Prodotto vettorialeDati due vettori e , il prodotto vettoriale = è un vettore che gode delle proprietà seguenti:• il modulo di è dato da absinθ, dove θ è l’angolo minore di 180° compreso tra e • la direzione di è perpendicolare al piano individuato da e • il verso di è calcolato mediante diverse regole

a

b

c

θ

Si orienta la vite perpendicolarmente al piano individuato dai due vettori. Si ruota la vite nel verso che corrisponde alla rotazione del primo vettore verso il secondo. Il verso di avanzamento della vite indica il verso del prodotto vettoriale

Regola della vite destrorsa o del cavatappi:

a

b

c

La regola della mano destra• Prima formulazione

– Si dispone il pollice lungo il primo vettore

– Si dispone l’indice lungo il secondo vettore

– Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale

• Seconda formulazione (detta da alcuni Regola di Fonzie)– Si chiude a pugno la mano destra

mantenendo sollevato il pollice– Le dita chiuse a pugno devono

indicare il verso in cui il primo vettore deve ruotare per sovrapporsi al secondo in modo che l’angolo θ di rotazione sia minore di 180°

– Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale

a

b

a × b

a

b

a × b

• ha come verso quello secondo il quale si deve disporre un osservatore con i piedi nel punto O d’applicazione dei due vettori affinché possa veder ruotare il vettore u in senso antiorario dell’angolo perché si sovrapponga al vettore v .

a

b

c

O

Proprietà del prodotto vettoriale• Il modulo del prodotto vettoriale è pari all’area del parallelogramma

individuato dai due vettori

a

b

θ

Precisamente, si può considerare il parallelogramma avente per lati i due vettori in esame. Indicando l’angolo convesso formato dai due vettori u,v si riconosce che l’altezza del parallelogramma relativa al lato determinato dal vettore u è data dal prodotto v*sin (confrontare la figura) per cui l’area del parallelogramma è:

Area (; ) = a.b.sen

Il prodotto vettoriale è nullo se i due vettori sono paralleli (θ=0)

Il prodotto vettoriale gode della proprietà anticommutativa:

baab

Prodotto vettoriale in componenti cartesiane

Tenendo conto che i versori degli assi cartesiani sono a due a due perpendicolari fra loro, ed applicando la regola della mano destra, si hanno le seguenti relazioni:

0kkijkjikikj0jjkijjkikji0ii

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

Pertanto, esprimendo i vettori in termini delle loro componenti cartesiane, si ha che:

)bab(ak)bab(aj)bab(aiba xyyxzxxzyzzy ˆˆˆ

zyx

zyx

bbbaaakji

ba

ˆˆˆ

HALLIDAY - capitolo 3 problema 19

Due vettori ed giacciono nel piano xy. I loro moduli sono rispettivamente di 4,50 e 7,30 unità, e le loro direzioni sono rispettivamente di 320° e 85° misurate in senso antiorario dal semiasse positivo delle x. Quali sono i valori di e ?

x

y

O

r

320°

s

85°

2,89)sin(3204,50r3,45)cos(3204,50r

y

x

7,27)sin(857,30s0,636)cos(857,30s

y

x

Prodotto scalare:

18,87,272,89)(0,6363,45)j7,27i(0,636)j2,89i(3,45sr

ˆˆˆˆ

Alternativamente, possiamo calcolare l’angolo minore di 180° fra i due vettori e sfruttare la definizione di prodotto scalare.

x

y

O

r

320°

s

85°α

125)320(36085α

18,8)cos(1257,304,50sr

Prodotto vettoriale:

k26,90,6362,89)(7,273,45k

07,270,63602,893,45kji

sr

ˆˆ

ˆˆˆ

Alternativamente, possiamo calcolare il modulo del prodotto vettoriale con la definizione e stabilire il suo verso usando la regola della mano destra.

x

y

O

r

320°

s

85°

26,9)sin(1257,304,50sr

Applicando la regola della mano destra si può verificare che il prodotto vettoriale è diretto in verso uscente rispetto al piano del foglio, e quindi concorde con il semiasse z positivo