Problema 1 - pasiinviata · PDF fileMicroeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici...
Transcript of Problema 1 - pasiinviata · PDF fileMicroeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici...
Problema 1.1 Se consideră un consumator doritor să cumpere bunuri de două
tipuri. Gusturile sale sunt reprezentate printr-o relaţie de preferinţă pe mulţimea vectorilor de consum notată: , preferat sau indiferent. Această relaţie de preferinţă este o preordine completă (completă, reflexivă şi tranzitivă) şi verifică ipotezele de nesaturare şi de convexitate.
f
Ţinând cont de ipotezele de mai sus, fiecare din afirmaţiile următoare conţine o contradicţie. Precizaţi aceste contradicţii cu ajutorul unei reprezentări grafice.
Ax =14⎛⎝⎜⎞⎠⎟ , , , , ,
.
Bx =41⎛⎝⎜⎞⎠⎟ Cx =
25 / 2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ Dx =
32⎛⎝⎜⎞⎠⎟ Ex =
53 / 2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Fx =1/ 27 / 2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
A1: , şi . xx CA f xx CB f C Dx xf
A2: , , şi . xx AB f xx BD ≈ xx DC f xx CA f
A3: , şi A Cx xf xx BA ≈ xx CE ≈ . A4: şi . xx FB f F Dx xf
A5: şi . xx BF f xx CB f
Rezolvare: Ipoteza de nesaturare: Fie , doi vectori de consum
posibil. )x,..., x, x=( x n
112
11
1 )x,..., x, x=( x n22
221
2
Dacă =1,2,3,…,n şi inegalitatea este strictă pentru cel puţin un h, atunci: şi x
h xx 1h
2h ∀f
xx 12 f 1 nu este preferat sau indiferent lui x2 . ( , dar x2 1x - x > 0 xx 12 f⇒ 1 nu este preferat sau indiferent lui x2).
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
x2 B xB
αxB+(1-α)xC
xo
C xC
x1 Figura 1.1. Convexitatea preferinţelor
Ipoteza de convexitate a preferinţelor: Fie şi (orice punct de pe segmentul [BC]
îndeplineşte această proprietate). xx 0B f xx 0C f
Avem: A1: D şi prin convexitate avem: dAB∈
xx CD f deoarece şi , dar constituie o contradicţie.
xx CA f xx CB f Cx xf D
D
A2: ceea ce înseamnă că relaţia este falsă.
xx BD ≈ f xx CA f ⇒ xx CD fCx xf
Altfel, xx CA f f xx BD ≈ xx BA f⇒ ceea ce conduce la concluzia că este falsă. xx ABf
A3: .xx xxx CBAB ff ⇒≈ C
Prin ipoteza de saturare avem: Deci si sunt contradictorii.
.xx BE Cxff Ex xf C
F
xx CE ≈ A4: (din ipoteza de nesaturare) şi (din
ipoteza de convexitate). Atunci,
Ax xf xx FB f
αxA+(1-α)xB= , ceea ce este în contradicţie cu xxx FD f Ff xD. A5. Fie G punctul de abscisă 2 situat pe segmentul FB şi fie
Gx vectorul de consum corespunzător.
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Avem: . Deoarece 5/2> 17/7 din ipoteza de nesaturare
rezultă că .
Gx =2
17 / 7⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
C Gx xf
x2
4 A F 7/2 3 C 5/2 2 D G E 3/2
1 B 1/2 1 2 3 4 5 x1
Figura 1.2. Situaţia punctelor A,B,C,D,E,F pe grafic
Dar şi cum şi (din reflexivitate) .
G dFB∈ xx BF f xx BB f ⇒xx BG f
Dar ⇒ , ceea ce contrazice . xx CB f xx CG f C Gx xf
Problema 1.2. Fie funcţiile de utilitate: a) 1
1 2 1 2( , ) = , > 0 , > 0U x x x xα β α β b) , 2
1 2 1 2( , ) = + , 0 < < 1U x x x xρ ρ ρ unde şi desemnează cantităţile consumate din bunurile 1 şi 2,
cu 1x 2x
1 2x 0 , x 0 .≥ ≥Reprezentaţi grafic o curbă de indiferenţă pentru fiecare din aceste
funcţii şi verificaţi proprietatea de descreştere a ratei marginale de substituţie a bunului 2 cu bunul 1.
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Rezolvare: a) Curba de indiferenţă, corespunzătoare nivelului de utilitate u, este:
1 2 =x xα β u sau ( )1
2 1= =x u x f xα
β β−
, de unde:
( ) 1 ( )1
11
= <f x
u xx
α ββ βα
β
− +∂−
∂0 ,
deci, curba de indiferenţă este descrescătoare.
Deci avem: 1 2
2
1 2
= : =(2,1)1
xU URmsx x x
αβ
∂ ∂− −∂ ∂
.
Figura 1.3. Curba de indiferenţă pentru funcţia de utilitate U1
x2
x1
u1/β
1
Curba de indiferenţă corespunzătoare nivelului de utilitate u este:
1 2x xρ ρ+ = u , de unde:1
2 1(x u x ρ ) ρ= − =h(x1). Cum: şi , se obţine că:
1x 0≥
2x 0≥
1
10 x u ρ≤ ≤ .
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Avem: 0)()( 11
1
11' <−−= −
−ρρ
ρρ xxuxh , pentru: x1>0, deci curba de
indiferenţă este descrescătoare, având:
12
1 22
2 1
/(2,1)/
U x xRmsU x x
ρ∂ ∂∂ ∂
−⎛ ⎞
= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Curba de indiferenţă este redată în figura următoare:
x2 u1/ρ
u1/ρ x1
Figura 1.4. Curba de indiferenţă pentru funcţia de utilitate U 2
Problema 1.3.
Fie funcţia de utilitate 1 21 2
1 2
( , ) = + 2x xU x x
x x, unde x1, x2 reprezintă
cantităţile consumate din cele două bunuri. Reprezentaţi curbele de indiferenţă corespunzătoare unui nivel de
utilitate u>0.
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Rezolvare: Curba de indiferenţă corespunzătoare nivelului de utilitate u>0
rezultă din: 1 2
1 2
= + 2x x u
x x,
Se va exprima x2 ca funcţie de x1:
( ) 12 1
1
= = 2
uxx f xx u−
.
2'
1 21
2( ) 0( 2 )
uf xx u−
=−
< => f este descrescătoare;
02
42
1
2
1 >−
=u)(x
u)(xf '' => f este convexă.
x2
Figura 1.5. Curba de indiferenţă
u
0 2u x 1
Problema 1.4. Un consumator poate achiziţiona două bunuri, în cantitaţile şi
respectiv . Preţul unitar al primului bun este egal cu 3, iar preţul celui de al doilea este egal cu 2. Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţia de utilitate:
1x2x
( ) ( )( )1 2 1 1 2, 4U x x x x x= + + , cu , . 1x ≥ 0 2x ≥ 0Se cere:
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
a) Reprezentaţi grafic curba de indiferenţă care corespunde unui nivel de utilitate u>0.
b) Determinaţi cantitatea optimă consumată din fiecare bun în funcţie de venitul V.
c) Reprezentaţi pe acelaşi grafic curbele lui Engel, relativ la cele
două bunuri, şi caracterizaţi aceste bunuri. Rezolvare: a) Ecuaţia curbei de indiferenţă corespunzătoare unui nivel de
utilitate u>0, rezultă din egalitatea:
( )( )1 1 24x x x u+ + = , cu u-dat sau ( )2 11
= =+ 4u
1x x f xx
− .
Avem: ( )'1 2
1
= ( + 4)
uf xx
− −1< 0 (deci strict descrescătoare) şi:
( )''1 3
1
= 2 > 0( + 4)
uf xx
(deci convexă).
Curba de indiferenţă intersectează axa verticală în 42
ux = şi axa
orizontală în 1 2 4x u= − + + . Restricţia bugetară se scrie: 1 23 2x x V+ = .
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Există 3 cazuri posibile, şi anume:
x2
4u
-2- u+4 0 -2+ u+4 x1
Figura 1.6. Curba de indiferenţă
b1) dacă şi . Consumul optim din cele două bunuri
rezultă din îndeplinirea următoarelor condiţii necesare de optim: 1x 0≥ 2x 0≥
1 2
1
2 4(2,1)4 2
x xRmsx+ +
= =+
3
cu restricţia: 1 23 2x x V+ = ,
care conduc la: 1 22Vx = − , şi respectiv: 2 3
4Vx = − , cu 4 12V≤ ≤ .
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
x2 A C 0 B x1
Figura 1.7. Alegerea optimă în cazul 0x1 ≥ | şi 0x 2 ≥
b2) dacă şi , avem: 1x 0= 2x 0≥ 1 2
1
2 4(2,1)4 2
x xRmsx
3+ += <
+
cu restricţia: 3 21 2x x V+ = .
Cum , se deduce că: 1x 0= 2 2Vx = , cu V<4 (vezi figura 1.8.).
x2 0 B V/3 x1
Figura 1.8. Alegerea optimă în cazul când 1x 0= şi 2x 0≥ .
V/2
A
Capitolul 1. Teoria consumatorului
b3) dacă şi 1x 0≥ 2x 0= . Consumul optim din bunul este: 1x
1 3Vx = , cu V>12 (vezi figura 1.9.).
Figura 1.9. Alegerea optimă în cazul 0x1 ≥ şi 0x 2 = .
x2
x1
B
V/3
A
V/2
Concluzie:
Soluţia va fi:
1 2
1 2
1 2
0 şi , dacă 42
2 şi 3 , dacă 4 12 4
şi 0, dacă 123
Vx x V
V Vx x V
Vx x V
⎧ = = <⎪⎪⎪ = − = − ≤ ≤⎨⎪⎪ = = >⎪⎩
2
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
c) Curbele lui Engel sunt reprezentate în figura următoare:
0 4 12 Venit
Figura 1.10. Curbele lui Engel pentru cele două bunuri
Consum
Bunul 1
Bunul 2
2
4
Se observă că bunul 1 este normal, deoarece pe măsură ce venitul
creşte, consumul creşte de asemenea. Pentru bunul 2, se constată că pentru un venit mai mic decât 4, consumul creşte odată cu venitul, pentru ca la un venit superior valorii 4, o creştere a venitului să genereze o reducere a consumului din bunul 2. Deci bunul 2 spunem că este inferior.
Problema 1.5. Un consumator dispune de un venit V pentru a cumpăra două bunuri.
Notăm cu p1 şi p2 preţurile unitare ale celor două bunuri, consumate în cantităţile
21 . şi xx Preferinţele consumatorului sunt reprezentate printr-o funcţie de utilitate U, definită prin:
1 2 1 2 1 2( , ) = + , 0 , 0U x x x x x x≥ ≥ . Se cere: Calculaţi funcţia de cerere pentru fiecare bun. Se presupune că
22
14pVp
> .
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Calculaţi pentru fiecare bun, elasticitatea cererii în raport cu venitul şi preţul în cazul şi V = 3. 2 şi1 21 =p =p
Rezolvare: a) Problema pe care trebuie să o rezolve consumatorul este:
( )1 2
1 2,
1 1 2 2
max +x x
x x
p x p x V
⎧⎪⎨⎪ + =⎩
Dacă λ este multiplicatorul lui Lagrange, putem scrie: ( )1 2 1 2 1 2 2 2, , = + + ( )L x x x x V p x p xλ λ − − ,
de unde condiţiile de optim sunt următoarele: 1/ 2
1 11
22
1 2
10 02
0 1 0
=0 p
L x pxL pxL p V
λ
λ
λ
−∂⎧ = ⇒ −⎪∂⎪∂⎪
= ⇒ − =⎨∂⎪⎪∂
⇒ + =⎪∂⎩
=
Rezolvând sistemul, se obţin funcţiile de cerere din cei doi factori:
xpp
xVp
pp
122
12
22
2
1
4
4
=
= −
,
Din condiţia: p
pV>1
22
4, se deduce că: şi . Dacă această
condiţie nu este adevărată, cel puţin teoretic, se poate obţine soluţia: şi .
01 ≥x 02 ≥x
01 >x02 =x b) Fie hη = elasticitatea cererii bunului h în raport cu venitul; hε = elasticitatea cererii bunului h în raport cu preţul bunului
h (elasticitatea directă); hkγ = elasicitatea cererii bunului h în raport cu preţul bunului
k (elasticitatea încrucişată).
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Dacă obţinem: 1 2 = 1 , = 2 şi = 3p p V şi deci: 1 2= 1 şi = 1x x Pentru bunul 1:
1 11
1 11
1 1
1 111
2 2
= : = 0
= : = 2
= : = 2
x xV V
x xp p
x xp p
η
ε
γ
∂∂
∂−
∂
∂∂
Pentru bunul 2:
2 22
2 22
2 2
2 221
1 1
3 = : = 2
= : = 2
1 = : = 2
x xV V
x xp p
x xp p
η
ε
γ
∂∂
∂−
∂
∂∂
.
Deoarece 1 = 0η , bunul 1 este situat la frontiera dintre bunurile
normale şi bunurile inferioare. Bunul 2 este un bun de lux ( 2 > 1η ). Deoarece 12 21> 0 , > 0,γ γ există o substituibilitate brută a bunului
1 cu bunul 2, respectiv a bunului 2 cu bunul 1.
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Problema 1.6. Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului: , ( )1 2 1 2, , 0 1, 0U x x x xα β α β= < < < 1<
unde x1, x2 reprezintă cantităţile consumate din bunul 1, respectiv bunul 2 iar vectorul de preţuri unitare este ( )1 2,p p p= . Se ştie că venitul de care dispune consumatorul este V>0.
a) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri; b) Să se determine funcţia de utilitate indirectă pentru cererea
necompensată; c) Să se determine cererea compensată din cele două bunuri; d) Să se determine funcţia de utilitate indirectă pentru cererea
compensată. Rezolvare: a) Se scrie problema de optim a consumatorului, pentru
determinarea cererii necompensate: [ ]( )
1 2
1 2,
1 1 2 2
m axx x
x x
p x p x V
α β
+ =
Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim:
( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, ,L x x x x V p x p xα βλ λ= + − − Se determină condiţiile necesare de optim:
11 2 1
1
11 2 2
2
1 1 2 2
0 0
0 0
0
L x x pxL x x pxL p x p x V
α β
α β
α λ
β λ
λ
−
−
∂⎧ = ⇒ −⎪∂⎪∂⎪
=
= ⇒ −⎨∂⎪⎪∂
= ⇒ + =⎪∂⎩
=
Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine:
Capitolul 1. Teoria consumatorului
2 1
1 2
1 1 2 2
;.
x px p
p x p x V
αβ
⎧ × =⎪⎨⎪ + =⎩
De aici, rezultă că: 1 12
2
p xxp
βα
= . Înlocuind în a treia ecuaţie se
obţin:
( )
( ) ( )
1 11 1 1 1
* *1 2
1 2
p xp x V p x V
V Vx şi xp p
β α β ααα β
α β α β
+ = ⇒ + =
= =+ +
⇒
b) Funcţia de utilitate indirectă pentru cererea necompensată se
obţine înlocuind cererile optime în funcţia de utilitate:
( ) ( ) ( )* *1 2
1 2
1 2
, V VU x xp p
Vp p
α β
α β α β
α βα β α β
α βα β
+
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c) Se scrie problema de optim a consumatorului, pentru determinarea cererii compensate:
[ ]( )
1 2
1 1 2 2,
1 2
min
, cu .x x
p x p x
x x u u datα β
+
= −
Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim:
( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2, ,L x x p x p x u x xα βµ µ= + + − Se determină condiţiile necesare de optim:
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
11 1 2
1
12 1 2
2
1 2
0 0
0 0
0
L p x xxL p x xxL u x x
α β
α β
α β
µα
µβ
λ
−
−
∂⎧ = ⇒ − =⎪∂⎪∂⎪
= ⇒ − =⎨∂⎪⎪∂
= ⇒ =⎪∂⎩
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine:
2 1
1 2
1 2
x px p
x x uα β
αβ
⎧ × =⎪⎨⎪ =⎩
De aici, rezultă că: 1 12
2
p xxp
βα
= .
Înlocuind în a treia ecuaţie se obţin:
1 21 1 1
2 1
** 12
2
p px x u x up p
pş i x up
ββα β
α βα β
αα β
α β
β αα β
βα
++∗∗
++
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
d) Funcţia de utilitate indirectă pentru cererea compensată se obţine
înlocuind cererile optime în funcţia de utilitate:
( )** ** 2 11 2
1 2
, p pU x x u u up p
αβ αβα βα β α β
α β α βα ββ α
+ ++ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= .
Problema 1.7. Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului:
( ) 2 31 2 1 2,U x x x x= ,
unde x1, x2 reprezintă cantităţile consumate din bunul 1, respectiv bunul 2. Să se atate dacă funcţia este sau nu concavă.
Rezolvare: Se ştie că o funcţie este conavă dacă matricea Hessian este negativ
definită. O matrice este negativ definită dacă minorii principali au semne alternante începând cu semnul minus.
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Matricea Hessian este dată de derivatele de ordinul II ale funcţiei de utilitate:
2 2
21 12 2
22 1 2
U U
2x x xH
U Ux x x
⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟=⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Astfel: 3 2
1 2 1 21 2
2 3U Ux x şi xx x
∂ ∂= =
∂ ∂2.x
Iar derivatele de ordinul II sunt: 2 2
3 22 12
1 1 22 2
2 21 2 1 22
2 1 2
2 6
6 6
U U2 ;
.
x x xx x x
U Ux x xx x x
∂ ∂= =
∂ ∂ ∂
∂ ∂= =
∂ ∂ ∂x
2
Matricea devine: 3 22 1
2 21 2 1 2
2 6
6 6
x x xH
x x x x
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Se observă că minorul de ordinul I, 31 2 2x∆ = este pozitiv. Pentru ca
funcţia să fie concavă ar fi trebuit ca acesta să fie negativ. Se poate astfel afirma că funcţia nu este concavă.
Problema 1.8. Fie funcţia de utilitate 1 2 1 2( , )U x x Cx xα β= , cu , , 0C α β > .
Determinaţi ce condiţii trebuiesc puse pentru α şi β astfel încât funcţia de utilitate să fie strict concavă.
Rezolvare: Se va scrie matricea Hessian asociată:
Capitolul 1. Teoria consumatorului
2 2
21 1
2 2
22 1 2
U U
2x x xH
U Ux x x
⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟=⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
.
Calculăm derivatele de ordinul I şi II: 1 1
1 2 1 21 2
2 21 1
1 2 1 221 1 22 2
1 1 11 2 1 22
2 1 2
Uşix
( 1) ; ;
; ( 1)
U C x x C x xxU UC x x C x xx x x
U UC x x C x xx x x
α β α β
α β α β
α β α β
α β
α α αβ
αβ β β
− −
− − 1
.
−
− − −
∂ ∂= =
∂ ∂
∂ ∂= − =
∂ ∂ ∂
∂ ∂= =
∂ ∂ ∂−
1−
.
Şi se obţine matricea Hessian: 1 1
1 2 1 21 1 1
1 2 1 2
( 1)( 1)
C x x C x xH
C x x C x x
α β α β
α β α β
α α αβαβ β β
− −
− − −
⎛ ⎞−= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
Pentru ca funcţia de utilitate să fie strict concavă trebuie ca matricea Hessian să fie negative definită, ceea ce înseamnă că minorii principali trebuie să aibă semne alternante începând cu minus.
Astfel, se vor pune condiţiile: 1
2
0;0.
∆ <∆ >
Din matricea Hessian, minorul principal de ordinul I este: 1
1 ( 1)C x1 2xα βα α −∆ = − . Pentru ca acesta să fie <0 , şi din , , 0C α β > trebuie ca ( )0,1α ∈ .
Minorul de ordinul II este determinantul matricii Hessian:
( )
1 11 2 1 2
2 1 1 11 2 1 2
2 2 2 2 21 2
( 1)( 1)
1
C x x C x xC x x C x x
C x x
α β α β
α β α β
α β
α α αβαβ β β
αβ α β
− −
− − −
− −
⎛ ⎞−∆ = =⎜ ⎟
−⎝ ⎠= − −
1−
Din şi 2 0∆ > , , 0C α β > rezultă că 1 0 1α β α β− − > ⇒ + < . Pentru ca funcţia de utilitate să fie strict concavă trebuie ca
( )0,1α ∈ şi ca 1α β+ < .
Problema 1.9. Fie un consumator cu funcţia de utilitate: ( ) ( )( )1 2 2 1 2, 2U x x x x x= + + , şi
. 1 2, 0x x ≥ Să se determine curba de indiferenţă a consumatorului pentru un nivel u>0 dat al
utilităţii şi să se reprezinte grafic.
Rezolvare: Se egalează funcţia de utilitate cu nivelul dat al acesteia: ( )( )2 1 22x x x u+ + = şi se exprimă x2 ca funcţie de x1:
1 2 2 1 11 1
( )2 2
u ux x x xx x
+ = ⇒ = − =+ +
f x .
Se va reprezenta grafic 1( )f x .
( )'
1 21
( ) 1 02
uf xx
= − − <+
=> f descrescătoare;
( )"
1 31
2( ) 02
uf xx
=+
> => f convexă.
Se respectă în acest fel proprietăţile curbei de indiferenţă: să fie descrescătoare şi
convexă. Se determină intersecţiile cu axele:
1 2 1 11
2 1 1 2
(0 ) 0, 0 1 1 ;2
(0 ) 0, ( )2
ux x x xx
ux x f x x
∩ ⇒ = − = ⇒ = − + ++
∩ ⇒ = = =
u
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Grafic: x2
2u
0 1 1 u− + + x1
Figura 1.11. Curba de indiferenţă
Problema 1.10. Fie un consumator cu funcţia de utilitate: ( )1 2 1 2,U x x x x= , şi . 1 2, 0x x ≥Să se determine curba de indiferenţă a consumatorului pentru un
nivel u=10 dat al utilitaţii şi să se reprezinte grafic.
Rezolvare: Se egalează funcţia de utilitate cu nivelul dat al acesteia:
1 2 10x x u= = şi se exprimă x2 ca funcţie de x1:
1 2 1 2 2 11
10010 10 ( )x x x x x f xx
= ⇒ = ⇒ = = .
Se va reprezenta grafic 1( )f x . '
1 21
100( ) 0f xx
= − < => f descrescătoare;
"1 3
1
200( ) 0f xx
= > => f convexă.
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Se respectă în acest fel proprietăţile curbei de indiferenţă: să fie descrescătoare şi convexă.
Se determină intersecţiile cu axele:
1
1
1 2 11
2 1 1 20
100(0 ) 0, lim 0 0 asimptotă verticală
(0 ) 0, lim ( ) 0 asimptotă orizontală
x
x
x x xx
x x f x x
→∞
→
∩ ⇒ = = ⇒ −
∩ ⇒ = = ∞⇒ −
Curba de indiferenţă este repezentată în figura următoare:
x2 0 x1
Figura 1.12. Curba de indiferenţă
Problema 1.11. Fie un consumator a cărui funcţie de utilitate este
( ) ( )1 2 1 2, 1U x x x x= − , cu . 1 2, 0x x ≥Venitul de care dispune este de 3 u.m. iar vectorul de preţuri este
( )1 1p = . a) Să se determine cererea necompensată; b) Să se determine cererea compensată pentru un nivel dat al
utilităţii u=100.
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Rezolvare: a) Se scrie problema de optim asociată consumatorului:
( ) ( )1 2
1 2 1 2,
1 1 2 2
max , 1x x
U x x x x
p x p x V
= −⎧⎪⎨
+ =⎪⎩
Se rezolvă prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim:
( ) ( )1 2 1 2 1 1 1 2 2, ,L x x x x x V p x p xλ λ= − + − − Condiţiile necesare de optim sunt:
2 11
1 22
1 1 2 2
0 1
0 0
0
L x pxL x pxL
0;
; .
p x p x V
λ
λ
λ
∂⎧ = ⇒ − − =⎪∂⎪∂⎪
= ⇒ − =⎨∂⎪⎪∂
= ⇒ + =⎪∂⎩
Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: 2 1
1 2
1 1 2 2
1 ;.
x px p
p x p x V
−⎧ =⎪⎨⎪ + =⎩
De aici, rezultă că: * 22
22V px
p+
= . Înlocuind în a treia ecuaţie se
obţin:
*2 21 1 1
12 2V p V pp x V x
p+ −
+ = ⇒ = .
Cererea optimă va fi:
2*
2* 1*
22
1
2 21
2
V ppx
xV px
p
+⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Capitolul 1. Teoria consumatorului
b) Se scrie problema de optim asociată consumatorului:
{ }
( )1 2
1 1 2 2,
1 2
min
1 100x x
p x p x
x x u
⎧ +⎪⎨
− = =⎪⎩
Se rezolvă prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim:
( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1, , 100L x x p x p x x x xλ λ= + + − + Condiţiile necesare de optim sunt:
1 21
2 12
2 1 1
0 ( 1)
0 0
0 100.
L p xxL p xxL x x x
λ
λ
λ
∂⎧ 0;
;
= ⇒ − − =⎪∂⎪∂⎪
= ⇒ − =⎨∂⎪⎪∂
= ⇒ − =⎪∂⎩
Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine:
2 1
1 2
2 1 1
1
100
x px p
x x x
−⎧ =⎪⎨⎪ − =⎩
De aici, rezultă că: ** 21
1 1
100 10 2p pxp p
= = . Înlocuind în a treia
ecuaţie se obţine:
( ) **2 12 2
1 2
10 1 100 10 1p px xp p
− = ⇒ = + .
Cererea optimă va fi:
2**
1** 1**2 1
2
101011
10 1
ppx
xx p
p
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Problema 1.12. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv,
pentru a cumpăra două bunuri notate x1 şi x2. Preţurile celor două bunuri, p1 şi p2, sunt presupuse strict pozitive.
Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţiile de utilitate ( )1 2 1 2,U x x x x= , unde x1 şi x2 sunt cantităţile consumate din cele două bunuri.
Venitul acestuia este de 12 u.m. iar vectorul de preţuri este . ( )2 1p =
Se cere: a) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri; b) Dacă p2 şi V sunt constante iar p1 scade cu o unitate, să se
determine natura bunului 1; c) Dacă p1 şi V rămân constante iar p2 creşte cu o unitate, să se
determine natura bunului 2; d) Dacă p1 şi p2 rămân constante iar venitul creşte la 16 u.m., să se
determine natura bunurilor. Rezolvare: a) Se scrie problema de optim asociată consumatorului:
( )1 2
1 2 1 2,
1 1 2 2
max ,x x
U x x x x
p x p x V
⎧ =⎪⎨
+ =⎪⎩
Se rezolvă prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim:
( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, ,L x x x x V p x p xλ λ= + − −
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Condiţiile necesare de optim sunt: 1 12 2
1 2 11
1 12 2
1 2 22
1 1 2 2
10 02
10 02
0
L x x px
L x x pxL p x p x V
λ
λ
λ
−
−
⎧ ∂= ⇒ −⎪∂⎪
⎪ ∂⎪
=
= ⇒ −⎨∂⎪⎪∂
= ⇒ + =⎪∂⎪⎩
=
Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: 2 1
1 2
1 1 2 2
x px pp x p x V
⎧ =⎪⎨⎪ + =⎩
De aici, rezultă că: *2
22Vxp
= . Înlocuind în a treia ecuaţie se obţin:
*1 1 1
12 2V Vp x V x
p+ = ⇒ = .
Cererea optimă va fi: *
1* 1*2
2
2 36
2
Vpx
xVxp
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
.
c) Noua cerere din bunul 1 va fi: *1 '
1
12 6 3 buc2 2Vxp
= = = > =>
bunul 1 este normal (când preţul său scade, cererea creşte).
d) Noua cerere din bunul 2 va fi: *2 '
2
12 3 6 buc2 4Vxp
= = = < =>
bunul 2 este normal (când preţul său creşte, cererea scade).
e) Noua cerere din bunul 1 va fi: '
*1
1
16 4 3 buc2 4Vxp
= = = > şi noua
cerere din bunul 2 va fi: '
*2
2
16 8 6 buc2 2Vxp
= = = > => bunul 1 şi
bunul 2 sunt normale (când venitul consumatorului creşte iar preţurile bunurilor rămân constante, cererile din cele două bunuri cresc).
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Problema 1.13. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv,
pentru a cumpăra două bunuri notate x1 şi x2. Preţurile celor două bunuri, p1 şi p2, sunt presupuse strict pozitive.
Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţiile de
utilitate ( )1 2 1 22,3
U x x x x= + , unde x1 şi x2 sunt cantităţile consumate
din cele două bunuri. Venitul acestuia este de 10 u.m. iar vectorul de preţuri este
. ( )2 4p =Se cere: a) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri; b) Să se calculeze elasticitate directă a cererii din cele couă bunuri
în raport cu preţurile lor; c) Să se calculeze elasticitatea cererii din cele două bunuri în raport
cu venitul şi să se determine natura bunurilor.
Rezolvare: a) Se scrie problema de optim asociată consumatorului:
1 21 2,
1 1 2 2
2m ax3x x
x x
p x p x V
⎧ ⎛ ⎞+⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎨
⎪ + =⎩
Se rezolvă prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim:
( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 22, ,3
L x x x x V p x p xλ λ= + + − −
Condiţiile necesare de optim sunt: 12
1 11
12
2 22
1 1 2 2
10 03
10 02
0
L x px
L x pxL p x p x V
λ
λ
λ
−
−
⎧ ∂= ⇒ − =⎪∂⎪
⎪ ∂⎪ = ⇒ − =⎨∂⎪⎪∂
= ⇒ + =⎪∂⎪⎩
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: 2 1
1 2
1 1 2 2
23
x px p
p x p x V
⎧ × =⎪⎨⎪ + =⎩
De aici, rezultă că: *1 1 1 1 1
1
3 22 5
Vp x p x V xp
+ = ⇒ =
şi *2
2
35
Vxp
= .
Cererea optimă va fi: *
1* 1*2
2
25 23 1.5
Vpx
xVxp
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
5.
b) Elasticitatea directă a cererii din bunul 1 este:
1 1
1 12 2
1 1 1 1
2 2: :5 5x p
x x V VEp p p p∂ − 1= =∂
= − => cererea din bunul 1 este unitar
inelastică. Elasticitatea directă a cererii din bunul 2 este:
2 2
2 22 2
2 2 2 2
3 3: :5 5x p
x x V VEp p p p∂ − 1= =∂
= − => cererea din bunul 2 este unitar
inelastică. c) Elasticitatea cererii din bunul 1 în raport cu venitul este:
1 1
1 12 2
1 1 1 1
2 2: :5 5x p
x x V VEp p p p∂ − 1= =∂
= − => bunul 1 se află la frontiera
dintre bunurile normale şi bunurile superioare. Elasticitatea cererii din bunul 2 în raport cu venitul este:
2
2 2
2 2
3 3: :5 5x V
x xEV V p p∂ 1= =∂
= => bunul 2 se află la frontiera dintre
bunurile normale şi bunurile superioare.
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Problema 1.14. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv,
pentru a cumpăra două bunuri notate x1 şi x2. Preţurile celor două bunuri, p1 şi p2, sunt presupuse strict pozitive.
Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţiile de utilitate ( )1 2 1 2, 3U x x x x= , unde x1 şi x2 sunt cantităţile consumate din cele două bunuri.
Venitul acestuia este de 16 u.m. iar vectorul de preţuri este . )12(=p
Se cere: a) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri; b) Să se determine cererea compensată pentru un nivel dat al
utilităţii u = 30; c) Să se calculeze funcţia de cheltuială; d) Să se calculeze funcţia de utilitate pentru cererea compensată. Rezolvare: a) Se scrie problema de optim asociată consumatorului:
1 21 2,
1 1 2 2
max 3x x
x x
p x p x V
⎧⎪⎨
+ =⎪⎩
Se rezolvă prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim:
( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , 3L x x x x V p x p xλ λ= + − −
Condiţiile necesare de optim sunt:
1 12 2
1 2 11
1 12 2
1 2 22
1 1 2 2
30 02
30 02
0
L x x px
L x x pxL p x p x V
λ
λ
λ
−
−
⎧ ∂= ⇒ −⎪∂⎪
⎪ ∂⎪
=
= ⇒ −⎨∂⎪⎪∂
= ⇒ + =⎪∂⎪⎩
=
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine:
2 1
1 2
1 1 2 2
x px pp x p x V
⎧ =⎪⎨⎪ + =⎩
De aici, rezultă că: *2
22Vxp
= . Înlocuind în a treia ecuaţie se obţin:
*1 1 1
12 2V Vp x V x
p+ = ⇒ = .
Cererea optimă va fi: *
1* 1*2
2
2 48
2
Vpx
xVxp
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
.
b) Se scrie problema de optim asociată consumatorului:
{ }1 2
1 1 2 2,
1 2
min
3 30x x
p x p x
x x
+⎧⎪⎨
=⎪⎩
Se rezolvă prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim:
( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2, , 10L x x p x p x x xλ λ= + + −
Condiţiile necesare de optim sunt:
1 12 2
1 1 21
1 12 2
2 1 22
1 2
30 02
30 02
0 10.
L p x xx
L p x xxL x x
λ
λ
λ
−
−
⎧ ∂ ;
;
= ⇒ − =⎪∂⎪⎪ ∂⎪ = ⇒ − =⎨∂⎪⎪∂
= ⇒ =⎪∂⎪⎩
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine: 2 1
1 2
1 2 1 0
x px p
x x
⎧ =⎪⎨⎪ =⎩
De aici, rezultă că: ** 21
1
10 pxp
= . Înlocuind în a treia ecuaţie se
obţine: **2 1
2 21 2
10 10p px xp p
= ⇒ = .
Cererea optimă va fi:
2**
1** 1**2 1
2
10 10 2
22
ppx
xx p
p
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
c) Funcţia de cheltuială este: ( )** ** ** **
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2, ,30 10 11 11 2V x x p x p x p p p p p p= + = + = = . d) Funcţia de utilitate pentru cererea compensată este:
( )** ** ** **1 2 1 2, 3 3U x x x x= = 10 .
Problema 1.15.
Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului:
( )1 2 1 2 2, 2 3U x x x x x= + , unde x1, x2 reprezintă cantităţile consumate din bunul 1, respectiv bunul 2 iar vectorul de preţuri unitare este ( )12,21p = . Se ştie că venitul de care dispune consumatorul este V=150 u.m.
a) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri; b) Să se determine elasticitatea directă pntru ambele bunuri; c) Să se determine elasticitatea încrucişată pentru ambele bunuri; d) Să se determine elasticitatea celor două bunuri în raport cu
venitul; e) La o scădere a preţului bunului 1 cu 2 u.m., să se determine
efectul modificării preţului asupra cererrii din cele două bunuri prin metoda Slutsky;
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
f) Să se verifice dacă efectul total al modificării preţului prin metoda Slutsky este egal cu efectul modificării preţului calculat prin metoda Hicks.
Rezolvare:
a) Se scrie problema de optim a consumatorului, pentru determinarea
cererii necompensate:
[ ]( )1 2
1 2 2,
1 1 2 2
m ax 2 3x x
x x x
p x p x V
+
+ =
Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim:
( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 2 2, , 2 3L x x x x x V p x p xλ λ= + + − − Se determină condiţiile necesare de optim:
2 11
1 22
1 1 2 2
0 2 0
0 2 3 0
0
L x pxL x pxL p x p x V
λ
λ
λ
∂⎧ = ⇒ − =⎪∂⎪∂⎪ = ⇒ + − =⎨∂⎪
⎪∂= ⇒ + =⎪
∂⎩
Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine:
2 1
1 2
1 1 2 2
2 ;2 3 .
x px p
p x p x V
⎧ =⎪ −⎨⎪ + =⎩
Capitolul 1. Teoria consumatorului
De aici, rezultă că: 1 1 12 2
2 32
p x pp x += . Înlocuind în a treia
ecuaţie se obţin:
1 1 11 1
* *1 11 2
1 2
2 32
2 3 2 3şi4 4
p x pp x V
V p V px xp p
++ = ⇒
− += =
Înlocuind, avem: *1*2
5.5 buc;
4 buc.
xx=
= b) Elasticitatea directă se calculează astfel:
11
1 1 12 2
1 1 1 1 1
2 3 2: : 1.14 ( ; 1)2 4 2 3x
p
x x V pV VEp p p p V p∂ −− −
= = = = − ∈ −∞∂ −
− ⇒
cererea din bunul 1 este elastică;
22
2 2 12 2
2 2 2 2 1
2 3 2: : 0.89 ( 1;2 4 2 3x
p
x x V pV VEp p p p V p∂ +− − 1)= = = = − ∈ −∂ +
⇒
cererea din bunul 2 este inelastică; c) Elasticitatea indirectă se calculează astfel:
12
1 1
2 2
: 0xp
x xEp p∂
= = ⇒∂
cererea din bunul 1 nu depinde de modificare
preţului bunului 2; bunul 1 este indiferent faţă de bunul 2;
21
2 2 2
1 1 1
3: 02 3x
p
x x pEp p V p∂ − .1 0= = = − <∂ +
⇒ bunul 2 şi bunul 1 sunt
complementare; d) Elasticitatea în raport cu venitul este:
1
1 1 1
1 1 1
2 31 2: : 1.14 12 4 2 3x
V
x x V p VEV V p p V V p∂ −
= = = = >∂ −
⇒ bunul 1 este
bun supeior;
2
2 2 1
2 2 1
2 31 2: : 0.89 (0;12 4 2 3x
V
x x V p VEV V p p V V p∂ + )= = = = ∈∂ +
⇒ bunul
2 este bun normal.
a) Metoda Slutsky Preţul nou din bunul 1 va fi: '
1 10 u.m.p =Starea iniţială (A) este dată cantităţile din cele două bunuri când peţurile şi
veniturile sunt nemodificate: *1*2
5.5 buc;
4 buc.
xx=
=Starea finală (C) este dată cantităţile din cele două bunuri atunci când se modifică
preţul unui bun, venitul consumatorului rămânând acelaşi: '
* 11 '
1'
* 12
2
2 3 6.5 buc;4p
2 3 3.9 buc.4
V px
V pxp
−= =
+= =
Se aplică ecuaţia lui Slutsky pentru a determina venitul cu care se cumpără cantităţile iniţiale, în condiţiile în care preţul din bunul 1 s-a modificat:
' ' * *1 1 2 2 10 5.5 21 4 139 u.m.V p x p x= + = × + × =
Se poate calcula acum starea intermediară (B) dată de cantităţile din cele două bunuri, în condiţiile în care se modifică atât preţul din bunul 1, cât şi venitul:
' '* 11 '
1' '
* 12
2
2 3 6.2 buc;4p
2 3 3.6 buc.4
V px
V pxp
−= =
+= =
Astfel, se pot calcula efectul de substituţie şi efectul de venit:
* * *1 1 1( ) ( ) 6.2 5.5 0.7 bucSx x B x A∆ = − = − = * * *1 1 1( ) ( ) 6.5 6.2 0.3 bucVx x C x B∆ = − = − =
De aici rezultă efectul total al modificării preţului:
* * *1 1 2 0.7 0.3 1 bucS Vx x x∆ = ∆ + ∆ = + =
f) Preţul nou din bunul 1 va fi: '1 10 u.m.p =
Starea iniţială (A) este dată cantităţile din cele două bunuri când peţurile şi
veniturile sunt nemodificate: ; *1*2
5.5 buc;
4 buc.
xx=
=
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Starea finală (C) este dată cantităţile din cele două bunuri atunci când se modifică preţul unui bun, venitul consumatorului rămânând acelaşi:
'* 11 '
1'
* 12
2
2 3 6.5 buc;4p
2 3 3.9 buc.4
V px
V pxp
−= =
+= =
Diferă doar modul de calcul al venitului. Se aplică ecuaţia lui Hicks pentru a determina venitul cu care se cumpără cantităţile iniţiale, în condiţiile în care preţul din bunul 1 s-a modificat:
( ) ( )* * * *1 2 1 2( ), ( ) ( ), ( )U x A x A U x B x B= ,
unde B reprezintă starea intermediară. Din ecuaţia lui Hicks rezultă:
( )* * * * *1 2 1 2 2( ), ( ) 2 3 2 5.5 4 3 4 56U x A x A x x x= + = × × + × = ;
( )
( )
* * * * *1 2 1 2 2
' ' ' ' ' '1 1 1
'1 2 2
' ' ' ' ' ' ' '1 1 1
' '2 1 2 1
2'' ' 2 ' 21
'1 2
( ), ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( )
2 3 2 3 2 32 34 4 4
2 3 2 3 2 3 2 32 34 4 4 2
2 30(2 3 ) ( 15)8 1680 420
U x B x B x B x B x B
V p V p V pp p p
V p V p V p V pp p p p
VV p Vp p
= + =
− + += × + =
⎛ ⎞+ − + += + = ×⎜ ⎟
⎝ ⎠
++ += = =
1 =
De aici rezultă că: ( )2' 15
56420
V += . Se obţine: ' 28 30 15V = − .
Se poate calcula acum starea intermediară (B) dată de cantităţile din
cele două bunuri, în condiţiile în care se modifică atât preţul din bunul 1, cât şi venitul.
' '* 11 '
1
' '* 12
2
2 3 14 30 15 buc;4p 10
2 3 14 30 buc.4 10
V px
V pxp
− −= =
+= =
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Astfel, se pot calcula efectul de substituţie şi efectul de venit: * * *1 1 1
14 30 15 7 30( ) ( ) 5.5 7 buc10 5
Sx x B x A −∆ = − = − = −
* * *1 1 1
14 30 15 7 30( ) ( ) 6.5 8 buc10 5
Vx x C x B −∆ = − = − = −
De aici rezultă efectul total al modificării preţului:
* * *1 1 2
7 30 7 307 8 1 buc5 5
S Vx x x∆ = ∆ + ∆ = − + − = .
Se verifică astfel egalitatea dintre efectul total de preţ calculat cu
metoda Slutsky şi efectul total de preţ calculat cu metoda Hicks. Problema 1.16. Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului:
( )1 2 1 2, ln 3lnU x x x x= + ,
unde x1, x2 reprezintă cantităţile consumate din bunul 1, respectiv bunul 2 iar vectorul de preţuri unitare este ( )1,1p = . Se ştie că venitul de care dispune consumatorul este V=12 u.m.
a) Să se arate dacă funcţia este sau nu concavă; b) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri; c) Să se determine cererea compensată pentru un nivel dat al
utilităţii dat, 0u > ; d) La o creştere a preţului bunului 1 cu 1 u.m., să se determine
efectul modificării preţului asupra cererrii din cele două bunuri prin metoda Hicks.
Rezolvare: a) O funcţie este concavă dacă matricea hessian este negativ
definită; ceea ce înseamnă că minorii principali trebuie să aibă semne alternante începând cu semnul minus.
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Matricea Hessian este dată de derivatele de ordinul II ale funcţiei de utilitate:
2 2
21 1 22 2
22 1 2
U Ux x x
HU U
x x x
⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟=⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Astfel:
1 1 2 2
1 3şi .U Ux x x x
∂ ∂= =
∂ ∂
Iar derivatele de ordinul II sunt:
2 2
2 21 1 1 22 2
2 22 1 2 2
1 0;
30 .
U Ux x x x
U Ux x x
∂ − ∂
x
= =∂ ∂ ∂
∂ ∂= =
∂ ∂ ∂−
Matricea devine:
21
22
1 0
30
xH
x
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
Se observă că minorul de ordinul I, 1 21
1x−
∆ = este negativ şi că
minorul de ordinul II, 2 2 21 2
3x x
∆ = este porzitiv. Se poate astfel afirma că
funcţia este concavă. b) Se scrie problema de optim a consumatorului, pentru
determinarea cererii necompensate: [ ]( )
1 2
1 2,
1 1 2 2
max ln 3 lnx x
x x
p x p x V
+
+ =.
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim:
( ) ( )1 2 1 2 1 1 2 2, , ln 3lnL x x x x V p x p xλ λ= + + − − Se determină condiţiile necesare de optim:
11 1
22 2
1 1 2 2
10 0
30 0
0
L px xL px xL p x p x V
λ
λ
λ
∂⎧ = ⇒ − =⎪∂⎪∂⎪ = ⇒ − =⎨∂⎪
⎪∂= ⇒ + =⎪
∂⎩
Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine:
2 1
1 2
1 1 2 2
;3 .x px p
p x p x V
⎧ =⎪⎨⎪ + =⎩
De aici, rezultă că: 1 14 p x V= . Înlocuind în a treia ecuaţie se obţin:
* *1 2
1 2
3şi4 4V Vx xp p
= =
Înlocuind, avem: *1*2
3 buc;
9 buc.
xx=
= c) Se scrie problema de optim a consumatorului, pentru
determinarea cererii compensate: [ ]( )
1 2
1 1 2 2,
1 2
min
ln 3 lnx x
p x p x
x x u
+
+ =
Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim:
( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2, , ln 3lnL x x p x p x u x xλ λ= + + − +
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Se determină condiţiile necesare de optim:
11 1
22 2
1 2
0 0
30 0
0 ln 3ln
L px xL px xL x x u
λ
λ
λ
∂⎧ = ⇒ − =⎪∂⎪∂⎪ = ⇒ − =⎨∂⎪
⎪∂= ⇒ + =⎪
∂⎩
Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine:
2 1
1 2
1 2
;3
ln 3ln
x px p
x x
⎧ =⎪⎨⎪ u+ =⎩
De aici, rezultă că: 2 2 1 13p x p x= . Înlocuind în a treia ecuaţie se
obţin:
3 31 2 1 2
** ** 141 232
14
2
ln 0
3şi3
uu x x x x e k
p kkx xpp k
p
= ⇒ = = >
= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒
d) Preţul nou din bunul 1 va fi: '1 2 u.m.p =
Starea iniţială (A) este dată cantităţile din cele două bunuri când
peţurile şi veniturile sunt nemodificate:
*1
1
*2
2
3 buc;43 9 buc.4
VxpVxp
= =
= =
Starea finală (C) este dată cantităţile din cele două bunuri atunci când se modifică preţul unui bun, venitul consumatorului rămânând acelaşi:
*1 '
1
*2
2
1.5 buc;43 9 buc.4
VxpVxp
= =
= =
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Se aplică ecuaţia lui Hicks pentru a determina venitul cu care se cumpără cantităţile iniţiale, în condiţiile în care preţul din bunul 1 s-a modificat: ( ) ( )* * * *
1 2 1 2( ), ( ) ( ), ( )U x A x A U x B x B= , unde B reprezintă starea intermediară. Din ecuaţia lui Hicks rezultă:
( ) ( )3* * * * 31 2 1 2( ), ( ) ln ln 3 9 ln 3U x A x A x x= = × = 7 ;
( ) ( )( )
3* * * *1 2 1 2
43 ' 3' '
' 41 2
( ), ( ) ln ( ) ( )
33ln ln4 4 4 2
U x B x B x B x B
VV Vp p
= =
×⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ×⎝ ⎠⎝ ⎠
De aici rezultă că: ( )4' 3
74
3ln 3 ln
4 2V ×
=×
. Se obţine: ' 412 2V = .
Se poate calcula acum starea intermediară (B) dată de cantităţile din
cele două bunuri, în condiţiile în care se modifică atât preţul din bunul 1, cât şi venitul.
' 4*1 '
1
'* 42
2
3 2 buc;4p 2
3 9 2 buc.4
Vx
Vxp
= =
= =
Astfel, se pot calcula efectul de substituţie şi efectul de venit: 4
* * *1 1 1
3 2( ) ( ) 3 buc2
Sx x B x A∆ = − = −
4* * *1 1 1
3 2( ) ( ) 1.5 buc2
Vx x C x B∆ = − = −
De aici rezultă efectul total al modificării preţului:
4 4* * *1 1 2
3 2 3 23 1.5 1.5 buc2 2
S Vx x x∆ = ∆ + ∆ = − + − = −
Prin creşterea preţului bunului 1, se vor cumpăra cu 1.5 buc mai puţin, în condiţiile în care utilitatea consumatorului rămâne constantă.
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Problema 1.17. Fie funcţie de utilitate de tip Stone-Geary a consumatorului:
( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2, , ,U x x x x x xα β
α β α β= − + − > + =0, 1,
unde x1, x2 reprezintă cantităţile consumate din bunul 1, respectiv bunul 2,
1 2,x x reprezintă nivelurile de subzistenţă iar vectorul de preţuri unitare este
( 1 2; )p p p= . Se ştie că venitul de care dispune consumatorul este V>0.
a) Să se determine cererea necompensată din cele două bunuri
pentru 12
α β= = ;
b) Să se determine funcţia de utilitate pentru cererea necompensată,
pentru 12
α β= = ;
c) Să se verifice dacă utilitatea marginală în raport cu venitul este
egală cu multiplicatorul lui Lagrange;
Rezolvare: a) Se scrie problema de optim a consumatorului, pentru determinarea
cererii necompensate:
[ ] ( ) ( )1 2
1 12 2
1 1 2 2,
1 1 2 2
m axx x
x x x x
p x p x V
⎡ ⎤− + −⎢ ⎥
⎣ ⎦+ =
Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim:
( ) ( ) ( ) ( )1 12 2
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2, ,L x x x x x x V p x p xλ λ= − + − + − −
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Se determină condiţiile necesare de optim:
( )
( )
12
1 1 11
12
2 2 22
1 1 2 2
10 02
10 02
0
L x x px
L x x pxL p x p x V
λ
λ
λ
−
−
⎧ ∂= ⇒ − − =⎪∂⎪
⎪ ∂⎪ = ⇒ − − =⎨∂⎪⎪∂
= ⇒ + =⎪∂⎪⎩
Împârţind primele două ecuaţii şi făcând sistem cu a treia se obţine:
2 2 1
21 1
1 1 2 2
;x x p
px xp x p x V
⎧ −⎪ =⎪⎨ −⎪
+ =⎪⎩
De aici, rezultă că: ( )2
2 2 21 2
1
p x x1x x
p
−= + . Înlocuind în a treia
ecuaţie se obţin:
( )2 22 2 2 1 1
1 2 221
2 2 2 2* *1 2 2 1 1 2 1 1 22 12 2
2 1 2 1 1 2
şi
p x x p xp p x V
p
Vp p x p x Vp p x p xx xp p p p p p
− ++ = ⇒
+ − + −= =
+ +2
Capitolul 1. Teoria consumatorului
Se obţine multiplicatorul lui Lagrange:
12 2
2 2 2 1 2 121 1 2
12
Vp p x p p x
1p p p pλ
−⎛ ⎞− −
= ×⎜ ⎟+⎝ ⎠
b) e calculează funcţia de utilitate indirectă pentru cererea
compensată înlocuind cantităţile optime obţinute în funcţia de utilitate dată:
( ) ( ) ( )1 1
* * *2 21 2 1 1 2 2
1 12 2 2 22 2
2 1 1 2 2 1 2 2 1 11 22 2
1 1 2 2 1 2
1 12 22 2
2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 22 21 1 2 2 1 2
, ,u p p V x x x x
Vp p x p x Vp p x p xx xp p p p p p
Vp p x p p x Vp p x p p xp p p p p p
= − + − =
⎛ ⎞ ⎛+ − + −= − +⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝
⎛ ⎞ ⎛− − − −= +⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝
⎞− =⎟
⎠
⎞⎟⎠
c) Trebuie să verificăm relaţia:
( )*1 2, ,u p p VV
λ∂
=∂
Calculăm utilitatea marginală în raport cu venitul:
( )1
* 2 21 2 2 2 2 1 2 1 2
2 21 1 2 1 1 2
12 2
1 1 1 1 2 2 12 22 1 2 2 1 2
, , 12
12
u p p V Vp p x p p x pV p p p p
Vp p x p p x pp p p p p p
−
−
⎛ ⎞∂ − −= × × +⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠
⎛ ⎞− −+ × ×⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
p p+
Microeconomie-aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Dăm factor comun, introducem în radical şi obţinem:
( )
( ) ( ) ( )
( )
1* 2 2
1 2 2 2 2 1 2 121 1 2
2 22 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1
22 21 1 2 1 1 21 1 1 1 2 2 2 1 2
12 22
2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 221 1 2 1 1 2 1
, , 12
12
u p p V Vp p x p p xV p p p
p p p p Vp p x p p x pp p p p p pVp p x p p x p p p
Vp p x p p x p Vp p x p p xp p p p p p Vp p
−
−
⎛ ⎞∂ − −= × ×⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠
⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥× + × ×⎢ ⎥+ +− − +⎣ ⎦
⎛ ⎞− − − −= × × +⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠
2
=
( )
12
21 1 1 2 2
12 2
2 2 2 1 2 1 221 1 2 1 1 2 1 2
12 2
2 2 2 1 2 12
1 1 1 2
1 12
12
ppx p p x
Vp p x p p x pp p p p p p p p
Vp p x p p xp p p p
λ
−
−
⎡ ⎤⎢ ⎥× =
−⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞− −= × × + =⎜ ⎟ ⎢ ⎥+ + +⎝ ⎠ ⎣ ⎦
⎛ ⎞− −= × =⎜ ⎟+⎝ ⎠
Egalitatea se verifică.
Problema 2.1. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv,
pentru a cumpăra două bunuri notate x1 şi x2. Preţurile celor două bunuri, p1 şi p2, sunt presupuse strict pozitive.
Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţiile de utilitate
( )1 2 1 2, ln lnU x x x x= + , unde x1 şi x2 sunt cantităţile consumate din cele două bunuri. Se cere: a) Determinaţi funcţiile de cerere necompensată (de tip Marshall sau
Walras) , i = 1 şi 2, ale consumatorului din fiecare din cele două bunuri.
( Vppxi ,, 21 )
b) Fie un alt consumator ale cărui preferinţe sunt reprezentate prin funcţia de utilitate ( ) 2121 , xxxxH = . Comparaţi funcţiile de cerere necompensată cu ale celui precedent. Explicaţi acest rezultat.
Rezolvare: a) Preferinţele consumatorului sunt reprezentate printr-o funcţie de
utilitate de tip Cobb-Douglas. Această funcţie este strict qusiconcavă, din cauza strict concavităţii funcţiei logaritm. În consecinţă, problema de maximizare pe mulţimea de consum a funcţiei de utilitate a consumatorului admite o soluţie unică, ce defineşte funcţiile de cerere.
Ca urmare, alegerea optimă va fi dată de rezolvarea următorului program:
),( 21 xx
( )1 2
1 2,
1 1 2 2
max ln lnx x
x x
p x p x V
+⎧⎪⎨
+ =⎪⎩
La punctele a), b) şi d) consumurile agenţilor economici sunt considerate în cadranul pozitiv al sistemului ortogonal de axe din R2.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Ca urmare, condiţia necesară de optim este echivalentă cu faptul că raportul preţurilor bunurilor este egal cu raportul utilităţilor marginale ale celor două bunuri. Această relaţie implică egalitatea:
2
12
1
pp
UU
m
m =
11
1 1xx
UU m =∂∂
= ; 22
2 1xx
UU m =∂∂
=
Această egalitate, împreună cu restricţia bugetară, permite determinarea funcţiilor de cerere necompensată ale consumatorului:
( )1
2111 2,,
pVVppxx ==
( )2
2122 2,,
pVVppxx ==
b) Funcţiile de utilitate U şi H verifică egalitatea:
( ) ( )1 2,1 2H , = eU x xx x . Deoarece funcţia exponenţială ( )1 2,U x xe este o funcţie
pozitivă şi crescătoare, funcţiile de utilitate U şi H sunt asociate aceleiaşi ordini de preferinţe. În acest caz, doi consumatori ale căror funcţii de utilitate sunt U şi H fac aceeaşi alegere. În consecinţă, funcţiile lor de cerere sunt identice.
Problema 2.2. Se consideră un consumator ce dispune de un venit V, strict pozitiv,
pentru a cumpăra două bunuri notate x1 şi x2. Preţurile celor două bunuri, p1 şi p2, sunt presupuse strict pozitive.
a) Care sunt funcţiile de cerere necompensată ale unui consumator a cărui mulţime de consum este [γ1, +∞] x [γ2, +∞] şi a cărui funcţie de utilitate se scrie:
1 2 1 1 1 2 2 2( , ) ln( - )+ ln( - ), U x x x xβ γ β γ= unde γ1 şi γ2 sunt parametri pozitivi, iar β1 şi β2 sunt două numere
reale strict pozitive, astfel încât β1+β2=1.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Dacă parametrii γ1 şi γ2 sunt nuli, calculaţi elasticitatea cererii în raport cu venitul, pentru fiecare din bunurile x1 şi x2.
b) Determinaţi funcţiile de cerere necompensată ale unui consumator a cărui funcţie de utilitate se scrie:
1 2 1 1 1 2 2( , ) ln( )+ ln , U x x x x xβ β= +
unde 1x este un număr real pozitiv, 1 2, 0β β > , cu 1 2 1β β+ = . Ce particularitate are funcţia de cerere din bunul ? 1x
Rezolvare: a) Funcţia de utilitate nu este definită decât pe mulţimea
consumurilor posibile, adică atunci când cantităţile consumate din bunurile x1 şi x2 sunt cel puţin egale cu γ1 şi respectiv γ2.
Perechea (γ1,γ2) se interpretează ca minimul de subzistenţă la nivelul consumatorului. Deoarece consumatorul poate cumpăra această combinaţie, trebuie ca venitul V să fie mai mare sau egal cu valoarea sa: 2211 γγ pp + , valoare care constituie venitul minimal al consumatorului, sub care funcţiile de cerere nu sunt definite.
În continuare, vom presupune că venitul este strict mai mare decât acest venit minimal. Prin urmare, parametrii β1 şi β2 descriu gusturile consumatorului: cu cât parametrul βi este mai mare, cu atât mai puternică este preferinţa consumatorului pentru bunul xi.
Din: 2
12
1
pp
UU
m
m = rezultă:
11
1
1
1
yxxUU m −
=∂∂
=β
; 22
2
2
2
yxxUU m −
=∂∂
=β
De unde: ( ) ( )2 1 1 1 1 2 2 2p x p xβ γ β γ− = −
Utilizând restricţia bugetară, această relaţie conduce la egalităţile: ( ) ( )1 1 2 2i i i ip x V p pγ β γ− = − − γ pentru i = 1, 2.
Aceste egalităţi arată că venitul „excedentar“, disponibil după
cumpărarea combinaţiei de consum minimal, 2211 γγ ppV −− , este afectat in funcţie de gusturile consumatorului (reprezentate prin parametrii β1 şi β2) pentru cumpărarea unui excedent din bunul x1, egal cu 11 γ−x , şi pentru cumpărarea unui excedent din bunul x2, egal cu 22 γ−x .
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Funcţiile de cerere necompensată din bunul xi (i = 1, 2) se scriu deci:
( ) ( )1
2211112111 ,,
pppVVppxx γγβ
γ−−
−==
( ) ( )2
2211222122 ,,
pppVVppxx γγβ
γ−−
−==
Elasticitatea
Vx i
E a cererii de bun i, în raport cu venitul, este defi-
nită prin egalitatea:
( ) 12211
=−−
=−−−
⋅−
=∂∂
=VβVβ
γpγpVβVγVp
pβ
Vx:
VxE
i
i
ii
i
i
iii
Vxi
Deoarece parametrii γ1 şi γ2 sunt nuli, elasticităţile E1 şi E2 au
valoarea 1. b) Dacă preferinţele conumatorului sunt definite prin funcţia de
utilitate , atunci acesta poate consuma o cantitate nulă din bunul x
),( 21 xxU1, fără ca nivelul său de utilitate să fie minim pe mulţimea consumurilor.
Este posibil deci ca el să ceară o cantitate nulă de bun x1. Ca urmare, cantitatea cerută din bunul x2 este întotdeauna strict pozitivă. Cererile consumatorului sunt soluţii ale programului:
{ }1 2
1 1 1 2 2,
1 1 2 2
1 2
max ln( )+ ln
0, 0
x xx x x
p x p x Vx x
β β⎡ ⎤ +⎢ ⎥⎣ ⎦+ ≤
≥ ≥
Fie λ şi α multiplicatorii asociaţi celor două restricţii. Lagrangeanul L al programului se scrie:
( ) ( ) 1221122111 lnln xVxpxpxxxL αλββ +−+−++=
Ţinând cont de faptul că la maxim de utilitate, restricţia bugetară este satisfăcută cu egalitate, condiţiile de ordinul I pentru programul de maximizare sunt date de expresiile:
0111
1
1
=+−+
=∂∂ αλp
xxβ
xL
;
Capitolul 2. Teoria consumatorului
022
2
2
=−=∂∂ λp
xβ
xL
;
1 1 2 2
L p x p x Vλ
∂= + =
∂;
1 0L xα∂
= =∂
Având în vedere concavitatea strictă a funcţiei de utilitate, aceste
condiţii de optimalitate sunt necesare şi suficiente. În rezolvarea sistemului, discuţia se poartă asupra cazului când x1 este nulă. Dacă x1 este strict pozitivă, cererile se vor afla în interiorul mulţimii de consum posibil, raportul utilităţilor marginale a două bunuri este egal cu raportul preţurilor, de unde rezultă funcţiile de cerere:
11 1 2 2 1
1
( , , ) Vx p p V xpβ β= − ;
1 12 1 2 2 1
2 2
( , , ) V xx p p V pp pβ β= − .
Această situaţie are loc atunci când x1 (p1, p2, V) este strict pozitiv,
adică atunci când venitul V este mai mare decât β2 p1 1x /β1. Când cererea de bun 1 este nulă, cererile sunt date de relaţiile:
( )2 1 2, , 0x p p V =
( )2 1 22
, , Vx p p Vp
=
Deoarece α este pozitiv, rezultă că raportul utilităţilor marginale
),x(U),x(U
m
m
22
21
00
este mai mic sau egal decât raportul preţurilor 2
1
pp
. Această
condiţie este verificată dacă şi numai dacă venitul este mai mic sau egal
decât 1
112
βxpβ
.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Aceasta înseamnă că rata marginală de substituire1 a bunului x1 cu bunul x2 este mai mare decât preţul relativ al bunului x2 în raport cu bunul x1.
Altfel spus, pentru această structură de preţ şi de venit, consumatorul va dori, dacă acest lucru este posibil, să vândă din bunul x1 pentru a cumpăra din bunul x2.
Problema 2.3. Un consumator afectează un venit V pentru a cumpăra două bunuri 1
şi 2, ale căror preţuri unitare sunt şi . Preferinţele sale sunt reprezentate prin funcţia de utilitate:
1p 2p
1 2 1 2( , ) ( -1)U x x x x= cu , unde 1 20, 0x x≥ ≥ 1 2, x x desemnează cantităţile consumate. Se cere: a) Determinaţi ecuaţiile funcţiilor de cerere. Se va presupune că
V> 2V p> . b) Se consideră situaţia iniţială, unde 121 == pp şi V=3 şi o situaţie
finală unde în timp ce şi V rămân neschimbate. Care sunt cantităţile din fiecare bun, cumpărate de consumator în situaţia iniţială şi situaţia finală?
22 =p 1p
c) Descompuneţi trecerea de la situaţia iniţială la situaţia finală, distingând efectul de substituţie şi efectul de venit. Comentaţi rezultatele şi reprezentaţi-le pe un grafic.
Rezolvare: a) Pentru determinarea alegerii optime vom construi lagrangeanul
problemei: ( ) ( )221121 1 xpxpVxxL −−+−= λ
unde λ este multiplicatorul Lagrange.
1 Rata marginalã de schimb a bunului x1 cu bunul x2, reprezintã numãrul de unitãti din
bunul x2 pe care consumatorul este dispus sã le dea în schimbul unei unitãti (presupusã infinit de micã în raport cu cantitãtile consumate) de bun x1. Aceastã ratã este egalã cu rata marginalã de substitutie a bunului x1 cu bunul x2.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Condiţiile necesare de optim conduc la sistemul:
2 11
1 22
1 1 2 2
1 0
0
0
L x pxL x pxL V p x p x
λ
λ
λ
∂= − − =
∂∂
= − =∂∂
= − − =∂
cu soluţiile:
2 21 2
1 2
, 2 2
V Vp px x
p p− +
= = .
b) Situaţia iniţială: 1 2 1 , 2 x x= = ;
Situaţia finală: 1 21 5, = 2 4
x x=
c) Se consideră o situaţie intermediară, care corespunde unor alegeri
ce ar fi fost făcute de consumator cu noul sistem de preţuri ( 1 1p = şi ), dacă acesta ar fi primit o variaţie compensatoare de venit ce i-ar permite să se menţină la nivelul iniţial de satisfacţie.
2 2p =
Acestă situaţie intermediară este caracterizată prin dubla condiţie: U x x U
Rms
( , ) ( , )
( , )
1 2 1 2
2 112
=
=
undeRms(2,1) reprezintă rata marginală de substituţie a bunului 2 cu bunul 1.
Din pp
1
2
12
= , şi relaţiile de mai sus, avem:
1 2
2
1
( 1)1 1
2
x xx
x
1− =−
=,
de unde: x x1 22 112
= = +, .
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Efectul de substituţie: "E E→ 2 1
12 1+ 2
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Deci: 1 2 -1 0x∆ = >
21 -1 02
x∆ = <
Efectul de venit: " 'E E→
12 2 1 51+
2 4
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟→⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Deci: 11 - 2 02
x∆ = <
21 1 - 4 2
x 0∆ = < .
Efectul de substituţie reduce consumul bunului 2, al cărui preţ a
crescut, şi creşte consumul bunului 1 care a devenit mai avantajos. Deoarece bunurile 1 şi 2 sunt normale ( sunt funcţii
crescătoare), creşterea preţului reduce consumul din aceste bunuri, prin efectul de venit.
)(),( 21 VxVx
2p
Pentru bunul 2, efectele de substituţie şi de venit se cumulează şi consumul se diminuează.
Pentru bunul 1 efectul de venit domină efectul de substituţie şi consumul final, de asemenea, este diminuat.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
x2 3 2 1+1/ 2 3/2 5/4 (2) (1) (0) 1/2 1 2 3 x1
F igura 2.1. Efectul de substitutie E-E’’ şi efectul de venit E’’-E’.
Problema 2.4. Un consumator are funcţia de utilitate:
( ) ( ) (1 2 1 1 2 2, aU x x x c x c= − − )b , cu a+b=1, a,b>0 (funcţie de utilitate de tip Geary-Stone), unde ci reprezintă nivelul
minim de subzistenţă pentru i=1,2. Determinaţi funcţiile de cerere compensată (de tip Hicks) şi funcţia
cheltuielilor. Rezolvare: Definim :
, 1, 2i i ix x c i= − = şi deci:
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2V p x p x p x p x p c p c= + = + + + Putem scrie problema astfel :
{ }1 2
1 1 2 2 1 1 2 2,
1 2
minx x
a b
p x p x p c p c
x x u
+ + +
= ,cu u-dat.
Se scrie Lagrangeanul asociat problemei:
1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( , , ) ( )a bL x x p x p x p c p c u x xµ µ= + + + + −
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Condiţiile de ordinul întâi conduc la: 1
1 1 21
0a bL p a x xx
µ −∂= − =
∂
12 1 2
2
0a bL p b x xx
µ −∂= − =
∂
1 2a bL x x u
µ∂
= =∂
şi funcţia de cerere Hicksiană din fiecare bun este:
11
2
aa pax ub p
−− ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
12
2
aa pax ub p
−− ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
sau
11 1
2
bb pax u cb p
⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
12 2
2
aa pax u cb p
−− ⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Înlocuind în expresia lui V vom obţine funcţia cheltuială :
**1 2 1 1 2 2
b aa ba aV p p u
b b
−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
p c p c
Problema 2.5. Se consideră un consumator ce are funcţia de utilitate:
( )1 2 1 2, a bU x x x x= , cu a,b>0, a+b=1. Se cere: a) Determinaţi funcţiile de cerere compensată (de tip Hicks) şi
funcţia cheltuielilor.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
b) Deduceţi funcţia de cheltuieli pentru funcţia de utilitate v=u2 şi
comparaţi rezultatul cu cel obţinut la punctul a).Comparaţi valoarea u
V **
∂∂
în fiecare caz. c) Calculaţi funcţia de cheltuieli în cazul în care
c1) ( ) { }1 2 1 2, min ,U x x x x= -bunuri complementare;
c2) -bunuri substituibile. ( )1 2 1 2,U x x ax bx= + Rezolvare: Fie x1
* şi x2* funcţiile cererilor Hicksiene, atunci x*
i, i=1,2, sunt soluţiile pentru problema de minimizare:
{ }ba
xx
xxu
xpxp
21
2211, 21
min
=
+ , a+b=1.
Cu λ multiplicatorul lui Lagrange, Lagrangeanul problemei este: ( ) ( )ba xxuxpxpxxL 21221121 ,, −++= λλ ,
condiţiile de prim ordin fiind:
021
111
=−=∂∂ − ba xaxpxL λ (2.1)
01212
2
=−=∂∂ −ba xaxpxL λ (2.2)
021 =−=∂∂ ba xxuLλ (2.3)
Relaţiile (2.1) şi (2.2) dau: 1 2
2 1
p a xp b x
= ⇒ 12
12 x
ab
ppx ××= (2.4)
Substituim (2.4) în (2.3) şi oţinem:
*1 1 11 1 1
22 2
ab b b bbp p b p bu x x x u
a a p ap p
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⇒ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
şi datorită simetriei,
* 22
1
a aa
x ub
pp
− −
=⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠. (2.5)
Fie funcţia cheltuială, cu ( uppV ,, 21
** ) ( ) *22
*1121
** ,, xpxpuppV +=
* 1 2 ,1 22 1
1 11 2 2 1
1 2 2 1
.1 2
b ab ap pa aV p u p u
p b p b
b aa ab b a aup p up pb bb a
a aa b b aup p up pb b
b aa a a bup pb b
− − −
= +
−− −= +
−
= +
−
= +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
b) Avem:
( )22 21 2 1 2a a a bv u x x x x= = = 2
Ca urmare, problema de optim este:
ba
iiixx
xxv
xp
22
21
, 21
min
=
∑ cu a+b=1
Se scrie Lagrangeanul asociat problemei de optim: ( ) ( )ba xxvxpxpxxL 2
221221121 ,, −++= λλ (2.6)
Conditiile necesare de optim sunt: 2 1 2
1 1 21
2 0a bL p a x xx
λ −∂= − =
∂ (2.7)
2 2 12 1 2
2
2 0a bL p b x xx
λ −∂= − =
∂ (2.8)
2 21 2 0a bL v x x
λ∂
= − =∂
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Împărţind (2.6) la (2.5) obţinem: 1 2 1
2 12 1 2
p ax p bx xp bx p a
= => =
exact ca în relaţia (2.4) de mai sus. Înlocuim (2.4) în (2.3) şi obţinem 2 2
2 21 11 1
2 2
b b
a bp b p bv x x xp a p a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠21
deoarece a+b=1, şi deci:
2
2 11
2
bp bx vp a
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
sau 1
* 121
2
bp bx vp a
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Prin simetrie : 1
* 222
1
ap ax vp b
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Înlocuind în funcţia cheltuială obţinem : 1 1
** 1 22 21 2 1 1
2 1
( , , )b a
p b pV p p v p v p v ap a p b
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Simplificând, rezultă : 1
** 21 2 1 2( , , )
b aa ba aV p p v v p p
b b
−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Înlocuind uv 21
= avem:
**1 2 1 2( , , )
b aa ba aV p p v up p
b b
−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
, ca şi în primul caz.
Vom avea derivatele:
**
1 21 2
( , , ) b aa bV p p u a a p p
u b b
−⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
** 1
1 2 21 2
( , , ) 12
b aa bV p p v a a v p p
v b b
−−⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Astfel, deşi valorile funcţiei cheltuială şi ale cererilor Hicksiene sunt neafectate de transformarea funcţiei de utilitate, măsura „costului marginal
al utilităţii“, u
V **
∂∂ care este inversa utilităţii marginale a venitului,
VU
∂∂
depinde de funcţia de utilitate specifică folosită. Trebuie confirmat pentru transformarea folosită aici că :
** **V V du V d
∂ ∂= ×
∂ ∂vu
c) Pentru bunurile perfect complementare, curbele de indiferenţă au forma din figura 2.2.(a).
Aşa cum arată figura, *2
*1 xx = . Echilibrul trebuie să satisfacă
restricţia bugetară Vxpxp =+ *
22*11
de unde: * *1 2
1 2
V x x up p
= = =+
de aici *
1 2
Vup p
=+
este funcţia indirectă de utilitate. Inversând funcţia indirectă de utilitate obţinem funcţia cheltuială
( ) ( )uppupV 21** , += .
În cazul bunurilor substituibile, 21 bxaxu += . Aşa cum arată figura 2.2(b), maximizând utilitatea avem două cazuri principale determinate de pantele liniei bugetului şi a curbelor de indiferenţă liniare (unde aceste pante sunt egale soluţia se află în orice punct de pe restricţia bugetară).
Cazul 1:
1
2 1
pa ab p p p> ⇔ >
2
b .
În acest caz avem o soluţie în colţ, cu 1
1 pVx = , x2=0. Atunci
1 2
aV bVup p
= > .
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Cazul 2: 1
2 1
pa ab p p p< ⇔ <
2
b
Şi în acest caz avem o soluţie în colţ, cu 2
2 pVx = , x1=0. Atunci
1 2
aV bVup p
= < .
Aceste rezultate ne permit scrierea funcţiei de utilitate indirectă:
x2 (a) x2 (b) V/p2 a/b<p1/p2 x2
* a/b>p1/p2
0 x1
* x1 0 x1 Figura 2.2. Curbele de indiferenţă pentru bunuri
complementare
** **
1 2 1 2
max , max ,aV bV a bU Vp p p p
⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠
sau funcţia cheltuială ** 1 2min ,p pV u
a b⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Problema 2.6. Un consumator are funcţia de utilitate S = şi restricţia de
buget: X Y0.3 0.7
.YPX+= yxPV
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Se cere: a) Studiaţi grafic consecinţele modificării preţului bunului X asupra
cererii de bunuri X şi Y. b) Stabiliţi ecuaţia lui Slutsky ataşată schimbării considerate mai
sus.Evidenţiaţi, în această ecuaţie, efectele de substituţie şi de venit.
c) Ce se poate spune despre natura economică a bunurilor X şi Y, avînd în vedere că este cunoscută ecuaţia lui Slutsky.
Rezolvare: a) Modificarea preţului unui bun, venitul şi preţul celuilalt bun
rămânînd neschimbate, atrage o modificare a dreptei de buget şi în consecinţă şi a echilibrului consumatorului.
Modificarea echilibrului face să apară, în general, o modificare a cererii de bun X şi Y.
Dacă se modifică (preţul bunului X), vom numi efect total al acestui preţ asupra lui X şi Y, variaţia cererii de bun X şi bun Y, indusă de variaţia lui .
xP
xPAcest efect total se descompune în două subefecte: un efect de
substituţie şi un efect de venit. În figura de mai jos este reprezentat grafic efectul total, care rezultă
în urma creşterii lui , V şi rămânând constante. xP P y
Creşterea lui atrage o schimbare a punctului de echilibru din A de pe , în C de pe .
xP1S 2SEfectul total indus de asupra cererii de bun X corespunde unei
scăderii de la la şi efectul total asupra cererii de bun Y corespunde unei creşterii egale de la la .
xPAX CX
AY CY Efectul de substituţie: Dacă preţul creşte, consumatorul înregistrează o scădere a puterii
sale de cumpărare sau a venitului său real. Dacă se face ipoteza (Hicks) că pe aceeaşi curbă de indiferenţă, venitul real este acelaşi şi că dacă se compesează exact pierderea de venit real, datorită creşterii preţului bunului X printr-o sumă de bani, se va obţine un nou punct de echilibru B pe , corespunzând unui venit real identic celui din punctul A, dar definit pentru noul sistem de preţuri. Efectul de substituţie rezultând din creşterea preţului bunului X este răspunsul consumatorului raţional, când acesta conservă un venit real sau o satisfacţie identică. Acest efect de substituţie se reprezintă
xP
1S
Capitolul 2. Teoria consumatorului
pe graficul din figura de mai jos printr-o scădere a cererii de bun X de la la . Variaţia raportului de preţuri antrenează o substituţie a bunului
Y cu bunul X. Bunul Y, al cărui preţ nu a fost schimbat devine relativ preferabil, pentru consumator, bunului X.
AX CX
Efectul de venit: Admitem acum situaţia în care consumatorul cedează suma de bani
care ar fi fost introdusă pentru a compensa pierderea de venit real. Efectuând această operaţie, dreapta de buget care ar fi prmis determinarea punctului B se deplasează paralel cu ea însăşi până când venitul "fictiv" folosit ar fi în întregime restituit. La acest moment, consumatorul se găsea în punctul de echilibru C. Trecerea de la B în C corespunde unui efect de venit real, indus de creşterea preţului şi se manifestă printr-o scădere a cererii X de la la şi o scăderea a lui Y de la la .
xPBX CX BY CY
Y V/P y
C B A V/ P/
x V/ Px
XFigura 2.3. Efectul de substituţie şi efectul de venit
Forma curbei cererii de bun X, funcţie de cu şi V rămânând
constante, va depinde de importanţa efectului de substituţie şi a efectului de venit real. Punctul de echilibru iniţial A este dat de condiţiile de prim ordin aplicate lagrangeanului:
xP yP
L = X Y + ( -P X-P Y)0.3 0.7x yλ V
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
b) Ecuaţia lui Slutsky este formularea algebrică a efectului total al variaţiei preţului unui bun, asupra cererii.
Dacă funcţia de satisfacţie (de utilitate) depinde de două bunuri (cum este cazul nostru), variaţia preţului va antrena stabilirea a două ecuaţii ale lui Slutsky:
xP
Dacă se schimbă, condiţiile de stabilitate iniţiale se vor schimba. xP
Problema 2.7. Fie un alt cosumator a cărui funcţie de utilitate se scrie:
( ) ( )ρρ −− += 321321 ,, xxxxxxU , a cărui mulţime de consum posibil este în cadranul pozitiv al lui R3.
Parametrul real ρ este presupus mai mare sau egal cu –1. Preţul bunului xi este notat pi, i=1,2,3 şi venitul consumatorului, V. Presupunând că cererile sunt incluse în mulţimea de consum posibil, calculaţi funcţiile de cerere necompensată x2(p,V) şi x3(p,V). Utilizând ecuaţia lui Slutsky, determinaţi
derivata ( )
3
2 ,p
upx∂
∂ a funcţiei de cerere compensată a bunului x2, când
nivelul de utilitate atins de consumator este ( ) ( ) ( )( )VpxVpxVpxU ,,,,, 321 . Bunurile x2 şi x3 sunt substituibile sau complementare (discuţie în funcţie de ρ )?
Rezolvare: Funcţiile de cerere ale consumatorului se obţin căutând perechea
care asigură maximul utilităţii consumatorului, pe restricţia bugetară, deoarece această pereche este presupusă ca aparţinând mulţimii de consum posibil. Funcţia de utilitate fiind crescătoare în raport cu argumentele sale, rezultă că restricţia de buget este satisfăcută cu egalitate. Cum această funcţie este strict quasiconcavă, programul considerat admite o soluţie unică, care se obţine scriind condiţiile de nulitate ale derivatelor de ordinul 1 ale lagrangeanului.
( ) ( ) ( )332211
1
321321 ,,, xpxpxpVλxxxxxxL /ρρρ −−−++= −−−λ , unde λ este multiplicatorul Lagrange.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Condiţiile necesare de optim conduc la:
( )
( )
1/2 3 1
1
1/ 1
1 2 3 22
1/ 1
1 2 3 33
1 1 2 2 3 3
( ) 0
0
0
0
L x x pxL x x x pxL x x x pxL V p x p x p x
ρ ρ ρ
ρρ ρ
ρρ ρ
λ
λ
λ
λ
− − −
− −− −
− −− −
∂= + − =
∂∂
= + −∂∂
= + −∂∂
= − − − =∂
=
=
Perechea cerută verifică restricţia bugetară. Această restricţie
determină cantitatea x2 în funcţie de venit şi preţ. Se obţine:
2 2 11 1
2 2 3
( , )2
Vx x p Vp p p
ρρ ρ+ +
= =⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎝ ⎠
3 3 11 1
3 3 2
( , )2
Vx x p Vp p p
ρρ ρ+ +
= =⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎝ ⎠
(1.6)
Formula lui Slutsky se scrie:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 23
3 3
, ,,
,p U x p V x p Vx p V
p pϕ∂ ∂ ∂
= +∂ ∂ ∂V
atunci când nivelul de utilitate U este egal cu U(x1(p,V),x2(p,V),x3(p,V)).
Notând 1
1 12 2 3D p p p
ρρ ρ+ += + egalitatea (1.6) implică:
11
2 2
3 3
( , )2 1
x p V pVp D p
ρρρ
+∂= − × ×
∂ +
şi 2 ( , ) 1
2x p V
V D∂
=∂
.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Ţinând cont de egalitatea (*) se arată că: 1
12
33
11
22
3
( , )
( , )2
px p Vp
p Vx p Vp D
ρ
ρ
+
+
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= ×⎜ ⎟⎝ ⎠
În consecinţă:
( )
( )
( )1 / 12
2
32
3
12,
1
pVD pp U
p
ρ
ρϕ
ρ
+⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠∂ ⎣ ⎦=
∂ +
Această expresie nu depinde de semnul lui 1–ρ. Cele două bunuri sunt deci, substituibile dacă parametrul ρ este mult mai mic decât 1 şi complementare în caz contrar.
Când ρ este nul, funcţia de utilitate este de tip Cobb-Douglas şi cele două bunuri sunt substituibile. Aceste trei aplicaţii arată că noţiunea de substituibilitate nu este caracteristică bunurilor considerate ci gusturilor consumatorului.
Problema 2.8. Fie un consumator ale cărui preferinţe sunt reprezentate printr-o
funcţie de utilitate definită în cadranul pozitiv al lui R2, crescătoare în fiecare argument, diferenţiabilă, cu derivatele continue, strict quasiconcavă şi omogenă de grad µ, unde µ este un scalar strict pozitiv. Funcţia de utilitate U(x1,x2) depinde de cantităţile consumate din două bunuri x1 şi x2. Preţul bunului xi şi venitul acestuia sunt notate pi şi V. În tot acest exerciţiu cererile sunt presupuse aparţinând mulţimii de consum posibil.
a) Arătaţi că funcţiile de cerere sunt liniare în raport cu venitul V. Ilustraţi grafic acest rezultat în planul (x1,x2). Ce credeţi despre conţinutul economic al ipotezei de omogenitate a funcţiei de utilitate? Reciproc, dacă funcţiile de cerere sunt liniare în raport cu venitul puteţi deduce că funcţia de utilitate este omogenă ?
b) Ce efect are asupra cererilor variaţia echiproporţională a
venitului? Arătaţi că dacă raportul preţurilor p1/p2 creşte, raportul (p,V)x(p,V)x
2
1 al
Capitolul 2. Teoria consumatorului
cererilor se diminuează. În demonstraţie se va utiliza rezultatul de la primul punct al problemei. Ilustraţi grafic acest rezultat în planul (x1,x2).
Rezolvare: a) În ipotezele considerate, pachetul de bunuri (x1,x2) care asigură
maximul de utilitate a consumatorului sub restricţia bugetară există şi este unic. Condiţiile necesare de optim sunt, în acest caz, şi suficiente. Cererile sunt deci soluţia unică (x1
∗, x2∗) a următorului sistem:
1 21 2 1 2 1 2
1 1 2 2
( , ) / ( , ) /m mU x x U x x p pp x p x V
=⎧⎨
+ =⎩.
Arătăm că, atunci când venitul V se modifică cu un scalar strict pozitiv λ, perechea ),( *
2*1 xx λλ verifică condiţiile necesare şi suficiente de
optim. Funcţia de utilitate U este omogenă de grad µ. Utilităţile marginale Um
1 şi Um2 sunt deci omogene de grad µ–1 în raport cu variabilele .
Perechea ),( 21 xx
),( *2
*1 xx λλ verifică următoarele egalităţi:
( ) ( )
1 1 11 2 1 2 1
2 1 21 2 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( )( ) ( )
m m
m m
U x x U x x pU x x U x x p
p x p x V
µ
µ
λ λ λλ λ λ
λ λ λ
∗ ∗ − ∗ ∗
∗ ∗ − ∗ ∗
∗ ∗
⎧= =⎪
⎨⎪ + =⎩
Perechea ),( *2
*1 xx λλ este deci soluţia unică a problemei de
maximizare a utilităţii, atunci când venitul este λV. Funcţiile de cerere verifică egalitatea: ( ) ( )1,, pVxVpx ii = , deci sunt liniare în raport cu venitul.
În planul , tendinţa de expansiune a venitului este o dreaptă,
aşa cum rezultă din figura 2.4. ),( 21 xx
• Elasticitatea cererii în raport cu venitul, pentru fiecare din cele două bunuri, este egală cu unu. Nici unul din aceste bunuri nu este deci inferior şi când venitul creşte cu un procent, cererea din fiecare bun creşte cu un procent. Această particularitate nu este, în general, verificată în realitate. Dimpotrivă, există bunuri a căror cerere creşte relativ mai repede decât venitul (bunuri de lux) şi altele a căror cerere creşte relativ mai încet decât venitul (bunuri alimentare etc).
Reciproca proprietăţii demonstrate aici este falsă: Dacă funcţiile de cerere sunt liniare în raport cu venitul, funcţia de utilitate a consumatorului nu este în mod necesar omogenă. De exemplu, funcţia de utilitate lnU este
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici asociată aceleiaşi preordini de preferinţe ca şi funcţiei U. Ea conduce deci, la aceleaşi funcţii de cerere, dar nu este omogenă.
b) Creşterea echiproporţională a unuia din preţuri (preţul pi devine αpi, unde α un scalar real strict mai mare decât unu) corespunde unei diminuări a venitului (venitul V devine α V), deci a cererii din fiecare bun în aceeaşi proporţie.
Funcţiile de cerere sunt omogene de grad zero în raport cu preţurile
şi cu venitul (conform problemei anterioare) şi liniare în raport cu venitul.
Funcţiile xi (p,V) se pot scrie sub forma 1
2 2i
pV fp p
⎛ ⎞× ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Raportul funcţiilor de cerere 1
2
( , )( , )
x p Vx p V
nu depinde deci, de raportul
p al preţurilor 1
2
pp
. Vom demonstra că această funcţie de p este
descrescătoare. Pentru aceasta, vom analiza sensul de variaţie al expresiei
1
2
( , )ln( , )
x p Vx p V
⎛ ⎞⎜⎝ ⎠
⎟ în funcţie de p . Dacă omitem argumentele funcţiilor de
x1 (λx1
∗, λx2∗)
(x1
∗, x2∗)
x2
Figura 2.4. Tendinţa de expansiune a venitului
Capitolul 2. Teoria consumatorului
cerere, derivata în raport cu p a expresiei considerate se scrie:
1 2 1 2 1 2
1 1 2 1 1 1 2 2 2 2
ln( / ) 1 1 1 1/ /d x x x x x xp pdp x p x p p x p x p p
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜ ⎟⎝ ⎠
Fie xi(p, u ) funcţia de cerere compensată a bunului xi pentru nivelul de utilitate u dat al consumatorului. Utilizând ecuaţia lui Slutsky şi
remarcând că pentru toate bunurile xi, ( , ) ( , )i ix p V x p VV V
∂=
∂ ∂, putem scrie:
21 2 1 2 2 1 2
21 1 2 1 1 1 2 2 2
ln( / ) 1 1 1 1d x x x x p x xpdp x p x p p x p x p
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝
⎞⎟⎠
.
Funcţia de utilitate depinde de două variabile. Conform problemei
anterioare, cele două bunuri sunt substituibile şi derivatele i
j
xp
∂∂
(pentru
i≠j) sunt pozitive. Pe de altă parte, i
i
xp
∂∂
este negativă oricare ar fi i,
expresia considerată este deci negativă, iar raportul funcţiilor de cerere 1
2
( , )( , )
x p Vx p V
este descrescător în raport cu 1
2
pp . Acest rezultat este ilustrat
grafic în figura 2.5.
Atunci când raportul preţurilor 1
2
pp
se diminuează (presupunem că
doar p1 se diminuează), cererea consumatorului se deplasează din punctul A în punctul C. Deplasările A →B şi B →C reprezintă efectele de substituţie şi de venit.
În situaţia studiată aici, efectul de venit este unul particular: funcţiile de cerere sunt liniare în raport cu venitul V, iar trecerea de la venitul (V+∆V’) la venitul V nu afectează ponderile cheltuielilor cu fiecare bun în totalul cheltuielilor.
Raportul 1
2
xx al cererilor este deci identic în punctele B şi C.
Trecerea de la A la B reflectă efectul de substituţie. Preţul bunului x1 scade, deci cererea compensată din bunul x1, creşte iar cea din bunul x2 scade, aşa
cum arată graficul. Raportul 1
2
xx al cererilor este crescător de la A la B (din
cauză că funcţia de utilitate este strict quasiconcavă), deci de la A la C.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Problema 2.9. Se cere: a) Demonstraţi că funcţia de cerere compensată (de tip Hicks)
este omogenă de grad zero în vectorul preţurilor. Pe baza acestui rezultat şi folosind teorema lui Euler care arată că
dacă o funcţie f(x1,….,xn) este omogenă de grad zero atunci ,
demonstraţi că
01
=∑=
i
n
ii xf
01
=−∂∂∑
=j
n
i j
i ppH .
Interpretaţi rezultatul în termenii matricei Slutsky. b2) Utilizând condiţia de ordinul I de obţinere a lui x1şi λ, şi expresia
pentru -λ x1. Arătaţi că b1) şi b2) conduc la acelaşi rezultat.
x1 V / p2
2
)(p
VV ∆+
A C B 0 V / p1 V/(p1+∆⎯p1) x2
Figura 2.5. Modificarea cererii compensate
c) Convertiţi funcţia de utilitate indirectă obţinută la punctul b la
funcţia de cheltuieli în preţuri şi utilitate. Demonstraţi că aceasta este funcţia cheltuielilor şi pentru funcţia directă de utilitate.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Rezolvare: a) Funcţia de cerere Hicksiană provine din problema :
min i ip x∑ u(x1, x2, . . . . , xn) = u cu condiţiile de prim ordin :
*
*
( )( )
i i
n n
p u xp u x
= , i = 1,2, . . ., n-1,
*( )u x u= . Dacă vectorul preţurilor este multiplicat cu k >0, condiţiile devin :
*
*
( )( )
i i
n n
kp u xkp u x
=
care vor lăsa neschimbată soluţia. Astfel: xi
* = Hi (p1, p2, . . ., pn,u ) = Hi (kp1,kp2, . . ., kpn, u ) şi funcţia de cerere Hicksiană este omogenă de grad zero în funcţie
de preţ. Identificând Hi cu funcţia f în teorema lui Euler şi pj cu xi, vom
avea:
∑ =∂∂
ij
j
i ppH
0
Efectuând calculele, cererile Marshalliane ale consumatorului sunt:
11
aVxp
= ; 22
(1 )a Vxp−
=
Înlocuind în funcţia de utilitate avem funcţia indirectă de utilitate: 1
1 (11 2
1 2
(1 ) (1 )a a
a a aaV a Vu a ap p
−
− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
)ap p V
Identitatea lui Roy spune că, în general :
ij
u xp
λ∂= −
∂
Atunci:
b1)1 (1 ) 1 1 (1 ) (1 )
1 2 1 21
(1 ) (1 )a a a a a a aa a p p V a a p pp
− − − − + − − + − −∂− = − −⎡ ⎤⎣ ⎦∂
a V .
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
b2) Din condiţiile de ordinul întâi vom găsi : 1 1
1 2
1
a aax xp
λ− −
=
Deci 1
1 21
1
a aa x xxp
λ−
− = .
Dată fiind funcţia indirectă de utilitate, putem folosi (a) pentru a scrie :
1 1
u ap
up
∂= −
∂
şi dată fiind funcţia de utilitate, putem folosi b1) pentru a scrie :
11
auxp
λ− = −
Avem: 1 (1
1 2(1 )a a a av a a p p V− − − −= − )
a
Inversând această expresie obţinem funcţia cheltuială:
(1 ) 11 2( , ) (1 )a a aV V p u a a p p V− − − −= = − .
În acelaşi timp, rezolvînd problema de minimizare a cheltuielilor,
vom obţine : (1 ) 1
11
2 1
a ap ax up a
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠
12
2 1
a ap ax up a
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠
şi astfel vom avea funcţia cheltuială :
(1 ) 1** 1 1
1 2 2 2 1 22 2
11
1 2
( , )1 1
1 1
a aa a
a aa a
p pa aV p u p x p x p u p up a p a
a ap p ua a
− − − −
− −
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
=
Capitolul 2. Teoria consumatorului
De aceea dorim să arătăm că : 1
1(1 )1 1
a aaa a a a
a a
− −
a− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠, adică:
1 (1 (1 ) (1 ) (1 )1 1 1
aa a aa a a a a a a
a
−
1 )a− − − − −⎛ ⎞ + + = − − = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠−
ceea ce am avut de arătat. Problema 2.10. Fie un consumator a cărui funcţie de utilitate depinde de cantităţile
consumate din acelaşi bun x în două perioade de timp 1 şi 2. Acest bun nu poate fi stocat în intervalul dintre cele două perioade. Funcţia de utilitate se scrie:
U(x1,x2)= x1x2,
unde xi este cantitatea consumată în perioada i, i=1,2. Consumatorul dispune în perioada 1 de suma de 300 u.m., cu care poate fie să cumpere bunul de conum x la preţul p1 =1, fie să o plaseze pentru cumpărarea de acţiuni la o firmă. Dacă va plasa în acţiuni suma de Q1 u.m. la momentul 1, el aşteaptă la momentul 2 o sumă Q2 egală cu 20 1Q . El nu dispune de nici un alt venit la momentul 2. Presupunem preţul bunului x la momentul 2 egal cu preţul său curent. Se cere:
a) Dacă consumatorul nu dispune de o altă posibilitate de plasament,
scrieţi restricţiile de venit pentru fiecare moment de timp 1 şi 2. Determinaţi cererile x1 şi x2. Care sunt maximul utilităţii şi rata marginală de substituţie intertemporală (raportul dx2/dx1, unde dx2 este cantitatea din bunul x care-i va trebui la data 2 pentru a compensa pierderea unei cantităţi dx1 la momentul1)? Calculaţi randamentul marginal al plasamentului său şi comparţi-l cu rata precedentă. Explicaţi rezultatul.
b) Presupunem că există o a doua posibilitate de plasament pentru consumator: el poate acorda un împrumut pe termen nelimitat la o rată a dobânzii de 5% pe o piaţă financiară perfectă. Care sunt deciziile de consum ale consumatorului şi mărimea economiilor? Se poate prevedea acest rezultat fără calcule?
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Rezolvare: a) La momentul 1, consumatorul dispune de suma iniţială de 300
u.m. pe care o poate fie consuma, fie economisi: x1+Q1 = 300.
La momentul 2, suma economisită Q1 îi permite să dispună de suma Q2 egală cu 20 1Q , cu care cumpără bunul de consum:
2 120x Q= .
Prin urmare, consumurile x1 şi x2 se exprimă în funcţie de Q1. El alege nivelul economiei sale în funcţie de nivelul său de utilitate, 20 (300 – Q1 ) 1Q . Această ultimă funcţie este concavă în raport cu variabila Q1 şi admite un maxim pentru valoarea variabilei egală cu 100. Consumatorul economiseşte 100 u.m. Cheltuielile sale de consum sunt de 200 pentru fiecare perioadă 1 şi 2.
Rata margtinală de substituţie intertemporală (Rms) este raportul
utilităţilor marginale )x,x(U)x,x(U
212m
211m , calculată în punctul (200, 200). Ea este
egală cu 1.
Randamentul marginal al plasamentului rm este raportul 1
2
dQdQ
unde
dQ2 este creşterea venitului la momentul 2, consecutiv cu o creştere infinitezimală, dQ1, a economiilor la momentul 1, deci în punctul
considerat: 1Q2
20r1
m == .
La maximul utilităţii consumatorului, Rms este egal cu rm. De aceea, presupunem că decizia consumatorului este să crească economiile cu dQ1. Consumul la momentul 1 scade cu o cantitate dQ1, iar consumul la momentul 2 creşte cu o cantitate rmdQ1, deoarece venitul său la momentul 2 creşte cu aceeaşi cantitate. Dacă (x1,x2) este perechea de consum iniţială, variaţia utilităţii consumatorului se scrie:
( )1 2
1 2 1 2 1 2 1( , ) ( , ) ( , )m m mdU x x U x x r U x x dQ= − +
Dacă rm este diferit de Rms, consumatorul este interesat să-şi modifice economia. El nu este indiferent acestei operaţii la maxim de utilitate, adică atunci când rm este egal cu Rms.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
b) Pe piaţa financiară, consumatorul poate lua sau da cu împrumut o sumă nelimitată, la o rată a dobânzii r (egală cu 5%). Fie E1 suma luată cu împrumut la momentul 1 (prin convenţie, este vorba de un debit dacă E1 este pozitiv, sau credit în caz contrar). Restricţiile de venit la cele două momente se scriu:
x1+Q1 = 300 + E1 x2+ (1+ r)E1 = Q2.
Este posibil ca eliminând E1 din cele două egalităţi precedente, să facem să apară o singură restricţie de venit, care include operaţiunile la cele două momente:
121 1
20300
1 1Qxx Q
r r+ + = +
+ + (1.1)
Consumatorul ia decizia (x1,x2 ,Q1) care-i maximizează utilitatea, pe
restricţia (1.1). Condiţiile de ordinul întâi ale problemei de maximizare sunt necesare şi suficiente şi în consecinţă, ele se scriu:
2
1
1x rx= + (1.2.)
1
10 1 rQ
= + (1.3.)
121 1
20300
1 1Qxx Q
r r+ + = +
+ +
Deciziile x1, x2 şi Q1 au valorile respectiv 195, 206 şi 90.
Consumatorul plasează deci o sumă egală cu 15 u.m. pe piaţa financiară. Egalitatea (1.3) arată că la maximul de utilitate, randamentul
marginal al plasamentului este acelaşi în firmă şi pe piaţa financiară. Dacă această egalitate nu ar fi verificată, atunci este suficient să se reducă investiţia cu o cantitate infinitezimală din activitatea mai puţin rentabilă şi să se afecteze activităţii mai rentabile, pentru ca utilitatea consumatorului să crească; deci ea nu ar fi maximală. Egalitatea (1.2.) arată că Rms este egal cu randamentul comun celor două plasamente. Acest rezultat se explică, conform punctului anterior.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Problema 2.11. Să se aleagă variabilele corespunzătoare, funcţia obiectiv şi
mulţimea soluţiilor posibile pentru o persoană ce urmează a face deplasarea între două puncte, ştiind că parcurgerea distanţei respective poate fi făcută pe jos, cu autobuzul sau cu trenul.
Rezolvare: Se consideră variabilele x1, x2, x3, date de:
1
1, dacă se merge acasă pe jos
0, în orice alt cazx ⎧= ;⎨⎩
2
1, dacă se merge acasă cu autobuzul
0, în orice alt cazx ⎧= ;⎨⎩
şi
3
1, dacă se merge acasă cu trenul
0, în orice alt cazx ⎧
= ⎨⎩
.
Mulţimea soluţiilor posibile este dată de: S= {(x1, x2, x3)} = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Dacă tI arată timpul necesar persoanei respective să ajungă acasă în
modul i = 1,2,3 şi dacă ci reprezintă costul în modul i, atunci timpul
consumat este: şi costul este: 3
1 i iiT t∑
== x x
3
1 i iiC c∑
== .
Putem presupune că avem funcţia obiectiv W(T,C), care exprimă
preferinţele persoanei respective asupra combinaţiilor de timp-cost. De exemplu, presupunem că aceasta are o formă liniară CwtW += , w>0. Observăm că se caută “cel mai bun” mod de ajunge acasă, lucru ce se obţine prin minimizarea funcţiei obiectiv W. Astfel, problema este să minimizăm W, cunoscând mulţimea posibilităţilor S.
O abordare mai directă a problemei se doreşte prin definirea mulţimii valorilor admisibile:
SI = {(t1, c1), (t2, c2), (t3, c3)} şi anume mulţimea perechilor timp-cost corespunzătoare fiecărui
mod de a merge acasă. Totuşi, este necesar să avem câteva funcţii W care să dea o relativă evaluare după timp şi cost.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Ca urmare, figura 2.6. ilustrează soluţia (presupunem mersul pe jos fără costuri, deci ignorăm deprecierea pantofilor, etc.). Evident, fiecare mod poate fi optim pentru unele valori ale lui w. Putem lua cazul în care autobuzul este cel mai bun: timpul corespunzător mersului cu autobuzul este mai mic decât cel corespunzător mersului pe jos, dar nu aşa de bun ca în cazul mersului cu trenul. Observăm că minimimul lui W se află pe cea mai de jos dreaptă posibilă.
ti
(0,t1) (c3,t3) (c2,t2) wt+c= v =wt3+c3 wt+c= v =wt2+c2 ci
Figura 2.6. Alegerea soluţiei optime
Problema 2.12. Să se aleagă variabilele corespunzătoare, funcţia obiectiv şi
mulţimea soluţiilor posibile în cazul unei persoane ce se poate aproviziona de la un magazin (de pe o piaţă) A, situat foarte aproape de locuinţa sa sau poate lua un autobuz pâna la un magazin (piaţă) B mai depărtat, dar la care preţurile sunt relativ mai mici. Va alege persoana respectivă varianta de a se aproviziona de la un singur magazin (sau piaţă) sau va cumpăra din ambele?
Rezolvare: Presupunem că preţul fiecărui bun vândut pe piaţa B este mai mic
decât preţul corespondent de pe piaţa A. Fiecare consumator îşi va face toate cumpărăturile fie din piaţa A, fie din B. Variabilele alese ,A B
i ix x , i=1,…,n reprezintă cantităţile din fiecare bun cumpărat de pe piaţa A sau
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
respectiv B. Corespondenţa preţurilor este ,A Bi ip p ,i = 1,…,n cu ,
din ipoteză. Fie V venitul disponibil şi C costul suplimentar datorat cumpărării din piaţa B, în detrimentul pieţei A. Deci, dacă un consumator cumpără de pe piaţa A, atunci mulţimea consumurilor admisibile este determinată de restricţia:
A Bi ip p>
1
nA Ai i
ip x V
=
≥∑
0Aix ≥ , i =1, …, n,
şi dacă va cumpăra din piaţa B:
1
nB Bi i
ip x V C
=
≤ −∑ ,
0≥Bi
x , i =1, …, n.
Dacă îşi face cumpărăturile în piaţa A, atunci el va alege vectorul
optimal de consum ( )1ˆ , ...,ˆ ˆA A Anx x x= , şi dacă va cumpăra din B va
alege vectorul optimal de consum ( )1ˆ , ...,ˆ ˆB B Bnx x x= . Se poate spune că
alegerea pieţei depinde, totuşi de preferinţa sau nu a vectorilor Aix şi B
ix cu i=1,2.
Problema 2.13. Se consideră o gospodărie ale cărei preferinţe asupra perechilor
(C,R) consum, respectiv timp liber, sunt reprezentate prin funcţia de utilitate următoare:
0R0,C,RC+=)R,CU( 21
≥≥ .
Timpul total, T, (timp liber, R şi timp de lucru, L ) este presupus egal cu 4. Singurul venit de care dispune gospodăria este constituit din salariu cu o rată brută w, w > 1/4 şi care este taxat cu o rată de impozitare θ , 0<θ <1. Gospodăria dispune deci de un venit egal cu (1-θ )wL. Preţul bunului de consum este egal cu unitatea.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Se cere: a) Determinaţi oferta de munca a gospodăriei. Comentaţi relaţia
existentă între această ofertă şi parametrii w şi θ . b) Se presupune că w=1. Care este suma totală a impozitului plătit?
Reprezentaţi grafic relaţia între această sumă a impozitului şi rata de prelevare θ .
Rezolvare: a) Restricţia bugetară a gospodăriei se scrie: C=(1-θ )wL sau utilizând relaţia: R+L=4 =>L=4-R => C=(1-θ )w(4-R) => C+(1-θ )wR= 4(1- θ )w. Curba de indiferenţă în planul (C,R), corespunzătoare unui nivel de
utilitate u, este definită prin: =uC+R 21
.
Se exprimă C ca funcţie de R: f(R)RuC =−= 21
.
C
u u
u2 T
Figura 2.7. Curba de indiferenţă
Avem astfel: 21
'
21)(
−−= RRf şi 2
3
41 −
R(R)=f '' .
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Curbele de indiferenţă sunt deci, descrescătoare şi convexe. Curba de indiferenţă de nivel u intersectează axa orizontală în 2R u= şi axa
verticală în C=u, iar şi ∞→
(R)=f '
R 0lim ' 2 1f ( ) = u
2u − < 0.
• Gospodăria alege R şi C astfel încât să îşi maximizeze utilitatea, respectând restricţia de buget. Deoarece curbele de indiferenţă taie axa orizontală, este posibil să se obţină un optim " în colţ ".
Cazul optimului interior este reprezentat în figura 2.8.
B 4(1-θ )W
E E E EEEEEe 0 4 A T
Figura 2.8. Soluţia interioară a gospodăriei
Dreapta AB corespunde dreptei de buget şi punctul E este punctul de optim. Determinăm coordonatele punctului de optim E rezolvând
programul: [ ]12max C R
⎧ ⎫+⎨ ⎬
⎩ ⎭
pe restricţia: ( ) ( )1 4 1C wRθ θ+ − = − w
Construim Lagrangeanul problemei:
12( , , ) [4(1- ) - - (1- ) ]L C R C R w C wRλ λ θ θ= + +
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Condiţiile necesare de optim sunt:
12
0 1 0
10 (1 )2
0 4(1 ) (1 )
LCL R wRL w wR
λ
λ θ
θ θ
0
0λ
−
∂= => − =
∂∂
= => − − =∂∂
= => − − − =∂
C B 4(1-θ)W E EEE 0 A T
Figura 2.9. Soluţia în colţ la nivelul gospodăriei
şi deci: 2 2
14(1- )
Rwθ
=
( ) ( )1 4C wθ= − − R În cazul optimului interior, trebuie să avem: R< 4. Cazul unui optim în colţ este reprezentat în punctul A din figura
2.9. şi corespunde ipotezei ( ) 114
wθ− < .
În acest caz, avem R = 4 şi C= 0. Punctul B nu poate fi optim, deoarece curbele de indiferenţă sunt tangente la axa verticală. Oferta de muncă, L=4-R, este definită astfel:
2 2
144(1- )
Lwθ
= − ,dacă ( ) 114
wθ− >
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
L = 0 ,dacă ( ) 114
wθ− < .
Relaţia dintre w şi L este reprezentată în figura 2.10, pentru două
valori ale ratei de impozitare θ 1 şi θ 2 , cu θ 1 < θ 2.
L 4 θ=θ1, respectiv θ=θ2 0 1/[4(1-θ1)w] 1/[4(1-θ2)]w w
Figura 2.10. Curbele ofertei de muncă pentru două
niveluri de impozitare θ1<θ2
b) Notăm cu I = θ wL impozitul plătit.
Cum w=1, avem: ( ) ( )4
4 1I gθθ θ
θ= − =
− dacă ( ) 11
4wθ− ≥ ,
adică 34
θ ≤ .
Pentru 34
θ ≥ , avem L=0 şi deci I=0.
Avem, de asemenea:
3
1( ) 44(1 )
g θθθ
+′ = −−
4
(2 )"( ) 02(1 )
g θθθ
+= − <
−.
Funcţia g(θ ) este concavă şi se anulează pentru θ =0 şi θ =3/4. Maximul se atinge pentru θ =0,542. Deci pentru o rată de impozitare ridicată θ > 0,542, se reduce volumul încasării fiscale.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Problema 2.14. Se consideră o familie (gospodărie) formată din soţ şi soţie, capabili
să exercite o activitate salariată şi n copii. Fiecare adult poate să lucreze cel mult pe timpul unei durate maximale (de exemplu, o zi) egală cu 1. Notăm cu L oferta totală de muncă a gospodăriei cu L ≤2.
Preferinţele gospodăriei se referă la consum şi la timpul pe care adulţii pot să-l consacre activităţilor non-profesionale (numit timp liber). Consumul gospodăriei se referă la un singur bun de volum C. Vom nota cu R timpul liber adică R=2-L.
Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţia de utilitate urmatoare:
U(C, R) = lnC + a lnR , cu a>0. Gospodăria nu dispune decât de un venit salarial şi notăm cu w
preţul unei unităţi de muncă, acelaşi pentru fiecare adult. Preţul bunului de consum este egal cu unitatea.
Se cere: a) Scrieţi restricţia bugetară a gospodăriei şi deduceţi funcţia ofertei
de muncă. Faceţi o reprezentare grafică. Daţi o condiţie asupra parametrului a, pentru care unul din adulţi lucrează întreaga perioadă, iar celălalt nu. În continuare, vom presupune satisfăcută această condiţie.
b) Presupunem că activitatea profesională a unuia dintre cei doi adulţi obligă gospodăria să suporte un cost fix CF. Aceste cheltuieli se explică, de exemplu, prin necesitatea de a cumpăra un al doilea autoturism şi prin cheltuielile de supraveghere a copiilor. Ele sînt independente de durata de muncă a celui de al doilea adult. Acest cost satisface condiţia CF<1.
Cum se modifică restricţia bugetară a gospodăriei? Reprezentaţi grafic mulţimea perechilor timp liber - consum care sunt accesibile.
c) Fie w=1 şi a=1/3 în cele ce urmeză. Explicaţi oferta de muncă a gospodăriei în funcţie de costul fix.
d) Dacă CF (costul fix) depinde de numărul copiilor, după relaţia CF = 0.12+ 0.05n, determinaţi numărul maxim de copii.
Rezolvare: a) Deoarece gospodăria nu dispune decât de un venit salarial,
restricţia sa bugetară se scrie: C = WL sau C + wR = 2w.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Gospodăria alege C şi R, astfel încât funcţia de utilitate U(C,R) să fie maximă. Se respectă resticţia bugetară şi inegalitatea T ≤ 2.
[max] U(C,R) = lnC + alnR
pe restricţia: C + wR = 2w
• Dacă nu ţinem cont de ultima restricţie (care ulterior se va dovedi a fi satisfăcută), se doreşte un optim interior, problema conduce la funcţia Lagrange:
L(C,R,λ) = lnC + a lnR + λ(2w - C - wR) Condiţiile necesare de ordinul întâi se scriu:
1 - 0
- 0
2 - - 0
LC CL a wR RL w C wR
λ
λ
λ
∂= =
∂∂
= =∂∂
= =∂
cu soluţiiile: 2
1 aRa
2= ≤+
,
wRCa
= ;
awR
λ = ;
2 2 - 1
L Ra
= =+
.
Dacă un adult are normă întreagă, iar celălalt nu, atunci 1 < L < 2 ceea ce implică: 0 < a < 1.
Se remarcă faptul că timpul de muncă nu depinde de w (datorită formei particulare a funcţiei de utilitate aleasă în acest exemplu).
În figura 2.11. au fost trasate trei drepte de buget, corespunzătoare unor valori diferite pentru w.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
C 0 1 2a(1+a) T
Figura 2.11. Influenţa variaţiei ratei salariului
Un salariu ceva mai mare, permite gospodăriei să consume mai mult, fără să-i modifice comportamentul în materie de ofertă de muncă.
b) Pentru a exprima restricţia bugetară, este necesar să distingem două cazuri:
i) Un singur adult exercită o activitate salarială. Atunci: C + wR = 2w şi corespunde cazului pentru care 0≤ L≤1, adică 1 ≤R≤ 2.
ii) Dacă cei doi adulţi sunt salariaţi, ei suportă un cost fix CF şi
restricţia bugetară a gospodăriei se scrie: CFwwRC −=+ 2 , caz valabil pentru 1< L≤2, adică 0 ≤ R< 1.
Într-un sistem de axe (C,R), restricţiile precedente pot fi reprezentate grafic ca în figura 2.12.
Segmentele de dreaptă, reprezentând alegerile posibile în cele două cazuri, sunt respectiv AB şi A'B'.
Este clar că familia nu va alege niciodată un punct pe segmentul HB' pentru că el ar putea atinge acelaşi nivel de consum cu un timp liber mai mare.
De exemplu, punctul X', care corespunde unei situaţii în care cei doi adulţi sunt salariaţi, este mai puţin bună decât ceea din punctul X, deoarece în punctul X un singur adult exercită o activitate profesională dar, datorită faptului că nu plăteşte, suportă un cost fix; nivelul de consum este identic cu al celui corespunzator punctului X'. Consumatorul alege deci un cuplu (R,C) situat fie pe AB, fie pe A'H.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
c) Trasăm curba de indiferenţă ce trece prin punctul A: Sunt posibile două cazuri: i) Să presupunem că segmentul A'H nu intersectează curba de
indiferenţă ce trece prin A. Dacă CF ar fi egal cu 0, atunci gospodăria ar alege punctul I. Acest
punct este la stânga punctului A datorită condiţiei a < 1. În această primă situaţie, alegerea optimală a gospodăriei va fi în
punctul A, pentru că toate punctele de pe A'H corespund unui nivel de utilitate negativ.
Pe A'H avem: C = 2 - CF - R şi pe acest segment funcţia devine : U = ln(2 - CF - R) + a lnR.
C A’ H A X’ X B’ B 0 1 2 T
Figura 2.12. Mulţimea punctelor în cazul în care cel
de-al doilea angajat are cost fix
În punctul H avem: R=1-CF. Segmentul A'H corespunde inegalităţii: 0 ≤ R≤1 - CF. Maximul utilităţii pe acest segment este atins pentru un R (timp
liber) care verifică: 1
2 U aR CF R R
∂= +
∂ − − 0= şi deci: (2 )
1 a C FR
a−
=+
.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
În consecinţă, consumul corespunzător este definit prin:
C I A’ H A B’ B 0 1 2 T
Figura 2.13. Situaţie în care unul singur din cei doi adulţi desfăşoară activitate salarială
2 21
C FC C F Ra
−= − − =
+, cu un nivel de utilitate
corespunzător:
2 (2 ) ln ln 1 1
CF a CFU aa a
− −= +
+ +.
Condiţia U≤0 este echivalentă cu:
1 2 (1 ) 0, 245a
aCF a a−+≥ − + ≈
Al doilea caz este prezentat în figura 2.14.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
C A’ M A J N B’ 0 1 2 T
Figura 2.14. Situaţia în care ambii adulţi desfăşoară o activitate salarială
Curba de indiferenţă ce trece prin A, taie segmentul A'H în două
puncte M şi N. Punctul optim este situat în J, în care (2 )1
a CFRa
−=
+ şi
deci: (2 ) 3 2 2
1 2 4a CF CL R
aF−
= − = − = ++
.
Acest punct corespunde ipotezei CF ≤ 0,245. Se observă o discontinuitate în modificarea ofertei de muncă a
gospodăriei. Dacă CF creşte de la 0 la 0,245, oferta de muncă este constantă,
egală cu 1. d) Fie n* numărul de copii căutat. Avem: 0,12 + 0,05 n < 0,245 pentru n ≤ n*
0,12 + 0,05 n > 0,245 pentru n > n* ceea ce implică n* = 2. În acest exemplu, un singur adult exercită o activitate salarială
(normă întreagă), dacă familia cuprinde cel puţin 3 copii. Cei doi adulţi exercită o activitate salarială (unul cu normă întreagă,
altul cu normă parţială) dacă nu au copii, au un singur copil sau au doi copii.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Problema 2.15. Un consumator poate achiziţiona două bunuri X şi Y în cantităţile
notate x şi y. Preferinţele agentului economic sunt reprezentate prin funcţia de utilitate :
U(x,y) = 4xy.
Bunul X poate fi taxat. Preţul său fără taxă este 1 iar preţul care conţine şi taxa este egal cu q (q>1), q-1 reprezintă deci taxa unitară asupra bunului X. Bunul Y nu este taxat şi preţul său este egal cu 1. Consumatorul are un venit egal cu 1 din care scade un impozit direct T, cu T<1, venitul său disponibil este egal cu 1-T.
Se cere: a) Calculaţi nivelul de utilitate atins de consumator, în funcţie
de q şi T. Se impune realizarea unei prelevări fiscale totale (directă şi
indirectă) egală cu M, cu M<1. Arătaţi că utilitatea consumatorului este maximă atunci când se utilizează exclusiv fiscalitatea directă. Daţi o explicaţie intuitivă a acestui rezultat.
Rezolvare: a) Restricţia bugetară a consumatorului se scrie: 1qx y T+ = − . Problema de optimizare a consumului devine: [ ]max ( , ) 4U x y xy= pe restricţia: 1qx y T+ = − . Lgrangeanul are expresia:
( , , ) 4 (1 )L x y xy T qx yλ λ= + − − − , de unde:
4 L y q 0x
λ∂= − =
∂;
4 L xy
λ∂= − =
∂0 ;
1 L T qx yλ∂
= − − − =∂
0 .
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
şi deci: 4 4y xq
λ = = sau y = qx .
Folosind restricţia bugetară obţinem: 1 2
Txq−
= , 1 2Ty −
=
şi 2(1 )4 TU xy
q−= = .
b) Prelevarea indirectă este egală cu:
( ) ( 1)(1 )12
q Tq xq
− −− = ,
de unde prelevarea fiscală totală este: ( 1)(1 )
2q T T
q− −
+ .
Pentru a fi egală cu M, trebuie să avem:
( 1)(1 )2
q T T Mq
− −+ = , sau 2 1
1qM qT
q− +
=+
.
Nivelul de utilitare atins de consumator este: 2 2
2
4 (1(1 ) ) ( )( 1)q MTU f
q q−−= = =+
q
cu 2
3
4(1 (1 ))'( )( 1)M qf qq
− −=
+.
Funcţia f(q) are un maxim în q = 1, deci T = M. Consumatorul va atinge un nivel maxim de utilitate atunci când
fiscalitatea este directă (numai) şi când nu se percepe nici o taxă pentru consumul bunului X.
Problema 2.16. Un consumator are preferinţele reprezentate prin funcţia de utilitate:
1 12 2
1 2 1 2 1 2( , ) , 0 , 0U x x x x x x= ≥ ≥ ,
unde şi desemnează cantităţile consumate din cele două bunuri, la preţurile şi . El dispune de un venit notat V.
1x 2x1p 2p
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Se cere: a) Determinaţi funcţiile de cerere ale consumatorului. b) Care este nivelul minim de venit care îi permite consumatorului
să atingă un nivel de utilitate u când preţurile sunt şi ? Acest nivel minim va fi notat cu
1p 2p
1 2( , , )V u p p . c)Se consideră o situaţie iniţială în care venitul consumatorului este
egal cu şi unde preţurile bunurilor 1 şi 2 sunt respectiv şi şi o situaţie finală caracterizată de cu .
0V 10p 2
0p1V 1
211 , pp
Fie şi cantităţile de bunuri 1 şi 2 consumate în situaţia iniţială şi fie şi cantităţile consumate în situaţia finală.
10x 2
0x11x 2
1xFie de asemenea, L indicele preţului de tip Laspeyres definit prin
1 1 10 0 01 21 2
0 0 00 01 21 2
p p0
px x xLp p px x x
+= =
+ şi P indicele de tip Paasche definit prin
1 1 11 1 11 21 2
0 0 01 11 21 2
p p1
px x xPp p px x x
+= =
+.
Vom nota cu I un indice numit "indicele adevărat al costului vieţii "
definit prin 1 101 20 001 2
( , , ) ( , , )
V p puIV p pu
= , unde reprezintă utilitatea consumatorului
în situaţia iniţială.
0u
c1) Care este interpretarea indicilor L, P şi I? Ce se poate spune despre evoluţia satisfacţiei consumatorului între situaţia iniţială şi situaţia
finală când 1
0
V IV
> şi 1
0
V IV
< ?
c2) Calculaţi L, P şi I în cazul : 01 2 1 , 1op p= =
1 11 2 4 , 1p p= = .
c3) Se spune că puterea de cumpărare a consumatorului a crescut de
la perioada iniţială la perioada finală când 1
0 V J
V> , unde J este un indice al
costului vieţii.
Invers, se spune că puterea de cumparare a scăzut când 1
0 V J
V< .
Arătaţi, cu ajutorul rezultatelor de la punctul c2), că utilizarea indicilor Laspeyres sau Paasche (adică J=L sau J=P) poate conduce la concluzia creşterii puterii de cumpărare atunci când satisfacţia se diminuează sau invers, la o diminuare a puterii de cumpărare atunci când satisfacţia creşte.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Rezolvare: a) Maximizarea utilităţii sub restricţia bugetară:
[max] 1/ 2 1/ 21 2 1 2( , )U x x x x=
pe restricţia: 1 21 2 Vp px x+ =
Lagrangeanul asociat problemei este:
1 12 2
1 2 1 2 1 1 2 2( , , ) ( )L x x x x V p x p xλ λ= + − − Conditiile necesare de optim sunt:
1 12 2
1 1 11
10 02
L x x px
λ−∂
= => − =∂
;
1 12 2
1 1 22
1 1 2 2
10 02
0
L x x pxL p x p x V
λ ;
λ
−∂= => − =
∂∂
= => + =∂
• care conduc la următoarea soluţie:
1 2
1 2
, 2 2V V
x xp p
= = .
b) Pentru vectorul de consum de mai sus, nivelul de utilitate atins de consumator va fi:
1 21 21 2 1 2
( , ) , 2 2 2 2 2V V V V VU x x U
p pp p p p⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Nivelul de utilitate va fi superior valorii u dacă 1 22
V up p
≥ , ceea
ce conduce la: 1 21 2( , , ) 2 .V u u pp p = p c) c1) Indicele Laspeyres defineşte scumpirea vectorului de consum
iniţial între situaţia iniţială şi finală, iar indicele Paasche defineşte scumpirea vectorului de consum final 1 1
1 2( , )x x între situaţia iniţială şi situaţia finală.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Pentru a interpreta indicele adevărat al costului vieţii, să remarcăm de la început că numitorul lui I nu este, de fapt, altceva decât venitul iniţial
(pentru că este venitul care a permis atingerea exact a nivelului de utilitate când preţurile erau şi ). Număratorul lui I reprezintă nivelul de venit care ar fi necesar pentru a atinge în perioada finală acelaşi nivel de utilitate ca şi în perioada iniţială.
0V 0V0u 1
0p 20p
0uIndicele adevărat al costului vieţii defineşte creşterea minimală de
venit, care îi permite consumatorului să menţină neschimbată satisfacţia (nivelul utilităţii ).
Dacă 1
0
V IV
> vom avea , în perioada finală
consumatorul atingând un nivel de satisfacţie mai mare decât în perioada iniţială.
1 111 2( , , )V p pV < 0u
Dacă 1
0
V IV
> , vom avea şi deci satisfacţia se
diminuează.
1 111 2( , , )V p pV > 0u
Această analiză justifică terminologia de "indice adevărat al costului vieţii" pentru I. Pentru a calcula I, trebuie cunoscute preferinţele consumatorului (adică o funcţie de utilitate care să le reprezinte) pentru a determina funcţia V.
Calculul indicilor L şi P cere un minim de informaţii pentru că este suficient să se cunoască vectorul consumului iniţial sau final.
c2) Avem: 0 0 1 1
0 11 10 1
1 1
2 2 2V V V Vx xp p
= = = =8
2222
112
112
0
02
002
V = p
V = x V = p
V = x
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
şi
0
0 0 0
1 0
0 00 00
0
2(4,1)
4 12 2 2 2,5
2 22(1,1)
2
V
V V Vp xL
V Vp Vx
V
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎝ ⎠= = = =⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1
1 1
1 11
1 10 11
1
8(4,1)
4 12 8 2 1,68
8 2(1,1) 2
V
V Vp VxP
V Vp Vx
V
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
+⎜ ⎟⎝ ⎠= = = =⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 / 21 10 1 2
1 / 20 00 1 2
2 ( , ) 22 ( , )
p pUIp pU
= = .
Se observă că P<I<L, ceea ce confirmă proprietatea generală a
indicilor Laspeyres şi Paasche, primul supraestimează creşterea costului vieţii în timp ce al doilea o subestimează.
c3) Reluăm exemplul de la punctul b) şi presupunem că
1,6 < < 21
0
VV
. În acest caz indicele Paasche conduce la concluzia unei
creşteri a puterii de cumpărare şi totuşi satisfacţia consumatorului se diminuează.
Dacă 2 < < 2,51
0
VV , după indicele lui Laspeyres puterea de
cumpărare se diminuează în timp ce satisfacţia consumatorului creşte.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Problema 2.17. Se cere: a) Demonstraţi că un consumator pentru care preferinţele îndeplinesc
proprietăţile: completitudine, tranzitivitate, reflexivitate, nonsaţietate, continuitate şi strict convexitate, satisface de asemenea, presupunerile unui comportament raţional. Pot fi specificate presupunerile respective în două secţiuni? Care presupuneri ale unui comportament raţional, spre exemplu, joacă un rol asemănător proprietăţii de tranzitivitate?
b) Fie MI= 00
11
xpxp , LP=
00
01
xpxp , PP=
10
11
xpxp . Trasaţi diagrama care
arată că MI<LP şi MI>PP nu spune nimic despre care situaţie este preferată. Rezolvare: a) Nonsaţietatea va implica primul tip de comportament în care
consumatorul îşi cheltuieşte tot venitul . Al doilea tip de comportament este acela în care numai o alocaţie x
este aleasă de consumator pentru fiecare preţ şi venit. Aceasta înseamnă că alocările nu pot fi de-a lungul aceleiaşi curbe de indiferenţă, acest lucru fiind asigurat de presupunerea de strict convexitate.
Al treilea tip de comportament este acela în care există o singură combinaţie de preţ şi venit la care este făcută alegerea. Aceasta conduce la curbe de indiferenţă care nu sunt continue.
Al patrulea tip de comportament, cel de consistenţă, este determinat de tranzitivitatea preferinţelor.
b) Dacă: 1 1 1 0
0 0 0 0
p x p xMI Lp x p x
= < = P
aceasta înseamnă că la preţurile din perioada curentă combinaţia de consum x1 este mai ieftină decât x0. Dar consumatorul îşi cheltuieşte tot venitul. Faptul că el a ales x1 în perioada curentă relevă că nu şi-ar fi permis x0, dar nu spune nimic despre preferinţele lui. Similar:
1 1 1 1
0 0 0 1
p x p xMI Pp x p x
= < = P ,
care implică faptul că 0 0 0 1
1 1p x p x
> sau p0 x0 < p0 x1 . Faptul că un individ
alege x0 la preţul p0 este o indicaţie că el nu–şi permite x1 la preţurile perioadei de bază. Din nou nu ştim nimic despre preferinţele lui asupra lui
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici x0 şi x1. În figura 2.15. consumatorul este observat când alege x1 de pe dreapta bugetului NN, care reprezintă venitul V1 şi preţul p1. Aceasta nu spune nimic despre preferinţele asupra lui x0 şi x1.
În cazul acesta p1 x1 < p1 x0 şi deci: 1 1 1 0
0 0 0 0
p x p xMI Lp x p x
= < = P
x2 x0 N x1 0 N x1
Figura 2.15. Alegerea combinaţiei x1 de pe dreapta bugetului NN
În figura 2.16. individul alege x0 de pe linia bugetului MM căruia îi corespunde preţul p0 şi venitul M0. Atunci când x1 nu eeste accesibil nu ştim care sunt preferinţele consumatorului pentru x1 sau x0.
Dacă p0x0 < p0x1, atunci :
1 1 1 1
0 0 0 1
p x p xMI Pp x p x
= > = P
Şi nu ştim nimic despre preferinţe.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
x2
M x1 x2 0 M x1 Figura 2.16. Alegerea combinaţiei optime x0
de pe dreapta de buget MM
Problema 2.18. Fie indicii cantitativi Laspeyres şi Paasche care au forma:
0 1
0 0
p xLQp x
= , respectiv 1 1
1 0
p xPQp x
= .
Se cere: a) Dacă LQ≥1 sau PQ≤1 se poate spune care din consumurile x0 sau
x1 este mai bun? Presupunem cantităţile reprezentând consumul agregat al tuturor
membrilor economiei. Se poate spune ceva în ceea ce priveşte schimbarea nivelului de viaţă utilizând aceşti indici?
b) Presupunem că guvernul creşte venitul pensionarilor proporţional cu creşterea preţului Laspeyres. Va fi mai bine pentru pensionari? Dar dacă guvernul foloseşte indicele de preţ Paasche? Dar dacă preţurile scad?
Rezolvare: Din:
1 1
1 0
p xPQp x
= ,
dacă PQ ≤ 1, atunci p1x1 ≤ p1x0, rezultă că acea combinaţie aleasă în perioada curentă x1 este mai ieftină la preţuri curente decât x0. Astfel, nu
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici ştim de fapt dacă x1 este preferat lui x0 pentru că x0 nu poate fi cumpărat la p1 dat, cu venitul V1(= p1 x1).
Din: 0 1
0 0
p xLQp x
= ,
dacă LQ≥1, atunci p0 x1 ≥ p0 x0 şi din nou nu ştim dacă x0 este preferat lui x1, pentru că x1 nu poate fi cumpărat din venitul V0 (=p0 x0) şi preţul p0.
Deoarece nu putem spune dacă un individ este mai bogat sau mai sărac, cu siguranţă nu putem spune dacă un grup de consumatori are un standard de viaţă mai bun sau mai rău .
Pentru ca un pensionar să fie mai bogat trebuie să avem: 1 1 1 0
0 0 0 0
p x p xMI Lp x p x
= ≥ = P
sau 1 0
1 1 0 00 0
p xp x p xp x
≥
Guvernul creşte venitul personal al pensionarilor proporţional cu creşterea lui LP. Astfel:
1 11 1 0 0
0 0
s
s
p xp x p x
p x⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∑∑
,
unde indicele Laspeyres este presupus a fi calculat prin suma consumurilor agregate. Nu putem spune dacă acest proiect guvernamental îl va face pe un pensionar mai bogat. Dacă mărimea LP-ului individual a crescut cu mai mult decât indicele total
1 11 0
0 0 0 0
s
s
p xp xp x p x
> ∑∑
atunci MI individual ar putea fi mai mic decât LP şi nu putem spune dacă individul a fost mai înstărit în perioada curentă faţă de perioada de bază .
Putem nota că venitul bănesc al tuturor pensionarilor va creşte prin
creşterea indicelui total LP, deci 1 0
1 1 0 00 0
ss s
s
p xp x p x
p x⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∑∑ ∑ ∑
De aici putem concluziona că cel puţin câţiva pensionari sunt mai bogaţi.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Dacă guvernul creşte venitul personal al pensionarilor proporţional cu creşterea indicelui Paasche atunci venitul bănesc total în perioada curentă ar fi după cum urmează:
1 11 1 0 0
0 1
ss s
s
p xp x p x
p x⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∑∑ ∑ ∑
sau 1 1 1 1
0 0 0 1
s s
s s
p x p xp x p x
=∑ ∑∑ ∑
sau MI=PP. Ca şi în exemplul precedent, nu putem deduce dacă pensionarii sunt
mai bogaţi sau mai săraci. Dar ştim că pentru câţiva indivizi, cel puţin MI=PP, deci câţiva
pensionari sunt cu siguranţă mai săraci. Dacă preţurile scad, duala programului ar fi reducerea veniturilor
pensionarilor proporţional c u scăderea preţurilor. Problema 2.19. Un individ repartizează venitul său V între cumpărarea unui bun X
(în cantitatea x, la preţul unitar p) şi alte cheltuieli de volum M. Preţul bunului X se modifică din starea iniţială p=1, în starea finală
p=3/2. • În urma acestei creşteri de preţ, se observă o reducere a
consumului bunului X care trece din starea x=1/2 în starea x=1/6. Se cere: a) În ipoteza în care nu dispunem decât de informaţiile precedente,
daţi o aproximare a reducerii surplusului consumatorului care rezultă din creşterea preţului bunului X .
b) În urma unor studii statistice s-a constatat că cererea
consumatorului, în cazul unui venit egal cu 2, urmează legea 1 1 2
xp
= − .
Calculaţi reducerea surplusului şi comparaţi-o cu aproximarea de la a). c) Se face ipoteza că preferinţele consumatorului sunt reprezentate
printr-o funcţie de utilitate ale cărei variabile sunt M şi x, având forma: 1U
11( , ) ln( )2
M x M xU = + +
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Arătaţi că această ipoteză este compatibilă cu rezultatul studiilor statistice de la punctul b).
d) Guvernul vrea să compenseze financiar consumatorul pentru reducerea bunăstării sale datorată creşterii preţului bunului X.
Arătaţi că el trebuie să compenseze această creştere a preţului cu o sumă egală cu reducerea surplusului calculată la punctul b).
e) Arătaţi că funcţia de utilitate 12
12
2 ( , ) ( 1)U M x M x= + este compatibilă cu rezultatul studiilor statistice de lapunctul b).
Arătaţi că rezultatul obţinut la punctul d) nu este valabil şi în acest caz. Explicaţi de ce se întâmplă acest lucru.
Ce eroare se comite dacă guvernul se bazează pe reducerea surplusului pentru a calcula suma de transfer (de compensare) ?
Rezolvare: a) Curba trece prin punctele (1/2,1) şi (1/6,3/2), deci o primă
aproximare pentru cerere ar putea fi dreapta determinată de punctele de mai sus.
Avem astfel:
1 1 1 12 2 2 2 3 3 1 1 1 1 2 1 2 6 2 2 3
x xp p p x− −− −
= ⇒ = ⇒ − = −− − −
3+
de unde se obţine curba inversă a cererii. 3 7deci : (curba cererii)2 4
p x= − + .
Reducerea surplusului consumatorului poate fi aproximată prin calcularea ariei trapezului ABCD.
Avem astfel:
0
1 1 1 16 2 2 0.166 sau
2 6ABCDS S
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠∆ = = = =
12
1/ 2 1/ 221/ 6 1/ 6
16
3 7 3 7 3 3 7 7 | |2 4 4 4 16 4*36 8 24
27 3 21 7 5 1 1 0.1666.4 36 24 12 4 6
S x dx xx⎡ ⎤∆ = − + = − + = − + + − =⎢ ⎥⎣ ⎦
− + −= + = − = =
×
∫
Capitolul 2. Teoria consumatorului
p 3/2 D C 1 A B 0 1/6 ½ x
Figura 2.17. Determinarea aproximativă a reducerii
surplusului consumatorului
b) Curba cererii 1( ) 1 2
p xx
=+
trece prin punctele (1/2,1) şi
(1/6, 3/2), este descrescătoare şi convexă , deoarece
2
1( ) 0 1( )2
p xx
′ = − <+
şi 3
2( ) 0 1 2
p xx
′′ = >⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Vom reprezenta grafic funcţia cererii 1( ) 1 2
p xx
=+
într-un sistem de
axe de coordonate (p, X).
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
p 2 E 3/2 C 1 A B 0 1/6 1/2 X
Figura 2.18. Determinarea variaţiei surplusului
consumatorului În situaţia iniţială, surplusul consumatorului S este aria suprafeţei: i
1 12 2
0 0
1 22 1 1 ( ) 1 ln(2 1) ln2 02 1 2 2 2EAB p x dx px dx xS x
= − = − = + − =+∫ ∫
1− .
În situaţia finală, surplusul consumatorului S este egal cu aria: f16
0
1 23 1 ( ) ln(2 1) ln 012 4 3 4EDC p x dx xS = − = + − =∫
4 1− .
Reducerea surplusului (variaţia surplusului ) va fi
11 4 1 3 1 ln 2 ln ln 0.15552 3 4 2 4i fS S S∆ = − = − − + = − ≅ .
Avem: 0 1
1
0.072S SS
∆ −∆=
∆. Aproximarea curbei cererii printr-o
functie liniară conduce la o majorare a reducerii surplusului (a variaţiei surplusului) cu 7.2 % în raport cu adevărata valoare.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Problema 2.20. Fie f(x1,x2) o funcţie ale cărei derivate parţiale în raport cu cele două
variabile se notează cu f1 , respectiv f2. • a) Trasaţi grafic mulţimea admisibilă pentru fiecare din
perechile de restricţii:
(a) (d) 1 22x x+ ≤ 421 2
1 2
2 43 7
x xx x+ =+ =
(b) (e) 1 2
1 2
1 2
3 62
0, 0
x xx x
x x
+ <+ =≥ ≥
41 2
1 2
1 2
3 72 4
0, 0
x xx x
x x
+ =+ =≥ ≥
(c) (f) 1 2
1 2
1 2
2 44
0, 0
x xx x
x x
+ ≤+ ≤≥ ≥
621 2
1 2
2 00, 0
x xx x
+ ≤≥ ≥
Pentru fiecare mulţime de admisibilitate stabiliţi dacă este nevidă,
închisă, mărginită şi convexă. b) Ştiind că o funcţie este strict quasi-concavă dacă derivata a doua:
22
21
xx
∂∂
este mai mare strict ca zero, demonstraţi că această afirmaţie necesită
verificarea relaţiei:
{ }2
2 222 112 3 1 22 1 2 12
1 2
12 0ff f
x ff f fx f= − − +
∂>
∂.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Rezolvare: a) Reprezentările grafice corespunzătoare restricţiilor sunt date în
continuare:
x2 x2
4 (a) 6 (b)
0 2 x1 0 2 x1
x2 x2
(c ) 7 (d) 6
4 4
0 2 7/3 3 x1 0 1.5 2 x1
-2
Capitolul 2. Teoria consumatorului
x2 x2 8 (e) (f) x2=2x1
2 4 0 2 7/3 x1 0 x1
Figura 2.19. Mulţimile de admisibilitate corespunzătoare perechilor de restricţii Se deduc, în consecinţă, următoarele concluzii: (a) Mulţimea valorilor admisibile este nevidă, închisă, nemărginită şi
convexă. (b) Mulţimea valorilor admisibile este nevidă, neînchisă, mărginită
şi convexă. (c) Mulţimea valorilor admisibile este nevidă, închisă, mărginită şi
convexă. (d) Mulţimea valorilor admisibile conţine un singur punct (3,-2) şi
este nevidă, închisă, mărginită şi convexă. (e) Mulţimea valorilor admisibile este vidă. (f) Mulţimea valorilor admisibile este nevidă, închisă, nemărginită şi
neconvexă.
b) Avem: ( )( )
1 22 1
1 1 22
,.
,d fd f
x xxx xx
= −
Deci: ( )( )
1 1 22
1 1 1 1 1 2
,,
fdxd ddx dx dx f
x xx x
= − =⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 212 2 11 12 21 21
1 11
1 d dff f f f fd d
x xf x x
= − + − +⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭
⎤⎥⎦
,
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici utilizând faptul că x2 este rezultat al unei funcţii de variabilă x1. Apoi făcând
substituţia 2
1 2
dx fdx f
= − 1 , rezultă:
222 2
12 1 12 2 2 11 1 211 2 2
1 ff ff ff ff
dx fdx f
=− − − + =⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
2
{ }2 21 22 1 2 12 2 113
2
12 f ff f f f f
f= − − + ,
unde vom folosi teorema lui Young, . Întrucât, pentru
quasiconcavitate
12 21f f=
0dxdx
1
2 > , înmulţind cu -1 în această ultimă relaţie se
obţine rezultatul dorit. Observaţie: Explicaţi de ce nu este necesar şi suficient pentru strict
quasiconcavitate ca: fi>0, fii <0, i = 1,2.
Problema 2.21. a) Explicaţi de ce condiţiile ca derivatele parţiale ale Lagrangeanului
în raport cu fiecare variabilă, respectiv multiplicatori ai lui Lagrange să fie zero, sunt doar necesare, dar nu şi suficiente. Comparaţie între problema de maxim şi cea de minim dată de:
min ( )( ) 0, 1, 2, ...,j
j
f xg x b j m− = =
b) Se consideră problema de optim:
( )1 2
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
max ,f x xa x a x ba x a x b
+ ≤+ ≤
, unde: f1 >0, f2 >0.
Funcţia obiectiv este strict quasi-concavă, iar coeficienţii aij sunt toţi
pozitivi.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Se cere: a) Trasaţi mulţimea soluţiilor posibile în următoarea situaţie:
11 21
12 22
a aa a
> şi 1 2
12 22
b ba a
> .
b) Determinaţi multiplicatorul lui Lagrange, dând o interpretare economică cazului 0*
1 =λ . Rezolvare: a) A se vedea graficul din figura următoare. În cazul (a) f /(x*) > 0 şi în cazul (b) fi (x*) >0 în punctul de optim.
(a) (b)
f(x) f(x1,x2) f’(x0)>0 f1,f2>0 0 x0 x 0 x1
Figura 2.20. Caz special al unei funcţii obiectiv
monoton crescătoare b) 1. Aşa cum se observă şi din figura 2.10., există cinci soluţii
admisibile, şi anume: • Punctul α, unde x1 = 0, x2 >0. În acest caz constrângerea b1 nu
este obligatorie. • Un punct de-a lungul lui αγ, ca de exemplu β, unde x1, x2 >0,
când contrângerea b1 nu este obligatorie. • Un punct γ, unde x1, x2 >0 şi amândouă restricţiile sunt
obligatorii. • Un punct de-a lungul lui γε, ca de exemplu δ, unde x1, x2 >0,
când constrângerea b2 nu este obligatorie. • Punctul ε, când x1 >0, x2 = 0 şi costrângerea b2 nu este
obligatorie.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
x2 a11x1+a12x2=b1 (0,x2) α β a12x1+a22x2=b2 γ 0 (x1,0) ε x1
Figura 2.21. Găsirea soluţiei programului de optimizare
O soluţie se poate afla oriunde de-a lungul marginii αβγ, atunci când f1,, f2 >0.
2. *
1λ este preţul umbră corespunzători restricţiei b1. El arată rata la care se schimbă valoarea optimă a funcţiei obiectiv, când b1 se schimbă. Dacă 0*
1 =λ , aceasta trebuie să conducă la faptul că o foarte mică schimbare în b1 lasă soluţia neschimbată. Astfel, b1 trebuie să nu fie obligatorie la optim.
Problema 2.22. a) Fie problema de optim:
( )1 2
1 1 2 2
1 2
max ,
0, 0
f x xa x a x bx x
+ => >
cu f strict crescătoare şi strict quasiconcavă. De asemenea, vom presupune că forma curbelor de indiferenţă, ataşate funcţiei obiectiv, este abruptă ca în figura 2.11.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
x2 c0 c1 c2 a1x1+a2x2=b 0 *
1x x1 Figura 2.22. Reprezentarea curbelor de indiferenţă şi
a restricţiei de buget
Justificaţi de ce condiţiile:
[ ] 00
0
2*22
*2
*2
2*222
=−
≥
≤−=
afxx
afL
λ
λ
nu conduc la afirmaţia: 0*2 =x , implică 2
*22 af λ< . Cum interpretaţi
cazul în care şi 0*2 =x 2
*22 af λ= . Transpuneţi problema la nivelul unui
consumator ce foloseşte două tipuri de bunuri şi daţi explicaţiile corespunzătoare.
b) Presupunând că restricţiile: , devin x0≥ix i
ii bx ≥ , cu bi diferit
de zero, arătaţi în ce constă modificările survenite în algoritmul de rezolvare cu ajutorul multiplicatorilor lui Lagrange.
c) Vom considera problema de optim: ( )1 2
1 1 2 2 1
1 1 2 2 2
1 2
max ,
0, 0
f x xa x a x bc x c x bx x
+ ≤+ ≤
≥ ≥
,
unde f este concavă, iar f1 şi f2 sunt strict pozitive. Graficul din figura 2.12 descrie soluţiile găsite.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Adăugând la problema de mai sus restricţia suplimentară: e1x1 + e2x2≤b3 , se cere să se discute soluţiile noii probleme.
x2 c1x1+c2x2=b2 α
γ a1x1+a2x2=b1
β
0 x1 Figura 2.23. Aplicarea condiţiilor Kuhn-Tucker
într-o problemă de optim Rezolvare: Putem avea şi , dar şi 0*
2 =x 02*222 =−= afL λ , întrucât aceasta nu
încalcă condiţia necesară: 02*222 ≤−= afL λ , , 0*
2 ≥x [ ] 02*22
*2 =− afx λ .
Totuşi, nu putem spune că 0*2 =x ⇒ L2=0.
În limitele figurii 2.12, putem interpreta cazul în care şi 0*2 =x
2*
2 af λ= ca fiind acela în care conturul c1 şi restricţia liniară sunt tangente în punctul ( )0,*
1x , şi deci avem: *11 1*12 2
( , 0 )
( , 0 )
xfaxfa
=
În termenii non-negativităţii condiţiilor, este posibil ca o problemă fară condiţii de negativitate să conducă la un optim în punctul . Acesta este evident un caz special dar, cu toate acestea, nu trebuie să concluzionam că L
0*2 =x
i <0, atunci când 0*2 =x .
În figura 2.12, a1 şi a2 vor fi preţurile bunurilor 1 şi respectiv 2, şi contururile c0, c1, c2 vor fi curbele de indiferenţă. Apoi avem cazul în care consumatorul consumă întregul său venit pentru bunul 1. Totuşi, acesta este posibil să pară mai degrabă special în cazul bunului 2, în realitate un
Capitolul 2. Teoria consumatorului
consumator cumpără cantităţi pozitive dintr-o mică submulţime a tuturor mărfurilor disponibile - soluţia în colţ este cea caracteristică.
b) Considerăm problema [max] f(x) astfel încât xi >bi, i = 1,…,n (pentru simplitate se ignoră restricţiile funcţionale). Putem proceda în următoarele două moduri:
(a) Definim: ˆi i ix x b= − , şi scriem problema astfel:
1 1ˆ ˆmax ( ,...., )ˆ 0, 1,...,
n n
i
f x b x bx i n
+ +
≥ =.
Observăm că: ˆi i
f f
x x
∂ ∂≡
∂ ∂, deci bi sunt constante.
Astfel vom avea: 0≤if , , ˆ 0ix ≥ ˆ 0i ix f = . Dar * *ˆ i ix x bi= − , şi
deci: , 0if ≤ ˆi ix b≥ , ( )* 0i i ix b f− = .
În consecinţă, pentru a avea o soluţie interioară, cu, ,
trebuie să avem , în timp ce la o soluţie în colţ cu i
*i bx >
0=if *i ix b= implică
. 0≤if (b) Pornind de la Lagrangean:
( ) ( )i
bi
xi iλf(x)x,λL −+= ∑ ,
condiţiile Kuhn - Tucker sunt:
0* =+= iii fL λ
0≥−=∂
∂ bi*ix
i
Lλ
0* ≥iλ ( ) 0** =− iii bxλ
Deci: dacă 0* >iλ , *
iif λ−= şi ii bx =* dacă 0 , * >− ii bx 0* =iλ şi 0=if dacă 0** =−= iii bxλ , atunci 0=if .
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
c) Răspunsul la acest punct este strâns legat de soluţia obţinută înaintea adăugării restricţiei suplimentare. Aşa după cum se poate vedea şi din figura 2.12. avem mai multe cazuri:
-cazul α: Luând 0*2 =λ , avem:
, şi . Aceasta este condiţia standard care rezultă din aplicarea metodei multiplicatorilor Lagrange, problemei de optim cu o singură restricţie, ceea ce înseamnă că există numai restricţia b
01*11 =− af λ 02
*12 =− af λ 1
*212
*111 bxaxa =+
1. -cazul β : aici restricţia b1 nu este obligatorie. Vom lua deci: ,
de unde avem că: 0
*1=λ
01*21 =− cf λ , 02
*22 =− cf λ şi 2
*22
*11 bxcxc =+ .
-cazul γ : în care vom lua în considerare ambele restricţii. Din condiţiile rezultate aplicând procedeul Kuhn-Tucker, se obţine:
2121
1211
2
1
cλaλcλaλ
ff
**
**
++
=
Deci, evident soluţiile α şi β sunt încă admisibile (deoarece este soluţia în colţ, pe cele două restricţii iniţiale), dar soluţia γ este exclusă. În schimb, avem trei noi soluţii admisibile, ca de exemplu δ, ε, sau un punct φ de-a lungul segmentului δε.
Funcţia lui Lagrange este acum:
( ) ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∑=
−−
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∑=
−−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∑=
−−=
2
1
2
1
2
1,,
33
22121
ibxeλ
ibxcλ
ibxaλxxfxL
ii
iiiiiλ
.
Condiţiile Kuhn-Tucker sunt deci: 0*
3*2
*1 ≤−−−= iiiii eccfL λλλ , , , cu
i =1,2; 0* ≥ix 0* =ii Lx
01
*
1≤−=
∂∂
∑ bi
xi
aLλ
, 0*1 ≥λ , 0
1
*1 =∂∂λ
λ L ;
02
2≤−∑=
∂∂ b*
ix
λL
ic , 0*2 ≥λ , λ*
22
Lλ∂∂ =0,
03
*
3≤−∑=
∂∂ b
ixL
ieλ
, 0*3 ≥λ , λ*
33
Lλ∂∂ =0.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
x2
α δ γ ϕ ε β e1x1+e2x2=b3
0 x1 Figura 2.24. Alegerea combinaţiei optime
Deci, la α punem 0*3
*2 == λλ ; la β punem λ*
1= λ*3 = 0; la φ punem
0*2
*1 == λλ ; la δ punem λ*
2= 0; la ε punem 0*1 =λ . În consecinţă, pentru
fiecare din aceste cazuri, condiţiile Kuhn-Tucker pot fi utilizate pentru a caracteriza perechea optimală ( )*
2*1 , xx , care sunt ambele pozitive în toate
aceste puncte - din nou trebuie să adăugăm cazurile ( )0,*1x şi ( )*
2,0 x . Esenţial este deci faptul că, condiţiile Kuhn-Tucker permit sistematizarea muncii prin soluţiile admisibile care se găsesc.
Problema 2.23. Se consideră problema de optim: [max] u(x1, x2) cu restricţia: α1x1 + α2x2= α3, cu α1, α2, α3>0. Condiţiile de ordinul I conduc la: u1(x*1, x*2) - λ*α1= 0 u2(x*1, x*2) - λ*α2= 0 - α1x*1 - α2x*2+ α3= 0,
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
unde “ * “ reprezintă valoarea la echilibru iar i
i xuu
∂∂
= , i = 1,2.
Acest sistem de condiţii poate fi scris matriceal, astfel:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
32211
2
1
2
1
21
22221
11211
0 dαdαxdαxdαλdαλ
dλdxdx
αααuuαuu
**
*
*
Rezolvând pentru x1, considerând că dα1 şi dα3 sunt diferite de zero,
vom avea:
( )3
1*1
22122221*
1
22
1
1**
∂α∂αλαααλ
∂α∂ x
xxx
DDuu
D−−=
−+−= .,
unde D este determinantul matricei din partea stângă a egalităţii matriceale de mai sus.
Care este semnul lui D? În cazul în care u este interpretată ca o funcţie de utilitate, α1, α2 ca preţuri, iar α3 ca venit analizaţi ecuaţia lui Slutsky.
Rezolvare: Avem:
( )3
1*1
22122221*
1
22
1
1**
∂α∂λλ
∂α∂ x
xD
a
D
uαuαx
αxD
−−=−
+−=
ca o condiţie necesară de optim. Din condiţiile de ordin II avem că
D>0. Primul termen 022
*
<−
Dαλ
, întrucât 0* >λ . Totuşi, dacă nu avem
restricţie de semn sau mărimile relative ale lui u12, u22 (sau ale lui α1, α2 ), atunci nu putem indica semnul termenului (α1u12 - α2u12). Astfel nici pentru
2
1
α∂∂x
, dar nici pentru 2
1
xx∂∂
nu pot fi indicate semnele pe care le au.
Dacă u este funcţia de utilitate, α1, α2 - preţurile şi α3 venitul, atunci cele de mai sus dau ecuaţia lui Slutsky pentru bunul x1. Primul termen este efectul de substituţie şi vedem că acesta este negativ. Cel de-al doilea termen este efectul de venit şi fiindcă semnul său este necunoscut, este
Capitolul 2. Teoria consumatorului
aşadar considerat acela al derivatei 1
1
α∂∂x
, care nu reprezintă altceva decât
panta curbei cererii Marshalliene. Problema 2.24. Presupunem că preţul unei unităţi de bun (din pachetul de bunuri,
constituit din două tipuri de produse) cumpărată de un consumator creşte pe măsură ce el cumpără o cantitate mai mare. Care este efectul acestei modificări a preţului asupra mulţimii posibilităţilor sale de consum? Daţi o interpretare pantei liniei bugetului. Descrieţi printr-o diagramă relaţia dintre preţul mediu şi preţul marginal.
Rezolvare: Presupunem că p1 = p1 (x1), cu , dar p0'
1 >p 2 este constant. Deci, putem să scriem restricţia bugetară a consumatorului ca fiind:
( ) )x(Bx)x(pMp
x 11112
21
≡−=
şi avem :
0'111
2
1<+−= ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ pxp
p
'B .
Astfel, avem o restricţie bugetară cu pantă negativă. Putem interpreta pe p1+x1p/
1 ca fiind preţul marginal sau costul marginal al lui x2
pentru consumator, întrucât este derivata [ ]
1
111 )(dx
xxpd, unde este
costul total al bunului x
111 )( xxp
1 cumpărat. Astfel, panta liniei (curbei) bugetului, într-un punct este proporţia costului marginal al lui x1 în preţul (costul marginal) al lui x2.
Dacă vrem în plus ca mulţimea bugetului să fie o mulţime convexă, atunci cererea B(x1) trebuie să fie o funcţie concavă, adică:
( ) 0pxp2p
)x(B 1112
11
<′′+′−=′′
sau . 02 111 >′′+′ pxp
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Aceasta nu poate fi garantată fără restricţiile ulterioare pentru funcţia p(x1). Dacă această funcţie este convexă, deci p//
1>0, atunci avem imediat că B//(x1)<0 şi mulţimea bugetului este o mulţime convexă. Dacă, pe de altă parte, p/(x1) nu este convexă, atunci avem că , pentru
orice x
)1
(1
)1
(2 ''1
'1 xpxxp −>
1∈[0, 1x ], unde 1x satisface relaţia p1( 1x ) 1x =M. Dacă această condiţie nu este respectată, atunci putem avea
mulţimea bugetului neconvexă, care după cum se ştie poate conduce la un optim local care să nu fie unic, sau mai rău, care să nu fie şi optim global. Ca atare, un punct satisfăcând condiţiile multiplicatorilor lui Lagrange, nu poate fi decât o soluţie a restricţiilor problemei.
În cazul în care condiţiile sunt satisfăcute, figura 2.17. ilustrează mulţimea posibilităţilor de consum.
x2 M x2
c c x2
b b x2
a a 0 x1
c x1b x1
a x1 Figura 2.25. Mulţimea consumurilor posibile
Vom alege o unitate de măsură pentru x2 astfel încât preţul lui să fie p2=1. Deci, în figură, panta lui B(x1) în punctul x0 măsoară costul marginal sau preţul marginal B/(x0
1), când panta unei forme liniare xI la M dă costul mediu sau preţul mediu p(x0
1). Se observă că dacă p2=1, cheltuiala pentru bunul 2 este x0
2 şi asemănător cheltuiala pentru bunul 1 este M -
x02=p1(x0
1)x01, când panta dreptei este 0
1
02
xxM −
. Astfel, costul sau preţul
marginal depăşesc costul sau preţul mediu.
Capitolul 2. Teoria consumatorului
c) Consumatorul alege x şi M astfel încât să maximizeze funcţia de utilitate în condiţiile satisfacerii restricţiei bugetare 1U px M V+ = .
Lagrangeanul problemei este:
( ) ( )V - px - M + λx+M + λx,ML ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
21ln,
cu 0 1 0 1LM
λ λ∂= ⇒ − = ⇒ =
∂
şi 1 1 0 0 1 2 2
L p xx x
λ∂= ⇒ − = ⇒ = −
∂ +
1p
, adică funcţia de cerere de la
punctul b). d) Fie funcţia de utilitate indirectă obţinută înlocuind în
pe x şi M cu soluţia de la punctul c) ( reprezintă nivelul de utilitate al consumatorului corespunzător funcţiei când bunul X are preţul p şi venitul consumatorului este V). Avem:
1( , )V p V 1U
1( , )V p V1U
1
1( , ) 1 ln 1 ln 2 2p pV p V R V p
p= − + + = − + −
În situaţia iniţială, consumatorul atinge nivelul de satisfacţie
13(1, 2) 2V = .
Considerăm acum cazul când consumatorul face faţă situaţiei finale
(adică p=3/2) presupunând că el primeşte un transfer T. Nivelul de utilitate corespunzător este:
1
3 7 3, 2 ln 2 4 2
V T⎛ ⎞ T+ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
El va avea exact compensaţia financiară (pentru a-şi menţine satisfacţia iniţială) când:
1 1 13 3(1, 2) , 2 de unde ln 2 2
T TV V⎛ ⎞= + = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
14 S∆ .
Nu trebuie să ne surprindă acest rezultat deoarece suntem în cazul în
care utilitatea marginală a venitului este constantă (funcţia de utilitate depinde liniar de M).
În consecinţă, cererea din bunul X nu depinde decît de preţul p şi nu de venitul V.
Se ştie că într-o astfel de situaţie, surplusul consumatorului furnizează o măsură a câştigului indus de piaţă (a avantajului rezultat în urma achiziţionării bunului).
Variaţia surplusului consumatorului ne dă deci o evaluare exactă a transferului care permite să se compenseze impactul creşterii preţului asupra bunăstării individului.
e) În cazul funcţiei de utilitate obţinem : 2U
, 2 2
V p V px Mp− +
= =
Deci pentru V=2, rezultă 1 1 2
xp
= − ceea ce denotă compatibilitatea
cu studiul statistic de la punctul b). Fie nivelul de utilitate atins, adică: 2V (p, R)
1122
2 12
( , ) 1 2 2 2
V p V p V pp VV p p
⎛ ⎞+ −⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+= .
În situaţia iniţială avem: 23(1, 2) 2
V = .
Capitolul 2. Teoria consumatorului
Dacă p = 3/2 în situaţia finală, şi consumatorul primeşte un transfer
T, nivelul de utilitate atins este: 23 7 , 2 2 6 2 6
TTV⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Din egalitatea: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ T+,2
23 V = (1,2)V 22 rezultă că
7 3 6 0.174
2T − += =
Se observă că , funcţia de utilitate nu mai este liniară în M
şi deci există efect de venit asupra cererii de bun X. Variaţia surplusului nu mai este o masură exactă în termeni de venit a consecinţelor schimbării preţului asupra bunăstării consumatorului.
TS1 ≅∆
Avem 1 0.155 0.174 0.1090.174
TST
∆ − −= = − .
Dacă guvernul se bazează pe reducerea surplusului pentru a calcula
sume de transfer el subestimează acest surplus cu aproape 11%.
Problema 3.1. Se consideră funcţia de producţie a unei firme:
1 2 1 2
1 2
1, dacă 10 , dacă 1
r r r rq
r r
⎧ − ≥⎪= ⎨<⎪⎩
Factorul 1 este un factor variabil, în timp ce factorul 2 este un factor fix pe termen scurt. Preţurile sunt egale cu unitatea.
Se cere: a) Determinaţi funcţiile de cost mediu şi marginal pe termen lung şi
reprezentaţi-le grafic. b) Determinaţi funcţiile de cost mediu şi marginal pe termen scurt
când firma dispune de două unitaţi din factorul 2. Reprezentaţi-le pe graficul de la punctul a).
c) Ce cantitate din factorul 2 ar trebui să cumpere firma pentru a produce q=3?
Dacă se cumpără această cantitate de factor 2 şi dacă se produce de fapt q=4, ce supracost se suportă pe unitatea produsă, în comparaţie cu cazul în care ar fi ales cantitatea optimă de factor 2?
Rezolvare: a) Pentru început vom determina funcţiile cerere de factori pe termen
lung. Problema ce minimizează costul obţinerii unei producţii q>0 se scrie:
1 21 2,
1 2
1 2
min{ }
pe restricţiile:
10
r rr r
q rrrr
+⎧⎪⎪⎨
= −⎪⎪ ≥⎩
deoarece preţurile unitare sunt: x1=x2=1 u.m. Se construieşte Lagrangeanul asociat problemei de optim:
)1rrq(rr),r,r(L 212121 +−λ++=λ
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Condiţiile necesare de optim sunt:
2
1 1
1
2 2
1 2
0 1 0;2
0 1 0;2
0 0.
rLr r
rLr rL q r r
λ
λ
λ
⎧∂= => − =⎪
∂⎪⎪∂⎪ = => − =⎨∂⎪
⎪ ∂⎪ = => − =∂⎪⎩
Împărţind prima ecuaţie la a doua se obţine sistemul:
1
2
1 2
1
1
rr
q r r
⎧ =⎪⎨⎪ = −⎩
de unde rezultă: r1=r2 => q=r1-1 si 1qrr *
2*1 +==
Şi se obţine:
( ) 1 2 2 2CTL q r r q= + = + De aici se calculează costul mediu pe termen lung:
q22
q)q(CTL)q(CML +==
şi costul marginal pe termen lung:
2q
)q(CTL)q(CmL =∂
∂= .
Se observă că avem .CMLCmL < Rezultă că se realizează o economie la scală (în figură).
Pentru reprezentarea grafică avem: • CmL(q)=2 => o dreaptă ; Şi
0q2)CML( 2
' <−= => funcţia CML este descrescătoare;
Capitolul 3. Teoria producătorului
0q4)CML( 3
'' >= => funcţia CML este convexă.
Din: 2)q(CMLlim
q=
∞>− => asimptotă orizontală;
+∞=>−
)q(CMLlim0q
=> asimpotă verticală.
Astfel, va rezulta graficul 3.1.
b) Pentru r2 – factor fix => 2
)1 + q( = r 1 - r2 = q 2 = r2
112 =>=> de
unde se deduce că funcţiile cost total, cost mediu şi cost marginal pe termen scurt sunt:
.1qq
)q(CTS)q(CmS
;q252
2q
q2
q2)1q(
q)q(CTS)q(CMS
;22
)1q(rr)q(CTS
2
2
21
+=∂
∂=
++=++
==
++
=+=
Pentru reprezentarea grafică avem:
• 5q0q25
21)CMS( 2
' ==>=−= ;
Costuri CML
2 CmL
0 q Figura 3.1. Graficul funcţiilor CML şi CmL
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
0q5)CMS( 3
" >= => funcţia CMS este convexă şi atunci, 5q = este
un punct de minim. Se studiază dacă CMS intersectează CML => CMS=CML:
1q0)1q(q21qq2
12q1
q22
q251
2q 22 ==>=−=>=+=>+==>+=++ =>
CMS(1)=4 => CMS intersectează CML în punctul A(1,4). • Cm S(q) = q+1 => o dreaptă crescătoare, care porneşte din
punctul (0,1). Se studiază dacă CmS intersectează CmL => CmS=CmL: q+1=2 => q=1 => CmS(1)=2 => CmS intersectează CmL în punctul
D(1,2); Se studiază dacă CmS intersectează CML => CmS=CML:
q221q +=+ => q2-q-2=0 => rezolvând se obţine: q=2
=> CmS(2)=3 => CmS intersectează CMS în punctul C(2,3); Se studiază dacă CmS intersectează CMS => CmS=CMS:
q251
2q1q ++=+ => q2=5 => 5q = => ( )5 5 1CmS = + =>
CmS intersectează CMS în punctul B( ( )5; 5 1B + .
În continuare, se va verifica dacă CmS intersectează CMS în punctul
de minim al acestuia din urmă:
( ) ( )5 5 1 5CMS CmS= + = =>CmS intersectează CMS în punctul de
minim al acestuia.
c) Se determină cantitatea optimă din factorul 2, necesară pentru a produce q=3 unităţi de output.
Dacă firma doreşte să producă q=3, va avea nevoie de 4 unităţi din factorul 2.
Deci din 4 = r 3 = q si 1 + q = r 22 => şi atunci 1r2q 1 −= de unde
rezultă: 4
)1 +q( =r
2
1 .
Capitolul 3. Teoria producătorului
Funcţiile cost total şi cost mediu pe termen scurt sunt:
.q4
1721
4q
q)q(CTS
)q(CMS
;44
)1q(rr)q(CTS
44
2
214
++==
++
=+=
Avem: 1641 =
1617 +
46 =
1617 +
21 +
44 = )4(CMS4 .
Se determină acum cantitatea optimă din factorul 2, necesară pentru a obţine q=4: r2=q+1=4+1=5.
Din 5
)1q(r1r5q2
11+
==>−= .
Deci: .
q526
52
5q
q)q(CTS
)q(CMS
;55
)1q(rr)q(CTS
55
2
215
++==
++
=+=
Costuri CmS
4 A 5 +1 B CMS 3 C CML
2 CmL D 0 1 2 5 q
Figura 3.2. Funcţiile de cost mediu şi cost marginal pe termen lung şi scurt
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Avem: 25 =
2026 +
56 =
2026 +
52 +
54 = )4(CMS5 .
Firma suportă, în consecinţă, un supra-cost de:
161 =
25 -
1641)4(CMS)4(CMS 54 =− .
Problema 3.2. Se consideră o firmă în concurenţă perfectă a cărei funcţie de
producţie se scrie: 1 2= 1q r r+ − , cu q, r1 şi r2 reprezentând volumul producţiei şi cantităţile utilizate din cei doi factori 1 şi 2. Preţurile unitare ale factorilor sunt egale respectiv cu x1 şi x2 şi se notează cu p, preţul bunului produs. Analiza are loc pe termen lung, cei doi factori fiind variabili.
Se cere: a) Să se determine funcţia de cost rezolvând problema de
maximizare a profitului producătorului. b) Deduceţi funcţia de ofertă a firmei şi cererea pentru fiecare factor
în funcţie de p. c) Să se determine funcţiile de cost mediu şi cost marginal şi să se
reperezinte grafic. Rezolvare: a) Vom determina mai întâi funcţiile cererii de factori. Ele se obţin
maximizînd profizul producătorului:
( ) ( ){ }1 2 1 2
1 2 1 2 1 2, ,[m ax ] , [m ax ] 1
r r r rr r p r r r rπ = + − − −
Condiţiile necesare de optim sunt:
1 1
2 2
10 1 0;2
10 1 0;2
pr r
pr r
π
π
∂= => × − =
∂
∂= => × − =
∂
Capitolul 3. Teoria producătorului
Împărţind cele două ecuaţii se obţine:
1 1
22
1 1r r
rr= ⇒ = .
Înlocuind în ecuaţia: 1 2= 1q r r+ − se obţine:
( )2
* *1 2
14
qr r
+= =
Cu r1 şi r2 astfel determinate se poate calcula funcţia de cost: ( )2
* *1 2
1( )
2q
CT q r r+
= + =
b) Pentru a determina funcţia de ofertă se va exprima q ca funcţie de
x1, x2 şi p. Preţul de vânzare al outpului pe o piaţă cu concurenţă perfectă se
determină din condiţia de echilibru pe această piaţă: p=Cm(q)
Trebuie mai întâi să se determine costul marginal: ( )( ) 1CT qCm q q
q∂
= = +∂
.
Egalând cu p se obţine: 1p q= + Astfel, funcţia de ofertă este: ( ) 1q p p= − Iar funcţiile de cerere de factori sunt:
2
1 2( ) ( )4pr p r p= =
c) Funcţiile de cost mediu şi marginal sunt:
( )21( ) 1( ) 12 2 2
( )( ) 1
qCTL q qCML qq q q
CTL qCmL q qq
+= = = + +
∂= = +
∂
.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Se reprezintă grafic cele două funcţii:
( ) 2
1 1'2 2
CMLq
= − .
Din a doua derivată: 3
1( )" 0CMLq
= > => CML, funcţie convexă.
Din ( ) ' 0 1CML q= ⇒ = şi (1) 2CML = .Astfel, (2,1) este punctul de minim al funcţiei CML.
Axele se comportă ca asimptotă verticală, respectiv orizontală. Se observă că funcţia de cost marginal este liniară, crescătoare şi
porneşte din punctul (1,0). Intersecţia celor două funcţii are loc dacă:
11 12 2q q
q+ + = + , de unde rezultă q=1.
Deci, funcţia de cost marginal intersectează funcţia de cost mediu în punctul de minim al acesteia din urmă.
CML,CmL CML CmL 2 1
1 q Figura 3.3. Funcţiile CML şi CmL
Problema 3.3. Se consideră o firmă în concurenţă perfectă a cărei funcţie de
producţie se scrie: ( )1 2 13q r r r= + ,
Capitolul 3. Teoria producătorului
cu q, r1 şi r2 reprezentând volumul producţiei şi cantităţile utilizate din cei doi factori 1 şi 2. Preţurile unitare ale factorilor sunt egale respectiv cu x1 şi x2 şi se notează cu p, preţul bunului produs.
Se cere: a) Să se determine funcţia de cost total; b) Să se calculeze funcţiile de cost mediu şi cost marginal pe termen
lung pentru vectorul de preţuri x=(12,1) şi natura randamentelor la scală;
c) Pentru cazul în care 1 2r = unităţi, determinaţi costul mediu şi costul marginal pe termen scurt.
Rezolvare:
a) Vom determina mai întâi funcţiile cererii de factori. Ele se obţin
minimizând costul de producţie pentru un volum de producţie q dat, adică:
( )1 2
1 21 2,
1 2 1
1 2
[m in ]{ }
30, 0
r rx xr r
q r r rr r
+
= +
≥ ≥
Lagrangeanul asociat problemei de optim este: ( )2
1 2 1 1 2 2 1 2 1( , , ) 3L r r r x r x q r r rλ λ= + + − − Condiţiile necesare de optim sunt:
( )
( )
1 2 11
2 12
1 2 1
0 6 0;
0 0;
0 3 .
L x r rrL x rrL q r r r
λ
λ
λ
∂= => − + =
∂∂
= => − =∂∂
= => = +∂
Vom avea din primele două ecuaţii:
12 1
21
6 r r xr x+
= , sau: 1 22 1
2
6 x xr rx−
= .
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Înlocuind în ultima ecuaţie:
21 21
2
3x xq rx−
= se obţine: * 2
1 1 21 2
, 33
qxr x xx x
= >− .
Înlocuind în 1 22 1
2
6 x xr rx−
= se obţine:
( ) ( )*
2 1 2 1 22 1 2
6 , 63
qr x x x xx x x
= − >−
.
Ştiind r1 şi r2 se poate determina funcţia de cost:
( ) ( )( )
* * 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 2 1 2
2 1 2
( , , ) 63 3
2 3
qx qCT x x q x r x r x x x xx x x x x
qx x x
= + = + − =− −
= −
b) Se calculează funcţiile de cost mediu şi marginal:
( )
( )
2 1 2
2 1 2
2 3( )( )
3( )( )
qx x xCTL qCML qq q
x x xCTL qCmL qq q
−= =
−∂= =
∂
Pentru vectorul de preţuri (12,1), vom avea: 6( )
3( )
CML qq
CmL qq
=
=
Se determină natura randamentelor la scală: ( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 1 2 1 1 2 1 1 2, 3 3 ,q r r r r r r r r q r rλ λ λ λ λ λ λ= + = + > => funcţia de producţie are randamente crescătoare la scală.
c) Pentru 1 2r = , vom avea costurile pe termen scurt.
Din 1 2r = , se obţine: ( )62 2 += rq => 2 62qr = − .
Înlocuind în funcţia cost se obţine: ( )( ) 6 8CTS q q= −
Capitolul 3. Teoria producătorului
De aici se calculează: ( ) 8( ) 6 1
( )( ) 6
CTS qCMS qq q
CTS qCmS qq
⎛ ⎞= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠∂
= =∂
Problema 3.4. Pentru a produce q unităţi dintr-un anumit bun, o firmă suportă pe
termen scurt costul variabil CV(q) şi costul fix CF, cu:
231( ) - 42
CV q q qq= +
CF=4. Costul său total este definit prin CT(q)=CV(q)+4. Obiectivul firmei
este de a maximiza profitul. Se cere: a) Care sunt ecuaţiile funcţiilor de:
-cost mediu, CTM(q); -cost marginal, Cm(q); -cost variabil mediu, CVM(q); -cost fix mediu, CFM(q).
b) Reprezentaţi funcţiile CTM(q), Cm(q), CVM(q) pe acelaşi grafic,
determinând explicit nivelurile de producţie unde ele îşi ating minimul. Definiţi pragul de închidere şi pragul de rentabilitate.
c) Firma vinde producţia pe o piaţă cu concurenţă perfectă la un preţ
unitar egal cu p. Determinaţi producţia aleasă când p=3, p=4 şi p=6. Calculaţi în fiecare caz profitul realizat şi comentaţi rezultatele obţinute.
Rezolvare:
a) Avem: 3 21( ) ( ) 4 42
CT q CV q CF q q q= + = − + +
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
De unde se obţin:
2
2
2
( ) 1 4( ) 4 ;2
( ) 3( ) 2 4;2
( ) 1( ) 4;2
( ) 4( ) .
CT qCTM q q qq q
CT qCm q q qq
CV qCVM q q qq
CF qCFM qq q
= = − + +
∂= = − +
∂
= = − +
= =
;
b) Se vor reprezenta grafic funcţiile cerute:
1. 21 4( ) 42
CTM q q qq
= − + + .
Se calculează prima derivată: ' 3 2
2
2
4( ) 1 0 4 0
( 2)( 2) 0 2.
CTM q q qq
q q q q
= − − = => − − = =>
− + = = => =
şi CTM(2)=6. Din a doua derivată rezultă:
''3
8( ) 1 0CTMq
= + > => funcţia CTM este convexă, deci punctul de
coordonate (2,6) este minimul funcţiei CTM. Din
0
( )limq
C T M q− >
= ∞ => axa 0y este asimptotă verticală pentru
funcţia CTM.
2. 23( ) 2 4 02
Cm q q q= − + = .
Se calculează prima derivată: ' 3 3 10( ) 3 2 0
2 2 3Cm q q Cm⎛ ⎞= − = => = => =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Din a doua derivată rezultă: ''( ) 3 0Cm = > => funcţia Cm este convexă, deci punctul de
Capitolul 3. Teoria producătorului
coordonate ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
310,
32 este minimul funcţiei Cm.
Intersecţia cu axa 0y: q=0 => Cm(0)=4 => funcţia Cm intersesctează axa în punctul (0,4).
Se studiază dacă Cm intersectează CTM în punctul de minim al acestuia din urmă:
Cm(q)=CTM(q):2 2 3 23 1 42 4 4 4 0 2
2 2q q q q q q q
q− + = − + + => − − = => =
=>Cm trece prin punctul de minim al funcţiei CTM(q).
3. 21( ) 42
CVM q q q= − +
Se calculează prima derivată:
( )' 7( ) 1 0 1 12
CVM q q CVM= − = => = => = .
Din a doua derivată rezultă: 01)CVM( '' >= => funcţia CVM este convexă, deci punctul de
coordonate ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
27,1 este minimul funcţiei CVM.
Intersecţia cu axa 0y: q=0 => CVM(0)=4 => funcţia Cm intersesctează axa în punctul (0,4).
Se studiază dacă Cm intersectează CVM în punctul de minim al acestuia din urmă:
Cm(q)=CVM(q) 2 2 23 12 4 4 0 ( 1) 0
2 2q q q q q q q q− + = − + => − = => − =
=> pentru q=0, CVM interseactează axa 0y în punctul (0,4) şi pentru q=1, CVM(1)=7/2 funcţia Cm trece prin punctul de minim al funcţiei CVM(q).
Se studiază dacă CVM intersectează CTM: CVM(q)=CTM(q)
2 21 1 44 42 2
q q q qq
− + = − + +
=> CVM nu intersectează funcţia CTM.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Avem reprezentare grafică din Figura 3.4. c) Fie Π profitul firmei respective: Π =pq-CT(q). Se notează cu PI pragul de închidere dat de valoarea punctului de
minim al CVM(q). Acesta reprezintă punctul în care firma preferă să nu mai producă (q=0).
În cazul nostru, PI(1)=7/2.
Costuri CTM Cm 6 4 CVM 7/2 10/3 0 2/3 1 2 q
Figura 3.4. Curbele Cm, CVM şi CTM
Se notează cu PR pragul de rentabilitate dat de valoarea punctului de
minim al CTM(q). Acesta reprezintă punctul din care firma va începe să obţină profit ( 0Π = ).
În cazul de faţă, PR(2)=6. Atunci: 1) Pentru p=3<PI=7/2, firma preferă să-şi oprească activitatea,
adică q=0. De aceea, Π = -CT(0)= -CF= -4 şi va suporta doar costurile fixe. 2) Pentru p=4∈(PI,PR), firma este în pierdere dar poate alege să
nu-şi oprească activitatea şi atunci o parte din pierdere va fi suportată din costurile variabile. De aceea, Π =4q-CT(q). Cantitatea produsă se va determina din regula de ehilibru pe o piaţă cu concurenţă perfectă:
p=Cm(q)=> 23 32 4 4 2 02 2
q q q q⎛ ⎞− + = => − =⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Capitolul 3. Teoria producătorului
Există două variante: -Fie q=0, ceea ce înseamnă că firma poate să-şi oprească activitatea,
-Fie 4 4 4 924 43 3 3 27
q CT ⎛ ⎞= ⇒Π = × − = − > −⎜ ⎟⎝ ⎠
, de unde se observă că
pierderile înregistrate sunt mai mici. 3) Pentru p=6=PR, q=2. Aceasta înseamnă că
0)2(CT62 =−×=Π => firma nu mai înregistrează pierderi.
Problema 3.5. Se consideră o firmă în concurenţă perfectă a cărei funcţie de
producţie se scrie: rr = q 3/1
23/1
1 , cu q, r1 şi r2 reprezentând volumul producţiei şi cantităţile utilizate din cei doi factori 1 şi 2. Preţurile unitare ale factorilor sunt egale respectiv cu x1 şi x2 şi se notează cu p, preţul bunului produs. Analiza are loc pe termen lung, cei doi factori fiind variabili.
Se cere: a) Determinaţi funcţia de cost total. Deduceţi funcţia de ofertă a
firmei şi cererea pentru fiecare factor în funcţie de p. b) Regăsiţi rezultatele de la punctul a) prin calcul direct, adică fără a
trece prin calculul funcţiei de cost total. Rezolvare: a) Vom determina mai întâi funcţiile cererii de factori. Ele se obţin
minimizând costul de producţie pentru un volum de producţie q dat, adică:
1 21 21 2
,
1 / 3 1 / 31 2
1 2
[m in ]{ }
= 0, 0
r rx xr r
qr rr r
+
≥ ≥
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Lagrangeanul asociat problemei de optim este: 1 13 3
1 2 1 1 2 2 1 2( , , )L r r r x r x q r rλ λ ⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
Condiţiile necesare de optim sunt:
2 13 3
1 1 21
1 23 3
2 1 22
1 13 3
1 2
10 0;310 0;3
0 .
L x r rrL x r rrL q r r
λ
λ
λ
−
−
∂= => − =
∂
∂= => − =
∂
∂= => =
∂
Vom avea din primele două ecuaţii:
2 13 3
1 21 2 1
1 223 3 1 2
1 2
13 13
r r r xxr xxr r
−
−= => = , sau: 1
2 12
xr rx
= .
Înlocuind în ultima ecuaţie: 1
231 3
12
xq rx
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
se obţine: 3
* 221
1
xr qx
= .
Înlocuind în 12 1
2
xr rx
= se obţine:3
* 122
2
xr qx
= .
Ştiind r1 şi r2 se poate determina funcţia de cost: 3 3
* * 2 12 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1 2
( , , ) 2x xCT x x q x r x r q x x q x xx x
⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ .
Pentru a determina funcţia de ofertă se va exprima q ca funcţie de x1, x2 şi p.
Preţul de vânzare al outpului pe o piaţă cu concurenţă perfectă se determină din condiţia de echilibru pe această piaţă:
p=Cm(q) Trebuie mai întâi să se determine costul marginal:
1 2
( )( ) 3CT qCm q x x qq
∂= =
∂.
Capitolul 3. Teoria producătorului
Egalând cu p se obţine: 21 2 1 23 9p x x q p x x q= => =
Astfel, funcţia de ofertă este: 2
1 21 2
( , , )9
pq x x px x
=
Iar funcţiile de cerere de factori sunt: 3 33
2 221 1 2 2
1 21 1 1 21 2
( , , ) 2727
x x ppp qx xr x x x xx xx x= = =
3 331 12
2 1 2 21 22 2 1 21 2
( , , ) 2727
x x ppp qx xr x x x xx xx x= = =
b) Problema de minimizare a costului se transformă în una de
maximizare a profitului:
[ ] ( ) [ ]{ } [ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −−=−=Π 2211
21
221
1,,21, 212121
max)(max,,max rxrxrprqCTpqprrrrrrrr
(omogenă de grad 2/3 <1, deci funcţia de producţie este strict concavă). Avem:
2 13 3
111
1 0 - 0;3
pr r xr
−∂Π= => =
∂
1 23 3
21 22
1 0 - 0 .3
pr r xr
−∂Π= => =
∂
De unde se obţine:
1 2 12 1
2 1 2
x r xr rx r x= => = şi înlocuind în funcţia de producţie:
1 13 3
1 2q r r= , avem:
113
1 31 1
2
13
xp r xx
−⎛ ⎞× =⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Astfel: 3
*1 2
1 227prx x
= şi 3
*2 2
1 227prx x
= .
Oferta de output va fi:
( )1
3 3 231* * 3
1 2 1 2 2 21 2 1 2 1 2
( , , )27 27 9
p p pq x x p r rx x x x x x
⎛ ⎞= = × =⎜ ⎟
⎝ ⎠.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Problema 3.6. Se consideră o firmă care produce două bunuri, notate q1 şi q2,
folosind doi factori de producţie, notaţi x1 şi x2 (de exemplu, munca şi capitalul). Pentru a produce n unităţi de bun q1 (respectiv q2), trebuie folosite cel puţin n (respectiv n) unităţi din bunul x1 şi 12n, (respectiv 48n) unităţi din bunul x2. Se cere:
a) Scrieţi funcţiile de producţie asociate tehnologiilor de producere a bunurilor q1 şi q2. Care este forma randamentelor la scală la nivelul firmei respective?
b) Se consideră că firma dispune de 100 unităţi de bun x1 şi 2400
unităţi de bun x2. Reprezentaţi în planul (q1, q2) ansamblurile de producţii realizabile la nivelul firmei considerate.
c) Dacă firma are un comportament concurenţial pe piaţa de bunuri
q1 şi q2 şi dacă preţurile de vânzare sunt respectiv 1 şi 2, determinaţi decizia optimă de producţie. Care va fi această decizie dacă preţurile bunurilor vor fi 2 şi respectiv 1?
Rezolvare:
a) Funcţiile de producţie asociate celor două tehnologii sunt de
factori complementari şi de randamente constante la scală şi deci ele se scriu:
11 2
1 1min ,12xq x
⎧ ⎫= ⎨ ⎬
⎩ ⎭
2
2 22 1min ,
48xq x
⎧ ⎫= ⎨ ⎬
⎩ ⎭
unde xi
j reprezintă cantitatea de input xi utilizată pentru producerea bunului qj.
b) Posibilităţile de producţie sunt limitatate de disponibilităţile din
fiecare factor de producţie. Astfel, cantitatea xi1 + xi
2 din factorul xi utilizată de firmă nu poate depăşi cantitatea disponibilă din acest factor. Considerând
Capitolul 3. Teoria producătorului
ipoteza de liberă disponibilizare a excedendelor, producţiile posibile sunt cupluri (q1, q2), q1 şi q2 nenegative, care verifică inegalităţile:
1 2 100q q+ ≤ şi:
1 2 1 212 48 2400 4 200q q q q+ ≤ ⇔ + ≤ Ansamblul cuplurilor (q1 q2) realizabile sunt reprezentate de
poligonul OADC, din figura 3. 5. c) Firma alege dintre producţiile realizabile pe cele care asigură
maximul de profit q1+2q2, deoarece costurile, egale cu valoarea factorilor de producţie disponibili, sunt aici independente de decizia de producţie. Maximul va fi atins pe frontiera poligonului convex OADC. Este suficient să comparăm profiturile obtinute în punctele A, D şi C.
Maximul este atins în punctul D, care înseamnă producerea a 66 unităţi de bun q1 şi 33 unităţi din bunul q2. Dacă preţurile sunt 2 şi 1, punctul de maxim este atins în C şi se va produce numai bunul q1 fără a utiliza întreg factorul x2 disponibil.
Problema 3.7. Fie funcţia de producţie de tip Cobb-Douglas în care există doi
factori de producţie: forţa de muncă, notată cu L şi capitalul, notat cu K. Cantitatea de output produsă, q, este dată de funcţia de producţie:
0q q L Kα β= ,
unde L şi K sunt cantităţile de input utilizate şi q0, α şi β sunt parametrii strict pozitivi.
Rata salariala şi rata dobânzii sunt notate cu w, respectiv r şi sunt strict mai mari ca zero.
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Se cere:
a) Reprezentaţi în planul (L, K) ansamblul combinaţiilor de
inputuri care permit producerea aceleeaşi cantităţi de output q, dată. Ce condiţii se impun asupra lui α şi β astfel încât randamentele la scală să fie crescătoare, descrescătoare, respectiv constante?
b) b1. Calculaţi productivităţile marginale ale muncii, capitalului, rata marginală de substituţie tehnică a muncii cu capitalul şi elasticitatea substituţiei muncii cu capitalul.
b2. Dacă firma are un comportament concurenţial pe piaţa inputurilor, arătaţi că rata de substituţie tehnică calculată la punctul precedent este egală cu raportul w/r al preţurilor inputurilor.
c) Calculaţi funcţia de cost C(q,w,r) a unei firme concurenţiale pe piaţa inputurilor şi care utilizează această tehnologie. Ce condiţie se impune asupra lui α şi β ca această funcţie să fie concavă (respectiv convexă) în raport cu q?
Rezolvare: a) Ansamblul de combinaţii de inputuri care permit producerea
cantităţii q1, (izocuanta producţiei de nivel q1) este dat de perechile (L, K) din R2
+, care verifică ecuaţia:
0 1q L K qα β =
q 2 100 A
50 D C 0 100 200 q 1
F igu ra 3 .5 . M ulţim ea cu p lurilor adm isib ile (q 1,q 2)
Capitolul 3. Teoria producătorului
În planul (L,K) această izocuantă este o ramură a unei hiperbole care admite două axe ca asimptote (vezi figura 3.3)
Funcţia de producţie considerată este omogenă de grad α+β, deoarece pentru toţi scalarii reali pozitivi λ, ( ) ( ), ,F L K F L Kα βλ λ λ += . În cosecinţă, când α+β este strict mai mic (respectiv mai mare) decât unu, randamentele la scală sunt descrescătoare (respectiv crescătoare), iar dacă α+β=1, atunci avem revenire constantă la scală.
b) b1 Fie F funcţia de producţie care asociază fiecărei cantităţi de inputuri utilizate, cantitatea de output q, q = F(L,K). Productivitatea marginală a muncii (respectiv a capitalului) este raportul dq/dL (respectiv dq/dK), unde dq este modificarea producţiei în raport cu creşterea cu o unitate a lui L (respectiv K).
Productivităţile marginale ale muncii şi ale capitalului sunt:
LqKLq
L)K,L(F 1
0 α=α=∂
∂ β−α
KqKLq
L)K,L(F 1
0 β=α=∂
∂ −βα .
Acestea sunt derivatele parţiale L
)K,L(F∂
∂ (respectiv K
)K,L(F∂
∂ ) ale
funcţiei de producţie în raport cu L (respectiv K). Rata marginală de substituţie tehnică a muncii cu capitalul, Rms
(K,L), este raportul dL/dK, unde dL reprezintă sporul de muncă ce trebuie
K q1>q2 q1
0 L Figura 3.6. Reprezentarea izocuantei de
nivel q1
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
adus în cazul diminuării capitalului cu dK, pentru a păstra acelaşi nivel al producţiei.
Aplicăm diferenţiala totală în relaţia q=F(L, K) şi obţinem:
( , ) ( , ) 0F L K F L KdL dK dqL K
∂ ∂+ = =
∂ ∂,
de unde:
( , )
( , ) ( , )
F L KdK LRms K L F L KdL
K
∂∂= − =
∂∂
Rata marginală de substituţie tehnică a muncii cu capitalul este:
( , )
( , ) ( , )
F L Kq K LKRms K L F L K q L K
L
β βα α
∂∂= = =
∂∂
(3.1.)
Elasticitatea substituţiei muncii cu capitalul, EK/L măsoară, pentru o
producţie constantă, inversul variaţiei relative a ratei marginale de substituţie tehnice, simultan cu o variaţie relativă infinitezimală a raportului capital/om.
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
cstq
'L
'Kcstq
'L
'K
'L
'K
L/K
L/KlndF/Flnd
1F/F/F/Fd
LK/LKdE
=
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
Când creşterea relativă a capitalului/om este L/K
)L/K(d , micşorarea
relativă a ratei marginale de substituţie tehnică a muncii cu capitalul este
L/K)L/K(d
E1
L/K×
Capitolul 3. Teoria producătorului
b2. Producătorul caută să minimizeze costurile de producţie. Dacă comportamentul său este concurenţial pe piaţa inputurilor, atunci deciziile lui nu modifică preţurile inputurilor. Atunci cand produce o cantitate q, el solicită cantităţi pozitive din inputurile L şi K, ce sunt soluţii ale programului:
{ }
,
0
minL K
wL rK
q L K qα β
+⎧⎪⎨
≥⎪⎩
La minim de cost, inegalitatea de mai sus devine egalitate. Condiţiile
de ordinul întâi ale programului (aici necesare şi suficiente) arăta că dacă q este strict pozitiv, producătorul determină acel nivel de inputuri astfel încât raportul productivităţilor lor marginale să fie egal cu raportul preţurilor, adică:
)KLqq(rKwL),K,L(L 0
βα−λ++=λ Condiţiile necesare de optim sunt:
10
10
( , , ) 0 0
( , , ) 0 0
( , , ) 0 F(L,K)=q
L L K w q L KL
L L K r q L KK
L L K
α β
α β
λ λ α
λ λ β
λλ
−
−
∂⎧ = ⇒ − =⎪ ∂⎪∂⎪ = ⇒ − =⎨ ∂⎪∂⎪ = ⇒⎪ ∂⎩
Din primele două ecuaţii rezultă:
( , )
( , ) ( , )
F L KrKRms K L F L K w
L
∂∂= =
∂∂
(3.3)
Fie:
wr
KL=×
αβ
Raportul r/w reprezintă rata marginală de schimb între cele două inputuri. Când K variază cu dK şi L cu (-r/w)dK, wL + rK rămîne constant. Relaţia (3.3.) dintre Rms(K,L) şi r/w arată că la cost minim, cele două rate sunt identice; dacă cele două rate diferă, de exemplu, Rms(K,L) este mai
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
mare decât r/w, producătorul, pentru a păstra aceeaşi producţie, poate micşora consumul de forţă de muncă şi/sau mări capitalul.
Astfel, capitalul/om nu depinde de raportul preţurilor inputurilor:
rw
LK
×αβ
= (3.4.)
Plecând de la egalitatea (3.1.), vom calcula elasticiatea substituţiei
muncii cu capitalul:
ln ( , ) ln ln KRms K LL
βα
= − .
Fie EK/L=1. Cazul în care aceste elasticităţi le-am presupus egale este o
caracteristică a funcţiei de producţie de tip Cobb-Douglas. Observăm că ele nu depind de parametrii α şi β, nici de valoarea capitalului/om utilizat la nivelul firmei.
Pe de altă parte, din problema de optim:
{ }
( ),
min
,L K
wL rK
F L K q
⎧ +⎪⎨
=⎪⎩
Lagrangeanul asociat problemei de optim este:
( , , ) [ ( , )]L L K wL rK q F K Lλ λ= + + −
Condiţiile necesare de optim sunt:
( , , ) 0 0
( , , ) 0 0
( , , ) 0 F(L,K)=q
L L K FwL L
L L K FrK K
L L K
λ λ
λ λ
λλ
∂ ∂⎧ = ⇒ − =⎪ ∂ ∂⎪∂ ∂⎪ = ⇒ − =⎨ ∂ ∂⎪∂⎪ = ⇒⎪ ∂⎩
Capitolul 3. Teoria producătorului
Din primele două ecuaţii rezultă relaţia: w F Lr F K
∂ ∂=∂ ∂
.
c) Funcţia de cost asociază prin definiţie nivelului de producţie q,
costul minim pe care îl angajează producătorul pentru a asigura această producţie, când preţurile inputurilor sunt w şi r. Costul reprezintă deci, valoarea cererii determinată prin programul (3.2.). Ţinând cont de egalitatea (3.4.) şi de expresia funcţiei de producţie, cererile din cele două bunuri se scriu:
β+αβ
−β+α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛αβ
=r
wqqL
1
0
şi
β+αα
−β+α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛αβ
=r
wqqK
1
0.
Cererea de forţă de muncă este deci, o funcţie descrescatoare în w/r, în timp ce cererea de capital este o funcţie crescătoare în w/r.
Funcţia de cost se scrie în acest caz:
β+αα
β+αβ
β+αα
β+αβ
β+α
αβ
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛αβ
= rwqq)r,w,q(C
1
0
Dacă ne interesează numai dependenţa funcţiei de cost faţă de q,
această funcţie este concavă (respectiv convexă) dacă α+β este mai mare (respectiv mai mic) decât 1 şi este liniară dacă α+β =1. Am regăsit un rezultat mai general: când randamentele la scală sunt constante (descrescătoare, respectiv crescătoare), funcţia de cost este liniară (convexă, respectiv, concavă).
Problema 3.8. Se consideră o firmă a cărei funcţie de producţie se scrie Q=F(L,K),
unde L reprezinta forta de munca iar K este capitalul. Funcţia F este de clasă C2, strict concavă şi omogenă de grad unu.
Se va nota q producţia pe unitatea de forta de munca (om), k - capitalul pe om (înzestrarea tehnică a muncii), ηQL şi ηQK - elasticităţile
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
producţiei în raport cu inputurile L şi K şi σ elasticitatea substituţiei muncii cu capitalul. Se presupune în continuare că inputurile sunt cantităţi strict pozitive.
Se cere: a) Determinati q în funcţie de k. b) Arătaţi că productivităţile marginale ale muncii şi capitalului
depind doar de k. c) c1. Considerăm p, w şi r preţurile bunurilor Q, L şi K. Dacă
producătorul are un comportament concurenţial, arătaţi că funcţia de cost este liniară în raport cu producţia. Se va deduce condiţia între p şi CT(w,r) pentru care oferta de bun Q nu este nici infinită, nici nulă. Această condiţie se va presupune realizată în continuare.
c2.Verificaţi că suma ηQL+ηQK este egală cu 1. Dacă producătorul are un comportament concurenţial, calculaţi în funcţie de preţ, productivităţile marginale ele cererii de inputuri. Ce interpretare economică se poate da pentru ηQL şi ηQK? Se va deduce semnificaţia economică a egalităţii: ηQL + ηQK = 1.
d) Arătaţi că elasticitatea substituţiei muncii cu capitalul se scrie
)K,L(F)K,L(F)K,L(F)K,L(F
''LK
'K
'L−=σ
Dacă producătorul are un comportament concurenţial, indicaţi cum variază, în funcţie de capitalul utilizat, părţile din valoarea producţiei, ale remuneraţiei muncii şi capitalului, se va discuta rezultatul următor în funcţie de poziţia lui σ în raport cu 1.
Rezolvare: a) Funcţia de producţie fiind omogenă de gradul întâi avem că: Q = F(L, K) =LF(1, K/L) (3.6.) Ţinând cont de notaţiile introduse în enunţ, se obţine:
q = F(1, k), unde LQq = şi
LKk = .
Producţia pe unitate de forţă de muncă este deci numai în funcţie de înzestrarea tehnică a muncii şi în consecinţă, vom nota în continuare:
q = f(k). b) Derivata egalităţii (3.6) în raport cu K este:
)k(fKkLf
K)k,1(FL
K)K,L(F)K,L(F ''
k'K =
∂∂
=∂
∂=
∂∂
=
Capitolul 3. Teoria producătorului
Productivitatea marginală a capitalului nu depinde deci decât de k. Funcţia F fiind omogenă de grad 1, se poate aplica teorema lui Euler:
( ) ( ) ( )' ', , ,L KF K L LF L K KF L K= + Avem:
( ) ( )' ', ,K Lq kF L K F L K= + şi se obţine: ( )' ', ( ) ( )LF L K f k kf k= − , ştiind că q=f(k) şi că FK
’(L,K)=f’(k). Deci, productivitatea marginală a muncii nu este decât în funcţie de
k. c) c1. Cererile de inputuri L* şi K*, care dau minimul de cost în cazul
producerii unei cantităţi Q sunt soluţie a programului de minimizare a cheltuielilor {wL + rK}, cu restricţia de producţie:
{ }( )
,min
,L K
wL rK
Q F L K
+
=
Lagrangeanul asociat problemei este:
( ) ( ), , ,L L K wL rK Q F K Lλ λ= + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ de unde condiţiile necesare de optim conduc la:
( )
' '
' '
( , , ) 0 0
( , , ) 0 0
( , , ) 0 ,
L L
K K
L L K w F w FL
L L K r F r FK
L L K F L K q
λ λ λ
λ λ λ
λλ
∂= ⇒ − = ⇒ =
∂∂
= ⇒ − = ⇒ =∂
∂= ⇒ =
∂
Presupunând că L* şi K* sunt strict pozitive, aceste cereri sunt, ţinând cont de ipotezele efectuate asupra lui F, soluţia sistemului dat de:
din primele două ecuaţii rezultă relaţia: K
L
FF
rw
''
= ,
la care se adaugă restricţia: Q=F(L,K)
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Cum funcţia F este omogenă de grad 1, rezultă că funcţiile F’L si F’K sunt deci omogene de grad 0. În consecinţă, dacă producţia este λQ, cu λ>0, perechea ( λL*, λK*) ne dă minimul de cost al noii producţii λQ. Funcţia de cost este deci liniară în raport cu variabila Q şi se poate scrie: QCT (w, r).
Profitul firmei este deci funcţie liniară de producţie. Oferta este de asemenea, în consecinţă nulă (respectiv infinită) dacă p este strict mai mic (respectiv mai mare) decât CT(w, r). Ea nu este în mod necesar infinită sau nulă dacă p este egal cu ψ(w, r); este nedeterminată. Relaţia care asociază fiecărui preţ al bunurilor o ofertă a intreprinderii este aici o corespondenţă. Această particularitate este caracteristică funcţiilor de producţie cu randamente la scară constante: există un sistem de preţuri particular pentru care oferta să fie finită şi nenulă. Această condiţie o vom presupune verificată în continuare.
c2. Suma elasticităţilor ηQL şi ηQK se scrie:
[ ](L,K)KF(L,K)LFQQ
KKQ
QL
LQηη '
K'
LQKQL +=×∂∂
+×∂∂
=+1
Utilizând din nou teorema lui Euler, se verifică faptul că această
sumă este 1. Comportamentul concurenţial al producătorului conduce la obţinerea
unui profit maxim, ţinând cont de preţurile p, w şi r. Cererile de inputuri sunt deci soluţie a programului:
{ }( )
, ,min
,Q K L
pQ wL rK
Q F L K
− −
=
Lagrangeanul asociat problemei este:
( ) ( ), , , ,L Q L K pQ wL rK Q F L Kλ λ= − − + −⎡ ⎤⎣ ⎦
Capitolul 3. Teoria producătorului
de unde condiţiile necesare de optim conduc la:
( )
' '
' '
( , , , ) 0 0
( , , , ) 0 0
( , , , ) 0 0
( , , , ) 0 ,
L L
K K
L Q L K p pQ
L Q L K w F w FL
L Q L K r F r FK
L Q L K F L K Q
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ
λλ
∂= ⇒ − = ⇒ =
∂∂
= ⇒− − = ⇒ = −∂
∂= ⇒− − = ⇒ = −
∂∂
= ⇒ =∂
Atunci când cantitatea produsă este strict pozitivă, presupunem K şi
L de asemenea pozitive. Din condiţiile de ordinul întâi (necesare şi suficiente) rezultă:
din prima şi a doua: ( )' ,L
wF L Kp
=
din prima şi a treia: ( )' ,K
rF L Kp
= .
Productivităţile marginale ale muncii şi capitalului sunt egale respectiv cu salariul real şi cu dobânda reală a capitalului.
În consecinţă, pQwLηQL = şi
pQrKηQK = .
Verificăm că profitul maximal este nul, adică valoarea producţiei
este împărţită între salarii şi venitul capitalului. Rapoartele pQwL şi
pQrK sunt
respectiv părţi ale remunerării muncii şi capitalului din valoarea producţiei. Dacă producătorul are un comportament concurenţial, egalitatea cu 1
a sumei ηQL + ηQK semnifică faptul că valoarea producţiei este integral repartizată între muncitori şi deţinătorii de capital şi fiecare dintre elasticităţi reprezintă parte a venitului pe inputul considerat. Această situaţie este şi ea caracteristică funcţiilor de producţie cu randamente constante la scală.
d) Elasticitatea substituţiei σ este expresia:
(L,K)F(L,K)F(L,K)(L,K)FFσ ''
LK
'K
'L−=
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Aceasta se mai poate scrie:
dK)/Fd(F)/F(F
k)/F(K/L)d(F)/Fd(K/L)(Fσ
'L
'K'
L'
K'L
'K
'L
'K
11 −
−=−=
Derivarea efectuată este totală pentru că ( )KLFK ,' şi ( )KLFL ,' nu depind decât de k. Dar:
[ ] 22
2
(k)kff(k)(k)(k)ff
(k)kff(k)(k))(f(k)f(k)f
(k)ff(k)f(k)
dKd
dK)/Fd(F
'
'''
'
'''
'
'L
'K
−=
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
Elasticitatea σ se exprima în funcţie de k astfel:
(k)f(k)kf(k))kf(k)(f(k)fσ '
'' −−=
Derivata de ordinul II, F’’KL ,se scrie tot în funcţie de k:
(k)fLk
Lkf(k)f(k)
K(L,K)F
L(K,L)F '''
K''
KL −=∂∂
=∂∂
=∂∂
=
Atunci, elasticitatea σ se scrie:
(L,K)Lf(k)F(L,K)(L,K)FFσ ''
KL
'K
'L−=
Cum Lf(k) = F(L, K), egalitatea:
(L,K)F(L,K)F(L,K)(L,K)FFσ ''
LK
'K
'L−=
este verificată. Fie ρ partea din venitul capitalului raportat la producţie. Dacă
producătorul are un comportament concurenţial, ρ devine F’K(L, K)K/Q. În consecinţă:
( )(L,K)F
K(L,K)FF(L,K)
(L,K)F(L,K)KFKρ '
K'
K''
K2
2
−+
=∂∂
Funcţia F este omogenă de grad 1 şi derivata sa parţială F’K este de grad 0. Identitatea lui Euler arată că:
(L,K)LFF(L,K)(L,K)KF 'L
'K −=
şi (L,K)LF(L,K)KF ''
KL''
KK −=
Capitolul 3. Teoria producătorului
de unde:
=−
−+−
=∂∂
(L,K)F(L,K))LFK)(L,K)(F(L,F
F(L,K)(L,K)F(L,K)LF
Kρ '
K'
K'K
''KL
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
=−
=
σ(L,K)F(L,K)(L,K)FLF
(L,K)(L,K)FF)(L,K)F(L,KF
(L,K)F(L,K)(L,K)FLF
(L,K)F)](L,K)F(L,KF(L,K)(L,K)FL[F
'L
'K
'K
'L
''KL
'L
'K
''KL
'L
'K
11
1
2
2
2
Când raportul (L,K)F
(L,K)(L,K)FLF 'K
'L
2 este strict pozitiv, partea din venitul
capitalului în producţie creşte odată cu K, dacă σ este mai mare decât 1 şi descreşte în caz contrar.
Problema 3.9. Fie o firmă care produce un bun q folosind trei inputuri x1, x2 şi x3.
Tehnologia de producţie utilizată de firmă este descrisă de funcţia q = x11/4
x21/4 x3
1/2. Se presupune că, pe termen scurt, volumul de input x3 este constant pentru toată producţia q pozitivă sau nulă. Nu există nici un fel de restricţie pentru factorii x2 şi x3. Preţurile bunurilor x1, x2 şi x3 sunt respectiv 1/2 , 1/2 şi 1.
a) Explicaţi prin ce se diferenţiază termenul lung de termenul scurt. Presupunând că producătorul are un comportament concurenţial pe piaţa inputurilor, calculaţi funcţia de cost pe termen scurt şi pe termen lung.
b) Trasaţi pe acelasi grafic curbele costului marginal şi ale costului mediu pe termen scurt (pentru o valoare 3x de input x3) şi pe termen lung.
Rezolvare: a) În această problemă, termenul scurt se diferenţiază de termenul
lung din punctul de vedere al indivizibilităţii volumului de input x3. Pe termen lung, această indivizibilitate dispare şi întreprinzătorul alege
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
cantitatea din bunul x3 pentru a adapta producţia la condiţiile economice. În schimb, pe termen scurt volumul de input x3 este dat pentru întreprinzător.
Există deci, pe termen scurt o infinitate de tehnici de producţie corespunzătoare fiecărei cantităţi din bunul x3 şi fiecare dintre ele este caracterizată de propria sa funcţie de cost pe termen scurt. În schimb, pe termen lung, volumul din fiecare din factorii de producţie este ales astfel încât eficacitatea sa să fie maximă în producţie. Funcţia de cost pe termen lung este unică.
Fie 3x cantitatea de input x3 fixată pe termen scurt. În continuare,
vom considera această cantitate strict pozitivă, în caz contrar producţia realizată va fi considerată nulă.
Funcţia de cost pe termen scurt se obţine rezolvând programul:
1 21 2 3,
11 124 431 2
1 2
1 1[min]2 2
0, 0
x xx x x
q x x xx x
⎧ ⎫+ +⎨ ⎬⎩ ⎭
≤≥ ≥
Lagrangeanul asociat problemei este:
1/ 4 1/ 4 1/ 21 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1( , , , ) ( )2 2
L x x x x x x q x x xλ λ= + + + −
Variabilele x1 şi x2 sunt strict pozitive dacă şi producţia q este strict
pozitivă. La minim de cost, raportul productivităţilor marginale ale factorilor x1 şi x2 este egal cu raportul preţurilor lor. Din conditiile necesare de optim rezulta:
3 1 1
1 2 3 4 4 21 2 3
1
( , , , ) 1 10 02 4
L x x x x x xx
λ λ−∂
= => − =∂
;
1 3 11 2 3 4 4 2
1 2 32
( , , , ) 1 10 02 4
L x x x x x xx
λ λ−∂
= => − =∂
.
De aici, se observă că: x1=x2
Capitolul 3. Teoria producătorului
Ţinând cont de expresia funcţiei de producţie, cererile de inputuri x1 şi x2 se obţin înlocuind în restricţie:
2
1 23
qx xx
= =
Funcţia de cost pe termen scurt corespunzătoare unei cantităţi 3x de input x3 este:
2
3 1 2 3 33
1 1( , )2 2
qC T S q x x x x xx
= + + = +
Costul mediu pe termen scurt este: 3 3
33
( , )( , ) C TS q x xqC M S q xq x q
= = +
Pentru reprezentarea grafică, se determină prima şi a doua derivată:
( )' 2 23 33 32 2
3 3
1 10x xCMS q x q xx q x q
= − = => = => = => = ştiind că q>0.
( )'' 33
2 0xCMSq
= > => funcţia CMS este convexă; deci, 3q x= este
minimul funcţiei, având valoarea 3( ) 2CMS x = . Costul marginal pe termen scurt este:
33
3
( , ) 2( , ) CTS q x qCmS q xq x
∂= =
∂ => o dreaptă ce trece prin origine.
CmS intersectează CMS în punctul de minim al acestuia din urmă: 2 23 3
3 3 3 33 3 3
2( , ) ( , ) x xq q qCMS q x CmS q x q x q xx q x q x
= => + = => = => = => = ,
deoarece q>0. Pe termen lung, cantitatea din bunul x3 nu mai este fixă. Pentru determinarea functiei de cost total pe termen lung se revolza
programul:
1 2 31 2 3, ,
1 1 14 4 2
1 2 3
1 2 3
1 1[ min ]2 2
0, 0, 0
x x xx x x
q x x xx x x
⎧ ⎫+ +⎨ ⎬⎩ ⎭
≤≥ ≥ ≥
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
Lagrangeanul asociat problemei este: 1/ 4 1/ 4 1/ 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1( , , , ) ( )2 2
L x x x x x x q x x xλ λ= + + + −
Condiţiile necesare de optim sunt:
3 1 11 2 3 4 4 2
1 2 31
( , , , ) 1 10 02 4
L x x x x x xx
λ λ−∂
= => − =∂
; (1)
1 3 11 2 3 4 4 2
1 2 32
( , , , ) 1 10 02 4
L x x x x x xx
λ λ−∂
= => − =∂
; (2)
1 1 11 2 3 4 4 2
1 2 33
( , , , ) 10 1 02
L x x x x x xx
λ λ−∂
= => − =∂
; (3)
1 1 11 2 3 4 4 2
1 2 3
( , , , ) 0L x x x q x x xλλ
∂= = > =
∂; (4)
Din (1) şi (2) rezultă: 21 xx = ; Din (2) şi (3) rezultă: 13 xx = . Astfel, 321 xxx == . Înlocuind în (4) se obţine: 321 xxxq === . Funcţia de cost pe termen lung, al cărei grafic este anvelopa curbelor
pe termen scurt se scrie deci: 1 1( ) 22 2
CTL q q q q q= + + =
Funcţiile cost mediu şi cost marginal pe termen lung sunt:
( )( ) 2CTL qCML qq
= = ;
( )( ) 2CTL qCmL qq
∂= =
∂.
de unde se observă că randamentele sunt descrescătoare pe termen scurt şi constante pe termen lung.
b) Curbele costului mediu şi cele ale costului marginal sunt reprezentate în figura de mai jos.
În acest exemplu, minimul costului mediu pe termen lung nu este unic. Aceasta se întâmplă pentru că randamentele la scală sunt constante.
Capitolul 3. Teoria producătorului
Problema 3.10. O firmă dispune de un echipament care permite fabricarea unui bun
q folosind doi factori de producţie x1 şi x2. Ea foloseşte politica pe termen scurt şi se consideră echipamentul ca fiind constant în timp. Ţinând cont de nivelul echipamentului, cantităţile x1 şi x2 de inputuri permit producerea unei cantităţi q de output după relaţia:
3 2
1 230 353q q q x x− + = Se cere:
a) Să se arate că această prezentare a posibilităţilor de producţie revine la cazul în care funcţia de producţie este dată prin expresia q = f(x1,x2), a cărei formă nu este precizată.
b) Reprezentaţi într-un spaţiu tridimensional ansamblul de producţii ale firmei.
Rezolvare: a) Funcţia de producţie este definită în fomă implicită de expresia:
1 2( )g q x x= ,
Costuri CmS(q, 3x )
CmS(q, 3x ’) CMS(q, 3x ) CMS(q, 3x ’) 2 CML(q)=CmL(q)
0 3x 3x ’ q Figura 3.7. Curbele costului pe termen scurt
şi termen lung
Microeconomie - aplicaţii la nivelul agenţilor economici
unde funcţia g se scrie:
g(q) = q3 - 30 q2 + 353 q. Funcţia g este strict crescătoare pentru toate producţiile q pozitive,
concavă dacă q este mai mică decât 10 şi convexă dacă q este mai mare decât 10. Ea este crescătoare şi continuă pentru numere reale pozitive, deci inversabilă şi inversa sa este strict crescătoare. Posibilităţile de producţie sunt reprezentate de funcţia f:
1
1 2 1 2( , ) ( )f x x g x x−=
Această funcţie f este funcţia de producţie a firmei. Fiecărei valori a producţiei îi corespunde o izocuantă, de-a lungul
căreia produsul x1x2 este constant. Ea este reprezentată printr-o ramură a unei hiperbole care admite axele ca asimptote. Înainte de a preciza ansamblul de producţii posibile, este util să studiem secţunea acestui ansamblu din planul vertical 0Y, de ecuaţie 1
22 xx λ= , λ fiind un parametru
real pozitiv. Dacă 22
2 xx λ= atunci ( ) 1xqg λ= funcţia g este desenată în figura urmatoare.
g(q) q
Figura 3.8. Reprezentarea grafică a funcţiei g(q)
Capitolul 3. Teoria producătorului
Ansamblul de producţie este reprezentat în figura de mai jos:
q x2
x1
Figura 3.9. Ansamblul producţiei la nivelul firmei