PROIETTIVITÀ

L’ombra di un oggetto data dai raggi provenienti da una lampada puntiforme Se osserviamo l’ombra di un quadrettato disposto con un lato che poggia sul tavolo di proiezione (figura 1) notiamo che le rette ombra formano dei trapezi. In particolare si ha che a) a rette corrispondono rette b) a rette parallele corrispondono rette incidenti; c) a segmenti uguali corrispondono in genere segmenti disuguali.

Figura 1 Se allontaniamo la lampada S dal telaio, le rette ombra r’, s’ , t’ .. tendono a diminuire la loro divergenza e si nota che la lunghezza dei segmenti A’B’, B’C’, … tende ad uguagliarsi.

Figura 2 Si intuisce che se si potesse portare la lampada a distanza infinita, a rette parallele corrisponderebbero rette parallele così come a segmenti congruenti corrisponderebbero segmenti congruenti: si avrebbe l’effetto prodotto dai raggi del sole e quindi una affinità.

Proiezione di una retta da un punto. I punti limite In figura 3 sono rappresentati il piano β’ con il suo punto O, il segmento HO della retta r perpendicolare a β’ e la sorgente puntiforme S. I raggi provenienti da S che si appoggiano ad r determinano un piano β e questo taglia β’ secondo la retta r’ : una retta ha infatti come ombra una retta

Figura 3

Ai punti A,B, C, … della retta r corrispondono i punti A’, B’, C’, … della retta r’ e viceversa. Vi sono però due punti che sfuggono a questa corrispondenza: - il punto H di r , tale che la retta HS è parallela a r’, non ha ombra su r’ - il punto K’ di r’, tale che la retta SK’ è parallela a r, non è ombra di nessun punto di r. I punti H e K’ sono detti punti limite o punti di fuga.

In merito alla corrispondenza tra i punti di r e quelli di r’ è da evidenziare che, se il punto A si allontana dal punto limite H, il punto corrispondente A’ si avvicina al punto limite K’ . Invece, se A tende ad H, A’ si allontana sempre più da K’ sulla retta r’ (fig4) .

Figura 4

Si vede che all’aumentare della distanza AH diminuisce la distanza A’K’. Per evidenziare la relazione che lega AH e A’K’ consideriamo i triangoli rettangoli HAS e K’SA’ (fig 5) , questi due triangoli sono simili per avere gli angoli acuti e congruenti in quanto alterni interni delle rette parallele passanti per HS e A’K’.

HSA ˆ SAK 'ˆ'

Si ha pertanto

AH

SKHS

KA '''=

ossia, indicando con d e d’ le distanze di S da r e da r’ :

AHd

dKA '''

=

da cui ' '' ddKAAH ⋅=⋅

Figura 5

Una relazione analoga vale ovviamente per qualunque punto della retta r e il suo corrispondente su r’; si ha per esempio (fig 6)

e ''' ddKBBH ⋅=⋅ ''' ddKCCH ⋅=⋅

Abbiamo così evidenziato l’invariante delle trasformazioni proiettive: il prodotto delle distanze di due punti corrispondenti dai rispettivi punti limiti è costante.

Figura 6

Proiezione di un piano da un punto. Le rette limite Occupiamoci della proiezione, da un punto S, di un piano β, su un altro piano β’. Questo studio ci porterà a cogliere: a) come si presenta l’ombra di una figura del piano β, quando viene proiettata su β’ da una

lampada puntiforme posta in S (fig 7) ;

Figura 7

b) come si può disegnare su β una figura del piano β’, che venga fissata da un osservatore che la guarda da un punto S (fig 8).

Figura 8

Notiamo (fig 9) che in genere ad ogni punto P e ad ogni retta t del piano β corrispondono, nella proiezione, un punto P’ e una retta t’ del piano β’, e viceversa.

Figura 9

Vi sono però due rette particolari: - la retta h di β passante per il punto limite H e parallela alla retta a comune ai due piani β e

β’ non può avere un’ombra su β’; (fig 10). - la retta h’ di β’ passante per K’ e parallela ad a non può essere ombra di nessuna retta di β

(fig 11). Queste due rette sono dette rette limite.

Figura 10 Figura 11

Proiezione di un cerchio da un punto. Le coniche Consideriamo sul piano β un cerchio (fig 12) con il centro sull’asse delle y . Nel caso della figura il cerchio si trova al di sotto del punto limite H. La sua ombra, sul piano β’, data dai raggi uscenti da S è un’ellisse.

Figura 12

Nel caso della fig 13 il cerchio passa proprio per H che non avrà pertanto il corrispondente sul piano β’. Questo ci fa capire che la curva-ombra “si apre”: si ottiene una parabola.

Figura 13

Nel caso della fig 14 il punto H è interno al cerchio. Quando si proietta da S, alcuni punti del cerchio avranno i propri corrispondenti in un semipiano di β’ e altri nel semipiano opposto rispetto alla retta comune a β e a β’. La curva-ombra si scompone in due rami simmetrici: si ha un’iperbole.

Figura 14

La proiezione di un cerchio da un punto S è pertanto un’ellisse, una parabola o un’iperbole a seconda della posizione di S rispetto al cerchio .

Le equazioni della proiettività Per trovare un legame analitico fra un punto A del piano β e il punto corrispondente del piano β’ fissiamo un riferimento cartesiano sia su β che su β’ (fig15) . Sul piano β scegliamo come asse delle x la retta limite, e come asse delle ordinate la retta y perpendicolare ad x nel punto H. Sul piano β’ scegliamo come asse delle ascisse la retta limite che indicheremo con x’ ; come asse delle ordinate prenderemo la retta y’ perpendicolare ad x’ nel punto K’.

Figura 15

I versi degli assi cartesiani sono stati fissati in modo tale che ad una figura del primo quadrante del piano Hxy corrisponda una figura del primo quadrante del piano K’x’y’. Nella figura 16 sono rappresentati un punto A di β e il suo corrispondente A’ su β’. Le coordinate del punto A sono x = AP e y = HP Le coordinate del punto A’ sono x’ = A’P’ e y’ = K’P’

Figura 16

Per determinare la relazione tra le ordinate y e y’ basta tenere presente la proprietà dei punti limite. Si ha infatti : HP ⋅ K’P’ = d ⋅ d’ ossia y ⋅ y’ = d ⋅ d’ da cui

yddy '' ⋅

=

La relazione tra le ascisse x e x’ si determina basandosi sulla similitudine dei triangoli K’P’A’ e K’LM (fig 17) ; si ha allora

LKPK

MLPA

'''''

=

Figura 17

Ma essendo ML = AP = x , A’P’ = x’, K’P’ = y’, K’L = d potremo anche scrivere

dy

xx ''=

da cui

d

yxx '' ⋅=

Ricordando che yddy '' ⋅

= avremo infine

yxd

dy

ddxx ⋅

=⋅

='

'

'

Siamo così arrivati alle equazioni della proiettività:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=

⋅=

yddy

yxdx

''

''

Invertendo la x con x’ e la y con y’ avremo le equazioni della trasformazione inversa

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=

⋅=

''

''

yddy

yxdx

E’ possibile avvalersi di queste equazioni in due modi: a) individuare la posizione del punto A’(x’, y’) su β’, conoscendo le coordinate del punto A

di β; b) determinare la posizione del punto A(x, y) su β, conoscendo le coordinate del punto A’ di

β’.

Esempi di costruzione della proiezione di una figura per mezzo delle equazioni della

proiettività 1. Sul piano β è dato il cerchio di centro ( )0,0H e raggio r = 1 ( fig 18)

Figura 18

Questo cerchio viene proiettato sul piano β’ da un punto S che si trova alla distanza d = 1 da β e alla distanza d’ = 1 da β’. Per trovare l’equazione della figura ombra del cerchio basta applicare le equazioni della trasformazione inversa; in questo caso, essendo d = 1 e d’ = 1, le equazioni sono:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

'1''

yy

yxx

Sostituendo queste ultime nell’equazione del cerchio avremo 122 =+ yx

1'1

''

22

2

=+yy

x

e quindi 1'' 22 =−yx Pertanto la figura ombra è un’iperbole equilatera. 2. Sul piano β è dato il cerchio di centro ( )1,0C e raggio r = 1 Questo cerchio viene proiettato sul piano β’ da un punto S che si trova alla distanza d = 1 da β e alla distanza d’ = 2 da β’. Per trovare l’equazione della figura ombra del cerchio basta applicare le equazioni della trasformazione inversa; in questo caso, essendo d = 1 e d’ = 2, avremo:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

'2''

yy

yxx

Sostituendo queste ultime nell’equazione del cerchio ( ) 11 22 =−+ yx avremo

11'

4'4

''

22

2

=+−+yyy

x

e quindi

1'41' 2+= xy

Pertanto la figura ombra è una parabola.

3. Sul piano β è dato il cerchio di centro ( )2,0C e raggio r = 1 Questo cerchio viene proiettato sul piano β’ da un punto S che si trova alla distanza d = 1 da β e alla distanza d’ = 4 da β’. Per trovare l’equazione della figura ombra del cerchio basta applicare le equazioni della trasformazione inversa; nel nostro caso, essendo d = 1 e d’ = 4, avremo

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

'4''

yy

yxx

Sostituendo queste ultime nell’equazione del cerchio ( ) 12 22 =−+ yx avremo

14'

16'

16''

22

2

=+−+yyy

x

e quindi

016'16'3' 22 =+−+ yyx

che può essere scritta nella forma

1

916

38'

316'

2

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+y

x

Pertanto la figura ombra è un’ellisse.

4. Sul piano β è dato il quadrato di vertici ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

41,

21A , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21,

43B , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

43,

21C e ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21,

41D

Questo quadrato viene proiettato sul piano β’ da un punto S che si trova alla distanza d = 1 da β e alla distanza d’ = 1 da β’. Per disegnare su β’ la figura ombra del quadrato basta applicare le equazioni della proiettività; in questo caso, essendo d = 1 e d’ = 1, le equazioni sono:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

yxy

yx

'

1'

I punti A, B, C, D hanno come corrispondenti i punti

( 4,2'A ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 2,

23'B ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

34,

32'C ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 2,

21'D

Si può così designare la figura ombra: è un quadrilatero che non ha nessuna particolarità.

Figura 19

Il disegno in prospettiva per mezzo delle equazioni della proiettività

Nella figura 20 è rappresentato un pittore che disegna su una lastra di vetro disposta verticalmente. Si tratta di un dispositivo formato da due piani, uno orizzontale, sia β’, su cui è poggiato l’oggetto da disegnare , e l’altro, la lastra di vetro , sia β, in posizione verticale. L’artista osserva l’oggetto dalla posizione S e traccia il disegno sulla lastra di vetro. Questo metodo equivale a proiettare dal centro S una figura posta sul piano orizzontale β’ sul piano del disegno β. I raggi di luce questa volta vanno dall’oggetto poggiato su β’ al punto S, l’occhio dell’osservatore, attraverso la lastra di vetro.

Figura 20

Vediamo con un esempio come le equazioni della proiettività e quelle della trasformazione inversa possono “sostituire la lastra di vetro”. Si voglia riprodurre sul foglio da disegno due binari ferroviari. Sul piano β’ sono rappresentate due rette parallele all’asse y’. Il foglio da disegno sia β; supponiamo che si trovi a un metro dall’occhio S, e che S si trovi ad un’altezza di 4 metri al di sopra dei binari. Le equazioni della trasformazione proiettiva e di quella inversa sono allora

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

yy

yxx

4'

4'

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

'4''

yy

yxx

Supponiamo che le rette r’ e t’ che rappresentano i binari sul piano β’ abbiano equazioni x’ = 1 e x’ = 2

Per la retta r’, sostituendo il valore x’ = 1 nelle equazione della trasformazione inversa, avremo

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

'4'

1

yy

yx

Dividendo membro a membro la seconda equazione per la prima si ottiene

4=xy

ossia y = 4x La retta x’ = 1 si trasforma nella retta d’equazione y = 4x ; questa equazione ci dice che la retta passa per l’origine H del piano β. Allo stesso modo si trova che la retta t’ che in β’ ha equazione x’ = 2 si trasforma nella retta d’equazione y = 2x passante per l’origine H . Questo fatto matematico corrisponde al fatto visivo: guardando da S i binari sembrano incontrarsi in un punto.

Figura 21

Il disegno in prospettiva con il calcolatore.

Vogliamo eseguire al calcolatore il disegno di una torre in modo da dare a chi lo guarda alla distanza di un metro, la stessa impressione che avrebbe guardando la torre dalla cima di una collina alta 60 metri. La torre è un parallelepipedo a base quadrata, alto 40 metri , con un tetto piramidale alto 10 metri Le coordinate dei vertici del quadrato di base nel piano K’x’y’ sono : , , ( )70,40'A ( )60,50'B ( )70,60'C e ( )80,50'D . La proiettività, essendo in questo caso d = 1 e d’ = d1 = 60 , ha come equazioni

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

'60

''

yy

yxx

I punti corrispondenti ad A’, B’, C’, D’ nel piano Hxy hanno pertanto coordinate

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

76,

74A , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 1,

65B , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

76,

76C e ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

43,

85D

Il calcolatore è ora in grado di disegnare la base ABCD (fig 22) . Per disegnare la base superiore del parallelepipedo occorre valersi di altre equazioni: questa base è infatti ad un’altezza di 40 metri rispetto al terreno ed è a 20 metri al di sotto dell’occhio S dell’osservatore. Si ha perciò in questo caso d = 1 e d’ = d2 = 20

Le equazioni della proiettività sono quindi

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

'20

''

yy

yxx

Ai punti A’, B’, C’, D’ considerati a quota 40 metri corrispondono nel piano Hxy i punti

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

72,

74_

A , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31,

65_

B , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

72,

76_

C e ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

41,

85_

D

Il calcolatore è ora in grado di disegnare la base superiore del parallelepipedo (fig 22).

Figura 22

Troviamo infine la posizione del vertice del tetto piramidale. Il vertice V’, schiacciato sulla base inferiore del parallelepipedo, ha le coordinate del centro del quadrato per cui . ( )70,50' CV =Dobbiamo ora trovare il corrispondente di V’ valendoci delle equazioni della proiettività. Si deve tenere conto che V’ si trova ad un’altezza di 50 metri dal terreno e quindi a soli 10 metri al di sotto di S; si ha quindi d = 1 e d’ = d3 = 10 Le equazioni che ci servono ora sono:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

'10

''

yy

yxx

Queste equazioni ci permettono di trovare il corrispondente V del punto V’; da ( )70,50'Vsi passa a

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

71,

75V

Il calcolatore è ora in grado di eseguire il disegno in prospettiva della torre (fig 23).

Figura 23

E’ chiaro che, variando i valori di d, d1, d2 e d3 e facendo ruotare di un angolo ß la base inferiore del parallelepipedo rispetto al suo centro, è possibile costruire il disegno della torre vista da una qualunque altra posizione e di dare quindi un’idea dell’effetto visivo che ha l’osservatore in luoghi diversi (fig 24).

Figura 24