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Adição esubtração de arcos

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Adição e subtração de arcos

Se α e β são dois números reais quaisquer, é verdade que sen (α + β) = sen α + sen β?

A partir dos valores do seno e do co-seno de dois arcos, podemos obter o seno e o co-seno de sua soma ou de sua diferença.

sen (30º + 60º)

= sen 30º + sen 60º

= 1/2 + √3/2= (1 + √3)/2

(F)

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Adição de subtração de arcos

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b

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Adição de subtração de arcos

tg (a + b) =

sen (a + b)cos (a + b)

tg (a – b) =

sen (a – b)cos (a – b)

tg (a + b) =

tg a + tg b1 – tg a . tg b

tg (a – b) =

tg a – tg b1 + tg a . tg b

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Exemplos

Utilizando a fórmula de soma e diferença de arcos, calcular sen 15º e cos 105º.

15º = 45º – 30º ⇒ sen 15 = sen (45 – 30)

sen (45 – 30) = sen 45 . cos 30 – sen 30 . cos 45sen (45 – 30)

= √2/2 . √3/2 – 1/2 . √2/2

= (√6 – √2)/4

105º = 60º + 45º ⇒ cos 105 = cos (60 + 45)

cos (60 + 45) = cos 60 . cos 45 – sen 60 . sen 45sen (60 + 45)

= 1/2 . √2/2 – √3/2 . √2/2

= (√2 – √6)/4

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Exemplos

Sendo cos x = 5/13, x do 3º quadrante, calcular sen (x + 30º).

⇒ sen2 x + (5/13)2 = 1

sen2 x + cos2 x = 1

sen (x + 30)

= –12/13.√3/2 + 1/2.(–5/13)

⇒ sen2 x = 1 – 25/169

⇒ sen2 x = 144/169

⇒ sen x = – 12/13 (3º. Quadrante)

sen (x + 30) = sen x . cos 30 – sen 30 . cos x

sen (x + 30)

= (–12√3 – 5)/26

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tg (a – b)

Exemplos

Sabendo que tg a = 3 e tg b = 2, calcule cotg (a – b).

cotg (a – b) =

1

tg (a – b) =

tg a – tg b1 + tg a . tg b

3 – 21 + 3.2

= 1

7=

cotg (a – b) = 7

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Arco duplo

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Arco duplo

Podem-se obter o seno e o co-seno do dobro de um arco, a partir do seno e do co-seno do arco.

Para isso, vamos retomar as fórmulas de adição de arcos. sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b

Fazendo b = a nas duas fórmulas,

sen (a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a

= 2 sen a . cos a cos (a + a) = cos a . cos a – sen

a . sen a= cos2 a –

sen2 a

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Arco duplo

Podem-se obter o seno e o co-seno do dobro de um arco, a partir do seno e do co-seno do arco.

Para isso, vamos retomar as fórmulas de adição de arcos.

tg (a + b) =

tg a + tg b1 – tg a . tg b

Fazendo b = a na fórmula acima,

tg (a + a) =

tg a + tg a1 – tg a . tg a

2tg a1 – tg2

a

=

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Arco duplo

sen 2a = 2 sen a . cos a

cos 2a = cos2 a – sen2 a

2tg a1 – tg2

a

tg 2a =

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Arco duplo

Observação

Lembrando que sen2 a + cos2 a = 1, temos

cos 2a = cos2 a – sen2 a

cos 2a = 1 – 2 sen2 a

cos 2a = 2 cos2 a – 1

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Transformação em produto

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Transformação em produto

Como calcular as somas e diferenças abaixo?

sen p + sen q, sen p – sen q, cos p + cos q e cos p – cos q.

Em muitas ocasiões, é importante transformar somas e diferenças de senos e co-senos em produtos. As fórmulas de seno e co-seno da soma e diferença de arcos nos ajudam.

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Transformação em produto

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a (I) sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a (II) cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b (III) cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b (IV)

Adicionando, membro a membro, e subtraindo, membro a membro, as relações (I) e (II). Obtemos: sen (a + b) + sen (a – b) = 2 sen

a . cos b sen (a + b) – sen (a – b) = 2 sen b . cos a

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Transformação em produto

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a (I) sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a (II) cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b (III) cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b (IV)

Adicionando, membro a membro, e subtraindo, membro a membro, as relações (III) e (IV). Obtemos: cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a

. cos b cos (a + b) – cos (a – b) = –2 sen a . sen b

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Transformação em produto

cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a . cos b cos (a + b) – cos (a – b) = –2 sen a . sen b

sen (a + b) + sen (a – b) = 2 sen a . cos b sen (a + b) – sen (a – b) = 2 sen b . cos a

a + b = p

a – b = q

p + q2

⇒ a =

p – q2

e b =

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Transformação em produto

sen p + sen q = 2 sen . cos

p + q 2

p – q2

sen p – sen q = 2 cos . sen

p + q 2

p – q2

cos p + cos q = 2 cos . cos

p + q 2

p – q2

cos p – cos q = –2 sen . cos

p + q 2

p – q2

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Exemplos

Fatorar as expressões abaixo

a) sen 40º + sen 20º

b) sen 20º – sen 10º

c) cos 80º + cos 20º

d) cos 70º – cos 50º

e) cos 50º + sen 80º

f) 1 + cos 20º

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Exemplos

Fatorar as expressões abaixo

a) sen 40º + sen 20º

= 2 sen (40 + 20)/2 . cos (40 – 20)/2

= 2 sen 30 . cos 10= 2 . 1/2 . cos 10= cos 10º.

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Exemplos

Fatorar as expressões abaixo

b) sen 20º – sen 10º

= 2 cos (20 + 10)/2 . sen (20 – 10)/2

= 2 cos 15º . sen 5º.

c) cos 80º + cos 20º= 2 cos (80 + 20)/2 . cos (80 – 20)/2

= 2 cos 50 . cos 30

= 2 cos 50 . √3/2

= √3 . cos 50º.

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Exemplos

Fatorar as expressões abaixo

= – 2 sen (70 + 50)/2 . sen (70 – 50)/2

= – 2 sen 60 . sen 10= 2 . √3/2 . sen 10= – √3 . sen 10º.

d) cos 70º – cos 50º

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Exemplos

Fatorar as expressões abaixo

e) cos 50º + sen 80º

= 2 cos (50 + 10)/2 . cos (50 – 10)/2

= 2 cos 30 . cos 20

= 2 . 1/2 . cos 20

= cos 20º.

= cos 50º + cos 10º

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Exemplos

Fatorar as expressões abaixo

f) 1 + cos 20º

= 2 cos (0 + 20)/2 . cos (0 – 20)/2

= 2 cos 10 . cos (–10)

= 2 cos2 10º.

= cos 0º + cos 20º

= 2 cos 10 . cos 10

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Exemplos

Fatorar as expressões y = sen a + 2 sen 2a + sen 3a.

y = sen a + sen 3a + 2 sen 2a

y = 2 sen (a + 3a)/2 . cos (a – 3a)/2 + 2 sen 2ay = 2 sen 2a . cos (–a) + 2 sen 2a

y = 2 sen 2a . cos a + 2 sen 2a

y = 2 sen 2a . (cos a + 1)

= 2 sen 2a . (cos a + cos 0)

y = 2 sen 2a . [2 cos (a + 0)/2 . cos (a – 0)/2]y = 4 sen 2a . cos2 (a/2)