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producto interno norma teorema cauchy-schwartz Producto interno y norma Jana Rodriguez Hertz GAL2 IMERL 31 de agosto de 2010

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

Producto interno y norma

Jana Rodriguez HertzGAL2

IMERL

31 de agosto de 2010

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

producto interno

definición (producto interno)

V e.v. sobre Kuna función

〈, 〉 : V × V → K

se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:

1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

producto interno

definición (producto interno)V e.v. sobre K

una función〈, 〉 : V × V → K

se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:

1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

producto interno

definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función

〈, 〉 : V × V → K

se llama producto interno en V

si cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:

1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

producto interno

definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función

〈, 〉 : V × V → K

se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:

1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

producto interno

definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función

〈, 〉 : V × V → K

se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:

1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉

2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

producto interno

definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función

〈, 〉 : V × V → K

se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:

1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉

3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

producto interno

definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función

〈, 〉 : V × V → K

se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:

1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉

4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

producto interno

definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función

〈, 〉 : V × V → K

se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:

1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)

5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0

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definición

producto interno

definición (producto interno)V e.v. sobre Kuna función

〈, 〉 : V × V → K

se llama producto interno en Vsi cumple las siguientes propiedades para todo u, v ∈ V yα ∈ K:

1 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉2 〈αu, v〉 = α〈u, v〉3 〈u, v〉 = 〈v ,u〉4 〈u,u〉 ≥ 0 (∈ R)5 〈u,u〉 = 0 ⇔ u = ~0

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definición

observaciones

propiedades inmediatas〈, 〉 producto interno sobre K, entonces

1 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉2 〈u, αv〉 = α〈u, v〉3 〈~0,u〉 = 〈u, ~0〉 = 0

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

observaciones

propiedades inmediatas〈, 〉 producto interno sobre K, entonces

1 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉

2 〈u, αv〉 = α〈u, v〉3 〈~0,u〉 = 〈u, ~0〉 = 0

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definición

observaciones

propiedades inmediatas〈, 〉 producto interno sobre K, entonces

1 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉2 〈u, αv〉 = α〈u, v〉

3 〈~0,u〉 = 〈u, ~0〉 = 0

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definición

observaciones

propiedades inmediatas〈, 〉 producto interno sobre K, entonces

1 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉2 〈u, αv〉 = α〈u, v〉3 〈~0,u〉 = 〈u, ~0〉 = 0

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ejemplos

ejemplo 1

producto usual de Rn

V = Rn el producto interno dado por:

〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

se llama producto usual en Rn

verificar que es un producto interno

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ejemplos

ejemplo 1

producto usual de Rn

V = Rn el producto interno dado por:

〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

se llama producto usual en Rn

verificar que es un producto interno

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ejemplos

ejemplo 1

producto usual de Rn

V = Rn el producto interno dado por:

〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

se llama producto usual en Rn

verificar que es un producto interno

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ejemplos

ejemplo 1

producto usual de Rn

V = Rn el producto interno dado por:

〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

se llama producto usual en Rn

verificar que es un producto interno

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 2

producto usual en Cn

V = Cn el producto interno dado por:

〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

se llama producto usual en Cn

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 2

producto usual en Cn

V = Cn el producto interno dado por:

〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

se llama producto usual en Cn

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 2

producto usual en Cn

V = Cn el producto interno dado por:

〈u, v〉 = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

se llama producto usual en Cn

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ejemplos

ejemplo 3

producto interno de funciones realesV = CR[0,1] un producto interno en V es

〈f ,g〉 =

∫ 1

0f (t)g(t) dt

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 3

producto interno de funciones realesV = CR[0,1] un producto interno en V es

〈f ,g〉 =

∫ 1

0f (t)g(t) dt

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 4

producto interno de funciones complejasV = CC[0,1] un producto interno en V es

〈f ,g〉 =

∫ 1

0f (t)g(t) dt

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 4

producto interno de funciones complejasV = CC[0,1] un producto interno en V es

〈f ,g〉 =

∫ 1

0f (t)g(t) dt

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

norma

definición (norma)

V e.v. sobre Kuna función

‖.‖ : V → [0,∞)

se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:

1 ‖αv‖ = |α|‖v‖2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~03 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)

cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

norma

definición (norma)V e.v. sobre K

una función‖.‖ : V → [0,∞)

se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:

1 ‖αv‖ = |α|‖v‖2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~03 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)

cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado

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definición

norma

definición (norma)V e.v. sobre Kuna función

‖.‖ : V → [0,∞)

se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:

1 ‖αv‖ = |α|‖v‖2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~03 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)

cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

norma

definición (norma)V e.v. sobre Kuna función

‖.‖ : V → [0,∞)

se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:1 ‖αv‖ = |α|‖v‖

2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~03 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)

cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

norma

definición (norma)V e.v. sobre Kuna función

‖.‖ : V → [0,∞)

se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:1 ‖αv‖ = |α|‖v‖2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~0

3 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)

cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

norma

definición (norma)V e.v. sobre Kuna función

‖.‖ : V → [0,∞)

se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:1 ‖αv‖ = |α|‖v‖2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~03 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)

cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

definición

norma

definición (norma)V e.v. sobre Kuna función

‖.‖ : V → [0,∞)

se llama norma en V si para todo v ,w ∈ V y α ∈ K vale:1 ‖αv‖ = |α|‖v‖2 ‖v‖ = 0 ⇔ v = ~03 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (desigualdad triangular)

cuando V tiene una norma, V se llama espacio normado

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 1

normas `p en Rn

V = Rn la función:

‖u‖p = (|u1|p + · · ·+ |un|p)1p

es una norma en Rn

cuando p = 2, se llama norma usual en Rn

cuando p 6= 2 la desigualdad triangular no es sencilla deprobartambién define norma en V = Cn

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 1

normas `p en Rn

V = Rn la función:

‖u‖p = (|u1|p + · · ·+ |un|p)1p

es una norma en Rn

cuando p = 2, se llama norma usual en Rn

cuando p 6= 2 la desigualdad triangular no es sencilla deprobartambién define norma en V = Cn

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 1

normas `p en Rn

V = Rn la función:

‖u‖p = (|u1|p + · · ·+ |un|p)1p

es una norma en Rn

cuando p = 2, se llama norma usual en Rn

cuando p 6= 2 la desigualdad triangular no es sencilla deprobartambién define norma en V = Cn

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 1

normas `p en Rn

V = Rn la función:

‖u‖p = (|u1|p + · · ·+ |un|p)1p

es una norma en Rn

cuando p = 2, se llama norma usual en Rn

cuando p 6= 2 la desigualdad triangular no es sencilla deprobartambién define norma en V = Cn

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 1

normas `p en Rn

V = Rn la función:

‖u‖p = (|u1|p + · · ·+ |un|p)1p

es una norma en Rn

cuando p = 2, se llama norma usual en Rn

cuando p 6= 2 la desigualdad triangular no es sencilla deprobar

también define norma en V = Cn

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 1

normas `p en Rn

V = Rn la función:

‖u‖p = (|u1|p + · · ·+ |un|p)1p

es una norma en Rn

cuando p = 2, se llama norma usual en Rn

cuando p 6= 2 la desigualdad triangular no es sencilla deprobartambién define norma en V = Cn

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 2

norma `∞ en Rn

V = Rn la función:

‖u‖∞ = max{|u1|, . . . , |un|}

es una norma en Rn

también define norma en Cn

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 2

norma `∞ en Rn

V = Rn la función:

‖u‖∞ = max{|u1|, . . . , |un|}

es una norma en Rn

también define norma en Cn

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 2

norma `∞ en Rn

V = Rn la función:

‖u‖∞ = max{|u1|, . . . , |un|}

es una norma en Rn

también define norma en Cn

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 2

norma `∞ en Rn

V = Rn la función:

‖u‖∞ = max{|u1|, . . . , |un|}

es una norma en Rn

también define norma en Cn

Page 43: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 3

norma Lp[a, b]

en V = CR[a,b] o V = CC[a,b] tenemos las normas:

‖f‖p =

(∫ b

a|f (t)|p dt

) 1p

para p > 2, la desigualdad triangular no es sencilla deprobar

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 3

norma Lp[a, b]

en V = CR[a,b] o V = CC[a,b] tenemos las normas:

‖f‖p =

(∫ b

a|f (t)|p dt

) 1p

para p > 2, la desigualdad triangular no es sencilla deprobar

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 3

norma Lp[a, b]

en V = CR[a,b] o V = CC[a,b] tenemos las normas:

‖f‖p =

(∫ b

a|f (t)|p dt

) 1p

para p > 2, la desigualdad triangular no es sencilla deprobar

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 4

norma L∞[a, b]

en V = CR[a,b] o V = CC[a,b] tenemos también la norma:

‖f‖∞ = max{|f (t)| : t ∈ [a,b]}

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

ejemplo 4

norma L∞[a, b]

en V = CR[a,b] o V = CC[a,b] tenemos también la norma:

‖f‖∞ = max{|f (t)| : t ∈ [a,b]}

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

ejemplos

observación

observar como puede haber 6= normas en un mismo espaciovectorial

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

teorema

teoremaV espacio vectorial con producto interno 〈, 〉

⇒ V espacio normado con norma:

‖v‖ =√〈v , v〉

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

teorema

teoremaV espacio vectorial con producto interno 〈, 〉⇒ V espacio normado con norma:

‖v‖ =√〈v , v〉

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

teorema

teoremaV espacio vectorial con producto interno 〈, 〉⇒ V espacio normado con norma:

‖v‖ =√〈v , v〉

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

demostración

más adelante

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

observación 1

no siempre se cumple que

norma→ producto internopara que eso pase se tiene que cumplir:

‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2

regla del paralelogramo(dato anecdótico)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

observación 1

no siempre se cumple quenorma→ producto interno

para que eso pase se tiene que cumplir:

‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2

regla del paralelogramo(dato anecdótico)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

observación 1

no siempre se cumple quenorma→ producto internopara que eso pase se tiene que cumplir:

‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2

regla del paralelogramo(dato anecdótico)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

observación 1

no siempre se cumple quenorma→ producto internopara que eso pase se tiene que cumplir:

‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2

regla del paralelogramo(dato anecdótico)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

observación 1

no siempre se cumple quenorma→ producto internopara que eso pase se tiene que cumplir:

‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2

regla del paralelogramo

(dato anecdótico)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

observación 1

no siempre se cumple quenorma→ producto internopara que eso pase se tiene que cumplir:

‖v + w‖2 + ‖v − w‖2 = 2‖v‖2 + 2‖w‖2

regla del paralelogramo(dato anecdótico)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

observación 2

de los ejemplos 1-4 presentados antes del teorema (`p yLp[a,b]), sólo

‖.‖2 (norma de `2) y‖.‖2 (norma de L2[a,b])

son normas que provienen de un producto interno:〈x , y〉2 = x1y1 + · · ·+ xnyn

〈f ,g〉2 =∫ b

a f (t)g(t) dt

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

observación 2

de los ejemplos 1-4 presentados antes del teorema (`p yLp[a,b]), sólo

‖.‖2 (norma de `2) y

‖.‖2 (norma de L2[a,b])son normas que provienen de un producto interno:

〈x , y〉2 = x1y1 + · · ·+ xnyn

〈f ,g〉2 =∫ b

a f (t)g(t) dt

Page 61: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

observación 2

de los ejemplos 1-4 presentados antes del teorema (`p yLp[a,b]), sólo

‖.‖2 (norma de `2) y‖.‖2 (norma de L2[a,b])

son normas que provienen de un producto interno:〈x , y〉2 = x1y1 + · · ·+ xnyn

〈f ,g〉2 =∫ b

a f (t)g(t) dt

Page 62: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

observación 2

de los ejemplos 1-4 presentados antes del teorema (`p yLp[a,b]), sólo

‖.‖2 (norma de `2) y‖.‖2 (norma de L2[a,b])

son normas que provienen de un producto interno:

〈x , y〉2 = x1y1 + · · ·+ xnyn

〈f ,g〉2 =∫ b

a f (t)g(t) dt

Page 63: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

observación 2

de los ejemplos 1-4 presentados antes del teorema (`p yLp[a,b]), sólo

‖.‖2 (norma de `2) y‖.‖2 (norma de L2[a,b])

son normas que provienen de un producto interno:〈x , y〉2 = x1y1 + · · ·+ xnyn

〈f ,g〉2 =∫ b

a f (t)g(t) dt

Page 64: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema

observación 2

de los ejemplos 1-4 presentados antes del teorema (`p yLp[a,b]), sólo

‖.‖2 (norma de `2) y‖.‖2 (norma de L2[a,b])

son normas que provienen de un producto interno:〈x , y〉2 = x1y1 + · · ·+ xnyn

〈f ,g〉2 =∫ b

a f (t)g(t) dt

Page 65: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

teorema Cauchy-Schwartz

teorema (Cauchy-Schwartz)

V e.v. con producto interno 〈, 〉‖.‖ norma proveniente de 〈, 〉para todo u, v ∈ V :

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖

(desigualdad de Cauchy-Schwartz)la igualdad vale⇔ u‖v

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

teorema Cauchy-Schwartz

teorema (Cauchy-Schwartz)V e.v. con producto interno 〈, 〉

‖.‖ norma proveniente de 〈, 〉para todo u, v ∈ V :

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖

(desigualdad de Cauchy-Schwartz)la igualdad vale⇔ u‖v

Page 67: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

teorema Cauchy-Schwartz

teorema (Cauchy-Schwartz)V e.v. con producto interno 〈, 〉‖.‖ norma proveniente de 〈, 〉

para todo u, v ∈ V :

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖

(desigualdad de Cauchy-Schwartz)la igualdad vale⇔ u‖v

Page 68: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

teorema Cauchy-Schwartz

teorema (Cauchy-Schwartz)V e.v. con producto interno 〈, 〉‖.‖ norma proveniente de 〈, 〉para todo u, v ∈ V :

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖

(desigualdad de Cauchy-Schwartz)

la igualdad vale⇔ u‖v

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

teorema Cauchy-Schwartz

teorema (Cauchy-Schwartz)V e.v. con producto interno 〈, 〉‖.‖ norma proveniente de 〈, 〉para todo u, v ∈ V :

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖

(desigualdad de Cauchy-Schwartz)la igualdad vale⇔ u‖v

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

Primero vamos a tratar el caso V e.v. sobre R

estructura de la prueba:∀u, v ∈ V y t ∈ R: ‖v − tu‖2 ≥ 0 (genialidad de C-S)‖v − tu‖2 polinomio en t de grado 2 siempre no-negativo⇒4(‖v − tu‖) ≤ 0 (desigualdad de Cauchy-Schwartz)

Page 71: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

Primero vamos a tratar el caso V e.v. sobre Restructura de la prueba:

∀u, v ∈ V y t ∈ R: ‖v − tu‖2 ≥ 0 (genialidad de C-S)‖v − tu‖2 polinomio en t de grado 2 siempre no-negativo⇒4(‖v − tu‖) ≤ 0 (desigualdad de Cauchy-Schwartz)

Page 72: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

Primero vamos a tratar el caso V e.v. sobre Restructura de la prueba:∀u, v ∈ V y t ∈ R: ‖v − tu‖2 ≥ 0 (genialidad de C-S)

‖v − tu‖2 polinomio en t de grado 2 siempre no-negativo⇒4(‖v − tu‖) ≤ 0 (desigualdad de Cauchy-Schwartz)

Page 73: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

Primero vamos a tratar el caso V e.v. sobre Restructura de la prueba:∀u, v ∈ V y t ∈ R: ‖v − tu‖2 ≥ 0 (genialidad de C-S)‖v − tu‖2 polinomio en t de grado 2 siempre no-negativo

⇒4(‖v − tu‖) ≤ 0 (desigualdad de Cauchy-Schwartz)

Page 74: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

Primero vamos a tratar el caso V e.v. sobre Restructura de la prueba:∀u, v ∈ V y t ∈ R: ‖v − tu‖2 ≥ 0 (genialidad de C-S)‖v − tu‖2 polinomio en t de grado 2 siempre no-negativo⇒4(‖v − tu‖) ≤ 0 (desigualdad de Cauchy-Schwartz)

Page 75: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

∀u, v ∈ V y t ∈ R

‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉

= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2

≥ 0

⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R

⇔ u‖v

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

∀u, v ∈ V y t ∈ R

‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2

≥ 0

⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R

⇔ u‖v

Page 77: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

∀u, v ∈ V y t ∈ R

‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0

⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R

⇔ u‖v

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

∀u, v ∈ V y t ∈ R

‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0

⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo

⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R

⇔ u‖v

Page 79: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

∀u, v ∈ V y t ∈ R

‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0

⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde

4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R

⇔ u‖v

Page 80: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

∀u, v ∈ V y t ∈ R

‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0

⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0

⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R

⇔ u‖v

Page 81: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

∀u, v ∈ V y t ∈ R

‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0

⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)

además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R

⇔ u‖v

Page 82: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

∀u, v ∈ V y t ∈ R

‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0

⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔

‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R

⇔ u‖v

Page 83: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

∀u, v ∈ V y t ∈ R

‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0

⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R

⇔ u‖v

Page 84: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

∀u, v ∈ V y t ∈ R

‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0

⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R⇔ u‖v

Page 85: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

∀u, v ∈ V y t ∈ R

‖v − tu‖2 = 〈v − tu, v − tu〉= ‖v‖2 − 2t〈u, v〉+ t2‖u‖2 ≥ 0

⇒ es un polinomio real de grado 2 que es siempreno-negativo⇒ el discriminante 4 ≤ 0, donde4 = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ (desig. Cauchy-Schwartz)además |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔‖v − tu‖ = 0 para algún t ∈ R⇔ u‖v

Page 86: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0

o sea

‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉

= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0

tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R

entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea

‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉

= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0

tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R

entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea

‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2

= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0

tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R

entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea

‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0

tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R

entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea

‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0

tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R

entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea

‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0

tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R

entonces queda:

‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea

‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0

tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R

entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0

(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

Caso general K = C, tratamos de copiar el caso R∀u, v ∈ V y α ∈ C: ‖v − αu‖2 ≥ 0o sea

‖v − αu‖2 = 〈v − αu, v − αu〉= ‖v‖2 − α〈u, v〉 − α〈v ,u〉+ |α|2‖u‖2= ‖v‖2 − 2<(α〈u, v〉) + |α|2‖u‖2 ≥ 0

tomamos α = t 〈u,v〉|〈u,v〉| con t ∈ R

entonces queda:‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)

⇒4 ≤ 0donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C

⇔ u||v

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)⇒4 ≤ 0

donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C

⇔ u||v

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)⇒4 ≤ 0donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)

⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C

⇔ u||v

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)⇒4 ≤ 0donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖

y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C

⇔ u||v

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)⇒4 ≤ 0donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C

⇔ u||v

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)⇒4 ≤ 0donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C⇔ u||v

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

demostración

‖v‖2 − 2t |〈u, v〉|+ t2‖u‖2 ≥ 0(polinomio de grado 2 siempre no-negativo)⇒4 ≤ 0donde 4 = 4|〈u, v〉|2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante)⇒ |〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖y |〈u, v〉| = ‖u‖ ‖v‖ ⇔ ‖v − αu‖ = 0 para algún α ∈ C⇔ u||v

Page 101: Producto interno y normajana/gal22010/clase9.pdfnormas ‘p en Rn V = Rn la función: kukp = (ju1jp + + junjp) 1 p es una norma en Rn cuando p = 2, se llamanorma usualen Rn cuando

producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

observación 1

V e.v. sobre R

v ,w ∈ V \ {~0}⇒

〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖

∈ [−1,1]

se define: cos ∠(v ,w) = 〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

observación 1

V e.v. sobre Rv ,w ∈ V \ {~0}

⇒〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖

∈ [−1,1]

se define: cos ∠(v ,w) = 〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

observación 1

V e.v. sobre Rv ,w ∈ V \ {~0}⇒

〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖

∈ [−1,1]

se define: cos ∠(v ,w) = 〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

observación 1

V e.v. sobre Rv ,w ∈ V \ {~0}⇒

〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖

∈ [−1,1]

se define: cos ∠(v ,w) = 〈v ,w〉‖v‖ ‖w‖

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

observación 2

desigualdad de Cauchy-Schwartz aplicada al producto usualen Rn ⇒

(x1y1 + · · ·+ xnyn)2 ≤ (x21 + · · ·+ x2

n )(y21 + · · ·+ y2

n )

la igualdad vale sii ~x‖~y

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

observación 2

desigualdad de Cauchy-Schwartz aplicada al producto usualen Rn ⇒

(x1y1 + · · ·+ xnyn)2 ≤ (x21 + · · ·+ x2

n )(y21 + · · ·+ y2

n )

la igualdad vale sii ~x‖~y

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

observación 3

desigualdad de Cauchy-Schwartz aplicada al producto quegenera ‖.‖2 en L2[0,1]⇒(∫ 1

0f (t)g(t) dt

)2

≤∫ 1

0f 2(t) dt

∫ 1

0g2(t) dt

la igualdad vale sii f (t) = αg(t) para todo t ∈ [0,1]

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

teorema cauchy-schwartz

observación 3

desigualdad de Cauchy-Schwartz aplicada al producto quegenera ‖.‖2 en L2[0,1]⇒(∫ 1

0f (t)g(t) dt

)2

≤∫ 1

0f 2(t) dt

∫ 1

0g2(t) dt

la igualdad vale sii f (t) = αg(t) para todo t ∈ [0,1]

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

desigualdad triangular

corolario de Cauchy-Scwartz

corolario (desigualdad triangular)V e.v. sobre K

⇒‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

desigualdad triangular

corolario de Cauchy-Scwartz

corolario (desigualdad triangular)V e.v. sobre K⇒

‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

desigualdad triangular

demostración

‖v + w‖2 = 〈v + w , v + w〉

= ‖v‖2 + 2<〈v ,w〉+ ‖w‖2≤ ‖v‖2 + 2|〈v ,w〉|+ ‖w‖2 (<(z) ≤ |z| ∀z ∈ C)≤ ‖v‖2 + 2‖v‖ ‖w‖+ ‖w‖2 (desig. C-S)≤ (‖v‖+ ‖w‖)2

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

desigualdad triangular

demostración

‖v + w‖2 = 〈v + w , v + w〉= ‖v‖2 + 2<〈v ,w〉+ ‖w‖2

≤ ‖v‖2 + 2|〈v ,w〉|+ ‖w‖2 (<(z) ≤ |z| ∀z ∈ C)≤ ‖v‖2 + 2‖v‖ ‖w‖+ ‖w‖2 (desig. C-S)≤ (‖v‖+ ‖w‖)2

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

desigualdad triangular

demostración

‖v + w‖2 = 〈v + w , v + w〉= ‖v‖2 + 2<〈v ,w〉+ ‖w‖2≤ ‖v‖2 + 2|〈v ,w〉|+ ‖w‖2 (<(z) ≤ |z| ∀z ∈ C)

≤ ‖v‖2 + 2‖v‖ ‖w‖+ ‖w‖2 (desig. C-S)≤ (‖v‖+ ‖w‖)2

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

desigualdad triangular

demostración

‖v + w‖2 = 〈v + w , v + w〉= ‖v‖2 + 2<〈v ,w〉+ ‖w‖2≤ ‖v‖2 + 2|〈v ,w〉|+ ‖w‖2 (<(z) ≤ |z| ∀z ∈ C)≤ ‖v‖2 + 2‖v‖ ‖w‖+ ‖w‖2 (desig. C-S)

≤ (‖v‖+ ‖w‖)2

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producto interno norma teorema cauchy-schwartz

desigualdad triangular

demostración

‖v + w‖2 = 〈v + w , v + w〉= ‖v‖2 + 2<〈v ,w〉+ ‖w‖2≤ ‖v‖2 + 2|〈v ,w〉|+ ‖w‖2 (<(z) ≤ |z| ∀z ∈ C)≤ ‖v‖2 + 2‖v‖ ‖w‖+ ‖w‖2 (desig. C-S)≤ (‖v‖+ ‖w‖)2