Ley de Gauss

Fsica II

Capacitancia y dielctricosEjercicios

Capacitores y capacitancia1. Un capacitor de placas paralelas con aire tiene una capacitancia de 500pF y una carga de 0,346C de magnitud en cada placa. stas estn separadas una distancia de 0,453mm. a) Cul es la diferencia de potencial entre las placas? b) Cul es el rea de cada placa? c) Cul es la magnitud del campo elctrico entre las placas? d) Cul es la densidad de carga superficial de cada placa?

Rta.: a) 692 V; b) 0,0256 m2; c) 1,53 106 V/m; d) 1,35 105 C/ m2.2. Las placas de un capacitor de placas paralelas estn separadas 4,79mm y cada una tiene una carga de 5,16108C. Las placas estn en el vaco. El campo elctrico entre las placas tiene una magnitud de 4,77106V/m. a) Cul es la diferencia de potencial entre las placas? b) Cul es el rea de cada placa? c) Cul es la capacitancia?

Rta.: a) 22848 V; b) 0,00122 m2; c) 2,25 pF.3. Un capacitor tiene una capacitancia de 6,17F Cunta carga debe eliminarse para bajar la diferencia de potencial entre las placas en 50V?

Rta.: 3,09 104 C.4. Un capacitor esfrico est formado por dos cascarones conductores esfricos concntricos separados por el vaco. La esfera interior tiene un radio de 20cm y la capacitancia es de 150pF. a) Cul es la distancia entre las superficies de las dos esferas? b) Si la diferencia de potencial entre las dos esferas es de 220V, cul es la magnitud de la carga en cada esfera?

Solucina)

Rta.: a) 34,8 mm; b) 3,3 108 C.5. Un capacitor esfrico est formado por dos cascarones conductores esfricos concntricos separados por el vaco. La esfera interior tiene un radio de 12 cm y la exterior, de 15cm. Se aplica una diferencia de potencial de 140V al capacitor. a) Cul es la capacitancia del capacitor? b) Cul es la magnitud de E en r=12,1cm, justo fuera de la esfera interior? c) Cul es la magnitud de E en r=14,9cm, justo dentro de la esfera exterior? d) En un capacitor de placas paralelas E es uniforme en la regin entre las placas, excepto en los bordes. Esto tambin es cierto para un capacitor esfrico?

Solucina)

b)

Rta.: a) 66,7 pF; b) 5740 V/m; c) 3786 V/m;6. Un cable coaxial utilizado para conectar un aparato de TV a una videocasetera es un capacitor cilndrico de capacitancia por unidad de longitud de 69pF/m. a) Encuentre el cociente de los radios de los conductores interior y exterior. b) Si la diferencia de potencial entre los conductores interior y exterior es de 2V, cul es la magnitud de la carga por unidad de longitud en los conductores?

Solucina)

b)

Rta.: a) 2,24; b) 1,38 1010 C.7. Un capacitor cilndrico tiene un conductor interior de 2,5mm de radio y un conductor exterior de 4mm de radio. El capacitor completo viene 3,5m de largo. a) El potencial del conductor externo es 350mV mayor que el del conductor interior. a) Encuentre las cargas (magnitud y signo) sobre los dos conductores. b) Cul es la capacitancia por unidad de longitud?

Rta.: a) 1,45 1010 C; b) 1,18 1010 F/m.Capacitores en serie y en paralelo8. Dos capacitores C1=4F y C2=6F estn conectados en serie a una diferencia de potencial V=+67,5V. Calcule a) la carga en cada capacitor; b) la diferencia de potencial a travs de cada capacitor.

Rta.: a) 1,62 104 C; b) V1=40,5 V; V2=27 V.9. Dos capacitores C1=4F y C2=6F estn conectados en paralelo a una diferencia de potencial V=+67,5V. Calcule a) la carga en cada capacitor; b) la diferencia de potencial a travs de cada capacitor.

Rta.: a) Q1=2,7 104 C; Q2=4,05 104 C; b) 67,5 V.10. En la figura, C1=2F, C2=4F y C3=9F. El potencial aplicado es Vab=+61,5V. Calcule a) la carga en cada capacitor; b) la diferencia de potencial a travs de cada capacitor; c) la diferencia de potencial entre los puntos a y d.

Rta.: a) Q1=7,38105C; Q2=1,476104C; Q3=2,214104C; b)V1=V2=36,9V; V2=24,6V; c) Vad=V1.11. En la figura, cada capacitor tiene C=2F y Vab=+40,4V. Calcule a) la carga en cada capacitor; b) la diferencia de potencial a travs de cada capacitor; c) la diferencia de potencial entre los puntos a y d.

Rta.: a) Q1=Q2=1,616105C; Q3=3,232105C; Q4=4,848105C b)V1=V2=8,08V; V3=16,16V; V4=24,24V; c) Vad=V3.12. Para la situacin descrita en la figura, suponga que Vab=+25V. Calcule a) la carga en cada capacitor; b) la diferencia de potencial a travs de cada capacitor. c) La carga en la red completa es igual a Q=CeqVab, donde Ceq=6F. Explique por qu Q es igual a la carga en el capacitor de 9F. Explique por qu Q tambin es igual a la suma de las cargas en los capacitores de 3F, 11F y cualquiera de los capacitores de 12F o de 6F.

Rta.: a) Q12=Q6=3,332105C; Q3=2,5105C; Q11=9,163105C; Q9=1,5104C; b)V12=2,78V; V6=5,55V; V3=V11=8,33V; V9=16,67V.13. Suponga que el capacitor de 3F de la figura anterior se sustituye por uno distinto y que ste cambia la capacitancia equivalente entre los puntos a y b a 8F Cul es la capacitancia del nuevo capacitor?

Rta.: 57 F.14. Dos capacitores de placas paralelas con vaco tienen una separacin entre placas d1 y d2 y la misma rea A para las placas. Muestre que cuando los capacitores estn conectados en serie, la capacitancia equivalente es igual que para un solo capacitor con placas de rea A y separacin d1+d2.

Solucin

15. Dos capacitores de placas paralelas con vaco tienen placas de rea Al y A2 e igual separacin entre placas, d. Muestre que cuando los capacitores estn conectados en paralelo, la capacitancia equivalente es igual que para un solo capacitor cuyas placas tienen rea Al+A2 y una separacin d entre ellas.

Solucin

Almacenamiento de energa en capacitores y energa del campo elctrico16. Un capacitor de aire est hecho con dos placas paralelas separadas una distancia de 1,20mm. La magnitud de la carga en cada placa es de 0,024C cuando la diferencia de potencial es de 200V a) Cul es la capacitancia? b) Cul es el rea de cada placa? c) Cul es el mximo voltaje que se puede aplicar sin que haya ruptura dielctrica? (La ruptura dielctrica del aire se presenta cuando E=3106V/m.) d) Cuando la carga es de 0,024C, cul es energa total almacenada?

Solucind)

Rta.: a) 120 pF; b) 0,0163 m2; c) 3600 V; d) 2,4 106 J.17. Un capacitor de 300F est cargado a 276V. Despus se conecta un cable entre las placas. Cuntos joules de energa trmica se producen a medida que el capacitor se descarga, si toda la energa almacenada se utiliza para calentar el cable?

Solucin

Rta.: 11,4 J.

18. Un capacitor de aire que consiste en dos placas paralelas muy juntas tiene una capacitancia de 1000pF. La carga en cada placa es de 4,36C. a) Cul es la diferencia de potencial entre las placas? b) Si la carga se mantiene constante, cul ser la diferencia de potencial entre las placas si la separacin se duplica? c) Cunto trabajo se requiere para duplicar la separacin?

Rta.: a) 4360 V; b) 8720 V; c) 9,5103J.19. Un capacitor de placas paralelas tiene una separacin de placas de 4mm y est cargado a una diferencia de potencial de 500V. Calcule la densidad de energa en la regin comprendida entre las placas en unidades de J/m3.

Solucin

Rta.: 0,069 J/m3.

20. a) Encuentre la densidad de energa del campo elctrico en un punto situado a 25cm de una carga puntual aislada q=4nC. b) Si la carga puntual del apartado (a) fuera q=4nC, qu efecto tendra en la densidad de energa del campo elctrico? Explique.

Solucin

Rta.: 1,47106 J/m3.21. Un capacitor cilndrico de aire de 25m de longitud almacena 5,4109J de energa cuando la diferencia de potencial entre los dos conductores es de 3V. a) Calcule la magnitud de la carga en cada conductor. b) Calcule el cociente de los radios de los conductores exterior e interior.

Solucina)

b)

Rta.: a) 3,6 109 C; b) 3,18.22. Un capacitor esfrico est formado con dos cascarones conductores esfricos concntricos separados por el vaco. La esfera interior tiene un radio de 12cm y la separacin entre las esferas es de 2cm. La magnitud de la carga en cada esfera es de 5,30nC. a) Cul es la diferencia de potencial entre las dos esferas? b) Cul es la energa del campo elctrico almacenada?

Solucina)

b)

Rta.: a) 56,8 V; b) 1,5 107 J.23. Considere el capacitor esfrico del ejercicio 5. a) Cul es la densidad de energa u en r=12,1cm, justo fuera de la esfera interior? b) Cul es u en r=14,9cm, justo dentro de la esfera exterior? c) Para un capacitor de placas paralelas, la densidad de energa es uniforme en la regin comprendida entre las placas, excepto cerca del borde de las placas. Esto tambin es cierto para un capacitor esfrico?

Solucin

Rta.: a) 1,45 104 J/m3; b) 6,34 105 J/m3.24. Un capacitor de placas paralelas tiene una energa almacenada de 6,45J. La separacin entre las placas es de 1,40mm. Si la separacin se disminuye a 0,70mm, diga cul es la energa almacenada si a) el capacitor se desconecta de la fuente de potencial, de modo que las cargas sobre las placas permanecen constantes; b) el capacitor permanece conectado a la fuente de potencial, de modo que la diferencia de potencial entre las placas permanece constante.

Solucin

a)

b)

Rta.: a) la mitad; b) el doble.25. Fuerza sobre una placa de capacitor. Un capacitor de placas paralelas con rea de placa A y separacin x tiene cargas +q y -q sobre sus placas. El capacitor se desconecta de la fuente de carga, de modo que la carga sobre las placas permanece constante. a) Cul es la energa total almacenada en el capacitor? b) Las placas se separan una distancia adicional dx. Cul es ahora la energa total? c) Si F es la fuerza con la que las placas se atraen entre s, entonces la diferencia de las energas de los apartados (a) y (b) debe ser igual al trabajo dW=Fdx realizado al separar las placas. Muestre que F=q2/20A. d) Explique por qu F no es igual a qE, siendo E el campo elctrico entre las placas.d) Las cargas en la placa se ubican en una delgada capa del lado interno del capacitor. El campo elctrico vale E entre las placas y cero dentro de la placa, por lo que su valor medio es E/2. (ver Feynman vol II pg. 8-6)Rta.: a) ; b) .

26. Un capacitor C1=20F est cargado a una diferencia de potencial V0=900V. Los terminales del capacitor cargado se conectan a los de un capacitor descargado C2=10F. Calcule a) la carga original del sistema; b) la diferencia de potencial final a travs de cada capacitor; c) la energa final del sistema; d) la disminucin de energa cuando se conectan los capacitores. A dnde ha ido la energa "perdida"?

Solucinb)

Rta: a) 0,018C; b) 600 V; c) 5,4 J; d) 2,7 J.Dielctricos27. El dielctrico que se va a utilizar en un capacitor de placas paralelas es una variedad de goma que tiene una constante dielctrica de 3,40 y un campo de ruptura de 2107V/m. El capacitor debe tener una capacitancia de 1,37nF y debe soportar una diferencia de potencial mxima de 6000V. Cul es el rea mnima que deben tener las placas?

Rta.: 0,0137 m2.28. Deduzca que la densidad de energa elctrica para un capacitor de placas paralelas con un material dielctrico entre las placas es

29. Dos placas paralelas tienen cargas de igual magnitud y signo opuesto. Cuando se hace el vaco en el espacio comprendido entre las placas, el campo elctrico es E=3,60105V/m. Si el espacio entre las placas se llena con un dielctrico, E=1,8105V/m. a) Cul es la densidad de carga en cada superficie del dielctrico? b) Cul es la constante dielctrica?

Solucin

Rta.: a) 1,59103C/m2; b) 2.

30. Dos placas conductoras idnticas cargadas con carga de signo opuesto estn separadas por un dielctrico de 1,60mm de espesor; el dielctrico tiene una constante dielctrica de 4,50. El campo elctrico resultante en el dielctrico es de 1,40106V/m Calcule a) la carga por unidad de rea sobre cada placa conductora; b) la carga por unidad de rea sobre las superficies del dielctrico.

Solucina)

b)

Rta.: a) 5,58105C/m2; b) 4,34105C/m2; c)

31. Cuando un capacitor de aire de 255nF se conecta a una batera, la energa que almacena es de 1,99105J. Mientras el capacitor se mantiene conectado a la batera, se introduce un trozo de dielctrico que llena completamente el espacio entre las placas. Esto aumenta la energa almacenada en 2,69105J. a) Cul es la diferencia de potencial entre las placas? b) Cul la constante dielctrica del bloque dielctrico?

Solucina)

b)

Rta.: a) 12,5 V; b) 2,35.

32. Dos placas paralelas, cada una de 40cm2 de rea, estn cargadas con cargas de signo opuesto y magnitud 1,80107C. El espacio entre las placas est ocupado por un dielctrico y el campo elctrico dentro de ste es de 3,40105V/m. a) Cul es la constante dielctrica? b) Cul es la carga total inducida en cualquiera de las caras del dielctrico?

Solucinb)

a)

Rta.: a) 15; b) 1,68107C.33. Un capacitor tiene placas paralelas de 12cm2 de rea separadas una distancia de 2mm. El espacio entre las placas est lleno con polipropileno (Constante dielctrica K=2,2, campo de ruptura 7107V/m). a) Encuentre la permitividad del polipropileno. b) Encuentre el mximo voltaje permisible a travs del capacitor para evitar la ruptura dielctrica. c) Cuando el voltaje es igual al valor encontrado en el apartado (b), encuentre la densidad de carga superficial en cada placa y la de densidad de carga superficial inducida en la superficie del dielctrico.

Rta.: a) 1,9471011F/m; b) 140000V; c) 1,36103C/m2 y 7,43104C/m2.34. Se establece una diferencia de potencial constante de 24V a travs de los terminales de un capacitor de aire de placas paralelas de 0,25F. a) Se inserta entre las placas una hoja de Mylar (Constante dielctrica K=3,1) que llena el espacio. Al hacerlo, cunta carga adicional fluye hacia la placa positiva del capacitor? b) Cul es la carga total inducida en cualquier cara de la hoja de Mylar? c) Qu efecto tiene la hoja de Mylar sobre el campo elctrico entre las placas? Explique cmo puede conciliar esto con el aumento de carga sobre las placas que hace que aumente el campo elctrico.

Solucina)

b) Como la diferencia de potencial se mantiene constante, el campo elctrico entre las placas tambin permanece constante. Llamando 0 y a las densidades de carga en las placas antes y despus, respectivamente, de colocar el dielctrico y i a la densidad de carga inducida en el dielctrico:

Multiplicando por el rea:

c) Mantiene constante E. Como el capacitor contina conectado a la batera, la misma cantidad de carga que se induce sobre el dielctrico tambin se agrega sobre las placas, para mantener la diferencia de potencial constante. Como consecuencia, mayor cantidad de carga sobre las placas provoca el mismo campo elctrico que haba antes de colocar el dielctrico (o sea, tenemos un dispositivo con mayor capacidad).

Rta.: a) 1,26 105 C; b) 1,26 105 C.Ley de gauss en dielctricos35. El volumen entre las placas de un capacitor de placas paralelas est lleno con un plstico de constante dielctrica K. La magnitud de la carga sobre cada placa es Q. Cada placa tiene rea A y la distancia entre las placas es d. a) Use la ley de Gauss para calcular la magnitud del campo elctrico en el dielctrico. b) Use el resultado obtenido en el apartado (a) para calcular la diferencia de potencial entre las los placas. c) Utilice el resultado obtenido en el apartado (b) para determinar la capacitancia del capacitor. Compare el resultado con la K=C/C0.

Solucina)

b)

Rta: a) ; b)

36. Una carga puntual q se encuentra dentro de un material slido de constante dielctrica K. a) Use la ley de Gauss para hallar la magnitud del campo elctrico debido a la carga puntual, a una distancia d de sta. b) Use el resultado obtenido en el apartado (a) y la ley de Gauss en su forma original (), para determinar la carga total (libre y ligada) dentro de una esfera de radio d centrada en la carga puntual q. c) Encuentre la carga ligada total dentro de la esfera descrita en el apartado (b).

Solucina)

b)

c)

Rta.: a) ; b) q/d; c)

Problemas

37. Los flashes electrnicos integrados en las cmaras contienen un capacitor para almacenar la energa utilizada para producir el destello. En uno de estos dispositivos, el destello dura t=1/100s con una potencia media de salida de luz de P=600W. a) Si la conversin de energa elctrica en luz tiene una eficiencia del 95% (el resto se convierte en energa trmica), cunta energa debe almacenarse en el capacitor para producir un destello? b) Si la capacitancia del capacitor del dispositivo es de 0,754mF, cul es la diferencia de potencial entre sus placas cuando el capacitor ha almacenado la cantidad de energa calculada en el apartado (a)?

Solucina)

b)

Rta.: a) 6,32 J; b) 129 V.d38. Teclado de computadora. En cierto tipo de teclado de computadora, cada tecla est conectada a una pequea placa de metal que sirve como una de las placas de un capacitor de aire de placas paralelas. Cuando se presiona una tecla, la separacin entre las placas disminuye y aumenta la capacitancia. Se utiliza un circuito electrnico para detectar el cambio de capacitancia y determinar qu tecla se presion. En un teclado determinado el rea de cada placa metlica es A=49mm2 y la separacin entre las placas es d1=0,6mm antes de que se presione la tecla. Si el circuito puede detectar un cambio de capacitancia C=0,3pF, cunto debe presionarse la tecla antes de que el circuito detecte la presin?

Solucin

Rta.: 0,176 mm

39. Un conductor cilndrico largo tiene radio ra y una densidad lineal de carga +. Est rodeado por un cascarn coaxial cilndrico conductor de radio interno rb y densidad de carga lineal . Suponga que existe vaco en el espacio entre los cilindros. a) Demuestre que la capacitancia por unidad de longitud es:

b) Sea d=rbra el espacio entre los conductores interior y exterior. Sean los radios de los conductores ligeramente diferentes, de modo que d