2/13/13  

1  

Programming  1-­‐D  Transient  FEM  Problem  Example:  Overpressure  Genera@on  in  Sedimentary  Basins  

€

∂∂z

K ∂ ˆ h ∂z

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ = Ss

∂h∂t−ρs − ρ f

ρ f

∂L∂t

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

h  –  hydraulic  head  (m)  L  –  eleva@on  of  sediment  water  interface  ρs  –  wet  bulk  sediment  (2.3  gm/cm3)  ρf  –  water  density  (1  gm/cm3)  

Observa@ons:  

1.  Solu@on  domain  &  mesh  must  grow  through  @me  

2.  Upper  element  width  is  variable  through  @me  

Example  of  Anomalous  Pressure  Phenomena  

•  Gulf  of  Mexico  Basin,  Uinta  Basin  (Utah),  Arkoma  Basin  (Oklahoma),  Pierre  Shale  (underpressured,  South  Dakota)  

•  Overpressures  reach  75%  of  lithosta@c  Levels  

•  Induced  by  rapid  sedimenta@on  associated  with  Mississippi  River  Deposi@on  

•  Why  worry  about  this….this  is  a  drilling  hazard  for  all  major  oil  companies  

(Harrison  and  Summa,  1991)  

2/13/13  

2  

FEM  Method  in  1D  

•  Uses  (linear)  Trial  Solu@on  for  each  element  

€

ˆ h = a + bx h1 = a h2 = a + bΔx

b =h2 − h1

Δxˆ h = h1 +

h2 − h1

Δxx

ˆ h = h1 1− x Δx

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ + h2

x Δx⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ = φnhn

n=1

2

∑

φ1 = 1− x Δx

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ φ2 =

x Δx

φ  -­‐  Shape  func@ons    

€

∂∂z

K ∂h∂z

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ − Ss

∂h∂t

−ρs − ρ f

ρ f

∂L∂t

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ≠ 0

Shape  Func@on  Proper@es  

•  Linear  varia@on  across  element  from  0  to  1  

•  Deriva@ves  of  linear  shape  func@ons    are  constant  

€

∂ ˆ h ∂x

=∂φn

∂xhn

n=1

2

∑

∂φ1

∂x= −

1Δx

∂φ2

∂x=

1Δx

2/13/13  

3  

Transient  1D-­‐FEM  

•  Subs@tute  Trial  Solu@on  into  Diff.  Eq.  

•  Mul@ply  Trial  Solu@on  by  a  weigh@ng  func@on  and  require  the  weighted  residual  errors  integrate  to  zero  across  the  element  

€

∂∂z

K ∂ ˆ h ∂z

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ − Ss

∂ ˆ h ∂t−ρs − ρ f

ρ f

∂L∂t

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ≠ 0

€

v ∂∂z

K ∂ ˆ h ∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ dz − vSs

∂ ˆ h ∂t

dz + vSs

ρs − ρ f

ρ f

∂L∂t

dz0

Δz

∫0

Δz

∫0

Δz

∫ = 0

€

ˆ h = ΦNN=1

2∑ (x )hN

v = ΦMM =1

2∑ (x )

Steps  in  FEM  Method,  1D  Example  

•  Formulate  Diff.  Eq.  

T  –  transmisivity  (m2/day)  H  –  head  (m)  Q  –  recharge  (m/day)  

h(0,t)  =  specified  head  q(L,t)  =  specifed  flux  

•  Discre@ze  Solu@on  Domain  

•  Define  Local  Coordinate  System  

€

∂∂x

T ∂h∂x

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ =Q

∂∂x

T ∂h∂x

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ −Q = 0

€

0 ≤ x ≤ Δx Δx = x2 − x1

L

2/13/13  

4  

1D-­‐FEM  Steps  

•  Use  Integra@on  by  parts  to  “lower  the  order  of    the  PDE”  of  second  deriva@ve  term  

•  Subs@tute  trial  solu@on  and  weigh@ng  func@on  into  “weak  form  of  PDE”  

€

∂∂z

K ∂ ˆ h ∂z

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ vdz = − K ∂v

∂z∂ ˆ h ∂z

dz − vK ∂ ˆ h ∂z

= 00

Δz

∫0

Δz

∫0

Δz

∫

0  

€

−m=1

2

∑n=1

2

∑ K ∂φm∂z

∂φn∂z

hhdz +m=1

2

∑ Ssρs − ρ f

ρ f

∂Lm∂t

φmdz −hnk+1 − hn

k

Δt m=1

2

∑0

Δz

∫ Ssφmn=1

2

∑ φn = 00

Δz

∫0

Δx

∫

1D-­‐FEM  Steps  

•  This  results  in  a  system  of  algebraic  Equa@ons  

€

Amnhnk+1 +

PmnΔt

hnk+1 = Bm +

PmnΔt

hnk

€

Amn=m=1

2

∑n=1

2

∑ K ∂φm∂z

∂φn∂z

dz0

Δz

∫

Bm =Lmk+1 − Lm

k

Δtm=1

2

∑ Ssρs − ρ f

ρ f

φmdz = 00

Δz

∫

Pmn =m=1

2

∑n=1

2

∑ Ssφmφndz0

Δz

∫

2/13/13  

5  

FEM-­‐1D  Steps  

€

Amn =KΔz

1 −1−1 1⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Bm = SsLmk+1 − Lm

k

Δtρs − ρ f

ρ f

Δz211⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

We  already  know  how  to  determine  the  Amn  matrix  and  Bm  vector:  

€

P11 = Ssφ1φ1dz0

Δz

∫ = Ss 1−zΔz

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ 1− z

Δz⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ dz

0

Δz

∫ = Ss 1−2zΔz

+z2

Δz2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ dz

0

Δz

∫

€

P11 =|0Δz Ss z −

2z2

2Δz+

z3

3Δz2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ =

SsΔz6

Pmn:  

FEM-­‐1D  Steps  

€

P12 = Ssφ1φ2dz0

Δz

∫ = Ss 1−zΔz

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ zΔz⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ dz

0

Δz

∫ = SszΔz

−z2

Δz2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ dz

0

Δz

∫

€

P12 =|0Δz Ss

2z2

2Δz−

z3

3Δz2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ =

SsΔz12

€

Pmn =SsΔz12

2 11 2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

2/13/13  

6  

     cin_class  

       run@me  =  0;  

       for  it=1:n@me          run@me  =  run@me  +  delt          %  zero  out  global  s@ffness  matrix  and  load  vector          subsid;          len;          matrix;          apply_bc;          %  solve  the  system  of  equa@ons          h  =  a\b;                  porperm;  

               output;          end  

Programming  FEM:  overpressure.m

overpressure.m  

% set up parameters to run model cin_class % runtime = 0;

for it=1:ntime % runtime is simulation time in millions of years runtime = runtime + delt/1.0e6 % atemp is the thickness of the top element atemp = (z(nnode)-z(1)); % zero out global stiffness matrix and load vector a = zeros(nnode,nnode); b = zeros(nnode,1); % grow the mesh using subsid subsid; % calculate element length len = calen(nelem,i,j,z); matrix; apply_bc; % solve the system of equations h = a\b; porperm; output; end

2/13/13  

7  

NNODE  -­‐  number  of  nodes  NELEM  -­‐  number  of  elements  X  -­‐  node  loca@ons  H  -­‐  heads  K  -­‐  hydraulic  conduc@vity  QD  -­‐  diffuse  recharge  NH  -­‐  node  number  of  specified  head  node  HB  -­‐  specified  head  boundary  condi@on  NHBC  -­‐  number  of  specified  head  boundary  condi@ons  NQ  -­‐  node  number  of  specified  flux  node  QB  -­‐  specified  flux    NQBC  -­‐  number  of  specified  flux  boundary  condi@ons  I,  J  -­‐  node  numbers  associated  with  element  "M"  

cin_class  

cin_class.m   %  aquifer  parameters  Ss=1.0e-­‐4*ones(1,nelem);  k=3.16e-­‐3*ones(1,nelem);  

%  boundary  condi@ons  %  specified  head  nhbc  =  1;  nh  =  [6];  hb  =  [1e4];  %  specified  flux  nqbc  =  1;  nq  =  [1];  qb  =  [0];  

%  dimensioning  matrices  for  the  program  %  local  capacitance  and  s@ffness  matrices  pp  =  zeros(2,2);  aa  =  zeros(2,2);  bb    =  zeros(2,1);  %  global  s@ffness  matrix  a  =  zeros(nnode,nnode);  %  load  vector  b  =  zeros(nnode,1);  

%  output  matrices  

index  =  zeros(n@me,maxnodes);  eleva@on  =  zeros(n@me,maxnodes);  heads  =  zeros(n@me,maxnodes);  porosity  =  zeros(n@me,maxnodes);  permeability  =  zeros(n@me,maxnodes);  pressure  =  zeros(n@me,maxnodes);  pressureH  =  zeros(n@me,maxnodes);  pressureL  =  zeros(n@me,maxnodes);    

%  ini@al  number  of  nodes  and  elements  nelem  =  5;  nnode  =  6;  

%  approximate  maximum  number  of  nodes  maxnodes  =  100;  

n@me  =  476;  delt  =  4.0e4;  vs      =  5.0e-­‐4;  rho_f  =  1000;  rho_s  =  2300;  delz  =  105;  

%  node-­‐wise  data:  z  =  [9500,9600,9700,9800,9900,10000];  h  =  1e5*ones(1,6);  %  define  %  element-­‐wise  data  %  connec@vity  informa@on  i=[1,2,3,4,5];  j=[2,3,4,5,6];  

2/13/13  

8  

 for  n=1:nnode-­‐1          z(n)  =  z(n)  -­‐  vs*delt;  end  

zcheck  =  z(nnode)  -­‐  z(nnode-­‐1);  delh  =  (h(nnode)  -­‐  h(nnode-­‐1))/zcheck;  if  zcheck  >  delz          nnode  =  nnode  +  1;          nelem  =  nelem  +  1;        

 %  resize  a  matrix  and  b  vector          a  =  zeros(nnode,nnode);        b  =  zeros(nnode,1);          i(nelem)  =  nnode  -­‐  1;        j(nelem)  =  nnode;          k(nelem)  =  k(nelem-­‐1);          Ss(nelem)  =  Ss(nelem-­‐1);    

%  resize  phi  and  perm  vectors          phi(nnode)  =  phi(nnode-­‐1);          perm(nnode)  =  perm(nnode-­‐1);          nh(1)  =  nnode;          z(nnode)  =  z(nnode-­‐1);          h(nnode)  =  h(nnode-­‐1);        %  interpolate  values  of  heads  and  eleva@on  on  newly  generated  nodes    z(nnode-­‐1)  =  z(nnode-­‐2)  +  delz;          h(nnode-­‐1)  =  h(nnode-­‐2)  +  delh*delz;  end  

 for  m=1:nelem          len(m)  =  z(j(m))  -­‐  z(i(m));    end  

For  m=1:nelem;  ii  =  i(m);  jj  =  j(m);  relrho  =  (rho_s  -­‐  rho_f)/rho_f;  

%  form  local  matrices  pp(1,1)  =  Ss(m)*len(m)/3.d+0;  pp(1,2)  =  Ss(m)*len(m)/6.d+0;  pp(2,1)  =  pp(1,2);  pp(2,2)  =  pp(1,1);  aa(1,1)  =  k(m)/len(m);  aa(1,2)  =  -­‐k(m)/len(m);  aa(2,1)  =  aa(1,2);  aa(2,2)  =  aa(1,1);  bb(1)  =  Ss(m)*relrho*vs*len(m)/2.0+  (pp(1,1)/delt)*h(ii)  ...                            +  (pp(1,2)/delt)*h(jj);  bb(2)  =  Ss(m)*relrho*vs*len(m)/2.0+  (pp(2,1)/delt)*h(ii)  ...                                +  (pp(2,2)/delt)*h(jj);  

%  form  global  a  matrix  a(ii,ii)  =  a(ii,ii)  +  aa(1,1)  +  pp(1,1)/delt;  a(ii,jj)  =  a(ii,jj)  +  aa(1,2)  +  pp(1,2)/delt;  a(jj,ii)  =  a(jj,ii)  +  aa(2,1)  +  pp(2,1)/delt;  a(jj,jj)  =  a(jj,jj)  +  aa(2,2)  +  pp(2,2)/delt;      b(ii)  =  b(ii)  +  bb(1);      b(jj)  =  b(jj)  +  bb(2);      end  

matrix.m

2/13/13  

9  

   %  solve  the  system  of  equa@ons          h  =  a\b;  

for  l=1:nhbc          for  n=1:nnode  %  zero  row  of  A  matrix                  a(nh(l),n)  =  0.0d+0;          end          for  n=1:nnode            %  move  specified  heads  to  B  vector        b(n)  =  b(n)  -­‐  a(n,nh(l))*hb(l);  %  now  zero  coefficient  in  A  ma@x                  a(n,nh(l))  =  0.0d+0;          end        %  put  1.0  on  diagonal  of  A  matrix    a(nh(l),nh(l))  =  1.0d+0;          b(nh(l))  =  hb(l);  end  %  apply  specified  flux  b.c.    for  m=1:nqbc          b(nq(m))  =  b(nq(m))  +  qb(m);  end  

         porperm.m  

         beta  =  3.0d-­‐4;                phi_o  =  0.5d+0;          for  n=1:nnode          pres  =    rho_f*g*(h(n)  -­‐  z(n));          presL  =  rho_s*g*(z(nnode)  -­‐  z(n));          sigmae  =  presL  -­‐  pres;          aatemp  =    -­‐beta*sigmae/(g*(rho_s-­‐rho_f));          if  aatemp  >  0                  aatemp  =  0;          end          phi(n)  =  phi_o*exp(aatemp);          perm(n)  =  exp(9.0*phi(n)-­‐18.);          end  

           trans10(it,1)=run@me;  trans10(it,2)=h(1);  trans10(it,3)=phi(1);  trans10(it,4)=perm(1);  

%  store  solu@ons  in  @me  depedent  ployng  arrays  for  n=1:nnode          pres  =    rho_f*g*(h(n)  -­‐  z(n))/1.d+6;          presH  =  rho_f*g*(z(nnode)  -­‐  z(n))/1.d+6;          presL  =  rho_s*g*(z(nnode)  -­‐  z(n))/1.d+6;          index(it,n)  =  n;        eleva@on(it,n)  =  z(n);          heads(it,n)  =  h(n);          porosity(it,n)  =  phi(n);          permeability(it,n)  =  perm(n);          pressure(it,n)  =  pres;          pressureH(it,n)  =  presH;          pressureL(it,n)  =  presL;  end  

€

φ = φo exp −βσ e( )φo  –  porosity  at  sediment-­‐water  interface  β  –  pore  compressibility  σe  –  effec@ve  stress  

2/13/13  

10  

finalPress.m  

showHeads.m  (animated)  

finalPhi.m  

Graphical  Output  Rou@nes