Procesamiento Digital de Señal -...

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Procesamiento Digital de SeñalProcesamiento Digital de Señal

Análisis de Fourier en tiempo continuo

• Teorema de Fourier

• Serie de Fourier

• Transformada de Fourier

• Fórmulas de análisis y de síntesis

• Respuesta en frecuencia de sistemas LTI

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Dominio de FrecuenciaDominio de Frecuencia

• Metodología:– Señales elementales a partir de las cuales se puede construir

por combinación lineal cualquier señal.– Construir la respuesta al sistema a partir de su respuesta a la

señal elemental.• Se introducen los siguientes conceptos:

– Exponenciales complejas como señal básica.– Dualidad entre dominios de tiempo y de frecuencia– Respuesta en frecuencia de sistemas LTI.

• Las señales armónicas son autofunciones– Relación entre la serie y la transformada de Fourier

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Representación de señalesRepresentación de señalesFormas de especificar una señal

Uno de los métodos de representar la señal x(t) es bajo la forma de suma de componentes de distintas frecuencias, cada una de ellas con unaamplitud y una fase inicial

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Representación de señalesRepresentación de señalesEspectro de una señal

Si se analiza la señal x(t) en el dominio de las frecuencias, la función X(f)representa el espectro de la señal. Un espectro debe incluir para poder representar unívocamente la señal no sólo la magnitud sino también la fase inicial

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Fórmula de Fórmula de EulerEuler

• Utilizando la fórmula de Euler,

podemos expresar cualquier función de tipo seno o coseno real como combinación de exponenciales complejas periódicas.

Por ejemplo,x(t)=ACosw0t= =A Re(ejw

0t);

x(t)=ASenw0t= =A Img(ejw0t);

Ae

Aej t j t

2 20 0ω ω+ −

Aje

Ajej t j t

2 20 0ω ω− −

)twsin(jA)twcos(A)tjwexp(A 000 +=

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Espectro de una señal sinusoidal : representación real

x(t) = A cos(ωot + Φ)

Representación mediante fasores complejos

x(t) = A/2 e j(ωot + Φ) + A/2 e -j(ωot + Φ)

En ambos casos se dan dos representacionesAmplitud y fase vs frecuencia

fo

A

fo

Φ

f f

-fo

A

ffo

A/2

-foffo

A/2Φ

− Φ

Representación de señales Representación de señales

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Exponenciales complejasExponenciales complejas

Asociado a cada exponencial compleja existe su conjunto de señales relacionadas armónicamente:– Conjunto de señales periódicas exponenciales cuyas frecuencias

fundamentales son todas múltiplos enteros de una única frecuencia positiva w0:

φk(t)=ejkw0

t, k=0, ±1, ±2,…

donde, para k=0, φk(t) es una cte. y para k<>0, φk(t) es una función periódica con periodo fundamental T ó frecuencia fundamental |k|w0.

– Son funciones ortogonales.

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Exponenciales complejasExponenciales complejas

Una combinación lineal de dichas señales,

también es periódica con periodo T0 y se conoce como la representación por Series de Fourier de x(t) ó ecuación de Síntesis ya que expresa la descomposición de la señal x(t) como combinación lineal de k exponenciales complejas:

– Con amplitudes el conjunto discreto {Xk} y, – Para un conjunto discreto de frecuencias kw0, k=0, ±1, ±2, ...,

relacionadas armónicamente.

∑+∞

−∞=

=k

k tjkwXtx )exp()( 0

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)twsin(jA)twcos(A)tjwexp(A 000 +=

{ })tjwexp(ARe)twcos(A 00 =

2)tjnwexp()tjnwexp(

)tnwcos( 000

−+=

00 f2w π=

{ })tjwexp(AIm)twsin(A 00 =

j2)tjnwexp()tjnwexp(

)tnwsin( 000

−−=

A

∑+∞

−∞=

=k

k tjkwXtx )exp()( 0

dttjkwtxT

XT

Tk )exp()(1

0

2/

2/

−= ∫−

T/1f0 =

Análisis : expansión trigonométricaAnálisis : expansión trigonométrica

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Análisis de FourierAnálisis de Fourier

• El análisis de funciones periódicas como expresión de series armónicas temporales tiene su origen a fines del siglo 18 y comienzos del siglo 19

• En 1822 Jean Baptiste Fourier afirmó que cualquier función periódica f(x) puede ser representada mediante una suma infinita de senos y cosenos

• La determinación de An y Bn es llamada análisis armónico

))()cos(()(0

xnsinBxnAxfn

nn αα∑∞

=

+=

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TeoremaTeorema de Fourierde Fourier

• Toda curva periódica* puede reproducirse exactamentesuperponiendo un número suficiente de curvas armónicas simples

– Una función periódica en el tiempo con frecuencia f, puede expresarse como una superposición de componentes sinusoidales de frecuencias f, 2f, 3f, …, k*f.

• Las componentes sinusoidales que se suman son denominados COMPONENTES de FOURIER

• El componente de Fourier con el mismo periodo que la función original se denomina FUNDAMENTAL.

• Los componentes con frecuencias superiores y múltiplos de la frecuencia fundamental se denominan ARMONICOS

(*) cumpliendo las condiciones de Dirichlet.1.- Integrable en el periodo 2.- con un numero finito de máximos o mínimos en el periodo3.- con un numero finito de discontinuidades

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Serie de Fourier: Una señal periódica de potencia finita se puede descomponer igualmente en una suma de senos y cosenos.

Los coeficientes se calculan:

∑∞

=

++=1

000 )sin()cos(

2)(

kkk tkwbtkwaatx

∫−

==2/

2/0 ,...2,1,0k )cos().(2 T

Tk dttkwtx

Ta

∫−

==2/

2/0 ...3,2,1 )sin().(2 T

Tk kdttkwtx

Tb

a1= 0 b1= 4/π

a3= 0 b3= 4/3π

an=0

Serie de Serie de FourierFourier: expansión trigonométrica: expansión trigonométrica

a2= 0 b2=0

a4= 0 b4=0

a5= 0 b5= 4/5π

a6= 0 b6=0

a7=0 b7=4/7π

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Series de Series de FourierFourier

• La anterior expresión puede darse también en forma polar:

Donde Ak es tal que

• Y en forma exponencial:

Se demuestra que

• Cálculo de los coeficientes

• Relaciones entre coeficientes:

∑∞

=

++=1

00 )cos()(k

kk tkAAtx θω kkk jbaA −=∠ 0θ

∑∞

−∞=

=k

k tjkXtx )exp()( 0ω kkk AX θ∠=21

( ) dttjktxT

XT

k ∫ −= )exp(10ω

00 XA =

)(21

kkk jbaX −=

kk XA 2=

kX de fase de fase k =Θ

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• Espectro de señales periódicas : Los coeficientes X[k] son los coeficientes espectrales de la señal x(t).

• La gráfica de esos coeficientes en función del índice armónico k ó de las frecuencias kω0, se denomina espectro.

• Hay dos gráficos, uno de magnitud con los coeficientes |X[k]| y otro de la fase de X[k].

• La función |X[k]| así como la fase de X[k] son funciones discretas de la frecuencia.

• Es importante saber cuantos armónicos serán necesarios para reconstruir una señal dada. Para ello utilizaremos la relación de Parseval.

• Relación de Parseval

– La potencia contenida en una señal puede evaluarse a partir de los coeficientes de su correspondiente serie de Fourier.

∫ ∑∞

−∞=

==T

kkx Xdttx

TP 22 )(1

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El número, audibilidad y conformación de los armónicos da como resultado el timbre del sonido.

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Series de FourierSeries de Fourier

• Propiedades

[ ] [ ][ ]

[ ]

[ ][ ][ ] [ ]

[ ] [ ]{ }

{ } [ ][ ] [ ][ ] [ ]kYkXtyt

kYkXtytnConvolucio

kXftxtx

mkXmkXtxtfmModulacion

kXkXtx

kXtx

fjkkXtx

kCfjk

kXdttxIntegral

kkXfjktx

kYkXtytx

S

t

↔

∗↔

↔−++

++−↔

=−↔−

↔

−↔−

≠+↔

≠↔′+↔+

∫

)(*)( x

)()( x

)2cos()()(21

21)()2cos(

)(

)kf=fen (armonicos )( Escalado

)2exp()( Retraso

)0( 2

)(

)0( 2)( Derivada

)()(ion Superposic

0

0

*

0

0

00

0

απαα

π

αααπα

π

πβαβα

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d• Una señal muy utilizada (*) es un tren

de pulsos rectangulares, de duración d y que se repiten con período T

• Los coeficientes Xk valen:

• donde sinc z = sin(π.z)/π.z• (*) es importante porque al muestrear una señal en el

mundo real el tren de impulsos de muestreo en realidad físicamente es un tren de pulsos.

Ejemplos de series de FOURIER: Ejemplos de series de FOURIER: tren de pulsostren de pulsos

)/(sin TkdcTAdX k = f

Ad/T

1/T 2/T 3/T... 1/d 2/d 3/d...π

-π

T

A

t

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• Dada onda cuadrada xsq(t) de período T, definida en [-T/2,+T/2] por:– xsq(t) = -1 si -T/2 > t >0 xsq(t) = +1 si 0 > t >T/2

• Los coeficientes an resultan todos nulos, y la expresión de xsq(t) como serie de Fourier queda:

Ejemplo de serie de FOURIER: Ejemplo de serie de FOURIER: onda cuadradaonda cuadrada

...)7sin5sin3sin(sin4)( 071

051

031

0 ++++= tttttxsq ωωωωπ

xsq(t)1er.armónica1er+3er.armónicas1er+3er+5ta armónicas

1er.armónica 3er.armónica 5ta armónica 7ma armónica

-T/2 T/20

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EjerciciosEjercicios

• Estudiar la relación entre señales periodicas en dominio de tiempos y señales discretas en el dominio de frecuencias.

• Características del espectro de una señal periodica real.• Analizar la propiedad de convolución de las series de Fourier desde

un punto de vista intuitivo. Qué significa X(n)*Y(n)• De igual modo tratar de justificar intuitivamente las propiedades de

multiplicación y de desplazamiento en el tiempo• Serie de Fourier de un Tren de pulsos: qué sucede si los pulsos se

espacian cada vez más (T crece)?

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• Efecto Gibbs– Para señales discontinuas, su reconstrucción a partir de las series de

Fourier produce el llamado efecto Gibbs, que consiste en la aparición de un pico del 9% en el punto de discontinuidad. Este efecto se da incluso cuando se emplea un número grande de armónicos para la reconstrucción.

– Si queremos aproximar una función periódica con discontinuidades que tiene infinitos armónicos, tendremos que truncar la función hasta el armónico N. Esto nos va a producir el efecto Gibbs.

– Para eliminarlo se utilizan las llamadas ventanas espectrales que suavizan la reconstrucción de la función.

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Análisis de FourierAnálisis de Fourier

Transformada de FOURIER

(directa e inversa)

En tiempo continuo

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• Se entiende por Transformada de Fourier a la representación de señales arbitrarias a partir de exponenciales complejas.

• La idea es: Una señal aperiódica es el límite de una señal periódica cuando su periodo tiende a infinito.

Transformada de Transformada de FourierFourier

tT1-T1-T0 T0 2T0

x(t)

tT1-T1

x(t)

Si analizamos ahora la representación por series de Fourier de , tendremos:

x(t)=Σk=-∞..+∞ Xkejkω0t

Xk= Cuando x(t)->x(t) y T0-> ∞∫−−2/

2/0

0

0

0)(1 T

T

tjk dtetxT

ω

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• Queremos ampliar el concepto de series de Fourier a señales no periódicas. Podemos visualizar una señal no periódica como una señal continua de periodo infinito :– El espaciado entre frecuencias se aproxima a 0 y es por tanto

una función continua.– La señal pasa a ser de potencia a señal de energía.– Los coeficientes X[k] pasan a ser un continuo de valores.

• Se define la Transformada de Fourier de x(t) como

( ) [ ] ∫∞

∞−∞→

−=⋅= dtftjtxkXTfX ST)2exp()(lim π

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Ecuación de Síntesis o Transformada Inversa de Fourier

Ecuación de Análisis oTransformada de Fourier de x(t)

• Al igual que en el caso de x(t) periódica, la ecuación de Análisis expresa la descomposición de la señal x(t) como combinación lineal de exponenciales complejas.

• En el caso periódico dichas exponenciales tienen como amplitudes el conjunto discreto {Xk} y se dan para un conjunto discreto de frecuencias kω0, k=0, ±1, ±2, ..., relacionadas armónicamente.

x t X e dj t( ) ( )=−∞

∞

∫1

2πω ωω

X x(t e dtj t( ) )ω ω= −

−∞

∞

∫


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En el caso de señales no periódicas: 1. dichas exponenciales se dan en un continuo de frecuencias y, 2. su amplitud es X(ω)(dω/2π), de acuerdo con la ecuación de Síntesis o Transformada de Fourier de x(t).Por analogía con el caso periódico, la transformada X(ω) de x(t) se conoce como el espectro de x(t) y expresa cómo x(t) está compuesta por diferentes sinusoides a diferentes frecuencias. De nuevo recuérdese que X(ω) toma en general valores complejos, de forma que su representación gráfica supone la representación tanto de su magnitud X(ω) ,

como de su fase ∠X(ω)

22 )Img(X(+)Re(X( ωω

)Re(X()Img(X(arctg

ωω


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La transformada de FOURIERLa transformada de FOURIER

• La transformada de FOURIER sobre señales continuas y reales permite convertir una señal no necesariamente periódica del dominio temporal al dominio espectral de las frecuencias. Genera una función compleja que en sus partes real e imaginaria transporta información de amplitud y fase de las distintas componentes de la señal analizada

• Usando la igualdad de Euler e j2πt = cos(2πft) + j.sen(2πft), para cada valor de fla integral calcula dos términos: uno real con la correlación entre h(t) y cos(2πft)y otro imaginario con la correlación entre h(t) y sen(2πft)

• Esta transformación y su inversa son llamadas Fourier Transform pair, y permiten pasar de los dominios del tiempo a las frecuencias y viceversa

dtethfH tfj .).()( ..∫∞

∞−

−= π2 dfefHth ftj .).(21)( 2.∫

∞

∞−

= π

π

Transformada de FourierTransformada de Fourier Transformada inversa de FourierTransformada inversa de Fourier

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Propiedades de la Propiedades de la Transformada de FOURIERTransformada de FOURIER

• SIMETRÍA:1. Si h(t) es una función par, H(f) es real y par. En

contraposición, si h(t) es una función impar, H(f) es imaginaria e impar

2. Si h(t) es una señal real, la magnitud de H(f) es una función par, y la fase de H(f) una función impar.

Notas:– para la propiedad 1, recordar los fasores conjugados– para la propiedad 2, cuanto vale la fase inicial de cada

componente de Fourier si la función es par? Y si es impar?

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• ENERGÍA Y DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA:– La energía que transporta una señal puede ser evaluada

• integrando la energía instantánea de la señal a lo largo del tiempo• integrando la energía transportada por cada una de las

componentes de frecuencia, a lo largo del espectro– Como ambos valores deben ser idénticos surge:

– esta igualdad es llamada teorema de Parseval, y |H(f)|2 es llamada la densidad espectral de energía de h.

[ ] [ ] dffHdtthE22

∫∫∞

∞−

∞

∞−

== )()(

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• SUPERPOSICION: TF[ a1x1(t) + a2x2(t) ] == a1X1[ f ] + a2X2[ f ]el espectro de la suma de dos señales es igual a la suma de los espectros individuales. Entonces, una señal compleja puede separarse en partes más simples y su espectro ser calculado por separado

• CAMBIO DE ESCALA DE TIEMPO: TF[ x(at) ] == |a|-1.X[ f/a ]si la escala de tiempo de una señal es modificada por un factor “a” los ejes de frecuencias y amplitud del espectro también cambian con la inversa de dicho factor

• INVERSION TEMPORAL: TF[ x(-t) ] == X[ -f ] = X*[ f ]si el eje del tiempo se invierte lo mismo pasa con los ejes de frecuencias en el espectro. Es un caso del cambio de escala de tiempo con a=-1

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• DEMORA (TIME DELAY): TF[ x(t-∆) ] == X[ f ].exp(-jπf∆)

demorar una señal en el tiempo equivale a modificar la fase de las componentes del espectro un angulo proporcional al tiempo de demora y a la frecuencia de la componente

NOTA: en contrapartida, si el retardo de fase no se hace proporcional a la frecuencia de la componente, las demoras de las distintas componentes son también distintas, y la señal se deforma

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• TRASLACION DE FRECUENCIA: TF[ x(t).exp(j2πf0t) ]=X[ f-f0 ]si una señal x(t) es multiplicada por una sinusoide compleja de frecuencia f0, el espectro original se desplaza ese valor f0 en el eje de frecuencias

• MODULACION: TF[ x(t).cos (2πf0t) ] = ½X[f-f0]+½X[f+f0]esta propiedad surge de las de traslación de frecuencia y de simetría. En el espectro aparecen las dos “bandas laterales”.

NOTA: si la señal se multiplica por una sinosoide compleja no aparecen bandas laterales sino solo un desplazamiento en frecuencia!!! Esto es de suma importancia en comunicaciones por BLU (Banda Lateral Única).

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TransformadaTransformada de Fourierde Fourier

Mas propiedades de la Transformada de Fourier

{ }{ }{ }{ }{ }

{ }

=

+=

=−

′=−×==′

+=+

∫∞−

αω

αα

δπωω

ωππωππ

ωωωω

ωω

XtxEscalado

wXXj

dttxIntegral

XtxtjXttxjt

XjtxXjtxDerivada

bYaXtbytaxionSuperposic

t

nnn

nn

1)(

)()0()(1)(

)()2()()2( )(2)(2

)()()( )()(

)()()()(

F

F

FFFFF ( ){ } ( )

( ){ } ( )( ) ( ){ } ( ) ( )( ) ( ){ } ( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )[ ]ωω

ωωπ

ωωπ

ωωαωα

ω

πα

ωα

XjalvalorInicidelTeorema

dXdttxParseval

YXtytx

YXtytxnConvoluciofXtxe

XetxentoDesplazamitj

j

∞→

∞

∞−

∞

∞−

−

=

=

∗=

=∗−=

=−

∫∫

lim0 x

1

21

+

22

2

F

FFF

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Eejmplos de espectrosEejmplos de espectros

• Un impulso: si x(t)==δ(0) entonces X(ω) = 1

Un impulso posee contribuciones de igual magnitud en todas las frecuencias

• Un pulso rectangular: si x(t)==1 para |t|<T1 y x(t)==0 en todos los otros casos, entonces X(ω)=2.(sen(ωT1)/ω)

el espectro es nulo en todos los casos en que ω=kπ/T1 y posee la forma de una cosinusoide amortiguada

t-t

f-f

T1-T1

π/T1

2π/T1

3π/T1

∞

t-t

f-f

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• Relación entre las Series y la Transformada de Fourier:– X(ω) es la función envolvente de X[k].– Si muestreamos X(ω) a intervalos f0, la función resultante es

el espectro de una señal periódica de periodo T0=1/f0.

Es decir, muestrear en el dominio de frecuencia se corresponde con señales periódicas en el dominio temporal.

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• Podemos utilizar la Transformada de Fourier para analizar la respuesta a sistemas LTI, valiéndonos del hecho de que convolución en el tiempo equivale al producto en el dominio de frecuencia.

• Si la respuesta y(t) a un sistema con una respuesta a impulso h(t)y entrada x(t) con condiciones iniciales cero es

Aplicando la Transformada de Fourier a ambos miembros,

H(ω)=Y(ω)/X(ω) es la función de Transferencia del sistema. Esta nos permite analizar la respuesta en frecuencia del sistema.

• Como se vió en las Series de Fourier, se puede analizar la respuesta en el estado estacionario del sistema a partir de H(ω).

)()()( thtxty ∗=

)()()( ωω HXwY =

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Respuesta del sistemaRespuesta del sistema

• Respuesta de un sistema a entradas periódicas– Tenemos un sistema cuya respuesta a impulso es h(t). Si sometemos este

sistema a una entrada armónica x(t)=exp(jωt), la respuesta y(t) será la convolución de h(t) con x(t):

– Como toda señal xp(t) puede ser expresada como una suma infinita de armónicos y aplicando el principio de superposición:

– La respuesta del sistema a una señal periódica es también una señal periódica de la misma frecuencia que la señal de entrada, pero con diferentes magnitudes y fases.

– La respuesta de un sistema a entradas armónicas nos da la respuesta estacionaria del sistema.

{ } )()()exp()()exp()(exp)()( ωλωλλωλλωλ Htxdjhtjdtjhty ∫∫∞

∞−

∞

∞−

=−=−=

[ ] [ ] [ ]∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

=↔=k k

SpSp tjkkHkXtytjkkXtx )exp()()exp()( 000 ωωω

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Aspectos prácticos del análisis de Aspectos prácticos del análisis de FourierFourier

• Con esta herramienta podemos analizar una señal periódica en términos de su contenido en frecuencias o espectro.

• Se establece la dualidad entre tiempo y frecuencia, de forma que operaciones realizadas en el dominio temporal tienen su dual en el dominio de frecuencia.

• En sistemas LTI los componentes de Fourier son las AUTOFUNCIONES del sistema

)()()()()(

)()(

)(

wHautovalorconnautofuncióunaestxtxwHty

ewHtyentonces

etx

jwt

jwt

⋅=⋅=

=

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• Limitaciones de la Transformada de Fourier– El sistema debe tener condiciones iniciales cero.– Entradas que no son señales de energía requieren el uso de

impulsos.• En la situación anterior se puede utilizar la Transformada de

Laplace.

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