Project 10

Altobelino Enriko | 13208037|EL3092

Proyek 10 : Desain Band Stop FilterBANDSTOPAbstrak

-. p1= 0.8 radian -. s1 = 1.2 radian -. s2 = 1.8 radian -. p2= 2.2 radian -. Ripple passband (Rp) < 1 db -. Atenuasi Stopband (As) < 30 db Untuk mendesain suatu band pass filter digital dengan spesifikasi di atas berdasarkan tipe filter butterworth diperlukan empat langkah utama yakni 1. transformasi bilinear BS -> LP 2. perancangan filter analog LP butterworth

Pada proyek ini akan dilakukan desain filter bandstop digital dengan menggunakan dasar desain lowpass butterworth. Untuk itu perlu dilakukan empat langkah utama yaitu transformasi bilinear frekuensi, desain filter analog, transformasi LP ke HP, lalu transformasi dari domain s ke domain z (analog ke digital). Desain ini akan digunakan menggunakan spreadsheet dan MATLAB. Kata kunci : butterworth, A/D, transformasi z, filter analog, filter digital I. METODOLOGI Langkah-langkah yang akan dilakukan pada percobaan ini :Lakukan transformasi bilinear dari spesifikasi filter bandstop ke lowpass

3. konversi fungsi transfer filter dari LP ke BS 4. konversi analog ke digital.

Buat filter lowpass butterworth dengan spesifikasi tersebut

buat filter ini menjadi cascade orde 2 dan orde 1, cari koefisiennya

Prinsip utama dari proyek ini adalah merancang suatu filter bandstop menggunakan metode perancangan filter lowpass butterworth. Secara teoritis, filter bandstop dapat disusun dari lowpass yang digeser ke kanan sepanjang setengah BW dan digabungkan dengan filter highpass dengan spesifikasi yang sama yang digeser ke kiri sepanjang setengah BW. Lalu diinvert. Transformasi Bilinear z-plane ke s-plane

koversi lowpass ke bandstop

konversi ke filter digital bsf

Gambarkan kurva spektrumnya

Verifikasi filter ini pada frekuensi cutoff wc = wp1, wp2, ws1, ws2 menggunakan input x[n] = cos(wn)

Transformasi bilinear mengubah filter analog Ha(s) dari splane ke filter digital Hd(z) pada z-plane. Dengan hubungan :

II. HASIL DAN ANALISIS Spesifikasi Filter :

(1) dengan transformasi ini, maka akan didapatkan persamaan ekivalen dari filter digital dalam domain analog. 1

Altobelino Enriko | 13208037|EL3092j

Bila s = + j dan z = re , maka :

Dengan mensubstitusi nilai s dan dengan + j dimana =0 ke persamaan (5) maka didapatkan :

(2) untuk melakukan transformasi bilinear dari digital ke analog, hanya perlu diperhatikan bagian imajiner dari persamaan diatas, yaitu ketika bagian riil sama dengan nol. (6) Selanjutnya perlu dicari edge factor dari filter ini, yaitu perbandingan antara frekuensi passband dan stopband. Informasi inilah yang menghubungkan karakteristik LP dan BS melalui transformasi ini. Untuk mencari edge factor (C) dari LPF yang dituju, maka dari persamaan di atas, komponen lowpass dipindahkan ke ruas yang sama dan nilai dan s disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut. Sehingga dihasilkan :

(3) fungsi ini bersifat monotonik, sehingga profil spektrum dari filter analog ini akan sama dengan filter digital yang diinginkan. Dengan menggunakan persamaan (3) maka spesifikasi bandstop digital dapat dikonversi ke domain analog sebagai berikut :

(7) dengan :

Transformasi BP ke LP Sebuah transformasi dapat menghubungkan LPF H1( ) di plane dengan BSF H2(s) di s-plane, yaitu : Karena BSF memiliki dua stopband edge yaitu s1 dan s2 maka akan didapatkan dua nilai edge faktor yaitu C1 dan C2. Dengan memasukkan nilai s1 dan s2 tersebut ke persamaan (7) maka didapatkan

(4) dengan adalah passband edge dari LP; adalah passband edge dari BP.2

dan

Dengan B = dan 0 = p2 p1 maka persamaan di atas berubah menjadi : Edge yang dipilih adalah yang tercuram (nilai absolutnya paling besar) yaitu C2, sehingga digunakan C = 3.8974 Dengan demikian nilai-nilai yang dibutuhkan untuk merancang filter LPF, yaitu edge factor (C), passband ripple (Rp), dan atenuasi stopband (As) sudah didapatkan. Dan langkah selanjutnya adalah melakukan prosedur perancangan filter butterworth. Perancangan Filter LPF Butterworth 2

(5) sama seperti sebelumnya, untuk melakukan transformasi bilinier ini hanya diperhatikan pemetaan pada sumbu imajinernya yaitu ketika bagian riil bernilai nol.


Desain filter analog butterworth memerlukan penentuan orde N tertentu untuk memenuhi spesifikasi yang ditentukan yang ditentukan di atas. Untuk mencari nilai N tersebut digunakan persamaan :

Berhubung filter ini akan mengalami transformasi frekuensi, tidak diperlukan posisi absolut dari dan , sehingga dapat dipilih nilai berapapun. Untuk menyederhanakan perhitungan pilih = 1. Sehingga semua nilai b0 = 1. Untuk mencari pole filter nya digunakan persamaan :

(8) dimana : Cp=100.1Rp

(13) dengan nilai N = 5 dan c = 1, maka pole filter ini menjadi :

1 (9)

Cp=10

0.1Rp

1 (10) (14) Substitusi pada persamaan (14) untuk k = 1 sampai N, akan didapatkan hasil di bawah ini :

Dengan mensubstitusikan ke dalam variable-variabel dalam persamaan tersebut dengan nilai yang sesuai spesifikasi yang telah ditentukan maka didapatkan :

Artinya untuk membuat filter butterworth dengan spesifikasi yang diinginkan tersebut paling sedikit dibutuhkan orde N = 5. Untuk mempermudah perancangan, filter tersebut terlebih dahulu dipecah menjadi 2 stage filter orde dua dan 1 stage filter orde 1. Bentuk umum dari filter butterworth ini adalah :

Orde yang dibutuhkan untuk filter ini adalah N = 5, sehingga dibutuhkan 2 stage filter orde 2 dan 1 stage filter orde 1 yaitu :

*pole-pole filter orde dua dikelompokkan bersama dengan pole konjugasinya (10) dengan bentuk umum cascade orde 2 nya dinyatakan sebagai : Jika digunakan bentuk persamaan (11) dan (12), maka koefisien filter tersebut adalah :

(11) Fungsi transfernya : (12)

3


Stage 1 (13) Orde 2 Stage 2 LPF :

BSF : Stage 3

yang disederhanakan menjadi : Dengan demikian telah dirancang suatu filter Lowpass analog dengan spesifikasi edge yang sesuai dengan BSF yang akan didesain. Langkah selanjutnya adalah melakukan transformasi analog dari LP ke BS.

Transformasi Analog LPF ke BSF Untuk transformasi dari LP ke BS berlaku hubungan sesuai persamaan (5), yaitu

Orde 4 BSF

(14)

dengan mensubstitusikan nilai pada persamaan tersebut ke dalam fungsi transfer lowpass pada persamaan (11) dan (12), maka didapatkan : Orde 1 LPF:

Dari transformasi di atas dapat diamati bahwa orde 1 LPF akan ditransformasi menjadi orde 2 BSF dan orde 2 LPF akan ditransformasi menjadi orde 4 BSF. Dengan kata lain, satu pole dari LPF sama dengan 2 pole BSF. Dengan demikian filter bandstop yang didesain dengan spesifikasi ini, membutuhkan 2 stage BSF orde 4 dan 1 stage BSF orde 2. Yang keseluruhannya terdiri dari 10 pole. -------------------------------------------------------------------------Jika orde 2 BSF dinyatakan sebagai :

BSF:

yang disederhanakan menjadi :

(15) maka jika dihubungkan dengan persamaan (13) didapatkan persamaan : Koefisien BSF orde 2

Orde 2 BSF

4


*** Koefisien Filter :

(16) Jika orde 4 BSF dinyatakan sebagai :

(17) maka jika dihubungkan dengan persamaan (13) didapatkan persamaan : Koefisien B merupakan bagian numerator dan koefisien A merupakan bagian denumerator dari filter bandstop ini. Dengan memasukkan nilai koefisien tersebut ke persamaan (15) untuk orde 2 dan ke persamaan (17) untuk orde 4 didapatkan fungsi transfer masing-masing filter yaitu :Stage 1

Koefisien BSF orde 4

Stage 2

Stage 3

(18)

Dengan mensubstitusikan nilai-niLai yang telah didapatkan sebelumnya ke dalam persamaan (16) dan (18) maka koefisien filter BSF untuk setiap stage bisa dihitung.

5


Dengan demikian filter telah dikonversi dari LP ke BS, namun hal ini masih dilakukan dalam mode analog, sedangkan filter yang ingin dirancang adalah filter digital, sehingga langkah selanjutnya adalah melakukan transformasi ke domain diskrit (z-plane) Konversi Filter ke Domain z Langkah selanjutnya adalah melakukan transformasi dari domain laplace ke domain z. Bentuk orde 2 s-plane BSF adalah:

maka jika dihubungkan dengan persamaan (20) didapatkan persamaan : Koefisien BSF orde 2

(19) Sedangkan hubungan s-plane dan z-plane sesuai persamaan (1) adalah sebagai berikut : (22) Bentuk orde 4 z-plane BSF adalah: maka :

(23) Sedangkan hubungan s-plane dan z-plane sesuai persamaan (1) adalah sebagai berikut :

maka :

Orde 2 z-plane Orde 4 z-plane

(20) Jika orde 2 BSF z-plane dinyatakan sebagai :

(21) (24) 6


Jika orde 4 BSF dinyatakan sebagai :

(25) maka jika dihubungkan dengan persamaan (24) didapatkan persamaan : Koefisien BSF orde 4 Dengan memasukkan nilai koefisien tersebut ke persamaan (23) dan (25) didapatkan fungsi transfer bandstop orde 4 (stage 1 dan 2) dan orde 2 (stage 3), dalam domain z.sta ge 1

sta ge 2

sta ge 3

Fungsi Transfer dalam domain Z Bila stage 1 dan 2 dibagi masing-masingnya menjadi 2 cascade orde dua, maka didapatkan koefisien filter orde dua nya adalah sebagai berikut :

(26)

Koefisien Filter Dengan mensubstitusikan koefisien filter dalam domain s yang telah didapatkan sebelumnya ke dalam persamaan (22) dan persamaan (26) maka koefisien filter BSF pada z-plane untuk setiap stage bisa dihitung, yaitu :

7


Stage 1 => Stage 1A x Stage 1B

Stage 1A

Stage 1B Untuk memverifikasi penguatan filter ini apakah sesuai spesifikasi yang diinginkan atau tidak, dapat dilakukan dengan 3 cara, yaitu verifikasi melalui perhitungan, grafik, dan sinyal input. Stage 2 => Stage 2A x Stage 2B Melalui perhitungan matematis, dapat dilakukan dengan menghitung magnitude masing-masing stage filter, dan mengalikannya untuk menghasilkan nilai magnitude keseluruhan, yang kemudian dicari penguatannya dengan menggunakan rumus 20log{H} Verfikasi Filter melalui perhitungan Stage 2A

Stage 2B

Dengan demikian maka filter bandstop dengan spesifikasi yang diinginkan pada desain dapat disusun dengan lima stage cascade filter orde 2. Maka persamaan filter Bandstop digital dalam desain ini secara keseluruhan adalah :

Terjadi penyimpangan yang cukup jauh pada bagian stopband, hal ini kemungkinan disebabkan oleh pemilihan edge factor yang mengacu lebih kepada frekuensi passband, sehingga presisi spesifikasi pada passband yang diutamakan. Kurva Spektrum Kurva spektrum ini akan diplot menggunakan matlab :>> H = f1a*f1b*f2a*f2b*f3; >> b = get(H,'num');a = get(H,'den');num=b{1,1};den=a{1,1};

H(z) =

>> freqz(num,den);

Kurva spektrum H(z) adalah sebagai berikut :

8


Dari kurva terlihat posisi frekuensi stopband1 s1 (1.2 = 0.382), stopband2 s2 (1.8 = 0.573), passband1 s1 (0.8=0.256), dan passband2 s2 (2.2=0.701). Besar redaman pada frekuensi passband tepat 1 db sesuai spesifikasi. Namun redaman pada daerah stopband menyimpang cukup jauh dibandingkan nilai yang diminta. Hal ini masih bisa dibenarkan, karena tetap memenuhi spesifikasi yakni atenuasi stopband < -30db. Verifikasi Penguatan Filter Untuk memverifikasi filter ini menggunakan input x[n]= cos(cn), maka dilakukan konvolusi antara input dengan filter ini, kemudian magnitude input pada frekuensi yang digunakan dibandingkan dengan magnitude output pada frekuensi tersebut. Berikut adalah syntax matlab untuk melakukan verifikasi tersebut :syms n; sinput = ztrans(cos(c*n)); input = syms2z(sinput); b = get(input,'num');a = get(input,'den'); numin=b{1,1};denin=a{1,1}; %;input output = input*H; b = get(output,'num');a = get(output,'den'); numout=b{1,1};denout=a{1,1}; %output

9


figure(1);freqz(numin,denin); figure(2); freqz(numout,denout);

1, S1 (1.2 = 0.382) ------ input : x[n]=cos(1.2n) Input

Output

Output

Pada frekuensi 1.8 radian, terjadi peredaman sebesar kirakira -36 db (

Project 10

Documents

Transcript of Project 10