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Probabilidade

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O que é probabilidade ?

• Experimento aleatório: é um experimento no qual podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis, mas não podemos dizer, a priori, qual desses resultados vai acontecer.

• Espaço Amostral (Ω): é o conjunto de todos os possíveis resultados do aleatório.

• Evento (A, B, C, etc): é um subconjunto do espaço amostral.

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O que é probabilidade ?

• Seja Ω um espaço amostral finito uniforme e seja A um evento qualquer desse espaço. A probabilidade de A, denotada por P(A), é dada por:

• onde #Ω é o número de resultados possíveis do experimento e #A é o número de resultados favoráveis à ocorrência do evento A. É claro que

)(#

)(#)(

AAP

1)(0 AP

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Conceito de Frequência de Probabilidade

• Suponha que o experimento foi repetido n vezes, sempre sob as mesmas condições, e que o evento A ocorreu m vezes entre essas n realizações do experimento.Então, a fração m/n é uma boa aproximação para a probabilidade de A, se o numero de n de repetições for bastante grande:

n

mAP )(

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Propriedades básicas da probabilidade

a) P(Ω)=1 : Probabilidade de ocorrência de um evento certo.

b) P(Ø) = 0 : Probabilidade de ocorrência de um evento impossível.

c) Se o evento A e B são mutuamente excludente: P (A ou B) = P(A)+P(B)

d) Se A e B podem ocorrer simultaneamente : P (A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

e) P(Ac )=1-P(A)

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Variáveis Aleatórias

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Conceitos

• Uma variável aleatória (v.a) é uma função que associa cada elemento de um espaço amostral a uma número real.– Variáveis aleatórias discreta: Os valores que ela

pode assumir pertencem a um conjunto enumerável E de números reais

– Variáveis aleatórias contínua: Para que a probabilidade de ela pertencer a um conjunto de números reais seja estritamente positiva, esse conjunto deve conter dentro de si um intervalo

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Exemplos

1) Experimento : jogar 1 dadoVariável Aleatória: X = “ o dobro do número obtido menos 1” X : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 3, 5, 7, 9, 11}

2) Experimento : jogar 4 moedas (C: Cara e K: Coroa)Variável Aleatória: Y = “ números de caras obtidas”Y : {CCCC, CKCC, ..., KKKK} {0, 1, 2, 3, 4}

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Função Densidade Probabilidade

x P(x)1 1/63 1/65 1/67 1/69 1/611 1/6

y P(y)0 1/61 4/62 6/163 4/164 1/16

Ex. 1 DadoEx. 2 Moeda

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Caso Discreto

• A função de probabilidade p corresponde à variável aleatória discreta X associada a cada número real x a probabilidade de que a variável X assuma aquele valor x.

x→p(x) = P[X=x]• A função de distribuição acumulada F

corresponde à variável aleatória discreta X é definida por F(x)=P[X≤x], para todo x real.

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Medidas de Centralizada e de Dispersão

• Média ou Esperança de uma variável aleatória discreta– Se X é uma variável aleatória discreta que assume

os valores x1, x2, x3, ...,xN, com probabilidade p(x1), p(x2), p(x3), ...,p(xN) respectivamente, então sua média ou esperança é:E(A)= x1 p(x1) + x2p(x2) + x3p(x3)+ ... + xN p(xN)

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Medidas de Centralizada e de Dispersão

• Variância de uma variável aleatória discreta– Se X é uma variável aleatória discreta que assume os

valores x1, x2, x3, ...,xN, com probabilidade p(x1), p(x2), p(x3), ...,p(xN) respectivamente, então a variancia é calculada por:Var (X)= (x1 – E(X))2.p(x1) + (x2 – E(X))2.p(x2) + ... + + (xN – E(X))2.p(xN)

• Desvio padrão de uma variável aleatória discreta– )()( XVarXDP

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Medidas de Centralizada e de Dispersão

• Coeficiente de variação de uma variável aleatória discreta e igual ao quociente entre o desvio-padrão e a média CV(X)=DP(X)/EX

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Exemplos

• Em um determinado condomínio residencial: 30% das famílias não tem filhos, 40% tem um filho, 20% têm dois filhos e 10 têm mais de três filhos

X 0 1 2 3

P(x)=P(X=x) 0,3 0,4 0,2 0,1

F(x)=P(X≤x) 0,3 0,7 0,9 1,0

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Distribuições Comuns de Variáveis Aleatórias Discretas

1. Constante

2. Uniforme

3. Bernoulli

4. Binomial

5. Geometrica

6. Poisson

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Variável Aleatória Constante

• fdp

• FDC

c

1.0

1.0

c

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Distribuição Discreta Uniforme

• A v.a. discreta X que assume n valores discretos com probabilidade pX(i) = 1/n, 1 i n

• fdp

• FDC:

contráriocaso

Xxsenxp i

iX ,0

,/1)(

n

tiptF

t

iX

1

)()(

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Variável de Bernoulli

– V.A gerada por um experimento único de Bernoulli tem um resultado binário {1, 0} ou {sucesso, falha}

– A v.a. binária X é chamada variável de Bernoulli tal que:

–Função de massa de probabilidade:

)0(1

)1(

XPpq

XPp

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Distribuição de Bernoulli

• FDC

x0.0 1.0

q

p+q=1

0

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Binomial• A v.a. X representa o número de sucessos em uma

sequência de experimentos de Bernoulli.• Todos experimentos são independentes.• Cada resultado é um “sucesso” ou “falha”.• A probabilidade de sucesso de um experimento é

dado por p. A probabilidade de uma falha é 1- p.• Uso do modelo: número de processadores “down”

num cluster; número de pacotes que chegam ao destino sem erro.

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Distribuição Binomial

A distribuição binomial com parâmetros n ≥ 0 e 0 < p < 1, é

A média e variância da binomial são:

p xn

xp px n x( ) ( )

1

np np p2 1( )

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V.A. Binomial: fdp

pk1 2,86102E-052 0,0003862383 0,0030899054 0,0162225 0,05839926 0,1459980017 0,2502822888 0,2815675749 0,187711716

10 0,056313515

DISTRBINOM (núm_s;tentativas;probabilidade_s; cumulativo)

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0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

CDF

V.A. Binomial: FDC

1 2,86102E-05 2,86102E-052 0,000386238 0,0004148483 0,003089905 0,0035047534 0,016222 0,0197267535 0,0583992 0,0781259546 0,145998001 0,2241239557 0,250282288 0,4744062428 0,281567574 0,7559738169 0,187711716 0,943685532

10 0,056313515 0,999999046

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Exemplo

• Um sistema de segurança consiste em 4 alarmes (idênticos) de pressão alta, com probabilidade de sucesso p = 0,8 (cada um). Qual a probabilidade de se ter exatamente 3 alarmes soando quando a pressão atingir o valor limite ?

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S1 S2 S3 F4 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,2 = 0,1024S1 S2 F3 S4 0,8 x 0,8 x 0,2 x 0,8 = 0,1024S1 F2 S3 S4 0,8 x 0,2 x 0,8 x 0,8 = 0,1024F1 S2 S3 S4 0,2 x 0,8 x 0,8 x 0,8 = 0,1024

P(3) = 4 x (0,8)3 x (1 - 0,8) 1

= 0,4096

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Distribuição de Poisson• Número de eventos independentes que

ocorrem em um intervalo de tempo

• Número de chegadas em um servidor em 1 hora

• Número de erros de impressão em uma página de um livro

= # médio de eventos que ocorrem no período

• Aproximação para VA Binomial com n grande e p pequeno

• Se X = Binomial(n,p), X Poisson( = np)

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Poisson: propriedades• Considere que um servidor espera receber 100 transações em

um minuto:– = 100 (constante)

• Espera-se que:– O início de cada transação seja independente dos outros; – Para cada pequeno intervalo de tempo t, a probabilidade de

uma nova transação chegar seja t– A probabilidade de chegar duas transações ao mesmo tempo

seja zero! • O processo de Poisson tem as propriedades acima• A VA X~Poisson representa o número de transações que chegam

durante um período t.

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VA Poisson: Aplicacao• A V.A. de Poisson é boa para modelar vários fenômenos, como

o número de transações que chegam a um servidor em uma hora, ou o número de queries que chegam a uma máquina de busca em 1 minuto ou número de pacotes que chegam num roteador em 1 segundo.

• Muito comumente usado para modelar chegada de sessões de usuários – servidores Web, multimídia, banco de dados, ftp, e-mail

• Sessões são iniciadas por usuários– Chegada de duas sessões tendem a ser independentes:

Poisson é uma boa aproximação• Contra-exemplo:

– Chegada de requisições em um servidor Web– Premissa de independência não é válida: existe

dependência entre requisições para o arquivo HTML e as imagens embutidas nele

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• Função de densidade de probabilidade (fdp):

• FDC:

k!

)( )(

ktektNPp t

k

k!)(

0

k

x

k

t texF

Distribuição de Poisson

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Poisson

• Uma v.a. de Poisson X tem sua fdp:

Onde > 0 é uma constante

E(X)= Var(X) =

( ) 0,1,2,...!

x

P X x e xx

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Exercícios1. Considere que o número de mails que chegam a um servidor de

mails no intervalo t segundos é distribuído como Poisson com parâmetro 0.3t. Calcule a seguintes probabilidades:

– Exatamente três mensagens chegarão num intervalo de 10 seg.

– No máximo 20 msgs chegarão num período de 20 seg.– O número de msgs num intervalo de 5 seg está entre 3 e 7

mails.

2. A probabilidade de um query falhar (não ser bem sucedido) é 10(-4). Qual a probabilidade de falharem mais de 3 queries numa sequência de 1000 queries?

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Solução

1)

2) P(X10 = 3) = 0.224

3) P(X20 20) = 0.973

4)

tk

ek

tkXtP 3.0

!

)3.0()(

1909.0!

)5.1()73( )5.1(

7

35

e

kXP

k

k

( ) 0,1, 2,...!

x

P X x e xx

k!)(

0

k

x

k

t texF

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Solução

• 2)ii

ierrosP

100044

1000

4

)101()10(1000

)3(#

61000443

0

10*825.3)101()10(1000

1)3(#

ii

ierrosP

p xn

xp px n x( ) ( )

1

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Distribuições de Variáveis Aleatórias Contínuas

• Normal• Exponencial• Weibull• Lognormal• Pareto• ....

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Distribuições de Variáveis Aleatórias Contínuas

• Variáveis aleatórias contínuas– Assumem um intervalo infinito de diferentes valores– W=% percentual de crescimento do PIB em 2005– V=tempo para retornar a resposta de um “query”– Valores específicos-particulares de uma v.a. contínua tem

probabilidade 0– Intervalos de valores tem probabilidade 0

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Distribuição Normal (Gaussiana)

• Distribuição mais comum na análise de dados• fdp é:

• -x +• Média é , desvio padrão

f x ex

( )( )

1

2

2

22

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Distribuição Normal

• “Em forma de Sino”• Unimodal• Simétrica• Média, mediana e

moda são iguais• Assintótica em relação ao Eixo X• Amplitude Interquartil

é 1,33 s

Média,

Mediana Moda

X

f(X)

50%

Q1 Q3

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Notação para Distribuições Gaussianas

• Geralmente denotada N(,)• Normal unitária é N(0,1)• Se x tem N(,), tem N(0,1)

• O -quantil de uma normal unitária z ~ N(0,1) é denotado por z tal que

x

Px

z P x z( ) ( )

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Normal

• Função de densidade para =0, =1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-5 -4 -3 -2 -1 -6E-14 1 2 3 4 5

x

f(x)

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Normal

• Função de densidade para =1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

=2

=5

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Normal

• Funções de densidade para =1

=1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

=2

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Distribuição Exponencial• Quantidade de tempo até que determinado

evento ocorra

= taxa de chegadas 1/ = tempo médio entre chegadas

0for x 1

0for x -

λx X

λxX

exF

exf

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Exemplo: v.a. exponencial• fdp:• FDC:

• V.A. muito frequentemente usada em computação• Modelos:

– Tempo entre duas submissões de queries a uma maquina de busca

– Tempo de execução de processos – Tempo entre chegadas de pacotes em um roteador

– Tempo entre chegadas de sessões em um servidor

0,)( xexf xxexF 1)(

fdp

x

f(x)

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Distribuição de Probabilidades Exponencial

T: valores da variável aleatória contínua = intervalo entre chegadas, com e = 2,71828

P(intervalo entre chegadas < t)= 1- e-t

: taxa média de chegadas

1/ : intervalo médio entre chegadas

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Distribuição de Probabilidades Exponencial

Exemplos: – Carros chegando num pedágio; – Clientes chegando num caixa eletrônico– Tempo entre duas submissões de queries a

uma maquina de busca– Tempo de execução de processos – Tempo entre chegadas de pacotes em um

roteador

– Tempo entre chegadas de sessões em um servidor

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Distribuição de Probabilidades Exponencial

• Usada para estudos de Sistemas de Filas• Função densidade de probabilidade

• Parâmetros

1 x

f x e

1 1

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Distribuição de Probabilidades Exponencial

Valores of X

f(x) Lambda = 3,0 (Média = 0,333)

Lambda = 2,0 (Média = 0,5)

Lambda = 1,0 (Média = 1,0)

Lambda = 0,50 (Média = 2,0)

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Exemplo

Ex.: Operários chegam no almoxarifado a uma taxa de 30/h. Qual é a probabilidade do intervalo entre chegadas consecutivas de Operários ser maior que 5’ ?

l = 30 e intervalo = 5/60 = 0,0833 horas

P(intervalo entre chegadas > t) =

1 – P(intervalo entre chegadas t) =

1 – (1 – e-30.0,0833) = 0,0821

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Distribuição log normal

00

02

1),;(

)2( 2

2)ln(

x

xexxf

x

Muito utilizada para modelar duração de sessão de usuários em serviços web

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Média e Variância

A média e variância de uma va X que tem uma distribuição lognormal são:

2 2 2/ 2 2( ) ( ) 1E X e V X e e