Problemas de Analisis Dimesional

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ejercicios de analisis dimensional

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7.1 La velocidad de propagacin de las ondas de superficie de pequea amplituden una regin de profundidad uniforme viene dada porc2 521g2? ?tanh2hdonde h es la profundidad del lquido no alterado y es la longitud de onda.Uso de L como una longitud caracterstica y V0 como una caractersticavelocidad, obtener los grupos adimensionales quecaracterizar la ecuacin.7.2 La ecuacin que describe la vibracin de pequea amplitud de unahaz esA@ 2y@ 1EI t2@ 4y@ x4 5 0donde y es la desviacin del haz en la ubicacin x y el tiempo t, y E son la densidad y mdulo de elasticidad de la vigamaterial de, respectivamente, y A y I son la seccin transversal del hazrea y momento de inercia, respectivamente. Utilice lahaz de longitud L, y la frecuencia de la vibracin , a nondimensionalizeesta ecuacin. Obtenga el adimensionalgrupos que caracterizan la ecuacin.7.3 La pendiente de la superficie libre de una onda constante en unidimensionalflujo en una capa de lquido de poca profundidad se describe por laecuacinhx52uguxUtilice una escala de longitud, L, y una escala de velocidad, V0, a nondimensionalizeesta ecuacin. Obtener los grupos adimensionalesque caracterizan a este flujo.7.4 flujo inestable unidimensional en una capa lquida delgada esdescrito por la ecuacinut1uux52ghxUtilice una escala de longitud, L, y una escala de velocidad, V0, a nondimensionalizeesta ecuacin. Obtener los grupos adimensionales quecaracterizar este flujo.7.5 Un flujo constante de dos dimensiones en un lquido viscoso esdescrito por la ecuacin:uux? Ghx @ 2u@ x2 @ 2u@ y2? ?Utilice una escala de longitud, L, y una escala de velocidad, V0, a nondimensionalizeesta ecuacin. Obtenga el adimensionalgrupos que caracterizan a este flujo.7.6 En los estudios atmosfricos el movimiento de la atmsfera de la tierraa veces puede ser modelada con la ecuacinD ~ VDt12 ~ 3 ~ V 521rpdonde ~ V es la velocidad a gran escala de la atmsfera a travs dela superficie de la Tierra, rp es el gradiente de presin climtica, y~ es la velocidad angular de la Tierra. Cul es el significado de latrmino ~ 3 ~ V? Utilice la diferencia de presin, Ap, y tpicoescala de longitud, L (que podra, por ejemplo, la magnitudde, y la distancia entre, un atmosfrica alta y baja,respectivamente), a nondimensionalize esta ecuacin. Obtenga elgrupos adimensionales que caracterizan a este flujo.7.7 Mediante el uso de anlisis de orden de magnitud, la continuidad yEcuaciones? Stokes Navier pueden simplificarse al Prandtl320 Captulo 7 Anlisis dimensional y Similitudecuaciones de capa lmite. Para constante, incompresible, yflujo bidimensional, la gravedad descuidar, el resultado esux1vy5 0uux1vuy521px1 @ 2u@ y2Use L y V0 como longitud caracterstica y velocidad, respectivamente.Nondimensionalize estas ecuaciones e identificar elparmetros de similitud que resultan.7.8 Un inestable, de dos dimensiones, compresible, no viscosoflujo puede ser descrita por la ecuacin@ 2@ t21@tDU2 1v21u2 2c2 @ 2@ x21DV2 2c2 @ 2@ y212uv @ 2@ x @ y5 0donde es la funcin de corriente, u y v son la x e ycomponentes de la velocidad, respectivamente, c es la velocidad local desonido, y t es el tiempo. Uso de L como una longitud caractersticay c0 (la velocidad del sonido en el punto de estancamiento) para nondimensionalizeesta ecuacin, obtenga el adimensionalgrupos que caracterizan la ecuacin.7.9 La ecuacin que describe el movimiento de fluido en una tubera debido a unagradiente de presin aplicada, cuando el flujo de parte del reposo, esut521px1 @ 2u@ r2 11rur? ?Utilice la velocidad media V, cada de presin Ap, longitud de la tubera L,y el dimetro D de nondimensionalize esta ecuacin. obtenerlos grupos adimensionales que caracterizan a este flujo.La determinacin de los Grupos 7.10 Los experimentos muestran que soltar la presin de flujoa travs de una placa de orificio de dimetro d montado en una longitud detubera de dimetro D puede expresarse como Ap 5 p1 2p2 5f , , V, d, el DTH. Se le pide que organizar algn experimentaldatos. Obtener los parmetros adimensionales resultantes.7.11 a velocidades relativamente altas del arrastre sobre un objeto es independientede la viscosidad del fluido. Por lo tanto la fuerza de arrastre aerodinmica,F, en un automvil, es una funcin slo de la velocidad, V, aire la densidad y el tamao del vehculo, caracterizado por su rea frontalA. Use el anlisis dimensional para determinar cmo la fuerza de arrastreF depende de la velocidad V.7.12 A velocidades muy bajas, la resistencia sobre un objeto es independientede la densidad del fluido. Por lo tanto la fuerza de arrastre, F, en una pequea esfera es unafuncin slo de la velocidad, V, la viscosidad del fluido, , y la esferadimetro, D. Use anlisis dimensional para determinar cmo elfuerza de arrastre F depende de la velocidad V.7.13 La fuerza de arrastre en la Estacin Espacial Internacionaldepende de la trayectoria libre media de las molculas (longitud),la densidad , una longitud caracterstica L, y la velocidad mediade las molculas de aire c. Encontrar una forma no dimensional de estarelacin funcional.7.14 vimos en el captulo 3, que la fuerza de flotacin, FB, sobre un cuerposumergido en un fluido es directamente proporcional a la especficapeso del fluido, . Demostrar esto utilizando dimensionalanlisis, comenzando con la fuerza de flotacin como una funcin de lavolumen del cuerpo y el peso especfico del fluido.7.15 Cuando un objeto se desplaza a velocidades supersnicas, la aerodinmicafuerza de arrastre F acta sobre el objeto es una funcin de lavelocidad V, la densidad del aire, el tamao del objeto (caracterizado por algunosrea de referencia A), y la velocidad del sonido c (tenga en cuenta que todosSe consideraron las variables excepto c cuando se viaja avelocidades subsnicas como en el problema 7.11). Desarrollar un funcionalrelacin entre un conjunto de variables adimensionales dedescribir este problema.7.16 La velocidad, V, de una onda de superficie libre de lquido superficial esuna funcin de la profundidad, D, densidad, , la gravedad, g, y la superficietensin, . Utilice el anlisis dimensional para encontrar el funcionaldependencia de V en las otras variables. Expreso V en elforman ms simple posible.7.17 La tensin de cizallamiento, w, en una capa lmite depende dela distancia desde el borde de ataque del cuerpo, x, la densidad, ,y la viscosidad, , del fluido, y la velocidad de corriente libre deel flujo, U. obtener los grupos adimensionales y expresar lasrelacin funcional entre ellos.7.18 El espesor de la capa lmite, , sobre una placa plana lisaen un flujo incompresible sin gradientes de presindepende de la velocidad de corriente libre, U, la densidad del fluido, , ella viscosidad del fluido, , y la distancia desde el borde de ataque dela placa, x. Exprese estas variables en forma adimensional.7.19 Si un objeto es lo suficientemente ligero que puede ser compatible con elsuperficie de un lquido por la tensin superficial. Las pruebas deben ser hechas ainvestigar este fenmeno. El peso W, con fundamento en lasde esta manera depende del objeto permetro, p, y el fluido dedensidad, , la tensin superficial , y la gravedad, g. determinar elparmetros adimensionales que caracterizan a este problema.7.20 La velocidad, V, de una onda de gravedad de superficie libre en profundidadagua es una funcin de la longitud de onda, , la profundidad, D, densidad, , yaceleracin de la gravedad, g. Utilice el anlisis dimensional para encontrarla dependencia funcional de V en las otras variables.Exprese V en la forma ms simple posible.7.21 La velocidad media, u, para el flujo turbulento en un tubo o unacapa lmite se puede correlacionar con el estrs de cizallamiento,w, distancia de la pared, y, y las propiedades del fluido, y .Utilice el anlisis dimensional para encontrar un parmetro adimensionalque contiene T y uno que contiene y que son adecuados para la organizacinlos datos experimentales. Demostrar que el resultado puede ser escritouu *5 fyu *? ?donde u * 5 (w / ) 1/2 es la velocidad de friccin.7.22 La energa liberada durante una explosin, E, es una funcindel tiempo t despus de la detonacin, la explosin radio R en el momentot, y la presin del aire ambiente p, y densidad. determinar,por anlisis dimensional, la forma general de la expresinpara E en trminos de las otras variables.7,23 ondas capilares se forman sobre una superficie libre de lquido como unaresultado de la tensin superficial. Ellos tienen longitudes de onda cortas. lavelocidad de una onda capilar depende de la tensin superficial, ,longitud de onda, , y la densidad del lquido, . Utilice el anlisis dimensionalpara expresar la velocidad de onda en funcin de estas variables.7.24 Las mediciones de la altura del lquido aguas arriba de unobstruccin colocado en un flujo de canal abierto se puede utilizar paradeterminar la tasa de flujo de volumen. (Tales obstrucciones, diseadosy calibrado para medir la tasa de flujo en canales abiertos, sonllamado vertederos.) Supongamos que el caudal volumtrico, Q, sobre un vertedero esuna funcin de la altura aguas arriba, h, la gravedad, g, y el canalancho, b. Utilice el anlisis dimensional para encontrar el funcionaldependencia de Q en las dems variables.7.25 El par de torsin, T, de un tampn de automvil de mano es unafuncin de la velocidad de rotacin, , aplica una fuerza normal, F,automvil rugosidad de la superficie, e, pulir viscosidad de la pasta, , yla tensin superficial, . Determinar los parmetros adimensionalesque caracterizan a este problema.La potencia de 7,26, 3, utilizado por una aspiradora es que se correlacionacon la cantidad de succin proporcionado (indicado porla cada de presin, Ap, por debajo de la presin ambiente de la habitacin). ellatambin depende del dimetro del impulsor, D, y la anchura, d, motorvelocidad, , la densidad del aire, , y ms limpias anchos de entrada y de salida, diy hacer, respectivamente. Determinar los parmetros adimensionalesque caracterizan a este problema.7.27 La capacidad de carga, W, de un cojinete essabe que depender de su dimetro, D, longitud, l, y la limpieza,c, adems de su velocidad