Programare Logica - Leustean

Programare Logica

Ioana Leustean

http://moodle.fmi.unibuc.ro/course/view.php?id=186

1

Continutul cursului

I Introducere in MAUDE

I Signaturi si algebre multisortate. Termeni

I Morfisme. Tipuri abstracte de date. Algebre initiale

I Subalgebre. Algebre libere

I Semantica termenilor

I Ecuatii. Relatia de satisfacere

I Specificatii algebrice

I -algebra initiala

2

I Teorema constantelor. Demonstratii prin inductie

I Logica ecuationala: sintaxa

I Logica ecuationala: corectitudine si completitudine

I Regula Subterm Replacement

I Rescrierea termenilor

I Substitutii. Algoritmul de unificare

3

I Sisteme de rescriere abstracte

I Rescrierea termenilor: terminare, confluenta, completare

I Logica ecuationala si rescriere locala

I Deductie si rescriere modulo axiome

I Semantica algebrei initiale

I Clauze Horn. Rezolutie

4

Programare Logica

Maude

http://maude.cs.uiuc.edu/

5

Maude

I Este dezvoltat la:

I University of Illinois at Urbana-Champaign (UIUC)I Stanford Research Institute (SRI)

I Apartine familiei OBJ, al carei initiator a fostJoseph Goguen(1941 - 2006).

6

Maude

I Poate fi folosit ca demonstrator. Mecanismul de rescriere esteun procedeu de demonstrare automata, dar sunt implementatesi facilitati speciale.

I Poate fi un instrument util in dezvoltarea de software,deoarece permite atat specificarea, cat si analiza unui limbajde programare. Faptul ca este executabil ofera si avantajulunei implementari indirecte.

7

Maude

I Este un interpretor.

I Comenzile sunt introduse una cate una si sunt executateimediat.

I Un program este o multime de module.

I Modulele pot fi scrise n fisiere sau direct n linia de comanda.

I Modulele pot fi importate. Modulul predefinit BOOL esteimportat de orice modul.

8

Comenzi sistem

in ../nume-fisier.modshow module nume-modul .select nume-modul .show sorts .show ops .reduce termen .reduce termen1 == termen2 .parse term .set trace on .set trace off .quit

Manual de Maude (html)

9

Maude> in PL/Exemple-Curs1.maude

==========================================

fmod MYNAT

Maude> show module MYNAT .

fmod MYNAT is

sorts Nat .

op 0 : -> Nat .

op s_ : Nat -> Nat .

endfm

Maude> select MYNAT .

10

Maude> reduce s s s s s 0 .

reduce in MYNAT : s s s s s 0 .

rewrites: 0 in 6641663802ms cpu (0ms real) (0 rew/sec)

result Nat: s s s s s 0

Maude> parse s s s s s 0 .

Nat: s s s s s 0

Maude> reduce s s s 0 == s s 0 .

reduce in MYNAT : s s s 0 == s s 0 .

rewrites: 1 in 10534570934ms cpu (0ms real) (0 rew/sec)

result Bool: false

11

Exemplul 1

fmod MYNAT is

sorts Nat .

op 0 : -> Nat .


endfm

Acest modul introduce tipul de date Nat.Datele de tip Nat sunt:

0, s 0, s s 0, s s s 0, s s s s 0, s s s s s 0, ...

Reprezentarea matematica:S = {Nat}, = {0 : Nat, s : Nat Nat}(S ,) este o signatura si defineste o clasa de algebre (structuri,structuri algebrice). Algebra (N, 0, succesor) este un obiectprivilegiat al acestei clase.

12

fmod ... endfm

fmod MYNATLIST is

protecting MYNAT .

sort ListNat .

subsort Nat < ListNat .

op nil : -> ListNat .

op _;_ : ListNat ListNat -> ListNat [ assoc ] .

var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

eq L ; nil = L .

endfm

Structura generala a unui modul: importuri (protecting, extending, including), declararea sorturilor si a subsorturilor, declararea operatiilor, declararea variabilelor, ecuatii.

13

Importuri

Exista trei modalitati de importare a modulelor

I protectingse foloseste atunci cand datele definite in modulul importantnu sunt afectate de operatiile dau ecuatiile noului modul: nuse construiesc date noi pe sorturi vechi (no junk) si nu suntidentificate date care in modulul initial erau diferite (noconfusion)

I extendingpermite aparitia unor date noi pe sorturile vechi (junk) darnu permite identificarea datelor care in modulul initial eraudiferite (no confusion)

I includingnu are restrictii

14

[assoc]


Atributul [assoc] inlocuieste ecuatiile:

eq (L;P);Q = L;(P;Q) .

eq L;(P;Q) = (L;P);Q .

Ecuatiile definite cu eq sunt transformate in reguli de rescriere.Cele doua ecuatii care definesc asociativitatea duc la neterminarearescrierii, deci ele nu pot fi adaugate in sectiunea eq. Efectulatributului [assoc] este faptul ca rescrierea se face pe clase determeni modulo asociativitate. In mod asemanator, atributul[comm] se foloseste pentru a indica faptul ca o operatie estecomutativa.

15

Exemplul 2

fmod MYNATLIST is

protecting MYNAT .

sort ListNat .




var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

eq L ; nil = L .

endfm

16

Exemplul 2

Reprezentarea matematica:

sort Nat ListNat .


op 0 : -> Nat .



op _;_ : ListNat ListNat -> ListNat .

Signatura (ordonat-sortata): ((S ,),)S = {Nat, ListNat}, S S , = {(Nat, ListNat)} = {0 : Nat, s : Nat Nat, nil : ListNat,

; : ListNat ListNat ListNat}

17

Exemplul 2

Reprezentarea matematica:


var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

eq L ; nil = L .

Prezentare (multime de ecuatii):(1)L.ListNat(nil ; L = L)(2)L.ListNat(L; nil = L)(3)L.ListNatP.ListNatQ.ListNat((L; P); Q = L; (P; Q)) = {1, 2, 3}

18

Exemplul 2

fmod MYNATLIST is

protecting MYNAT .

sort ListNat .




var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

eq L ; nil = L .

endfm

Reprezentarea matematica a unui modul este ospecificatie algebrica ordonat-sortata

((S ,),, )19

Exemplul 2

Date de tipul ListNat sunt:

nil ; s 0

s s 0 ; s 0 ; 0

(nil ; s 0) ; s s 0 ; nil ; 0

Aceste date le numim expresii sau termeni.Un program este un modul, adica o specificatie; modelulmatematic al unei specificatii este o algebra de termeni; oexecutie este o rescriere n algebra de termeni asociata.

Maude> select MYNATLIST .

Maude> reduce (nil ; s 0) ; s s 0 ; nil ; 0 .

reduce in MYNATLIST : (nil ; s 0) ; s s 0 ; nil ; 0 .

rewrites: 2 in 2753904389ms cpu (0ms real)

result ListNat: s 0 ; s s 0 ; 0

20

Exemplul 2

Maude> set trace on .

Maude> reduce (nil ; s 0) ; s s 0 ; nil ; 0 .

reduce in MYNATLIST : (nil ; s 0) ; s s 0 ; nil ; 0 .

*********** equation

eq nil ; L = L .

L --> s 0

nil ; s 0 ---> s 0


eq nil ; L = L .

L --> 0

nil ; 0 ---> 0


result ListNat: s 0 ; s s 0 ; 0

21

Exemplul 2

fmod MYNATLIST is

protecting MYNAT .

sort ListNat .




var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

eq L ; nil = L .

endfm

Ce date defineste MYNATLIST?

22

Exemplul 2

fmod MYNATLIST is

protecting MYNAT .

sort ListNat .




var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

eq L ; nil = L .

endfm

Modulul MYNATLIST defineste

k0Nk(secventele ordonate finite de numere naturale ).

Maude> reduce (0 ; s 0 ) == (0 ; s 0 ; 0) .

...

result Bool: false 23

Exemplul 3

fmod MYNATLIST1 is

protecting MYNAT .

sort ListNat .



op _;_ : ListNat ListNat -> ListNat [ assoc comm ] .

var L : ListNat .

var I : Nat .

eq nil ; L = L .

eq L ; nil = L .

eq I ; I = I .

endfm

Maude> reduce (0 ; s 0) == (0 ; s 0 ; 0) .

...

result Bool: true

Ce defineste MYNATLIST1 ?24

Exemplul 4

fmod COMPLEXINT is

protecting INT .

sort ComplexInt .

subsort Int < ComplexInt .

op _+i_ : Int Int -> ComplexInt .

op i_ : Int -> ComplexInt .

op _+_ : ComplexInt ComplexInt -> ComplexInt [ditto] .

var z : Int .

eq 0 +i z = i z .

eq z +i 0 = z .

...

endfm

Observati suprancarcarea operatiei + si atributul [ditto]+ : Int Int > Int+ : ComplexInt ComplexInt > ComplexInt

25

Exemplul 5

fmod GRUP is

sort Element .

op e : -> Element .

op _+_ : Element Element -> Element [ assoc ] .

op -_ : Element -> Element .

vars x y : Element .

eq e + x = x .

eq x + e = x .

eq (- x) + x = e .

eq x + (- x) = e .

eq - - x = x .

eq - e = e .

eq - (x + y) = (- y) + (- x) .

endfm

26

TRS canonic

O ecuatie l = r se transforma, prin orientare de la stanga ladreapta, ntr-o regula de rescriere l r . Ecuatiile modululuiGRUP determina astfel un sistem de rescriere canonic:

I orice sir de rescrieri se termina,

I ordinea de aplicare regulilor de rescriere nu schimba rezultatulfinal.

O ecuatie t1 = t2 din teoria de ordinul I a grupurilor este verificatan orice grup daca si numai daca exista un termen t astfel ncatt1 t si t2 t.

Maude-ul poate fi utilizat ca demonstrator.

27

Exemplul 5

Maude> select GRUP .

Maude> reduce x + (-( - y + x)) == y .

reduce in GRUP : x + - (- y + x) == y .


eq - (x + y) = - y + - x .

x --> - y

y --> x

- (- y + x) ---> - x + - - y


eq - - x = x .

x --> y

- - y ---> y

28

Exemplul 5


eq x + - x = e .

x --> x

x + - x + y ---> e + y


eq e + x = x .

x --> y

e + y ---> y


(built-in equation for symbol _==_)

y == y ---> true


result Bool: true

29

Exemplul 6

fmod MYNATLIST is

protecting MYNAT .

sort ListNat .




var L : ListNat .

eq nil ; L = L .

eq L ; nil = L .

endfm

fmod MYNATLIST2 is

protecting MYNATLIST .

op _ Bool .

...

endfm30

Exemplul 6

fmod MYNATLIST2 is

protecting MYNATLIST .

op _ Bool .

vars I J : Nat .

eq s I < s J = I < J .

eq 0 < s I = true .

eq I < 0 = false .

ceq I ; J = J ; I if (J < I ) .

endfm

Observati ecuatia conditionala

ceq I ; J = J ; I if (J < I ) .

Ce tip de date defineste modulul MYNATLIST2 ?31

Exemplul 6

Maude> select MYNATLIST2 .

Maude> reduce s s s 0 ; s s 0 ; s s s 0 ; 0 .

...

result ListNat: 0 ; s s 0 ; s s s 0 ; s s s 0

Modulul MYNATLIST2 defineste liste de numere naturale ordonatecrescator.

A se vedea si D. Dragulici, Revista de logica

32

Exemplul 7

fmod STACK{X :: TRIV} is

sorts EmptyStack{X} NonEmptyStack{X} Stack{X} .

subsorts EmptyStack{X} NonEmptyStack{X} < Stack{X} .

op empty : -> EmptyStack{X} .

op push : X$Elt Stack{X} -> NonEmptyStack{X} .

op pop_ : NonEmptyStack{X} -> Stack{X} .

op top_ : NonEmptyStack{X} -> X$Elt .

var E : X$Elt .

var S : Stack{X} .

eq top push (E , S) = E .

eq pop push (E , S) = S .

endfm

Modulul STACK{X} creaza o stiva generica.Parametrul formal X este descris de teoria TRIV

fth TRIV is sort Elt. endfh 33

Exemplul 8

fth TRIV is

sort Elt.

endfh

fmod STACK{X :: TRIV} is ... endfm

Instantiind modulul parametru X cu modulul predefinit NATdefinim stivele de numere naturale.

view Inst from TRIV to NAT is

sort Elt to Nat .

endv

fmod STACKNAT is

protecting STACK{Inst} .

endfm34

Exemplul 8

Maude> select STACKNAT .

Maude> show sorts .

sort Bool .

sort Zero . subsort Zero < Nat .

sort NzNat . subsort NzNat < Nat .

sort Nat . subsorts NzNat Zero < Nat .

sort EmptyStack{Inst} .

subsort EmptyStack{Inst} < Stack{Inst} .

sort NonEmptyStack{Inst} .

subsort NonEmptyStack{Inst} < Stack{Inst} .

sort Stack{Inst} .

subsorts NonEmptyStack{Inst} EmptyStack{Inst} < Stack{Inst} .

35

Limbajul Maude este un limbaj de specificatie bazat pe logicaecuationala. Un program este o colectie de module. Executia esteo rescriere. Cateva din caracteristicile acestui limbaj sunt:

I modularizare si parametrizare,

I definirea tipurilor de date este independenta de implementare,

I extensibilitate,

I permite tratarea erorilor si suprancarcarea operatiilor,

I poate fi folosit ca demonstrator.

36

Programare logica

Signaturi. Algebre. Termeni

37

Multimi S-sortate

S 6= I O multime S- sortata A este o familie A = {As}sS .I Daca A = {As}sS si B = {Bs}sS atunci

I = {s}sS , s = or. s S ,I A B As Bs or. s S ,I A B = {As Bs}sS , A B = {As Bs}sS ,I A B = {As Bs}sS .

Exemplu: S = {nat, bool}, A = {Anat ,Abool},Anat = N, Abool = {T ,F}

sorturi=tipuri, elemente de sort s= date de tip s

38

Functii S-sortate

A = {As}sS , B = {Bs}sS , C = {Cs}sSI O functie S- sortata f : A B este o familie de functii

f = {fs}sS , unde fs : As Bs oricare s S .I Daca f : A B si g : B C , definim

f ; g : A C , f ; g = {fs ; gs}sSI fs ; gs : As Cs ,

fs ; gs(a) := gs(fs(a)) or. s S , a AsI 1A : A A, 1A = {1As}sSI (f ; g); h = f ; (g ; h) (compunerea este asociativa)

I f ; 1B = f , 1A; f = f or. f : A B

39

Functii S-sortate

A = {As}sS , B = {Bs}sS ,I O functie S-sortata f : A B se numeste

injectiva, (surjectiva, bijectiva)daca fs este injectiva, (surjectiva, bijectiva) oricare s S .

I O functie S-sortata f : A B se numeste inversabila dacaexista g : B A a.. f ; g = 1A si g ; f = 1B .

Propozitie. O functie S-sortata f : A B este inversabila daca sinumai daca este bijectiva (fs este bijectiva oricare s S).

40

Signaturi multisortate

(S ,) signatura multisortata

I S multimea sorturilorI multimea simbolurilor de operatii : s1 sn s

I este simbolul (numele) operatieiI s1, , sn,s S

s1, , sn sorturile argumentelors sortul rezultatului< s1 sn, s > aritatea operatiei

I daca n = 0 atunci : s este simbolul unei operatii constanteI = (w ,s)wS,sS w ,s : w Sw = s1 sn S

I este permisa suprancarcarea operatiilor

41

Signaturi


I S :=

n0 Sn

S0 := {}, Sn := {s1 sn|si S or. i}I = (w ,s)wS,sS w ,s : w sw = s1 sn S

I este suprancarcat (overloaded) daca w1,s1 w2,s2 si < w1, s1 >6=< w2, s2 >

I este permisa suprancarcarea operatiilor

42

Exemple

I BOOL = (S ,)I S = {bool}I = {T : bool ,F : bool ,

: bool bool , : bool bool bool , : bool bool bool}

I NAT = (S ,)I S = {nat}I = {0 : nat, succ : nat nat}

43

Exemple

I NATBOOL = (S ,)I S = {bool , nat}I = {T : bool ,F : bool , 0 : nat,

succ : nat nat,: nat nat bool}

I = (w ,s)wS,sS,bool = {T ,F}, ,nat = {0},nat,nat = {succ}, nat nat,bool = {},w ,s = pentru celelalte < w , s > S S

44

Exemple

I STIVA = (S ,)I S = {elem, stiva}I = {0 : elem, empty : stiva,

push : elem stiva stiva,pop : stiva stiva,top : stiva elem}

45

Exemple

I AUTOMAT = (S ,)I S = {intrare, stare, iesire}I = {s0 : stare,

f : intrare stare stare,g : stare iesire}

I GRAF = (S ,)I S = {arc , nod}I = {v0 : arc nod , v1 : arc nod}

46

Signaturi ordonat-sortate

(S ,,) signatura ordonat-sortataI (S ,) signatura multisortata

I (S ,) multime partial ordonataI conditia de monotonie w1,s1 w2,s2 , w1 w2 s1 s2

Exemplu:S = {elem, stiva, nvstiva}, elem stiva, nvstiva stiva = {empty : stiva, push : elem stiva nvstiva,

pop : nvstiva stiva, top : nvstiva elem}.In practica se folosesc signaturi ordonat-sortate.

47

Algebre multisortate

(S ,) - signatura multisortataO algebra multisortata de tip (S ,) este o pereche (AS ,A), unde

I AS = {As}sS (multimea suport)I A = {A} (familie de operatii) a..

I daca : s atunci A AsI daca : s1 sn s atunci A : As1 Asn As

A = (AS ,A) este o (S ,)-algebra

48

Exemple

I BOOL = (S = {bool},) = {T : bool ,F : bool , : bool bool , : bool bool bool , : bool bool bool}

I BOOL-algebra A:Abool := {0, 1}AT := 1, AF := 0, A(x) := 1 x ,A(x , y) := max(x , y), A(x , y) := min(x , y)

I BOOL-algebra B:Bbool := P(N)BT := N, BF := , B(X ) := N \ X ,B(X ,Y ) := X Y , B(X ,Y ) := X Y

49

Exemple

I NAT = (S = {nat},) = {0 : nat, succ : nat nat}

I NAT -algebra A:Anat := NA0 := 0, Asucc(x) := x + 1

I NAT -algebra B:Bnat := {0, 1}B0 := 0, Bsucc(x) := 1 x

I NAT -algebra C :Cnat := {2n|n N}C0 := 1, Csucc(2

n) := 2n+1

50

Exemple

I STIVA = (S = {elem, stiva},) = {0 : elem, empty : stiva, pop : stiva stiva,

push : elem stiva stiva, top : stiva elem}I STIVA-algebra A: Aelem := N, Astiva := N

A0 := 0, Aempty := , Apush(n, n1 nk) := n n1 nk ,Apop() = Apop(n) := ,Apop(n1n2 nk) := n2 nk pt. k 2,Atop() := 0, Atop(n1 nk) := n1 pt. k 1.

I STIVA-algebra B: Belem := {0}, Bstiva := NB0 := 0, Bempty := 0, Bpush(0, n) := n + 1 or. n,Bpop(0) := 0, Bpop(n) := n 1 pt. n 1,Btop(n) := 0 or. n.

51

Exemple

I AUTOMAT = (S = {intrare, stare, iesire},) = {s0 : stare, f : intrare stare stare,

g : stare iesire}I AUTOMAT -algebra A:

Aintrare = {x , y}, Astare = {s0, s1}, Aiesire := {T ,F}As0 := s0, Ag (s0) := F , Ag (s1) := T ,Af (x , s0) := s0, Af (y , s0) := s1,Af (x , s1) := s0, Af (y , s1) := s1

I AUTOMAT -algebra B:Bintrare = Bstare = Biesire := NBs0 := 0, Bf (m, n) := m + n, Bg (n) := n + 1

52

Algebre ordonat-sortate

(S ,,) signatura ordonat-sortataO algebra ordonat-sortata de tipul (S ,,) este o (S ,)-algebra(AS ,A) care satisface urmatoarele proprietati:

I s1 s2 As1 As2I w1,s1 w2,s2 , w1 w2

Aw2,s2 (x) = Aw1,s1 (x) oricare x Aw1 .

I Semantica unui modul functional in Maude este o algebraordonat-sortata.

53

Multime de variabile


|| := w ,s w ,s|X | := sS Xs daca X multime S-sortataO multime de variabile este o multime S-sortata X a..:

I Xs Xs = or. s 6= s I |X | || =

simbolurile de variabile sunt distincte ntre ele si sunt distincte desimbolurile de operatii din

54

Termeni (expresii, cuvinte)

(S ,) signatura, X multime de variabile

Multimea S-sortata termenilor cu variabile din X , T(X ), este ceamai mica multime de siruri finite peste alfabetul

L =

sS Xs

w ,s w ,s {(, )} {,}care verifica urmatoarele proprietati:

I (T1) Xs T(X )sI (T2) dc. : s, at. T(X )s ,I (T3) dc. : s1 sn s si ti T(X )si or. i = 1, . . . , n

at. (t1, . . . , tn) T(X )s . Var(t) := multimea variabilelor care apar n t T

55

Termeni fara variabile (ground terms)


Multimea S-sortata termenilor fara variabile, T, este cea maimica multime de siruri finite peste alfabetul

L =


I (T2) dc. : s, at. T,s ,I (T3) dc. : s1 sn s si ti T,si or. i = 1, . . . , n

at. (t1, . . . , tn) T,s . T = T()

56

Exemple

I STIVA = (S ,)S = {elem, stiva}, Xelem = {x , y}, Xstiva = , = {0 : elem, empty : stiva,

push : elem stiva stiva,pop : stiva stiva,top : stiva elem}

I T(X )elem = {0, x , y , top(pop(empty)),top(push(x, empty)), . . .}

T(X )stiva = {empty,push(y , empty),pop(empty),push(top(empty), empty), . . .}

I siruri care nu sunt termenipop(0), (pop)top(empty), empty(y), . . .

57

Exemple

I NATBOOL = (S ,)S = {bool , nat} = {T : bool ,F : bool , 0 : nat,

s : nat nat,: nat nat bool}

I TNATBOOL,nat = {0, s(0), s(s(0)), . . .}TNATBOOL,bool = {T,F, (0, 0), (0, s(0)), . . .}

I siruri care nu sunt termeni (T ,F ), s (0), Ts(0), . . .

58

Exemple

I AUTOMAT = (S ,), S = {intrare, stare, iesire}, = {s0 : stare,

f : intrare stare stare,g : stare iesire}

TAUTOMAT ,stare = {s0}, TAUTOMAT ,intrare = ,TAUTOMAT ,iesire = {g(s0)}

I GRAF = (S ,), S = {arc , nod} = {v0 : arc nod , v1 : arc nod}TGRAF ,arc = TGRAF ,nod =

59

Expresii aritmetice

I NATEXP = (S = {nat},)I = {0 : nat, s : nat nat ,

+ : nat nat nat, : nat nat nat}I TNATEXP = {0, s(0), s(s(0)), . . .

+(0, 0),(0,+(s(0), 0)),(s(0), s(s(0))), . . .}I siruri care nu sunt termeni

+(0), 0(s)s(0), (0), . . .I TNATEXP este multimea expresiilor aritmetice peste N.

60

Inductia pe termeni

(S ,) signatura multisortata, X multime de variabileFie P o proprietate a.. urmatoarele conditii sunt satisfacute:

I pasul initial:P(x) = true or. x X , P() = true or. : s,

I pasul de inductie:daca t1 T(X )s1 , . . ., tn T(X )sn siP(t1) = = P(tn) = true atunciP((t1, . . . , tn)) = true or. : s1 . . . sn s.

Atunci P(t) = true oricare t T(X ).

61

Algebra termenilor

Algebra termenilor

(S ,) signatura, X multime de variabileMultimea termenilor T(X ) = {T(X )s}sS este (S ,)-algebracu operatiile definite astfel:

I pt. : s, operatia corespunzatoare este T := I pt. : s1 sn s, operatia corespunzatoare este

T : T(X )s1 T(X )sn T(X )sT(t1, . . . , tn) := (t1, . . . , tn)or. t1 T(X )s1 , . . ., tn T(X )sn

T(X ) algebra termenilor cu variabile din XT algebra termenilor fara variabile (X = )

62

Algebra expresiilor aritmetice

I NATEXP = (S = {nat},)I = {0 : nat, s : nat nat ,

+ : nat nat nat, : nat nat nat}I T0 := 0,

I Ts(t) := s(t),

I T+(t1, t2) := +(t1, t2)

I T(t1, t2) := (t1, t2)

I Semantica unui modul n Maude (care contine numaideclaratii de sorturi, operatii si variabile) este o algebra determeni.

63 64

Programare logica

Morfisme.Tipuri abstracte de date.

Algebre initiale

65

Morfisme

Exemplu. SignaturaMONOID = (S = {s}, = {e : s, : ss s})Fie (A, 1, ?) si (B, 0,+) monoizi(Ae := 1, A := ?, Be := 0, B := +)O functie f : A B este morfism de monoizi daca:I f (1) = 0 f (Ae) = BeI f (x ? y) = f (x) + f (y) f (A(x , y)) = B(f (x), f (y))

or. x , y A.

A A A Af f f B B B B

66

Morfisme

(AS ,A), (BS ,B) (S ,)-algebre

Un morfism de (S ,)-algebre ((S ,)-morfism) este o functieS-sortata f : A B care verifica conditiile de compatibilitate:I fs(A) = (B) oricare : s,I fs(A(a1, . . . , an)) = B(fs1(a1), . . . , fsn(an))

or. : s1 sn s, or. (a1, . . . , an) As1 Asn .

As1 Asn A Asfs1 . . . fsn fsBs1 Bsn B Bs

Observatie

1A : A A este morfism or. A (S ,)-algebra.67

Exemplu

I NAT = (S = {nat}, = {0 : nat, succ : nat nat})I NAT -algebra A:

Anat := N, A0 := 0, Asucc(x) := x + 1I NAT -algebra B:

Bnat := {0, 1}, B0 := 0, Bsucc(x) := 1 xI f : A B, f = {fnat}, fnat(n) = n(mod 2)

este morfism de NAT -algebre

I Nu exista morfism de NAT -algebre g : B A.

68

Exemple




I STIVA-algebra B: Belem := {0}, Bstiva := NB0 := 0, Bempty := 0, Bpush(0, n) := n + 1 or. n,Bpop(0) := 0, Apop(n) := n 1 pt. n 1,Btop(n) := 0 or. n.

69

Exemple

I STIVA-algebra A = (Aelem = N,Astiva = N, . . .)I STIVA-algebra B = (Belem = {0},Bstiva := N, . . .)I f : A B, f = (felem : N {0}, fstiva : N N)

felem(n) := 0 or. n,fstiva() := 0, fstiva(n1 nk) := k pt. k 1

I g : B A, g = (gelem : {0} N, gstiva : N N)gelem(0) := 0,gstiva(0) := , gstiva(k) := 0 0

k

pt. k 1

f si g sunt morfisme de STIVA-algebre

70

Morfisme de mpo

Observatie.

Multimile partial ordonate se pot reprezenta ca (S ,)-algebre,S := {elem, bool}, := {: elem elem bool ,T : bool ,F : bool}.I Mpo (A,) este reprezentata ca (S ,)-algebra prin

(A, {0, 1} ,T ,F ), undeAelem := A, Abool := {0, 1}, AT := 1, AF := 0,A(x , y) = T x y

I Ce relatiile este ntre functii crescatoare si morfisme de(S ,)-algebre?

I Orice (S ,)-morfism este functie crescatoare dar invers nueste adevarat!

71

Proprietati


Propozitia 1.

Fie A, B, C algebre si f : A B, g : B C morfisme. Atuncif ; g : A C este morfism.Dem.

I : s (f ; g)s(A) = gs(fs(A)) = gs(B) = C,

I : s1 sn s , (a1, . . . , an) As1 Asn(f ; g)s(A(a1, . . . , an)) = gs(fs(A(a1, . . . , an))) =

gs(B(fs1(a1), . . . , fsn(an))) =C(gs1(fs1(a1)), . . . , gsn(fsn(an)))= C((g ; f )s1(a1), . . . , (g ; f )sn(an)). qed

72

Proprietati

Teorema 2.

Exista un unic morfism f : T B or. B (S ,)-algebra.Dem. Fie B (S ,)-algebra.Existenta. Definim f : T B prin inductie pe termeni

(P(t) = f (t) este definita).

I pasul initial: dc. : s , at. fs() := B,I pasul de inductie: dc. : s1 . . . sn s si

t1 Ts1 , . . ., tn Tsn a. fs1(t1), , fsn(tn) definite at.fs((t1, . . . , tn)) := B(fs1(t1), , fsn(tn))

Conform principiului inductiei pe termeni,fs(t) este definita or. t T.

73

Continuare

Demonstram ca f este morfism.

I dc. : s , at. fs(T) = fs() = B,I dc. : s1 . . . sn s si

t1 Ts1 , . . ., tn Tsn at.fs(T(t1, . . . , tn)) = fs((t1, . . . , tn))

= B(fs1(t1), , fsn(tn))

74

Continuare

Unicitatea. Fie g : T B un morfism.Demonstram ca g = f prin inductie pe termeni

(P(t) = dc. t Ts at. gs(t) si fs(t) sunt egale).

I pasul initial: dc. : s , at. gs() = B = fs(),I pasul de inductie: dc. : s1 . . . sn s si

t1 Ts1 , . . ., tn Tsn a.gs1(t1) = fs1(t1), , gsn(tn) = fsn(tn) at.

gs((t1, . . . , tn)) = B(gs1(t1), , gsn(tn)) =B(fs1(t1), , fsn(tn)) = fs((t1, . . . , tn))

Conform principiului inductiei pe termeni,gs(t) = fs(t) or. t Ts , adica g = f . qed

75

Exemplu


I D = (DS ,D), Ds := N or. s Sdaca : s atunci D := 0,daca : s1 . . . sn s, k1, . . ., kn ND(k1, . . . , kn) := 1 + max(k1, . . . , kn)

I fD : T D unicul morfismCe reprezinta valoarea fD(t) pentru un termen t?

76

Termeni ca arbori

Un termen t poat fi reprezentat ca un arbore arb(t) astfel:

I Ts arb() := I t = (t1, . . . , tn)

arb(t) :=

##{{arb(t1) arb(tn)

Pentru orice t valoarea fD(t) este adancimea arborelui arb(t).

77

Izomorfisme

Un (S ,)-morfism f : A B este izomorfism daca exista unmorfism g : B A a.. f ; g = 1A si g ; f = 1B .

Propozitia 3

Un morfism f : A B este izomorfism daca si numai daca estefunctie bijectiva, adica fs : As Bs este bijectie oricare s S .Dem. Revine la a demonstra ca implicatia:

f morfism si bijectie f 1 morfism.

78

Continuare

Demonstram ca f 1 : B A este morfism.I dc. : s , at. fs(A) = B, deci f 1s (B) = A,I dc. : s1 . . . sn s si

b1 Bs1 , . . ., bn Bsn at.ex. a1 As1 , . . ., an Asn a..fs1(a1) = b1, . . ., fsn(an) = bn si

fs(A(a1, . . . , an)) = B(fs1(a1), . . . , fsn(an)) = B(b1, . . . , bn)

Atunci fs1(B(b1, . . . , bn)) = A(a1, . . . , an) =

A(fs11(b1), . . . , fsn

1(bn)). qed

79

Izomorfisme de mpo

I (A = {x1, x2, x3, x4},), unde x1 x2 x3 x4I (B = {0, 1}2,), unde ordinea pe componenteI A si B sunt (S ,)-algebre, unde

S := {elem, bool}, := {: elem elem bool ,T : bool ,F : bool}

I f : A Bf (00) = x1, f (01) = x2, f (10) = x3, f (11) = x4este functie bijectiva si crescatoare

I A 6' B

80

Izomorfisme

Spunem ca algebrele A = (AS ,A) si B = (BS ,B) sunt izomorfedaca exista un izomorfism f : A B. In acest caz notam A ' B.I A ' A (1A este izomorfism)I A ' B B ' AI A ' B, B ' C A ' C

Relatia de izomorfism este o relatie de echivalenta (reflexiva,simetrica si tranzitiva).

Observatie.

A ' B As ' Bs oricare s S

81

Exemple

I NAT = (S = {nat}, = {0 : nat, succ : nat nat})I NAT -algebra A: Anat = N, A0 := 0, Asucc(x) := x + 1I NAT -algebra B: Bnat := {0, 1}, B0 := 0, Bsucc(x) := 1 xI NAT -algebra C : Cnat := {2n|n N}

C0 := 1, Csucc(2n) := 2n+1

I A 6' BI A ' C

f : A C , f (n) := 2n este un NAT -izomorfism.

82

Exemple

I BOOL = (S = {bool},) = {T : bool ,F : bool , : bool bool , : bool bool bool , : bool bool bool}

I Abool := {0, 1}AT := 1, AF := 0, A(x) := 1 x ,A(x , y) := max(x , y), A(x , y) := min(x , y)

I Bbool := P(N)BT := N, BF := , B(X ) := N \ X ,B(X ,Y ) := X Y , B(X ,Y ) := X Y

I A 6' B

83

Exemple

I BOOL-algebra C :Cbool := {t : N {0, 1}| t functie}CT (n) := 1, CF (n) := 0 or. n NC(t)(n) := 1 t(n) or. t Cbool , n NC(t1, t2)(n) := max(t1(n), t2(n)) or. t1, t2 Cbool , n NC(t1, t2)(n) := min(t1(n), t2(n)) or. t1, t2 Cbool , n N

I B ' Cf : B C , f (Y ) := Y oricare Y P(N)f (Y )(n) = 1 daca n Y , f (Y )(n) = 0 daca n 6 Yf este BOOL-izomorfism

84

Exemple

I STIVA-algebra A = (Aelem = N,Astiva = N, . . .)

I STIVA-algebra B = (Belem = {0},Bstiva := N, . . .)I A 6' B

85

Exemple

I STIVA-algebra A: Aelem := N, Astiva := N A0 := 0,Aempty := , Apush(n, n1 nk) := n n1 nk ,Apop() = Apop(n) := ,Apop(n1n2 nk) := n2 nk pt. k 2,Atop() := 0, Atop(n1 nk) := n1 pt. k 1.

I STIVA-algebra C : Celem := Z, Cstiva := ZC0 := 0, Cempty := , Cpush(x , x1 xk) := x1 xkx ,Cpop() = Cpop(x) := ,Cpop(x1 xk1xk) := x1 xk1 pt. k 2,Ctop() := 0, Ctop(x1 xk) := xk pt. k 1.

86

Exemple

I STIVA-algebra A: Aelem := N, Astiva := N

I STIVA-algebra C : Celem := Z, Cstiva := Z

I f : A C , f = (felem : N Z, fstiva : N Z)felem(2k) := k , felem(2k + 1) := k 1 pt. k N,fstiva(n1 nk) := felem(nk) felem(n1) pt. n1 nk N.f este STIVA-izomorfism

I Algebrele izomorfe sunt identice (modulo redenumire).

87

ADT

I Un tip abstract de date este o multime de date ( valori) sioperatii asociate lor, a caror descriere (specificare) esteindependenta de implementare.abstract=disassociated from any specific instance

I O algebra este formata dintr-o multime de elemente si omultime de operatii. Algebrele pot modela tipuri de date.

I Doua algebre izomorfe au acelasi comportament, deci trebuiesa fie modele ale acelasi tip de date. Aceasta asiguraindependenta de implementare.

88

ADT

I O signatura (S ,) este interfata sintactica a unui tip abstractde date.

I O algebra A = (AS ,A) este o posibila implementare.

I Daca A ' B, atunci A si B implementeaza acelasi tip de date.I Un tip abstract de date este o clasa C de (S ,)-algebre cu

proprietatea ca oricare doua algebre sunt izomorfe:

A, B C A ' B.I [A] := {B (S ,) algebra| A ' B} este tip abstract de date.

89

Algebra initiala

K clasa de (S ,)-algebreI O (S ,)-algebra I este initiala n K daca I K si pentru

orice B K exista un unic morfism f : I B.

Propozitia 4

I (a) I initiala n K, A K, A ' I A initiala n KI (b) A1 si A2 initiale n K A1 ' A2.

90

Continuare

Dem. (a) I initiala n K, A K si A : A I izomorfismFie B K si fB : I B unicul morfism. Demonstram ca exista ununic morfism h : A B.I Existenta. h := A; fB : A B mofismI Unicitatea. daca g : A B morfism, atunci A1; g : I B

morfism,deci A1; g = fB ; rezulta g = A; fB = h.

(b) A1 si A2 initiale n KExista un unic morfism f : A1 A2 si un unic morfismg : A2 A1. Atunci f ; g : A1 A1 si 1A1 : A1 A1, decif ; g = 1A1 . Analog g ; f = 1A2 , deci A1 ' A2. qed

91

(S ,) -algebra initiala


I K clasa tuturor (S ,)-algebrelor.I I este (S ,)-algebra initiala daca oricare B (S ,)-algebra

exista un unic morfism f : I B.Teorema 2. T este (S ,)-algebra initiala.

I I(S ,) = {I | I (S ,) -algebra initiala}este un tip abstract de date si T I(S ,).Un modul functional n Maude (care contine numai declaratiide sorturi si operatii) defineste un astfel de tip abstract dedate si construieste efectiv algebra T.

92

Programare logica

Subalgebre. Algebre libere

93

Subalgebre

(S ,) - signatura multisortata, A (S ,)-algebra

B A este parte stabila a lui A dacaI A Bs or. : s,I A(b1, . . . , bn) Bs or. : s1 sn s,

or. (b1, . . . , bn) Bs1 Bsn .

Daca B este parte stabila a lui A atunci(BS = B,B) este (S ,)-subalgebra a lui (AS ,A), unde

I B := A or. : s,I B(b1, . . . , bn) := A(b1, . . . , bn) or. : s1 sn s,

or. (b1, . . . , bn) Bs1 Bsn .

94

Exemple

I BOOL-algebra B:Bbool := P(N)BT := N, BF := , B(X ) := N \ X ,B(X ,Y ) := X Y , B(X ,Y ) := X Y

I B1 = {,N} {{n}|n N}nu este subalgebra.

I B2 = {,N} {{n},N \ {n}}este subalgebra (n N fixat).

95

Exemple

I AUTOMAT -algebra AAintrare = {x , y}, Astare = {s0, s1}, Aiesire := {T ,F}As0 := s0, Ag (s0) := F , Ag (s1) := T ,Af (x , s0) := s0, Af (y , s0) := s1,Af (x , s1) := s0, Af (y , s1) := s1

I P = {Pintrare := {x},Pstare := {s0},Piesire := {F}}este subalgebra A

96

Multimi de generatori

(S ,) signatura multisortata,A-algebra, X multime, X AI Algebra generata de X n A este cea mai mica () subalgebra

B a lui A cu X B. Vom nota B = XI F := {B A |B subalgebra, X B}

I A F , deci F 6= I {Bi}iI F implica

iI Bi F

I X ={B | B F}

I Spunem ca A este generata de X daca X A si X = A. Inacest caz X este multime de generatori pentru A.

97

Constructia algebrei generate

(S ,) signatura multisortata,A-algebra, X multime, X A

I Construim un sir de multimi S-sortate (Xn)n astfel:

I X0 := X ,I Xn+1,s := Xn,s {A | : s} {A(a1, . . . , an) | : s1 . . . sn s, (a1, . . . , an) Xn,s1 Xn,sn}.

I Propozitia 5. X =

n Xn.Dem: va fi adaugata!

98

Proprietati

h : A B functieh1 : P(B) P(A), h1(Y ) := {a A|h(a) Y }imaginea inversa

Propozitia 6.

Fie h : A B morfism.I (a) dc. C A subalgebra at. h(C ) B subalgebra,I (b) dc. D B subalgebra at. h1(D) B subalgebra,I (c) h( X ) = h(X ) pentru X A,I (d) h1(Y ) h1( Y ) pentru Y B.

Dem. (a), (b), (d) exercitii.

99

Continuare

(c) h( X ) = h(X ) pentru X A,.

X A subalgebra h( X ) B subalgebra

h( X ) B subalgebra, h(X ) h( X ) h(X ) h( X )

h1(h(X )) A subalgebra, X h1(h(X )) X h1(h(X )) h(X ) h(h1(h(X ))) h(X )

h(X ) h( X ) csi h(X ) h(X ) h(X ) = h(X )

100

Algebre libere

(S ,) signatura multisortata, X multime de variabile

O algebra A este liber generata de X daca

X A, oricare ar fi B o algebra si f : X B o functie exista un unic

morfism f : A B cu fs(x) = fs(x) oricare x Xs , s S .

Observatii Daca A1 si A2 sunt liber generate de X , atunci A1 ' A2. Daca X A si A este liber generata de X , atunci X = A.

Invers nu este ntotdeauna a adeva rat.

I T este liber generata de multimea .

101

Multimi de generatori liberi

(S ,) signatura multisortata,A-algebra, X multime de variabile, X ADaca A este liber generata de X , atunci X = A.Spunem ca X este multime de generatori liberi pentru A.

I NAT = (S = {s},), = {0 : nat, succ : nat nat}Anat := N, A0 := 0, Asucc(x) := x + 1 A este liber generata de {1} este multime de generatori pentru A {1} nu este multime de generatori liberi pentru A

102

Exemple




I Daca P := atunci Pelem = {0} si Pstiva = {0}.I A este liber generata de X , unde Xelem := N si Xstiva := .

103 104

Programare logica

Semantica termenilor

105

Multime de variabile


|| := w ,s w ,s|X | := sS Xs daca X multime S-sortataO multime de variabile este o multime S-sortata X a..:

I Xs Xs = or. s 6= s I |X | || =

simbolurile de variabile sunt distincte ntre ele si sunt distincte desimbolurile de operatii din

106

Termeni cu variabile din X


Multimea S-sortata termenilor cu variabile din X , T(X ), este ceamai mica multime de siruri finite peste alfabetul

L =

sS Xs


I (T1) Xs T(X )sI (T2) dc. : s, at. T(X )s ,I (T3) dc. : s1 sn s si ti T(X )si or. i = 1, . . . , n

at. (t1, . . . , tn) T(X )s .

107

Algebra de termeni T(X )

(S ,) signatura, X multime de variabileMultimea termenilor T(X ) = {T(X )s}sS este (S ,)-algebraastfel:

I pt. : s, operatia corespunzatoare este T := I pt. : s1 sn s, operatia corespunzatoare este

T : T(X )s1 T(X )sn T(X )sT(t1, . . . , tn) := (t1, . . . , tn)or. t1 T(X )s1 , . . ., tn T(X )sn

T(X ) algebra termenilor cu variabile din X vom nota (t1, . . . , tn) := (t1, . . . , tn)

108

Semantica termenilor


Teorema 7 (Evaluarea termenilor n algebre).

Fie A o (S ,)-algebra. Orice functie e : X A (evaluare,atribuire, interpretare)se extinde la un unic (S ,)-morfisme : T(X ) A.Dem.

I Definim e(t) prin inductie pe termeni:I or. x Xs , es(x) := es(x),I or. : s, es() := AI or. : s1 sn s, or. t1 T(X )s1 , . . ., tn T(X )sn

es((t1, . . . , tn)) := A(es1 (t1), . . . , esn(tn))

I Demonstram ca e : T(X ) A este morfism.I Daca f : T(X ) A morfism si f |X = e atunci se

demonstreaza prin inductie pe termeni ca f = e.109

Semantica expresiilor aritmetice

I NATEXP = (S = {nat},), X = {x , y}I = {0 : nat, s : nat nat ,

+ : nat nat nat, : nat nat nat}I TNATEXP(X ) = {0, x , y , s(0), s(x), s(y), s(s(0)), . . .

+(0, 0),+(0, x),+(x , y), (0,+(s(0), x)), (s(y), s(s(x))), . . .}I A = (Z4, 0, s,+, ) cu operatiile obisnuiteI e : {x , y} Z4, e(x) := 1, e(y) := 3I e(+(x, y)) = A+(e(x), e(y)) = 1 + 3 = 0 (mod 4)

e((s(x), s(s(0)))) = A(As(e(x)),As(As(A0))) =(1 + 1) (0 + 1 + 1) = 2 2 = 0 (mod 4)

110

Exemple




I STIVA-algebra B: Belem := {0}, Bstiva := NB0 := 0, Bempty := 0, Bpush(0, n) := n + 1 or. n,Bpop(0) := 0, Bpop(n) := n 1 pt. n 1,Btop(n) := 0 or. n.

111

Exemplu

Xelem := {x , y}, Xstiva := {s},t := push(x, push(y, s)) T(X )stivaI e : X A

e(x) := 5, e(y) := 3, e(s) := 6 7

e(t) = Apush(e(x),Apush(e(y), e(s))) = 5 3 6 7

I e : X Be(x) := 0, e(y) := 0, e(s) := 10

e(t) = Bpush(e(x),Bpush(e(y), e(s))) =(10 + 1) + 1 = 12

112

Consecinte

I T(X ) este (S ,)-algebra liber generata de X n clasa tuturor(S ,)-algebrelor.

o expresie este un element al unei algebre libere

I X = T este (S ,)-algebra initiala.

I A = T(Y )O substitutie este o atribuire : X T(Y ).Orice substitutie : X T(Y ) se extinde la un unicmorfism de (S ,)-algebre : T(X ) T(Y ).

113

Proprietati

Propozitia 8.

Fie A o (S ,)-algebra. Daca f : T(X ) A si g : T(X ) Asunt morfisme, atunci g = f g |X = f |XDem. Presupunem ca gs(x) = fs(x) or. s S , x Xs .Demonstram ca g = f prin inductie pe termeni

I pasul initial: dc. s S si x Xs at. gs(x) = fs(x) (ipoteza),dc. : s , at. gs() = A = fs(),

I pasul de inductie: dc. : s1 . . . sn s sit1 T(X )s1 , . . ., tn T(X )sn a.

gs1(t1) = fs1(t1), , gsn(tn) = fsn(tn) at.gs((t1, . . . , tn)) = A(gs1(t1), , gsn(tn)) =

A(fs1(t1), , fsn(tn)) = fs((t1, . . . , tn))Conform principiului inductiei pe termeni,gs(t) = fs(t) or. t T(X )s , adica g = f .

114

Proprietati

Propozitia 9.

X ' Y T(X ) ' T(Y )Dem. Fie u : X Y o functie bijectiva. Din Teorema 7 rezulta caI exista un unic morfism f : T(X ) T(Y ) a.

fs(x) = us(x) or. s S , x Xs ,I exista un unic morfism g : T(Y ) T(X ) a.

gs(y) = u1s (y) or. s S , y Xs .Observam ca (f ; g)s(x) = gs(fs(x)) = x or. s S , x X .Aplicand Propozitia 6, obtinem ca f ; g = 1T(X ).

Similar, g ; f = 1T(Y ), deci T(X ) ' T(Y ).

115

Proprietati

Propozitia 10.

Fie h : A B morfism surjectiv.Or. f : T(X ) B morfism,ex. g : T(X ) A a. . g ; h = f

Ah // B

T(X )

f

OO

g

bb

Dem. Daca f : T(X ) B morfism, atuncior. s S , x Xs ex. a As a.. hs(a) = fs(x).Oricare s S , x Xs , alegem a As a.. hs(a) = fs(x) si definimes(x) := a. Atunci e : X A este o evaluare si .(e; h)s(x) = fs(x) r. s S , x Xs .Din Teorema 7, e; h = f , deci g := e.

116

Definirea operatiilor derivate

A o -algebra, t T(X )Definim functia termen At : A

n A prinAt(a1, . . . , an) := e(t), unde e(xi ) := ai or. i = 1, . . . , n

At este operatie derivata pe A

I = {0, 1,,, } signatura algebrelor Boole,X = {x , y}, t = x y T(X )Daca B este o algebra Boole, atunciBt(b1, b2) = b1 b2 oricare b1, b2 B.

117

Semantica instructiunii de atribuire x:=e

I X este multimea variabilelor, x X , t T(X )I D este -algebra datelor

I o stare a memoriei este o functie e : X DI semantica unei instructiuni descrie modul n care instructiunea

modifica starile memoriei

I Mem := {e : X D| e functie}Sem(x := t) : Mem MemSem(x := t)(e)(y) :=

{e(t) daca y = x ,e(y) daca y 6= x .

118

119 120

Programare logica

Ecuatii. Relatia de satisfacere.

121

Ecuatiile si semantica lor


I O (S ,)-ecuatie este formata dintr-o multime de variabile Xsi din doi termeni t si t de acelasi sort din T(X ).Vom nota o ecuatie prin

(X )t =s t .

I Spunem ca o (S ,)-algebra A satisface o ecuatie (X )t =s t (A este model al ecuatiei) daca es(t) = es(t ) pentru oricee : X A. In acest caz, vom nota

A |= (X )t =s t .

= egalitate formala, = egalitate efectiva

122

Necesitatea cuantificarii

I S = {s, bool}, := {T : bool ,F : bool , g : s bool}I T,s = , T,bool = {T ,F}I T 6|= ()T =bool FI T |= (X )T =bool F ,

unde Xs := {x}, Xbool :=

123

Ecuatiile conditionate

O (S ,)-ecuatie conditionata este notata prin

(X )t =s t if H.

si este formata din:

I o multime de variabile X ,

I doi termeni de acelasi sort t, t T(X )s .I o multime H de ecuatii u

=s v , cu u,v T(X )s .

In practica H este finita H = {u1 =s1 v1, . . . , un =sn vn}.Ecuatiile din H sunt cuantificate cu X .

O ecuatie (X )t =s t este ecuatie conditionata n care multimeaconditiilor H este vida (X )t =s t if .

124

Ecuatiile conditionate

A (S ,)-algebra A, := (X )t =s t if H

A satisface (A este model al lui ) daca,

es(u) = es(v) or. u

=s v H es(t) = es(t ).

pentru orice e : X A.Vom nota A |= (X )t =s t if H.

I A |= (X )t =s t A |= (X )t =s t if

125

Exemplu

I STIVA = (S ,), Xelem := {E}, Xstiva := {S ,Q} := (X )top(S) =elem E if {S =stiva push(E ,Q)}

I STIVA-algebra A: Aelem := N, Astiva := NA0 := 0, Aempty := , Apush(n, n1 nk) := n n1 nk ,Apop() = Apop(n) := ,Apop(n1n2 nk) := n2 nk pt. k 2,Atop() := 0, Atop(n1 nk) := n1 pt. k 1.

I STIVA-algebra B: Belem := {0}, Bstiva := NB0 := 0, Bempty := 0, Bpush(0, n) := n + 1 or. n,Bpop(0) := 0, Bpop(n) := n 1 pt. n 1, Btop(n) := 0 or. n.

I A |= si B |=

126

Exemplu

Xelem := {E}, Xstiva := {S ,Q}A |= (X )top(S) =elem E if {S =stiva push(E ,Q)}Fie e : X A evaluare a. . estiva(S) = estiva(push(E ,Q)).Rezulta estiva(S) = Apush(eelem(E ), estiva(Q))

Notam n = eelem(E ), w := estiva(S), w := estiva(Q).

Rezulta w = nw si

eelem(top(S)) = Atop(estiva(S)) = Atop(w) =Atop(nw

) = n = eelem(E )

127

Exemplu

I STIVA = (S ,), Xelem := {E}, Xstiva := {S ,Q} := (X )top(S) =elem E if {S =stiva push(E ,Q)}

I STIVA-algebra C : Celem := N, Cstiva := NC0 := 0, Cempty := , Cpush(n, n1 nk) := n1 nk n,Cpop() = Cpop(n) := ,Cpop(n1n2 nk) := n2 nk pt. k 2,Ctop() := 0, Ctop(n1 nk) := n1 pt. k 1.

I C 6|= e : X C evaluarea definita prineelem(E ) = 2, estiva(Q) = 3 4, estiva(S) = 3 4 2

Atunci estiva(S) = estiva(push(E ,Q)),

dar eelem(E ) = 2 6= 3 = eelem(top(S)).128

Programare logica

Specificatii algebrice

129

-algebre

multime de ecuatii conditionate

O algebra A este -algebra (A este model pentru )daca A |= oricare .In acest caz, vom nota A |= .

Vom nota cu Alg(S ,, ) clasa -algebrelor

Alg(S ,, ) := {A Alg(S ,) |A |= }

130

-algebre

Teorema 11.

Fie A ' B (S ,)-algebre, := (X )t =s t if H.A |= B |=

Dem. Notam : B A un izomorfism.Fie e : X B a.. es(u) = es(v) or. u =s v H.Definim f : X A prin f := e;Atunci f = e;, deoarece f|X = (e;)|X .fs(u) = s(es(u)) = s(es(v)) = fs(v) or. u

=s v H

Din ipoteza rezulta fs(t) = fs(t ), i.e.s(es(t)) = s(es(t )). este injectiv, deci es(t) = es(t ).

131

Specificatii

I O specificatie este un triplet (S ,, ), unde (S ,) este osignatura multisortata si este o multime de ecuatiiconditionate. Specificatia (S ,, ) defineste clasa modelelorAlg(S ,, ), care reprezinta semantica ei.

I In Maude teoriile

fth ... endfth

au ca semantica Alg(S ,, ), unde S este multimeasorturilor, este multimea simbolurilor de operatii, estemultimea ecuatiilor definite n modul, iar fiecare ecuatieeq t = t si ceq t = t if Heste cuantificata de variabilele care apar n t si t.

132

Specificatii echivalente

fth GROUP is

sort Element .

op e : -> Element.

op _+_ : Element Element -> Element [assoc] .

op -_ : Element -> Element .

vars x y : Element .

eq e + x = x .

eq x + e = x .

eq (- x) + x = e .

eq x + (- x) = e .

endfth

133

Consecinte semantice

(S ,, ) specificatie, ecuatie, multime de ecuatii

Ecuatia este o consecinta semantica a lui daca

A |= implica A |=

pentru orice algebra A. In acest caz, vom nota |= .

|= |= or.

134

Teoria grupurilor

(S = {Element}, := {e,,+}, ) :=

{({x , y , z})(x + y) + z = x + (y + z),({x})e + x = x ,({x})x + e = x ,({x})(x) + x = e,({x})x + (x) = e

}I 1 := ({x , y , z})x = y if {x + z = y + z},I 2 := ({x , y})x + y = y + x

|= 1, 6|= 2

135

Specificatii echivalente

Doua specificatii (S ,, 1) si (S ,, 2) sunt echivalente dacadefinesc aceeasi clasa de modele:

A |= 1 A |= 2

Observatie

Fie si multimi de ecuatii. Daca |= atunci (S ,, ) si(S ,, ) sunt specificatii echivalente.

136

-algebra initiala

(S ,, ) specificatie

I, := {A | A initiala n Alg(S ,, )}este un tip abstract de date.

I, reprezinta semantica unui modul functional n Maude

fmod ... endfm

unde S este multimea sorturilor, este multimea simbolurilor deoperatii, este multimea ecuatiilor definite n modul.Fiecare ecuatieeq t = t si ceq t = t if Heste cuantificata de variabilele care apar n t si t.

137

Specificatie corecta

(S ,) o signatura multisortata, A (S ,)-algebra

O specificatie (S ,, ) este adecvata pentru A daca A este-algebra initiala, i.e. A I,.

Exemplu

Determinati o specificatie adecvata pentru A = (Z4, 0, succ), undesucc(x) := x + 1 (mod 4).

138

Continuare

fmod Z4 is

sort s .

op 0 : -> s .

op succ : s -> s .

vars x : s .

eq succ(succ(succ(succ(x)))) = x .

endfm

S := {s}, := {0 : s, succ : s s}, := {(x)succ(succ(succ(succ(x)))) = x}A este -algebra initiala daca:

I (a) A |= or. ,I (b) or. B |= ex. unic f : A B morfism.

139

Continuare

A = (Z4, 0, succ), unde succ(x) := x + 1

(a) A |= (x)succ(succ(succ(succ(x)))) = xDaca X := {x} si e : X A, atuncie(succ(succ(succ(succ(x))))) =

Asucc(Asucc(Asucc(Asucc(e(x))))) = e(x) + 4 (mod 4)= e(x) = e(x)

(b) Fie B o -algebra.Existenta: definim f : A B prinf (0) := B0, f (x + 1) := Bsucc(f (x)) pt. 0 x 2 .f morfism: f (Asucc(x)) = f (x + 1) = Bsucc(f (x)) pt. 0 x 2.Ramane de demontrat f (Asucc(3)) = Bsucc(f (3)).

140

Continuare

(1) f (Asucc(3)) = f (0) = B0

(2) Bsucc(f (3)) = Bsucc(Bsucc(f (2))) =Bsucc(Bsucc(Bsucc(Bsucc(B0)))

Deoarece B |= (x)succ(succ(succ(succ(x)))) = x ,pentru e : X B, e(x) := B0 obtinemBsucc(Bsucc(Bsucc(Bsucc(B0)))) = e

(succ(succ(succ(succ(x))))) =e(x) = B0

Din (1) si (2) rezulta f (Asucc(3)) = Bsucc(f (3)).

Unicitatea: fie g : A B un morfism;dem. ca g(x) = f (x) prin inductie pt. i {0, 1, 2, 3}g(0) = g(A0) = B0 = f (0),g(x + 1) = g(Asucc(x)) = Bsucc(g(x)) = Bsucc(f (x)) =

f (Asucc(x)) = f (x + 1).141

Exercitiu

Determinati un model intial pentru specificatia:

fmod NSET is

sorts nat nset .

op 0 : -> nat .

op s : nat -> nat .

op vid : -> nset .

op ins : nat nset -> nset .

vars x y : nat .

var A : nset .

eq ins(x,ins(x,A)) = ins(x,A) .

eq ins(x,ins(y,A)) = ins(y,ins(x,A)) .

endfm

142

143 144

Programare logica

Congruente. -algebra initiala

145

Congruente

(S ,) signatura, A (S ,) algebra

I O relatie S-sortata = {s}sS A A este congruentadaca:

I s As As echivalenta or. s S ,I este compatibila cu operatiile

ai si bi or. i = 1, . . . , n A(a1, . . . , an) s A(b1, . . . , bn)or. : s1 . . . sn s

146

Exemple

(S ,) signatura, A (S ,) algebra

I NAT -algebra A:Anat := N, A0 := 0, Asucc(x) := x + 1n1 k n2 k|(n1 n2) pentru k N fixat n1 k n2 Asucc(n1) k Asucc(n2)

I AUTOMAT -algebra B:Bintrare = Bstare = Biesire := NBs0 := 0, Bf (m, n) := m + n, Bg (n) := n + 1 este congruenta pe B, unde intrare=stare=iesire :=k

147

Algebra cat

(S ,) signatura, A algebra, congruenta pe AI [a]s := {a As | a s a} (clasa lui a)I As/s := {[a]s | a As} or. s SI A/ := {As/s}sS este (S ,)-algebra

I (A/) := [A] or. : s,I (A/)([a1]s1 , . . . , [an]sn ) := [A(a1, . . . , an)]s

or. : s1 . . . sn s si (a1, . . . , an) As1 AsnI [] : A A/, a 7 [a]s or. a As este morfism.

[a]s = [b]s a s b

148

Exemple

I STIVA-algebra A: Aelem := N, Astiva := NA0 := 0, Aempty := , Apush(n, n1 nk) := n n1 nk ,Apop() = Apop(n) := ,Apop(n1n2 nk) := n2 nk pt. k 2,Atop() := 0, Atop(n1 nk) := n1 pt. k 1.

I elem:= N N,stiva:= {(w ,w ) | (w ,w ) N N, |w | = |w |}= {elem,stiva} congruenta

I A/ ' B, undeSTIVA-algebra B: Belem := {0}, Bstiva := NB0 := 0, Bempty := 0, Bpush(0, n) := n + 1 or. n,Bpop(0) := 0, Bpop(n) := n 1 pt. n 1, Btop(n) := 0 or. n.

149

Ker(f )

(S ,) signatura, A si B algebre, f : A B morfismKer(f ) = {Ker(fs)}sS , undeKer(fs) := {(a, a) As As | fs(a) = fs(a)} or. s S

Propozitia 12

I (a) Ker(f ) este congruenta pe A.

I (b) Daca congruenta pe A, atunci Ker([]) =.Dem. exercitiu

150

Proprietatea de universalitate

(S ,) signatura, A algebra, congruenta pe A

Teorema 13 ( Proprietatea de universalitate a algebrei cat)

Oricare ar fi B o algebra si h : A B un morfism a.. Ker(h)exista un unic morfism h : A/ B a.. []; h = h.

Dem. h : A B, Ker(h)Existenta: definim hs([a]s ) := hs(a)

or. a As

A[] //

h

A/

h}}B

151

Continuare

h este bine definit: [a1]s = [a2]s hs(a1) = hs(a2)[a1]s = [a2]s (a1, a2) s Ker(hs) hs(a1) = hs(a2)h morfism:

I dc. : s , at.hs(A/equiv) = hs([A]) = hs(A) = B,

I dc. : s1 . . . sn s sia1 As1 , . . ., an Asn at.

hs(A([a1], . . . , [an])) = hs([A(a1, . . . , an)]) =hs(A(a1, . . . , an)) == B(hs1(a1), , hsn(an)) =

B(hs1([a1]), , hsn([an]))Unicitatea: fie g : A/ B a.. []; g = hgs([a]s) = hs(a) = hs([a]s ) or. a As .

152

Consecinte

Teorema 14 (Teorema I de izomorfism)

Oricare f : A B morfism, A/Ker(f ) ' f (A).Dem. exercitiu

Propozitia 15

Fie K o clasa de (S ,)-algebre. Daca

K:={Ker(h) | h : T B K, h morfism},

atunci urmatoarele proprietati sunt adevarate:

I K este congruenta pe T,I or. B K ex. unic morfism h : T/K B.

Dem. Intersectia unei familii arbitrare de congruente estecongruenta (exercitiu).

153

Continuare

Fie B K si h : T B unicul morfism.Existenta: deoarece K Ker(h), dinProprietatea de universalitate aalgebrei cat ex. unic morfismh : T/K B a.. []K ; h = h.

T[]K //

h

T/K

h{{B

Unicitatea: fie g : T/K B un morfism; atunci[]K ; g : T B, deci []K ; g = h, deci g verifica proprietateacare-l defineste n mod unic pe h; rezulta g = h.

154

-algebre

(S ,, ) specificatie,A algebra si o congruenta pe ASpunem ca este este nchisa la substitutie daca:CS(,A)

or. (X )t =s t if H , or. e : X Aes(u) s es(v) or. u =s v H es(t) s es(t ).

Propozitia 16

Daca este o congruenta pe A nchisa la substitutie atunciA/ |= .

155

Continuare

Dem. Fie (X )t =s t if H si f : T(X ) A/ a..fs(u) = fs(v) or. u

=s v H.

[] : A A/ morfism surjectiv,f : T(X ) A/ morfismDin Propozitia 10, ex. e : T(X ) Aa. . e; [] = f

A[] // A/

T(X )

f

OO

e

bb

Atunci es(u) s es(v) or. u =s v H si, deoarece estenchisa la substitutie, obtinem es(t) s es(t ), adica fs(t) = fs(t ).

156

Echivalenta semantica

(S ,, ) specificatie, A o (S ,)-algebra

,A:={Ker(h) | h : A B morfism B |= }

echivalena semantica pe A

I A = T notam :=,T .

Propozitia 17

,A este o congruenta pe A nchisa la substitutie.

157

Continuare

Dem. Notam :=,A

Fie (X )t =s t if H si e : X A a..es(u) s es(v) or. u =s v H.Rezulta (es(u), es(v)) Ker(h) or. h : A B |= , decih(es(u)) = h(es(v)) or. u

=s v H.

Fie B |= i h : A B. Atunci e; h : T(X ) B sih(es(u)) = h(es(v)) or. u

=s v H, deci h(es(t)) = h(es(t )).

Rezulta (es(t), es(t )) Ker(h) or. h : A B |= , deci(es(t), es(t )) , i.e. es(t) s es(t ).

158

-algebra initiala


I Definim pe T congruenta semantica:=

{Ker(f ) | f : T A, A |= },care este nchisa la substitutie cf. Propozitiei 17.

I T/ |= cf. Propozitiei 16.I =K, unde K = Alg(S ,, )

or. B |= ex. unic morfism f : T/ B cf. Propozitiei 15.

Teorema 18.

T/ este -algebra initiala.

159

ADT


I, := {A | A initiala n Alg(S ,, )}este un tip abstract de date.

Un modul functional fmod ... endfm n Maude defineste tipulabstract de date I, si construiete efectiv algebra T/ ,unde S este multimea sorturilor, este multimea simbolurilor deoperatii, este multimea ecuatiilor definite n modul. Fiecareecuatieeq t = t si ceq t = t if Heste cuantificata de variabilele care apar n t si t.

160

Consecinte

(S ,, ) specificatie, A algebra, hA : T A unicul morfismTeorema

Sunt echivalente:

I A este -algebra initialaI A verifica urmatoarele proprietati:

I No Junk: hA este surjectivI No Confusion: hAs(t1) = hAs(t2) |= ()t1 =s t2

or. t1, t2 T,s

161 162

163 164

Programare logica

Teorema constantelorDemonstratii prin inductie

165

Demonstrarea ec. conditionate

(S ,) signatura, X multime de variabile multime de ecuatii conditionate

?

|= (X )t =s t if H

Propozitia 19

I (a) Daca |= (X )t =s t if H atunci{(X )u =s v | u =s v H} |= (X )t =s t .

I (b) Implicatia inversa nu este adevarta n general .

I (c) Daca {()u =s v | u =s v H} |= ()t =s t

atunci |= ()t =s t if H.166

Continuare

Dem. (a) Fie A |= {(X )u =s v | u =s v H} si e : X Ao evaluare. Dar A |= (X )u =s v or. u =s v H, decies(u) = es(v) or. u

=s v H. Deoarece A |= , din ipoteza,

A |= (X )t =s t if H. Deoarec e : X A este o evaluare a..es(u) = es(v) or. u

=s v H, rezulta es(t) = es(t ).

(b) Implicatia inversa nu este n general adevarata.S = {s}, = {0 : s}, X = {x , y}{(X )x = 0} |= (X )y = 0 este adevarata, dar6|= (X )y = 0 if {x = 0}.(b) Fie A |= , e : T A unicul morfism. Daca es(u) = es(v)or. u

=s v H, atunci A |=

{()u =s v | u =s v H}. Dinipoteza, obtinem A |= ()t =s t , deci es(t) = es(t ). Amdemonstrat ca daca unicul morfism e : T A verificaes(u) = es(v) or. u

=s v H, atunci es(t) = es(t ).

167

(X )


I multimea X poate fi privita ca o signatura care are numaioperatii constante:variabila x Xs devine operatia constanta cx : s

I (X ) := ((X )w ,s)wS,sSI (X )w ,s = w ,s pentru w 6= I (X ),s = ,s {cx |x Xs}

168

(X )-algebre

A (S ,)-algebra, a : X A atribuireI (A, a) este (X )-algebra

I Acx := as(x) oricare x Xs , s SI orice (X )-algebra poate fi construita astfel

T(X ) = {T(X ),s}sSI T(X ),s = T(X )sI Tcx := x oricare x Xs , s S

Observatie

T(X ) este (X )-algebra initiala(A, a) (X )-algebraa : T(X ) A unicul morfism de (X )-algebre

169

Teorema constantelor I


Teorema 20(Teorema constantelor I)

Sunt echivalente:

I (a) A |= (X )t =s t ,I (b) (A, a) |=(X ) ()t =s t or. a : X A.

Dem. Ambele enunturi sunt echivalente cu:as(t) = as(t ) or. a : X A

170

Teorema constantelor II

(S ,) signatura, X multime de variabile o multime de -ecuatii neconditionate a..nici o variabila din X nu apare n .

Teorema 21 (Teorema constantelor II).

Sunt echivalente:

I (a) |= (X )t =s t if HI (b)

{()u =s v | u =s v H} |=(X ) ()t =s t Dem. Deoarece nici o variabila din X nu apare n , pentru orice(S ,)-algebra A sunt echivalnte:I A |= ,I (A, a) |=(X ) or. a : X A.

171

Continuare

(a) (b) Fie (A, a) o (X )-algebra a..(A, a) |=(X )

{()u =s v | u =s v H}. AvemA |= , deoarece (A, a) |=(X ) sias(u) = as(v) or. u

=s v H, deoarece

(A, a) |=(X ) {()u =s v | u =s v H}.Din (a) rezulta ca as(t) = as(t ), adica(A, a) |=(X ) ()t =s t .(b) (a) Fie A o (S ,)-algebra a.. A |= sia : X A a.. as(u) = as(v) or. u =s v H.Atunci(A, a) |=(X ) si(A, a) |=(X ) {()u =s v | u =s v H}.Din (b) rezulta ca (A, a) |=(X ) ()t =s t , adicaas(t) = as(t ).

172

Demonstratii prin inductie

fmod MYNAT is

sort MyNat .

op 0 : -> MyNat .

op s_ : MyNat -> MyNat .

op _+_ : MyNat MyNat -> MyNat [comm assoc prec 50 ] .

op _*_ : MyNat MyNat -> MyNat [ comm assoc prec 49 ] .

vars x y : MyNat .

eq x + 0 = x .

eq x + s y = s(x + y) .

eq x * 0 = 0 .

eq x * s y = (x * y) + x .

endfm

173

cx (cy + cz) = (cx cy) + (cx cz)

fmod IND0 is

including MYNAT .

ops cy cz : -> MyNat .

endfm

*** pasul initial

red 0 * (cy + cz) == 0 * cy + 0 * cz .

fmod IND is

including IND0 .

op cx : -> MyNat .

*** ipoteza inductie

eq cx * (cy + cz) = cx * cy + cx * cz .

endfm

*** pasul de inductie

red s cx * ( cy + cz) == s cx * cy + s cx * cz .

174

Demonstratii prin inductie

==========================================

fmod MYNAT

==========================================

fmod IND0

==========================================

reduce in IND0 : 0 * (cy + cz) == 0 * cy + 0 * cz .


result Bool: true

==========================================

fmod IND

==========================================

reduce in IND : s cx * (cy + cz) == cy * s cx + cz * s cx .


result Bool: true

175

Constructori S = {s}

. In exemplul anterior, = {0 : MyNat, s : MyNat MyNat,+ : MyNat MyNat MyNat, : MyNat MyNat MyNat}dar n inducta sructurala am folosit numaic = {0 : MyNat, s : MyNat MyNat}.

Fie o signatura (monosortata) si A o -algebra . O subsignaturaCons se numeste signatura de constructori pentru A dacaunicul morfism h : TCons A este surjectiv.Daca P = (, ) este o prezentare, notam TP = T/ . AtunciCons se numeste signatura de constructori pentru P daca estesignatura de constructori pentru TP .

176

Constructori S = {s}

.P = (, ) o prezentare, Cons signatura de constructoriTP := T/t T, [t] := [t]

Teorema (Demonstratii prin inductie)

Fie Q o proprietate a elementelor lui TP a.. urmatoarele conditiisunt satisfacute:

I pasul initial:Q([]) = true or. Cons,s

I pasul de inductie:daca t1, . . ., tn Ts si Q([t1]) = = Q([tn]) = true atunciQ([(t1, . . . , tn)]) = true or. Conssn,s .

Atunci Q([t]) = true oricare [t] TP .177 178

179 180

Programare logica

Sintaxa logicii ecuationale

181

Regulile deductiei ecuationale

(S ,) signatura, X si Y multimi de variabile multime de ecuatii (neconditionate)

R(X )t =s t

S(X )t1 =s t2(X )t2 =s t1

T(X )t1 =s t2, (X )t2 =s t3

(X )t1 =s t3

C(X )t1 =s1 t 1, . . . , (X )tn =sn t n

(X )(t1, . . . , tn) =s (t 1, . . . , t n) : s1 sn s

Sub(X )(t) =s (t )

unde

(Y )t =s t , : Y T(X )182

Deductia sintactica

Fie o multime de ecuatii, numite axiome sau ipoteze. Spunem caecuatia := (X )t =s t se deduce sintactic din daca exista osecventa de ecuatii 1, . . ., n a. .

I n = si

I pentru orice i {1, . . . , n} i sau i se obtine din ecuatiile1, . . ., i1 aplicand una din regulile R, S, T, C, Sub.

In acest caz scriem ` si spunem ca este deductibila(sintactic), demonstrabila, derivabila din . Secventa1, . . ., n = este o demonstratie pentru din ipotezele .

183

Exemplu

= {x + 0 = x , x + succ(y) = succ(x + y)}E ` 0 + succ(0) = succ(0)(1) x + succ(y)

= succ(x + y) E

(2) 0 + succ(0)

= succ(0 + 0) (1, Sub{x , y 0})(3) x + 0 = x E(4) 0 + 0

= 0 (3,Sub{x 0})

(5) succ(0 + 0)

= succ(0) (4,C)

(6) 0 + succ(0)

= succ(0) (2, 5,T )

x + succ(y)

= succ(x + y)

0 + succ(0)

= succ(0 + 0)(Sub{x , y 0})

x + 0

= x

0 + 0

= 0Sub{x 0}

succ(0 + 0)

= succ(0)(C)

0 + succ(0)

= succ(0)(T )

184

Axiomele sunt ecuatii conditionate

Fie o multime de ecuatii conditionate.

Sub(X )(u1) =s1 (v1), . . . , (X )(un) =sn (vn)

(X )(t) =s (t )

unde (Y )t =s t if H , H = {u1 =s1 v1, . . . , un =sn vn} si : Y T(X ) substitutie

I Identificam substitutia : Y T(X ) cu : T(Y ) T(X ).

I Daca H = atunci Sub(X )(t) =s (t )

185

Axiomele sunt ecuatii conditionate

NATBOOL = (S ,), S = {n, b}, = {T ,F , 0, s, , >} = {, 1, 2} := {x , y , z}x =n y if {z x =n z y , z > 0 =b T}1 := {a, c}s(s(s(0))) a =n s(s(s(0))) c,2 := {a, c}s(s(s(0))) > 0 =b T

` {a, c}a =n c

Sub1, 2

a

=s c

, n(x) := a, n(y) := c , n(z) := s(s(s(0)))

186

187 188

Programare logica

Logica ecuationala

Corectitudine. Completitudine

189

Regulile deductiei ecuationale

(S ,) signatura, X si Y multimi de variabile multime de ecuatii (neconditionate)

R(X )t =s t

S(X )t1 =s t2(X )t2 =s t1

T(X )t1 =s t2, (X )t2 =s t3

(X )t1 =s t3

C(X )t1 =s1 t 1, . . . , (X )tn =sn t n

(X )(t1, . . . , tn) =s (t 1, . . . , t n) : s1 sn s

Sub(X )(u1) =s1 (v1), . . . , (X )(un) =sn (vn)

(X )(t) =s (t )unde

(Y )t =s t if {u1 =s1 v1, . . . , un =sn vn} , : Y T(X )190

Corectitudinea regulilor de deductie


O regula de deductie1, . . . , n

este corecta daca

|= 1, . . ., |= n |=

Propozitia 22

Regulile deductiei ecuationale R, S, T, C, Sub sunt corecte.

191

Continuare

I Demonstram ca C este corecta.

Fie : s1 sn s si presupunem ca |= (X )t1 =s1 t 1, . . ., |= (X )tn =sn t n (*)Trebuie sa aratam ca |= (X )(t1, . . . , tn) =s (t 1, . . . , t n).Fie A |= si f : T(X ) A un morfism. Din (*),fs1(t1) = fs1(t

1), . . ., fsn(tn) = fsn(t

n), deci

fs((t1, . . . , tn)) = A(fs1(t1), . . . , fsn(tn)) =A(fs1(t

1), . . . , fsn(t

n)) = fs((t1, . . . , tn)).

In consecinta, A |= (X )(t1, . . . , tn) =s (t 1, . . . , t n).Deoarece A este o -algebra arbitrara, |= (X )(t1, . . . , tn) =s (t 1, . . . , t n).

192

Continuare

I Demonstram ca Sub este corecta.

Fie (Y )t =s t if H , H = {u1 =s1 v1, . . . , un =sn vn} si : Y T(X ) substitutie a.. |= (X )(u1) =s1 (v1), . . ., |= (X )(un) =sn (vn) (*)Trebuie sa aratam ca |= (X )(t) =s (t ).Fie A |= si f : T(X ) A un morfism. Atunci; f : T(Y ) A si, din (*),(; f )s1(u1) = (; f )s1(v1), . . ., (; f )sn(un) = (; f )sn(vn).

Deoarece A |= (Y )t =s t if H , obtinem(; f )s(t) = (; f )s(t

) i.e. fs((t)) = fs((t )).

In consecinta, A |= (X )(t) =s (t ).Deoarece A este o -algebra arbitrara, |= (X )(t) =s (t ).

193

Corectitudinea deductiei ecuationale


Teorema 23 (Corectitudine)

` (X )t =s t |= (X )t =s t

Dem.: Fie 1, . . ., n = (X )t =s t o demonstratie din ipotezele. Demonstram |= i prin inductie dupa i = 1, . . . , n.Observam ca 1 sau 1 = (X )t =s t, deci |= 1.Presupunem ca |= 1, . . ., |= i1. Stim ca i se obtine dinecuatiile 1, . . ., i1 aplicand una din regulile dedeductie.Deoarece R, S, T, C, Sub sunt corecte, rezulta |= i .

194

Inchiderea la reguli de deductie

(S ,) o signatura multisortata, X o multime de variabile

Reg(X )t1 =s1 t 1, . . . , (X )tn =sn t n

(X )t =s t

Relatie binara T(X ) T(X ) este nchisa la Reg dacat1 s1 t 1, . . ., tn sn t n t s t

Propozitia 24

Sunt echivalente:

I (a) este congruenta pe T(X ),I (b) este nchisa la R, S, T, C .

195

Continuare

Dem. (a)(b) Presupunem ca este congruenta si demontramnchiderea la C.Fie : s1 sn s si t1 s1 t 1, . . ., tn sn t n.Deoarece este congruenta, (t1, . . . , tn) s (t 1, . . . , t n),deci este nchisa la C.(b)(a) Presupunem este echivalenta nchisa la C sidemonstram ca este compatibila cu operatiile. Fie : s1 sn s si t1 s1 t 1, . . ., tn sn t n. Deoarece estenchisa la C, (t1, . . . , tn) s (t 1, . . . , t n), deci estecompatibila cu operatiile.

196

-algebre

(S ,, ) specificatie, X o multime de variabile, o congruenta pe T(X )CS(,T(X ))

or. (Y )t =s t if H , or. h : T(Y ) T(X ) morfismhs(u) s hs(v) or. u =s v H hs(t) s hs(t ).

Propozitia 25

Sunt echivalente:

I (a) verifica CS(,T(X )),I (b) este nchisa la Sub,I (c) T(X )/ |= .

197

Echivalenta sintactica

(S ,, ) specificatie, X o multime de variabile

Pe T(X ) definim urmatoarea relatie S-sortata

tst ` (X )t =s t oricare s S .

este echivalenta sintactica determinata de .

Propozitia 26

este o congruenta nchisa la substitutie.Dem. Din definitia deductiei sintactice `, rezulta ca estenchisa la R, S, T, C, Sub.

198

Echivalenta semantica

(S ,, ) specificatie, A o (S ,)-algebra

,A :={Ker(h) | h : A B morfism B |= }

este echivalenta semantica pe A determinata de .

Propozitia 27

,A este cea mai mica congruenta pe A nchisa la substitutie.Dem. Din Propozitia 17, ,A este congruenta A nchisa lasubstitutie. Fie o alta congruenta pe A nchisa la substitutie sip : A A/ surjectia canonica ( p(a) = [a] or. a A). DinPropozitia 16, A/ |= , deci = Ker(p) ,A.

199

Completitudinea deductiei ecuationale

multime de ecuatii conditionate, = (X )t =s t ecuatie

Teorema 28 (Completitudine)

|= (X )t =s t ` (X )t =s t

Dem. Din Propozitia 26 si Propozitia 16, T(X )/ este o-algebra, deci T(X )/ |= .Fie p : T(X ) T(X )/surjectia canonica, p(t) := [t] oricare t T(X ), unde [t] esteclasa de echivalenta a lui t determinata de . Rezultaps(t) = ps(t

), i.e. [t] = [t ].In consecinta tst , adica ` (X )t =s t .

Demonstratie scurta: Se aplica Propozitiile 26 si 27.

200

Teorema de completitudine

(S ,) signatura, X multime de variabile, t, t T(X )sI t t ` (X )t =s t (echiv. sintactica)I t t |= (X )t =s t (echiv. semantica)I Corectitudinea regulilor de deductie: I Completitudinea regulilor de deductie:

Teorema 29 (Teorema de completitudine) = |= (X )t =s t ` (X )t =s t

201

Reguli de deductie

(S ,, ) specificatie, X , Y multimi disjuncte de variabile

Abstractizarea(X )t1 =s t2

(X Y )t1 =s t2

Concretizarea(X Y )t1 =s t2

(X )t1 =s t2t1, t2 T(X )sYs 6= T,s 6=

Propozitia 30

Abstractizarea si Concretizarea sunt reguli de deductie corecte.

Dem. exercitiu

202

Exemplu

Orice functie inversabila la dreapta este injectiva.

S := {s}, := {f : s s, g : s s} := {({z}) g(f (z)) = z} (g inversa la dreapta a lui f ) ` ({x , y}) x = y if {f (x) = f (y)}

{() f (cx) = f (cy )} ` () cx = cy (teorema constantelor)(1) () f (cx) = f (cy ) (ipoteza)(2) () g(f (cx)) = g(f (cy )) (C)(3) () g(f (cy )) = cy (Sub{z cy})(4) () g(f (cx)) = cy (2,3,T)(5) ({z}) z = g(f (z)) (S)(6) () cx = g(f (cx)) (5, Sub{z cx})(7) () cx = cy (4,6, T)

203 204

Programare logica

Logica ecuationala

Regula SR (SubtermReplacement)

205

Contexte


I Pentru t T(X ) si y X notamnry (t) = numarul de aparitii ale lui y n t

I Daca z 6 X atunci un termen c T(X {z}) se numestecontext daca nrz(c) = 1.

I Daca t0 T(X ) si t0 are acelasi sort cu z , atunci notamc[z t0] := {z t0}(c)

pentru un context c T(X {z}), unde{z t0} : X {z} T(X ) este substitutia{z t0}(z) = t0 si {z t0}(x) = x or. x X

206

Regula de deductie SR


SR(X )(u) =s (v) or. u =s v H(X )c[z (l)] =s c[z (r)]

unde (Y )l =s r if H , : Y T(X ) substitutiec T(X {z})s , z 6 X , nrz(c) = 1

I c = z SR = SubI E multime de ecuatii neconditionate

SRE(X )c[z (l)] =s c[z (r)]

unde (Y )l =s r E , : Y T(X ) substitutiec T(X {z})s , z 6 X , nrz(c) = 1

207

Exemplu

E = {x + 0 = x , x + succ(y) = succ(x + y)}E `SRE 0 + succ(0)

= succ(0)

(1) x + succ(y)

= succ(x + y) E(2) 0 + succ(0)

= succ(0 + 0) (1,SRE , c := z , := {x , y 0})

(3) x + 0 = x E(4) succ(0 + 0)

= succ(0) (3,SRE , c := succ(z), := {x 0})

(5) 0 + succ(0)

= succ(0) (2, 4,T )

(1) x + succ(y)

= succ(x + y) E(2) 0 + succ(0)

= succ(0 + 0) (1, Sub{x , y 0})

(3) x + 0 = x E(4) 0 + 0

= 0 (3,Sub{x 0})

(5) succ(0 + 0)

= succ(0) (4,C )

(6) 0 + succ(0)

= succ(0) (2, 5,T )

208


Propozitia 31

SR este regula de deductie corecta.

Dem. Fie (Y )l =s r if H , : Y T(X ) substitutiec T(X {z})s , z 6 X , nrz(c) = 1 a.. |= (X )(u) =s (v) or. u =s v H.Demonstram ca |= (X )c[z (l)] =s c[z (r)] prininductie dupa |c| (lungimea lui c).I Daca |c| = 1, atunci c = z si |= (X )(l) =s (r) deoarece

Sub este corecta.

209

Continuare

I Presupunem ca |= (X )c [z (l)] =s c [z (r)] daca|c | < |c |. Atunci ex. : s1 sn s ,t1 T(X )s1 , . . ., tn T(X )sn si k a..c = (t1, . . . , tk , . . . , tn) si nrz(tk) = 1.Pentru tk aplicam ipoteza de inductie: |= (X )tk [z (l)] =si tk [z (r)].Deoarece |= (X )ti =si ti or. i 6= k, aplicand corectitudinearegulii C, obtinem |= (X )(t1, . . . , tk [z (l)], . . . , tn) =s

(t1, . . . , tk [z (r)], . . . , tn).Observam ca c[z t] = (t1, . . . , tk [z t], . . . , tn) or.t T(X )s , deci |= (X )c[z (l)] =s c[z (r)].

210


Definim SR T(X ) T(X ) print SR t `R,S ,T ,SR (X )t =s t

Propozitia 32

SR este congruenta nchisa la substitutie.Dem. Din definitie, SR este nchisa la R, S, T, deci este o relatiede echivalenta.

I SR este nchisa la SubSub se obtine aplicand SR cu c = z .

211

Continuare

I SR este nchisa la C (schita)Fie : s1 sn s si t1 SR t 1, . . ., tn SR t n.

(1) Daca k {1, . . . , n} si (X )tk =sk t k se deduce prin aplicarearegulii SR, atunci exista (Y )l =s r if H , : Y T(X ) substitutie c T(X {z})sk , z 6 X ,nrz(c) = 1 a.. tk = c[z (l)] si t k = c[z (r)].Definim c = (t1, . . . , tk1, c , tk+1, . . . , tn), atunci(t1, . . . , tk , . . . , tn) = c

[z (l)] si(t1, . . . , t

k , . . . , tn) = c

[z (r)],deci (X )(t1, . . . , tk , . . . , tn) =s (t1, . . . , t k , . . . , tn) sededuce prin aplicarea regulii SR.

(2) Daca k {1, . . . , n} si tk SR t k atunci(t1, . . . , tk1, tk , tk+1, . . . , tn) SR (t1, . . . , tk1, t k , tk+1, . . . , tn).

(3) (t1, t2, . . . , tn) SR (t 1, t2, . . . , tn) SR (t 1, t 2, t3 . . . , tn)SR (t 1, t 2, t 3, . . . , tn) SR SR (t 1, t 2, . . . , t n)

212

Completitudinea SR

(S ,, ) specificatie, X multime de variabile, t, t T(X )s

Teorema 33

Sunt echivalente:

I (a) `R,S ,T ,C,Sub (X )t =s t I (b) `R,S ,T ,SR (X )t =s t

Dem. (a) (b) (SR) Rezulta din Propozitia 32 si dinfaptul ca = este cea mi mica congruenta nchisa lasubstitutie, definita pe T(X ).

(b) (a) (SR) Din corectitudinea regulii SR (Propozitia31) si Teorema de completitudine (Teorema 29), rezultaSR =.

213 214

215 216

Programare logica

Rescrierea termenilor

217

Rescrierea

(S ,) signaturaI O regula de rescriere este formata dintr-o multime de variabile

Y si doi termeni l , r de acelasi sort din T(Y ) a..I l nu este variabilaI Var(r) Var(l) = Y .

Vom nota l r (l s r).I Un sistem de rescriere (TRS) este o multime finita de reguli

de rescriere.

I R = {x + 0 x , x + succ(y) succ(x + y)}

218

Relatia R

I Fie R un sistem de rescriere. Daca t, t T(X )s definimrelatia t R t astfel:

t R t t este c[z (l)] sit este c[z (r)], undec T(X {z}), z 6 X , nrz(c) = 1l r R cu Var(l) = Y , : Y T(X ) este o substitutie.

I t R t daca si numai daca t se obtine din t nlocuindo instanta a lui l cu o instanta a lui r .

219

Sistemul de rescriere RE

(S ,) specificatie, E multime de ecuatii neconditionate a..

Var(r) Var(l) = Y or. (Y )l =s r E .RE := {l r | (Y )l =s r E} este sistemul de rescrieredeterminat de E .

In acest caz vom nota E :=RE

ecuatiile devin reguli de rescriere prin orientare

In Maude ecuatiile eq t = t trebuie sa verifice conditiaVar(t) Var(t) deoarece n reduceri ecuatiile sunt folosite careguli de rescriere.

220

Exemplu

E = {x + 0 = x , x + succ(y) = succ(x + y)}RE = {x + 0 x , x + succ(y) succ(x + y)}0 + succ(0)E succ(0 + 0)(l := x + succ(y), r := succ(x + y), c := z , := {x , y 0})succ(0 + 0)E succ(0)(l := x + 0, r := x , c := succ(z), := {x 0})0 + succ(0)E succ(0 + 0)E succ(0)

221

Maude

fmod INTLIST is

protecting INT .

sort IntList .

subsort Int < IntList .

op nil : -> IntList .

op _,_ : IntList IntList -> IntList [ assoc id: nil] .

vars L1 L2 L3 : IntList . var x : Int .

eq L1 , x , L2 , - x , L3 = L1 , L2 , L3 .

endfm

set trace on .

reduce 4 , 3 , 5 , 6 , - 3 , 8 , -5 .

222

Maude

reduce in INTLIST : 4,3,5,6,-3,8,-5 .


eq L1,x,L2,- x,L3 = L1,L2,L3 .

L1 --> nil

x --> 5

L2 --> 6,-3,8

L3 --> nil

5,6,-3,8,-5

--->

nil,(6,-3,8),nil

223

Maude


eq L1,x,L2,- x,L3 = L1,L2,L3 .

L1 --> nil

x --> 3

L2 --> 6

L3 --> nil

3,6,-3,8

--->

(nil,6,nil),8


result IntList: 4,6,8

224

Sisteme de rescriere abstracte

Un sistem de rescriere abstract este o pereche (T ,), unde Teste o multime si T T ( este o relatie binara pe T ).Definitii:=1 (relatia inversa):= (nchiderea simetrica):= () (nchiderea reflexiva si tranzitiva):= () (echivalenta generata)(T(X )s ,s) sistem de rescriere abstract

225

Exemplu

T := N \ {0, 1}, := {(m, k) | k < m, k |m}I = {(k ,m) | k < m, k |m}I = {(k1, k2) | k1 6= k2, k1|k2 sau k2|k1}I += {(m, k) | ex.n 0, ex. k1, , kn T

m k1 kn k}I = + {(k , k)|k T}I Cine este

?

226

Rescriere si deductie

(S ,) signatura, X multime de variabile,E multime de ecuatii neconditionate,RE sistemul de rescriere determinat de E ,E T(X ) T(X ) relatia de rescriere

Teorema 34.

Fie t, t T(X )s . Sunt echivalente:(1) E |= (X )t =s t (2) E `R,S ,T ,C,SubE (X )t =s t (3) E `R,S ,T ,SRE (X )t =s t (4) t

E t ,unde

E este echivalenta generata de E .

227

Continuare

Dem. (1) (2) (3) rezulta din E = E = SR(3) (4) revine la SR = EDin ESR rezulta ESR .Pentru a demonstra implicatia inversa vom arata ca

E estenchisa la C si SubE .

I E este nchisa la SubE(Y )t =s t E , : Y T(X ) substitutie implica t E t sau t E t.Daca t E t atunci (t)E (t ) pentru c = z .Daca t E t atunci (t )E (t) pentru c = z .Rezulta (t)E (t ).

I E este nchisa la CFie : s1 sn s si k {1, . . . , n}.

228

Continuare

(1) tkE t k implica (t1, . . . , tk , . . . , tn)E (t1, . . . , t k , . . . , tn)Din ipoteza, tk este c[z (l)], t k este c[z (r)], undec T(X {z}) e un context, l r RE cu Var(l) = Y si : Y T(X ).Definim c := (t1, . . . , c , . . . , tn). Rezulta ca(t1, . . . , tk , . . . , tn) este c

[z (l)] si(t1, . . . , t

k , . . . , tn) este c

[z (r)].(2) Demonstram prin inductie dupa p 1 ca

tkpE t k implica (t1, . . . , tk , . . . , tn)

E (t1, . . . , t k , . . . , tn)Pentru p = 1 aplicam (1) si simetria.

Daca tkp+1 E t k atunci tk

pE t k E t k . Din ip. de inductie(t1, . . . , tk , . . . , tn)

E (t1, . . . , t k , . . . , tn) E (t1, . . . , t k , . . . , tn)deci (t1, . . . , tk , . . . , tn)

E (t1, . . . , t k , . . . , tn).229

Continuare

(3) Din (2), daca t1E t 1, . . ., tn E t n atunci

(t1, . . . , tk , . . . , tn)E (t1, . . . , t k , . . . , tn)

or. k {1, . . . , n}(4) (t1, . . . , tn)

E (t 1, t2 . . . , tn) E (t 1, t 2, . . . , tn) E E (t 1, . . . , t k , tk+1, . . . , tn)

E E (t 1, . . . , t n)

In consecinta,E este nchisa la C si SubE , deci

SR =E E din Propozitia 27.

230

231 232

Programare logica

Substitutii. Unificare

F. Baader, T. Nipkow, Terms Rewriting and All That,Cambridge University Press, 1998.

233

Substitutie

(S ,) signatura multisortata, X si Y multimi de variabileO substitutie a variabilelor din X cu termeni din T(Y ) este ofunctie : X T(Y ).Substitutia se extinde la o functie : T(X ) T(Y ) dupacum urmeaza:

I s(x) := (x) or. x Xs ,I s() := or. : s,I s((t1, . . . , tn)) := (s1(t1), . . . , sn(tn)) or. : s1 . . . sn s, or. t1 T(X )s1 , . . ., tn T(X )sn .

Observatie: : T(X ) T(Y ) morfism de (S ,)-algebre.

234

Substitutie

X , Y si Z multimi de variabileI Daca : X T(Y ), : X T(Y ) atunci

= = .I vom identifica uneori cu

I {x1 t1, , xn tn} e notatie pt. : X T(X ),(xi ) := ti or. i = 1, . . . , n si (x) := x pt. x 6= xi

I compunerea substitutiilor : X T(Y ), : Y T(Z ); : X T(Z ), (;)s(x) := ;

I compunerea substitutiilor este asociativa,

I compunerea substitutiilor nu este n general comutativa.

235

Exemplu

S = {s}, = {a : s, p : sssss s, f : s s, g : s s},X = {x , y , z , u, v}t = p(u, v , x , y , z)

= {x f (y), y f (a), z u}(t) = p(u, v , f (y), f (a), u)

= {y g(a), u z , v f (f (a))}; = {x f (g(a)), y f (a), u z , v f (f (a))}(;)(t) = p(z , f (f (a)), f (g(a)), f (a), z)

(; )(t) = p(u, f (f (a)), f (y), g(a), u)

236

Termeni. Cazul monosortat

(S ,) signatura monosortata, S = {s}X multime de variabile,T(X ) termenii cu variabile din X

O ecuatie este o pereche de termeni t, t , unde t, t T(X ).Ecuatia t, t o vom nota t = t .

Egalitatea termenilor

Daca t = (t1, . . . , tn) si t = (t 1, . . . , t

k) atunci

t = t = , n = k , ti = t i or. i

= egalitate formala, = egalitate efectiva

237

Unificare. Cazul monosortat.

(S = {s},) signatura, X multime de variabileI O problema de unificare este o multime finita de ecuatii

U = {t1 = t 1, . . . , tn = t n}I Un unificator (o solutie) pentru U este o substitutie : X T(X ) a.. (ti ) = (t i ) or. i = 1, . . . , n.Notam cu Unif (U) multimea unificatorilor lui U.

I Un unificator Unif (U) este un cel mai general unificator(cgu, mgu) daca or. Unif (U) ex. substitutie a.. = ; .

238

Exemplu

S = {s}, = {0 : s,+ : ss s, : ss s}, X = {x , y , z}t = x + (y y) = +(x , (y , y)), u = x + (y x) = +(x , (y , x))I (x) := y , (y) := y , (z) := z ,

I (x) := 0, (y) := 0, (z) := z , = ; {y 0}I (x) := z + 0, (y) := z + 0, (z) := z , = ; {y z + 0}

I (x) := z , (y) := z , (z) := z , = ; {y z}I si sunt cgu

cgu nu este unic

239

Notatii

I Unif (U) := multimea unificatorilor lui U

I Var(U) :=n

i=1(Var(ti )

Var(t i )), undeVar(t) := multimea variabilelor care apar n t T(X )

I daca = {x1 t1, , xn tn} atunci{x1 t1, , xn tn}U := {(t) = (t ) | t = t U}

240

Unificare

(S = {},) signatura, X multime de variabileSpunem ca problema de unificare R = {x1 = t1, . . . , xn = tn}este rezolvata daca

I xi X , x1 6= xj or. i 6= jI xi 6

ni=1 Var(ti ) or. i = 1, . . . , n.

O problema rezolvata R defineste o substitutie RI R(xi ) := {x1 t1, . . . , xn tn}I R Unif (R)

Algoritmul transforma o problema de unificare U ntr-o problemade unificare R. Daca R = atunci U nu are unificatori. In cazcontrar, R este rezovata, iar substitutia determinata de R este cgupentru U.

241

Unificare

Propozitia 35.

Daca R = {x1 = t1, . . . , xn = tn} este o problema de unificarerezolvata, atunci R este cgu idempotent pentru R:

I = R ; or. Unif (R),I R ; R = R .

Dem.

(R ; )(x) = (R(x)) =

{ (x) x 6 {x1, . . . , xn}, (ti ) x = xi

Dar (ti ) = (xi ) deoarece Unif (R),deci (R ;

)(x) = (x) or. x X .Pentru = R , rezulta R ; R = R .

242

Algoritmul de unificare

(S = {},) signatura, X multime de variabileIntrare: U = {t1 = t 1, . . . , tn = t n}Initializare: R = USe executa nedeterminist urmatorii pasi, atata timp cat este posibil:(1) Sterge: R {t = t} R(2) Orienteaza: R {t = x} R {x = t} dc. x X , t 6 X(3) Descompune:

. R {(e1, . . . , en) = (e 1, . . . , e n)} R {e1 = e 1, . . . , en = e n}

. R {(e1, . . . , en) = (e 1, . . . , e k)} dc. 6= (4) Elimina:

. R {x = t} {x = t} {x t}R dc.. x Var(R) \ Var(t)

. R {x = t} dc. x Var(t) si t 6= xIesire: daca R = atunci nu exita solutii pentru U

daca R 6= atunci R este cgu pentru U243

{g : s s, h : s s, f : sss s}, X = {x , y , z ,w}

U = R = {g(y) = x , f (x , h(x), y) = f (g(z),w , z)}(2) R = {x = g(y), f (x , h(x), y) = f (g(z),w , z)}(4) R = {x = g(y), f (g(y), h(g(y)), y) = f (g(z),w , z)}(3) R = {x = g(y), g(y) = g(z), h(g(y)) = w , y = z}(3) R = {x = g(y), y = z , h(g(y)) = w , y = z}(4) R = {x = g(z), y = z , h(g(z)) = w , z = z}(2)(1) R = {x = g(z), y = z ,w = h(g(z))}(4) R = {x = g(z), y = z ,w = h(g(z))} cgu

244

{a : s, g : s s, h : s s, f : sss s}, X = {x , z ,w}

U = R = {g(a) = x , f (x , h(x), a) = f (g(z),w , z)}(2) R = {x = g(a), f (x , h(x), a) = f (g(z),w , z)}(4) R = {x = g(a), f (g(a), h(g(a)), a) = f (g(z),w , z)}(3) R = {x = g(a), g(a) = g(z), h(g(a)) = w , a = z}(3) R = {x = g(a), a = z , h(g(a)) = w , a = z}(2) R = {x = g(a), z = a,w = h(g(a)), z = a}(4) R = {x = g(a), z = a,w = h(g(a)), a = a}(1) R = {x = g(a), z = a,w = h(g(a))} cgu

245

{b : s, g : s s, h : s s, f : sss s}, X = {x , y , z}

U = R = {g(y) = x , f (x , h(x), y) = f (g(z), b, z)}(2) R = {x = g(y), f (x , h(x), y) = f (g(z), b, z)}

(4) R = {x = g(y), f (g(y), h(g(y)), y) = f (g(z), b, z)}

(3) R = {x = g(y), g(y) = g(z), h(g(y)) = b, y = z}

(3) R = {x = g(y), y = z , h(g(y)) = b, y = z}

(4) R = {x = g(z), y = z , h(g(z)) = b, z = z}(3) R = deoarece b 6= h

246

{g : s s, h : s s, f : sss s}, X = {x , y , z ,w}

U = R = {g(y) = x , f (x , h(x), y) = f (y ,w , z)}(2) R = {x = g(y), f (x , h(x), y) = f (y ,w , z)}

(4) R = {x = g(y), f (g(y), h(g(y)), y) = f (y ,w , z)}

(3) R = {x = g(y), g(y) = y , h(g(y)) = w , y = z}

(2) R = {x = g(z), y = g(y), h(g(y)) = w , y = z}

(4) R = deoarece y Var(g(y))

247

Terminare

Propozitia 36.

Algoritmul de unificare se termina.

Dem. Fie R problema de unificare. Notamnsol := |{x Var(R)|R = R {x = t}, x 6 Var(R ) Var(t)}|,n1 := |Var(R)| nsol , n2 :=

s

=tR(|s|+ |t|),n3 := |{t = x R|t 6 X , x X}|Fiecare pas al algoritmului modifica n1, n2, n3

n1 n2 n3Sterge >Orienteaza = >Descompune >Elimina >

Daca la executia unui pas (n1, n2, n3) se schimba n (n1, n2, n3),

atunci (n1, n2, n3) >lex (n1, n2, n3), adica (n1, n2, n3) descreste

strict n ordine lexicografica.248

Corectitudine

Propozitia 37.

Daca R T si T 6= , atunci Unif (R) = Unif (T ).Dem. Evident adevarat pentru Stergesi Orienteaza.Descompune. R = R {(e1, . . . , en) = (e 1, . . . , e n)}

T = R {e1 = e 1, . . . , en = e n}Daca : X T(X ) substitutie, atunci((e1

Programare Logica - Leustean

Documents

Transcript of Programare Logica - Leustean