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Producto Escalar El producto escalar de dos vectores se denota por ; también se llama producto punto AyB A B

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Producto Escalar

El producto escalar de dos

vectores

se denota por ; también se

llama producto punto

A y B

A B

A A

BB

BCos

ACos

Se dibujan los vectores cola con cola en el

mismo punto; el ángulo entre sus

direcciones es Φ

Definimos el producto escalar por:

Donde Φ esta entre 0° y 180°

A B ABCos A B Cos

El producto escalar es una cantidad

escalar y puede ser positivo, negativo o

cero

: Pr

0 90

90 180

90 0

Si oducto Escalar

El producto escalar obedece la ley

conmutativa.

Producto Escalar De vectores Unitarios

ABCos BACos A B B A

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ* * * 1 1 0 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ* * * 1 1 90 0

i i j j k k Cos

i j i k j k Cos

Producto escalar en términos de

sus componentes rectangulares

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ*

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ*

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

x y z x y z

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

A B A i A j A k B i B j B k

A i B i A iB j A iB k

A jB i A jB j A jB k

A kB i A kB j A kB k

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ* * *

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ* * *

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ* * *

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

A B A B i i A B i j A B i k

A B j i A B j j A B j k

A B k i A B k j A B k k

x x y y z zA B A B A B A B

El producto escalar permite calcular el

ángulo Φ entre dos vectores

2 2 2 2 2 2

x y z x y

x x y y z z

z

A B ABCos

A B A B A BA BCos

AB A A A B B B

Ejemplo 1

A

5.0B u

5350

4.0A uB

180 50 130

130 53 77

4.0 5.0 77 4.5

:

4.0 53 2.407

4.0 53 3.195

x x y y

x

y

A B ABCos Cos

Otra forma

A B A B A B

A Cos

A Sen

5.0 130 3.214

5.0 130 3.830

2.407 3.214 3.195 3.830

7.736 12.237

4.5

x

y

x x y y z z

B Cos

B Sen

A B A B A B A B

Ejemplo 2

A3715.0B m

4060

12.0A m

Para los vectores

6.0C m

,A B y C

:

; ;

ˆ ˆ2.0 6.0

ˆ ˆ2.0 3.0

Obtenga

A B B C A C

Calculeel anguloentrelojs vectores

A i j

B i j

A

2.0

6.0

2.0

3.0

2 2

2 2

2.0 6.0 6.32

2.0 3.0 3.61

A

B

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2.0 2.0 * 2.0 3.0 * 6.0 2.0 * 6.0 3.0 *

6.32 3.61

i i i j j i j j

4.0 18.0

22.82

22.0

22.82

0.96

A BCos

AB

1 0.96

164.6

Cos

A B ABCos A B

CosAB