Programació Lineal

Click here to load reader

  • date post

    26-Jul-2015
  • Category

    Education

  • view

    125
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Programació Lineal

1. PROGRAMACI LINEALConceptes previs1 Equaci duna recta al pla Forma implcita: Ax + By + C = 0. Forma explcita: y = mx + b m - pendent = tg b - ordenada a lorigen Exemple:1 2. PROGRAMACI LINEALA tenir en compte: La recta est ms inclinada quan major s el valor de m. Totes les rectes amb el mateix pendent sn paralleles. Feix de rectes paralleles: donada una recta y = mx+b totes les rectes y = mx + k on kR formen un feix de rectes paralleles.2 3. PROGRAMACI LINEALConceptes previs2 Tall de dues rectesAnalticament. Sapliquen els mtodes de resoluci de sistemesdequacionsExemple:. y = x + 3Per igualaci x + 3 = 3x 1 4 x = 4 x = 1 y = 2 y = 3x 13 4. PROGRAMACI LINEALGrficament, es representen les dues rectes i es busca el punt de tall4 5. PROGRAMACI LINEALConceptes previs3 Inequaci linealDonada una recta y = mx+b, la seva grfica divideix elpla en dos semiplans els punts dels quals compleixenles segents inequacions: y mx + b, y mx + b.Per reconixer la inequaci de cada semipl noms calsubstituir les coordenades dun punt ,que no estigui a larecta, en lequaci de la recta i veure quina de les duesinequacions s compleix.5 6. PROGRAMACI LINEAL Conceptes previs3 Inequaci linealExemple: una recta y = mx+b, la seva grfica divideix elDonada A partir delapla en dos semiplans els punts dels quals compleixen grfica de y = 3x-1 iagafant el puntinequacions: y mx + b, y mx + b.les segents (0,0),Per reconixer la substituint 0>30-1 inequaci de cada semipl noms cal0 substituir les coordenades dun punt ,que no estigui a la > -1, tenimrecta, en lequaci de la recta i veure quina de les dueslocalitzats el dossemiplans: s compleix.inequacions6 7. PROGRAMACI LINEALConceptes previs4 Sistemes dinequacions linealsLa resoluci dun sistema dinequacions lineals equival atrobar la zona del pla que compleix totes lesinequacions.Caldr representar els semiplans corresponents a cadadesigualtat i veure la zona comuna a tots els semiplans:7 8. PROGRAMACI LINEALConceptes previs4 Sistemes dinequacions linealsExemple: y > 3x 1 La resoluci>dun3sistema dinequacions lineals equival a y x +trobar la zona del pla que compleix totes lesinequacions.Caldr representar els semiplans corresponents a cadadesigualtat i veure la zona comuna a tots els semiplans:8 9. PROGRAMACI LINEALFormulaci dun problema de programaci lineal. Un problema de programaci lineal s un problema doptimitzaci duna funci que est sotmesa a uns restriccions de desigualtats. Si la funci a optimitzar i les restriccions sn lineals, estem parlant de programaci lineal. Cal conixer: La funci objectiu (F.O.): s la funci a optimitzar. La regi factible(R.F.): conjunt de les possibles solucions i que ve donada per la regi intersecci de totes les restriccions. s convex: x, y R.F ., x + (1 ) y F i tancat: cont a tots els [ 0,1] punts frontera9 10. PROGRAMACI LINEALPossibles solucions:No hi ha ptims interiors a la R.F. ( Noms quan laF.O. s constant).Els ptims estan en les arestes i els vrtex de la R.F.Si dos vrtex sn ptims tamb ho sn tots els puntsde laresta que els uneix.Si un punt duna aresta s ptim tamb ho sn totsels punts de laresta.a11x1 + ........ + a1n xn r1GENERALITZANT: .............................................a m11x1 + ........ + amn xn rn 10 11. PROGRAMACI LINEALFormulaci general. dun problema de programaci lineal.Maximitzaci: de programaci lineal s un problema doptimitzaciUn problemaPer n variables i m restriccions: restriccions de desigualtats.duna funci que est sotmesa a unsSi la F.O. a optimitzar n)les restriccions+c3x3+...+Cnxn. parlantfunci f(x1,x2,...,x i = C1x1+c2x2 sn lineals, estemde programaci lineal. a11x1 + ........ + a1n xn r1Cal conixer: m Restriccions: ............................................. La funci objectiu (F.O.): s la funci a optimitzar. a La regi factible(R.F.): m11x1 + ........ + amn xnsolucions i conjunt de les possibles rn que ve donada per la regi intersecci de totes les n restriccions. de no negativitat xi 0 i= 1,...., n restriccionsMinimitzaci s convex: x, y R.F ., x + (1 ) y F i tancat: cont a tots els [ 0,1]Tot igual menys lesrestriccions que sn , si no ho fossin esmultiplica per frontera punts -1.11 12. PROGRAMACI LINEALResoluci dun problema de programaci lineal perdues variables.Trobada la funci objectiu i la regi factible, la resoluci consisteix en: Grficament: cal interpretar que la optimitzaci de la F.O., equival a Analticament: trobar, dentre el feix de rectes definides pel pendent daquesta, la que t una ordenada els vrtex de la regi factible: punts major Trobar a lorigen, tot passant pels vrtex de la R.F.. Aix t molt a veure amb les inclinacions de la F.O. i les rectes restriccions del problema. Per aix cal: de les inequacions restriccions del de tall problema. Trobar el pendent de la F.O. Substituir les coordenades dels vrtex en la Trobar els pendents de les restriccions. quin optimitza la funci objectiu per veure funci. Esbrinar entre quins pendents est el pendent de la F.O. El vrtex intersecci daquestes dues inequacions ens optimitza la F.O.12 13. PROGRAMACI LINEAL Exemples1 Un problema de dieta:Suposem que una persona per cobrir les seves necessitats nutritives necessita tres tipus delements: glucosa, protenes i vitamina A. Suposem tamb que la dieta duna persona consta noms de dos aliments I i II, els preus i els continguts dels quals venen indicats en la taula segent: Aliment I Aliment IIPreu pe unitat 06100Glucosa10 gr/unitat4 gr/unitatProtena 5 gr/unitat 5 gr/unitatVitamina A 2 gr/unitat 6 gr/unitatEs considera que una persona per anar ben alimentada ha de consumir com a mnim 20 grs de glucosa, 20 grs de protenes i 12 grs de vitamina A.Quina s la combinaci dels dos elements que cobreix les necessitats diries i produeix el mnim cost ?.13 14. Aliment I Aliment II MnimsPreu pe unitat06 100 9 Optimitzaci - Exemples_Glucosa 10 gr/unitat 4 gr/unitat20 gr.Protena 5 gr/unitat 5 gr/unitat20 gr.Vitamina A 2 gr/unitat 6 gr/unitat12 gr.Incgnites xyResoluci:Assignaci de variables: x - quantitat de laliment I que pren diriament. y - quantitat de laliment II que pren diriament.Funci objectiu: C(x,y) = 06 x + 100 yRestriccions10 x + 4 y 20 (1) Glu cos a(Necessitatsde nutrici 5 x + 5 y 20 (2) Pr otenesdiria) 2 x + 6 y 12 (3) Vita min a Ax 0 ( 4)y 0 (5)Regi factible: 14 15. PROGRAMACI LINEALExemples1 Un problema de dietaResoluci analtica:Com es compleixen les condicions dunproblema de programaci lineal, hem de buscar la solucientre les vrtex de la regi factible. Els vrtex sn: A(6,0) C(A) = 36 B(3,1) C(B) = 28 C(0667,0333) C(C) = 377 D(0,5) C(D) = 5 Soluci: El cost es fa mnim en B(3,1), caldr prendre 3 unitat de lalimentI i 1 de laliment II per obtenir un cost mnim de 28 .15 16. PROGRAMACI LINEALExemples1 Un problema de dietaResoluci grfica:En formaexplcita obtenim els pendents:F.O. y = -06x + C(1)y = -25x + 5(2)y = -x + 4(3)y = -033x + 2Comparant-les m(2)