B7 En un punto de la superficie plana de un sólido elástico se colocan tres galgas extensométricas como se indica en la figura, donde 4

3tan =φ . Tras solicitar el cuerpo se toman las siguientes lecturas:

004.0;002.0;003.0 −=== cba εεε Calcular la deformación angular que sufre el ángulo inicialmente recto formado por las galgas a y b.

•B8 Un cuerpo compuesto por un material elástico lineal e isótropo se deforma según el siguiente vector de desplazamientos:

xBwyvyxAu ==+= −− ;10·800;10·300 66 Determinar las constantes A y B para que se cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:

a) El vector de desplazamientos define un estado plano de deformaciones. b) Ningún punto del cuerpo experimenta variación de volumen.

•B9 En un cierto instante, el campo de desplazamientos de un medio continuo es:

( ) ( ) ( )ZauXaYauXau zyx 1;1;1 3121 −=+−=−= α

Determinar a1, a2 y a3 sabiendo que el sólido es incompresible, que en un segmento paralelo al eje Z no se alarga y que el área de un elemento situado en el plano XZ no se ha modificado. •B11 El medio continuo de la figura está sometido a un estado de deformación plana uniforme (ux = ux (x,y) ; uy = uy (x,y) ; uz=0). Determinar el tensor de pequeñas deformaciones sabiendo que:

a) El área pasa a ser 1+p veces el valor inicial.

0)1( ApA +=

b) El segmento AB pasa a tener una longitud 1+q veces la inicial.

0)1( ABqAB +=

c) El segmento AC no se deforma.

0ACAC =

•B12 Dado el paralepípedo de la figura y el correspondiente vector desplazamientos u en las que todas las unidades están definidas en mm.

( )

( )0

1041

1021

3

321

22

212

321

22

211

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=

+−=

−

−

u

xxxxu

xxxxu

Determinar: 1. Campo de pequeñas

deformaciones. 2. La deformación volumétrica del

paralepípedo. 3. Variación de la longitud de la

arista BC.

•B13 Se sabe que un cuerpo está sometido a una deformación definida por la siguiente ecuación de movimiento φ :

4 mm

3 mm

2 mm

x1

x2

x3

A B

C

D

E G

F

O

y

x A (0,0) B (1,0)

D (0,1) C (1,1)

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=

=

=

tYZztZYy

Xxt

2

2,Xϕ

Se pide: 1. Demostrar que condiciones se deben cumplir para que sea una ecuación de

movimiento 2. Hallar la longitud en el instante t=1s, del segmento que en la configuración de

referencia t=0s es recto y une los puntos A(0,0,0) y B(0,1,1).

•C1 Dada una barra cilíndrica a la que se le impide cualquier expansión o contracción de la superficie lateral y a la que se le aplica una tensión normal σσ =11 , se pide:

a) Determinar el estado tensional en cada punto de la barra. b) Demostrar que el módulo de Young efectivo 1111 εσ=′E está dado por la

expresión: ( )

( )( )EEυυ

υ211

1−+

−=′

•C2 Un cuerpo compuesto por un material elástico lineal e isótropo se deforma según el siguiente vector de desplazamientos:

( ) ( ) 0;46;24 =+=−= wyxKvyxKu

donde las coordenadas están expresadas en cm. El valor máximo admisible de la tensión tangencial es MPa500max =τ . Determinar el valor máximo que puede tener la constante K si el módulo elástico es E=200 GPa y el coeficiente de Poisson υ=0’25. •C3 El prisma de la figura se encuentra alojado en una cavidad de gran rigidez y sometido a una tensión en su cara superior MPa2−=xxσ . Las constantes del material isótropo son E=2 GPa y υ=0’3. Determinar la variación de la altura del prisma.

•C4 Una barra de aluminio de 2m de longitud y sección cuadrada de lado 35cm está sometida en las caras laterales a una presión uniforme px y py.

Determinar los estados de tensión y de deformación en función de los valores px y py según el modelo de tensión plana y según el modelo de deformación plana. Indicar cual es la aplicabilidad de ambos modelos.

•C5 El cuerpo prismático de la figura está sometido a un sistema de fuerzas volumétricas (X=0, Y=6 N/mm3, Z=17 N/mm3) y fuerzas de superficie que provocan el estado tensional:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−+

+=

zbyazbyazbyazbya

zbya

32202230

00σ

donde las tensiones se obtienen en MPa cuando las coordenadas x, y y z se expresan en mm. Si el material tiene un módulo de Young E=2·105 MPa y un coeficiente de Poisson υ=0’25, se pide:

a) Los valores de los coeficientes a y b. b) Las expresiones de las fuerzas de superficie фx, фy y фz en las caras del sólido. c) La matriz de pequeñas deformaciones ε.

•C6 El estado tensional en un punto de un cuerpo elástico, homogéneo e isótropo con módulo de Young E=210 GPa y coeficiente de Poisson υ=0’25, viene dado por la superposición de los dos estados tensionales de la figura:

donde los valores se encuentran expresados en MPa. Determinar los alargamientos unitarios principales y sus direcciones principales. •C7 Un punto de un cuerpo compuesto por un material elástico lineal e isótropo cuyo módulo de Young es E=200GPa y coeficiente de Poisson υ=0’3 tiene el estado tensional mostrado en la figura.

Determinar:

a) Las componentes intrínsecas de la tensión del plano en el que la tensión tangencial τn sea máxima.

b) El tensor tensión σ en la base x e y. c) Las deformaciones principales. d) El alargamiento ε de los ejes x* e y* y

la variación angular entre ellos. x

40 MPa

y

x* y*

45º

10 MPa

10 MPa

40 MPa

• C8 Un prisma compuesto cuyo módulo de Young es E=200 GPa, coeficiente de Poisson υ=0’3 y coeficiente de dilatación α=1’25·10-5 ºC-1 y con unas dimensiones a=100 mm, b=200 mm y c=300 mm, se introduce en una cavidad de paredes rígidas, planas y perfectamente lisas como la mostrada en la figura.

Si se produce un incremento de temperatura ∆T=30 ºC, determinar:

a) Las tensiones principales. b) Los alargamientos unitarios principales. c) La variación de volumen que sufrirá el prisma y su volumen final.

•C9 Dos paralepípedos A y B de iguales dimensiones geométricas a x b x c pero compuestos por materiales diferentes se colocan perfectamente alineados en una cavidad de paredes planas, rígidas y perfectamente lisas tal y como se indica en la figura. Los paralepípedos A y B se calientan, experimentando un incremento de temperatura ∆TA y ∆TB respectivamente.

Cuerpo A (acero): EA=210 GPa

υA =0’25 αA =0’117·10-4 ºC-1 ∆TA = 60 ºC

Cuerpo B (aluminio):

EB=69 GPa υB =0’23 αB =0’234·10-4 ºC-1 ∆TB = 50 ºC

Conociendo los módulos de elasticidad EA y EB, los coeficientes de Poisson υA y υB y los coeficientes de dilatación lineal αA y αB, se pide calcular:

a) Las tensiones principales en ambos bloques. b) Las variaciones de longitud que sufren las aristas de los mismos. c) La variación de volumen de ambos si sus dimensiones son a=200 mm, b=300 mm y

c=200 mm.

6τ

4τ

4τ

σB

σA 5τ

θ

•C10 El estado tensional de un punto viene dado en la figura adjunta del que se sabe se trata de un estado de tensión plana donde la tensión tangencial máxima en el punto es 5τ. Determinar:

a) El valor de σA, σB y θ. b) Las tensiones principales y su dirección. c) La deformación volumétrica del punto si el coef. de Poisson es ν = 0.25 y módulo de Young es E = 200 GPa. d) El valor máximo de τ si el límite elástico es σE =240 MPa y el coef. de seguridad es γ=2.

•C11 Dado el paralepípedo de la figura y el correspondiente vector desplazamientos u en las que todas las unidades están definidas en mm.

( )

3213

3

221

32

211

31

10

10

3210

xu

xxu

xxu

−

−

−

=

=

+=

E = 200 GPa ν = 0.25

Determinar:

1. Campo de deformaciones. 2. Campo de tensiones. 3. Fuerzas que actúan en el paralepípedo.

4 mm

3 mm

2 mm

x1

x2

x3

A B

C

D

E G

F

O

•D1 Un cuerpo de forma tetraédrica como el indicado en la figura tiene las caras OAB, OBC y OCA (coincidentes con los planos coordenados) en contacto superficies rígidas sin rozamiento. Sobre la cara ABC se aplica una distribución uniforme de fuerzas de superficie de valor ( )MPa30,10,40 −−−=φ

r.

Sabiendo que estas condiciones el estado tensional es homogéneo; que se trata de un material elástico lineal e isótropo cuyas propiedades son E=200 GPa y υ=0’25; y que las dimensiones están dadas en mm, determinar:

a) El tensor de tensiones b) El potencial interno acumulado en el proceso de carga de la cara ABC.

•D2 Una barra de longitud l y de sección rectangular b x h se encuentra sometida a una fuerza de tracción F. Determinar:

a) El tensor de tensión σ y el tensor deformación ε. b) La energía de deformación W de la barra. c) El incremento de longitud δ que sufre la barra utilizando métodos energéticos.

•D3 Al someter la estructura de la figura a las cargas que aparecen en el esquema (a) se obtienen las deformaciones que se indican. Determinar el desplazamiento vertical δAque se producirá en el punto A al someter a la estructura a las acciones que se indican en el esquema (b):

(a)

3 mm

2 mm

10 N

A

(b)

δA

1,5 mm 5 N

A

•D4 Al someter la viga de la figura a las cargas que aparecen en el esquema (a), se obtienen las deformaciones que se indican. Determinar el descenso vertical δC que se producirá en el punto C al someter la viga a las acciones que se indican en el esquema (b):

•D5 Al someter la viga de la figura a las cargas que aparecen en el esquema (b), se obtienen las deformaciones que se indican. Determinar el giro ωB que se producirá en el punto B al someter la viga a las acciones que se indican en el esquema (a):

•D6 El hexaedro de la figura compuesto por un material homogéneo, elástico lineal e isótropo y cuyos parámetros son E y ν, está sometido a un campo de deformaciones representado por el tensor de pequeñas deformaciones:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

zlk

ylkk

kxlk

200

02

02

ε

siendo k una constante. Se pide, justificando las respuestas:

a) Demostrar que el campo de deformaciones es físicamente posible. b) Determinar en el origen de coordenadas O:

i. la variación del ángulo formado entre los ejes e1 y e2 ii. la dirección de máximo alargamiento iii. un plano de máxima cizalladura y su valor iv. un plano en los que el vector de tensiones tiene componentes intrínsecas kE

)1(2 νσ +=

y 2)1(2kE

ντ +=

v. el vector tensión octaédrico σo c) Determinar la variación de longitud de la arista OA d) Determinar la variación de longitud de la diagonal OE e) Determinar la variación de volumen del hexaedro. f) Determinar las fuerzas que actúan en las caras del hexaedro.

l

e1

e2

e3

A B

C

D

E G

F

O

l l

A

C

B

4·103mN

B A

C

2.27·10-3rad ωB

7.67·10-3m

2 kN

4·10-3m

1.07·10-3rad 2.13·10-3rad (a) (b) 1·103mN

A

C

B

4·103mN

B A

C

2·10-3rad 2·10-3rad

6.67·10-3m

2 kN

δC

1.07·10-3rad 2.13·10-3rad (a) (b)

•E1 Dados los tres estados de tensión de la figura (expresados en MPa) aplicados sobre un material con la misma resistencia a tracción y a compresión y cuyo coeficiente de Poisson es υ=0’25, se pide:

a) Determinar cual de los tres estados tiene el menor coeficiente de seguridad aplicando los diversos criterios de falla y utilizando MPa240=Eσ

b) Que pasaría en el caso (1) si el material que se utiliza posee un límite elástico MPa95=Eσ

•E2 Un bloque de un determinado material cuyas caras laterales están libres, está sometido a una compresión uniforme σ. El mismo bloque se introduce en una cavidad de las mismas dimensiones y paredes rígidas, aplicando la misma compresión σ.

Estudiar el efecto que produce la restricción lateral en el segundo caso de acuerdo con la teoría de Tresca. •E3 Dado el estado tensional de la figura en el que el límite elástico del material es de σE=400 MPa, encontrar todos los posibles valores de k tal que no superen el límite elástico con un coeficiente de seguridad γ= 2 según el criterio de Tresca (criterio de la tensión tangencial máxima).

10k

10k

10k

10k

100

(1) (2) (3)

• Determinar las leyes/diagramas de esfuerzos:

• Determinar los diagramas de esfuerzos:

θ = 45º P = 50 N lh = 4 m lv = 6 m

a c

l l/2

l

b

d

P

• Calcular el momento flector máximo de la viga biarticulada sometida a la carga repartida representada en la figura donde P* = 7.5kN.

l

P

l

l

l

l

P

l

l

l

B C D

P

2P

4l

2l

lA

l

l=5m

P*

• Dibujar el diagrama de esfuerzos cortantes y el diagrama de sólido libre a que está sometida la viga AB correspondiente al diagrama de momentos flectores indicado en la figura:

• Dibujar el diagrama de esfuerzos cortantes y el diagrama de sólido libre a que está sometida la viga AB correspondiente al diagrama de momentos flectores indicado en la figura:

• Determinar el diagrama de sólido libre de una pieza prismática AB cuyo diagrama de

momentos flectores Mz está representado en la figura adjunta.

.

2k mN A C

C B

Mz

2m 2m

16k mN 14k mN

2m

D B

2 Nm

-1 Nm -2 Nm

1 m 1 m 1 m

Mz

7,5 Nm

-2,5 Nm -2,5 Nm

2,5 Nm

2,5 mm 2,5 mm 2,5 mm

• Determinar el diagrama de esfuerzos en función de la carga repartida q [kN/m] y la longitud l [m] correspondiente a la pieza prismática representada en la figura.

• A la pieza de la figura compuesta por dos tramos de sección constante (SA= 20 cm2 y SB= 40 cm2) se le aplica una fuerza puntual F. Las propiedades elásticas del material son E = 200 GPa y υ=0’25. Determinar:

a) El valor mínimo que ha de tener la fuerza F para que el extremo inferior contacte con la superficie rígida inferior.

b) Las tensiones que se producirán en las distintas secciones de la pieza para una fuerza F cuyo valor es el doble al calculado en el apartado anterior.

• La estructura de la figura está compuesta por dos barras rectas articuladas en sus extremos. Determinar:

a) Las reacciones b) Los desplazamientos horizontal δH y vertical δV del punto B por métodos

energéticos.

q 2ql

l

SB = 40 cm2

F

SA = 20 cm2

lA = 2 m

lB = 1 m

∆ = 1 mm

P

B

C

A

α

lAB

lAC

2l l

• Dada la viga de sección rectangular de la figura, se sabe que la resultante del esfuerzo normal correspondiente a las fibras situadas sobre el área rayada de la sección situada a 0.7 m del borde izquierdo es de 21000 N. Determinar el valor de P y la tensión normal máxima de la viga.

• Determinar el momento de inercia con relación al eje z de la figura.

• Determinar el momento de inercia z principal de la sección representada en la figura.

• Determinar el momento de inercia con relación al eje z de la figura.

1 m 1,5 m 1,5 m

A B P P

0,7 m

20 cm

10 cm

4 cm 6 cm

20cm

18cm

30cm

2cm

y

z G

20cm

30cm

4cm

1cm 1cm

2cm y

y

z G

b

b

e

e

• Dada la viga empotrada de la figura, determinar:

a) Las tensiones normales máximas de la pieza de la figura, indicando los puntos sobre los cuales se producen dichas tensiones.

b) La posición del eje neutro en la sección de empotramiento.

• Determinar las tensiones normales máxima y mínima en la pieza de la figura sometida a la carga que se indica. NOTA: Despreciar el peso propio de la pieza.

• Hallar las tensiones principales y sus direcciones en el punto de coordenadas x = 50 cm, y = 5 cm y z= 2 cm de la viga de la figura (P = 20 kN).

5000 N

2000 N

20 cm

12 cm

1,2 m 0,8 m

1’40 m

1 m

180 kN

30 cm

40 cm 30 cm

1 m 1,5 m 1,5 m

A BP P

a 10 cm

20 cm y

x

a

Sección a-a

• Dada la estructura de la figura de sección rectangular:

Determinar: a) Diagramas de esfuerzos, dibujando rebanadas y valores

representativos. b) Distribución de las tensiones en la sección más solicitada,

indicando a la vez donde está la sección más solicitada y la fibra o fibras más solicitadas de la sección.

c) El valor de de la carga q (con unidades) que puede soportar la estructura.

NOTA: No despreciar el efecto de ningún esfuerzo.

• Dadas las vigas representadas en las figuras (A) y (B) cuya sección en ambos casos corresponde a la representada en la figura, determinar:

a) El valor máximo de la carga

que pueden soportar. b) La tensión tangencial máxima. NOTA: Aplicar el criterio de falla de Von Mises, siendo la tensión admisible σadm = 160 MPa.

• Dada la estructura de la figura de sección cuadrada:

Determinar:

d) Diagramas de esfuerzos, dibujando rebanadas y valores representativos. e) Diagrama de la distribución de tensiones en la sección más solicitada, indicando a la vez

donde está la sección más solicitada y la fibra o fibras más solicitadas de la sección. f) El valor de P máximo (con unidades) que puede soportar la estructura.

Lim. elástico: σe = 200 MPa Coef. seguridad: γ = 2

4a

a=1cm

Sección q

0’45ql l = 5m

l=3m

2l

P

Lim. elástico: σe = 240 MPa Coef. seguridad: γ = 1’5

a

a=1cm

Secció

• Dada la estructura de la figura toda ella de sección tubular constante, determinar el valor de la carga máxima Pmax que puede soportar (indicando secciones y puntos más solicitados) aplicando el criterio de Tresca con un coeficiente de seguridad γ=2 a un material elástico cuyas propiedades son: límite elástico σE= 240 MPa, módulo de Young E = 200 GPa y coef. Poisson ν = 0’25.

• Dibujar de forma cualitativa (justificando la respuesta) la dirección, sentido y distribución de las tensiones tangenciales a las que estaría sometida la sección de pared delgada de la figura al tener aplicado únicamente un esfuerzo cortante en y positivo (Ty > 0).

• Dibujar de forma cualitativa (justificando la respuesta) la dirección, sentido y distribución de las tensiones tangenciales a las que estaría sometida la sección de pared delgada de la figura al tener aplicado un esfuerzo cortante en y positivo (Ty > 0).

• Dado el perfil de pared delgada representado en la figura, calcular la tensión tangencial máxima debido al esfuerzo cortante Ty = 20kN.

Dimensiones: b = 20 cm h = 15cm e1 = 1mm e2 = 2mm.

y

Ty e1 e1

b

e2 h

25mm

e =

Sección

l

P

l

l

x y z

l = 1m

z

y

G z

y

G

z

y

G z

y

G

• Dada la sección de la figura, determinar la coordenada del centro de torsión zCT y la tensión tangencial máxima τmax (indicando en ambos caso el signo) para un esfuerzo cortante Ty= 25 kN positivo y aplicado en el centro de torsión. Los datos geométricos de la sección son: h= 10 cm, b = 5 cm, e1 = 0,5 mm y e2 = 3 mm.

b

z

y

G

h

e2 e1

e1

• Determinar la ubicación del centro de torsión de la figura cuadrada abierta de lado l.

• Determinar para la estructura de la figura:

a) El valor del momento M si el

desplazamiento del punto A es de 2 cm (E = 210 GPa y υ=0’30)

b) La tensión tangencial máxima τmax y en que fibras se produce.

• Determinar las reacciones de la pieza bi-empotrada de la figura.

• Dimensionar el eje de transmisión acoplado al motor, tal que tiene que transmitir una potencia de 100 CV a 300 rpm. (Considerar una tensión admisible σadm = 100 MPa).

G

F = 10 kN

• Determinar el diámetro mínimo que ha de tener la barra ABCDEF de la figura, toda ella de sección circular constante, para soportar una carga vertical de 400 N aplicada en el punto F, con un coeficiente de seguridad mínimo de 2 y construida con un acero cuyas características son: Límite elástico: σe= 240 MPa Módulo elástico: E = 210 GPa Coef. De Poisson: υ=0’28

• La pieza de la figura es un tubo circular de acero de 150mm de diámetro exterior y 4mm de espesor, estando sometida a los esfuerzos que se indican en los puntos de aplicación A y B. El otro extremo de la pieza está empotrado. Determinar, aplicando el criterio de falla de Tresca-Güest (criterio de la tensión cortante máxima), el coeficiente de seguridad con que la pieza soporta dichos esfuerzos. Indicar cual es el punto del tubo que está más solicitado. (Propiedades del material: límite elástico σe= 240 MPa; módulo elástico E = 210 GPa; coef. De Poisson υ=0’28).

(Dimensiones en cm)

NOTA: Los cojinetes en C y D se suponen sin rozamiento

P = 400 N

F1 = 20 kN F2 = 22 kN F3 = 20 kN

• Determinar los desplazamientos del apoyo B de la estructura de sección constante representada en la figura, utilizando los siguientes métodos:

a) Ecuaciones de Navier-Bresse b) Principio de trabajos virtuales

• Determinar el giro y el desplazamiento horizontal relativos entre las secciones A y B de la estructura representada en la figura (toda ella de sección constante).

• Determinar el movimiento de la sección de aplicación de la carga P correspondiente a la estructura de la figura.

• Determinar el desplazamiento horizontal, vertical y giro de la sección en el apoyo A correspondiente a la estructura de sección constante representada en la figura. NOTA: Despreciar los efectos de los esfuerzos normal y cortante.

• Determinar el desplazamiento del nudo C de la estructura representada en la figura cuyos datos son: P = 5kN; A = 5 cm2; l = 2m; E = 200 GPa.

• La viga de la figura, constituida por una IPN-300, está sometida a un par concentrado según el eje z de valor M=100 kNm aplicado en su sección central. En estas condiciones, el apoyo articulado B sufre un descenso vertical de 2cm. Determinar el valor de la tensión normal máxima que tiene la viga.

Propiedades: • Módulo elástico: E = 210 GPa • Momento de inercia: Iz = 9800 cm4 • Módulo resistente: Wz = 653 cm3

q

l l

l

A B

C

2 mm

100 mm

2.5 mm

y

Gz

2 mm

250 mm

Sección

P l = 2.5 m

l

l

P

B

C

D A

• Dada la estructura de la figura, toda ella de sección tubular constante, determinar la carga máxima Pmax que puede soportar. Los datos del material son σE= 320 MPa , γ = 2 E = 210 GPa y ν = 0’25.

• Determinar la energía de deformación W de la estructura de la figura (toda ella de sección circular constante) y el desplazamiento δA en la dirección y sección de aplicación de la carga en función del módulo elástico E (coef. Poisson ν=1/3), de la longitud l, de la inercia Iz y de la carga P. Nota: Despreciar los efectos del esfuerzo normal y cortante si los hubiese.

• Dada la estructura de la figura de sección constante, determinar la reacción vertical Yc y todos los diagramas de esfuerzos dibujando rebanadas y valores representativos. Despreciar el efecto de los esfuerzos normales y cortantes durante el cálculo.

P

2l

lx

y z

A

• Dada la estructura de la figura, toda ella de sección constante, determinar el desplazamiento horizontal uc de la sección C indicando el sentido. NOTA: Despreciar el efecto del esfuerzo normal y del esfuerzo cortante.

• Determinar las reacciones en los extremos A y B de una viga biempotrada sometida a la carga uniformemente repartida que se indica en la figura.

• Determinar los esfuerzos interiores de la estructura de la figura.

• Determinar el giro de la sección B en la estructura de sección constante representada en la figura.

P l

l l

B

C

l

l l

A

B

P

l

p

A B

• Determinar el giro de la sección A en la estructura de sección constante representada en la figura.

• Determinar las reacciones en los extremos A y B de una viga biempotrada sometida a la carga uniformemente repartida que se indica en la figura.

• Determinar el desplazamiento horizontal del punto B de la estructura de sección constante, representada en la figura, al estar sometida a la fuerza F que se indica. NOTA: Despreciar el efecto del esfuerzo normal y del esfuerzo cortante.

• Determinar el diagrama de momentos flectores de la estructura de sección constante representada la figura adjunta y el desplazamiento vertical de la rótula.

B F

2l

l

l

p

l 2l

P l

l l

A B

CD

l

p

A B

• Determinar el desplazamiento vertical de la sección C correspondiente a la estructura de la figura toda ella de sección constante.

• Determinar el desplazamiento vertical de la sección D correspondiente a la estructura de la figura toda ella de sección constante. Nota: Despreciar las deformaciones producidas por axiles y cortantes.

• Determinar el desplazamiento horizontal de la sección C correspondiente a la estructura de la figura toda ella de sección constante. Nota: Despreciar las deformaciones producidas por axiles y cortantes.

A B

l

C

l

l

l

q

l

l

l l

A

B

C D

P

l

A

l

B

CP

l l

δ

l

A

l

B

C

P

l

δ EIZ

l

A

l

B

CP

l l

δ

• Determinar el giro de la sección C correspondiente a la estructura de la figura toda ella de sección constante. Nota: Despreciar las deformaciones producidas por axiles y cortantes.

• Dada la estructura de la figura, toda ella de sección constante, y sabiendo que bajo las condiciones dadas el apoyo B sufre un descenso δ. Determinar el desplazamiento horizontal de la sección C. Nota: Despreciar las deformaciones producidas por axiles y cortantes.

• Dada la estructura de la figura toda ella de sección constante y de forma circular maciza:

Determinar a) Desplazamiento horizontal de la sección C

despreciando el efecto de los esfuerzos axiles y cortantes.

Para valores de P = 20 kN y l = 3 m: b) El diámetro mínimo φmin de la sección sabiendo

que la tensión admisible σadm = 260 N/mm2 y el coeficiente de seguridad es de γ = 1.1 (utilizar el criterio de Von Mises).

c) Las tensiones σx y τxy en el punto A de la sección de empotramiento, así como las tensiones principales.

P

A

l

l/2 B C

l l/2

y

z

φ

φ /4

φ /4

Sección

A

• Deducir el sistema de ecuaciones que calcularse usando el Método Matricial para determinar los desplazamientos en los nudos de la estructura mostrada en la figura.

l1

p

A B

l2

C 45º

30º

E1 I1 A1 E2

I2 A2