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 pág. 1 1. Demostrar que el operador   momento angular orbital es hermitiano. Solución: El operador   será hermitiano siempre y cuando cumpla la condi ción de que cada uno de sus componentes sea hermitiano. Representando cada componente del operador   en su f orma matricial tenemos que:   Para este tipo de representación la condición de hermeticidad se cumple cuando:    Apli cando esta condición a cada componente de   tenemos: y     y     y   De todo lo anterior podemos notar que cada componente cumple con la condición (1). Si   son hermitianos    es hermitiano.

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operador L momento angular orbital. calculo del valor esperado de la energía cinética y la energía potencial del átomo de hidrogeno en su estado fundamental. Considerando que un electrón en él a tomo de hidrogeno en su estado fundamental tiene una indeterminación de posición ∆r~a y una indeterminación de momentum ∆p, demostrar que el mínimo de esa energía corresponde al radio y al a energía de Bohr.

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1.  Demostrar que el operador   momento angular orbital es hermitiano.

Solución: 

El operador   será hermitiano siempre y cuando cumpla la condición de que cada uno de sus 

componentes sea hermitiano.

Representando cada componente del operador  en su f orma matricial tenemos que: 

     

Para este tipo de representación la condición de hermeticidad se cumple cuando: 

   Aplicando esta condición a cada componente de  tenemos: 

y       

y       

 De todo lo anterior podemos notar que cada componente cumple con la condición (1).

Si   son hermitianos   es hermitiano.

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2.  Demostrar que:   

Solución: 

     Entonces:  

Tomando  tenemos: 

   

 

 

 

Despejando:   de la ecuación de schrödinger: 

 

 

 

 

 

Aplicando la segunda identidad de Green al 1er

 término del 2do miembro tenemos: 

 

 

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La integral de volumen se transf orma en integral de superf icie y se anula ya que se tiene 

extensión inf inita y en esta región tanto  como   se anulan.

 

 

 

 

 

 Análogamente para los componentes Z e Y: 

   

Por la analogía clásica con la def inición  de momento angular: 

     

 

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3.  Demostrar que el operador  viene dado por la siguiente expresión: 

 

Solución: 

Hacemos uso de la representación de 

 en coordenadas esf éricas 

.

y   

y   

y   

Teniendo en cuenta que   

 

   

 

 

Sumando (1),(2)y(3) tenemos: 

 

 

 Donde :

 : 

 

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4.  Hallar la representación matricial de los operadores momento cuando   .

Solución: 

En teoría se sabe que los elementos de matriz de los operadores 

están def inidos 

como: 

y  Para  :       y  Para   :     y  Para  :         y  Y que para:         

Además se debe verif icar la siguiente condición: 

 Donde J puede tomar tanto valores enteros como semienteros.

De lo anterior para nuestro caso tenemos que: 

   

Calculando la matriz de  : y  Usando (1) tenemos:

 

     

 

Realizando los mismos procedimientos para  los demás elementos de la matriz vemos que al f inal 

nos resulta: 

   

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Calculando la matriz de  : y  Usando (2) tenemos:

 

       

Realizando los mismos procedimientos para  los demás elementos de la matriz vemos que al f inal 

nos resulta: 

 

 

Calculando la matriz de  : y  Usando (3) tenemos:

   

                

 

Realizando los mismos procedimientos para  los demás elementos de la matriz vemos que al f inal 

nos resulta: 

       

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Calculando la matriz de : y  Usando (3) tenemos:

 

   

           

 

Realizando los mismos procedimientos para  los demás elementos de la matriz vemos que al f inal 

nos resulta: 

       

Además sabemos que  y  están dados por: 

 

Luego   serán: 

         

         

                   

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5.  Una macropartí cula esta en el estado  calcular   para este estado y

demostrar que satisf ace el principio de incertidumbre  .Desarrollo: 

De la relación de incertidumbre de Heisemberg: 

   Reemplazando  lo pedido será de la siguiente manera:  

 Donde:   se obtiene:  

 

   

 

 

 Finalmente:    

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6.  Calcular el valor esperado de la energía cinética y la energía potencial del átomo de 

hidrogeno en su estado fundamental.

Solución: 

Consideremos en primer lugar la dependencia de r en términos de la densidad radial de 

probabilidad  dada por: 

 

 

La integral sobre  es igual a  la unidad ya que cada una de las funciones   están 

normalizadas por  separado. Donde (también  son ortogonales por separado), entonces  tenemos 

que: 

 Halando  el valor  esperado  de  la  energía  potencial  del  átomo  de hidrogeno  en  su estado 

fundamental: 

   

 

Teniendo en cuenta la expresión (1) y además: 

 

Nos damos cuenta que: 

 

Como  se puede representar de la f orma   entonces: 

 

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Reemplazando (3) en (2): 

 Se puede observar que el valor esperado de la energía potencial, no depende de 

 o 

, del 

problema se tiene que    Reemplazando estos valores en (4) tenemos: 

 

Como el valor esperado de la energía cinética: 

 

Teniendo en cuenta la expresión (1) y además: 

 

Nos damos cuenta que: 

 

Como  se puede representar de la f orma   entonces: 

 El valor esperado de la energía cinética del átomo de hidrogeno en su estado fundamental 

    

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7.  Calcular  la  probabilidad  de  encontrar un  electrón    del  átomo  de 

hidrogeno dentro de una esf era de radio   

Solución: 

La función radial para el nivel 1s del átomo de hidrogeno es: 

 Donde  es el radio de Bohr.

La probabilidad de encontrar el electrón será: 

 

Integrando por partes se obtiene el resultado: 

 

Esto quiere decir que el 29.4% del tiempo está dentro de una esf era imaginaria de radio 

En una gran cantidad de átomos de hidrogeno que f ormen parte de una colectividad (ensamblé);

al electrón en el estado 1s lo podemos encontrar dentro de una esf era imaginaria de radio igual a en el 29.4% de los átomos y en el 70.6% de los átomos están fuera de la esf era imaginaria.

8.  Calcular el valor más probable de la distancia r para el electrón 1s del ion  Comparar 

resultado obtenido con el átomo de hidrogeno.

Solución: 

De  podemos decir que la función de onda  .y  Aplicando la teoría de máximos y mínimos tomando la derivada con respecto a la variable 

independiente r e igualando a cero.

 

De la teoría def inida 

 

 

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Reemplazando (2), (3) en (1) tenemos: 

 

Como:   Para el hidrogeno    

Para el helio   Como   

Evidentemente para el caso del hidrogeno es el mayor, la distancia r es  inversamente a  la carga 

nuclear (Z).

 

9.  Para el electrón 1s del átomo de hidrogeno calcular:   Solución: 

a)  Sabemos que : 

 

Evidentemente el radio no puede ser negativo (-): 

 

 

Como:   

 

 

 

Entonces: 

 

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Luego de (1), (2) y (3) tenemos: 

 

 Recordar la integral gamma: 

 

Para nuestro caso tenemos que   evidentemente no es un número cuántico principal: 

 

Podemos observar que la distancia promedio a la cual se encuentra situado el electrón del núcleo 

probable   para dicho estado.

b)  Primero hallamos el valor esperado de : 

 

 

Puesto que :   

 

 

De la integra semejante a la función gamma tenemos: 

 

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Para nuestro caso tenemos que   evidentemente no es un número cuántico principal: 

 

Ahora calcularemos: 

   

Se puede af irmar que:  c)  Calculando el valor esperado para : 

 

Como tenemos: 

 

 

De la integra semejante a la función gamma tenemos: 

 

Para nuestro caso tenemos que   evidentemente es un número cuántico principal: 

 

El valor esperado de: 

 

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10. Considerando que un electrón en él a tomo de hidrogeno en su estado fundamental tiene 

una  indeterminación  de  posición  y una  indeterminación  de  momentum  ,

demostrar que el mínimo de esa energía corresponde al radio y al a energía de Bohr.

Solución: 

 El principio de incertidumbre de heisemberg 

 

Sea  Entonces: 

 sea   

Reemplazando en (1) tenemos : 

 Calculando el estado fundamental de p e igualando a cero: 

 

Como:   reemplazando estos valores 

tendremos que : 

 

 

Muy proximo   radio de Bohr hemos hallado p y conocemos   

podemos halla la energia total 

 

Muy proximo a  donde E1 es la suma de la energia cinetica y la 

energia potencial E=T+V en su estado fundamental. 

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11. Demostrar los sigientes propiedades de los conmutadores: 

y     y         y       

Solucion: 

y             y                            

       y 

   

   

   

   

         

     12. Calcular los eigen valores y eigenvectores de los operadores cuyas matrices se dan: 

    

Solucion: 

El sistema de ecuaciones paraserá: 

 

 

Es decir: 

   Del sistema de ecuaciones podemos determinar los eigenvalores de : 

 

Luego reenplazando en (1) y (2) tenemos:  

y  Para   : 

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Entonce   ademas la condicion de normalizacion    

El eigen vector  para 

será: 

      

y  Para   : 

Entonce   ademas la condicion de normalizacion      

El eigen vector  para 

será: 

     

 

Para el caso de la matriz      La ecuacion de Schrödinger independiente del tiempo,f ija la  eigen-ecuacion del halmiltoniano de 

la siguiente manera: 

 Puesto que estamos considerando que se trata de un sistema de dos estados, podemos 

representar la función de onda como: 

 De (2) La eigen-ecuacion matricial se puede escribir  del modo siguiente: 

 Luego reemplazando (1), (2), (3) en (4) tendremos: 

  

 

   

Donde tendremos un sistema de ecuaciones: 

     

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Juntando  en la eigen-ecuacion  lo que tenemos arriba, se llega entonces al siguiente 

determinante: 

   

Entonces:       y  Para    y reemplazando en (5) tendremos: 

   

     Donde 

     

Entonces         ademas la condicion de normalizacion para un vector un vector unitario 

   

 

   

    De (8) tenemos que  el eigen vector para    Es : 

    

 

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y  Para    y reemplazando en (5) tendremos: 

 

     

Donde 

     

Entonces         ademas la condicion de normalizacion para un vector un vector unitario

 

      

      

De (10) tenemos que  el eigen vector para    Es :