problemas de Cuantica1
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1. Demostrar que el operador momento angular orbital es hermitiano.
Solución:
El operador será hermitiano siempre y cuando cumpla la condición de que cada uno de sus
componentes sea hermitiano.
Representando cada componente del operador en su f orma matricial tenemos que:
Para este tipo de representación la condición de hermeticidad se cumple cuando:
Aplicando esta condición a cada componente de tenemos:
y
y
y
De todo lo anterior podemos notar que cada componente cumple con la condición (1).
Si son hermitianos es hermitiano.
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2. Demostrar que:
Solución:
Entonces:
Tomando tenemos:
Despejando: de la ecuación de schrödinger:
Aplicando la segunda identidad de Green al 1er
término del 2do miembro tenemos:
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La integral de volumen se transf orma en integral de superf icie y se anula ya que se tiene
extensión inf inita y en esta región tanto como se anulan.
Análogamente para los componentes Z e Y:
Por la analogía clásica con la def inición de momento angular:
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3. Demostrar que el operador viene dado por la siguiente expresión:
Solución:
Hacemos uso de la representación de
en coordenadas esf éricas
.
y
y
y
Teniendo en cuenta que
Sumando (1),(2)y(3) tenemos:
Donde :
:
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4. Hallar la representación matricial de los operadores momento cuando .
Solución:
En teoría se sabe que los elementos de matriz de los operadores
están def inidos
como:
y Para : y Para : y Para : y Y que para:
Además se debe verif icar la siguiente condición:
Donde J puede tomar tanto valores enteros como semienteros.
De lo anterior para nuestro caso tenemos que:
Calculando la matriz de : y Usando (1) tenemos:
Realizando los mismos procedimientos para los demás elementos de la matriz vemos que al f inal
nos resulta:
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Calculando la matriz de : y Usando (2) tenemos:
Realizando los mismos procedimientos para los demás elementos de la matriz vemos que al f inal
nos resulta:
Calculando la matriz de : y Usando (3) tenemos:
Realizando los mismos procedimientos para los demás elementos de la matriz vemos que al f inal
nos resulta:
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Calculando la matriz de : y Usando (3) tenemos:
Realizando los mismos procedimientos para los demás elementos de la matriz vemos que al f inal
nos resulta:
Además sabemos que y están dados por:
Luego serán:
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5. Una macropartí cula esta en el estado calcular para este estado y
demostrar que satisf ace el principio de incertidumbre .Desarrollo:
De la relación de incertidumbre de Heisemberg:
Reemplazando lo pedido será de la siguiente manera:
Donde: se obtiene:
Finalmente:
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6. Calcular el valor esperado de la energía cinética y la energía potencial del átomo de
hidrogeno en su estado fundamental.
Solución:
Consideremos en primer lugar la dependencia de r en términos de la densidad radial de
probabilidad dada por:
La integral sobre es igual a la unidad ya que cada una de las funciones están
normalizadas por separado. Donde (también son ortogonales por separado), entonces tenemos
que:
Halando el valor esperado de la energía potencial del átomo de hidrogeno en su estado
fundamental:
Teniendo en cuenta la expresión (1) y además:
Nos damos cuenta que:
Como se puede representar de la f orma entonces:
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Reemplazando (3) en (2):
Se puede observar que el valor esperado de la energía potencial, no depende de
o
, del
problema se tiene que Reemplazando estos valores en (4) tenemos:
Como el valor esperado de la energía cinética:
Teniendo en cuenta la expresión (1) y además:
Nos damos cuenta que:
Como se puede representar de la f orma entonces:
El valor esperado de la energía cinética del átomo de hidrogeno en su estado fundamental
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7. Calcular la probabilidad de encontrar un electrón del átomo de
hidrogeno dentro de una esf era de radio
Solución:
La función radial para el nivel 1s del átomo de hidrogeno es:
Donde es el radio de Bohr.
La probabilidad de encontrar el electrón será:
Integrando por partes se obtiene el resultado:
Esto quiere decir que el 29.4% del tiempo está dentro de una esf era imaginaria de radio
En una gran cantidad de átomos de hidrogeno que f ormen parte de una colectividad (ensamblé);
al electrón en el estado 1s lo podemos encontrar dentro de una esf era imaginaria de radio igual a en el 29.4% de los átomos y en el 70.6% de los átomos están fuera de la esf era imaginaria.
8. Calcular el valor más probable de la distancia r para el electrón 1s del ion Comparar
resultado obtenido con el átomo de hidrogeno.
Solución:
De podemos decir que la función de onda .y Aplicando la teoría de máximos y mínimos tomando la derivada con respecto a la variable
independiente r e igualando a cero.
De la teoría def inida
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Reemplazando (2), (3) en (1) tenemos:
Como: Para el hidrogeno
Para el helio Como
Evidentemente para el caso del hidrogeno es el mayor, la distancia r es inversamente a la carga
nuclear (Z).
9. Para el electrón 1s del átomo de hidrogeno calcular: Solución:
a) Sabemos que :
Evidentemente el radio no puede ser negativo (-):
Como:
Entonces:
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Luego de (1), (2) y (3) tenemos:
Recordar la integral gamma:
Para nuestro caso tenemos que evidentemente no es un número cuántico principal:
Podemos observar que la distancia promedio a la cual se encuentra situado el electrón del núcleo
probable para dicho estado.
b) Primero hallamos el valor esperado de :
Puesto que :
De la integra semejante a la función gamma tenemos:
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Para nuestro caso tenemos que evidentemente no es un número cuántico principal:
Ahora calcularemos:
Se puede af irmar que: c) Calculando el valor esperado para :
Como tenemos:
De la integra semejante a la función gamma tenemos:
Para nuestro caso tenemos que evidentemente es un número cuántico principal:
El valor esperado de:
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10. Considerando que un electrón en él a tomo de hidrogeno en su estado fundamental tiene
una indeterminación de posición y una indeterminación de momentum ,
demostrar que el mínimo de esa energía corresponde al radio y al a energía de Bohr.
Solución:
El principio de incertidumbre de heisemberg
Sea Entonces:
sea
Reemplazando en (1) tenemos :
Calculando el estado fundamental de p e igualando a cero:
Como: reemplazando estos valores
tendremos que :
Muy proximo radio de Bohr hemos hallado p y conocemos
podemos halla la energia total
Muy proximo a donde E1 es la suma de la energia cinetica y la
energia potencial E=T+V en su estado fundamental.
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11. Demostrar los sigientes propiedades de los conmutadores:
y y y
Solucion:
y y
y
12. Calcular los eigen valores y eigenvectores de los operadores cuyas matrices se dan:
Solucion:
El sistema de ecuaciones paraserá:
Es decir:
Del sistema de ecuaciones podemos determinar los eigenvalores de :
Luego reenplazando en (1) y (2) tenemos:
y Para :
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Entonce ademas la condicion de normalizacion
El eigen vector para
será:
y Para :
Entonce ademas la condicion de normalizacion
El eigen vector para
será:
Para el caso de la matriz La ecuacion de Schrödinger independiente del tiempo,f ija la eigen-ecuacion del halmiltoniano de
la siguiente manera:
Puesto que estamos considerando que se trata de un sistema de dos estados, podemos
representar la función de onda como:
De (2) La eigen-ecuacion matricial se puede escribir del modo siguiente:
Luego reemplazando (1), (2), (3) en (4) tendremos:
Donde tendremos un sistema de ecuaciones:
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Juntando en la eigen-ecuacion lo que tenemos arriba, se llega entonces al siguiente
determinante:
Entonces: y Para y reemplazando en (5) tendremos:
Donde
Entonces ademas la condicion de normalizacion para un vector un vector unitario
De (8) tenemos que el eigen vector para Es :
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y Para y reemplazando en (5) tendremos:
Donde
Entonces ademas la condicion de normalizacion para un vector un vector unitario
De (10) tenemos que el eigen vector para Es :