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Resposta de um Sistema Amortecidosob Fora Harmnica

Seja a funo de excitao dada por:

A equao de movimento torna-se:

Como a soluo partcular da equao acima tambm harmnica, adota-se a forma de:

Sendo X e constantes a serem determinadas. Elas denotam, respectvamente, a amplitude e o ngulo de fase da resposta, respectvamente. Ao se substtuir a soluo partcular na equao de movimento obtm-se:

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Resposta de um Sistema Amortecidosob Fora Harmnica

Utlizando-se as relaes trigonomtricas:

Substtui-se e separa-se em termos que possuem sin{t} e cos{t}

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Resposta de um Sistema Amortecidosob Fora Harmnica

A resoluo do sistema fornece:

e

Da razo de magnifcao pode-se reescrever que:

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Resposta de um Sistema Amortecidosob Fora Harmnica

Da mesma maneira que o sistema no amortecido, o fator de ampliao (M) varia conforme o ngulo de fase , a razo de frequncia r e o fator de amortecimento .

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Resposta de um Sistema Amortecidosob Fora Harmnica

Pode-se inferir que para M:

(1) Para um sistema no amortecido, M para um r 1;

(2) Qualquer valor de amortecimento ( > 0 ) reduz M em todas as frequncias de excitao;

(3) Para qualquer valor especfco de r, um maior amortecimento reduz M;

(4) No caso degenerado de uma fora constante ( r = 0 ), M = 1;

(5) A reduo de M na presena de amortecimento significavc em valores prximos ou iguais ressonncia;

(6) A amplitude da vibrao forada torna-se menor conforme a frequncia de excitao aumenta, M 0 conforme r .

(7) O valor mximo de X ocorre quando

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Resposta de um Sistema Amortecidosob Fora Harmnica

Pode-se inferir que para o ngulo de fase:

(1) Para um sistema no amortecido, o ngulo de fase 0 para 0 < r < 1 e 180 para r > 1. Isso implica que a excitao e resposta esto em fase para 0 < r < 1 e fora de fase para r > 1.

(2) Para > 0 e 0 < r < 1, o ngulo de fase dado por 0 < < 90; implicando que a resposta est ctrcscdc em relao excitao;

(3) Para > 0 e r > 1, o ngulo de fase dado por 90 < < 180; implicando que a resposta est cdicntcdc em relao excitao;

(4) Para > 0 e r = 1, o ngulo de fase dado por = 90;

(5) Para > 0 e maiores valores de r, o ngulo de fase aproxima-se de 180, implicando que a resposta e a excitao esto fora de fase.

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Resposta de um Sistema Amortecidosob Fora Harmnica

De maneira alternatva, para a equao de movimento:

Podemos propor como soluo:

Efetuando-se a substtuio:

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Separando-se em termos de seno e iosseno, obtm-se o seguinte sistema:

Resultando em:

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Resposta de um Sistema Amortecidosob Fora Harmnica

A amplitude equivalente torna-se:

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Resposta de um Sistema Amortecidosob Fora Harmnica

E o ngulo de fase dado por:

Mostrando, assim, que as duas formas so equivalentes.

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Resposta Completa

A resposta completa de um sistema dada por:

Vejamos, na prtca, com o sistema proposto.

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Exemplo 9.1

Encontre a resposta total de um sistema com um grau de liberdade de m = 10 kg, c = 20 Ns/m e k = 4000 N/m; com x0 = 0.01 e 0 = 0 sob as seguintes condies:

a) Com uma fora externa F(t) = 100cos(10t);

b) Com vibrao livre.

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Exemplo 9.2

Considere um sistema massa-mola-amortecedor com k = 4000 N/m; m = 10 kg e c = 40 Ns/m. Encontre a resposta total do sistema sob a fora harmnica F(t) = 200cos(10t) com as condies iniciais de x0 = 0.1 m e 0 = 10 m/s.

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Exemplo 9.3

Considere um sistema massa-mola-amortecedor com k=4000 N/m; m = 10 kg e c = 800 Ns/m. Encontre a resposta total do sistema sob a fora harmnica F(t) = 200cos(10t) com as condies iniciais de x0 = 2.0 m e 0 = 10 m/s.

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Exemplo 9.4

Um compressor de ar de massa m = 100 kg est montado numa fundao elstca. Foi observado que, quando uma fora harmnica de amplitude 100 N aplicada ao compressor, o deslocamento mximo do estado permanente de 5 mm numa frequncia de 300 rpm. Determine a rigidez e o amortecimento da fundao.

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