PROBABILIDADES

Probabilidad Condicional y

Teorema de Bayes

Docente: Juan Carlos Broncano Torres FISE-UTP-Lima-Perú

¿Se podrá determinar la probabilidad de

que un estudiante sea de sexo femenino,

sabiendo que tiene el cabello rubio?

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sean A y B dos eventos en un espacio muestral Ω. La probabilidad condicional de A dado B es el número P(A/B) que se define por:

( )( / )

( )

P A BP A B

P B

E espacio muestral

A

B

Ejemplo 1: Se selecciono una muestra de 500 encuestados de la ciudad de Lima para estudiar el comportamiento del consumidor. Los resultados fueron los siguientes:

Disfruta comprando Ropa

Género Total

Masculino ( M ) Femenino ( F )

Sí ( S ) 136 224 360

No (N) 104 36 140

Total 240 260 500

Si se elige al azar un encuestado a) ¿Cuál es la probabilidad de que disfrute comprando ropa? 360

( ) 0.72 72%500

P S

b) Suponga que el encuestado elegido es mujer ¿Cuál es la probabilidad de que ella disfrute de comprar ropa?

( ) 224( / ) 0.86 86%

( ) 260

P S FP S F

P F

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el encuestado disfrute comprando ropa dado que es varón? ( ) ( ) 136

( / ) 0.567 56.7%( ) ( ) 240

P M S n M SP S M

P M n M

Propiedades

Ejemplo 2 :

¿Y la probabilidad de que una carta escogida al azar sea roja sabiendo que es un as?

𝑃(𝑅𝑜𝑗𝑜 𝐴𝑠) =𝑃(𝑅𝑜𝑗𝑜 ∩ 𝐴𝑠)

𝑃(𝐴𝑠)

EVENTOS INDEPENDIENTES

PROPIEDAD

Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y AC el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(AC) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y P(B/AC) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas en un total de 12.

Ejemplo 3 :

Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.

Solución

Ejemplo 4:

Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

A1 A2

A3 A4

Son una colección de sucesos A1, A2, A3, A4… Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. Divide y vencerás

A1 A2

A3 A4

B Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U (B∩A4)

Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples.

Probabilidad total

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

La ley de probabilidad total

Ejemplo 6: En un aula el 70% de los alumnos son hombres. De ellos el 10% son fumadores, además el 20% de las mujeres son fumadoras. ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?

Del ejemplo 06

Ejemplo 7: En una urna hay 5 bolas: 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuación se vuelve a sacar otra bola que es verde. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido verde? b) Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde? c) Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea azul? Nota: Realiza un árbol de sucesos. Llama (A1 y A2), al suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y análogamente los restantes: (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2).

Solución:

Pruebas Diagnósticas

La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una consulta. La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,3 y la especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) de 0,99. Calcular los índices predictivos (P(Enfermo/Test +) y P(Sano | Test -).

Ejemplo 8:

Solución:

El índice predictivo positivo es la probabilidad de que, sabiendo que el test es positivo, el paciente sea diabético.

El índice predictivo negativo es la probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente sea sano.

Observaciones: a) En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la

probabilidad de que tenga una enfermedad.

b) A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva

información: Presenta glucosuria o no. c) En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo. – Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento